Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Числовые характеристики С.В. Мат.ожидание, его свойства.
Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Однако, иногда можно охарактеризовать достаточно ярко случайную величину с помощью всего одного или нескольких чисел. Например, можно указать закон распределения количества осадков выпадающих в данной местности за определенный месяц, но проще и нагляднее указать среднее количество осадков в данном месяце.
Числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин, называются числовыми характеристиками. Рассмотрим некоторые из числовых характеристик и их основные свойства.
Математическое ожидание и его свойства.
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значение на соответствующие им вероятности.
|
X |
… |
|||
|
P |
… |
Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то
называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).
Для непрерывной сл. величины, заданной функцией плотности вероятности f(x), математическое ожидание определяется в виде интеграла
при условии, что этот интеграл существует (если интеграл расходится, то говорят, что математическое ожидание не существует).
Пример 1. Определим математическое ожидание случайной величины распределённой по закону Пуассона. По определению
или обозначим
,
Значит, параметр ,определяющий закон распределения пуассоновской случайной величины равен среднему значению этой величины.
Пример 2. Для случайной величины, имеющей показательный закон распределения , математическое ожидание равно
():
(в интеграле пределы взять, с учётов того. что f(x) отлична от нуля только при положительных x).
Пример 3. Случайная величина, распределенная по закону распределения Коши, не имеет среднего значения. Действительно
Свойства математического ожидания.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.
Постоянная С принимает это значение с вероятностью единица и по определению М(С)=С×1=С
Свойство 2. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.
Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что
Под суммой двух дискретных сл. Величин понимается сл. Величина, которая принимает значения с вероятностями
По определению
Но
где вероятность события , вычисленная при условии, что . В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события , поэтому равна полной вероятности появления события , т.е. . Аналогично .
Окончательно имеем
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
|
У |
… |
|||||||
|
Q |
… |
|||||||
|
Х |
… |
|||||||
|
Р |
… |
|||||||
Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.
Пусть Х и У независимы и имеют законы распределения
Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями равными, в силу независимости случайных величин, . Тогда
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то по свойству 3. имеем
М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)
Пример. Если a и b постоянные, то М(ах+b)=аМ(х)+b.