тематики Модуль 2 Семестр VІ Кількість годин 2 ЛЕКЦІЯ 9 6364 Т

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Міністерство освіти і науки України

Комунальний вищий навчальний заклад

«Бериславський педагогічний коледж імені В. Ф. Беньковського»

Херсонської обласної ради

Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 2 Семестр: VІ Кількість годин: 2

ЛЕКЦІЯ № 9 (63-64)

Тема: Подільність цілих невід’ємних чисел

Розглянуто і затверджено на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін та нових інформаційних технологій Протокол № ___ від _________ 2013р. Голова предметної (циклової) комісії: _________________ Г. Ю. Шкворченко

м. Берислав

 Тема лекції: Подільність цілих невід’ємних чисел

Студенти повинні знати:

1. поняття відношення подільності;
2.  символ для позначення відношення «ділиться націло»;
3.  означення простого і складеного числа;
4. властивості відношення подільності;
5. ознаки подільності суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел;
6. ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25 в десятковій системі числення.

Студенти повинні вміти:

1.  доводити ознаки подільності;
2.  застосовувати ознаки подільності при розв’язуванні прикладів і задач;
3.  виконувати ділення одного числа на інше з остачею і націло.

Тип лекції: тематична

Ключові поняття: просте і складене число, рефлексивне, антисиметричне, транзитивне відношення подільності, число а кратне числу b, теореми про ознаки подільності.

План

1.  Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів в освітньої галузі «Математика» з теми «Ознаки подільності».
2. Поняття відношення подільності.
3. Властивості відношення подільності.
4. Подільність суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел.
5. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9 в десятковій системі числення.
6. Ознаки подільності на складені числа.

Основна література

1.  Кухар, В. М. Теоретичні основи початкового курсу математики [Текст] : навч. посібник для педучилищ / В. М. Кухар, Б. Л. Білий. – К. : Вища школа, 1987. – С. 192-199.
2.  Основи початкового курсу математики [Текст] : навчально-методичний посібник / укл. Л. М. Голець, О. О. Кислякова, І. А. Ляшенко, О. Г. Онуфрієнко. – Запоріжжя, 2010. –

С. 79-82.

1. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 197-206.

Інтернет-ресурси

1. Дільники натурального числа. Ознаки подільності на 2, 3, 9, 5 і 10 [Електронний ресурс] // Школяр України. – Режим доступу: http://shkolyar.in.ua/pod-chysel/dilnyky-naturalnogo-chysla. – Назва з екрана.
2.  Навчальні програми для 1-4 класів загальноосвітніх навчальних закладів з українською мовою навчання [Електронний ресурс] : законодавча база // Офіційний портал «Освіта.ua». – Режим доступу: – http://osvita.ua/school/materials/program/8793. – Назва з екрану.
3. Ознака подільності чисел [Електронний ресурс] // Вікіпедія : Вільна енциклопедія. – Режим доступу: http://uk.wikipedia.org/wiki/Ознака_подільності_чисел. – Назва з екрана.
4. Ознаки подільності чисел [Електронний ресурс] : вправи, онлайн розв’язник, довідник // сайт OnlineMSchool : Вивчення математики онлайн. – Режим доступу: http://ua.onlinem school.com/ math/library/divisibility_rule. – Назва з екрана.
5. Подільність чисел [Електронний ресурс] : математика 6 клас // Гіпермаркет Знань. – Режим доступу: http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0. – Назва з екрана.
6.  Про затвердження Державного стандарту початкової загальної освіти [Електронний ресурс] : законодавча база // Офіційний портал «Освіта.ua». – Режим доступу: http://osvita.ua/legislation/Ser_osv/17911. – Назва з екрану.

Структура лекції

1.  Вступна частина:
2.  Оголошення теми, мети і завдань лекції.
3.  Ознайомлення з планом лекції, основною та додатковою літературою.
4.  Виклад лекційного матеріалу (згідно плану та вимог до лекції)

1. Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів в освітньої галузі «Математика» з теми «Ознаки подільності»

Робота з навчальною програмою з математики для 1-4 класів

3 клас

Додаткові теми

Ознаки подільності на 2 та 5. Ознака подільності на 10.

Розв’язування рівнянь, в яких один з компонентів поданий виразом зі змінною.

Задачі на спільну роботу, в яких продуктивність спільної праці знаходять дією віднімання.

Розв’язування складених сюжетних задач алгебраїчним методом.

Способи раціональних обчислень (множення і ділення на 5, 50; множення і ділення на 25; множення на 9, 99; множення на 11).

Нестандартні задачі. «Магічні фігури». Математичні ребуси.

4 клас

Додаткові теми

Ознаки подільності на 3 або 9.

Питання для узагальнення

1.  Які державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів в освітньої галузі «Математика» з теми «Ознаки подільності»?

2. Поняття відношення подільності

Як відомо, віднімання і ділення цілих невід’ємних чисел виконується не завжди. Наприклад, на множині N0 ми не можемо знайти різницю і частку чисел 3 і 8. Але питання про існування різниці цілих невід’ємних чисел а і в визначається просто – достатньо встановити (за записом чисел, що ). Для ділення такої загальної ознаки немає. Тому математики з давніх пір намагались знайти такі правила, які дозволяли б за записом числа а дізнатися, ділиться воно на число в чи ні, не виконуючи безпосереднього ділення а на в. В результаті цих пошуків були відкриті не тільки деякі ознаки подільності, а й інші важливі властивості чисел. Щоб розглянути ці властивості, треба уточнити поняття відношення подільності.

Якщо дано деяке ціле невід’ємне число а і натуральнее число в, то як відомо можливо два випадки:

1) а не ділиться на b. Це означає, що при ділення а на в залишається остача, що більша нуля, але менша за дільник,.

18 не ділиться на 4, тому що 18 = 4 · 4 + 2.

2) а ділиться на b, а кратне b. Це записують так , . Якщо , то говорять, що є дільником числа . , бо .

Так як дільник данного числа не перевищує цього числа, то множина його дільнгиків скінченна.

Наприклад, множина дільників числа . В залежності від кількості дільників серед натуральних чисел розрізняють прості і складені числа.

Означення. Простим числом називається таке натуральнее число, яке має тільки два дільники – одиницю і саме це число.

Наприклад, число 13 просте, тому що у нього два дільника 1 і 13.

Означення. Складеним числом називається таке натуральнее число, яке має більше двох дільників.

Наприклад, число 8 – складене, у нього чотири дільника: 1, 2, 4, 8.

Число 1 не є складеним і не є простим числом, тому що воно має один дільник.

Множина чисел, кратних даному числу нескінчена.

Наприклад, множина чисел, які кратні числу , , де

Отже, говорять, що ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b·q.

Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають аb. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати аb = q. Наприклад, число а = 24 ділиться на число b = 6, бо існує таке число q = 4, що 24 = 6∙4.

Чисел, кратних даному числу – нескінченна множина. Наприклад, усі парні числа кратні числу 2. Їх можна знайти за формулою х = 2∙q, де q набуває значення 0, 1, 2, 3, ...  .

Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7, ... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9, ... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.

Питання для узагальнення

1.  В якому випадку кажуть, що «ціле число ділиться на ціле число »?
2.  Яким символом позначається відношення подільності?
3.  Які числа називаються простими?
4.  Які числа називаються складеними? Наведіть приклади.

3. Властивості відношення подільності

Відношення подільності має такі властивості: рефлективності, антисиметричності, транзитивності. Доведемо ці властивості.

Рефлективність

Теорема. Відношення подільності рефлексивне, тобто будь-яке натуральне число ділиться саме на себе, тобто .

Доведення. Для будь-якого натурального числа справедлива рівність. А це означає, що існує таке , що звідси за означенням відношення подільності .

З доведеної теореми випливає, що будь-яке ціле невід’ємне число ділиться на 1.

Антисиметричність

Теорема. Відношення подільності антисиметричне, тобто для будь-яких різних чисел і з того, що  не слідує, що .

Доведення. Припустимо, що , тоді (1)

Оскільки , то     (2)

Нерівності    і правильні тільки в тому випадку, коли . Ми прийшли до суперечності з умовою. Отже наше припущення невірне, тобто відношення подільності антисиметричне.

Транзитивність

Теорема. Відношення подільності транзитивне, тобто з того що і слідує, що

Доведення

Якщо  

Якщо  

, де 

Отже .  

Відношення подільності є відношенням порядку, бо воно володіє властивостями антисиметричності і транзитивності. Якщо число ділиться на 6, то воно має вигляд 6, тоді інші числа при діленні на 6 можуть мати остачу 1, 2, 3, 4, 5 це числа

6+1, 6+2, 6+3, 6+4, 6+5. Тоді  можна представити так

                                      6+5      6                          

        

                               

 6+4               6+1

                              

                               6+3        6+2

Отже, відношення подільності на множині N0 цілих невід’ємних чисел має властивості рефлективності, антисиметричності і транзитивності, тобто є відношенням нестрогого порядку, причому часткового порядку, бо не кожна пара цілих невід’ємних чисел знаходиться у відношенні подільності. Наприклад, і .

Питання для узагальнення

1.  Які властивості має відношення подільності?
2.  Коли відношення подільності рефлексивне?
3.  У чому заклечається властивість антисиметричності? Транзитивності?

4. Подільність суми, різниці, добутку цілих невід’ємних чисел

Теорема про подільність суми на число. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число , то і їх сума ділиться на це число.

Дано:

Довести:

Доведення: так як ,

так як ,

,

.

Наприклад. 1) Якщо 459 і 189 то (45+18) 9, справді 15 + 18 = 63, 639.

2) 20417, так як 204 = 170 + 34, то 17017 3417.

Теорема про неподільність суми на число. Якщо в сумі один з доданків не ділиться на число , а всі останні доданки діляться на число , то вся сума на число не ділиться.

Дано: (1)

,

Довести: s

Доведення: (від супротивного). Припустимо що , тоді  з рівності (1)

Так як і за теоремою про подільність суми , то за теоремою про подільність різниці , а це суперечить умові. Оже .

Наприклад, (190+13) не 19, так як 190 191319.

Теорема про подільність  різниці на число. Якщо числа а і b діляться на n і а ≥ b, то а – b теж ділиться на n.

Доведення аналогічне до теореми подільності суми.

Теорема про подільність добутку на число. Якщо один із співмножників добутку ділиться на натуральне число n, то і весь добуток ділиться на n.

Доведення. нехай а n, то а = n · q (·b)

a · b = (n · q) · b, звідси a · b = n · (q · b), але q · b – ціле невід’ємне число k, тоді a · b = n · k a · b n.

Наслідок: Якщо в добутку аb множник а ділиться на m, а множник b ділиться на n, то добуток аb ділиться на mn. Наприклад, 24∙36 ділиться на 108, бо 108 = 12∙9.

Отже, існують теореми подільності: про подільність суми на число, про подільність різниці на число і про подільність добутку на число.

Питання для узагальнення

1.  Які існують теореми подільності?
2.  Сформулюйте теорему подільності суми на число (різниці на число, добутку на число).

5. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9 в десятковій системі числення

Ознака подільності на 2

Для того щоб число х ділилося на 5, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Ознака подільності на 5

Для того щоб число х ділилося на 5, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0 або 5.

Доведення: Запишемо число а = аnan-1…a0 у вигляді суми розрядних одиниць, яку розіб’ємо на два доданки: а = (аn10n + … + a110) + a0.  Як бачимо, перший доданок ділиться і на 2, і на 5. Отже, щоб сума ділилась на 2 або на 5, необхідно і достатньо, щоб і другий доданок а0 ділився відповідно на 2 або на 5. Теорему доведено.

Ознака подільності на 4 (25)

Для того щоб число х ділилося на 4, необхідно і достатньо, щоб на 4 ділилося двохзначне число, утворене двома останніми числами десяткового запису числа х.

Доведення: Число а = аnan-1…a0 запишемо у вигляді суми двох доданків: а = (an10n + … +a2102) + (a110 + a0). Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число а як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число а1а0 = а110 + а0, утворене двома останніми цифрами числа а. Теорему доведено.

Ознака подільності на 3

Для того щоб число х ділилося на 3, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 3.

Ознака подільності на 9

Для того щоб число х ділилося на 9, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 9.

Доведення: Запишемо число а  у вигляді: а = an10n + … + a110 + a0.

Оскільки 10 = 9 + 1, 102 = 99 + 1, ... , 10n = +1,

то an ( 99..9 + 1) + … +a1 (9 + 1) + a0 = (an99..9 + … + a19) + (an + … + a1 + a0).

Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9.

Отже, для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб сума одноцифрових чисел, виражених його цифрами (сума цифр) an+ … + a1 + a0, ділилась на 3 або на 9. Теорему доведено.

Отже, доведені вище ознаки  подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25.

Питання для узагальнення

1.  Яка ознака подільності на 2 (5)?
2.  Яка ознака подільності на 4 (25)?
3.  Яка ознака подільності на 3 (9)?

6. Ознаки подільності на складені числа

Доведені вище ознаки  подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25. Природно виникає питання, чи існують ознаки подільності на 6, 12, 30 і взагалі на будь-яке складене число

Ознака подільності на 6.

Для того щоб число х ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 або 2.  

Доведення: Необхідність. Нехай а  6. Тоді оскільки а6 і 62, то а  2. Через те що а6 і 63, то а3 (за властивістю транзитивності).

Достатність: Якщо а 2 і а3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, аК (2, 3). Оскільки Д (2, 3) = 1, то К (2, 3) = 2·3 = 6. Таким чином,      а6. Теорему доведено.

Теорема про подільність на складені числа: Для того, щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де НСД (b,c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на b і с.

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.

Зауважимо, що дану теорему можна застосовувати багаторазово.

Ознака подільності на 12.

Для того щоб число х ділилося на 12, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4.

Ознака подільності на 15.

Для того щоб число х ділилося на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.

Ознака подільності на 18.

Для того щоб число х ділилося на 18, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 2 і 9.

Отже, існують ознаки подільності на 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.

ІІІ. Заключна частина

Загальний висновок

Ціле невід’ємне число а ділиться на натуральне число b, якщо існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b·q. Говорять «число а кратне числу b». Відношення подільності числа a на число b символічно позначають аb. Відношення подільності не означає операції, тому не можна писати аb = q.

Число 1 ділиться тільки само на себе; числа 2, 3, 5, 7, ... діляться самі на себе і на одиницю; числа 4, 6, 8, 9, ... мають більше двох дільників. Ці спостереження привели математиків до введення понять простого і складеного числа.

Натуральне число, яке має лише два дільники, називається простим.

Отже, числа 2, 3, 5, 7 – прості числа.

Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Такими числами є 4, 6, 8, 9. Так число 6 має дільники 1, 2, 3, 6. Оскільки число 1 має тільки один дільник, то його не відносять ні до простих, ні до складених.

Існують ознаки подільності на 2, 5, 4 (25), 3, 9, 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.

Запитання для узагальнення студентам

1.  В якому випадку кажуть, що «ціле число ділиться на ціле число »?
2.  Яким символом позначається відношення подільності?
3.  Які числа називаються простими?
4.  Які числа називаються складеними? Наведіть приклади.
5.  Яка ознака подільності на 2 (5)?
6.  Яка ознака подільності на 4 (25)?
7.  Яка ознака подільності на 3 (9)?
8.  Які існують теореми подільності? Сформулюйте їх.

Повідомлення домашнього завдання

Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 197-206.

(Впр.1, 6 (С. 206), впр.1, 2, 4, 8 (С. 209-210)).

1. Методология преобразования произвольной программы в структурированную
2. Тема- Государственное регулирование и поддержка предпринимательства в кинематографии
3. 25 Самых клТоп25 Самых классных ресторанов в которых стоило бы поужинать От погружения с аквалангом к вашем
4.  Вступ Приступаючи до вивчення нової мови корисно поцікавитися які вихідні дані можуть опрацьовуватися
5. Тема- твое хобби
6. экология в 1866 г
7. педагогический тип личности
8. Историцизм и миф о предопределении
9. В РФ признаются и защищаются равным образом частная государственная муниципальная и иные формы собственно
10. химику ~ рассмотреть возможные связи между атомами и молекулами лингвисту ~ учесть различные варианты знач
11. Реферат на тему- Перелом проксимального отдела бедренной кости
12.  Сущность и общие положения производства допроса Допрос на предварительном следствии это комплекс преду
13. Лекция 10 Порядок учета расчетов по инкассо План Общая характеристика расчетов по инкассо
14. известным советским диссидентом
15. ка гр АУ46 Молоканова М
16. Географическая характеристика Севостополя
17. Задание 1 Вапрос 1 для открытия расчетного счета нужны следующие документы- Свидетельство о государст
18. Авітаміноз. Отруєння рослинами. Травматичні ушкодження
19. море Дирака физический вакуум программируемая пустота структура личности тело ~ душа ~ дух ~ разум рас
20. Разработка интерактивной среды обучения.html

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе