Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
В общем случае искомыми величинами в задачах теории упру гости являются функции перемещений, компоненты напряженного и деформированного состояний среды. Следовательно, в каждой точке тела подлежат определению 15 величин: три компоненты смещений - u, v и w; шесть компонент напряжений - sx , sy , sz , txy , txz иtyz ; шесть компонент деформаций - ex , ey , ez , gxy , gxz , gyz .
Очевидно, что для решения задачи в общем случае необходимо 15 уравнений, связывающих искомые величины, которые выполня лись бы не только внутри заданного тела, но и на его границе.
Полученные выражения (10.2), (10.16), (10.18), (10.19) образуют такую систему. Для однозначного решения задачи необходимо задание условий на контуре тела - граничных условий. Эти условия могут быть заданы в виде заранее определенных компонент напря жений (статические граничные условия) или компонент перемеще ний (кинематические граничные условия) или же комбинации тех и других (смешанные граничные условия).
Если заданы граничные условия и требуется оценить напря женно-деформированное состояние заданного тела, то такая задача называетсяпрямой задачей теории упругости. Если же по задан ным функциям напряженно-деформированное состояния рассмат риваемого тела требуется найти граничные условия им соответству ющие, то такая задача называется обратнойзадачей теории упру гости.
Решение прямой задачи теории упругости можно вести разны ми способами. Если в качестве неизвестных принять функции пе ремещений - u, v и w, то полную система уравнений (10.2), (10.16), (10.18), (10.19) можно свести к следующим трем дифференциаль ным уравнениям относительно этих функций:
(10.21)
где - оператор Лапласа.
Уравнения (10.21) называются уравнениями Ляме. Граничные условия также необходимо выразить через перемещения. В итоге контурные напряжения запишутся через перемещения в следу ющем виде:
(10.22)
Если же в качестве неизвестных принять компоненты напря женного состояния в произвольной точке тела - sx , sy , sz , txy , txz и tyz , то к уравнениям равновесия (10.2) нужно присоединить уравнения совместности деформаций (10.17) и закон Гука (10.18-10.19). В результате совместного рассмотрения такой системы диф ференциальных уравнений получаются так называемые уравнения Бельтрами:
(10.23)
где I1 - первый инвариант напряженного состояния в точке.
Произвольные постоянные, получаемые в результате интегри рования уравнений (10.23), находятся при учете граничных усло вий, выраженных в следующем виде:
где X, Y, Z - компоненты полного напряжения на границе.
Решение задач в перемещениях
Из уравнения (1.24) с помощью (1.15) имеем:
(1.40)
где
Дифференцируя (1.40) и внося производные в первое уравнение (1.2), имеем:
. (1.41)
Выражение в первой скобке может быть записано так:
.
Аналогично можно преобразовать и другие два уравнения (1.2), но можно и сразу написать результат, сделав круговую подстановку букв.
Итак, приходим к следующей системе основных уравне ний метода перемещений теории упругости:
. (1.42)
Эти уравнения носят название уравнений Ляме. Они яв ляются синтезом статического, геометрического и физического обследований задачи.
Поверхностные условия также можно преобразовать, выразив напряжения через перемещения.
Подставив в первое уравнение (1.4) на место на пряжений выражения для них в форме (1.40), имеем:
. (1.43)
Уравнения (1.42) совместно с условиями на поверхности (1.43) позволяют перейти к решению задач теории упругости в перемещениях.
1.14 Решения задач в напряжениях
В противоположность приему, принятому в предыдущем разделе, когда во всех преобразованиях преследовали цель выразить неизвестные через перемещения, можно по ставить другую: все выражать через напряжения. Сообщим окончательные результаты и ограничимся случаем статического равновесия тела при ус ловии отсутствия объемных сил или их постоянства.
Трех условий равновесия (1.2) недостаточно, и надо обратиться к условиям неразрывности деформаций (1.17,а) и (1.17,б). Так как в последние входят деформации, их необходимо выразить через напряжения с помощью (1.24). Выпол нив эту подстановку и пользуясь одновременно уравнениями равновесия (1.2), уравнения неразрывности преобразуют к сле дующему виду (уравнения Бельтрами):
, (1.44)
где .
Таким образом, для решения задачи придется проинтегри ровать девять уравнений (1.2), (1.44), а входящие в общие ре шения этих уравнений произвольные функции определить из условий на поверхности (1.4).
Таким же преобразованием двух следующих уравнений (1.20) получим выражения для и , а решением трех последних уравнений (1.20) - выражения для . Итак:
. (1.24)
Из проекций элементарного параллелепипеда на две другие плоскости координат найдем выражение для относительной линейной де формации и относительных сдвигов и . В результате получим следующие шест зависимостей между относительными деформациями и перемеще ниями:
. (1.15)