Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Закон Био и Савара
В основе всех расчётов магнитных действий тока и многих дру гих расчётов, связанных с теорией электромагнитного поля, лежит закон, открытый в 1820 г. французскими учёными Био и Саваром, сделавшими измерения, и Лапласом, который обобщил результаты измерений. Эти учёные показали, что во всех случаях силу магнит ного поля тока можно вычислить, геометрически суммируя (по правилу многоугольника) силы, вызываемые отдельными малыми участками тока.
Био, Савар и Лаплас установили, что если тонкий проводник, по которому течёт ток, представлять себе разбитым на отдельные малые участки (рис. 257), то силу dF, с которой взаимодействует каждый участок тока с магнитным полюсом, надо считать, во-первых, пропорциональной длине участка dl, во-вто рых, силу эту надо считать прямо пропор циональной произведению величины полю са (m) на величину тока (I) в проводнике и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) от данного участка про водника до полюса.
Рис. 257. К закону Био и Савара. Действие элемен та тока на магнитный полюс.
В этой (ещё неполной) формулировке закон Био и Савара напоминает собой за коны Кулона для электрических зарядов и магнитных полюсов. Дело осложняется, однако, тем, что величина dF зависит ещё от угла между направлением эле мента тока и направлением радиуса-вектора, проведённого от элемента то ка к магнитному полюсу. А именно, сила взаимодействия элемента тока и магнитного полюса является наибольшей, когда ток направлен под прямым углом к радиусу-вектору, проведённому от элемента тока к магнитному полюсу. Когда же указанный угол равен нулю (т. е. направления элемента тока и радиуса-вектора совпадают), то сила взаимодей ствия между элементом тока и магнитным полюсом обращается в нуль. Вообще же магнитная сила, определяемая законом Био и Савара, пропорциональна синусу упомянутого угла, так что в общем случае закон Био и Савара выражается формулой
(13)
Каждая такая элементарная сила dF направлена перпендикулярно к плоскости, проведённой через полюс и элемент тока, в сторону, определяемую правилом буравчика. Если в приведённой формуле m измерено в абсолютных магнитных единицах, I — в абсолютных эле ктромагнитных единицах величины тока, a dl и r — в сантиметрах, то dF будет выражена в динах.
Пользуясь понятием о векторном произведении (т. I, §10) и рассматривая элемент dl тока и расстояние r от него до магнит ного полюса как векторы, закон Био и Савара можно представить в следующем виде:
(14)
Для демонстрации действия тока на магнитный полюс, казалось бы, необходимо изолировать магнитный полюс от другого, противоположного по знаку магнитного полюса, что, конечно, невозможно. Однако это затруднение, как показано Фарадеем в 1821 г., можно обойти, расположив магнит относительно тока таким образом, чтобы один из полюсов магнита оказался на оси вращения другого полюса.
На рис. 258 изображён прибор Фарадея, позволяющий одновре менно демонстрировать действие тока на магнитный полюс и дейст вие магнитного полюса на ток (которое рассмотрено в § 65).
Рис. 258. Прибор Фарадея для де монстрации действия тока на маг нитный полюс (левая часть) и дей ствия магнитного полюса на ток (правая часть).
В этом приборе имеются два со суда (они показаны в разрезе), в которые наливают ртуть. Цепь тока указана стрелками. В левом сосуде стержневой магнит удер живается от всплывания в ртути гибкой нитью, причём нижний полюс магнита находится на оси, вокруг которой при пропускании тока через прибор начинает вра щаться другой полюс магнита. В правом сосуде оба полюса маг нита расположены на оси, во круг которой при пропускании тока вращается гибкий проводник (один его конец закреплён наверху, а другой скользит по поверх ности ртути).
Заметим, что магнитные свойства среды не оказывают ника кого влияния на напряжённость магнитного поля, создаваемого током: в закон Био и Савара магнитная проницаемость среды . вовсе не входит.
Выражение (13), представляющее закон Био и Савара в диффе ренциальной форме, показывает, что элементарная сила dF, с которой бесконечно малый участок тела действует на магнитный полюс, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Отсюда совсем не следует, что и вся сила F, с которой ток конечной длины действует на магнитный полюс, также обратно пропорциональна квадрату расстояния. Сила F может быть найдена геометрическим суммированием бесконечно малых воздействий dF для всех элементов тока, причём мы, вообще говоря, получим иную степень расстояния.
Так, например, напряжённость поля, создаваемого прямолинейным током, обратно пропорциональна первой степени расстояния от линии тока. Очевидно, что когда все элементы тока лежат на одной прямой, то все обусловленные этими элементами тока силы dF в какой-либо рассматриваемой точке поля, где находится полюс m, направлены в одну сторону (на рис. 259)
перпендикулярно к плоскости чертежа, к читателю), и, стало быть, в данном случае геометрическое сум мирование сил dF сводится к их простому арифметическому сло жению:
Легко видеть, что dl=rd/sin, а следовательно, dl/r2=d/rsin, но rsin=r0 и
поэтому dl/r2 =d/r0. Таким образом,
где 1, и 2 — углы, определяющие пре дельное положение радиусов-векторов,
проведённых из концов проводника в рассматриваемую точку поля. Для бесконечно длинного прямолинейного проводника 1=0 и 2 =; и, следовательно, cos1-cos2=2, т. е.
(15)
Если величина тока I выражена в амперах, то
(15a)
Мы видим, что напряжённость поля прямого тока а любой
точке прямо пропорциональна величине тока и обратно пропорциональна первой степени расстояния между этой точкой и током.
Задача геометрического суммирования сил, с ко торыми действуют на магнитный полюс отдельные участки тока, наиболее легко разрешается для случая, когда магнитный полюс помещён в центре кругового тока (рис. 260).
Представим себе, что круговой ток разделён на весьма большое число малых участков dl. Сила dF, с которой каждый такой участок действует на магнитный полюс m, помещённый в центре кругового тока, для всех участков одинакова и направлена в одну и ту же сторону. Синус угла между направлением тока в каждом из этих участков и радиусом равен единице. Следовательно, по закону Био и Савара
Вынося за знак интеграла одинаковую для всех участков величину Im/r2 и учитывая, что суммарная длина всех участков кругового тока равна 2r, находим:
дин.
Отсюда заключаем, что напряжение поля в центре кругового
H=2I/r эрстед, (16)
где / выражено в CGSM, а r — в сантиметрах.
Если величина тока выражена в амперах, то
эрстед. (16а)
Исследуя расчётом напряжён ность магнитного поля кругового тока в различных точках про странства, Ампер доказал замеча тельную теорему о том, что маг нитное поле кругового тока та ково же, как поле магнитного листка (§ 61). А именно:
Круговой ток, имеющий ве личину / единиц CGSM, создаёт такое же магнитное поле, как если бы площадь, обтекаемая током, представляла собой бесконечно тонкий магнит (магнитный листок) с магнитным момен том, равным произведению величины тока I на площадь S, обте каемую током (выраженную в квадратных сантиметрах):
Mm=IS. (17)
На основании сказанного Ампер и высказал догадку, что на магничивание тел объясняется внутримолекулярными круговыми то ками.
Андре Мари Ампер (1775—1836),
Как упоминалось в § 57, природа этих амперовых молекулярных токов была установлена только в XX в.
Ампер первый изучил магнитное взаимодействие токов и разработал математические основы электродинамики, Замечательный трактат Андре Мари Ампера «Теория электродинамических явле ний, выведенная из опыта», был опубликован в 1827 г. Максвелл называл Ампера «Ньютоном электричества». Ампер проявил исклю чительную прозорливость не только в вопросах физики. Он с боль шой убеждённостью защищал идею об эволюции организмов—идею, которая в те годы, задолго до работ Дарвина, вызывала только насмешки.
Когда имеется n витков кругового тока (сжатый соленоид), то магнитный момент эквивалентного магнита равен:
Mm=In•S. (17а)
Соотношения (17) и (17а) были проверены экспериментально и подтверждены Вебером.