Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
26. СПОСОБЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
Основным способом математических доказательств является дедуктивный вывод. При этом математическое доказательство представляет собой такую цепочку дедуктивных умозаключений, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений. Заключение последнего умозаключения — доказываемое утверждение.
Самое простое доказательство состоит из одного умозаклю чения, из одного шага. Например, для доказательства утвержде ния «4<8» можно построить следующее умозаключение: «Если число а встречается при счете раньше, чем число Ь, то го ворят, что a<Cb. Число 4 при счете встречается раньше, чем чис ло 8. Значит, 4<8».
Рассмотрим примеры доказательств, состоящих из двух и бо лее шагов.
Пример 1. Докажем, что диагональ любого параллелограм ма разбивает его на два равных треугольника.
Доказательство. 1. В любом параллелограмме противо положные стороны равны; ABCD — параллелограмм (рис. 53), следовательно, AB — CD, BC — AD.
Умозаключение выполнено по правилу заключения, значит, по лученный вывод истинен.
И в этом случае умозаключение сделано по правилу заклю чения, значит, его вывод истинен.
Теорема доказана.
Доказательство данной теоремы состояло из двух шагов умо заключений с указанием всех посылок. Однако такие доказатель ства громоздки и поэтому их обычно ведут в свернутой, сокра щенной форме, опуская отдельные посылки в схемах умозаклю чений. Например, приведенное доказательство в свернутой форме
Рис. 53
может быть таким: в треугольниках ABC и ACD стороны АВ и CD, а также стороны ВС и AD равны как противоположные стороны параллелограмма ABCD, сторона АС — общая, сле довательно, треугольники ABC и ACD равны.
Пример 2. Докажем, что диагонали ромба взаимно перпен дикулярны.
Сначала проведем доказательство в свернутой форме. Рас смотрим треугольники АОВ и AOD (рис. 54). В них: AB = AD — это стороны ромба; BO = OD, так как в точке пересечения диа гонали ромба делятся пополам; АО — общая сторона. Следова тельно, ААОВ= AAOD. Из равенства треугольников имеем, что Z-AOB=/LAOD, но эти углы смежные. Поэтому углы АОВ и AOD — прямые и, следовательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Выполним логический анализ доказательства, т. е. выделим цепочку умозаключений и установим используемые в каждом звене правила вывода.
Если прямые при пересечении образуют прямые углы, то они перпендикулярны; углы АОВ и AOD — прямые, следовательно, диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны (правило заключе ния) . Таким образом, доказательство истинности данного высказы вания представляет собой цепочку дедуктивных умозаключений, проводимых в каждом случае по правилу заключения, что обеспечивает истинность выводов. Заключение каждого из умозак лючений, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений.
Доказательства по способу ведения подразделяются на прямые и косвенные. Все ранее рассмотренные доказательства были пря мыми — в них, основываясь на каком-либо истинном предложении, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, приводимая к ис тинному заключению.
К прямым доказательствам относится полная индукция. Это такой способ доказательства, при котором истинность утвержде ния общего характера следует из истинности его во всех частных случаях.
Докажем таким способом, что каждое натуральное число, боль шее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.
Выпишем все четные числа, большие 4, но меньшие 20: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Попытаемся представить каждое из этих чисел в виде суммы двух простых чисел: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 (или 10 = 7 + 3), 12 = 5 + 7, 14 = 3+11 (или 14 = 7 + 7), 16 = 5+11 (или 16 = 3+13), 18 = 7+11 (или 18 = 5+13).
Действительно, любое четное число, большее 4, но меньшее 20, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Убедились в этом, рассмотрев все частные и возможные случаи.
Примером косвенного доказательства является доказательство от противного.
Рассмотрим пример. Докажем, что если две различные прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой.
Доказательство. Допустим противное, т. е. что прямые а и if не параллельны между собой. Тогда они пересекаются в некоторой точке Р, не принадлежащей прямой с. Так как по условию а параллельна с и b параллельна с, то приходим к выводу, что через точку Р вне прямой с можно провести две различные прямые, параллельные прямой с. Это высказы вание противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, наше предположение неверное. Но тогда истинна данная тео рема.
Вообще, суть доказательства теоремы А => В способом от противного заключается в следующем. Допускают, что заклю чение теоремы В ложно, а, следовательно, его отрицание В истин но. Присоединив это предложение к совокупности истинных посы лок, используемых в процессе доказательства (среди которых на ходится и условие А), выводят из них следствия до тех пор, по ка не получится предложение, противоречащее одной из посылок.
Заключая процесс рассуждения, говорят, что полученное противо речие доказывает теорему.
Еще одной формой косвенного доказательства является дока зательство, основанное на законе контрапозиции, Суть его в том, что вместо теоремы А => В доказывают равносильную ей теорему вида В=$-А. Если она оказывается истинной, то истинна и исход ная теорема.
Докажем, что если дробь несократима, то и дробь -у тоже несократима.
Доказательство. Допустим, что сократимая
дробь. Тогда ее числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, например т: a — mq, Ь — тр,• где т'^-2. Значит,
та — тр m(q — р) , а — Ь
=———-= )ч , т. е. дробь —— сократима. mq + mp m(q + p) г а + 0
Таким образом, доказана истинность предложения: «Если дробь сократима, то будет сократима и дробь Ь- ». Оно пред ставляет собой теорему, обратную к противоположной. Значит, по закону контрапозиции будет истинна и исходная теорема.