тематики статистики та економіки ПМСЕ Узгоджено Затверджено УДК 517
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Карапетян Л.С.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ЗІ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ ЛАНКАМИ ЗАПІЗНЕННЯ
Кіровоград 2013
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ (МОНУ)
КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ВИННИЧЕНКА (КДПУ)
Кафедра прикладної математики, статистики та економіки (ПМСЕ)
Узгоджено __________________ Затверджено______________
УДК 517.91
ББК 22.161a73
Інв..№5.63.Р.СЛС.2013
РЕФЕРАТ
з теорії стійкості лінійних системна на тему
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ЗІ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ ЛАНКАМИ ЗАПІЗНЕННЯ
Студентки 63 групи фізико-математичного факультету
Карапетян Ліліт Саргісівна
Науковий керівник Філер
професор кафедри ПМСЕ, Залмен
доктор технічних наук Юхимович
Кіровоград 2013
АНОТАЦІЯ
Стор. 28, рис. 10, табл. 1, бібліогр. 3
СТІЙКІСТЬ, ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ, ЛІНІЙНІ, ЗАПІЗНЕННЯ, ФОРМУЛОЮ ЕЙЛЕРА
Назва даної роботи «Диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами ланками запізнення». Основною проблемою цього реферату є дослідження диференціальних рівнянь зі ланками запізнення. У першому розділі описується системи із сталими запізненнями. Також, в цьому розділі розглядаються нефінітизовані та фінітизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення. У другому розділі досліджуються системи із періодичними запізненнями. У висновку зазначаються основні положення цього реферату, які стосуються диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами ланками запізнення.
АННОТАЦИЯ
Стр. 28, рис. 10, табл.1, библиогр. 3
УСТОЙЧИВОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ЛИНЕЙНЫЕ, ОПОЗДАНИЕ, ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Название данной работы «Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами звеньями опоздание ». Основной проблемой этого реферата является исследование дифференциальных уравнений с звеньями опоздание. В первом разделе описывается системы с постоянными опозданиями. Также, в этом разделе рассматриваются нефинитизованые и финитизованые дифференциальные уравнения со звеньями опоздания. Во втором разделе исследуются системы с периодическими опозданиями. В заключении указываются основные положения этого реферата, касающиеся дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами звеньями опоздания.
ANNOTATION
рage 28, picture 10, table 1, bibliography 3
STABILITY, DIFFERENTIAL EQUATION, LINEAR, DELAY, EULER'S FORMULA
The title of the essay is "Differential equations with constant coefficients links delay". The main idea of the essay is to study differential equations with delay links. The first chapter of this work describes the system with constant delay. Also, this chapter focuses nefinityzovani and finityzovani differential equations with delay links . The second chapter of the essay examines the system of periodic delay . In conclusion, the author indicates the main provisions of this essay concerning differential equations with constant coefficients links delay.
ЗМІСТ
ВСТУП……………………………………………………………………..………5
I. СИСТЕМИ ІЗ СТАЛИМИ ЗАПІЗНЕННЯМИ………………………………...7
1.1. Нефінитизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення …….7
1.2. Фінітизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення……..…11
ІІ. СИСТЕМИ ІЗ ПЕРІОДИЧНИМИ ЗАПІЗНЕННЯМИ…………………..…20
2.1. Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь із запізненням...……20
2.2. Умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням..23
2.3. Стійкість систем з періодичними запізненням………...………………27
ВИСНОВКИ……………………………………………………………………...28
ЛІТЕРАТУРА…………………………………………………………………….29
Вступ
Диференціальні рівняння з ланками запізнення виду знаходять своє застосування в теорії автоматичного керування, автоколивальних систем, при вивченні проблем, пов'язаних з горінням в ракетному двигуні тощо.
Такі рівняння з'являються, наприклад, кожного разу, коли в розглядуваній фізичній чи технічній задачі, сила, що діє на матеріальну точку, залежить від швидкості і положення цієї точки не тільки в даний момент, але і в деякий момент, що передує даному. Наявність запізнення в системі, що вивчається, як правило, є причиною явищ, що суттєво впливають на хід процесу. Наприклад, в системах автоматичного керування запізненням є проміжок часу, принципово завжди присутній, який необхідний системі для реагування на вхідний імпульс. Технологічні і конструктивні вдосконалення потребують врахування явищ наслідку і в техніці, зокрема авіабудуванні. Наприклад, для сучасного літака приблизно десятиметрова всмоктуючи труба по відношенню до часу всмоктування виявляється довгою лінією і для опису процесу вприскування палива доводиться застосовувати рівняння з ланками запізнення.
I. СИСТЕМИ ІЗ СТАЛИМИ ЗАПІЗНЕННЯМИ
Диференціальні рівняння з ланками запізнення виду
|
(1.1) |
Розроблений критерій Михайлова, який по величині кута повороту радіуса-вектора годографа функції при зміні на півосі дає висновок про стійкість розв'язків відповідного диференціального рівняння (без запізнень), який вдається застосувати й до рівнянь із запізненнями. За допомогою теореми про незалежність зміни аргументу при русі вздовж кривої — частині замкненого контуру, в середині якого немає коренів (принцип аргументу з теорії функцій комплексної змінної), при виборі контуру з діаметром на осі ординат півкруга з центром в точці О й півколом у правій півплощині, показуємо, що в разі асимптотичної стійкості (коли немає коренів в цьому півкрузі при великому його радіусу), описаний кут повороту годографа повинен дорівнювати [3, c.31-33]
Враховуючи, що за формулою Ейлера , під знаками синуса та косинуса матимемо аргумент, який необмежено зростає при . Можна запропонувати, встановивши стійкість системи з коефіцієнтами , відійти від 1 на таке мале , яке показує близькість числа до , й встановлювати кут повороту годографа квазімногочлену на відрізку , близькість числа до і в цьому випадку.
1.1. Нефінитизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення
Розглянемо диференціальне рівняння виду
|
. (1.1.1) |
Шукаємо розв'язок рівняння (1) у вигляді .
Отримаємо характеристичне рівняння ( — стале запізнення):
Сократимо (2) на та спростимо його:
Для того щоб розглянути нефінітизований годограф, необхідно перейти до заміні
Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера: :
Або:
Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:
Після такої заміни можна побудувати нефінітизований годограф при
Приклад 1:
Для диференціального рівняння побудувати нефінітизований годограф при .
Розв’язання
◄ 1. Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді .
Отримаємо характеристичне рівняння
2. Поділимо рівняння на та спростимо його:
3. Перейдемо до заміні
4. Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера:
5. Введемо заміну, відокремивши уявну та дійсну частину:
6. Побудуємо нефінітизований годограф:
Рис. 1.1.1. Стійкий нефінітизований годограф
Маємо стійке диференціальне рівняння з запізненнями.►
Приклад 2:
Для диференціального рівняння побудувати нефінітизований годограф при
Розв’язання
◄ 1. Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді .
Отримаємо характеристичне рівняння
- Перейдемо до заміні , при
- Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера:
- Введемо заміну, відокремивши уявну та дійсну частину:
- Побудуємо нефінітизований годограф:
Рис.1.1.2. Стійкий нефінітиозваний годограф
Маємо стійке диференціальне рівняння з запізненнями. ►
Приклад 3:
Для диференціального рівняння
побудувати нефінітизований годограф при
Розв’язання
◄ 1. Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді .
Отримаємо характеристичне рівняння
- Перейдемо до заміні , при
- Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера:
- Введемо заміну, відокремивши уявну та дійсну частину:
- Побудуємо нефінітизований годограф:
Рис.1.1.3. Стійкий нефінітиозваний годограф
Маємо стійке диференціальне рівняння з запізненнями.►
Приклад 4:
Для диференціального рівняння побудувати нефінітизований годограф при
Розв’язання
◄ 1. Перейдемо до характеристичного рівняння
- Перейдемо до заміні , при
- Скористаємося для цієї рівності формулою Ейлера:
- Введемо заміну, відокремивши уявну та дійсну частину:
- Побудуємо нефінітизований годограф:
Рис.1.1.4. Стійкий нефінітиозваний годограф
Маємо стійке диференціальне рівняння з запізненнями. ►
1.2. Фінітизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення
Для того щоб здійснити процес фінітизації диференціального рівняння з запізненнями слід ввести в рівняння (1.1.6) таку заміну:
Після такої заміни отримаємо:
Помножимо рівняння (1.2.2) на вираз . Маємо:
Після такої заміни можна побудувати фінітизований годограф при
Приклад 5:
Для диференціального рівняння побудувати фінітизований годограф при
Розв’язання
◄ Скористаємося розв’язанням прикладу 1.
1. Після введення заміни маємо:
2. Введемо заміну . Отримаємо:
3. Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:
4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:
5. Побудуємо фінітизований годограф:
Рис.1.1.5. Стійкий фінітиозваний годограф
1. Після введення заміни маємо:
2. Введемо заміну . Отримаємо:
3. Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:
4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:
Рис.1.1.6 Стійкий фінітиозваний годограф
5. Побудуємо фінітизований годограф:►
Приклад 6:
Для диференціального рівняння побудувати фінітизований годограф при
Розв’язання
◄ Скористаємося розв’язанням прикладу 2.
1. Після введення заміни маємо:
. Введемо заміну . Отримаємо:
3. Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:
4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:
5. Побудуємо фінітизований годограф:
Рис.1.1.7. Стійкий фінітиозваний годограф
►
Приклад 7:
Для диференціального рівняння
побудувати фінітизований годограф при
Розв’язання
◄ Скористаємося розв’язанням прикладу 3.
1. Після введення заміни маємо:
.
2. Введемо заміну . Отримаємо:
. 3.Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:
.
4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:
5. Побудуємо фінітизований годограф:
Рис.1.2.8. Стійкий фінітиозваний годограф
►
Приклад 8:
Для диференціального рівняння побудувати фінітизований годограф при
Розв’язання
◄ Скористаємося розв’язанням прикладу 4.
1. Після введення заміни маємо:
.
2. Введемо заміну . Отримаємо:
.
.
3.Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:
.
4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:
Рис.1.2.10 . Стійкий фінітиозваний годограф
5.
Табл. 1.2.1
|
Стійкий фінітиозваний годограф |
Стійкий нефінітиозваний годограф |
2. СИСТЕМИ ІЗ ПЕРІОДИЧНИМИ ЗАПІЗНЕННЯМИ
Розглядаючи рух об’єктів, відстань до яких змінюється за періодичним законом, доводиться розглядати системи із періодичними запізненнями. Наприклад, штучний супутник Землі, що рухається по еліптичній орбіті, періодично змінює відстань до Центру управління польотами. Тому час затримки сигналу також змінюється періодично. Це може бути причиною параметричного резонансу, який веде до нестійкості в системі управління. Тому логічно було б розглянути стійкість систем з періодичними запізненнями.
2.1. Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь із запізненням
Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням вигляду:
, (2.1.1)
з крайовими умовами вигляду
, (2.1.2)
Задача (2.1.1) - (2.1.2) за допомогою замін зводиться до задачі про відшукання періодичного розв’язку з періодом для системи диференціальних рівнянь
, . (2.1.3)
Заміною змінних задача (2.1.3) зводиться до задачі знаходження 2- періодичних розв’язків неавтономної системи вигляду
, (2.1.45)
з додатковою умовою існування періодичного розв’язку
. (2.1.56)
Позначатимемо через розв’язок рівняння (2.1.6) відносно , а через — розв’язок рівняння . Припустимо, що для значень із деякого відрізка, виконуються такі умови
1) обмеженості;
2) Ліпшица:
3) власні значення матриці лежать в одиничному крузі;
4) множина точок , що знаходяться в області разом із своїм околом, не порожня.
При виконанні цих припущень періодичний розв’язок системи (2.1.45) будемо шукати як границю рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій, що визначаються рекурентними співвідношеннями:
,
,
, (2.1. 67)
, .
Маємо наступну теорему [2, c. 743]
Теорема 2.2.1. Якщо система (2.1.45) має періодичний розв’язок , який лежить на поверхні (2.1.56) і виконуються умови 1) - 4), тоді має місце співвідношення
,
визначений рівностями (7).
2.2 Умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням
Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням:
.
Як відомо, розв'язок задачі Коші для системи (2.2.1) полягає в знаходженні неперервно диференційованої векторної функції, що задовольняє початковим умовам y (t ) = φ(t ) і при підстановці обертає систему (2.2.1) в тотожність. Або, потрібно знайти інтегральну криву системи (2.2.1), що починається з деякого відрізка заданої кривої.
Таким чином простір розв'язків системи із запізненням (2.2.1) можна розглядати, як нескінченовимірний простір неперервно диференційованих функцій
Побудуємо систему звичайних диференціальних рівнянь:
до розв'язків якої прямують всі розв'язки вихідної системи із запізненням, тобто яка володіє асимптотичними властивостями щодо системи (2.2.1) [1, c. 739–749].
Слід зазначити, що розв'язок задачі Коші для системи без запізнення (2.2.2) полягає в знаходженні неперервно диференційованої векторної функції z (t ) , що задовольняє початковим умовам , яка при підстановці обертає систему (2.2.2) в тотожність, тобто потрібно знайти інтегральну криву, що починається в заданій точці . І простір розв'язків системи без запізнення (2.2.2) є скінченовимірним.
Означення 2.2.1. Система звичайних диференціальних рівнянь (2.2.2) називається асимптотичною для системи рівнянь із запізненням (2.2.1), якщо довільний розв'язок z (t ) системи (2.2.2) є розв'язком системи (2.2.1) і довільний розв'язок y (t ) системи із запізненням (2.2.1) прямує y (t ) → z(t ) при
t → +∞ до деякого розв'язку системи без запізнення (2.2.2).
Таким чином, система із запізненням (2.2.1) є асимптотичною, якщо в нескінченовимірному просторі Ω існує скінченовимірний многовид, до якого при t → +∞ прямують розв'язки системи (2.2.1) [2, c. 153–167].
Має місце наступна теорема [2, c. 53 ].
Теорема 2.2.1. Щоб система із запізненням (2.2.1) мала асимптотичну систему без запізнення (2.2.2), необхідно, щоб існувала векторна функція , при якій всі розв'язки системи звичайних диференціальних рівнянь (2.2.2) задовольняли систему інтегральних рівнянь:
Доведення.
◄Запишемо систему без запізнення (2.2.2) і систему із запізненням (2.2.1) в інтегральному вигляді:
Перепишемо інтегральне рівняння (2.2.4) у вигляді:
і підберемо функцію таким чином, щоб всі розв'язки z (t ) інтегрального рівняння (2.2.4) були розв'язками інтегрального рівняння (2.2.5). Для цього потрібно, щоб для розв'язків z (t ) рівняння без запізнення (2.2.2) при виконувалася тотожність:
Якщо початкові умови при співпадають, то тотожність (2.2.6) виконується при
де z(s) – розв'язки рівняння без запізнення, визначені при .
Таким чином, всі розв'язки z(t ) системи (2.2.2) є розв'язками системи (2.2.1)►.
Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь з сталим запізненням
Асимптотичне рівняння шукатимемо також у вигляді системи лінійних диференціальних рівняння першого порядку
з невідомою сталою матрицею Λ . Підставивши в інтегральне рівняння (2.2.3), отримуємо співвідношення
Оскільки розв'язок z (t ) системи без запізнення (2.2.8) має вигляд
,
де – нормована фундаментальна матриця розв'язків, що називається матричним експоненціалом, то підставивши його в інтегральне рівняння (2.2.3), і обчисливши інтеграли, отримаємо
Звідси випливає, що
Таким чином асимптотична система рівнянь для системи із запізненням (2.2.7) має вигляд (2.2.8), де матриця Λ є розв'язок матричного рівняння (2.2.10).
Розв'язок матричного рівняння (2.2.10) можна знайти методом послідовних наближень. При певних обмеженнях, що накладаються на матриці A і B метод досить швидко збігається.
Приклад: Розглянемо окремий випадок скалярного лінійного рівняння із запізненням
Знайти асимптотичне рівняння
◄ Асимптотичне рівняння шукатимемо також у вигляді лінійного скалярного рівняння першого порядку
Підставивши в інтегральне рівняння (2.2.3), отримуємо співвідношення:
Оскільки розв'язок диференціального рівняння без запізнення (2.2.9) має вигляд , то підставивши його в інтегральне рівняння (2.2.11), і обчисливши інтеграл, отримаємо
Звідси випливає, що
Таким чином асимптотичне рівняння для скалярного рівняння з запізненням (2.2.11) має вигляд (2.2.12), де коефіцієнт λ є розв'язком характеристичного рівняння (2.2.14)►
2.3 Стійкість систем з періодичними запізненням
Розглянемо диференціальні рівняння з ланками запізнення виду:
|
(1) |
Одним з методів аналізу стійкості систем з періодичними запізненнями є зведення їх до рівнянь з періодичними коефіцієнтами. Використовуючи розклад членів із запізненнями за формулою Тейлора, отримуємо:
|
(2) |
Кількість членів розкладу беремо таку, щоб не підвищувався порядок рівняння. У результаті маємо рівняння з періодичними коефіцієнтами. Його не важко перетворити в систему рівнянь 1-го порядку з матрицею:
в якій «нові» елементи є сумами «старих» елементів, які не враховують запізнення, і відповідні члени розкладу елементів з періодичними запізненнями.
ВИСНОВКИ
- Розглянуто диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами ланками запізнення;
- Розглянуто системи із періодичними запізненнями;
- Наведені приклади нефінітизованих та фінітизованих диференціальні рівняння зі ланками запізнення;
- Отримані умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням;
- Робота може бути корисною в навчальному процесі з теорії диференціальних рівнянь та в теорії автоматичного керування, автоколивальних систем тощо.
ЛІТЕРАТУРА
- Валеев К.Г., Кулеско Н.А. О конечнопараметрическом семействе решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – Киев: Украинский математический журнал, Т.20, №6, 1968. – 749 c.
- Джалладова І. А.. Умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка, №7. – С.53 - 55 (http://papers.univ.kiev.ua/kibernetyka/10942.pdf)
- Музиченко О.І., Філер З.Ю., Стійкість лінійних диференціальних рівнянь. – Кіровоград, 2010. – 49с.
2. Образование и рыночные отношения
3. Марцевич Эдуард Евгеньевич
4. Вий В черном черном лесу стоит черный черный дом В черном черном дому стоит черный черный стол На
5. Сибирский государственный медицинский университет Министерства здравоохранения РОссийской Федерации
6. Вариант 1 1. Электрическое поле создается двумя разноименными точечными покоящимися зарядами q12 мКл и q28
7. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук КІРОВОГ
8. радости общения
9. Система управления качеством производственного процесса на АЭС
10. Таблица для расчета топографической дальности и дирекционного угла цели
11. 2014 г
12. Жариков Евгений
13. тема рассказа. По социальной характеристике вор герой принадлежит к
14. В 13 ЭТАЛОНЫ ЕДИНИЦ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ЭТАЛОННЫЕ СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ Размеры единиц воспроизводятся хр
15. КУЛЬТУРА ЕПОХИ АБСОЛЮТИЗМУ І ПРОСВІТНИЦТВА
16. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук Харків ~.
17. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук ІваноФранків
18. Характеристика технології виробництва сиру кисломолочного
19. 114 Петрів Н.М. Перевірила- Лазько О
20. 1Уровень трудоемкости ФПл 2Уровень производительности 1ур