Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
“...Гра—не філософія і не релігія,
це особлива дисципліна, за своїм характером
вона найближча до мистецтва...”
Г.Гессе “Гра в бісер”
Елементи теорії ігор
Типові приклади
Приклад 1. Фірма виготовляє устаткування для легкої промисловості. Експертами виробничого відділу фірми розглядаються три конструкторські варіанти устаткування: А-1, А-2, А-3. Для спрощення допустимо, що за технічними характеристиками ці три типи майже ідентичні, однак залежно від зовнішнього вигляду та зручності використання кожен тип може мати три модифікації: М-1, М-2, М-3 залежно від закупленої технології виробництва. Собівартість виготовлення устаткування наведена в табл.
Собівартість виготовлення устаткування, тис. ум.од.
|
Тип устаткування |
Модифікація |
||
|
М-1 |
М-2 |
М-3 |
|
|
А-1 |
10 |
6 |
5 |
|
А-2 |
8 |
7 |
9 |
|
А-3 |
7 |
5 |
8 |
Конфліктна ситуація виникає в зв'язку з необхідністю вибрати той тип устаткування та його модифікації, який буде затверджений економічним відділом фірми. З погляду виробництва найкращим є найдорожчий варіант, оскільки він дає змогу виробляти дорожчу та конкурентоспроможнішу продукцію, тоді як з погляду економічного відділу фірми найкращим є найдешевший варіант, який потребує найменшого відволікання коштів.
Завдання експертів полягає в тому, щоб запропонувати на розгляд фінансовому відділу такий тип устаткування, який забезпе чить якщо не кращий, то в усякому разі не гірший варіант співвідношення вартості та зовнішнього вигляду.
Розв'язання.
Якщо виробничий відділ запропонує виготовлення устатку вання типу А-1, то економічний відділ настоюватиме на прид банні технології, що дає модифікацію М-3, оскільки цей варіант найдешевший. Якщо зупинитись на устаткуванні виду А-2, то скоріш за все затверджено буде М-2, і нарешті для типу А-3 — також М-2.
Очевидно, що з усіх можливих варіантів розвитку подій екс пертам виробничого відділу необхідно настоювати на варіанті впровадження у виробництво устаткування типу А-2, оскільки це дає найбільше значення за реалізації найгірших умов — 7 тис. ум. од.
Наведені міркування ілюструють максимінну стратегію, отже:
,
,
,
—нижня ціна гри.
Якщо учасник відхилиться від своєї оптимальної (максимінної) стратегії і вибере першу чи третю, то зможе отримати ви граш, що дорівнює лише 5.
Розглянемо тепер ситуацію з погляду спеціалістів економічного відділу. Виходячи з витрат на виробництво устаткування, ви бір технології, що дає змогу виготовляти модифікацію М-1, може призвести до найбільших витрат у тому разі, коли вдасться затвердити випуск устаткування типу А-1. Для технології виготовлення устаткування з модифікацією М-2 найбільші можливі витрати становлять 7 тис. ум. од. — для устаткування А-2, а з модифікацією М-3 —також для А-2. Для економістів найкращим є вибір технології, що забезпечує виготовлення устаткування модифікації другого виду, оскільки за найгірших умов вона дає найменші витрати—7 тис.ум.од.
Останні міркування відповідають мінімаксній стратегії, що визначає верхню ціну гри.
,
,
,
—верхня ціна гри.
Якщо гравець відхилиться від своєї оптимальної (мінімаксної) стратегії, то це призведе до більших витрат. Якщо буде вибрано першу стратегію, то можливий програш дорівнюватиме 10, а якщо буде вибрано третю стратегію, то можливий програш становитиме 9. Наведена гра є парною грою із сідловою точкою.
Приклад 2. Маємо гру гравців А і В, яка задана такою платіжною матрицею:
Гравець В
Гравець А
Необхідно визначити ціну гри та оптимальні стратегії гравців А і В.
Розв'язання.
Для гравця А перша стратегія є домінуючою над третьою, тому третю стратегію треба вилучити.
Для гравця В перша стратегія є домінуючою на п‘ятою, яку можна виключити як збитковішу, а тому невигідну для гравця В. Отже маємо матрицю:
Розглянемо стратегії гравця А:
,
,
—нижня ціна гри.
Отже, нижня ціна гри буде дорівнювати =5, а гравець А для максимізації мінімального виграшу має вибрати другу із трьох можливих стратегій. Ця стратегія є максимінною у даній грі.
Для гравця В:
,
,
,
—верхня ціна гри.
Гравцю В доцільно вибрати також другу стратегію, яка є мінімаксною у грі. Оскільки =, то ця гра має сідлову точку. Ціна гри дорівнює 5. Оптимальною максимінною стратегією гравця А є друга з трьох можливих його стратегій. Для гравця В оптимальною є також друга із чотирьох можливих.
Приклад 3. Фірма розробила шість бізнес-планів для їх здійснення у наступному році. Залежно від зовнішніх умов (погодного стану, ринку тощо) виділено п'ять ситуацій . Для кожного варіанта бізнес-плану та зовнішньої ситуації обчислені прибутки, які наведені у табл.
|
Варіант бізнес-плану |
Зовнішня ситуація |
||||
|
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Y5 |
|
|
прибутки, тис. грн |
|||||
|
X1 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,7 |
3,2 |
|
X2 |
1,2 |
1,4 |
2,5 |
2,9 |
3,1 |
|
X3 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
2,8 |
2,1 |
|
X4 |
2,1 |
2,4 |
3,0 |
2,7 |
1,8 |
|
X5 |
2,4 |
2,9 |
3,4 |
1,9 |
1,5 |
|
X6 |
2,6 |
2,7 |
3,1 |
2,3 |
2,0 |
Необхідно вибрати найкращий варіант бізнес-плану або комбінацію із розроблених планів. Розв‘язати приклад за допомогою програм Excel, зведенням матричної гри до задачі лінійного програмування.
Розв 'язання.
Маємо гру, платіжною матрицею якої є відповідні елементи вищенаведеної таблиці. Легко переконуємося, що домінуючих стратегій у цій грі немає.
Потім визначаємо:
α = max {min(l,0; 1,5; 2; 2,7; 3,2); min(l,2; 1,4; 2,5; 2,9; 3,l); min(l,3; 1,6; 2,4; 2,8; 2,l); min (2,1; 2,4; 3; 2,7; 1,8); min(2,4; 2,9; 3,4; 1,9; 1,5);min(2,6; 2,7; 3,1; 2,3; 2)} = max{l,0; 1,2; 1,3; 1,8; 1,5; 2} = 2,
a також
β = min (max(1,0; 1,2; 1,3; 2,1; 2,4; 2,6); max(l,5; 1,4; 1,6; 2,4; 2,9; 2,7); max(2;2,5;2,4;3;3,4;3,l); max(2,7;2,9;2,8;2,7;l,9;2,3);max(3,2;3,l;2,l;l,8;l,5;2)}= min{2,6;2,9;3,4;2,9;3,2} = 2,6.
Отже, , тобто немає сідлової точки, а це означає, що необхідно застосувати метод зведення гри до задачі лінійного про грамування:
за умов:
1).Знайдемо розв‘язок за допомогою програми Excel .
Виділимо комірки А1:А6 під значення t1,t2,t3,t4,t5,t6 . У комірку В1 вводимо формулу цільової функції у вигляді =А1+А2+А3+А4+А5+А6, а у комірки С1:С5—ліві частини обмежень у вигляді
=A1+1,2*A2+1,3*A3+2,1*A4+2,4*A5+2,6*A6
=1,5*A1+1,4*A2+1,6*A3+2,4*A4+2,9*A5+2,7*A6
=2*A1+2,5*A2+2,4*A3+3*A4+3,4*A5+3,1*A6
=2,7*A1+2,9*A2+2,8*A3+2,7*A4+1,9*A5+2,3*A6
=3,2*A1+3,1*A2+2,1*A3+1,8*A4+1,5*A5+2*A6
Встановлюємо курсор у комірку В1. Обираємо команду Сервіс. Відкриваємо діалогове вікно “Поиск решения” і задаємо сценарій:
Натиснути Выполнить і отримати результати. У комірку D1 записати формулу =A1/$B$1і скопіювати її у комірки D2:D6 (щоб ввести позначки долару $B$1, треба після введення В1 натиснути клавішу F4). Одержимо у комірках D2:D6 оптимальні значення частот. Щоб знайти ціну гри, треба у комірку В2 ввести формулу =1/B1.Одержимо результати у вигляді таблиці:
Оптимальний розв'язок задачі: t2=0,11; t6= 0,34 . Звідси отримаємо оптимальний розв'язок для початкової задачі: ; . Ціна гри υ= 2,264.
Приклади та завдання для самостійної роботи
1.Дана матриця гри. Знайти нижню і верхню ціну гри і мінімаксні стратегії сторін:
а). б).
2.Спростити гру:
а). б).
3.Підприємство може випускати три види продукції (А,Б,В), одержує при цьому прибуток, що залежить від попиту. Попит може приймати одне з чотирьох станів (I,II,III,IV). Задана матриця прибутку:
|
I |
II |
III |
IV |
|
|
А |
К |
3 |
6 |
2 |
|
Б |
4 |
5 |
6 |
5 |
|
В |
1 |
7 |
4 |
К |
Визначити оптимальні пропорції випуску продукції.
Розв‘язати приклад за допомогою програм Excel і Mathcad, зведенням матричної гри до задачі лінійного програмування.
4.Розв‘язати матричну гру з платіжною матрицею:
(К—номер студента у журналі).
5.Розв‘язати графічно ігри.
а). б).
в).
г).
PAGE 2