Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
6
Вспомним общее определение достоверности: вывод (или доказательство) является достоверным, если невозможно, чтобы его посылки были истинными, а заключение – ложным.
Логика имеет дело с высказываниями, которые мы определили как такие предложения, которые могут быть истинными или ложными.
В то время как аристотелевская логика использует главным образом обычный язык, дополненный простыми символами из соображений краткости, операции современной логики почти полностью формализованы. Поэтому современную логику называют иногда символической логикой, формальной логикой, математической логикой, исчислением или исчислениями.
К сожалению, современные логики не достигли согласия относительно стандартного набора символов; это может сбить с толку студентов, особенно потому, что используемые наборы символов в значительной мере совпадают. Мы будем применять некоторые из наиболее распространенных символов, упоминая иногда альтернативные варианты.
Как мы видели, фундаментальные понятия аристотелевской логики таковы: три термина (S, M и P), четыре квантора («все», «ни один», «некоторые», «некоторые… не суть»), высказывания, состоящие из терминов и кванторов, а также силлогизм, его модусы и фигуры.
Фундаментальными понятиями современной логики являются: простые (или атомарные) высказывания, два истинностных значения (истинность и ложность), пять операторов, используемых для преобразования простых высказываний или соединения их в составные (или молекулярные) высказывания, понятия вывода («следовательно»), два квантора, приблизительно эквивалентные словам «каждый» и «некоторые», и понятие переменной, упоминавшиеся в гл. «Современная логика».
Кванторы и переменные относятся к исчислению предикатов и будут разъяснены в следующей главе.
Высказывания обозначаются символами P, Q, R, S, т.е. буквами, расположенными ближе к концу алфавита. Могут использоваться и заглавные, и строчные буквы.
Поскольку все высказывания по определению истинны либо ложны, пропозициональная логики приписывает каждому высказыванию одно из двух «значений», или «истинностных значений». Истинность кратко обозначается как «и» или «И», а ложность – как «л» или «Л». Некоторые логики используют вместо букв символы 1 и 0.
Истинностное значение P просто предполагает, что P может быть истинным или ложным.
Два возможных истинностных значения высказывания могут быть представлены в форме таблицы истинности:
P
и
л
Простыми являются высказывания, не содержащие операторов.
Операторы, называемые иногда связками, - слова или выражения, которые могут быть использованы для преобразования или соединения простых высказываний в другие, обычно более длинные высказывания. Предполагается, что все составные, т.е. не простые, высказывания образуются из простых высказываний и операторов. Высказывание считается простым, если оно рассматривается как простое в какой-либо конкретной операции. Рассматривать высказывание как простое – значит просто принять, для конкретной операции, что данная операция не предполагает его разбиения на более короткие высказывания.
Приведем несколько примеров простых высказываний.
«Патрик – мудрый», «Питер – глупый», «Мэри – толстая» и «Лео – худой».
Назовем их P, Q, R и S.
Каждое из них может быть истинным или ложным.
Над ними можно произвести ряд операций.
Отрицание: «Патрик – не мудрый», «Питер – не глупый» и т.д. Назовем эти отрицания не-P, не-Q и т.д.
Двойное отрицание допускается, но его можно устранить: «Мэри – не-не-толстая» означает то же, что «Мэри – толстая».
Конъюнкция: P, Q, R и S и их отрицания могут быть соединены посредством «и».
«Патрик – мудрый» и «Питер – глупый»: P и Q.
«Мэри – толстая» и «Лео – не худой»: R и не-S.
Дизъюнкция: P, Q, R, S, а также их отрицания могут быть соединены посредством «или».
«Или» в логике всегда означает «один из двух» или «и то, и другое». Некоторые логики читают или как «и/или», и это прочтение точнее.
«Мэри – толстая» и «Лео – худой» или и то, и другое: R и/или Q.
«Патрик – не мудрый» и/или «Питер – не глупый»: не-P и/или не-Q.
Импликация: P, Q, R, S, а также их отрицания могут быть соединены посредством «если …то». Составные высказывания, образованные таким способом, называются условными.
Если «Мэри – не толстая», то «Лео – не худой»: если не-R, то не-S.
Если «Питер – глупый», то «Патрик – мудрый»: если Q, то P.
Оператор (или связка) представляет собой слово или выражение, посредством которых из данных предложений (данного предложения) образуется новое предложение. Это определение позволяет нам утверждать, что «не» есть связка – так сказать, одноместная связка.»Не» - такая же связка, как «и», «или», «если …то», поскольку путем присоединения ее к простому высказыванию вы получите новое, другое высказывание. Но термин «оператор» более ясен, чем «связка».
Составные высказывания, образованные с помощью операторов, могут присоединять все новые высказывания, образовывая все более длинные предложения. Посмотрим, как современная логика справляется с любым количеством посылок, состоящих из любого количества высказываний.
Возьмем, например, следующий вывод: если Вы родились на улице Горбелли, то Вы родились в Глазго; если Вы родились в Глазго, то Вы шотландец; если Вы шотландец, то Вы британец; если Вы британец, то Вы можете получить европейский паспорт. Следовательно, если Вы родились на улице Горбелли, то Вы можете получить европейский паспорт.
В сущности, этот вывод можно было бы преобразовать в ряд силлогизмов, но можно (что проще) рассматривать его как один единый вывод. Начнем так:
Пусть P означает «Вы родились на улице Горбелли».
Пусть Q означает «Вы родились в Глазго».
Пусть R означает «Вы – шотландец».
Пусть S означает «Вы – британец».
Пусть U означает «Вы можете получить европейский паспорт».
Наш вывод можно представить следующим образом:
Если P, то Q, и если Q, то R, и если R, то S, и если S, то U; следовательно если P, то U.
Увеличение количества посылок, или интерация, связано с некоторыми проблемами: оно делает неопределенной область применения операции. Такого рода неопределенность отличается от неясности значений слов.
Рассмотрим сумму 2 х 9 + 3. Эта запись неясна, поскольку может быть прочитана как (2 х 9) + 3 (что равняется 21) или как 2 х (9 + 3) (что равняется 24). Скобки уточняют, какая сумма имеется в виду; скобки делают сумму определенной.
Чтобы уточнить, какие составные высказывания содержатся в логическом исчислении, мы используем то же средство, что и в математике, - скобки. Например, без скобок высказывание «P и Q или R» неясно, поскольку может означать «P и (Q или R)» или «(P и Q) или R».
В пропозициональном исчислении имеется пять операторов: не, и, или, если …то, если и только если.
Каждый из них обозначается специальным символом.
Символ Описание Значение
é Отрицание не
& Конъюнкция и
Ú Дизъюнкция и/или
-> Импликация если… то
= Эквиваленция если и только если
Операторы определяются в терминах истинности и ложности составных высказываний, для построения которых они используются. Определения могут быть сформулированы вербально или же представлены с помощью таблиц истинности.
Отрицание ( é ): é P истинно, если P ложно, и ложно, если P истинно.
Конъюнкция ( & ): P & Q истинно, если и только если P истинно и Q истинно.
Дизъюнкция (Ú ): P Ú Q истинно, если и только если P истинно, или Q истинно,
или P и Q оба истинны.
Импликация ( -> ): P -> Q истинно, если и только если Q истинно, или P ложно, или
P и Q оба истинны или оба ложны.
Эквиваленция ( = ): P = Q истинно, если и только если P и Q оба истинны или оба ложны.
Таблицы истинности для составных предложений строятся следующим образом: сначала ставятся символы истинности и ложности под простым составляющими, затем – под связкой, или оператором. Символ, стоящий под оператором, свидетельствует об истинностном значении составного, или молекулярного, высказывания.
В следующих таблицах символы «и» и «л» подразумевают истинностные значения простых высказываний, а символы «И» и «Л» - истинностные значения составных высказываний, включающих операторы. Это делается просто для того, чтобы читателю было ясно, какие истинностные значения относятся к частям, а какие – к целому.
Отрицание: é P истинно, если P ложно, и ложно, если P истинно.
P é P
и Ли
л Ил
Конъюнкция: P & Q истинно, если и только если P и Q оба истинны.
P & Q
и И и
и Л л
л Л и
л Л л
Дизъюнкция: P Ú Q истинно, если и только если P истинно, или Q истинно, или P и Q оба истинны.
P Q
и И и
и И л
л И и
л Л л
Импликация: P -> Q истинно, если и только если P ложно или Q истинно.
P -> Q
и И и
и Л л
л И и
л И л
Эквиваленция: P = Q, если и только если P и Q оба истинны или оба ложны.
P = Q
и И и
и Л л
л Л и
л И л
Выразим на этом символическом языке вышеприведенный вывод. (Вспомним: если Вы родились на улице Горбелли, то Вы родились в Глазго; если Вы родились в Глазго, то Вы шотландец; если Вы шотландец, то Вы британец; если Вы британец, то Вы можете получить европейский паспорт. Следовательно, если Вы родились на улице Горбелли, то Вы можете получить европейский паспорт.)
Итак:
[(P -> Q) & (Q -> R) & (R -> S) & (S -> U)], следовательно (P -> Y).
Очевидно, что не все ряды символов имеют смысл. Ряды символов имеют смысл только в том случае, если они правильно построены.
«Питер тонкий» - ППФ, а пффф! Зеленый (((до / не есть ППФ.
На языке пропозиционального исчисления.
( é P -> Q) = (Q Ú P) есть ППФ, но QP(( Ú & R, не есть ППФ.
Подведем итоги: имеются символы для простых высказываний, именно P, Q, R, S, и символы для пяти операторов, именно é, &, Ú, ->, =.
Имеется также аббревиатура ППФ, которая подразумевает правильно построенную формулу.
Недостает еще символа для «следовательно». Для обозначения «следовательно» используется символ I= - так называемый знак логического следования.
Строго говоря, знак логического следования - I= - не является оператором. Как и слово «следовательно», он не применяется к высказываниям для образования новых высказываний. Скорее, он позволяет нам формулировать аргументы, выражать выводы. Перечисленные символы, а также скобки – главные символы пропозиционального исчисления.
Выводы могут быть представлены, так сказать, посредством составных высказываний, содержащих = (т.е. условную форму «если… то»). С помощью таблиц истинности для этих составных высказываний мы можем удостовериться в правильности наших аргументов.
Чтобы построить сложную таблицу истинности, нельзя просто вписать И и Л в любом порядке, так как истинностное значение целого определяется истинностными значениями его меньших составляющих, а истинностные значения этих последних, в свою очередь, определяются простыми высказываниями.
Помня, что доказательство является правильным, если и только если невозможно, чтобы его посылки были истинными, а заключение – ложным. Посмотрим, содержат ли нижеследующие таблицы истинности такой вариант, при котором посылки истинны, а заключение ложно. Другими словами, если в какой-нибудь строке посылка истинна, а заключение ложно, то данное доказательство недостоверно.
Первый пример
Если Джордж Буш был президентом США, то он родился в США; действительно, Буш был президентом США; следовательно, он должен был родиться в США.
Пусть P представляет «Буш был президентом США».
Пусть Q представляет «Буш родился в США».
Мы можем выразить этот вывод в следующей форме: Если [(Если P, то Q) и P], то Q.
Или же в символах пропозиционального исчисления: [(P -> Q) & P] -> Q.
Составим таблицу истинности для этого составного высказывания:
|
P |
Q |
[P -> Q) & P] -> Q |
|
|
и и л л |
и л и л |
и И и И и И и и Л л Л и И л л И и Л л И и л И л Л л И л |
Если вертикальный столбец под главным символом -> не содержит Л, то составное высказывание считается тавтологией. Тавтология – высказывание, которое истинно при любых обстоятельствах, например, если все составляющие простые высказывания ложны (как в последнем ряду таблицы), то составное высказывание истинно.
В таком случае в данном исчислении вывод от левой стороны составного высказывания к его правой стороне будет достоверным выводом.
В нашем первом примере вертикальный столбец под главной связкой (второй символ ->) целиком состоит из символов И, поэтому данное составное высказывание есть тавтология, а соответствующий вывод (Q из [(P -> Q) & P]) достоверен.
Это дает нам право ввести знак логического следования. Посредством подстановки I= вместо последнего символа -> в данной формуле мы преобразуем последовательность из формулы, представляющей составное высказывание формы «если… то», в формулу, представляющую вывод, а в данном случае – правильный вывод: [(P -> Q) & P] I= Q.
Правильность этой формы вывода была признана средневековыми логиками, которые назвали ее modus ponendo ponens (модус понендо поненс), а кратко – modus ponens. В современной пропозициональной логике этот модус считается аксиомой, или правилом вывода.
Второй пример
Если Киссинджер – президент США, то он родился в США (P -> Q); но Киссинджер не родился в США ( é Q); поэтому Киссинджер не является президентом США ( é P ).
Запишем это составное высказывание в символах пропозиционального исчисления (отметим, что «но» можно выразить с помощью «&»): [(P -> Q) & é Q] о é P.
Составим таблицу истинности:
|
P |
Q |
[P -> Q) & é Q] O é P |
|
и и л л |
и л и л |
и И и Л Л и И Л и и Л л И И и И Л и л И и Л Л л И И л л И л И И л И И л |
Данное составное высказывание также является тавтологией (см. вертикальный столбец под вторым символом о). Поэтому здесь мы тоже можем говорить об образце правильного вывода:
[(P -> Q) & é Q] = é P.
В средние века эту форму вывода называли modus tollendo tollens (модус толендо толенс), кратко modus tollens. В пропозициональном исчислении данный модус рассматривается как аксиома, или правило вывода.
Ложный вывод
Рассмотрим хорошо известный ложный вывод, который современные логики называют modus morons. Его форма такова: [( P -> Q) & Q] = P.
Пример
Если мы находимся в Торонто, то мы находимся много севернее Сиднея (P -> Q), и мы действительно находимся много севернее Сиднея (Q), поэтому мы находимся в Торонто (P).
Это рассуждение можно записать как составное высказывание: [(P -> Q) & Q] -> P.
Таблица истинности такова:
|
P |
Q |
[P -> Q) & P] -> Q |
|
и и л л |
и л и л |
и И и И и И и и Л л Л и И л л И и Л л И и л И л Л л И л |
Столбец под вторым символом -> содержит один символ Л, в третьей строке; стало быть, есть возможность, что посылки истинны, а заключение ложно. Поэтому аргумент формы modus morons ошибочен.
Таблицы истинности позволяют проверить правильность выводов, поэтому, говоря приблизительно, они выполняют ту же функцию, что и мнемоника для силлогизмов. Однако мнемоника не показывает, что те или иные силлогистические формы достоверны или недостоверны; тогда как таблицы истинности действительно показывают, что некая форма вывода достоверна (а возможно, недостоверна).