Вариант 25 1 Найти область определения функции -
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Вариант № 25
1. Найти область определения функции :.
Область определения данной функции определяется следующими условиями: , т.е. , , т.е. . Далее, неравенство выполняется всегда (оба корня обратиться одновременно в нуль не могут). Объединяя результаты, получим: . Ответ: .
2. Построить график функции: .
Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Таким образом, имеем части двух парабол. Ветви первой параболы направлены вниз, а второй параболы – вверх.
Ответ: график представлен на рисунке.
3. Построить график функции: .
Область определения функции – вся числовая ось: . Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «сжимаем» график в 2/3 раза по оси ОY и сдвигаем его по оси ОХ на треть единицы влево. Наконец, «сжимаем» график в 3 раза по оси ОX. Получим график заданной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.
4. Построить график функции: .
Функция существует только для тех t, для которых и . Это соответствует первой четверти координатной плоскости. Для построения графика составим таблицу.
|
t |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
|
x |
1 |
0.93 |
0.84 |
0.71 |
0 |
|
y |
0 |
0.71 |
0.84 |
0.93 |
1 |
Можно также исключить параметр t: , т.е. уравнение линии будет , однако надо помнить, что линия существует только в первой четверти.
Ответ: График представлен на рисунке.
5. Построить график функции: .
Удобно перейти к декартовым координатам: . Но . Получаем: . Или . Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке (1, 0), а ветви уходят влево. Ось OY пересекается в точках (0, -2) и (0,2). Ответ: график представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: .
Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: . Тогда
.
Ответ: .
7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:
. Ответ: .
8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое по отношению к числителю:
.
Ответ: .
9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: :
. Ответ: .
10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).
Приведём предел ко второму замечательному пределу: :
. Предел в квадратных скобках равен числу e. Предел показателя степени равен . Таким образом,
. Ответ: .
11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Сделаем замену переменной: . Тогда
. Ответ: .
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничной точке области определения: . Таким образом, в точке x=1 функция имеет разрыв первого рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: .
Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:
. Таким образом, в точке x=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=1 равна 2.
Ответ: В точке x=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти :
.
По определению . Заменим Δx на x-x0:
. Но , поэтому . В данном случае
.
Ответ: .
15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда y:
. Ответ: .
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :
.
Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:
. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .
Ответ:
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x):
. Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .
По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:
. Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (∞/∞):
.
Ответ: .
21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням :
.
Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .
Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .
Ответ: .
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки x0 с точностью до : .
Применяем формулу Тейлора:
.
Вычисляем последовательно:
.
Ответ:
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .
Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке:
,. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 2) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (0, 2) является точкой минимума.
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: . Ответ: .
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .
Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Функция чётная. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: ,. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является левосторонней наклонной асимптотой, а прямая - правосторонней наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .
1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.
4. . Ищем наклонные асимптоты в виде : . . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой.
5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . При производная не существует. Во всех других точках производная положительна, т.е. функция монотонно возрастает. Следовательно, экстремумов функция не имеет.
6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точке и не существует при . Имеем три интервала: в интервале производная - график функции вогнутый, в интервале производная - график функции выпуклый, в интервале производная - график функции вогнутый. Точки и являются точками перегиба. 7. График функции пересекает оси координат в точках (-1/2, 0) и (0, 1/8).
Ответ: График функции представлен на рисунке, точки перегиба – (-1/2, 0) и (0, 1/8 .
2. Петр Первый
3. ТЕМА 6 Сущность сервисных услуг и их классификация Широкая и узкая трактовка сервиса в индустрии услуг
4. Лекция 12 Множество Мандельброта При создании множества Мандельброта используется алгебраическое выраже
5. На тему- Возникновение и развитие философии марксизма
6. Архітектура промислових і цивільних будівель МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК до виконання курсов.html
7. Орхидея
8. Дебаты Сергей Александрович Наумов и все сотрудники Дебатклуба школыгимназии 63 приглашают Вас
9. по теме- Военная гигиена Общее число задач- 98 Лекции по военной гигиене как самостоятельной ди
10. Game Make Up a Story
11. Реферат на тему- Культура Стародавньої Греції Виконав студент КККН Групи 1КН3 Каб
12. Живопись на Руси
13. Работа с окнами приложений
14. Печерського державного історикокультурного заповідника який складався протягом дев~яти століть
15. Самость не просто какоето понятие или логический постулат но психическая реальность которая осознаетс
16. ТЕМАТИКА 11 класс 7 Спецификация КИМ ЕГЭ 2014 г
17. Производственная диета
18. Отчет по лабораторной работе 2 по дисциплине Моделирование процесса формирования качества в производств
19. темах имеет важное значение для раскрытия многих явлений правовой действительности
20. Мошни Азот ~ Холоднянське 2 тур ~ 17