Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.9. Функции нескольких переменных.
1.9.1. Множества в евклидовом пространстве Rm
Определение 1. Совокупность всех упорядоченных наборов из m действительных чисел
(х1, ..., хm) (точек Rm) называется m-мерным евклидовым пространством Rm, если расстояние между любыми двумя точками и определяются формулой
.
Пример 1.
Пример 2. Пусть .
-- окрестность т. М0.
Пример 3. Пусть d1,..., dm - положительные числа.
- прямоугольная окрестность т. М0,
(i = 1,..., m)
Утверждение 1. Любая - окрестность т. М0 содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки М0, содержит - окрестность т. М.
Прежде всего заметим, что для m = 1 прямоугольные и - окрестности совпадают. Для m = 2 содержание утверждения также очевидно.
Для всех m > 1 доказать этот факт можно только аналитически (хотя наглядные представления для двумерного случая несомненно этому помогают).
Определение 2. Точка М0 множества из Rm называется внутренней точкой этого множества, если существует некоторая - окрестность т. М0, целиком принадлежащая этому множеству
Определение 3. Точка М0 множества из Rm называется граничной точкой множества М0, если любая - окрестность т. М0 содержит как точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.
Определение 4. Множество из Rm называется открытым множеством или областью, если любая точка этого множества - внутренняя.
Примером открытого множества может служить открытый шар
Определение 5. Если каждая граничная точка множества принадлежит этому множеству, то множество называется замкнутым.
Примером может служить “замкнутый” шар
Определение 6. Замкнутой областью называется объединение области и множества ее граничных точек.
Определение 7. Непрерывной кривой L в Rm назовем множество точек, координаты которых задаются параметрическими уравнениями
где (i = 1,..., m). При t = , получаем начало и конец кривой (Будем говорить, что начало и конец соединены непрерывной кривой).
Определение 8. Множество из Rm называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.
Замечание. Часто в определение области включают требование связности.
Определение 9. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.
1.9.2. Последовательности точек из Rm.
Определение 1. Пусть каждому натуральному числу n поставлена в соответствие некоторая точка Mn Rm (не обязательно различные точки для разных n). Тогда множество точек M1, M2, ..., Mn, ..., взятых в указанном порядке, называется последовательностью точек из пространства Rm.
Пример 1. - последовательность точек из R2
Определение предела последовательности точек из Rm по своей структуре не отличается от определения в одномерном случае:
последовательность сходится к т. АRm, если начиная с некоторого номера, все элементы последовательности попадают в любую наперед заданную окрестность т.А. (Точка А называется пределом последовательности, а последовательность - сходящейся). Используя логическую символику определение предела последовательности можно записать в следующей форме
Опр. 2
Пример 2.
На этом примере мы видим, что не только последовательность сходится к началу координат, но и каждая координата Mn имеет нулевой предел. В общем случае справедливо
Утв. 1 Для того, чтобы последовательность
сходилась к точке А(а1, ..., аm), необходимо и достаточно, чтобы
(i = 1, 2, ..., m).
Доказательство: 1) (i = 1, ..., m).
Отсюда при и, в частности, а это означает, что последовательности координат точек Mn сходятся соответственно к а1, ..., аm.
2) .
(i=1, ..., m).
Положим , тогда для n>N выполнено неравенство
,
т.е. , и, следовательно, .
Утверждение 1 доказано.
Опр. 3 Последовательность называется ограниченной, если все ее элементы содержатся в некотором шаре.
Опр. 4 Пусть n1, n2, ..., nk, ... - произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, тогда последовательность называется подпоследовательностью последовательности .
Замечание: Если последовательность имеет предел, то и любая ее подпоследовательность имеет предел.
Теорема 1. Из любой ограниченной последовательности точек из Rm можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Пример 3. ограничена (но не имеет предела).
1.9.3. Понятие функции нескольких переменных
Опр.1 Если каждой точке М множества из Rm поставлено в соответствие вещественное число u, то говорят, что на этом множестве определена функция u=f(M) (или u=f(x1, ..., xm)). Множество называется областью определения функции.
Пример 1. . Область определения находим из условия a2-x2-y2 0
x2 + y2 a2.
Пример 2. u = ln (z - x2 - y2). Следовательно, область определения расположена над эллиптическим параболоидом z = x2 + y2.
Опр. 2 Графиком функции u=f(M) называется совокупность точек
(M, f(M)), M . График функции u=f(M) является гиперповерхностью в пространстве Rm+1.
Пример 3. z = x2 + y2 +1. График функции имеет вид
Опр. 3 Множество точек М(х1, ..., хm) пространства Rm, удовлетворяющих уравнению
f(x1, ..., xm) = C , где С - const, называется множеством уровня функции f.
Линии уровня (m = 2) и поверхности (m = 3) дают информацию о поведении функции.
Пример 4. z = x2 +y2 +1. Линии уровня имеют вид:
|
x2 + y2 +1 = C x2+y2 = C-1 |
Пример 5. u = x2 + z2 - y2 . Поверхности уровня имеют уравнения
С = 0 x2 + z2 - y2 = 0 - конус;
С > 0 x2 + z2 - y2 = C - семейство однополостных гиперболоидов;
С < 0 x2 + z2 - y2 = C - семейство двуполостных гиперболоидов.
1.9.4. Предел функции нескольких переменных
Пусть функция u=f(M) определена на множестве Rm и т.А обладает свойством, что в любой ее окрестности есть точки из (отличные от А, если А). Сама точка А может не принадлежать области определения функции u=f(M).
Определение предела функции нескольких переменных по своей структуре не отличается от определения предела функции одной переменной. Основное содержание его: если аргумент М мало отличается от А, то значение функции f(M) мало отличается от b (предела функции). Определения предела функции нескольких переменных по Гейне и Коши имеют вид:
Опр. 1*
Число b называется пределом функции u=f(M) при МА, если для любой последовательности точек из , сходящейся к т.А
(Mn A), соответствующая последовательность значений функции сходится к b.
Опр. 1
Число b называется пределом функции u=f(M) при МА, если для любого >0 существует такое >0, что для всех точек М, удовлетворяющих условию 0<(M,A)<, справедливо неравенство .
Замечание 1. Иногда пишут .
На рисунке дана иллюстрация определения предела по Коши для случая m=2. Для любого >0 существует такая проколотая -окрестность т.А, значения функции в которой отличаются от b меньше, чем на (другими словами, график функции попадает в -полосу плоскости u=b).
Пример 1. . Проверим, что , для этого >0 надо найти такое >0, что из неравенства
Очевидно, можно положить =2.
Заметим, что если существует предел функции u=f(M) при МА, то существуют пределы f(М), когда М стремится к т.А вдоль любого луча, причем все эти пределы одинаковы и совпадают с пределом функции. Следовательно, если для функции удается указать, по крайней мере, два направления, вдоль которых пределы функций различны, то предела у функции нет.
Пример 2.
Для этой функции вдоль осей Оx и Oy пределы существуют и равны 0 (на координатных осях функция равна 0), но вдоль прямой y=kx
зависит от k.
Отсюда получаем, что предела в нуле этой функции нет.
Возникает вопрос, будет ли функция нескольких переменных иметь предел, если все пределы вдоль лучей будут одинаковы? Ответ отрицательный, что видно из следующего примера.
Пример 3. Функция равна 1 на оси Ох и двух кругах радиуса 1, касающихся оси Ох в начале координат, в остальных точках она равна 0 (см. рис.)
Любой луч, кроме Ох, идущий в начало координат, попадает в круг, а там функция равна 1, следовательно, предел вдоль любого луча равен 1. С другой стороны, есть последовательности точек, расположенных между осью Ох и окружностью, сходящиеся к нулю, вдоль которых функция равна 0, и, следовательно, предел ее вдоль таких последовательностей равен нулю. Отсюда получаем, что предела в нуле функция не имеет.
Аналогично одномерному случаю можно дать определение предела функции при М (при этом должно быть не ограниченным).
Определение 2.
Пример 4. . Запишем определение предела
.
Из неравенства ( < 1), получаем
.
Отсюда очевидно, что можно положить .
Замечание 2. Для пределов суммы, разности, произведения и частного функций нескольких переменных справедливы те же формулы, что и в одномерном случае.
1.9.5. Непрерывность функции нескольких переменных
Определение 1. Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если .
Определение 2. Функция u=f(M) называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Условию непрерывности можно придать разностную форму. Пусть
,
тогда условие непрерывности имеет вид:
.
(В примере 1 предыдущей темы рассмотрена непрерывная в нуле функция.)
Фиксируем все переменные, кроме одной, проложив, например, х2=а2,..., хm=аm. Тогда получим функцию одной переменной f(x1,a2,...,am), которая будет непрерывной в т. х1=а1, если f(x1,...,xm) непрерывна в
т. А (очевидно). Таким образом, из непрерывности функции нескольких переменных в точке следует ее непрерывность по каждой координате (при фиксированных остальных). Обратное утверждение неверно, что показывает пример 2 предыдущей темы:
На координатных осях функция непрерывна (просто тождественно равна 0), но даже не имеет предела в т. (0,0). Непрерывности вдоль лучей также не достаточно для непрерывности в точке функции нескольких переменных. Это показывает пример 3 предыдущей темы.
1.8.9.1. Основные свойства непрерывных функций
1. Арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям (для частного знаменатель отличен от нуля).
2. Непрерывность сложной функции.
Пусть функции заданы на множестве Т Rk, тогда каждой точке (t1,...,tk) T ставится в соответствие число u по формулам , т.е. на множестве Т определена функция, которую мы назовем сложной функцией.
Пример 1. ; y=t ; x=t+s, тогда сложная функция имеет вид .
Теорема. Пусть имеет смысл сложная функция f(1, ..., m). Если функции 1, ..., k непрерывны в т. , а функция f непрерывна в
т. , тогда сложная функция f(1, ..., k) непрерывна в т. t(0).
По этой теореме функция непрерывна при всех (t,s)R2.
3. Устойчивость знака непрерывной функции.
Теорема. Пусть функция u=f(M) непрерывна в т.А и f(A)0. Тогда существует такая -окрестность т.А, в которой f(M) имеет тот же знак, что и f(A).
4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.
Теорема. Пусть функция u=f(M) непрерывна на связном множестве . Тогда для любых точек А, В и для любой кривой, L, соединяющей эти точки и лежащей в , найдется точка на этой кривой, в которой функция принимает любое заданное промежуточное значение между f(A) и f(B).
Условие связности существенно уже в одномерном случае:
5. Теоремы Вейерштрасса.
Теорема 1. Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, ограничена на этом множестве.
Теорема 2. Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней. Для неограниченных или не замкнутых множеств эти утверждения неверны уже в одномерном случае.
1.9.6. Дифференцируемость функций нескольких переменных
1.9.6.1. Частные производные функций нескольких переменных
Пусть М(х1, х2, ..., хm) внутренняя точка области определения функции u=f(x1, ..., xm). Пусть xk - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции
xk u
f(x1, ..., xk-1, xk+xk, xk+1, ..., xm) - f(x1, ..., xm).
Рассмотрим отношение , которое зависит от xk и определено при всех достаточно малых xk, отличных от нуля.
Определение 1. Если существует , то он называется частной производной функции
u=f(x1, ..., xm) в т. М(x1, ..., xm) по аргументу xk и обозначается одним из символов:
. Таким образом, .
Замечание. Так как изменяется только xk + xk, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.
Пример 1. u = x2 + 3xy - y
вычисляем при условии, что y = const
вычисляем при условии, что x = const
Пример 2.
(при фиксированном у применима обычная теорема о производной сложной функции).
Аналогично
.
Выясним теперь, насколько полную информацию дают частные производные функции в данной точке о поведении функции в окрестности этой точки.
Сразу отметим, что частные производные в т.М0 могут дать информацию о поведении функции только на прямых, проходящих через т.М0 и параллельных координатным осям.
Конечно, этой информации совсем не достаточно, чтобы судить о поведении функции в целой окрестности т.М0 (и, в частности, на других лучах, проходящих через т.М0).
Пример функции показывает, что частные производные ее
(аналогично )
существуют и обращаются в нуль не только в т. (0,0), но и всюду на координатных осях, а сама функция не имеет в т. (0,0) предела (см. тему 4). Заметим, что в одномерном случае из существования производной следовала непрерывность функции.
Таким образом, мы приходим к необходимости ввести более сильное условие, чем существование частных производных, чтобы оно было аналогом дифференцируемости функции одной переменной. Это условие должно быть связано с полным приращением функции в точке.
1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных
Определение 2. Функция u=f(x1, ..., xm) называется дифференцируемой в точке M(x1, ..., xm), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
f(x1+x1, ..., xm+xm) - f(x1, ..., xm)
u = A1x1 + A2x2 + ... + Amxm + 1x1 + ... + mxm,
где А1, А2, ..., Аm - некоторое, не зависящие от x1, ..., xm, числа,
а 1, 2, ..., m - бесконечно малые при x10, ..., xm0 функции, равные 0 при x1=x2=...=xm=0.
Если положить , то условие дифференцируемости может быть записано в виде:
u = A1x1 + A2x2 + ... + Amxm + o() (1)
Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции представимо в виде линейной части (по x1, ..., xm) и членов более высокого порядка (по x1, ..., xm или ).
Теорема 1. Если функция u=f(x1, ..., xm) дифференцируема в точке
M(x1, ..., xm), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , где Аi определяются из условия дифференцируемости.
Доказательство: Положим в условии дифференцируемости все приращения, кроме xk, равными нулю, тогда для частного приращения справедливо представление
xku = Akxk + k xk
Отсюда
и т.к. k 0 при xk 0, то
.
Следствие. Условие дифференцируемости функции в данной точке можно записать в виде:
Замечание 1. Существования частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.
Пример 4.
Покажем, что эта функция не дифференцируема в т. (0,0). Этого следует ожидать, т.к. порядок приращения функции в нуле равен (), а в условии дифференцируемости требуется, чтобы порядок приращения был не ниже первого.
Предположим, что приращение функции представляется в виде
u = 0x + 0y + o().
Это означает, что ; ,
т.е. должно выполняться условие
.
Положив x = y, получим
.
Отсюда следует, что не является o(), т.е. функция не является дифференцируемой в нуле.
Замечание 2. Из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность в этой точке. Действительно, из представления (1) следует, что.
Обратное неверно даже в одномерном случае.
В предыдущем примере функция не является дифференцируемой, но является непрерывной. Действительно
при .
Здесь использовано неравенство , которое, очевидно, следует из неравенства (а-b)2 0.
1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости
Пусть функция u = f(x1, ..., xm) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , и эти частные производные непрерывны в самой точке М0, тогда эта функция дифференцируема в т. М0. Принимая утверждение без доказательства, мы только отметим, что здесь частные производные рассматриваются как функции m переменных (x1, ..., xm) в окрестности точки М0, причем эти функции непрерывны по совокупности переменных в т. М0 (и противоречия с примером 3 этой темы нет).
1.9.6.4. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных u=f(x,y)
Определение 1. Касательной плоскостью к графику функции u=f(x,y) в точке (х0, y0, f(x0,y0)) называется такая плоскость, что разность ее апликаты и значения функции f(x,y) является величиной, бесконечно малой по сравнению с при 0, где
.
Пусть u0 = f(x0,y0), u = f(x,y), тогда условие дифференцируемости в т. (x0,y0) этой функции записывается в виде
u - u0 = A(x-x0)+B(y-y0)+o(),
или
u = u0 + A(x-x0)+B(y-y0)+o().
Рассмотрим следующую плоскость
U-u0 = A(x-x0) + B(y-y0)
(U - откладывается на той же оси Оz, что и u), тогда ее апликата U определяется равенством
U = u0 + A(x-x0) + B(y-y0),
и разность
U-u = u0 + A(x-x0) + B(y-y0) - (u0+A(x-x0) + B(y-y0) + o()) = o().
Таким образом, если функция u=f(x,y) дифференцируема в т. (x0,y0), то график этой функции в соответствующей точке (x0,y0, f(x0,y0)) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением
z - f(x0,y0) =
Из аналитической геометрии известно, что нормальный вектор к этой касательной плоскости имеет координаты
.
Уравнения нормали к касательной плоскости в т. (x0,y0, f(x0,y0)) имеют вид:
.
Замечание. Касательная плоскость может быть определена также следующим эквивалентным образом.
Определение 2. Плоскость П, проходящая через точку N0 поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку N0 и любую точку N1 поверхности, стремится к нулю, когда точка N1 стремится к N0.
Пример 1. Дана функция z = 2x2 - 3xy + 4y2 - 2x + y
и точка (1,1). Написать уравнение касательной плоскости в соответствующей точке графика этой функции, а также уравнения нормали.
Уравнение касательной плоскости
z - 2 = -1(x-1) + 6(y-1)
Уравнения нормали к графику функции в той же точке имеют вид:
1.9.6.5. Дифференцирование сложной функции
Пусть функция u = f(x1, ..., xm) и система функций
определяют сложную функцию, тогда справедлива следующая
Теорема. Пусть функции i(t1, ..., tk) (i = 1, ..., m) дифференцируемы в точке , а функция u = f(x1, ..., xm) дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция дифференцируема в точке А0. Для частных производных в т. А0 справедливы следующие формулы:
в которых частные производные берутся в точке М0, а частные производные берутся в точке А0.
Идея доказательства такая же, как и в одномерном случае.
В условие дифференцируемости внешней функции
подставляются не произвольные приращения переменных x1, ..., xm, а приращения функции , соответствующие приращениям аргументов t1, ..., tk. Эти приращения представимы в виде (следует из условия дифференцируемости функций )
Выделяя затем линейную часть u относительно t1, ..., tk, мы получаем выражения для частных производных сложной функции.
Заметим, что в случае, когда х1, ..., хm зависят только от одной переменной t, производная по t сложной функции (обыкновенная) вычисляется по формуле
и если, кроме того, f зависит от одной переменной х, то формула принимает вид: , т.е. совпадает с формулой для одномерного случая.
Пример 1. , где x=cost, y=sint.
здесь вместо х и у надо поставить их выражения через t
.
Пример 2. , где x=sint. Вычислить .
(Здесь t и x считаются независимыми переменными)
(Здесь вместо х необходимо подставить его выражение через t)
Пример 3. z = x2 - y2 , где x=t1t2, y=t1 -.
Вычислить
1.9.6.6. Дифференциал функции нескольких переменных
Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции
,
где dxi xi (i=1, ..., m), если x1, ..., xm - независимые переменные.
Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х1, ..., хm являются функциями некоторых переменных t1, ..., tk. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы
Например, для дифференциала произведения рассуждаем следующим образом. Рассмотрим функцию = uv двух переменных u, v. Дифференциал этой функции равен
но следовательно,
d = vdu + udv.
Пример 1. . Найти полный дифференциал функции
Таким образом,
.
Пример 2. , где x=cost, y=t2. Вычислить дифференциал сложной функции.
Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала
.
Здесь
1.9.6.7. Производная по направлению. Градиент
Пусть задана функция двух переменных u=f(x,y) (для большего числа переменных все аналогично), которая определена в окрестности т. (x0,y0) и дифференцируема в этой точке. Мы будем рассматривать нашу функцию на лучах, проходящих через т. (x0,y0). Луч задается начальной точкой и направляющим единичным вектором,
его параметрические уравнения имеют вид:
.
Подставляя эти выражения вместо аргументов функции u=f(x,y), мы получим функцию одной переменной u(t): u = f(x0 + tcos, y0 + tcos).
Если существует, то эту производную мы назовем производной функции u=f(x,y) в точке (x0,y0) в направлении вектора (обозначение ). Используя формулы для производных сложной функции, получаем (для точки t=0)
Если ввести в рассмотрение вектор (обозначаемый gradu), то выражение для производной в направлении вектора можно записать в виде
или
Меняя направление вектора , мы будем получать различные значения . В частности:
1) , если gradu ((,gradu) = 0).
2) , если , и это значение является наибольшим из возможных ((,gradu) принимает наибольшее значение).
3) , если ((,gradu) принимает наименьшее значение).
Таким образом, gradu определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.
Пример 1. Найти производную функции z = x2y3 в точке (1,2) в направлении вектора, составляющего с положительным направлением оси Ох угол 450.
Координаты вектора имеют вид
Пример 2. Найти grad(x2 - y) в точке (1,1) и вычислить производную функции в направлении градиента в этой точке
.
Производная функции в направлении градиента равна модулю градиента.
; где .
В трехмерном случае
,
где cos, cos, cos - направляющие косинусы вектора .
Соответственно,
1.9.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков
функций нескольких переменных.
1.9.7.1. Частные производные высших порядков
Пусть частная производная функции u=f(x1,...,xm) существует в каждой точке некоторого множества , т.е. представляет собой функцию переменных x1, ..., xm.
Если эта функция имеет частную производную по переменной хk в некоторой точке М0, то она называется второй частной производной функции f(x1, ..., xm) по переменным xi и xk и обозначается
Совершенно аналогично определяются и последующие частные производные функции f.
Таким образом,
Если не все индексы i1, ..., in совпадают между собой, то частная производная называется смешанной.
Вычисляются частные производные по тем же правилам, что и обыкновенные производные. Необходимо только следить при каждом дифференцировании, чтобы все переменные, кроме одной, считались постоянными.
Пример 1. Вычислить все частные производные второго порядка.
(Здесь y = const)
(Здесь х = const)
(Здесь y = const)
(Здесь х = const)
Замечание. В этом примере . Равенство смешанных производных будет иметь место не всегда, а при выполнении некоторых условий; а именно, справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть функция u=f(x1, ..., xm) определена в открытой m - мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D. Тогда значение любой к-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.
В подавляющем большинстве конкретных задач условия теоремы выполняются, и смешанную производную можно вычислять, не обращая внимания на порядок последовательных дифференцирований.
1.9.7.2. Дифференциалы высших порядков
Пусть в некоторой области задана дифференцируемая функция
u=f(x1, ..., xm), тогда в каждой точке этой области определен дифференциал
Здесь частные производные являются функциями от x1, ..., xm. Если существуют непрерывные частные производные второго порядка для u, то du будет иметь непрерывные частные производные по x1, ..., xm. Будем считать, что dx1, ..., dxm постоянны, тогда можно определить дифференциал от первого дифференциала:
При вычислении дифференциалов от частных производных будем считать, что dx1, ..., dxm имеют те же самые значения, что и в исходном дифференциале du.
Полученное таким образом выражение мы назовем дифференциалом второго порядка функции u
Точно так же мы определим и последующие дифференциалы функции u с помощью равенства
.
Пример 1. z = x2y3 Найти d2z.
1.9.9. Неявные функции.
Пусть задано уравнение f(x,y)=0, где f - дифференцируемая функция переменных х и у. Возникает вопрос о том, при каких условиях это функциональное уравнение однозначно разрешимо относительно у, т.е. однозначно определяет явную функцию y=(x), и следующий вопрос о том, при каких условиях эта явная функция непрерывна и дифференцируема.
Трудность этих вопросов видна уже на простейшем примере уравнения y2 - x = 0. Это уравнение
определяет при х0 бесконечно много явных функций.
Например, и любая функция, равная + для одних значений х, и - для других значений.
Вопрос 1. При каких условиях существует единственная явная функция, удовлетворяющая уравнению y2 = x? Фиксируем точку N0(x0,y0) на кривой y2-x=0, отличную от начала координат.
Очевидно, что часть кривой, лежащая в достаточно малой окрестности точки N0, однозначно проектируется на ось Ох.
Аналитически это означает, что если рассматривать функцию f(x,y)=y2 - x только в этой достаточно малой окрестности точки N0, то уравнение f(x,y)=0 однозначно разрешимо относительно у и определяет единственную явную функцию для у0>0 (см. рис.) и для у0<0.
Если мы теперь рассмотрим точку N1(0,0), то часть кривой
y2-x=0 не однозначно проектируется на ось ОХ (см. рис.). Аналитически это означает, что если рассматривать функцию f(x,y)=y2-x в любой окрестности т. N1(0,0), то уравнение f(x,y)=y2-x=0 не является однозначно разрешимым относительно у. Заметим, что в этой точке N1(0,0) частная производная функции f(x,y)=y2-x обращается в нуль. В общем случае это обстоятельство имеет принципиальное значение: для однозначной разрешимости уравнения f(x,y)=0 в окрестности т. (х0,у0) относительно у требуется, чтобы .
В случае, когда рассматривается уравнение вида F(u, x1, ..., xm)=0, имеют место те же трудности, что и в случае одной переменной: для однозначной разрешимости этого уравнения относительно u нужно рассматривать функцию F(u, x1, ..., xm) в окрестности точки (для которой , и требовать, чтобы в т. N0.
Формулировка теоремы о неявной функции имеет вид.
Теорема. Пусть функция F(u, x1, ..., xm) дифференцируема в некоторой окрестности точки , причем и . Тогда для любого достаточно малого >0 существует такая окрестность точки , в которой определена (единственная) функция
u=u(x1, ..., xm) удовлетворяющая условию u-u0< и являющаяся решением уравнения
F(u, x1, ..., xm)=0.
Эта функция u=u(x1, ..., xm) непрерывна и дифференцируема в окрестности т. М0 .
Замечание 1. Частные производные вычисляются по формулам
(i = 1, ..., m).
Эти формулы получаются следующим образом: подставим неявную функцию u=u(x1, ..., xm) в уравнение F(u, x1, ..., xm)=0,
получим
F(u(x1, ..., xm), x1, ..., xm)=0.
Это равенство является тождеством по x1, ..., xm. Вычислим частные производные от обеих частей этого равенства по xi, используя теорему о производной сложной функции,
Аналогично можно найти и высшие k-е производные неявной функции, если функция F(u, x1, ..., xm) дифференцируема k раз.
Пример 1. Найти частные производные функции z, заданной неявно:
F z3 + x5 + y5 - 2xyz + 2x - 4 = 0.
Уравнение одназначно разрешимо относительно z, если , т.е. 3z2 - 2xy 0.
Теорема о неявной функции имеет следующие геометрические приложения.
Пусть задана поверхность уравнением F(x,y,z)=0.
Требуется написать уравнение касательной плоскости к этой поверхности и вычислить координаты нормального вектора к этой поверхности в некоторой точке (x0,y0,z0). Предположим, что одна из частных производных отлична от нуля в этой точке. Это значит, что одна из переменных может быть выражена как функция двух других.
Пусть, например, , тогда x = (y,z), а для такой функции, уравнение касательной плоскости имеет вид
Нормальный вектор имеет координаты:
.
Подставляя сюда выражения для , получим
или ,
а в качестве нормального вектора к поверхности можем взять следующий:
.
Замечание: Если рассматривать поверхность уровня F(x,y,z)=C функции u=F(x,y,z), то мы получим, что ортогонален поверхности уровня.
Пример 2. Дана поверхность x2 +4y2 +2z2 = 7. Написать уравнения касательных плоскостей к этой поверхности, которые параллельны плоскости x+y+z=1
Здесь F(x,y,z) = x2 +4y2 +2z2 - 7,
.
Нормальный вектор к поверхности имеет координаты
он должен быть коллинеарен нормальному вектору к заданной плоскости, т.е. вектору .
Отсюда
Решив систему уравнений ,
находим координаты точек касания .
Касательные плоскости имеют уравнения:
1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.
Определение 1. Пусть функция f(x1, ..., xm) определена на множестве . Внутренняя точка называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех М(х1, ..., хm) U(M0) выполняется неравенство
f(M) f(M0) [f(M) f(M0)].
Определение 2. Точка М0 локального максимума или локального минимума называется точкой локального экстремума.
Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Пусть функция f(x1, ..., xm) определена в некоторой окрестности т. , дифференцируема в точке М0, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М0 равны нулю:
Доказательство: Докажем, что . Если точка является локальным экстремумом функции f(x1, ..., xm), то, очевидно, точка является точкой локального экстремума функции одной переменной x1. По теореме Ферма получаем (см. рис. 1)
Рис.1
Пример 1. Найдем точки экстремума функции
z = x2 + y2. Точки экстремума в силу доказанного находятся среди тех, для которых ,
т.е. . Система имеет единственное решение (0,0). Убедимся, что в этой точке действительно функция имеет экстремум. Для этого заметим, что в т. (0,0) z=0, во всех других точках z=x2+y2>0. Поэтому точка (0,0) является не только точкой локального минимума (но и “глобального” минимума) (см. рис.2).
Пример 2. Исследуем точки экстремума функции z=x2-y2.
Поступая аналогично предыдущему случаю, находим
; .
Решение (0,0), т.е. если функция z=x2-y2 имеет экстремум, то он может быть только в этой точке.
Исследуем, имеет ли функция z=x2-y2 в точке (0,0) локальный экстремум. В т. (0,0) z=0. Однако здесь при у=0 и любых х0 z=x2>0, а при х=0 и любом у0 z=-у2<0. Поэтому точка (0,0) не является точкой локального экстремума функции z=x2-y2 . Функция z=x2-y2 вообще не имеет точек экстремума.
(см. рис.3).
Рис.2 Рис.3
Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции f(x1, ..., xm), называются стационарными точками этой функции.
Примеры 1 и 2 показывают, что в каждой стационарной точке требуется дополнительное исследование на экстремум, т.е. нужны достаточные условия экстремума.
Прежде, чем их сформулировать, напомним некоторые сведения из теории квадратичных форм.
Определение 3. Функция (aik = aki) (1)
переменных h1, ..., hm называется квадратичной формой.
Числа aik называются коэффициентами квадратичной формы.
Определение 4. Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных h1, ..., hm , для которых выполняется условие , эта форма имеет положительные (отрицательные) значения. Положительно определенные и отрицательно определенные формы объединяются общим названием - знакоопределенные формы.
Сформулируем критерий знакоопределенности квадратичной формы - критерий Сильвестра.
Для того, чтобы квадратичная форма (1) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:
Для того, чтобы квадратичная форма (1) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства:
Пример 3. А(h1,h2) = - положительно определенная квадратичная форма, т.к.
Пример 4. А(h1,h2) = не является знакоопределенной, т.к.
Вернемся теперь к рассмотрению функции f(x1, ..., xm) и заметим, что второй дифференциал функции в т. представляет собой квадратичную форму относительно переменных dx1, ..., dxm:
.
Замечание. Если функция f имеет непрерывные вторые частные производные, то второй дифференциал является квадратичной формой с симметричной матрицей, т.к.
Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
Теорема. Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции
f(x1, ..., xm), которые являются непрерывными в т. М0. Если в этой точке второй дифференциал d2f(M0) является знакоопределенной квадратичной формой от dx1, ..., dxm, то в т. М0 функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d2f(M0) отрицательно определена, и локальный минимум, если d2f(M0) положительно определена), если же d2f(M0) знакопеременна, то в т. М0 экстремума нет.
Пример 5. Исследовать на экстремум функцию
u = x2 + y2 + z2 +2x + 2y + 4z.
Находим стационарные точки
Стационарная точка М0(-1, -1, -2).
Вычисляем второй дифференциал функции в этой точке
d2u = 2(dx)2 + 2(dy)2 + 2(dz)2 ,
матрица квадратичной формы имеет вид:
Квадратичная форма является положительно определенной, поэтому в т. (-1, -1, -2) функция имеет локальный минимум (не трудно проверить, что он является и глобальным).
Замечание. Если второй дифференциал функции f(x1, ..., xm) в т. М0 не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной квадратичной формой (d2f(M0)0 всюду или d2f(M0)0 всюду, причем есть ненулевые наборы
dx1, ..., dxm, в которых d2f(M0)=0), т.е. является квазизнакоопределенной квадратичной формой, то ничего нельзя сказать о наличии или отсутствии в этой точке локального экстремума, и требуется дополнительное исследование. Это показано на следующих двух примерах.
Пример 6. f(x,y) = x3 + y3.
Стационарная точка (0,0)
- является квазизнакоопределенной квадратичной формой. Экстремума в т. (0,0) нет, т.к. f(x,x)=2x3 меняет знак вдоль прямой у=х при переходе через т. (0,0).
Пример 7. f(x,y) = x2 + 2xy + y2
Стационарных точек - целая прямая y=-x
Рассмотрим т. (0,0):
является квазизнакоопределенной квадратичной формой (=0 при dx=-dy). Заметив, что f(x,y)=(x+y)2 0, мы получаем, что т. (0,0) (не строгий) минимум.
В частном случае двух переменных можно сформировать следующее достаточное условие экстремума.
Теорема. Пусть функция f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (х0,у0), которая является стационарной для f(x,y), т.е. в ней
Тогда если в этой точке
1) ,
то (х0,у0) - точка локального минимума,
2) ,
то (х0,у0) - точка локального максимума,
3) ,
то в т. (х0,у0) нет экстремума,
4) ,
то требуется дополнительное исследование.
Пример 8. Найти экстремум функции
z = x2 + 2x + y2 +4y + 1.
Стационарная точка (-1, -2)
Следовательно, в т. (-1, -2) локальный минимум.
наименьшее значение равно -.
PAGE 220
x0