Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
18. Свободные колебания пружинного маятника
Простейшим видом колебательного движения являются гармонические колебания. Для получения таких колебаний в данной работе используются свободные колебания пружинного маятника в воздухе. В состоянии равновесия сила тяжести mg шарика, подвешенного к пружине, уравновешивается упругой силой пружины kΔl:
mg = - kΔl
где k – жёсткость пружины.
Δl=l-l₀ - удлиннение пружины под действием силы mg.
Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние х, то возникает сила упругости F₁, которая которая пропорцианальна смещению и направлена к положению равновесия (закон Гука):
F₁ = - kx
Если в системе отсутствуют потери энергии, то под влиянием силы F₁ шарик совершает гармонические колебания неограниченно долго. В реальной системе, однако, механическая энергия не остатся постоянной, поэтому колебания затухают, т.е. амплитуда их уменьшается во времени.
В простейшем случае сила трения F₂, вызывающая затухание пропорцианальна скорости v:
F₂ = - rv
Где r – коэффициент трения.
Следовательно, при затухающих колебаниях на нагрузку действует сила
На основе II закона Ньютона можно написать
ma = -kx-rv
или
Обозначив
и
уравнение (2) можно записать в виде:
Решение этого однородного, дифференциального уравнения второго порядка даёт зависимость смещения материальной точки от времени:
где
Здесь: - амплитуда колебания в момент времени t=0,
- частота затухающих колебаний,
- частота собственных колебаний,
- коэффициент затухания,
- фаза колебаний.
Функция
выражает закон уменьшения амплитуды колебания во времени. Следовательно, затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с экспоненциально убывающей во времени амплитудой. Величину, характеризующую скорость убывания амплитуды, называют логарифмическим декрементом затухания, он определяется следующим образом
где Т – период колебания.
Из формул (7) и (8), получаем:
Для практического определения логарифмического декремента затухания измеряют время t, за которое амплитуда убывает в n раз, т.е. В этом случае получаем из формул (9) и (7), что
При отсутствии сил трения в системе (r = 0) уравнения (4) и (5) принимает следующий вид:
и
Эти уравнения опимывают незатухающие гармонические колебания.
|
№ опыта |
m±m, г |
l±(l), см |
N |
t±t, c |
T±T, c |
T²±ΔT², c² |
k±Δk H/м |
T₀±ΔT₀, c |