Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).
Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z0 | < R,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)
Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z0; в частности,
- окружность
Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лоранафункции f(z).
Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или
Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где
r - радиус контура интегрирования в формуле (2).
На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функцииf(z) - его суммы.
Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z0 (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z0 = 0, ).
При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.
Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида
Этот ряд понимается как сумма двух рядов:
При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.
Для сходимости ряда Лорана надо, чтобы сходилась и его правильная часть, и его главная часть. Это приводит к тому, что область сходимости ряда Лорана является кольцом (см. рис. 11.2).
Рис. 11.2 Область сходимости ряда Лорана
Радиусы сходимости этого кольца выражаются формулами
.
Заметим, что если , но в ряде Лорана есть главная часть, то он сходится в области , которая называется «круг с выколотым центром», так как в точке z = a ряд расходится.