Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы к экзамену по курсу «Математические методы и модели исследования операций»
(гр. МЭ-71, МЭ-72, ЭМ-71)
2006/2007 год.
Лектор – П. В. Шнурков.
1.1. Топологические пространства. Сходимость и понятие предела в топологических пространствах. Непрерывные отображения. Аналоги топологических понятий в конечномерных пространствах: открытое множество, окрестность, сходимость, непрерывность. Необходимое и достаточное условие непрерывности (формулировка теоремы).
1.2. Линейные пространства. Линейные операторы. Ядро оператора. Необходимые и достаточные условия взаимнооднозначности линейного оператора. Линейные топологические пространства. Локальная выпуклость.
1.3. Нормированные и банаховы пространства. Примеры. Пространства и Пространства со скалярным произведением. Гильбертовы пространства.
1.4. Взаимосвязи основных структур в различных видах функциональных пространств (структурная схема).
1.5. Линейные непрерывные функционалы в линейных топологических пространствах. Сопряженные пространства. Сильная топология в сопряженных пространствах. Сопряженные операторы. Оператор, сопряженный к линейному оператору в евклидовых пространствах Rm, Rn (утверждение и доказательство).
1.6. Пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству. Общий вид линейного непрерывного функционала в конечномерном линейном пространстве. Пространство, сопряженное к гильбертову пространству. Теорема Ф.Рисса о структуре линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве (без доказательства).
1.7. Сильное дифференцирование в банаховых пространствах. Определение сильной производной. Производная Фреше в конечномерных пространствах. Дифференциал Фреше. Условие регулярности отображения. Понятие гладкости (непрерывный дифференцируемости).
1.8. Теорема о дифференцируемости сложной функции для сильной производной (формулировка и примеры решения).
1.9. Слабое дифференцирование в линейных топологических пространствах. Первая вариация по Лагранжу. Производная Гато. Соотношение между дифференцируемостью по Гато, непрерывностью отображения и дифференцируемостью по Фреше.
1.10. Связь между сильной и слабой дифференцируемостью. Достаточные условия
дифференцируемости по Фреше (без доказательства).
1.11. Старшие сильные производные. Два подхода к определению производных высших
порядков. Определения второй производной на основе первого и второго подходов. Вторая производная как производная отображения, определяемого первой производной. Вторая производная, задаваемая при помощи разложения приращения отображения. Значение вторых производных в конечномерных пространствах. Формула Тейлора.
1.12. Дифференцируемость конкретных функционалов и отображений:
, , где , , X и Y – банаховы;
Определяемого соотношением
, где
,
где
1.13. Теорема Люстерника (общая формулировка). Геометрический смысл теоремы.
2.1. Общая постановка экстремальной проблемы. Виды ограничений. Допустимые точки. Понятие решения, локальный и глобальный (абсолютный) экстремумы.
2.2. Необходимые условия экстремума в гладких задачах без ограничений. Теорема Ферма (доказательство). Следствия из теоремы Ферма для слабой и сильной производных.
2.3. Примеры применения необходимых условий в виде принципа Ферма для решения экстремальных задач без ограничений.
Вывод необходимых условий экстремума.
2.4. Гладкие задачи с ограничениями вида равенств в банаховых пространствах. Теорема о необходимых условиях экстремума (привило множителей Лагранжа).
2.5. Гладкие задачи с ограничениями вида равенств в конечномерных пространствах. Условия стационарности и регулярности (формулировка и доказательство теоремы).
2.6. Алгоритмическая сущность метода множителей Лагранжа в задаче с ограничениями типа равенств в конечномерных пространствах.
2.7. Правило множителей Лагранжа в гладких задачах с ограничениями типа равенств конечномерного и произвольного характера. Теорема о необходимых условиях экстремума (без доказательства).
2.8. Правило множителей Лагранжа в гладких задачах с ограничениями типа равенств и неравенств. Теорема о необходимых условиях экстремума (без доказательства). Комментарии к утверждение теоремы.
2.9. Выпуклые задачи с ограничениями в виде неравенств (общая постановка) Теорема Куна-Таккера. Комментарии к утверждению теоремы.
3.1. Структура и составные части задач классического вариационного исчисления и оптимального управления. Функционалы, ограничения, граничные условия.
3.2. Постановка экстремальной проблемы КВИ и ОУ. Общие черты и основные особенности задач классического вариационного исчисления и оптимального управления. Примеры задач КВИ и ОУ.
3.3. Понятие решения задачи КВИ. Слабые и сильные локальные экстремумы. Особенности решений в различных видах вариационных задач. (Простейшая задача, задача Больна, задача Лагранжа).
3.4. Понятие решения задачи оптимального управления. Допустимые управления и допустимые управляемые процессы. Оптимальные процессы (определения). Особенности решений задач оптимального управления (характер траекторий и управлений).
4.1. Задача Больна без ограничений. Теорема о необходимых условиях экстремума (формулировка и доказательство).
4.2. Лемма Дюбуа-Реймона (формулировка и доказательство).
4.3. Задача Больца с граничными условиями. Вывод необходимых условий экстремума. Анализ необходимых условий экстремума. Особенности условий трансверсальности для различных видов граничных условий.
4.4. Простейшая векторная задача с закрепленными концами. Необходимые условия экстремума.
4.5. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия в простейшей задаче КВИ. Лемма о представлении первой и второй вариаций функционала
4.6. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия в простейшей задаче классического вариационного исчисления. Условия Лежандра и Якоби (одномерный случай).
4.7. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия в простейшей векторной задаче. Условия Лежандра и Якоби (многомерный случай).
4.8. Теорема о необходимых условиях слабого минимума и достаточных условиях сильного минимума в простейшей задаче КВИ (без доказательства).
4.9. Теорема о достаточных условиях слабого минимума в простейшей задаче КВИ (без доказательства).
4.10. Задача Лагранжа. Общая постановка задачи и ее место в общей структуре экстремальных задач КВИ и ОУ.
4.11. Задача Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума (формулировка). Развернутое представление необходимых условий.
4.12. Задача Лагранжа. Алгоритмический смысл необходимых условий экстремума.
4.13. Задача Лагранжа как экстремальная задача с ограничениями вида равенств конечномерного и произвольного характера. Схема доказательства теоремы о необходимых условиях экстремума.
4.14. Задача Лагранжа с ограничениями вида равенств и неравенств, задаваемых интегрально-терминальными функционалами (обобщенная задача Лагранжа). Теорема о необходимых условиях экстремума (без доказательства).
5.1. Общая характеристика проблемы оптимального управления. Различные постановки задач оптимального управления. История развития теории оптимального управления.
5.2. Принцип максимума Понтрягина. Гамильтонова форма принципа максимума (без доказательства).
5.3. Принцип максимума Понтрягина. Лагранжева форма принципа максимума (без доказательства).
5.4. Эквивалентность двух форм принципа максимума - гамильтоновой и лагранжевой (доказательство).
5.5. Основные особенности принципа максимума и его значение для решения задач оптимального управления. Принцип максимума как реализация общего принципа Лагранжа для экстремальных задач с ограничениями.
5.6. Алгоритмический смысл необходимых условий в форме принципа максимума.
5.7. Принцип максимума Понтрягина в задаче со свободным правым концом и закрепленным временем при наличии терминального члена в целевом функционале. Специальный случай необходимых условий экстремума.
5.8. Задача оптимального управления при наличии ограничений вида равенств и неравенств, задаваемых.смешанными интегрально-терминальными функционалами. Теорема о необходимых условиях экстремум в форме принципа максимума (без доказательства). Различные варианты представления необходимых условий.
2.9. Принцип максимума и классическое вариационное исчисление. Уравнение Эйлера, условие Вейерштрасса.
2.10. Принцип оптимальности Беллмана. Общая формулировка, основные особенности. Общая схема применения метода динамического программирования в задачах оптимизации.
5.11. Метод динамического программирования в задаче оптимального управления с дискретным временем. Уравнения Беллмана. Теорема об оптимальном управляемом процессе. Доказательство, основанное на принципе Беллмана.
5.12. Взаимосвязь и особенности применения принципа максимума Понтрягина и принципа оптимальности Беллмана в задачах оптимального управления.
5.13. Пример применения принципа максимума Понтрягина. Задача об оптимальном быстродействии. Общая характеристика проблемы. Математическая постановка задачи. Необходимые условия экстремума в форме принципа максимума. Структура оптимальных управлений. Фазовые траектории, соответствующие оптимальным управлениям. Определение точек переключения оптимального управления и оптимального значения целевого функционала.