Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольные вопросы 6
Слушатель: Жумабекова М
1. Чем характеризуется нормальное распределение?
2. Что показывает площадь под кривой нормального распределения?
3. Как определяется число степеней свободы в стандартных распределениях (нормальное распределение, распределение (хи-квадрат), Стьюдента (t-распределение), распределение Фишера (F-распределение)?
4. Как работать с таблицами перечисленных распределений (определять значения необходимых значений)?
1. Чем характеризуется нормальное распределение?
Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами - значениями среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).
µ - Математическое ожидание
σ - Стандартное отклонение
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.
Здесь по оси абсцисс откладываются численные значения случайной величины, а по оси ординат так называемую плотность вероятности этих величин.
Чтобы определить вероятность попадания измеряемого численного значения в какой-либо интервал, надо умножить ширину этого участка на соответствующую ему плотность вероятности. Естественно, надо брать участок очень маленький, когда плотность вероятности практически не меняется. Площадь под графиком всей функции равна 1.
|
Параметры |
- коэффициент сдвига(вещественное число) |
|
Носитель |
|
|
Плотность вероятности |
|
|
Функция распределения |
|
|
Математическое ожидание |
|
|
Медиана |
|
|
Мода |
|
|
Дисперсия |
|
|
Коэффициент асимметрии |
0 |
|
Коэффициент эксцесса |
|
|
Информационная энтропия |
|
|
Производящая функция моментов |
|
|
Характеристическая функция |
Пример нормального распределения
Струйный принтер при печати оставляет маленькие кляксы чернил на бумаге. Если предположить, что все кляксы имеют ровные края, то плотность чернил будет распределена по нормальному закону.
Доказательство
Центральная предельная теорема гласит: "Если X1, ..., Xn - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание и дисперсию, то при n ® Ґ закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному". Поэтому если в качестве X1, ..., Xn взять молекулы чернил, то их сумма (то есть плотность чернил или интенсивность печати в пределах кляксы) будет распределена по нормальному закону.
2. Что показывает площадь под кривой нормального распределения?
Кривая нормального распределения полностью задана, если известно среднее значение Хср. и отклонение s.
Кривая нормального распределения (далее – КНР) – это теоретическая модель, представляющая собой абсолютно симметричное и гладкое распределение частот. Она имеет форму колокола и одну вершину, а ее концы уходят в бесконечность в обоих направлениях.
Главнейшим свойством КНР является то, что расстояние по абсциссе распределения (горизонтальная ось), измеренная в единицах стандартного отклонения от среднего арифметического распределения, всегда дает одинаковую общую площадь под кривой: между ±1 стандартным отклонением находится 68,26% площади, между ±2 стандартными отклонениями – 95,44% площади, между ±3 стандартными отклонениями – 99,72% площади.
Для вычисления других значений вероятности, которые могут Вам понадобиться, можно воспользоваться приведенной таблицей:
Таблица вероятности попадания случайной величины в отмеченный
(заштрихованный) диапазон
3. Как определяется число степеней свободы в cтандартных распределениях (нормальное распределение, распределение (хи-квадрат), Стьюдента (t-распределение), распределение Фишера (F-распределение)?
Количество степеней свободы — это количество значений в итоговом вычислении статистики, способных варьироваться. Иными словами, количество степеней свободы показывает размерность вектора из случайных величин, количество «свободных» величин, необходимых для того, чтобы полностью определить вектор.
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение N[0,1] с параметрами m=0, σ=1, р-Квантиль нормального распределения обозначается uр. Обычно в приложениях для отыскания uр используются таблицы значений функции Лапласа:
Функция Лапласа связана с функцией распределения стандартной нормальной СВ равенством: F(u)=Ф(u)+0,5
Если р>0,5, то, используя таблицы функции Лапласа, находим квантиль uр из равенства Ф(uр)=р-0,5.
Например, найдем u0,95. Из таблиц имеем Ф(1,64)=0,4495, Ф(1,65)=0,4505. Полагаем Ф(1,645)=0,45=0,95-0,5, т. е. u0,95=1,645. Если же р<0,5, то 1-р>0,5. Находим u1-р. Тогда uр=-u1-р.
Пример. Найти u0,05. Тогда 1-0,05=0,95; u0,95=1,645. Значит, u0,05=-1,645.
Замечание. Если в приложениях даются таблицы функции F(u)= √ ∫ , то тогда сразу по заданному уровню р находим uр.
Если Xi независимые случайные величины, подчиненные нормальному распределению, у которых математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратичное отклонение равно единице, то случайная величина подчиняется распределению c2 (хи-квадрат) с k степенями свободы.
|
Область x |
0 Ј x < Ґ |
|
Параметры |
k - параметр формы |
|
Плотность (функция вероятности) |
|
|
Математическое ожидание |
k |
|
Дисперсия |
2k |
Пусть фирма выпустила новый процессор. Предположим, что каждые два года цена на этот процессор падает на 10%. Тогда количество таких процессоров, которые можно купить на фиксированную сумму может быть описано с помощью распределения хи-квадрат.
Доказательство
Обозначим фиксированную сумму через Z. Пусть S - стартовая цена процессора. Тогда по прошествии n лет он будет стоить . Преобразуем полученное выражение: . Введем новую переменную: x = n ґ ln 0.9. Получим следующую формулу: . Количество процессоров, которые можно купить на фиксированную сумму, равно . Если закрыть глаза на коэффициенты, то полученная формула соответствует формуле плотности для распределения хи-квадрат при k = 2.
Если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение (), случайная величина имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы () и и независимы (их корреляция равна нулю), то случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы ():
Если случайная величина имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, а случайная величина имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, то случайная величина имеет распределение Фишера —Снедекора с и степенями свободы ():
4. Как работать с таблицами перечисленных распределений (определять значения необходимых значений)?
Работа с таблицами стандартизированного нормального распределения
При проведении статистического анализа весьма часто используется таблица значений функции Лапласа.
t 2
Ф(u) = 1 ∫u e− 2 dt = P(0 ≤ U < u) = F(u) – 0.5,
2р 0
определяющей вероятность попадания СВ U в интервал [0,u).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В левом столбце таблицы приведены значения CВ U c точностью до десятых, в верхней строке приведены сотые доли U (значения U в данном случае определяются с точностью до сотых). Значение Ф(u) определяется на пересечении соответствующих данному значению u строки и столбца (в данном случае Ф(u) дается с точностью до четвер-того знака после запятой). Например , Ф(0.17) = 0.0675, т. е. P( 0 ≤ U < 0.17 ) = 0.0675. Суть функции Лапласа Ф(u) и ее связь с функцией распределения F(u) стандартизированной нормальной СВ представлена на рис. 1.10.
f(u)
U = x − m
у
F(u) = 0,5 + Ф(u)
0,5 – Ф(u)
Отметим, что каждое значение F(u) больше соответствующего значения Ф(u) ровно на 0.5. Поэтому ее таблицы имеют аналогичный вид.
Таблицы распределения Стьюдента (2 варианта).
Таблица 1 - Распределение Стьюдента fk(t)
В следующей таблице приведены значения функции распределения Стьюдента Fk(t) с k степенями свободы для некоторых значений аргумента t в диапазоне от 0 до 20. Например, F2(0.6) = 0.695. Для отрицательных значений t можно вычислить значение функции по формуле Fk(-t) = 1 - Fk(t). Например, F20(-3.5) = 1 - F20(3.3) = 1 - 0.999 = 0.001.
Таблица 2 - Распределение Стьюдента fk(t)
Работа с таблицами χ2-распределения
Таблица критических точек χ2-распределения имеет вид:
|
α |
… |
.975 |
.950 |
.900 |
… |
.100 |
.050 |
.025 |
… |
|
ν |
|||||||||
|
1 |
… |
10-5 |
4⋅10-4 |
.016 |
… |
2.71 |
3.84 |
5.02 |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
10 |
… |
3.25 |
3.94 |
4.87 |
… |
15.99 |
18.31 |
20.48 |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
30 |
… |
16.79 |
18.49 |
20.60 |
… |
40.26 |
43.77 |
46.98 |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
В данной таблице в левом столбце приведены различные числа степеней свободы ν. В верхней строчке указаны вероятности (уровни значимости) α попадания рассматриваемой величины в “правый хвост” распределения χ2 (рис. 1.12, а). Критическая точка ч2б, н отыскивается на пересечении столбца с заданной вероятностью α и строки, соответствующей числу степеней свободы ν. Например, ч02.25; 10 =20.48. Другими словами, P( ч102 > 20.48) = 0.025.
Работа с таблицами F-распределения Фишера
Таблицы критических точек распределения Фишера обычно при-водятся для различных значений вероятности (уровня значимости) α попадания в “хвост” распределения (в приложении 4 α = 0.10; α = = 0.05; α = 0.01). Например, для α = 0.05 таблица имеет вид:
|
ν1 ν2 |
1 |
… |
10 |
… |
100 |
… |
∞ |
|
1 |
161 |
… |
242 |
… |
253 |
… |
254 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
10 |
4.96 |
… |
2.98 |
… |
2.59 |
… |
2.54 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
100 |
3.94 |
… |
1.92 |
… |
1.39 |
… |
1.28 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
∞ |
3.84 |
… |
1.83 |
… |
1.24 |
… |
1.00 |
На пересечении столбца и строки, соответствующих требуемым числам степеней свободы ν1 = m и ν2 = n, находится критическая точка Fα,m,n. Например, F0.05; 10; 10 = 2.98 (P(F10,10 > 2.98) = 0.05).
f(F,m,n)
α
0
Fα,m,n F