Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 13
1. Найти область определения функции :.
Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и . Умножим первое неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .
2. Построить график функции: .
Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки . Если , то . В точке график функции пересекает ось ОУ. Функция обращается в нуль в точке (-1, 0). Если , то . Вычисляем значения функции в нескольких точках:
|
-6 |
-4 |
-3 |
-2.5 |
-2.2 |
-1.8 |
-1.5 |
|
5/4 |
3/2 |
2 |
3 |
6 |
9 |
3 |
|
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
3 |
6 |
|
|
3/5 |
2/3 |
5/7 |
3/4 |
4/5 |
7/8 |
По всем данным строим график. Ответ: График представлен на рисунке.
3. Построить график функции: .
Функция определена на всей числовой оси, кроме точек, для которых . Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «сжимаем» график в два раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на π/6 единиц вправо. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.
4. Построить график функции: .
Исключим параметр t, умножая x на y: . Получили уравнение гиперболы , асимптотами которой являются координатные оси. Однако надо учесть, что , т.е. или . С другой стороны . Строим график гиперболы для (x, y) из указанной области.
Ответ: График представлен на рисунке.
5. Построить график функции: .
Перейдём к декартовой системе координат, учитывая, что . Получим: или или . Получили уравнение прямой, которая отсекает от осей координат соответственно отрезки 2 и 2/3.
Ответ: График представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: .
Возведём все скобки в степени и приведём подобные:
. Ответ: .
7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:
. Ответ: .
8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение: .
Ответ: .
9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Сделаем замену переменной: . Получим: . Здесь воспользовались первым замечательным пределом: . Ответ: .
10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).
Приведём предел ко второму замечательному пределу: : . Ответ: .
11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Воспользуемся эквивалентными величинами:
|. Ответ: .
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения – все действительные числа, кроме x=1. В точке x=1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке x=1 имеют место разрыв первого рода. Скачок в точке разрыва равен -0,5. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:
. Таким образом, в точке x=1 функция непрерывна, а в точке x=−1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=−1 равна 1. Ответ: В точке x=−1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти :
.
По определению . Заменим Δx на x-x0:
. Но , поэтому . В данном случае , так как всегда.
Ответ: .
15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда y:
. Ответ: .
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :
.
Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты: . Найдём производные и :
.
Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Ответ:
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: ,
, .
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .
По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:
. Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (0/0):
. Ответ: .
21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням : .
Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .
Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .
Ответ: .
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки x0 с точностью до : .
Применяем формулу Тейлора:
.
Вычисляем последовательно:
.
Ответ:
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .
Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:
. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (-1, 1) функция ведёт себя как степенная четвёртой степени. Точка (-1, 1) является точкой максимума.
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
Заметим, что По формуле Тейлора . Подставим это в предел:
. Ответ: .
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .
Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения:
. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :
. Следовательно, прямые и являются наклонными асимптотами. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .
1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна в области определения. Вертикальных асимптот нет.
4. . Найдём наклонные асимптоты:
. Следовательно, имеется только односторонняя (правая) горизонтальная асимптота . 5. Первая производная . Производная в нуль не обращается. В точке производная не существует. Производная остаётся отрицательной на всей числовой оси. Следовательно, функция монотонно убывает и экстремумов не имеет.
6. . Вторая производная обращается в нуль в точке . В точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал вогнутости графика функции, в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости графика функции. Точки перегиба - . 7. График функции не пересекает осей координат, во всех точках . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет. Точки перегиба - .
2
1
0
1
2
1
2
3