Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Анализ качества САУ
Качество автоматической системы управления определяется совокупностью свойств, обеспечивающих эффективное функционирование как самого объекта управления, так и управляющего устройства, т.е. всей системы управления в целом.
Свойства, составляющие эту совокупность и имеющие количественные измерители, называются показателями качества системы управления.
Качество автоматической системы, как и любого технического устройчства, может быть оценено такими общепринятыми показателями, как вес системы, её габариты, стоимость, надёжность, долговечность и т.п. Совокупность этих общетехнических показателей характеризует качество СУ в широком смысле.
В ТАУ и в практике автоматизации термины “качество системы”, “качество управления” используют, как правило, в более узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы. Эти свойства предопределяют точность поддержания управляемой величины (выходной величины объекта) на заданном уровне в установившихся и переходных режимах, т.е. обеспечивают эффективность процесса управления. Для такого, более узкого понятия качества САУ, охватывающего только её статические и динамические свойства, применяют термин “качество управления”, а сами свойства системы, выраженные в количественной форме, называют показателями качества управления.
Для анализа качества управления могут быть использованы прямые и косвенные методы оценки. Прямые методы определения качества базируются на исследовании переходного процесса, дают наиболее достоверную информацию с последующим определением показаний качества. Косвенные методы определения качества позволяют по косвенным признакам, не решая ни дифференциальных, ни характеристических уравнений, получить приближенный переходный процесс с приближенными показателями качества. К особой категории показателей качества относятся интегральные оценки, которые вычисляют либо непосредственно по переходной функции системы, либо по коэффициентам передаточной функции системы.
Основные (прямые) показатели качества САУ
Время достижения установившегося режима,
время переходного процесса, время регулирования – - такое время, по истечении которого для управляемой величины выполняется условие:
,
где у – управляемая величина; р – некоторая величина (для САУ 5% от установившегося режима).
.
.
.
, где Т – период колебаний
.
Помимо этих показателей, могут рассматриваться ещё некоторые другие, например, в качестве показателя может быть взята величина , или рассчитана величина декремента затухания и т.д.
Первые показатели – это показатели качества переходного процесса, а последний – показатель качества в установившемся режиме
Прямые методы оценки качества
(методы построения переходной характеристики)
1. Решение дифференциального уравнения (численными или операторным методами, построение h(t) по полученным в результате решения значениям)
2. Частотный метод (позволяет по виду частотной характеристики P(w) получить h(t);
3. Моделирование на ЭВМ.
Основывается на решении дифференциального уравнения, описывающего динамику процессов в САУ:
Уравнение (2) сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка и разрешается одним из известных методов. Решение уравнения y(t)=f(t), что и представляет собой переходный процесс.
Операторный метод:
К исходному дифференциальному уравнению (2) применяется преобразование Лапласа с учетом начальных условий.
где Kx – это начальное условие по переменной х, Ky – начальное условие по переменной у (а также их производных).
где K(p)=Ky(p)-Kx(p).
2. Частотный метод.
Основан на преобразованиях Фурье. Если f(t) – периодическая функция, то к ней можно применить преобразование:
Если f(t) непериодическая функция, то ее тоже можно представить с помощью интеграла Фурье:
Тогда f(t) может быть представлена:
- прямое преобразование Фурье;
- обратное преобразование.
Понятие обобщенной частотной передаточной функции
Обобщенная частотная передаточная функция представляет собой следующее выражение:
.
Обобщенная частотная передаточная функция содержит в себе как частотные характеристики объекта ((р)), так и характеристики входного воздействия в операторном виде (х(р)).
Если р придать чисто мнимое значение j, то обобщенное число
.
Определение переходного процесса через вещественную характеристику обобщенной частотной передаточной функции.
Здесь действительная часть является функцией четной, а мнимая – нечетной. Поэтому, если интеграл , то для действительной части
.
Мнимая часть будет равна нулю, т.о.
Все процессы при отрицательном времени равны нулю:
Тогда
С учетом этого у(t) будет иметь вид:
Частотные методы базируются на прямом и обратном преобразовании Фурье.
Если f(t) – функция периодическая, то для нее применимо:
Будем рассматривать:
Y(t)=h(t); x(t)=1(t)
, - вещественная характеристика.
3. Моделирование с использованием вычислительных средств
На сегодняшний день это самый широко используемый метод определения качества переходных процессов. В основе этого метода может лежать система дифференциальных уравнений (метод Эйлера, метод Рунге-Кутта любого порядка). В результате решения этой системы получается таблица значений, определяющая переходный процесс в системе. Другим способом моделирования является решение характеристического уравнения. Полученные корни характеристического уравнения определяют переходный процесс в операторном виде. Используя преобразования Лапласа, получаем переходный процесс во временном пространстве.
Достаточно развитое программное обеспечение предоставляет несколько пакетов (средств) моделирования (STRATUM; MATLAB; GPSS и др.).
СТАУ предлагает описание САУ в терминах пространства состояния. Описанные таким образом системы ориентированы на применение вычислительных средств.
Косвенные методы оценки показателей качества САУ
Прямые методы не всегда удобны для определения показателей качества, поэтому существуют косвенные методы определения показателей качества по косвенным признакам, не требующим построения переходного процесса. К косвенным методам относятся:
Корневые методы оценки показателей качества
Корневые методы для определения косвенной оценки показателя качества используют корни характеристического уравнения замкнутой системы и их расположения на комплексной плоскости.
Передаточная функция любой системы может быть представлена в следующем виде:
,
где i – это нули передаточной функции; i – полюса передаточной функции (корни характеристического уравнения).
i определяет устойчивость системы и качество переходных процессов, i определяет только качество переходных процессов.
Влияние полюсов передаточной функции на качество переходных процессов
В корневых методах используют так называемые корневые показатели, определяемые по расположению корней
р1, р2, …, рп характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости.
,
которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения
. (*)
0 определяет центр расположения всех корней характеристического уравнения и влияет на быстродействие системы. Чем меньше показатель 0, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса.
В числитель подкоренного выражения (*) входит коэффициент , который зависит от передаточного коэффициента разомкнутого контура:
Отсюда можно сделать вывод: чем выше коэффициент усиления k, тем лучше быстродействие системы (при прочих равных условиях – одинаковой конфигурации “созвездия” корней).
Основное влияние на характер переходного процесса оказывают корни, расположенные ближе к мнимой оси, которые дают наиболее длительные составляющие переходного процесса и называются доминирующими.
2) Расстояние от мнимой оси до действительной части ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости .
3) Колебательные свойства системы регулирования предопределяет k–ая пара комплексных корней , для которой наибольшее отношение
или наибольший угол между действительной осью и лучами, соединяющими начало координат с этими корнями. В данном случае такой парой являются комплексные корни р2 и р3.
Отношение д мнимой части к действительной части доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.
В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности
,
также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения .
Каждый из рассмотренных выше прямых и косвенных показателей качества характеризует лишь одно какое-либо свойство системы, лишь один признак ПП или частотной характеристики. Причём, все показатели качества связаны с настроечными параметрами регулятора сложными зависимостями, имеющими, как правило, противоречивый характер: изменение параметра приводит к улучшения одних показателей качества и к ухудшению других. Это значительно усложняет выбор параметров регулятора. Поэтому в инженерной практике широко используются интегральные показатели качества.
Интегральные оценки представляют собой определенные интегралы по времени (в пределах от 0 до , или до ожидаемого времени переходного процесса) от некоторой функции управляемой переменной y(t) (или сигнала ошибки e(t)):
Подынтегральная функция f выбирается таким образом, чтобы интеграл лучше характеризовал качество системы и проще выражался через коэффициенты передаточной функции замкнутой системы. Чтобы интеграл был сходящимся, в функцию f вводят не абсолютные значения y(t) или e(t), а их отклонения от конечных, установившихся значений.
Линейная интегральная оценка
Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка
,
которая равна площади, заключённой между прямой и кривой ПП:
Интегральная оценка учитывает как величину динамических отклонений, так и длительность их существования. Поэтому, чем меньше оценка (область S), тем лучше качество процессов управления, тем быстрее заканчивается ПП, тем меньше отклонение сигнала y(t) от yз.
Разность под знаком интеграла равна динамической или переходной составляющей сигнала ошибки:
.
Поэтому линейную интегральную оценку чаще определяют в таком виде:
.
Рассмотрим следующую передаточную функцию:
.
В качестве входного сигнала x(t) рассмотрим ступенчатое воздействие r(t).
,
тогда , а .
Интегральная схема будет выглядеть так:
Если рассматривать минимум этой функции, то он будет достигаться при выполнении равенства
это идеальный переходный процесс (площадь S – min).
Т.о. выбирая коэффициенты передаточной функции в соответствии с равенством (*), можно достичь заданных показателей качества.
Модульная интегральная оценка
Но недостатком линейной интегральной оценки является то, что её можно применять только для монотонных (апериодических) переходных процессов.
Интеграл, вычисленный для знакопеременной кривой 1 , будет существенно меньше интеграла, вычисленного для апериодической кривой 2, хотя качество ПП для кривой 2 явно лучше.
В связи с этим для колебательных переходных процессов применяют такие интегральные оценки, знакопеременность подынтегральной функции которых тем или иным способом устранена. Такими оценками являются, например, модульная интегральная оценка (ИМО – интеграл от модуля ошибки):
И её модификация (ИВМО – интеграл от взвешенного модуля ошибки)
Эта оценка придаёт больший вес тем значениям сигнала ошибки, которые имеют место в конце ПП.
Квадратичная интегральная оценка
Для колебательных процессов наиболее широко применяется квадратичная интегральная оценка (ИКО – интеграл квадрата ошибки), которая определяется по формуле:
,
которая равна площади под кривой .
Квадратичная оценка так же, как и линейная, учитывает величину и длительность отклонений. Однако, из-за возведения сигнала в квадрат, первые (большие) отклонения приобретают в конечном значении интеграла существенно больший вес, чем последующие (малые) отклонения. Поэтому минимальные значения оценки всегда соответствуют колебательным процессам с малым затуханием.
В расчетах также используют ИВКО.
Применяется и улучшенная квадратичная оценка, которая, кроме самих отклонений, учитывает с весовым коэффициентом производную отклонений.
Обычно весовой коэффициент выбирают равным желаемому времени нарастания или принимают в пределах
Апериодическая интегральная оценка
Рассмотрим ,
т.к. все величины постоянные. Здесь Т – постоянная времени, которая задается.
Если выражение
,
то функция J примет минимальное значение. Это будет достигаться в том случае, если у – апериодический переходный процесс.
- оптимальный процесс с точки зрения апериодической интегральной оценки.
Следует отметить, что абсолютное значение любой интегральной оценки само по себе не представляет интереса. Они служат лишь для сопоставления различных вариантов настройки одной и той же системы.
Пример.
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
Рассмотрены три оценки качества (при ступенчатом воздействии).
При tрег=min,
Чувствительность системы
До сих пор мы предполагали, что значение параметров объекта и устройства управления остаётся в процессе эксплуатации системы постоянными. Однако, в реальных промышленных условиях из-за ряда причин (изменение температуры, износ оборудования, старение изоляции) параметры системы постепенно изменяются, и их действительные значения всегда отличаются от расчетных.
Влияние вариаций параметров системы на статические и динамические свойства называются параметрическими возмущениями, а возникающие при этом отклонения характеристик системы от расчетных значений – параметрическими погрешностями (ошибками).
Чувствительностью системы называется изменение выходных характеристик или показателей качества в зависимости от изменения параметров системы. Если система не изменяет свои выходные характеристики или показатели качества при изменении параметров системы, то такая система называется грубая (робастная).
Количественной характеристикой чувствительности системы является функция чувствительности, которая определяется как частная производная какой-либо характеристики системы (передаточная, переходная характеристика, время переходного процесса и т.д.) по варьируемому параметру, например
, - расчетное значение данного параметра.
Чаще всего на практике применяется относительная функция чувствительности:
.
Чем меньше функция чувствительность (относительная функция чувствительности), тем грубее система и, следовательно, лучше качество управления.
В разомкнутой системе изменение параметров системы приводит к отклонению выходной величины от желаемого значения. Замкнутая система, наоборот, чувствует это отклонение и пытается его скорректировать. Поэтому чувствительность системы к изменению параметров – это вопрос первостепенной важности. Основное преимущество систем с ОС – в их способности уменьшать чувствительность к изменениям параметров.
Рассмотрим случай, когда за счёт изменения параметров объекта его передаточная функция приняла выражение
Если система разомкнутая, то выходная переменная (в виде изображения Лапласа) получит приращение:
В замкнутой системе:
, отсюда
Если считать, что , то
Это выражение показывает, что в замкнутой системе изменение выходной переменной уменьшается в раз.