Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 66
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Основные задачи и уравнения математической физики
Найти общее решение уравнения, считая .
|
127. |
128. |
||
|
129. |
130. |
||
|
131. |
132. |
||
|
133. |
134. |
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
Определить, при каких значениях краевая задача имеет нетривиальное решение. Найти собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.
143.
144.
145.
146.
147.
Уравнения параболического типа
Найти закон распределения температуры внутри стержня длины , , , если в начальный момент времени температура задана функцией . На концах стержня поддерживается постоянная нулевая температура . Теплообмен свободный.
|
148. |
|
149. |
|
|
150. |
|
151. |
|
|
152. |
|
153. |
|
|
154. |
155. |
|
|
Решить смешанную задачу для данного однородного уравнения теплопроводности при начальном условии и неоднородных граничных условиях , где .
|
156. |
|
|
157. |
|
|
158. |
|
|
159. |
|
|
160. |
|
Найти закон распределения температуры внутри стержня длины , , при свободном теплообмене, если на левом конце стержня поддерживается постоянная температура , а правый конец стержня изолирован от окружающей среды . Начальная температура стержня задана функцией .
|
161. |
|
|
162. |
|
|
163. |
Найти закон изменения температуры в однородном изотропном стержне длины , , при свободном теплообмене, если начальная температура стержня задана функцией . Левый конец стержня теплоизолирован , а на правом поддерживается постоянная температура .
|
164. |
|
165. |
|
|
166. |
|
167. |
|
Найти решение уравнения теплопроводности если начальное распределение температуры в стержне и оба конца стержня теплоизолированы от окружающей среды, т.е. .
|
168. |
|
|
169. |
|
|
170. |
|
Найти решение уравнения теплопроводности если начальное распределение температуры в стержне и оба конца стержня поддерживаются при постоянной температуре, т.е.
|
171. |
|
|
172. |
|
|
173. |
|
|
174. |
|
175. Начальное распределение температуры внутри бесконечного стержня задается формулой где , = const. Найти закон распределения температуры внутри стержня в любой момент времени
176. Найти распределение температуры внутри полубесконечного стержня, расположенного на участке прямой , если левый конец стержня теплоизолирован Начальное распределение температуры внутри стержня задано равенством
Уравнения гиперболического типа
Найти решение уравнения колебания струны длиною , закрепленной на концах и удовлетворяющей начальным условиям
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
Найти решение смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке с начальными условиями и с однородными граничными условиями вида
185.
186.
187.
188.
189.
190.
Найти решение неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями
|
191. |
|
|
192. |
|
|
193. |
Используя формулу Даламбера, найти решение уравнения при начальных условиях
|
194. |
|
|
195. |
|
|
196. |
|
|
197. |
|
|
198. |
, |
|
199. |
, |
Используя метод продолжения и формулу Даламбера, найти решения следующих задач:
200. В области найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям
201. В области найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям
202. Найти решение уравнения , , удовлетворяющее условиям
Уравнения эллиптического типа
Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
203.
204.
205.
206. Найти закон стационарного распределения температуры внутри бесконечного кругового цилиндра радиуса R, если на его поверхности поддерживается заданная температура
Численные методы решения краевых задач
Используя разностные схемы, найти приближенные численные решения следующих задач:
207.
208.
209.
Вариационное исчисление
Среди непрерывно дифференцируемых на отрезке функций найти экстремали функционалов, заданных в следующих задачах.
210.
211.
212.
Исследовать на экстремум функционалы:
213.
214.
215.
Найти экстремали функционалов:
216.
217.
218.
Найти экстремум функционала в следующих примерах:
219.
при условии
220.
при условии
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
|
1.1. |
1.2. |
1.3. |
|||
|
1.4. |
1.5. |
1.6. |
|||
|
1.7. |
1.8. |
1.9. |
|||
|
1.10. |
1.11. |
1.12. |
|||
|
1.13. |
1.14. |
1.15. |
|||
|
1.16. |
1.17. |
1.18. |
|||
|
1.19. |
1.20. |
1.21. |
|||
|
1.22. |
1.23. |
1.24. |
|||
|
1.25. |
1.26. |
1.27. |
|||
|
1.28. |
1.29. |
1.30. |
Задание 2. Найти общее решение уравнения:
|
2.1. |
2.2. |
||
|
2.3. |
2.4. |
||
|
2.5. |
2.6. |
||
|
2.7. |
2.8. |
||
|
2.9. |
2.10. |
||
|
2.11. |
2.12. |
||
|
2.13. |
2.14. |
||
|
2.15. |
2.16. |
||
|
2.17. |
2.18. |
||
|
2.19. |
2.20. |
||
|
2.21. |
2.22. |
||
|
2.23. |
2.24. |
||
|
2.25. |
2.26. |
||
|
2.27. |
2.28. |
||
|
2.29. |
2.30. |
|
3.1. |
|
|
3.2. |
|
|
3.3. |
|
|
3.4. |
|
|
3.5. |
|
|
3.6. |
|
|
3.7. |
|
|
3.8. |
|
|
3.9. |
|
|
3.10. |
|
|
3.11. |
|
|
3.12. |
|
|
3.13. |
|
|
3.14. |
|
|
3.15. |
|
|
3.16. |
|
|
3.17. |
|
|
3.18. |
|
|
3.19. |
|
|
3.20. |
|
|
3.21. |
|
|
3.22. |
|
|
3.23. |
|
|
3.24. |
|
|
3.25. |
|
|
3.26. |
|
|
3.27. |
|
|
3.28. |
|
|
3.29. |
|
|
3.30. |
Задание 4. Привести к каноническому виду:
4.1. а)
б)
в)
4.2. а)
б)
в)
4.3. а)
б)
в)
4.4. а)
б)
в)
4.5. а)
б)
в)
4.6. а)
б)
в)
4.7. а)
б)
в)
4.8. а)
б)
в)
4.9. а)
б)
в)
4.10. а)
б)
в)
4.11. а)
б)
в)
4.12. а)
б)
в)
4.13. а)
б)
в)
4.14. а)
б)
в)
4.15. а)
б)
в)
4.16. а)
б)
в)
4.17. а)
б)
в)
4.18. а)
б)
в)
4.19. а)
б)
в)
4.20. а)
б)
в)
4.21. а)
б)
в)
4.22. а)
б)
в)
4.23. а)
б)
в)
4.24. а)
б)
в)
4.25. а)
б)
в)
4.26. а)
б)
в)
4.27. а)
б)
в)
4.28. а)
б)
в)
4.29. а)
б)
в)
4.30. а)
б)
в)
Задача 5. Струна закреплена в точках . Определить форму струны для любого момента времени , если начальные скорости точек струны отсутствуют, а начальные отклонения выражаются формулой:
|
5.1. |
5.2. |
||
|
5.3. |
5.4. |
||
|
5.5. |
5.6. |
||
|
5.7. |
5.8. |
||
|
5.9. |
5.10. |
||
|
5.11. |
5.12. |
||
|
5.13. |
5.14. |
||
|
5.15. |
5.16. |
||
|
5.17. |
5.18. |
||
|
5.19. |
5.20. |
||
|
5.21. |
5.22. |
||
|
5.23. |
5.24. |
||
|
5.25. |
5.26. |
||
|
5.27. |
5.28. |
||
|
5.29. |
5.30. |
Задание 6. Методом конечных разностей решить уравнение распространения тепла в стержне . Вычислить значения функции во всех узлах сетки, где . Данные см. в таблице:
|
№ п/п |
||||||||
|
6.1. |
0.8 |
1 |
0.1 |
1 |
1.51 |
0.6 |
0.04 |
|
|
6.2. |
0.8 |
1 |
0.1 |
5 |
6.28 |
0.6 |
0.05 |
|
|
6.3. |
1 |
0.5 |
0.1 |
0.5 |
3.02 |
0.6 |
0.04 |
|
|
6.4. |
1 |
0.8 |
0.2 |
0 |
4.52 |
0.8 |
0.12 |
|
|
6.5. |
2.1 |
1.8 |
0.3 |
1 |
5.41 |
0.9 |
0.18 |
|
|
6.6. |
1.2 |
1 |
0.2 |
1 |
2.30 |
0.6 |
0.14 |
|
|
6.7. |
1.2 |
1.5 |
0.1 |
0 |
1.73 |
0.5 |
0.04 |
|
|
6.8. |
1.4 |
1.2 |
0.2 |
1 |
6.49 |
0.8 |
0.12 |
|
|
6.9. |
1.4 |
1 |
0.1 |
1 |
10.8 |
0.8 |
0.05 |
|
|
6.10. |
1.5 |
0.9 |
0.1 |
0 |
0.9 |
0.27 |
||
|
6.11. |
1 |
1 |
0.1 |
3 |
2.54 |
0.8 |
0.03 |
|
|
6.12. |
1.5 |
0.5 |
0.3 |
4 |
14.18 |
1.2 |
0.05 |
|
|
6.13. |
1.8 |
1.8 |
0.1 |
1 |
7.22 |
0.6 |
0.27 |
|
|
6.14. |
1.8 |
1.2 |
0.1 |
2 |
1.03 |
1.0 |
0.14 |
|
|
6.15. |
1.8 |
1.2 |
0.3 |
2 |
4.48 |
0.9 |
0.12 |
|
|
6.16. |
2 |
1.6 |
0.2 |
2 |
14 |
1.6 |
0.48 |
|
|
6.17. |
2 |
2 |
0.2 |
1 |
21 |
1.0 |
0.14 |
|
|
6.18. |
2 |
2 |
0.2 |
3 |
27 |
1.5 |
0.05 |
|
|
6.19. |
2.4 |
1 |
0.4 |
-1 |
4.76 |
0.8 |
0.12 |
|
|
6.20. |
2.4 |
1.8 |
0.2 |
0 |
17.28 |
0.8 |
0.36 |
|
|
6.21. |
2.8 |
1.6 |
0.1 |
0 |
31.36 |
0.6 |
0.12 |
|
|
6.22. |
2.8 |
3.2 |
0.2 |
3 |
25.15 |
1.6 |
0.48 |
|
|
6.23. |
3 |
1.6 |
0.2 |
0 |
0.45 |
0.8 |
0.16 |
|
|
6.24. |
3 |
2.7 |
0.3 |
1 |
19 |
2.7 |
0.27 |
|
|
6.25. |
3 |
2.5 |
0.5 |
1 |
14.01 |
1.5 |
0.75 |
|
|
6.26. |
2.0 |
1.2 |
0.2 |
2 |
6. |
1 |
0.12 |
|
|
6.27. |
1.4 |
0.8 |
0.1 |
1.2 |
0.04 |
|||
|
6.28. |
1.0 |
1.2 |
0.1 |
2 |
3 |
0.5 |
0.06 |
|
|
6.29. |
1.0 |
1.4 |
0.1 |
0 |
1 |
0.6 |
0.04 |
|
|
6.30. |
2.0 |
1.4 |
0.1 |
0.5 |
2 |
0.5 |
0.04 |
Задание 7. Найти непрерывную функцию , удовлетворяющую внутри прямоугольной области уравнению Лапласа и принимающую на границе области следующие значения: Данные см. в таблице:
|
7.1. |
|
|
7.2. |
|
|
7.3. |
|
|
7.4. |
|
|
7.5. |
|
|
7.6. |
|
|
7.7. |
|
|
7.8. |
|
|
7.9. |
|
|
7.10. |
|
|
7.11. |
|
|
7.12. |
|
|
7.13. |
|
|
7.14. |
|
|
7.15. |
|
|
7.16. |
|
|
7.17. |
|
|
7.18. |
|
|
7.19 |
|
|
7.20. |
|
|
7.21. |
|
|
7.22. |
|
|
7.23. |
|
|
7.24. |
|
|
7.25. |
|
|
7.26. |
|
|
7.27. |
|
|
7.28. |
|
|
7.29. |
|
|
7.30. |
Задание 8. Найти решение уравнения теплопроводности на отрезке при заданных начальном и граничных условиях.
|
8.1. |
8.2. |
||
|
8.3. |
8.4. |
||
|
8.5. |
8.6. |
||
|
8.7. |
8.8. |
||
|
8.9. |
8.10. |
||
|
8.11. |
8.12. |
||
|
8.13. |
8.14. |
||
|
8.15. |
8.16. |
||
|
8.17. |
8.18. |
||
|
8.19. |
8.20. |
||
|
8.21. |
8.22. |
||
|
8.23. |
8.24. |
||
|
8.25. |
8.26. |
||
|
8.27. |
8.28. |
||
|
8.29. |
8.30. |
Задание 9. Найти решение уравнения теплопроводности на интервале при заданных начальном и граничных условиях.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
9.12.
9.13.
9.14.
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24.
9.25.
9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30.
Задание 10. Дан тонкий однородный стержень боковая поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение температуры в стержне, если задана его начальная температура правый конец стержня теплоизолирован, левый поддерживается при постоянной температуре .
|
10.1. |
10.2. |
||
|
10.3. |
10.4. |
||
|
10.5. |
10.6. |
||
|
10.7. |
10.8. |
||
|
10.9. |
10.10. |
||
|
10.11. |
10.12. |
||
|
10.13. |
10.14. |
||
|
10.15. |
10.16. |
||
|
10.17. |
10.18. |
||
|
10.19. |
10.20. |
||
|
10.21. |
10.22. |
||
|
10.23. |
10.24. |
||
|
10.25. |
10.26. |
||
|
10.27. |
10.28. |
||
|
10.29. |
10.30. |