Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
В этом разделе мы никак не намерены излагать всю линейную алгебру, а лишь основные элементарные понятия и методы. Предполагается, что зависимость между интересующими нас параметрами наипростейшая, т.е. линейная. Этим и обусловлено название радела.
2.1. Основные понятия и определения
2.1.1. МАТРИЦА - Совокупность (упорядоченный набор) чисел (или элементов иной природы, букв, функций и т.п.), в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, берут в круглые скобки, обозначают заглавными буквами сначала латинского алфавита и называют матрицей размера . Например,
.
Матрица называется квадратичной, если количества строк и столбцов равны (). Главной диагональю квадратичной матрицы называют диагональ, соединяющий первый элемент () матрицы с последним элементом (), т.е. северо-западный угол таблицы с юго-восточным углом.
Квадратичная матрица называется единичной (и обозначается через Е, иногда I), если ее все элементы, стоящие на главной диагонали единицы, а остальные – нули. И называется нулевой, если все элементы нули (обозначается через 0).
Две матрицы равны, если они имеют одинаковые размерности и соответствующие элементы совпадают.
2.1.2. ВЕКТОР - Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется матрица-строка или матрица-столбец. Иначе их называют векторами в виде строки или столбца и обозначают также маленькими латинскими буквами с начала алфавита. Размерность вектора это количество его элементов в строке (или в столбце), которых называют координатами вектора.
Т.е. вектор это упорядоченный набор чисел в виде строки (или столбца).
Например, В = (1; 2; -4, 7), С = или =(1;2;-4;7), = .
Вектор с нулевыми элементами есть нуль вектор, а с единичными элементами есть единичный вектор.
2.1.3. ДЕТЕРМИНАНТ (ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ) матрицы - это числовая характеристика квадратной матрицы, состоит из элементов этой матрицы, обозначается символами , , , или и вычисляется по правилам приведенным ниже.
Детерминант первого порядка (от матрицы первого порядка) есть сам единственный элемент матрицы.
Разложение по первой строке детерминанта второго порядка:
Разложение по первой строке детерминанта третьего порядка:
, = - + =
= - + .
Разложение по последней строке:
2.1.4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА существует только для квадратичных матриц и обозначается символом . По определению она должна удовлетворять следующим условиям:
; .
Матрица обратная матрице А определяется соотношением
,
где Аij алгебраическое дополнение элемента : , а называется минором элемента и есть детерминант без учета строки номер и столбца номер , т.е. получаем от вычеркиванием строки и столбца содержащие элемент .
2.1.5. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ - означает замена местами столбцов и строк данной матрицы (переворачивание матрицы 180 градусов вокруг воображаемой оси проходящей через левый верхний и правый нижний углы):
, .
2.1.6. Основные свойства векторов и матриц
1) при умножений вектора на число все элементы вектора умножаются на это число
2) для сложения двух векторов необходимо, чтобы они были одинаковой размерности. Тогда сложение двух таких векторов осуществляем сложением их соответствующих элементов (координат):
, ,
Вычитание двух векторов осуществляется аналогично.
3) Скалярное произведение двух векторов возможно, если их размерности совпадают. Тогда скалярное произведение двух векторов есть число, получаемое путем сложения попарных произведений их соответствующих элементов:
, , .
Основные свойства матриц:
1) при умножений матрицы на число все ее элементы умножаются на это число. Например,
В частности, умноженную на (-1) матрицу называют противоположной матрицей.
2) для сложения двух матриц необходимо, чтобы они были одинаковой размерности. Тогда их сложение осуществляем сложением их соответствующих элементов (координат). Аналогично определяется вычитание двух матриц.
Например,
3) умножение двух матриц возможно, если количество элементов в строке у первой совпадает с количеством элементов в столбце у второй (т.е. если количество столбцов у первой матрицы совпадает с количеством строк у второй). Чтобы возможно было умножать первую матрицу на вторую необходимо, чтобы второй индекс размерности у первой матрицы совпало c первым индексом размерности у второй матрицы.
Таких матриц называют согласованными. Тогда произведение дает матрицу размерности , каждый элемент которой получаем в результате умножения строки номер первой матрицы на столбец номер второй матрицы (умножаем строку на столбец как два вектора размерности ):
Пример Найти произведение двух согласованных матриц А и В:
Для квадратных матриц n-го порядка умножение всегда возможно.
Линейные операции над матрицами (вектор можно считать матрицей с единственным столбцом (строкой)) обладают основными свойствами действий над числами. Над матрицами можно выполнять действия, комбинируя умножение на число, сложение, вычитание.
Умножение дистрибутивно: , ,
Умножение ассоциативно: ,
В общем случае закон коммутативности (переместительности) при умножении двух матриц не выполняется: АВВА, а выполняется лишь при умножении квадратной матрицы А на единичную Е или нулевую О матрицу: АЕ=ЕА=А, АО=ОА=О.
Для квадратных матриц определено возведение матрицы в целую положительную степень: .
2.1.7. Основные свойства детерминантов
1) ,
2) при перестановке любых двух строк (столбцов) детерминант меняет знак.
3) общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак детерминанта.
4) если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то детерминант равен нулю. (это свойство вытекает из предыдущего)
5) если две сроки (столбца) детерминанта равны, то детерминант равен нулю.
6) если соответствующие элементы каких либо двух строк пропорциональны, то детерминант равен нулю.
7) если элементы какой либо строки представлены в виде суммы двух слагаемых, то детерминант представляется в виде суммы двух детерминантов:
.
8) любую строку детерминанта можно заменить с ее линейной комбинацией с другими сроками (например, если к одной строке прибавить другую строку, умноженную на произвольное число) и детерминант не изменится.
2.1.8. РАНГОМ МАТРИЦЫ А называется наибольший порядок всевозможных миноров матрицы, отличных от нуля. Обозначаю через r(A).
Всякий ненулевой минор матрицы, имеющий порядок равным рангу r(A), называется базисным минором матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы . Для упрощения внешнего вида первую строку заменим (опираясь на основное свойство детерминантов) суммой первой и третей строк и разделим на 4. Получим эквивалентную матрицу:
~ , теперь первую строку заменим новой строкой, путем вычитания соответствующих элементов первой и второй строк. Получим опять эквивалентную данной матрицу: ~ ~ ~ .
Ранг последней матрицы равен двум, так как, например, , значит r(A)=2.
Ранг матрицы не изменится от элементарных преобразований.
Под элементарными преобразованиями понимают:
2. 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С целю уменьшения объема изложения ограничимся рассмотрением максимум трех уравнений относительно трех неизвестных (это не в ущерб изложению методов решения).
Рассматривая системы трех уравнений относительно трех неизвестных необходимо учитывать, что каждое уравнение несет одну информацию о взаимосвязанности трех неизвестных и возможны следующие варианты:
- информаций противоречивы (детерминант матрицы системы D равен нулю);
- одна информация есть скрытое повторение других и тогда фактический не хватает информаций для конкретизаций одного единственного решения, т.е. система имеет бесконечное множество всевозможных решений;
- информаций не дублируют друг друга и не противоречивы, тогда детерминант системы не ноль и система имеет одно решение.
Это одно решение можно найти разными методами:
- методом Крамера;
- методом Гаусса;
- методом обратной матрицы.
2.2.1. МЕТОД КРАМЕРА решения систем линейных уравнений.
1 шаг: находим детерминант системы D, если , то переходим к следующему шагу;
2 шаг: вычисляем детерминанты неизвестного (=1,2,3), где детерминант получаем из D путем замены столбца номер в D на правый столбец из элементов правых частей уравнений.
3 шаг: вычисляем неизвестные по формуле Крамера:
, , , где знаменатель это детерминант матрицы системы линейных уравнений, а числитель детерминант отличающейся от лишь тем, что столбец номер заменен столбцом правой части уравнений ( = 1, 2, 3). Полученное решение подставляем в систему, проверяя правильность вычислений.
Пример. Решим данную систему трех уравнений методом Крамера.
== =.
,
,
.
.
Проверим полученное решение, подставляя в данную систему:
первое уравнение удовлетворено, аналогично проверяя второе и третье уравнения, убедимся в правильности полученного решения.
2.2.2. МЕТОД ГАУССА решения систем линейных уравнений (один из модификации метода Гаусса).
Расширенной матрицей данной системы называется матрица системы с правым столбцом и обозначается так
Шаг 1. Вычислить детерминант системы. Если , то система не имеет решения, а если , то выписывать коэффициенты системы в виде Гаусса, т.е. в виде:
А) с целью правомерными видоизменениями довести эту форму до окончательного вида: D) .
Шаг 2: все элементы первой строки разделить на и полученную новую строку записать в новой таблице в качестве новой первой строки. Из всех элементов второй строки вычесть соответствующие элементы новой первой строки умноженные на . Получим новую вторую строку, где вместо будет стоять 0. Из всех элементов третей строки вычесть соответствующие элементы новой первой строки умноженные на . Получим новую третью строку, где вместо будет стоять 0. Итак, получим новую таблицу:
В) ,
Для получения из вида А) вид В) использовали первую строку (в первом столбце под единицей получили нули).
Шаг 3: Для получения следующего вида С) используем вторую строку вида В) предварительно разделив все элементы на , получим новую вторую строку вида С):
0 1 /= .
Чтобы в виде С) во втором столбце над единицей второй строки получить нуль (т.е. второй элемент первой строки превратить в нуль), вычтем из элементов первой строки вида В) соответствующие элементы второй стоки вида С) умноженные на . Первая строка С) примет вид:
1 0 = .
Также в виде С) под единицей второй строки получим нуль (т.е. второй элемент третьей строки превратим в нуль), вычитая из элементов третьей строки вида В) соответствующие элементы второй стоки вида С) умноженные на , новая третья строка в С) примет вид:
0 0 =
.
Вид С):
Шаг 4: Получим новую третью строку следующего вида D), для чего превратим третий элемент третей строки в единицу, разделив все элементы на этот третий элемент . Получим новую третью строку:
0 0 1 { }/ = .
Вычитая из первой строки вида С) новую третью строку вида D) умноженную на , получим новую первую строку вида D):
1 0 0 , где
=
Так же вычитая из второй строки вида С) новую третью строку вида D) умноженную на , получим новую вторую строку вида D): 0 0 1 .
= .
Пример:
Шаг 1. Находим детерминант системы .
. Разделим первую строку на 2, из второй строки вычтем новую первую строку умноженную на 3, а из третей строки вычтем новую первую строку умноженную на 4. Получим следующую таблицу.
Шаг 2. .
Разделим вторую строку на -7, из первой строки вычтем новую вторую строку, а из третей вычтем новую вторую, умноженную на 2. Получим следующую таблицу.
Шаг 3. ,
Разделим третью строку на 40/14, к второй строке добавим новую третью строку, умноженную на 13/14 (чтобы в новой второй строке третий элемент превратить в нуль), к первой строке добавим новую третью строку, умноженную на 8/14 (чтобы в новой первой строке третий элемент превратить в нуль). Получим следующую таблицу.
Шаг 4. .
Получили , что совпадает с решением по методу Крамера.
2.2.3. МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ решения систем линейных уравнений.
(1)
Шаг 1. Найти детерминант системы. Если , то система не имеет решения. Если , то переписать систему в матричном виде. Для чего вводится обозначения:
, , .
Тогда система (1) примет вид: (2).
Шаг 2. Построить обратную матрицу:
.
Шаг 3. Найти решение в виде
.
Пример. ,
Решение:
Шаг 1. Находим детерминант системы . Перепишем систему в матричном виде
.
Шаг 2. Построим обратную матрицу. Сначала вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы :
. , .
, , ,
, , .
.
Шаг 3. Находим решение в виде:
=
, получили решение .
ПРИЛОЖЕНИЕ к первому разделу
Премии имени шведского изобретателя Альфреда Нобеля для видающихся ученых присуждаются за исключительно важные научные достижения ежегодно.
Василий Васильевич Леонтьев (05.08.1906-05.02.1999) американский экономист. В 1921 г. он поступил в Петроградский университет и сначала изучал философию и социологию, а затем экономические науки.
Одна из его первых научных статей была посвящена анализу баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924 гг., где в цифрах представлялось производство и распределение общественного продукта. Баланс явился прообразом разработанного впоследствии Леонтьевым метода «затраты-выпуск» (в СССР его назвали экономико-математическими моделями межотраслевого баланса). Предложенная Леонтьевым алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводилась к системе линейных уравнений, коэффициентами в которой были коэффициенты затрат на производство продукции. Реалистическая гипотеза и относительная простота измерений определили большие аналитические и прогностические возможности метода «затраты-выпуск».
В 1973 г. В. Леонтьев был удостоен премии Альфреда Нобеля по экономике «За развитие метода «затраты-выпуск» и его применение к важным экономическим проблемам».
Вопросы для самопроверки
Разъясните следующие понятия, вопросы; завершите предложение:
Упражнения и задачи
, , транспонированным к могут являться …
является матрица …