Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
Российский государственный профессионально-педагогический университет
Инженерно-педагогический институт
Кафедра высшей математики
4123
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для выполнения контрольной работы
по дисциплине "ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ"
для студентов заочного обучения
специальности 060100 – Экономическая теория
Екатеринбург 2005
Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине "Общая теория статистики" для студентов заочного обучения. - Екатеринбург: Изд-во Росс. гос. проф.-пед. ун-та, 2005. - с.
Составитель: канд. физ.- мат. наук, доцент Шитиков А.В.
Одобрены на заседании кафедры высшей математики.
Протокол № 8 от "20" апреля 2004 г.
Заведующий кафедрой Л.С. Чебыкин
Рекомендованы к печати методической комиссией машиностроительного факультета ИПИ РГППУ.
Протокол № 9 от 16 мая 2005 года.
Председатель методической
комиссии МСФ В.П. Подогов
© Российский государственный
профессионально-педагогический
университет, 2005
Введение
Данные методические указания предназначены в помощь студентам заочного обучения специальности 060100 (Экономическая теория) при самостоятельном выполнении контрольной работы по дисциплине "Общая теория статистики".
Содержание методических указаний разбито на 5 разделов, по числу задач в задании контрольной работы.
В каждом разделе рассматривается типовая задача по соответствующей теме. Дается развернутое решение задачи, сопровождаемое исчерпывающими объяснениями. По ходу решения приводятся краткие теоретические сведения (методы, формулы, критерии), на которые опирается решение рассматриваемой задачи.
Решение типовых задач
1. Группировка статистических данных.
Задача 1.
По промышленным предприятиям города имеются следующие данные за отчетный год:
|
№ |
Объем продукции, млн.руб. |
Среднегодовая стоимость основных средств, млн.руб. |
Среднесписочное число работников, чел. |
Прибыль, млн.руб. |
|
1 |
478,0 |
19,1 |
1415 |
112,2 |
|
2 |
207,3 |
9,6 |
813 |
30,2 |
|
3 |
194,4 |
8,9 |
852 |
30,4 |
|
4 |
462,3 |
18,3 |
1409 |
97,3 |
|
5 |
207,1 |
10,1 |
896 |
33,2 |
|
6 |
196,5 |
10,0 |
900 |
13,4 |
|
7 |
290,2 |
13,5 |
1195 |
49,3 |
|
8 |
356,6 |
14,0 |
1284 |
62,8 |
|
9 |
422,3 |
17,4 |
1359 |
104,6 |
|
10 |
590,0 |
22,7 |
1490 |
134,6 |
|
11 |
581,0 |
21,8 |
1392 |
138,9 |
|
12 |
297,3 |
12,8 |
1202 |
44,5 |
|
13 |
462,4 |
19,5 |
1378 |
111,6 |
|
14 |
582,3 |
22,1 |
1482 |
143,2 |
Требуется выполнить группировку предприятий по объему продукции, приняв следующие интервалы:
1)до 200 млн.руб.; 2) от 200 до 400 млн.руб.; 3) от 400 млн.руб. и более.
По каждой группе и в целом по всем предприятиям определить:
– число предприятий;
– среднесписочное число работников;
– среднегодовую стоимость основных средств;
– объем продукции всего; средний объем продукции на одного работника; средний объем продукции на 1 млн.руб. стоимости основных средств;
– прибыль всего; среднюю прибыль на одного работника; среднюю прибыль на 1 млн.руб. стоимости основных средств.
Сделать вывод.
Для удобства вычислений заполняем сначала вспомогательную таблицу.
|
Группы предприятий по объему продукции млн.руб. |
Объем продукции, млн.руб. |
Среднегодовая стоимость основных средств, млн.руб. |
Среднесписочное число работников, чел. |
Прибыль, млн.руб. |
|
до 200 |
194,4; 196,5; |
8,9; 10,0; |
852; 900; |
30,4; 13,4; |
|
от 200 до 400 |
207,3; 207,1; 290,2; 356,6; 297,3; |
9,6; 10,1; 13,5; 14,0;12,8; |
813;896; 1195; 1284; 1202; |
30,2; 33,2; 49,3; 62,8; 44,5; |
|
более 400 |
478,0; 462,3; 422,3; 590,0; 581,0; 462,4; 582,3; |
19,1; 18,3; 17,4; 22,7; 21,8; 19,5; 22,1; |
1415; 1409; 1359; 1490; 1392; 1378; 1482; |
112,2; 97,3; 104,6; 134,6; 138,9; 111,6; 143,2; |
Результаты группировки приведены в следующей аналитической таблице.
|
Группы предприятий по объему продукции млн.руб. |
Число предприятий в группе |
Среднесписочное число работников, чел. |
Среднегодовая стоимость основных средств млн.руб. |
Объем продукции |
Прибыль |
||||
|
Всего млн. руб. |
В среднем на 1-го работника тыс.руб |
В среднемн на 1 млн. руб основных средств |
Всего млн. руб. |
В среднем на 1-го работника тыс. руб |
В среднем на 1 млн. руб. основных средств |
||||
|
до 200 |
2 |
1752 |
18,9 |
390,9 |
223,1 |
20,68 |
43,8 |
25,0 |
2,317 |
|
от 200 до 400 |
5 |
5390 |
60,0 |
1358,5 |
252,04 |
22,64 |
220 |
40,82 |
3,67 |
|
более 400 |
7 |
9925 |
140,9 |
3578,3 |
360,53 |
25,40 |
842,4 |
84,88 |
5,98 |
|
Итого по всем группам |
14 |
17067 |
219,8 |
5327,7 |
312,16 |
24,24 |
1106,2 |
64,82 |
5,03 |
Значения показателей объема продукции, прибыли, среднегодовой стоимости основных средств и среднесписочного числа работников по каждой группе и по всем предприятиям получаются суммированием соответствующих значений по каждому предприятию из вспомогательной таблицы.
Средние показатели объема продукции и прибыли на одного работника рассчитаны делением соответствующих суммарных показателей на число работников по группе (или по всем предприятиям). Аналогично рассчитаны средние показатели объема продукции и прибыли на один млн.руб. основных средств.
По результатам группировки, приведенной в аналитической таблице, можно сделать следующие выводы.
По объему продукции предприятия разделены на мелкие, средние и крупные. Доля мелких предприятий значительно ниже, чем доля средних и крупных.
Значение объема продукции в среднем на одного работника возрастает от мелких предприятий к крупным (I гр. – 223,1 тыс.руб., II гр. – 252,04 тыс. руб., III гр. – 360,53 тыс.руб.).
Еще более значительно растет прибыль на одного работника (I гр. – 25 тыс.руб., II гр. – 40,82 тыс. руб., III гр. – 84,88 тыс.руб.). На крупных предприятиях прибыль на одного работника в 3,4 раза выше, чем на мелких, и в два с лишним раза выше, чем на средних.
Аналогичная картина наблюдается и при сравнении объема продукции и прибыли в среднем на 1 млн.руб. основных средств. Так для крупных предприятий эта прибыль примерно в два с половиной (5,98:2,3172,58) раза больше, чем для мелких и в 1,6 раза больше, чем для средних.
Эти данные свидетельствуют о наибольшей эффективности предприятий третьей группы.
2. Абсолютные, относительные и средние величины
Задача 2.
По каждому из трех предприятий фирмы (- порядковый номер предприятия), имеются соответствующие данные о фактическом объеме реализованной в 2000 г. продукции ( млн.руб.), о плановом задании по росту реализованной продукции на 2001 г. (, %), а также о фактическом объеме реализованной в 2001 г. продукции ( млн.руб.). Статистические данные приведены в таблице.
Требуется определить в целом по фирме:
1) размер планового задания по росту объема реализованной продукции в 2001 г;
2) процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001г.;
3) показатель динамики реализованной продукции.
|
,% |
|||
|
1 |
28,5 |
103,0 |
31 |
|
2 |
51,5 |
105,0 |
55,5 |
|
3 |
62,5 |
102,5 |
63,0 |
При решении задачи используются следующие понятия:
Относительный показатель динамики (ОПД) характеризует изменение явления во времени
ОПД= или в процентах ОПД=%,
где - базовый уровень исследуемого явления. В нашей задаче это объем реализованной продукции в 2000г; – уровень явления за одинаковые последовательные периоды времени (например, выпуск продукции по годам). ОПД иначе называются темпами роста. Они могут быть базовыми или цепными .
Относительный показатель плана (ОПП) – отношение величины показателя по плану к его фактической величине в базисном (или предшествующем) периоде.
ОПП= или ОПП=%.
Относительный показатель выполнения плана (ОПВП) – отношение фактической (отчетной) величины показателя к запланированной на тот же период времени его величине
ОПВП =
ОПД, ОПП и ОПВП связаны соотношением или ОПП·ОПВП=ОПД.
Решение задачи 2.
1. Найдем размер планового задания в целом по фирме по росту объема реализованной продукции в 2001 г., т.е. ОППф – относительный показатель плана фирмы.
Для этого найдем сначала плановое задание на 2001 г. по каждому предприятию и в целом по фирме
(млн.руб.).
Достигнутый в базисном периоде (2000г.) уровень в целом по фирме () составляет (млн.руб.)
Теперь можно найти относительный показатель плана в целом по фирме на 2001г.
ОППф=
или в процентах 103,5%.
2. Найдем процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001 г. в целом по фирме (ОПВПф). Для этого найдем фактический уровень, достигнутый в 2001 г. ()
млн.руб., тогда
ОПВПф =или 101,36%,
т.е. план перевыполнен на 1,36%.
3. Найдем относительный показатель динамики реализованной продукции в целом по фирме (ОПДф)
ОПДф= или 104,91%,
т.е. фактический рост составил 4,91%.
Проверка: ОПДф=ОППф·ОПВПф=1,035035·1,0136108=1,049123.
3. Элементы дисперсионного анализа.
Задача 3.
По каждой из трех основных рабочих профессий цеха (-порядковый номер профессии: 1-токари; 2-фрезеровщики; 3-слесари) имеются соответствующие данные о числе рабочих профессии ( чел.), о средней заработной плате (, руб.), а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы (. руб2). Статистические данные за месяц приведены в таблице.
Требуется:
1) определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха;
2) оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы;
3) определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии рабочих и влиянием других причин.
|
1 |
52 |
2650 |
2400 |
|
2 |
26 |
2780 |
3100 |
|
3 |
42 |
2420 |
730 |
Предварительные сведения.
Для характеристики величины вариации (колеблемости) признака статистической совокупности используются абсолютные и относительные показатели. В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО)
,
где - наблюдённые значения признака (варианты), – общее число вариант (объем выборки). Суммирование в этой формуле производится по всем вариантам; – среднее значение признака, – среднее значение квадрата признака
, .
Изучая только общую дисперсию интересующего исследователя признака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так и количественных, на величину признака. Это можно сделать при помощи метода группировки, когда варианты подразделяются на непересекающиеся группы по признаку-фактору. При этом, кроме общей средней по всей выборке, рассматриваются средние по отдельным группам и следующие показатели дисперсии:
1. общая дисперсия
2. межгрупповая дисперсия ,
3. внутригрупповые дисперсии ,
4. средняя внутригрупповая дисперсия .
Кратко охарактеризуем эти дисперсии.
1. Общая дисперсия учитывает влияние всех факторов, от которых зависит величина изучаемого признака
, ,
где - общая средняя по всей выборке.
2. Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:
,
здесь – внутригрупповые средние, – число вариант в -ой группе; – число групп, суммирование производится по различным группам.
3. Внутригрупповая дисперсия
отражает рассеяние значений признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а другими причинами.
4. Средняя внутригрупповая дисперсия , так же как и , характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле
.
Можно доказать, что имеет место правило сложения дисперсий
.
Отношение показывает, какую долю общей дисперсии составляет дисперсия, возникающая под влиянием группировочного фактора, т.е. позволяет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака .
При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации
%.
Его применяют также и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).
Решение задачи 3.
1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий
(руб2)
Определим среднюю зарплату по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю)
(руб.)
Находим межгрупповую дисперсию
(руб2).
Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы:
(руб2).
2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы с помощью коэффициента вариации
%%.
Так как %, то совокупность считается однородной.
3. Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена различиями в профессии на
%%.
Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на
%%.
4. Элементы корреляционного анализа.
Задача 4.
По 14-ти предприятиям городского хозяйства (- порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц ( млн.руб.) и уровне механизации труда (, %). Статистические данные приведены в таблице.
Для выявления наличия корреляционной связи между объемом продукции и уровнем механизации труда требуется:
1) измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента корреляции рангов Спирмена;
2) проверить его достоверность на уровне значимости ;
3) построить аналитическую таблицу и дать графическое изображение линии связи.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
98 |
89 |
109 |
110 |
91 |
90 |
65 |
99 |
105 |
101 |
91 |
90 |
77 |
90 |
|
|
94 |
63 |
92 |
63 |
98 |
99 |
95 |
69 |
84 |
89 |
99 |
97 |
94 |
98 |
С помощью выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена оценивается теснота связи между двумя качественными переменными и . Этот коэффициент применяется и в случае количественных переменных, если заранее не гарантируется нормальность распределения двумерной случайной величины .
Выборочный коэффициент служит точечной оценкой генерального коэффициента ранговой корреляции . Коэффициенты и изменяются от минус единицы до плюс единицы. Чем ближе к 1, тем теснее связь между переменными и .
1. Для того, чтобы вычислить коэффициент ранговой корреляции , нужно сначала провести ранжировку объектов и получить две согласованные последовательности рангов.
Расположим наблюдаемые пары в порядке невозрастания качества по показателю :
|
99 |
99 |
98 |
98 |
97 |
95 |
94 |
94 |
92 |
89 |
84 |
69 |
63 |
63 |
|
|
90 |
91 |
91 |
90 |
90 |
65 |
98 |
77 |
109 |
101 |
105 |
99 |
89 |
110 |
Затем пронумеруем объекты (числа) в каждой из строк в порядке неубывания. Рангом объекта называется его номер в ранжировке. Получим следующую таблицу:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
14 |
6 |
13 |
2 |
4 |
3 |
5 |
12 |
1 |
В первой ранжировке обведены группы объектов, имеющих одинаковое качество по переменной ; во второй ранжировке единообразно отмечены объекты, имеющие одинаковое качество по переменной .
Далее объектам одинакового качества присваиваем средние ранги (средние арифметические порядковых номеров этих объектов). В результате получим две согласованные последовательности рангов:
|
1,5 |
1,5 |
3,5 |
3,5 |
5 |
6 |
7,5 |
7,5 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13,5 |
14,5 |
|
|
10 |
7,5 |
7,5 |
10 |
10 |
14 |
6 |
13 |
2 |
4 |
3 |
5 |
12 |
1 |
|
|
-8,5 |
-6 |
-4 |
-6,5 |
-5 |
-8 |
1,5 |
-5,5 |
7 |
6 |
8 |
7 |
1,5 |
13,5 |
В последней строке записаны разности рангов .
Найдем сумму квадратов разностей рангов: и по известной формуле вычислим выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
.
2) Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена на заданном уровне значимости выдвигается гипотеза об отсутствии ранговой корреляционной связи:
.
Для проверки выдвинутой гипотезы используется статистика Стьюдента
,
где – число пар в выборке.
При условии справедливости гипотезы случайная величина имеет известное -распределение Стьюдента с степенями свободы.
Зная , вычисляем наблюдаемое значение статистики Стьюдента:
и число степеней свободы .
По таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторонней критической области находим критическую точку статистики Стьюдента (см. например [4]),
.
Критерий проверки:
1. Если , то гипотеза сохраняется (ранговая корреляционная связь практически отсутствует);
2. Если , то гипотеза отвергается (существует значимая корреляционная связь между переменными и ).
В нашем случае , поэтому в соответствие с критерием проверки заключаем, что незначимо отличается от нуля, т.е. ранговая корреляционная связь практически отсутствует.
5. Прогнозирование на основе сглаженного временного ряда
Задача 5.
Динамика удельного расхода условного топлива на производство теплоэнергии (, кг/Гкал) на ТЭЦ по годам представлена в таблице.
Требуется:
1) произвести сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней;
2) выровнять ряд по прямой – т.е. оценить параметры линейного тренда методом наименьших квадратов;
3) начертить графики первичного и сглаженных рядов;
4) на уровне значимости проверить согласованность линейной трендовой модели с результатами наблюдений;
5) методом экстраполяции найти точечные и интервальные (с доверительной вероятностью ) оценки прогноза экономического показателя на 2002 и 2003г.г.
|
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
||
|
169,2 |
168,1 |
168,6 |
168,4 |
167,9 |
167,6 |
167,8 |
166,9 |
167,1 |
Временным рядом называется последовательность значений (уровней) некоторого экономического показателя , расположенных в порядке возрастания времени. Уровни ряда должны отражать значения экономического показателя за одинаковые или через одинаковые промежутки времени.
Одной из важнейших задач исследования временного ряда является задача выявления основной тенденции развития (тренда) изучаемого процесса.
Решение этой задачи необходимо для прогнозирования. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.
Наиболее простыми и часто применяемыми способами выявления основной тенденции развития являются сглаживание временного ряда методом скользящей средней или выравнивание по прямой методом наименьших квадратов.
1) Метод скользящей средней основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени "скользит" вдоль ряда, получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд.
Для нашего примера скользящие средние находим по формуле
, .
Например, при
,
при .
По результатам получим сглаженный ряд:
|
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
2001 |
|
|
- |
168,6 |
168,4 |
168,3 |
168,0 |
167,8 |
167,8 |
167,3 |
- |
2) По статистическим данным найдем оценки и параметров линейного тренда методом наименьших квадратов. Для этого применим известные формулы [1]:
, ,
где , , , ,
, .
Здесь и в дальнейшем – номер уровня ряда: 1993 г. соответствует номер 1, …2001 году – номер 9.
Вычисление средних значений организуем в форме расчетной таблицы.
|
1 |
169,2 |
1 |
28628,64 |
169,2 |
|
|
2 |
168,1 |
4 |
28257,61 |
336,2 |
|
|
3 |
168,6 |
9 |
28425,96 |
505,8 |
|
|
4 |
168,4 |
16 |
28358,56 |
673,6 |
|
|
5 |
167,9 |
25 |
28190,41 |
839,5 |
|
|
6 |
167,6 |
36 |
28089,76 |
1005,6 |
|
|
7 |
167,8 |
49 |
28156,84 |
1174,6 |
|
|
8 |
166,9 |
64 |
27855,61 |
1335,2 |
|
|
9 |
167,1 |
81 |
27922,41 |
1503,9 |
|
|
45 |
1511,6 |
285 |
253885,8 |
7543,6 |
|
|
5 |
167,955 |
31,67 |
28209,53 |
838,18 |
|
; ;
; .
Таким образом искомые оценки параметров линейного тренда равны:
, . Уравнение линейного тренда имеет вид:
.
3) На рисунке цифрой (1) отмечен первичный ряд, цифрой (2) – скользящая трехлетняя средняя, цифрой (3) помечен ряд, выровненный по прямой.
4) Проверка согласованности линейной трендовой модели с результатами наблюдений выполняется как решение задачи проверки статистической гипотезы об отсутствии линейной статистической связи переменных и на заданном уровне значимости . Для проверки гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера с и степенями свободы.
В рассматриваемом случае , , .
Критическое значение статистики Фишера равно
.
Так как , то выдвинутая гипотеза отвергается, что свидетельствует о согласии линейной трендовой модели с результатами наблюдений.
5) По полученному уравнению линейного тренда найдем точечные (индивидуальные) прогнозы показателя на 2002 и 2003 г.г.
Для 2002г.
.
Для 2003г.
.
Дать интервальную оценку тренда – значит указать границы интервала, в который попадет возможное значение переменной с заданной доверительной вероятностью (в нашем примере ).
Этот интервал определяется по известным формулам [3]
,
где - точность прогноза ,
здесь - число степеней свободы, , ищется по таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторонней критической области (см., например [4]); в нашем случае ; ;
. (Можно воспользоваться так же таблицами [3]).
- исправленное среднеквадратическое отклонение (С.К.О.) индивидуальных значений зависимой переменной
.
Из этой формулы видно, чем больше , тем меньше точность прогноза.
- исправленное С.К.О. ошибок линейной регрессии
.
Вычисление доверительных интервалов прогнозов организуем в виде таблицы
|
1 |
169,2 |
168,9266 |
0,2734 |
0,07475 |
|
2 |
168,1 |
168,6837 |
-0,5837 |
0,34071 |
|
3 |
168,6 |
168,4408 |
0,1592 |
0,02534 |
|
4 |
168,4 |
168,1979 |
0,2021 |
0,04084 |
|
5 |
167,9 |
167,9550 |
-0,055 |
0,00303 |
|
6 |
167,6 |
167,7121 |
-0,1121 |
0,01257 |
|
7 |
167,8 |
167,4692 |
0,3308 |
0,10943 |
|
8 |
166,9 |
167,2263 |
-0,3263 |
0,10647 |
|
9 |
167,1 |
166,9834 |
0,1166 |
0,01360 |
|
– |
– |
– |
0,72674 |
.
Дальнейшие вычисления проводим отдельно для (2002 г.) и (2003 г.)
Для
.
,
.
Итак, с вероятностью , удельный расход условного топлива в 2002 г. будет принадлежать интервалу (кг/Гкал)
.
Аналогично для 2003 г. , получим
;
,
,
, .
Рекомендуемая литература
1. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.:ИНФРА-М, 2001. – 416 с.
2. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 280 с.
3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. школа, 1972. – 368 с.
5. Сборник задач по математике для вузов. Специальные курсы. / Под ред. А.В. Ефимова. – М.: Наука, 1984. – 608 с.
Подписано в печать 06.06.2005. Формат 60х84/16. Бумага для множ.аппаратов.
Печать плоская. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л.1,1. Тираж 150 экз. Заказ № 333-р.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-
Ризограф РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11