Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Комунальний вищий навчальний заклад
«Бериславський педагогічний коледж імені В. Ф. Беньковського»
Херсонської обласної ради
|
Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 2 Семестр: VІ Кількість годин: 2 |
ЛЕКЦІЯ № 9 (63-64)
Тема: Подільність цілих невід’ємних чисел
|
Розглянуто і затверджено на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін та нових інформаційних технологій Протокол № ___ від _________ 2013р. Голова предметної (циклової) комісії: _________________ Г. Ю. Шкворченко |
м. Берислав
Тема лекції: Подільність цілих невід’ємних чисел
Студенти повинні знати:
Студенти повинні вміти:
Тип лекції: тематична
Ключові поняття: просте і складене число, рефлексивне, антисиметричне, транзитивне відношення подільності, число а кратне числу b, теореми про ознаки подільності.
План
Основна література
С. 79-82.
Інтернет-ресурси
Структура лекції
1. Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів в освітньої галузі «Математика» з теми «Ознаки подільності»
Робота з навчальною програмою з математики для 1-4 класів
3 клас
Додаткові теми
Ознаки подільності на 2 та 5. Ознака подільності на 10.
Розв’язування рівнянь, в яких один з компонентів поданий виразом зі змінною.
Задачі на спільну роботу, в яких продуктивність спільної праці знаходять дією віднімання.
Розв’язування складених сюжетних задач алгебраїчним методом.
Способи раціональних обчислень (множення і ділення на 5, 50; множення і ділення на 25; множення на 9, 99; множення на 11).
Нестандартні задачі. «Магічні фігури». Математичні ребуси.
4 клас
Додаткові теми
Ознаки подільності на 3 або 9.
Питання для узагальнення
2. Поняття відношення подільності
Як відомо, віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел виконується не завжди. Наприклад, на множині N0 ми не можемо знайти різницю і частку чисел 3 і 8. Але питання про існування різниці цілих невід’ємних чисел а і в визначається просто – достатньо встановити (за записом чисел, що ). Для ділення такої загальної ознаки немає. Тому математики з давніх пір намагались знайти такі правила, які дозволяли б за записом числа а дізнатися, ділиться воно на число в чи ні, не виконуючи безпосереднього ділення а на в. В результаті цих пошуків були відкриті не тільки деякі ознаки подільності, а й інші важливі властивості чисел. Щоб розглянути ці властивості, треба уточнити поняття відношення подільності.
Якщо дано деяке ціле невід’ємне число а і натуральнее число в, то як відомо можливо два випадки:
1) а не ділиться на b. Це означає, що при ділення а на в залишається остача, що більша нуля, але менша за дільник,.
18 не ділиться на 4, тому що 18 = 4 · 4 + 2.
2) а ділиться на b, а кратне b. Це записують так , . Якщо , то говорять, що є дільником числа . , бо .
Так як дільник данного числа не перевищує цього числа, то множина його дільнгиків скінченна.
Наприклад, множина дільників числа . В залежності від кількості дільників серед натуральних чисел розрізняють прості і складені числа.
Означення. Простим числом називається таке натуральнее число, яке має тільки два дільники – одиницю і саме це число.
Наприклад, число 13 просте, тому що у нього два дільника 1 і 13.
Означення. Складеним числом називається таке натуральнее число, яке має більше двох дільників.
Наприклад, число 8 – складене, у нього чотири дільника: 1, 2, 4, 8.
Число 1 не є складеним і не є простим числом, тому що воно має один дільник.
Множина чисел, кратних даному числу нескінчена.
Наприклад, множина чисел, які кратні числу , , де
Отже, говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b·q.
Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають аb. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати аb = q. Наприклад, число а = 24 ділиться на число b = 6, бо існує таке число q = 4, що 24 = 6∙4.
Чисел, кратних даному числу – нескінченна множина. Наприклад, усі парні числа кратні числу 2. Їх можна знайти за формулою х = 2∙q, де q набуває значення 0, 1, 2, 3, ... .
Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7, ... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9, ... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.
Питання для узагальнення
3. Властивості відношення подільності
Відношення подільності має такі властивості: рефлективності, антисиметричності, транзитивності. Доведемо ці властивості.
Рефлективність
Теорема. Відношення подільності рефлексивне, тобто будь-яке натуральне число ділиться саме на себе, тобто .
Доведення. Для будь-якого натурального числа справедлива рівність. А це означає, що існує таке , що звідси за означенням відношення подільності .
З доведеної теореми випливає, що будь-яке ціле невід’ємне число ділиться на 1.
Антисиметричність
Теорема. Відношення подільності антисиметричне, тобто для будь-яких різних чисел і з того, що не слідує, що .
Доведення. Припустимо, що , тоді (1)
Оскільки , то (2)
Нерівності і правильні тільки в тому випадку, коли . Ми прийшли до суперечності з умовою. Отже наше припущення невірне, тобто відношення подільності антисиметричне.
Транзитивність
Теорема. Відношення подільності транзитивне, тобто з того що і слідує, що
Доведення
Якщо
Якщо
, де
Отже .
Відношення подільності є відношенням порядку, бо воно володіє властивостями антисиметричності і транзитивності. Якщо число ділиться на 6, то воно має вигляд 6, тоді інші числа при діленні на 6 можуть мати остачу 1, 2, 3, 4, 5 це числа
6+1, 6+2, 6+3, 6+4, 6+5. Тоді можна представити так
6+5 6
6+4 6+1
6+3 6+2
Отже, відношення подільності на множині N0 цілих невід’ємних чисел має властивості рефлективності, антисиметричності і транзитивності, тобто є відношенням нестрогого порядку, причому часткового порядку, бо не кожна пара цілих невід’ємних чисел знаходиться у відношенні подільності. Наприклад, і .
Питання для узагальнення
4. Подільність суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел
Теорема про подільність суми на число. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число , то і їх сума ділиться на це число.
Дано:
Довести:
Доведення: так як ,
так як ,
,
.
Наприклад. 1) Якщо 459 і 189 то (45+18) 9, справді 15 + 18 = 63, 639.
2) 20417, так як 204 = 170 + 34, то 17017 3417.
Теорема про неподільність суми на число. Якщо в сумі один з доданків не ділиться на число , а всі останні доданки діляться на число , то вся сума на число не ділиться.
Дано: (1)
,
Довести: s
Доведення: (від супротивного). Припустимо що , тоді з рівності (1)
Так як і за теоремою про подільність суми , то за теоремою про подільність різниці , а це суперечить умові. Оже .
Наприклад, (190+13) не 19, так як 190 191319.
Теорема про подільність різниці на число. Якщо числа а і b діляться на n і а ≥ b, то а – b теж ділиться на n.
Доведення аналогічне до теореми подільності суми.
Теорема про подільність добутку на число. Якщо один із співмножників добутку ділиться на натуральне число n, то і весь добуток ділиться на n.
Доведення. нехай а n, то а = n · q (·b)
a · b = (n · q) · b, звідси a · b = n · (q · b), але q · b – ціле невід’ємне число k, тоді a · b = n · k a · b n.
Наслідок: Якщо в добутку аb множник а ділиться на m, а множник b ділиться на n, то добуток аb ділиться на mn. Наприклад, 24∙36 ділиться на 108, бо 108 = 12∙9.
Отже, існують теореми подільності: про подільність суми на число, про подільність різниці на число і про подільність добутку на число.
Питання для узагальнення
5. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9 в десятковій системі числення
Ознака подільності на 2
Для того щоб число х ділилося на 5, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Ознака подільності на 5
Для того щоб число х ділилося на 5, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0 або 5.
Доведення: Запишемо число а = аnan-1…a0 у вигляді суми розрядних одиниць, яку розіб’ємо на два доданки: а = (аn10n + … + a110) + a0. Як бачимо, перший доданок ділиться і на 2, і на 5. Отже, щоб сума ділилась на 2 або на 5, необхідно і достатньо, щоб і другий доданок а0 ділився відповідно на 2 або на 5. Теорему доведено.
Ознака подільності на 4 (25)
Для того щоб число х ділилося на 4, необхідно і достатньо, щоб на 4 ділилося двохзначне число, утворене двома останніми числами десяткового запису числа х.
Доведення: Число а = аnan-1…a0 запишемо у вигляді суми двох доданків: а = (an10n + … +a2102) + (a110 + a0). Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число а як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число а1а0 = а110 + а0, утворене двома останніми цифрами числа а. Теорему доведено.
Ознака подільності на 3
Для того щоб число х ділилося на 3, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 3.
Ознака подільності на 9
Для того щоб число х ділилося на 9, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 9.
Доведення: Запишемо число а у вигляді: а = an10n + … + a110 + a0.
Оскільки 10 = 9 + 1, 102 = 99 + 1, ... , 10n = +1,
то an ( 99..9 + 1) + … +a1 (9 + 1) + a0 = (an99..9 + … + a19) + (an + … + a1 + a0).
Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9.
Отже, для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб сума одноцифрових чисел, виражених його цифрами (сума цифр) an+ … + a1 + a0, ділилась на 3 або на 9. Теорему доведено.
Отже, доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25.
Питання для узагальнення
6. Ознаки подільності на складені числа
Доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25. Природно виникає питання, чи існують ознаки подільності на 6, 12, 30 і взагалі на будь-яке складене число
Ознака подільності на 6.
Для того щоб число х ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 або 2.
Доведення: Необхідність. Нехай а 6. Тоді оскільки а6 і 62, то а 2. Через те що а6 і 63, то а3 (за властивістю транзитивності).
Достатність: Якщо а 2 і а3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, аК (2, 3). Оскільки Д (2, 3) = 1, то К (2, 3) = 2·3 = 6. Таким чином, а6. Теорему доведено.
Теорема про подільність на складені числа: Для того, щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де НСД (b,c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на b і с.
Доведення цієї теореми аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.
Зауважимо, що дану теорему можна застосовувати багаторазово.
Ознака подільності на 12.
Для того щоб число х ділилося на 12, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4.
Ознака подільності на 15.
Для того щоб число х ділилося на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.
Ознака подільності на 18.
Для того щоб число х ділилося на 18, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 2 і 9.
Отже, існують ознаки подільності на 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.
ІІІ. Заключна частина
Загальний висновок
Ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b·q. Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають аb. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати аb = q.
Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7, ... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9, ... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.
Натуральне число, яке має лише два дільники, називається простим.
Отже, числа 2, 3, 5, 7 – прості числа.
Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.
Такими числами є 4, 6, 8, 9. Так число 6 має дільники 1, 2, 3, 6. Оскільки число 1 має тільки один дільник, то його не відносять ні до простих, ні до складених.
Існують ознаки подільності на 2, 5, 4 (25), 3, 9, 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.
Запитання для узагальнення студентам
Повідомлення домашнього завдання
Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 197-206.
(Впр.1, 6 (С. 206), впр.1, 2, 4, 8 (С. 209-210)).