Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
25 Дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ – анализ изменчивости признака под влиянием каких-либо контролируемых переменных факторов.
(В зарубежной литературе именуется ANOVA – «Analisis of Variance»)
Обобщенно задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы из общей вариативности признака выделить три частные вариативности:
- Вариативность, обусловленную действием каждой из исследуемых независимых переменных.
- Вариативность, обусловленную взаимодействием исследуемых независмых переменных.
- Вариативность случайную, обусловленную всеми неучтенными обстоятельствами.
Вариативность, обусловленная действием исследуемых переменных и их взаимодействием соотносится со случайной вариативностью. Показателем этого соотношения является F – критерий Фишера (метод, не имеющий ничего общего, кроме автора, с «угловым преобразованием Фишера»).
FэмпА = Вариативность, обусловленная действием переменной А / Случайная вариативность
FэмпБ = Вариативность, обусловленная действием переменной Б / Случайная вариативность
FэмпАБ = Вариативность, обусловленная взаимодействием А и Б / Случайная вариативность
В формулу расчета критерия F взодят оценки дисперсий, и, следовательно, этот метод относится к разряду параметрических. Чем в большей степени вариативность признака обусловлена исследуемыми переменными или их взаимодействием, тем выше эмпирические значения критерия F.
В отличие от корреляционного анализа, в дисперсионном исследователь исходит из предположения, что одни переменные выступают как влияющие (именуемые факторами или независимыми переменными), а другие (результативные признаки или зависимые переменные) – подвержены влиянию этих факторов. Хотя такое допущение и лежит в основе математических процедур расчета, оно, однако, требует осторожности рассуждений об источнике и объекте влияния.
Например, если мы выдвигаем гипотезу о зависимости успешности работы должностного лица от фактора Н (социальной смелости по Кэттелу), то не исключено обратное: социальная смелость респондента как раз и может возникнуть (усилиться) вследствие успешности его работы – это с одной стороны. С другой: следует отдать себе отчет в том, как именно измерялась «успешность»? Если за ее основу взяты были не объективные характеристики (модные нынче «объемы продаж» и проч.), а экспертные оценки сослуживцев, то имеется вероятность того, что «успешность» может быть подменена поведенческими или личностными характеристиками (волевыми, коммуникативными, внешними проявлениями агрессивности etc.)
Представим смысл дисперсионного анализа графически.
В примере, взятом из (1), иллюстрируется исследование зависимости учебной успеваемости школьников от развития кратковременной памяти. В качестве фактора рассматривался уровень развития кратковременной памяти, а в качестве результативных признаков – успеваемость по предмету. Видно, например, что фактор, по-видимому, оказывает существенное влияние при обучении иностранному языку, и незначим для чистописания, что, впрочем, вполне согласуется со здравым смыслом.
Приведенный пример обращает внимание также и на то, какими именно должны быть факторы?
Здесь фактор имел градации, то есть его величина изменялась при переходе от одной градации к другой. Следует знать, что такое условие отнюдь не обязательно: фактор может иметь градации, никак не связанные между собой количественным отношением, и может быть представлен хоть в номинальной шкале. В общем (и это точнее) говорят не о градациях фактора, а о различных условиях его действия. Возможность количественной градации фактора, таким образом, лишь частный случай.
В качестве иллюстрации этого положения скажем, что если отыщется исследователь, желающий определить зависимость яйценоскости от цвета курицы, то ничто не помешает ему применить дисперсионный анализ, и в качестве условий действия фактора «цвет» избрать, скажем, черных, белых и пестрых кур.
Формулировка гипотез в дисперсионном анализе.
Нулевая гипотеза:
«Средние величины результативного признака во всех условиях действия фактора (или градациях фактора) одинаковы».
Альтернативная гипотеза:
«Средние величины результативного признака в разных условиях действия фактора различны».
Виды дисперсионного анализа.
Дисперсионный анализ схематически можно подразделить на несколько категорий. Это деление осуществляется, смотря по тому, сколько, во-первых, факторов принимает участие в рассмотрении, во-вторых, - сколько переменных подвержены действию факторов, и, в-третьих, - по тому, как соотносятся друг с другом выборки значений.
При наличии одного фактора, влияние которого исследуется, дисперсионный анализ именуется однофакторным, и распадается на две разновидности:
- Анализ несвязанных (то есть – различных) выборок. Например, одна группа респондентов решает задачу в условиях тишины, вторая – в шумной комнате. (В этом случае, к слову, нулевая гипотеза звучала бы так: «среднее время решения задач такого-то типа будет одинаково в тишине и в шумном помещении», то есть не зависит от фактора шума.)
- Анализ связанных выборок. То есть: двух замеров, проведенных на одной и той же группе респондентов в разных условиях. Тот же пример: в первый раз задача решалась в тишине, второй – сходная задача – в условиях шумовых помех. (На практике к подобным опытам следует подходить с осторожностью, поскольку в действие может вступить неучтенный фактор «научаемость», влияние которого исследователь рискует приписать изменению условий, а именно, - шуму.)
В случае, если исследуется одновременное воздействие двух или более факторов, мы имеем дело с многофакторным дисперсионным анализом, который также можно подразделить по типу выборки.
Если же воздействию факторов подвержено несколько переменных, - речь идет о многомерном анализе.
Ограничения дисперсионного анализа и подготовка данных.
Дисперсионный анализ следует применять тогда, когда известно (установлено), что распределение результативного признака является нормальным.
Для проверки следует провести расчеты ассимметрии и эксцесса по следующим формулам:
A = Σ (xi – xср)3 / n3
mA= √6/n
E = (Σ (xi – xср)4 / n4 ) - 3
mE= 2√6/n ,
где А и Е – ассимметрия и эксцесс, а mA и mE – их ошибки репрезентативности. После подстановки значений не должно оказаться так, чтобы ассимметрия и эксцесс превышали более, чем втрое свои ошибки репрезентативности. При соблюдении этого требования, распределение можно считать нормальным.
Будем называть данные, относящиеся к одному условию действия фактора (к одной градации) дисперсионным комплексом.
Дисперсионный анализ требует также, чтобы между комплексами соблюдалось равенство дисперсий. В литературе по этому вопросу предлагается (и доказана правомочность предложения) удовлетворять такое требование уравниванием числа значений в каждом из комплексов. Иными словами, если в тихой аудитории решали задачу 10 человек, то и в шумную мы должны посадить столько же; если белых кур набралось 100, черных – 80, а пестрых – 70, - мы обязаны взять только по 70 кур каждого цвета. Причем, отбор следует осуществлять случайным образом.
(В SPSS эта возможность представлена так: Данные – Выбор регистров – Случайный образец регистров (радиокнопка) – Образец… (кнопка)).
Однофакторный дисперсионный анализ для несвязанных выборок.
Назначение метода.
Метод однофакторного дисперсионного анализа применяется в тех случаях, когда исследуются изменения результативного признака (зависимой переменной) под влиянием изменяющихся условий или градаций какого-либо фактора.
Влиянию каждой из градаций фактора подвержены разные выборки.
Должно быть не менее трех градаций фактора и не менее двух наблюдений в каждой градации.
Описание метода.
Расчеты начинаются с расстановки всех данных по столбцам, относящимся к каждому из факторов соответственно.
Следующим действием будет нахождение сумм значений по столбцам (то есть – градациям) и возведение их в квадрат.
Фактически метод состоит в сопоставлении каждой из полученных и возведенных в квадрат сумм с суммой квадратов всех значений, полученных во всем эксперименте.
Графическое представление метода.
На рисунке схематически представлены три градации какого-либо фактора. Дисперсионный анализ позволяет определить, что преобладает: влияние фактора или случайная вариативность внутри групп (тенденция, выраженная кривой или размах отрезков, ограниченных кружками)?
Алгоритм расчета.
Промежуточные величины.
|
Tc |
суммы индивидуальных значений по каждому из условий |
|
Σ(T2c) |
сумма квадратов суммарных значений по каждому из условий |
|
с |
количество условий (градаций фактора) |
|
n |
количество значений в каждом комплексе (испытуемых в каждой группе) |
|
N |
общее количество индивидуальных значений |
|
(Σxi)2 |
квадрат общей суммы индивидуальных значений |
|
Σ(xi)2 / N |
константа, необходимая для вычитания из каждой суммы квадратов |
|
xi |
каждое индивидуальное значение |
|
Σ(xi)2 |
сумма квадратов индивидуальных значений |
Принятые в литературе сокращения:
СК или SS – сумма квадратов
SSфакт. – вариативность, обусловленная действием исследуемого фактора
SSобщ. – общая вариативность
SSсл. – случайная вариативность
MS – «средний квадрат» (математическое ожидание суммы квадратов, усредненная величина соответствующих SS)
df – число степеней свободы.
Основные вычисления.
|
Подсчитать SSфакт. |
SSфакт. = 1/n ΣT2c – 1/n (Σxi)2 |
|
Подсчитать SSобщ. |
SSобщ. = Σx2i – 1/N (Σxi)2 |
|
Подсчитать случайную остаточную величину SSсл. |
SSсл. = SSобщ. – SSфакт. |
|
Определить число степеней свободы |
dfфакт. = с – 1 dfобщ. = N – 1 dfсл. = dfобщ. – dfфакт. |
|
Разделить каждую SS на соответствующее число степеней свободы |
MSфакт. = SSфакт. / dfфакт. MS сл. = SS сл. / df сл. |
|
Подсчитать значение Fэмп. |
Fэмп. = MSфакт. / MS сл. |
|
Определить по таблицам критические значения F и сопоставить с ним полученное эмпирическое значение |
При Fэмп. >= Fкр. H0 отклоняется. |
Однофакторный дисперсионный анализ для связанных выборок.
Назначение метода.
Метод применяется в тех случаях, когда исследуется влияние разных условий действия фактора (градаций фактора) на одну и ту же выборку. (Одни и те же респонденты в разных условиях.)
Условий (градаций) должно быть не менее трех.
Индивидуальных значений по каждому условию должно быть не менее двух.
Описание метода.
В этом случае различия могут быть вызваны не только влиянием фактора, но и индивидуальными различиями между испытуемыми. При анализе несвязанных выборок это обстоятельство не оказывало воздействия за счет того, что выборки были различны, и сводилось к случайным причинам различий, - здесь же индивидуальные различия между элементами выборки (респондентами) необходимо особо учитывать. (Индивидуальные различия могут оказаться более значимыми, чем изменение условий действия фактора.) Исходя из сказанного, в расчеты вводятся дополнительные компоненты – суммы квадратов сумм индивидуальных значений.
Графическое представление.
Рисунок иллюстрирует пример решения анаграмм различной длины одними и теми же респондентами. Исследователей интересовало влияние длины анаграммы на время ее решения. (Выяснилось, что наибольшие трудности, что видно из диапазона времени, затраченного на решение, и его среднего значения, вызвала анаграмма из пяти букв.)
Расчет промежуточных величин.
|
Tc |
Суммы индивидуальных значений по каждому из условий |
|
ΣT2c |
Сумма квадратов суммарных значений по каждому из условий |
|
с |
Количество значений у каждого респондента, то есть – количество условий |
|
n |
Количество респондентов |
|
N |
общее количество значений |
|
Tn |
Суммы индивидуальных значений по каждому респонденту |
|
ΣT2n |
Сумма квадратов сумм индивидуальных значений по респондентам |
|
xi |
каждое индивидуальное значение |
|
(Σxi)2 |
квадрат общей суммы индивидуальных значений |
|
1/N(Σxi)2 |
константа, необходимая для вычитания из каждой суммы квадратов |
|
Σ(xi)2 |
сумма квадратов индивидуальных значений |
Основные вычисления.
|
Подсчитать SSфакт. |
SSфакт. = 1/n ΣT2c – 1/n (Σxi)2 |
|
Подсчитать SSресп. |
SSресп. =1/c ΣT2n – 1/N (Σxi)2 |
|
Подсчитать SSобщ. |
SSобщ. = Σx2i – 1/N (Σxi)2 |
|
Подсчитать случайную остаточную величину SSсл. |
SSсл. = SSобщ. – SSфакт. – SSресп. |
|
Определить число степеней свободы |
dfфакт. = с – 1 dfресп. = n – 1 dfобщ. = N – 1 dfсл. = dfобщ. – dfфакт. – dfресп. |
|
Разделить каждую SS на соответствующее число степеней свободы |
MSфакт. = SSфакт. / dfфакт. MS респ. = SS респ. / df респ. MS сл. = SS сл. / df сл. |
|
Подсчитать значения F |
Fфакт.= MSфакт. / MS сл. Fресп.= MSресп. / MS сл. |
|
Определить по таблицам критические значения F и сопоставить с ними полученные эмпирические значения |
При Fэмп. >= Fкр. H0 отклоняется. |