Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 5
Занятие 5. Метод Гаусса решения линейных алгебраических систем.
Приведение системы к треугольному виду.
Выделение свободных и базисных неизвестных.
Получение общего решения системы или вывода о несовместности системы.
Изучаемый ниже метод Гаусса решения линейных алгебраических систем
(1)
является универсальным и предоставляет возможность полностью исследовать любую линейную систему. Он показывает, совместна или несовместна заданная система и в случае ее совместности позволяет найти ее общее решение. Напомним, что общим решением системы называется множество всех ее решений.
Основная идея метод Гаусса состоит в том, чтобы решение исходной системы уравнений свести к решению более простой системы. Сформулируем определения и элементарные операции, составляющие основу метода Гаусса.
. Две линейные системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.
. Над системой можно проводить следующие элементарные операции, переводящие заданную систему в эквивалентную ей систему.
1) В системе можно поменять местами любые два уравнения.
2) В системе, во всех ее уравнениях сразу, можно поменять местами слагаемые с любыми двумя выбранными неизвестными.
3) Любое уравнение системы можно умножить на число, отличное от нуля.
4) К любому уравнению системы можно прибавить любое другое уравнение (этой же системы), умноженное на некоторое число.
Далее, эквивалентные системы будем соединять значком ~ .
Пример 1. Дана система уравнений .
1. Поменяв в заданной системе местами 2-е и 3-е уравнения, получим эквивалентную ей систему, т.е.
.
2. Поменяв в заданной системе (во всех уравнениях сразу) местами слагаемые с неизвестными , получим эквивалентную систему, т.е.
.
3. Умножив 3-е уравнение заданной системы на число (-0.5), получим эквивалентную систему, т.е.
.
4. Прибавим к первому уравнению заданной системы второе уравнение, умноженное на (-2), получим новую эквивалентную систему.
.
В примере 1 к заданной системе применены бессистемные элементарные произведения, не преследующие каких-либо целей. В противоположность им, метод Гаусса – целенаправленная последовательность элементарных преобразований, приводящих в итоге линейную систему (1) к системе треугольного вида:
, (2)
в которой все первые коэффициенты отличны от нуля. В этой системе неизвестные , связанные с коэффициентами , называются базисными, а оставшиеся неизвестные - свободными.
В процессе элементарных преобразований системы некоторые уравнения системы могут перейти в равенства 0=0. Появление таких равенств означает, что исходная система содержит «лишние» уравнения, которые являются следствиями других уравнений системы. В этом случае равенства 0=0 отбрасываются. Число уравнений системы при этом уменьшается. Поэтому число уравнений системы (2) может оказаться меньше числа уравнений исходной системы (3).
Если в ходе проведения метода Гаусса появляются невыполнимые равенства типа и т.д., то исследуемая линейная система несовместна.
Еще один совет: элементарные преобразования системы будут выполняться проще, если с помощью этих преобразований добиваться, чтобы коэффициенты , становились равными или .
Общее решение системы (2) находится так: свободным неизвестным присваивают произвольные числовые значения; затем, последовательно двигаясь от последнего уравнения системы (2) вверх к первому уравнению, определяют базисные неизвестные в порядке .
Приведем конкретные примеры применения метода Гаусса к линейным системам
Пример 2. Найти общее решение системы .
Решение. Применим метод Гаусса.
1. Поменяем местами первое и второе уравнения, получим эквивалентную систему
.
2. С помощью первого уравнения исключим неизвестную из второго и третьего уравнений системы . Для этого:
а) прибавим во 2-му уравнению 1-е уравнение, умноженное на число ;
б) к 3-му уравнению прибавим 1-е уравнение.
В результате получим систему
.
3. Два последних уравнения системы образуют подсистему, независящую от неизвестной .
Чтобы упростить последующие преобразования сделаем коэффициент , равным . Для этого вычтем из 2-го уравнения 3-е уравнение (т.е. прибавим ко 2-му уравнению 3-е уравнение, умноженное на число ). После этой операции получим систему
.
4. Теперь, в системе с помощью 2-го уравнения исключим неизвестную из 3-го уравнения. Для этого прибавим к 3-му уравнению 2-е уравнение, умноженное на число .
В итоге получим систему треугольного вида
.
В ней - базисные неизвестные, - свободная неизвестная.
5. Теперь из системы найдем общее решение. Положим , где - произвольное действительное число. Из 3-го уравнения находим .
Для облегчения последующих вычислений положим , где , как и , принимает произвольные действительные значения. Тогда .
Из 2-го уравнения находим .
Наконец, из 1-го уравнения находим .
Таким образом, получен следующий результат: система совместна, и ее общее решение представимо в виде
, , , , где .
Проведем проверку. Для этого подставим найденные выражения неизвестных во все уравнения исходной системы (3).
.
Проверка подтвердила истинность решения .
Обычно для сокращения записей метод Гаусса проводят на расширенных матрицах системы. Расширенной матрицей системы называют матрицу , где - матрица системы, - вектор столбец свободных членов. Для системы (1) расширенная матрица запишется так:
.
1). Операция «перестановка уравнений системы» означает перестановку соответствующих строк расширенной матрицы.
2). Операция «перестановка поменять местами слагаемых с двумя выбранными неизвестными» означает перестановку соответствующих столбцов матрицы .
3). Операция «умножение уравнения на число, отличное от нуля» означает умножение на это число соответствующей строки расширенной матрицы.
4). Операция «прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на число» означает аналогичную операцию над строками расширенной матрицы.
Изложение метода Гаусса в примере 2 с применением расширенных матриц запишется в виде.
~ ~
~ ~ ~ система .
Внизу, справа под матрицами указаны выполняемые над системой элементарные операции, выполненные над системой:
1. Переставили местами 1-е и 2-е уравнения.
2. Прибавили ко 2-му уравнению 1-е, умноженное на число ().
Прибавили к 3-му уравнению 1-е.
3. Прибавили ко 2-му уравнению 3-е, умноженное на число ().
4. Прибавили к 3-му уравнению 2-е, умноженное на число ().
Далее находится общее решение системы (см пункт 5. решения примера 2).
Пример 3. Найти методом Гаусса общее решение системы
Решение проведем с использованием расширенных матриц.
~ ~ ~
1. Переставили местами 1-ю и 3-ю строки.
2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на число 2.
Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на число ().
Прибавили к 4-й строке 1-ю строку, умноженную на число ().
Прибавили к 5-й строке 1-ю строку, умноженную на число ().
3. Прибавили 2-ю строку к 3-й строке.
Прибавили 2-ю строку к 4-й строке.
~ ~ ~
4. Прибавили к 5-й строке 4-ю строку, умноженную на число ().
5. Отбросили 3-ю и 5-ю нулевые строки (они эквивалентны равенству ).
Переставили местами 3-й и 4-й столбцы и над столбцами написали соответствующие
неизвестные.
- система треугольного вида.
свободные неизвестные, базисные неизвестные.
Положим , где . Из 3-го, 2-го, 1-го уравнений системы последовательно находим неизвестные .
.
Ответ. Система совместна, и ее общее решение представимо в виде
, где .
Пример 4. Найти методом Гаусса общее решение системы .
Решение.
~ ~ ~
~ .
1. Прибавили 2-ю строку к 1-й строке.
2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на 2.
Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на ().
3. Прибавили к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 2.
Наличие в полученной системе невыполнимого равенства означает несовместность заданной системы уравнений.
___________________________________________________________________________________
Домашнее задание.
Решить методом Гаусса следующие системы (или доказать несовместность):
1) ; 2) .