Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 33
з теми: «Геометричний зміст частинних похідних та диференціалу. Похідна за напрямом. Градієнт.»
Модуль КЗН-02.ПР.О.03.13 Частинні похідні і диференціали
Дисципліна: «Математичний аналіз»
|
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В. |
Розробив викладач Велікодна О. В. |
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІІ
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Геометричний зміст частинних похідних та диференціалу. Похідна за напрямом. Градієнт.
Мета:
Тип: лекція
Вид: лекція з використанням проектної технології.
Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.
Науково-методичне забезпечення:
Між предметні зв’язки:
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ
Конспект лекції № 33.
Тема: Геометричний зміст частинних похідних та диференціалу. Похідна за напрямом. Градієнт.
План лекції № 33.
Розглянемо функцію двох змінних z = ƒ(х, у). Нехай в точці функція має частинну похідну , де α за геометричним змістом похідної функції однієї змінної є кутом нахилу дотичної до графіку цієї функції, тобто до кривої z = ƒ(х, у), у = у0, в точці (х0, у0, z0), де z0 = ƒ(х0, у0). В цьому й є зміст частинної похідної.
Далі, диференційованість функції z = ƒ(х, у) в точці (х0, у0) означає, що .
Підставимо відповідні вирази у рівність та отримаємо .
Площина, що визначається рівнянням називається дотичною площиною до графіку функції z = ƒ(х, у) в точці (х0, у0, z0). Якщо аплікату дотикання позначити z0, то , z = ƒ(х, у). Також, . Таким чином, диференціал функції дорівнює приросту аплікати дотичної площини до графіку функції.
Нехай функція диференційовна в точці деякої області. Перетнемо поверхню , що зображає функцію , площинами і Площина перетинає поверхню по деякій лінії , рівняння якої виходить підстановкою у вираз початкової функції замість числа . Точка належить кривій. Через диференційовність функції в точці функція також диференціюється в точці . Тому, в цій точці площини до кривої може бути проведена дотична пряма .
Проводячи аналогічні міркування для перетину , побудуємо дотичну пряму до кривої в точці . Прямі і визначають площину, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці .
Складемо її рівняння. Оскільки площина проходить через точку , то її рівняння може бути записано у вигляді
яке можна переписати так:
(розділивши рівняння на і позначивши ).
Знайдемо і : Рівняння дотичних і мають вигляд
відповідно.
Дотична лежить в площині , отже, координати всіх точок задовольняють рівняння (3.1). Цей факт можна записати у вигляді системи
Розв’язуючи цю систему відносно , отримаємо, що Проводячи аналогічні міркування для дотичної , легко встановити, що
Підставивши значення і в рівняння (3.1), одержуємо шукане рівняння дотичної площини:
Пряма, що проходить через точку і перпендикулярна дотичній площини, побудованої в цій точці поверхні, називається її нормаллю.
Використовуючи умову перпендикулярності прямої і площини, легко отримати канонічні рівняння нормалі:
Якщо поверхня задана рівнянням , то
і
Зауваження. Формули дотичної площини і нормалі до поверхні отримані для звичайних, тобто не особливих, точок поверхні. Точка поверхні називається особливою, якщо в цій точці всі частинні похідні рівні нулю або хоча б одна з них не існує. Такі точки ми не розглядаємо.
Приклад. А) Написати рівняння дотичної площини і нормалі до параболоїда обертання в точці .
Тут, , ,
Користуючись формулами (3.2) і (3.3) одержуємо рівняння дотичної площини:
або і рівняння нормалі:
Б) Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці :
а) у точці .
Знайдемо : . Отже, .
Позначимо .Тоді частинні похідні:
, , .
Обчислимо значення частинних похідних в точці :
,
,
.
Згідно з формулою (2.9), рівняння дотичної площини має вигляд:
,
або .
За формулою (2.10) складемо рівняння нормалі:
.
б) у точці .
Знайдемо , , .
Значення частинних похідних в точці :
,
,
.
Складемо рівняння дотичної площини:
,
або .
Рівняння нормалі:
або .
Нехай функція ƒ(х, у, z) визначено в околі точки (х0, у0, z0) та заданий вектор l, l ≠ 0. Позначимо через його напрямні косинуси, тобто координати одиничного вектору . Проведемо через точку (х0, у0, z0) луч в напрямку вектору l та запишемо рівняння в параметричному вигляді: , де t – відстань від точки (х, у, z) луча, що відповідає значенню параметру t до точки (х0, у0, z0).Розглянемо композицію функцій ƒ(х, у, z) та , тобто . Права похідна цієї функції в точці t=0 називається похідною функції ƒ(х, у, z) в точці (х0, у0, z0) за напрямом вектору l, та позначається .
=. Якщо М0=(х0, у0, z0), М=(х, у, z) – точки луча, то М0М =t, та . Всі величини в правій частині рівності не залежать від вибору системи координат, тому й похідна за напрямом в точці М0 не залежить від вибору системи координат. Функції лінійні відносно t, тому диференційовані. Тоді, похідна складної функції по змінній t буде дорівнювати похідній функції . Користуючись формулою диференціювання складної функції, отримаємо , де . Далі будемо мати: - похідна функції ƒ(х, у, z) в точці (х0, у0, z0) за напрямом вектору l.
Вектор називається градієнтом функції ƒ(х, у, z) та позначається . Градієнт функції не залежить від вибору системи координат, якщо , то напрямок градієнту є єдиним напрямом, за яким похідна за напрямом в даній точці має найбільше значення, а довжина градієнту дорівнює цьому найбільшому значенню. Якщо ж , то в даній точці похідні за всіма напрямами дорівнюють нулю.
Приклади.