Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3
КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ
IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
НIКIТIН Анатолiй Володимирович
УДК 517.929.4
УДК 519.21
АНАЛІЗ СТОХАСТИЧНИХ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ З
ПУАССОНIВСЬКИМИ ЗБУРЕННЯМИ
01.05.04 - системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисеpтацiї на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук
Київ –
Дисертацiєю є рукопис.
Робота виконана на кафедрi математичної i прикладної статистики
Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича.
|
Науковий керівник Офiцiйнi опоненти: |
Доктор фізико-математичних наук, професор ЯСИНСЬКИЙ Володимир Кирилович, завідувач кафедри математичної і прикладної статистики факультету комп’ютерних наук Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник АНДРЄЄВ Микола Варфоломійович (Інститут прикладного та системного аналізу НАН України та Міністерства освіти України, м.Київ, провідний науковий співробітник) кандидат фізико-математичних наук, доцент БИЧКОВ Олексій Сергійович (Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент) |
Провiдна установа - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м.Київ, відділ математичних методів дослідження операцій.
Захист вiдбудеться "24" червня 2004 р. на засiданнi спецiалiзованої вченої ради
Д 26.001.35 Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ, 03127 пр. акад. Глушкова, 2, корп. 6, факультет кібернетики, ауд.40.
З дисертацiєю можна ознайомитися у Науковій бiблiотецi Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ, вул.Володимирська, 58.
Автореферат розiсланий 22 травня 2004 р.
Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради П.М.Зінько
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Вивчення диференцiальних рiвнянь з випадковими функцiями зумовлене зростаючими потребами механiки, задачами автоматичного регулювання, радiотехнiки i багатьох роздiлiв математичної фiзики. Аналiз стiйкостi та оптимiзацiї розв'язкiв стохастичних систем набув особливо бурхливого розвитку у другiй половинi XX столiття. Монографiї вiдомих вчених сучасностi Є.Б. Динкiна, Й.I. Гiхмана, А.В. Скорохода, В.С. Королюка, Р.З. Хасьмiнського, В.Б. Колмановського, Є.Ф. Царкова, П. Ланжевена, Дж. Дуба, Г.М. Кушнера, А. Бенсуссана, Ж.-Л. Лiонса, К. Iто, М.Нiсiо, В.М. Пшеничного, Ж. Ла-Салля, С. Лефшеца, М.Ф. Кириченко, Й.I.Шора свiдчать про важливiсть наукових дослiджень у цьому напрямку.
У працях Є.Ф. Царкова, В.К. Ясинського i Д.Г. Коренiвського вивченi загальнi питання стiйкостi у середньому квадратичному розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь (СДР) iз запiзненням як при вiнерiвських (рiвняння Iто), так i при пуассонiвських (рiвняння Iто-Скорохода) збуреннях. Для стохастичних рiвнянь Iто у роботах Д.Я. Хусаїнова проведена оптимiзацiя якiсних характеристик розв'язкiв та наведенi чисельнi методи розв'язання матричного рiвняння Сiльвестра.
Оскiльки СДР Iто-Скорохода бiльш адекватно вiдображає реальнi процеси, нiж СДР Iто, то виникає необхiднiсть у вивченнi для рiвняння Iто-Скорохода хоча б тих проблем, якi вже вивченi для рiвняння Iто.
Цi обставини визначили спрямованiсть роботи. Запропонована робота присвячена розробцi алгебраїчних коефiцiєнтних критерiїв та алгоритмiв експоненцiальної р-стiйкостi, стiйкостi у середньому квадратичному, асимптотичної стiйкостi у середньому квадратичному розв'язкiв нелiнiйних i лiнiйних стохастичних динамiчних систем з пуассонiвськими збуреннями, а також чисельним методам розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра та програмнiй реалiзацiї алгоритмiв розв'язання цього рiвняння.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках:
науково-дослiдної роботи "Дослiдження детермiнованих i стохастичних математичних моделей, якi описуються диференцiальними та диференцiально-функцiональними рiвняннями" (номер держреєстрацiї 0199U001915), що виконувалася на кафедрi математичного моделювання Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича (1996 - 2001 рр);
2) науково-дослiдної роботи "Дослiдження властивостей стохастичних математичних моделей, якi описуються функцiонально-диференцiальними рiвняннями з випадковими збуреннями" (номер держреєстрацiї 0102U006591), що виконується на кафедрi математичної i прикладної статистики Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича (2001 - 2005p.);
Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є поглиблене вивчення експоненцiальної р-стiйкостi та асимптотичної стiйкостi у середньому квадратичному розв'язкiв стохастичних диференцiальних i диференцiально-рiзницевих рiвнянь Iто-Скорохода iз запiзненням методом функціоналів Ляпунова-Красовського i одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до добре вiдомих у теорiї стiйкостi стохастичних диференціальних рiвнянь Iто.
Безпосереднiми задачами дослiдження є
- всебiчне вивчення експоненцiальної p-стiйкостi та асимптотичної стiйкостi у середньому квадратичному тривiального розв'язку задачi Кошi для лiнiйних стохастичних диференцiальних i диференцiально-рiзницевих рiвнянь Iто-Скорохода в просторi Скорохода;
- розробка методiв та алгоритмiв знаходження розв'язкiв узагальненого
матричного рiвняння Сiльвестра;
- створення програмного продукту (програмної пiдтримки) для запропонованих алгоритмiв.
Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї вперше одержано такi результати для стохастичних диференцiальних та диференцiально-рiзницевих рiвнянь Iто-Скорохода:
1) необхiднi та достатнi умови експоненцiальної p-стiйкостi (p>0) тривiального розв'язку нелiнiйних СДР з пуассонiвськими збуреннями;
2) необхiднi та достатнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку лiнiйних СДР зi сталими коефiцiєнтами та пуассонiвськими збуреннями;
3) умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку СДР, не розв'язаних вiдносно диференцiалiв з пуассонiвськими збуреннями;
4) достатнi умови експоненцiальної p-стiйкостi тривiального розв'язку нелiнiйних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь (СДРР) iз запiзненням при наявностi пуассонiвських збурень;
5) достатнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку СДРР iз запiзненням зi сталими коефiцiєнтами, не розв'язаних вiдносно диференцiалiв з пуассонiвськими збуреннями;
6) оцiнки у середньому квадратичному розв'язкiв лiнiйних СДРР iз запiзненням та пуассонiвськими збуреннями.
При цьому розроблено методику розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра, що виникає при дослiдженнi стiйкостi розв'язкiв СДР та СДРР; побудовано iтерацiйним методом алгоритм розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра; запропоновано алгоритми розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра методами опуклого програмування; здiйснена програмна пiдтримка розв'язання матричного узагальненого рiвняння Сiльвестра та чисельної реалiзацiї умов асимптотичної стiйкостi СДФР iз запiзненням та оцiнок їх розв'язкiв.
В основi отримання цих результатiв лежать iдеї та методика доведення вiдомих загальних теорем типу Ляпунова про стiйкicть для стохастичних диференцiальних i диференцiально-рiзницевих рiвнянь, одержаних вiдповiдно Р.З. Хасьмiнським, Є.Ф. Царковим, Д.Я. Хусаїновим. Для розв'язання матричного узагальненого рiвняння Сiльвестра використана методика, що вперше запропонована Д.Я. Хусаїновим.
Практичне значення одержаних результатiв. Дослiдження носять як теоретичний, так i практичний характер. Їх результати можуть бути використанi при подальших дослiдженнях стiйкостi розв'язкiв задачi Кошi для лiнiйних стохастичних диференцiально-функцiональних рiвнянь з пуассонiвськими збуреннями та побудови функцiоналiв Ляпунова-Красовського. Програмний продукт може бути використаним для розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра довiльної розмiрностi.
Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертацiї одержано автором самостiйно. У спiльних з науковим керiвником роботах [8-10,12,19] В.К. Ясинському належить постановка задач i аналiз одержаних результатiв. У спiльнiй роботi з I.В. Юрченко [1] останньому належить постановка задачi щодо мiнiмiзацiї недиференцiйовних матричних функцiй та обговорення результатiв розрахункiв за алгоритмами ([1], С.59 - 60). Є.В. Ясинському у роботi [1] належить реалiзацiя алгоритму 2 (С.60 - 61) наближеного знаходження матрицi H як розв'язку матричного рiвняння Сiльвестра на мовi C++; у [6] I.В. Юрченку належить постановка задачi у програмнiй реалiзацiї процедури розв'язання матричного рiвняння Сiльвестра, Є.В. Ясинський реалiзував один з алгоритмiв на мовi C++ у [8].
Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дослiджень, що включенi до дисертацiї, доповiдалися автором на:
1) всеукраїнськiй конференцiї "Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування", присвяченiй 60-рiччю з дня народження В.I. Фодчука (м. Чернiвцi, 1996),
2) мiжнароднiй конференцiї Modelling and Investigation of Systems Stability. Systems Investigation (Київ, 1997),
3) всеукраїнськiй конференцiї "Моделирование и исследование устойчивости систем (Исследование систем, Київ, 1999 - 2001)",
4) Українському математичному конгресi – 2001 ("Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання", м. Чернiвцi, 2001),
5) на VIII Четаєвськiй мiжнароднiй конференцiї "Аналiтична механiка, стiйкiсть та управлiння рухом" (2002, м. Казань, Росiя),
6) на III мiжнароднiй науково-практичнiй конференцiї "Штучний iнтелект 2002" (2002, Кацiвеллi, Крим, Україна),
7) на мiжнароднiй конференцiї з функцiонального аналiзу та його застосування (2002, м. Львiв, Україна);
8) на VIII Мiжнароднiй Вiльнюськiй конференцiї з теорiї ймовiрностей i математичної статистики (2002, м. Вiльнюс, Литва);
9) на мiжнароднiй конференцiї з еволюцiйних рiвнянь (п'ятi Боголюбiвськi читання, 2002, м. Кам'янець-Подiльський, Україна, 22-24 травня 2002 року),
а також на наукових семiнарах кафедр моделювання складних систем та системного аналізу і теорії прийняття рішень факультету кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченко (2001 - 2003, м.Київ, керiвники - доктор фiз.-мат. наук, професор Гаращенко Ф.Г., доктор фiз.-мат. наук, професор Наконечний О.Г.), наукових семiнарах "Стiйкiсть, оптимiзацiя та управлiння в стохастичних динамiчних системах" (1996 - 2003, м. Чернiвцi; керiвник – доктор фiз.-мат. наук, професор Ясинський В.К.)
Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в 19 працях, з них 2 - у наукових журналах, 8 - у збiрниках наукових праць i 9 - у матерiалах конференцiй. З публiкацiй 10 наукових праць у фахових виданнях перелiку N1 ВАК України вiд 9.06.1999.
Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складається зi вступу i чотирьох роздiлiв, висновкiв, списку використаних джерел із 146 найменувань та двох додаткiв. Загальний обсяг дисертації - 185 сторiнок, список використаних джерел займає 14 сторінок, додатки займають 50 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ
У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми, подається короткий огляд результатiв, якi мають безпосереднє вiдношення до теми роботи, вказується мета i задачi дослiдження, наукова новизна, практичне значення, апробацiя одержаних результатiв, кiлькiсть публiкацiй та структура i об'єм роботи.
У першому роздiлi проводиться огляд лiтератури, що пов'язана з теорiєю стiйкостi та оптимальних оцiнок розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь.
У другому розділі досліджуються на експоненціальну р-стійкість розв'язки систем нелінійних та асимптотичну стійкість у середньому квадратичному розв'язків систем лінійних стохастичних диференціальних рівнянь Іто-Скорохода.
У підрозділі 2.1 проведена постановка задачі для другого розділу та наводяться основні твердження для її реалізації.
Нехай на ймовірнісному просторі з потоком σ-алгебр };
(1)
з початковою умовою
(2)
де ─n-вимірний випадковий процес; n-вимiрний вiнерiвський процес; ─ центрована пуассонiвська мiра.
Ставиться задача: вивчити вплив випадкових збурень вінерівського та пуассонівського типів на стійкість розв'язків стохастичної задачі Коші.
У підрозділі 2.2 досліджуються на експоненціальну р-стійкість розв'язки задачі (1), (2).
Теорема 2.2.1. Для експоненціальної р-стійкості тривіального розв'язку задачі (1), (2) при
t ≥ t≥0 достатньо, щоб
існувала скалярна функція двічі неперервно диференційовна по х і один раз по
t Є R+ всюди, крім множини міри нуль;
для деяких k, k, k>0 виконувалися нерівності
(3)
де
(4)
де
Теорема 2.2.2. Нехай
розв’язок СДР (2.1.1), (2.1.2) експоненціально р-стійкий (р>0);
функції , , задовольняють умови існування розв’язку СДР;
для коефіцієнтів а,b,с існують неперервні обмежені похідні по х до другого порядку включно:
, , ,
, , , k,j=1,2,…,n.
Тоді існує функція , для якої виконуються нерівності (2.2.1), (2.2.2), причому для деякого k>0 –нерівності
; , р>2.
У підрозділі 2.3 досліджуються на експоненціальну p-стійкість розв'язки лінійних СДР зі змінними коефіцієнтами:
(5)
(6)
Теорема 2.3.1. Для експоненціальної р-стійкості тривіального розв'язку лінійної задачі (5), (6) необхідно і досить, щоб
) існувала однорідна, за змінною х порядку р > 0 функція {v(t,x)},
2) функцiя {v(t,x)} задовольняла для деяких k, k, k, k> 0 умовам:
У підрозділі 2.4 досліджуються системи лінійних СДР зі сталими коефіцієнтами
(7)
(8)
Теорема..2. Для асимптотичної стійкості в середньому квадратичному розв’язку x(t,t,x) необхідно і досить, щоб для деякої функції Ляпунова у вигляді додатно визначеної квадратичної форми v(x), знайшлася функція Ляпунова v(x), яка задовольняла б умову
У підрозділі 2.5 на асимптотичну стійкість у середньому квадратичному досліджуються розв’язки систем лінійних СДР, що розв’язані та не розв’язані відносно диференцiалів.
Теорема..1. Тривіальний розв'язок задачі (7), (8) асимптотично стійкий у середньому квадратичному тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні умови:
) матриця А експоненціально стійка;
) існує додатно визначений розв'язок Н матричного рівняння Сгльвестра
(9)
де матриця - довільна.
У підрозділі 2.6 за запропонованою у попередніх підрозділах методикою досліджено ряд модельних задач.
У третьому розділі досліджуються на стійкість розв'язки систем лінійних стохастичних диференціально-різницевих рівнянь Іто-Скорохода, а також отримані оцінки другого моменту розв’язків для таких рівнянь.
Розглядається стохастичне диференціально-функціонального рівняння (СДФР)
(10)
(11)
СДФР (10) задане на ймовірнісному просторі з фільтрацією {Ft,t ≥ t}.
У підрозділі 3.1 викладено другий метод Ляпунова О.М. для аналізу СДФР (10), який базується на застосуванні верхнього слабкого інфінітезімального оператора (СІО) для неперервного функціоналу v : R+Dn—R.
У підрозділі 3.2 одержано достатні умови асимптотичної стійкості в середньому квадратичному розв'язків лінійних СДРР із запізненням:
(12)
Теорема 3.2.1. Тривіальний розв'язок задачі (10), (11) асимnmomuчнo стійкий у середньому квадратичному при довільному сталому запізненні , якщо:
) матриця А експоненціально стійка з показником експоненти ;
2) матриця А + А гурвіцева;
) існує додатно визначений розв'язок матричного рівняння Сільвестра
в якому .
У підрозділі 3.3 отримано достатні умови асимптотичної стійкості у середньому квадратичному розв'язків лінійних СДРР із запізненням, не розв'язаних відносно диференціалів:
(13)
(14)
У підрозділі 3.4. одержані оцінки другого моменту розв'язків СДРР Іто-Скорохода
(15)
(16)
Теорема 3.4.1. Нехай
існує матриця Н = НТ > Опхп як розв'язок матричного рівняння Сільвестра;
Тоді виконується M{|x{t}|} <ε, , як тільки початкова функція (16) задовольняє умову
де
У підрозділі 3.5 на експоненціальну стійкість з імовірністю одиниця досліджується сильний розв'язок СДР
, (17)
(18)
Теорема 3.5.1. Нехай
) існують дві симетричні матриці Q і D розмірності , де Q –додатно визначена, D - невід'ємно визначена, такі, що симетрична матриця вiд’ємно визначена;
) існують γ> 0 і δ > 0 такi, що
Тодi розв'язок задачi (17), (18) експоненцiально стiйкий з iмовiрнiстю одиниця.
У підрозділі 3.6 наведено модельний приклад про автоматичну стабілізацію курсу морського лайнера.
У розділі 4 наводяться методи знаходження розв'язку матричного узагальненого рівняння Сільвестра –ітераційна процедура та метод опуклого програмування.
Ітераційна процедура базується на модифікації принципу стиснутих відображень:
Теорема 4.2.1. Нехай у повному метричному просторі Rn заданi оператори F[x] i С-1[х]. які володiють властивостями:
) оператори F[x] i G -1 [x] переводять точки простору Rn у точки цього ж простору, тобто F[x] ЄRn, G-1[x] Є Rn;
2) оператори F[x] i G -1 [x] є операторами послідовного стиску, тобто існують сталі α > 0 i β > 0 такi, що
Тодi операторне рівняння G[x]= F[x] має єдиний розв'язок і він може бути знайдений методом послідовних ітерацій
, де xk+1=G-1[F[xk]], k =0,1,2,... .
Метод опуклого програмування полягає у мінімізації цільової функції
де
Розглянемо оптимізаційну задачу: знайти
(19)
Теорема 4.3.1. Для того, щоб система СДР (7) була асимптотично стійкою у середньому квадратичному, необхідно і досить, щоб для задачі (19) існував розв'язок з умовою φ(H) < 0.
При чисельному розв'язанні оптимізаційних задач будується послідовність матриць {Hk}, k = ,1,2,... . Умовою збіжності послідовності {Hk} до розв'язку Н є прямування відповідної послідовності узагальнених градієнтів до нульової матриці пхпG[H].
Послідовність будується у вигляді
(20)
Теорема 4.4.1. Нехай функція φ(Н) опукла, область М* мінімумів обмежена і задана послідовність рk > 0 така, що .
Тодi для послiдовностi (20) при довільному початковому Н виконується
А) або існує скінченне k = k*, що Нk* Є М*;
B) або та
Для розв'язання матричного узагальненого рівняння Сільвестра можна використати алгоритм 1:
. Задати початкову симетричну додатно визначену матрицю Н, k = 0 та ε > 0.
Обчислити
Якщо g(Hk) > 0, то за напрямок спуску вибрати direck = xxT,
де у = arg Перейти до блоку 5.
Якщо g(Hk) > 0, то за напрямок спуску вибрати direck = -yyT ,
де у = arg . Перейти до блоку 5.
. За напрямок спуску вибрати direck = zTΔij z, де
5. Обчислити нове наближення за формулою
Якщо умова закінчення процедури ||GL(Hk)|| < ε не виконується, то перейти до блоку 1, у протилежному випадку перейти до блоку 7.
7. Н* = Hk є розв'язком рівняння Сільвестра з точністю ε.
Вказані методи дозволяють знаходити розв'язки систем практично будь-якого порядку, що проілюстровано в додатках: на мові C++ створено програмний продукт ітераційної процедури знаходження розв'язку матричного узагальненого рівняння Сільвестра, на мові Turbo Pascal написана програма чисельної реалізації оцінок розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із запізненням.
ВИСНОВКИ
Основними результатами дисертацiйного дослiдження є наступнi:
1) встановленi необхiднi та достатнi умови експоненцiальної p-стiйкостi (p>0) тривiального розв'язку нелiнiйних СДР з пуассонiвськими збуреннями;
) одержано необхiднi та достатнi умови асимптотичної стiйкостi у середньому квадратичному тривiального розв'язку лiнiйних СДР зі сталими коефiцiєнтами та пуассонiвськими збуреннями;
) встановленi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку СДР, не розв'язаних вiдносно диференцiалiв з пуассонiвськими збуреннями;
) встановлено достатнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку лiнiйних СДРР iз запiзненням при наявностi пуассонiвських збурень;
) одержано достатнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному тривiального розв'язку СДРР зі сталими коефiцiєнтами iз запiзненням, не розв'язаних вiдносно диференціалів з пуассонiвськими збуреннями;
) одержано оцiнки у середньому квадратичному розв'язкiв лiнiйних СДРР iз запiзненням та пуассонiвськими збуреннями;
) встановлено достатнi умови експоненціальної стiйкостi з імовірністю одиниця лiнiйних СДР зі сталими коефіцієнтами;
) розроблено методику розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра, що виникає при дослiдженнi стiйкостi розв'язкiв СДР та СДРР;
) побудовано алгоритм розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра iтерацiйним методом;
) запропоновано методику та алгоритми розв'язання узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра методами опуклого програмування;
) здiйснена програмна пiдтримка розв'язання матричного узагальненого рiвняння Сiльвестра та чисельної реалізації оцінок розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із запізненням.
Основні результати дисертації опубліковані в 19 друкованих працях:
1. Никитин А.В., Юрченко И.В., Ясинский Е.В. Оптимизационная процедура решения обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Проблемы управления и информатики. - 1998. - N4. - C. 51 - 65.
. Никитин А.В., Ясинский В.К. Итерационная процедура решения обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Кибернетика и системный анализ. - 2000. - N3. - С. 183 - 186.
. Нiкiтiн А.В. Абсолютна стiйкiсть в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь не розв'язаних вiдносно похiдних // Вiсник Київського унiверситету. Сер. фiз.-мат. науки. -Київ, 1998. - Вип.2. - С. 107 - 111.
. Нiкiтiн А.В. Асимптотична стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем лiнiйних диференцiально-рiзницевих рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями // Вiсник Київського унiверситету. Серiя: Фiзико-математичнi науки, В.3, 2001. - С. 312 - 319.
. Нiкiтiн А.В. Алгебраїчнi умови асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь не розв'язаних вiдносно похiдних з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. - Вип. 1(19). - С. 187 - 192.
6. Никитин А.В., Юрченко И.В., Ясинский Е.В. О процедуре решения обобщенногоматричного уравнения Сильвестра // Дослiдження математичних моделей: Зб. наук. пр. -К.: Iн-т математики НАН України, 1997. - С. 245 - 259.
. Нiкiтiн А.В. Абсолютна стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвською мiрою // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1997. - Вип. 16. - С. 211 - 219.
. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Алгебраїчний критерiй асимптотичної стiйкостi у середньому квадратичному розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь з пуассонiвськими збуреннями. // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 11. - С. 146 - 152.
. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Iтерацiйний процес розв'язання матричного узагальненого рiвняння Сiльвестра // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 12. - С. 164 - 168.
. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К., Ясинський Є.В. Розв'язання узагальненого рiвняння Сiльвестра методами опуклого динамiчного програмування // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. - Вип. 14. - С. 167 - 176.
. Нiкiтiн А.В., Юрченко I.В. Iтерацiйний метод розв'язання матричного рiвняння Сiльвестра // Всеукраїнська конф. "Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування" (15 - 18 травня 1996 р., Чернiвцi): Тези доп. -К., 1996. - С. 204.
. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К., Ясинський Є.В. Оптимiзацiйна процедура розв'язання матричного рiвняння Сiльвестра // International Conference Modelling and Investigation Systems Stability. System Investigation. - Thesis of Conference reports (May 19 - 23. 1997) - Kiev, 1997. - P. 130.
13. Нiкiтiн А.В., Юрченко I.В. Абсолютна стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв стохастичних диференцiально-рiзницевих рiвнянь iз загаюванням //Украинская конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем" (20 - 24мая 1996 г., Киев): Тезисы докл. - Киев., 1996. - С. 15.
. Нiкiтiн А.В. Алгебраїчнi коефiцiєнтнi критерiї асимптотичної стiйкостi в середньому квадратичному розв'язкiв систем стохастичних диференцiальних рiвнянь з векторним вiнерiвським процесом та пуассонiвськими перемиканнями не розв'язаних вiдносно похiдних // Мiжнародна наукова конференцiя "Сучаснi проблеми математики". - Т.4. - Чернiвцi: "Рута", 1998. - С. 165 - 168.
. Нiкiтiн А.В. Асимптотична стiйкiсть у середньому квадратичному розв'язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь iз запiзненнями та пуассонiвськими перемиканнями // "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання". Тези доповiдей Мiжнародної конференцiї, 27 - 29 серпня 2001 р., С.118.
16. Beresa V.Yu., Nikitin A.V. The Restrictions of Second Moment of the Solution of Linear Stochastic Functional Differential Equations with Poisson Switchings // International Conference on Functional Analyses and its Applications. Dedicated to the ii0th anniversary of Stefan Banach. Book of abstracts. May 28 –i, 2002. - P. 32 - 33.
17. Нiкiтiн А.В., Ясинський В.К. Експоненцiальна стiйкiсть з iмовiрнiстю одиниця розв'язкiв лiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто-Скорохода iз запiзненням // Theory of evolution equations. International conference. Fifth Bogolyubov's Reading. (May 22 - 24, 2002, Kamyanets-Podilsky): Abstracts of Reports. - Kamyanets-Podilsky: Abetka NOVA, 2002. - P.127.
18. Бурага А.Б., Никитин А.В., Семчук А.Р. Исследование на устойчивость линейных автономных стохастических систем с возмущениями винеровского и пуассоновского типов // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Тезисы докладов. (Казань, 28 - 31 мая 2002).- Казань: Изд-во Казан. гос. тех. ун-та, 2002. - С.31.
19. Nikitin A.V., Jasinsky V.K. The exponential p-stability of stochastic differential equations with Poisson switchings // 8th International Vilnius onference of Probability Theory and Mathematical Statistics (Vilnius, 23 – 29 June 2002). - Abstracts of Communications. - Vilnius: VNU, 2002. - V.3. - P. 126 - 127.
АНОТАЦIЯ
Нiкiтiн А.В. Аналіз стохастичних динамiчних систем з пуассонiвськими збуреннями. –Рукопис.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.05.04 – системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень. – Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2004.
У дисертацiї на основi другого методу Ляпунова за допомогою квадратичних функцiоналiв Ляпунова-Красовського дослiджено на стiйкiсть розв'язки систем стохастичних диференцiальних та диференцiально-рiзницевих рiвнянь Iто-Скорохода. Встановлено методи та алгоритми знаходження розв'язкiв узагальненого матричного рiвняння Сiльвестра, що дають вiдповiдь на питання про побудову функцiоналiв Ляпунова-Красовського та створено програмнi продукти для реалізпції одержаних алгоритмiв. Результати сформульовано у виглядi теорем та програм на мовi C++ та Turbo Pascal.
Ключовi слова: стохастичне диференцiальне рiвняння, асимптотична стiйкiсть у середньому квадратичному, квадратичний функцiонал Ляпунова-Красовського, узагальнене матричне рiвняння Сiльвестра.
THE SUMMARY
Nikitin A.V. Analysis of stochastic dynamical systems with Poisson switchings. –Manuscript.
Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.05.04 –systems analysis and theory of the optimum solutions. The Kiev National University named after Taras Shevchenko, Kiev, 2004.
In a thesis it is ground of the second Lyapunov method through Lyapunov-Krasovsky quadratic functionals are investigated on stability solution of systems of stochastic differential and differential-difference Ito-Skorohod equations. The methods and algorithms of finding of the solutions of a generalized template Sylvester equation are obtained, which one give the answer about construction of Lyapunov-Krasovsky functionals and the software products for the obtained algorithms are built. The outcomes are formulated by the way of theorems and programs on the language C++ and Turbo Pascal.
Keywords: a stochastic differential equation, asymptotical stability on the average quadratic, Lyapunov-Krasovsky quadratic functional, generalized template Sylvester equation.
АННОТАЦИЯ
Никитин А.В. Анализ стохастических динамических систем с пуассоновыми возмущениями. –Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – системный анализ м теория оптимальных решений. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2004.
На вероятностном пространстве задан случайный процес системой стохастических дифференциальных или дифференциально-разностных уравнений с возмущениями непрерывного (винерового) и скачкообразного (пуассонового) типов. Основной вопрос, изучаемый в диссертации – как влияют эти возмущения на устойчивость системы. Решения системы исследуются на экспоненциальную р-устойчивость, устойчивость в среднем квадратическом, устойчивость с вероятностью, равной единице.
В работе на основании второго метода Ляпунова построены квадратические функционалы Ляпунова-Красовского, которые гарантируют устойчивость решений системы. Полученные результаты сформулированы в виде теорем и следствий и проиллюстрированы на модельных примерах. Для систем стохастических дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений с возмущениями винерового и пуассонового типов впервые:
- получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной p-устойчивости (p>0) тривиального решения нелинейных СДР с пуассоновыми возмущениями;
- получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в среднем квадратическом тривиального решения линейных СДР с постоянными коэффициентами и пуассоновыми возмущениями;
- получены условия асимптотической устойчивости в среднем квадратическом тривиального решения СДР, не разрешимых относительно дифференциалов с пуассоновыми возмущениями;
- получены достаточные условия асимптотической устойчивости в среднем квадратическом тривиального рещения линейных СДРР с запаздыванием при наличии пуассоновых возмущений;
- получены достаточные условия асимптотической устойчивости в среднем квадратическом тривиального решения СДРР с постоянными коэффициентами с запаздыванием, не разрешимых относительно дифференциалов с пуассоновыми возмущениями;
- получены оценки в среднем квадратическом решений линейных СДРР с запазды-ванием и пуассоновыми возмущениями;
- получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости с вероятностью единица линейных СДР с постоянными коэффициентами;
- разработана методика решения обобщенного матричного уравнения Сильвестра, что возникает при исследовании устойчивости решений СДР и СДРР;
- построен алгоритм решения обобщенного матричного уравнения Сільвестра итерационным методом;
- предложена методика и алгоритмы решения обобщенного матричного уравнения Сильвестра методами выпуклого программирования;
- осуществлена программная поддержка решения матричного обобщенного уравнения Сильвестра и численной реализации оценок решений систем диференциально-функциональных уравнений с запаздыванием.
Ключевые слова: стохастическое дифференциальное уравнение, асимптотическая устойчивость в среднем квадратическом, квадратический функционал Ляпунова-Красовского, обобщенное матричное уравнение Сильвестра.
1