Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Харківський національний педагогічний університет
ім. Г.С.Сковороди
кафедра математики
КУРСОВА РОБОТА
“Симетричні многочлени”
Виконала:
студентка фізико-математичного
факультету
3 курсу, гр. 3МІ
Стогній Надія Петрівна
Науковий керівник:
доцент, кандидат
фізико-математичних наук
Пуди А.Ю.
Харків – 2008р.
ЗМІСТ
ВСТУП …………………………………………………………………….3
РОЗДІЛ І. СИМЕТРИЧНІ МНОГОЧЛЕНИ ВІД ДВОХ ЗМІННИХ...............................................................................................................5
1.1 Означення і основні властивості……………………………………..5
1.2 Основна теорема про симетричні многочлени від двох змінних ….7
1.3 Теорема про єдиність зображення симетричних многочленів через елементарні симетричні многочлени …………………………………………10
РОЗДІЛ ІІ. ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ В ЕЛЕМЕНТАРНІЙ АЛГЕБРІ ..............................................................................14
2.1 Розв’язування системи рівнянь …………………………………….14
2.2 Розв’язування ірраціональних рівнянь …………………………….16
2.3. Зворотні рівняння……………………………………………………17
2.4. Розклад симетричних многочленів на множники………………….21
2.5. Задачі про квадратні рівняння……………………………………....23
2.6. Нерівності…………………………………………………………….24
РОЗДІЛ III. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗУВА –
ННЯ………………………………………………………………………………26
3.1. Розв’язок типового варіанту………………………………………...29
ВИСНОВКИ………………………………………………………………38
ЛІТЕРАТУРА……………………………………………………………..39
ВСТУП
Одним із найскладніших розділів алгебри для школярів є розв’язування системи рівнянь вищих степенів. Звичайно намагаються розв’язати їх за допомогою якогось штучного прийому. Але загальних правил пошуку для цього не існує. Кожна система розв’язується своїм методом і досвід, який отриманий, мало допомагає при розв’язуванні наступної. В результаті цей розділ шкільної математики перетворюється в набір головоломок.
Тому в роботі розкрито один доволі загальний метод розв’язування систем рівнянь вищих степенів. Він не досить універсальний, але його можна застосувати до більшості систем, з якими стикається учень. Метод, про який йде мова, оснований на теорії симетричних многочленів. Ми побачимо, що теорія досить проста і що вона дозволяє розв’язувати не лише системи алгебраїчних рівнянь, а й різноманітні задачі алгебри (розв’язування ірраціональних та зворотних рівнянь, доведення нерівностей, розклад многочленів на множники в області дійсних чисел і т.д.).
Вважаю, що тема курсової роботи про симетричні многочлени є актуальною.
Об’єктом дослідження є симетричні многочлени від двох змінних, за допомогою яких спрощується розв’язання ряду задач і що, найголовніше, проводиться стандартним шляхом.
Предметом дослідження є вивчення властивостей симетричних многочленів та їх застосування при розв’язуванні відповідних задач.
Звідси випливає головна мета дослідження, яка полягає в тому, що необхідно виявити основні властивості й визначити коло задач, які розв’язуються за допомогою симетричних многочленів.
Для досягнення мети визначаються наступні завдання дослідження: з'ясувати основні властивості квадратних рівнянь, скласти алгоритм розв’язування ірраціональних рівнянь на основі прикладу, з'ясувати вплив дискримінанта при доведенні нерівностей, скласти таблицю обернених симетричних многочленів, підібрати задачі для самостійного розв’язування і навести розв'язок типового варіанту.
Розділ I. Симетричні многочлени від двох змінних
1.1.Означення і основні властивості
Кільцем многочленів від n змінних х1, х2, ... , хn-1, хn над областю цілісності R називається кільце многочленів від змінної хn над кільцем , тобто = (1)
Це означення має індуктивний характер. При воно зводиться до означення кільця многочленів від однієї змінної над областю цілісності R (природно вважати, що при ). Якщо ж уже означено кільце при , то за допомогою (1) дістанемо означення кільця. Отже, для довільного натурального означено кільце многочленів від змінних .
Важливим класом многочленів від кількох змінних є клас так званих симетричних многочленів.
Многочлени, в яких та входять однаковим чином, називаються симетричними. Точніше кажучи: многочлен називається симетричним відносно змінних , якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен, який дорівнює даному.
Многочлен є симетричним, бо в результаті заміни отримаємо многочлен, який дорівнює даному. І навпаки, поліном не є симетричним: при такій заміні він перетворюється в , що не співпадає з даним.
Симетричні многочлени та являються найпростішими. Їх називають елементарними симетричними многочленами від і . Для них використовують спеціальні позначення:
Крім та , часто використовують так звані степеневі суми, тобто многочлени Прийнято позначати многочлен через . Таким чином,
Встановимо тепер деякі основні властивості довільних симетричних многочленів.
1.Сума, різниця і добуток симетричних многочленів над деяким полем Р є знову симетричними многочленами над цим полем.
Це твердження очевидне.
Наслідок. Множина всіх симетричних многочленів над полем Р утворює область цілісності з одиницею відносно дій додавання і множення.
Зрозуміло, що це кільце є підкільцем всіх многочленів над полем Р.
2.Якщо симетричний многочлен містить деякий член (2), то він містить і член, утворений з (2) внаслідок будь-якої перестановки показників l1, l2,…,ln.
Оскільки, як відомо, від довільної перестановки показників до будь-якої іншої перестановки цих показників можна перейти за допомогою скінченого числа транспозицій, то досить показати, що при транспозиції довільних двох показників степенів у члені (2) ми дістанемо знову деякий член симетричного многочлена . Виконуючи, наприклад, транспозицію показників та , матимемо член . (3)
За означенням симетричного многочлена .
Але другий з цих многочленів повинен містити член (3), бо його дістаємо з члена (2) заміною на і навпаки. Тому внаслідок єдиності канонічної форми і даний многочлен повинен містити член (3).
Наслідок. Якщо (4) є вищий член симетричного многочлена, то
Справді, припустимо супротивне, тобто при якомусь . На підставі властивості 2 даний многочлен разом з членом (4) містить і член (5)
Але з умови випливає, що член (5) вищий за член (4), тобто член (4) не може бути вищим у многочлені. Ця суперечність доводить наше твердження.
1.2. Основна теорема про симетричні многочлени від двох змінних
Існує простий прийом, який дозволяє отримати симетричні многочлени. Візьмемо будь-який (навіть не симетричний) многочлен від і й підставимо в нього замість і їх вираження через і . Зрозуміло, що при цьому отримаємо симетричний многочлен від і . Наприклад, із многочлена отримуємо симетричний многочлен:
.
Виникає питання, чи є цей прийом побудови симетричних многочленів загальним, тобто чи можна за його допомогою отримати будь-який симетричний многочлен?
Розглянутий приклад робить дане припущення вірогідним. Наприклад, степеневі суми досить легко виражаються через і
Якщо розглянемо наступні приклади, то отримаємо той самий результат: який би симетричний многочлен ми не взяли, після більш чи менш складних розкладів його вдається виразити через елементарні симетричні многочлени і . Таким чином, приклади приводять нас до припущення правильності наступної теореми.
Теорема. Будь-який симетричний многочлен від і можна представити у вигляді многочлена від та
Зрозуміло, що навіть мільйон прикладів не зможе замінити доведення – завжди залишається ймовірність того, що знайдеться якийсь симетричний многочлен, який не виражається через та .
Перейдемо до доведення теореми. Ми проведемо його в два етапи.
Спочатку ми доведемо теорему не для будь-яких симетричних многочленів, а лише для степеневих сум. Іншими словами, ми покажемо, що кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від та .
З цією ціллю помножимо обидві частини рівності на Отримаємо:
Таким чином, (6)
Із цієї формули й витікає справедливість нашого твердження. І справді, раніше ми вже перевіряли, що степеневі суми та представляються у вигляді многочленів від та . Але якщо нам відомо, що степеневі суми виражаються у вигляді многочленів від та , то, підставляючи їх у формулу (6), ми отримаємо вираження степеневих сум через та . Іншими словами, зможемо послідовно знайти вираження степеневих сум через σ1 та σ2. Таким чином, наше твердження доведено.
Формула (6) дозволяє не тільки стверджувати, що якось виражається через та , але й послідовно обчислювати вираження степеневих сум через та . Так, за допомогою формули (6) ми послідовно знаходимо:
і т. д.
Тепер досить легко завершити доведення теореми. Будь-який симетричний многочлен від та містить (після приведення подібних членів) доданки двох видів.
По-перше, можуть зустрічатися одночлени, в яких і входять в однакових степенях, тобто одночлени виду Зрозуміло, що тобто одночлени цього виду безпосередньо виражаються через .
По-друге, можуть зустрічатися одночлени, які містять різні степені відносно та , тобто одночлени виду , де . Зрозуміло, що разом з одночленом симетричний многочлен містить також і одночлен , отриманий з перестановкою літер та . Іншими словами, в симетричний многочлен входить двочлен виду . Припускаючи, що , ми зможемо переписати цей двочлен наступним чином:
.
А так як за доведеним степенева сума представляється у вигляді многочлена від та , то і розглянутий двочлен виражається через та .
Отже, кожний симетричний многочлен представляється у вигляді суми одночленів виду і двочленів виду , кожний із яких виражається через та .
Тому, будь-який симетричний многочлен представляється у вигляді многочлена від та . Теорему повністю доведено.
1.3. Теорема про єдиність зображення симетричних многочленів через елементарні симетричні многочлени
Ми бачимо, що якщо дано симетричний многочлен від та (не дуже великого степеню), то виразити через та легко. Описане вище доведення основної теореми якраз і містить прийом, який дозволяє виразити будь-який симетричний многочлен через елементарні симетричні многочлени та . Виникає питання: чи можна знайти який-небудь інший прийом, що приведе до іншого вираження многочлена через та ? З’ясувалося, що це неможливо: який би шлях ми не використовували для вираження симетричного многочлена через та , завжди отримаємо один і той же результат. Іншими словами, справедлива наступна теорема.
Теорема єдиності. Якщо многочлени та при підстановці перетворюються в один і той же симетричний многочлен , то вони співпадають: =.
Достатньо довести лише частковий випадок теореми єдиності, а саме той, коли Іншими словами, достатньо довести наступне твердження:
Якщо многочлен при підстановці перетворюються в нуль, то він тотожньо дорівнює нулю. (А)
Покажемо, що теорема єдиності витікає з твердження (А). Припустимо, що многочлени та при підстановці дають однакові результати: . Тоді многочлен при тій самій підстановці перетворюється в нуль:
Тому, якщо вірне твердження (А), то і, отже, =.
Для доведення твердження (А) нам знадобиться поняття старшого члену многочлена від двох змінних. Нехай та – два одночлена від та . «Старшинство» визначається порівнянням показників при , а у випадку їх рівності, - показників при . Іншими словами, вважають, що одночлен старший за , якщо або або та
Доведемо тепер наступну лему:
Старший член многочлена, який отриманий після розкриття дужок у виразі (*) , дорівнює
Насправді, вираз (*) можна записати так:
разів
Зрозуміло, що член з найбільшим показником при отримаємо, якщо вибрати в кожних дужках доданок . Так як число дужок дорівнює , то цей член має вигляд У всіх останніх членах показник при менше Таким чином, – старший член. Лему доведено.
Слід замітити, що вираз (*) отримується з одночлена при підстановці . Тому доведена лема дозволяє по одночлену відразу записати відповідний старший член, а по заданому старшому члені знайти одночлен .
Перейдемо до доведення твердження (А). Нам необхідно впевнитися, що якщо многочлен відмінний від нуля, то він не може перетворитися в нуль після підстановки .
Нехай многочлен має вид
Виберемо в ті члени, для яких має найбільше значення. З відібраних доданків виберемо член з найбільшим значенням (такий член тільки один, бо числа та однозначно визначають ).
Отож, нехай ми вибрали одночлен Йому відповідає старший член Покажемо, що він старший від всіх останніх членів, які отримані при підстановці в многочлен і наступному розкритті дужок. Відносно членів, отриманих із доданка все зрозуміло, оскільки – старший із цих членів. Візьмемо тепер який-небудь інший доданок, скажімо . Цьому доданку відповідає старший член . При цьому, в силі вибору одночлена ми маємо або або але В обох випадках член старший, ніж . Тим паче він старший від останніх членів, які отримані з доданку .
Ми довели, що – найстарший із всіх членів, які отримані після підстановки в многочлен і розкритті дужок. Тому в нього немає подібних членів, і після приведення подібних доданків він не знищиться. Але тоді многочлен не може тотожньо дорівнювати нулю. Отримане протиріччя доводить твердження (А). Разом з тим доведена й теорема єдиності.
1.4. Формула Варінга
Метод обчислення степеневих сум має один недолік: щоб знайти вираження для , потрібно обчислити всі попередні суми. А інколи нам це не потрібно, і хотілося б відразу отримати результат. Відповідна формула була відкрита в 1779 році англійським математиком Едуардом Варінгом. Вона має наступний вигляд:
(7)
Легко зрозуміти закон утворення доданків в цій формулі. Так як степенева сума є многочленом степені від та , то слід очікувати, що в розклад (7) будуть входити також лише многочлени степені . Але – многочлен першої степені, а – одночлен другої степені (відносно та ). Якщо піднести в степінь , то отримаємо вираз степені відносно та . На залишається лише степінь . Тому вираз для і складено із доданків виду , де змінюється від нуля до найбільшого цілого числа, що не перебільшує .
Коефіцієнт представляє собою дріб, в чисельнику якого стоїть , а знаменник є добутком чисел та (це легко запам’ятати: й є показниками степенів, з якими входять та в цей доданок). Крім цього, коефіцієнти почергово змінюють знак. Відмітимо, що й коефіцієнт при отриманий за тим самим законом. Потрібно тільки мати на увазі, що в цей доданок входить в нульовому степені, а прийнято вважати, що 0!=1. Тому всі доданки в правій частині формули (7) можуть бути отримані одним і тим же методом: потрібно у виразі числу послідовно надавати значення 0, 1, 2, … аж до найбільшого значення , при якому показник є додатнім (тобто до найбільшого цілого числа, що не перебільшує ).
За допомогою формули Варінга легко отримати знову формули для степеневих сум .
Доведення формули Варінга проведемо методом математичної індукції. При формула набуває вигляду , а при – вигляду
=.
Таким чином, при та формула Варінга справедлива.
Припустимо тепер, що вже доведена справедливість формули Варінга для . Щоб довести її для , використовуємо формулу (6). Тоді маємо:
Тоді вираз перетвориться в суму:
Замінимо у другій сумі на . Тоді обидві суми можна буде об’єднати:
Але:
= =,
і тому вираз в квадратних дужках дорівнює
+=.
Так як , то ми й отримаємо потрібне відношення:
=.
Формулу Варінга доведено.
Розділ II. Застосування симетричних многочленів в елементарній алгебрі
2.1. Розв’язування системи рівнянь
Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, у яких ліві частини симетрично залежні від невідомих та . В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих В силу основної теореми це завжди можна зробити. Користь такої заміни заключається в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються. Іншими словами, як правило, розв’язування системи відносно нових невідомих та простіше, ніж розв’язування заданої системи.
Після того, як знайдені значення величин та , потрібно знайти значення невідомих та . Це можна зробити за допомогою наступної теореми, яка відома ще з шкільного курсу алгебри; ми її нагадаємо в більш уточненій формі.
Теорема. Нехай та – два довільних числа. Квадратне рівняння (*) та система рівнянь пов’язані між собою наступним чином: якщо – корені квадратного рівняння (*), то система рівнянь (**) має два розв’язки:
і не має інших розв’язків; навпаки, якщо – розв’язок системи (**), то числа і є коренями квадратного рівняння (*).
Доведення. Якщо – корені квадратного рівняння (*), то за формулами Вієта:
тобто числа
є розв’язками системи (**). Те, що інших розв’язків система (**) не має, витікає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо.
Отож, нехай – розв’язок системи (**), тобто
Тоді ми маємо:
.
Але це означає, що числа та є коренями квадратного рівняння (*). Теорему доведено.
Наведемо приклад.
Розв’яжіть систему рівнянь:
Вводимо нові змінні Далі знаходимо:
а потім для нових змінних отримуємо наступну систему рівнянь:
Із цієї системи рівнянь отримуємо
Отож, тобто для початкових невідомих ми отримали наступну систему:
Ця система рівнянь досить легко розв’язується, і ми отримуємо такі розв’язки початкової системи: (2; 3) та (3; 2).
2.2. Розв'язування ірраціональних рівнянь
Інколи трапляється, що система двох рівнянь з двома невідомими, яка складається з несиметричних рівнянь, може бути зведена до симетричної системи введенням нових (допоміжних) змінних. Наприклад, це використовується у розв’язуванні ірраціональних рівнянь.
Розглянемо приклад.
Покладемо, що й . Тоді початкове рівняння набуде вигляду . Крім того, маємо:
Таким чином, ми отримали систему рівнянь:
Введення нових невідомих зводить її до системи:
з якої отримуємо для квадратне рівняння
Розв’язуючи це рівняння, знаходимо:
або
Таким чином, задача звелась до розв’язання двох систем рівнянь
Так як , то для початкової невідомої отримуємо два розв’язки: Друга система дає для та , а значить й для , ще два розв’язки (вони комплексні, а для ірраціональних рівнянь беруться лише дійсні значення невідомих).
2.3. Зворотні рівняння
Симетричні многочлени можна успішно використовувати й для розв’язування деяких рівнянь вищої степені. В цьому пункті ми розглянемо так звані зворотні рівняння.
Будемо називати многочлен
, (#)
зворотним, якщо в ньому рівновіддалені коефіцієнти співпадають, тобто
Наприклад, зворотними є многочлени:
Рівняння , ліва частина якого представляє собою зворотний многочлен, називається зворотним.
В основі розв’язування зворотних рівнянь лежить наступна теорема.
Теорема. Будь-який зворотний многочлен
парної степені можна представити у вигляді
де та – деякий многочлен степені від .
Будь-який зворотний многочлен непарної степені ділиться без остачі на , причому частка є зворотним многочленом парної степені.
Доведення. Розглянемо спочатку многочлен парної степені . Виносячи в ньому за дужки , отримаємо:
,
або, приймаючи до уваги рівність .
Нам залишилося довести, що двочлени можна виразити через . Але ця задача зводиться до розглянутої вище задачі про вираження степеневої суми через елементарні симетричні многочлени та . І справді, якщо ми покладемо, що то степенева сума перетвориться у вираз елементарний симетричний многочлен в , а набуде значення 1. Практично для цього слід скористатися наступними формулами - таблицею обернених симетричних многочленів ():
Отож, перше твердження теореми доведено.
Розглянемо тепер випадок зворотного многочлена непарної степені :
.
Так як цей многочлен є зворотним, тобто виконується рівність то його можна записати наступним чином:
У кожного двочлена, що стоїть в дужках, можна виділити множник , використовуючи добре відому рівність
,
ми отримаємо:
Складаючи отримані вираження почлено і виносячи в правій частині множник за дужки, ми отримаємо:
,
де – многочлен, що є сумою наступних многочленів:
Безпосередньо видно, що у всіх цих многочленах коефіцієнти, рівновіддалені від кінців, співпадають, і тому їх сума є зворотним многочленом (парної степені ). Тим самим доведено й друге твердження теореми, яке стосується зворотних многочленів непарної степені.
Наведемо приклад застосування доведеної теореми для розв’язання зворотних рівнянь.
Розв’язати рівняння
Дане рівняння є зворотним й має степінь 4. Ліва частина цього рівняння перетворюється наступним чином:
Так як не є коренем даного рівняння, то ми прийдемо до квадратного рівняння відносно σ:
.
Розв’язуючи його, знаходимо корені: та . Таким чином, для знаходження коренів шуканого рівняння ми отримали два рівняння:
Розв’язуючи їх, знаходимо чотири корені:
2.4. Розклад симетричних многочленів на множники
Тепер розглянемо прийоми розкладу симетричних многочленів на множники. Покажемо застосування цих методів на прикладі симетричних многочленів четвертої степені.
Перший прийом заключається в тому, що даний симетричний многочлен виражають через та і потім отриманий вираз розкладають на множники. При виражені симетричного многочлена четвертої степені через та отримуємо многочлен другої степені відносно . Для розкладу його на множники достатньо знайти корені отриманого многочлена другої степені.
Розглянемо приклад: розкласти на множники многочлен
Виражаючи симетричний многочлен через та , знаходимо:
Отриманий квадратний многочлен (відносно ) має корені та і тому наступним чином розкладається на множники:
Звідси, повертаючись до початкових змінних , отримаємо:
Перший множник в правій частині має комплексні корені, і ми його залишимо без змін. Другий же множник легко розкласти:
Таким чином, остаточно знаходимо:
Другий прийом заключається в тому, що симетричний многочлен четвертої степені намагаються представити у вигляді добутку двох несиметричних множників, кожен з яких представляє собою «відображення» іншого множника, тобто отримується з нього перестановкою змінних та . Іншими словами, слід намагатися представити заданий симетричний многочлен четвертої степені у вигляді де – якісь поки невідомі (невизначені) коефіцієнти. Цей прийом носить назву метод невизначених коефіцієнтів (МНК).
Як же визначити значення невідомих коефіцієнтів ? Ми розглянемо це на наступному прикладі: розкласти на множники многочлен
Вираження цього многочлена через елементарні симетричні многочлени та має наступний вигляд:
Цей многочлен другої степені відносно має комплексні корені. Тому застосуємо другий прийом, тобто намагаємося представити даний многочлен у вигляді
(***)
Для знаходження коефіцієнтів помітимо, що відношення (***) повинно представляти собою тотожність, тобто повинно бути вірним при будь-яких значеннях змінних та . Тому ми можемо застосувати метод частинних значень, тобто можемо для знаходження коефіцієнтів підставляти у (***) замість та які-небудь числові значення. Так, припустимо , знаходимо: звідси . Замітимо тепер, що коефіцієнти визначені лише з точністю до знака, так як якщо змінити у всіх трьох числах знаки на протилежні, то відношення (***) залишиться справедливим. Тому, не втрачаючи загальності, ми можемо вважати, що .
Далі, припускаючи, що отримуємо з (***): , звідси .
І тепер нехай Отримаємо
Отож, для визначення коефіцієнтів ми отримали наступну систему рівнянь:
Якщо в правій частині другого рівняння взяти знак «+», то легко ми знайдемо із двох перших рівнянь: Тепер, враховуючи третє рівняння, маємо (або ). В результаті отримаємо:
Цю рівність одержано при припущені, що шуканий розклад (***) існує. Розкриваючи дужки в правій частині, стверджуємося в справедливості отриманої рівності.
Якщо б в правій частині другого рівняння ми взяли знак « - », то отримали б систему, що має комплексні розв’язки. Тому ми не одержимо розклад на дійсні множники (тобто даний многочлен можна й іншим способом розкласти на множники, але вони будуть містити комплексні корені).
2.5. Задачі про квадратні рівняння
Ціла серія задач, в яких потрібно обчислити деякі вирази, що містять корені заданого квадратного рівняння, також з успіхом розв’язуються за допомогою симетричних многочленів. Розглянемо приклад.
Дано квадратне рівняння . Скласти нове квадратне рівняння, коренями якого є квадрати коренів даного рівняння.
Для розв’язання цієї задачі позначимо корені даного рівняння через та , корені шуканого рівняння – через та , а коефіцієнти шуканого рівняння – через та . За теоремою Вієта та й, так само,
Але, за умовою задачі, маємо і тому
Таким чином, шукане квадратне рівняння має вигляд:
Тим же прийомом можна розв’язувати і більш складні задачі.
2.6. Нерівності
Симетричні многочлени можна також застосовувати для доведення багатьох нерівностей. Основним інструментом тут слугують формули вираження степеневих сум й наступна теорема.
Теорема. Нехай та – дійсні числа. Для того, щоб обидва числа та , визначені із системи рівнянь були дійсними, необхідно й достатньо, щоб та задовольняли нерівність .
Рівність досягається лише в випадку, коли . Для того, щоб обидва числа та були дійсними й невід’ємними, необхідно й достатньо, щоб числа та задовольняли нерівності , , .
Доведення. Числа та є коренями квадратного рівняння , тобто співпадають з числами .
Тому для дійсності чисел та необхідно і достатньо, щоб підкореневий вираз був невід’ємним, тобто щоб виконувалася нерівність . Рівність означає, що обидва корені квадратного рівняння співпадають, тобто
Якщо числа та невід'ємні, то крім нерівності , виконується ще й нерівність ,. Нехай тепер, навпаки, виконані нерівності ,,. Як було показано вище, з першої нерівності витікає, що числа та дійсні: так як , то обидва вони мають однаковий знак; нарешті, із відношення витікає, що вони невід'ємні. Теорему доведено.
Вказана теорема застосовується для доведення нерівностей наступним чином. Припустимо, що дано деякий симетричний многочлен і потрібно довести, що при будь-яких дійсних значеннях та цей многочлен приймає невід'ємні значення: . Для доведення потрібно перш за все замінити симетричний многочлен його вираженням через та . Потім в одержаному многочлені замінити його вираженням через і додатню величину , тобто підставляють . В результаті ми одержимо многочлен від та і потрібно довести, що при додатних й при вказаних в умові обмеженнях на цей многочлен набуває лише додатніх значень. Як правило, це краще й легше зробити, ніж доводити початкову нерівність. Інколи буває корисно замінити його вираженням через та .
Розглянемо приклад: довести, що якщо та – дійсні числа, які задовольняють нерівність , то справедливі нерівності:
Для доведення вводимо елементарні симетричні многочлени . Ми маємо:
Так як , а за умовою задачі , то , тобто
Застосовуючи до отриманої нерівності ті ж самі роздуми, знаходимо:
Аналогічно знаходимо, що :
Розділ III. Завдання для самостійного розв'язування
1. Чи є симетричними такі многочлени?
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2. Доповнити даний многочлен найменшим числом многочленів, щоб він став симетричним.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
3. Виразити через елементарні симетричні многочлени такі многочлени.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4. Розв’язати систему рівнянь.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
5. Розв’язати систему рівнянь, ввівши нові допоміжні невідомі.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
6. Розв’язати рівняння.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
7. Розв’язати зворотне рівняння.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
8. Розкласти на множники многочлени
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
9. Розв’язати задачу про квадратне рівняння.
10. Довести, що при будь-яких дійсних та справедливі наступні нерівності.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
3.1. Розв’язок типового варіанту
1.Чи є симетричними такі многочлени?
Виконуємо перестановку . Отримали: . Як бачимо, . Отже, - симетричний многочлен.
2. Доповнити даний многочлен найменшим числом многочленів, щоб він став симетричним.
Виконуємо перестановку . Отримали: Легко побачити, що до другого слід додати . Тоді . А . Тепер . Отже, - симетричний.
3. Виразити через елементарні симетричні многочлени такі многочлени.
.
I спосіб. Перетворимо многочлен:
Працюємо з кожним многочленом окремо:
1)
|
Система показників вищого члена |
Вищий член |
Відповідний елементарний симетричний многочлен |
|
|
3 |
1 |
||
|
2 |
2 |
Знаходимо коефіцієнт :
|
1 |
1 |
2 |
1 |
2=4+ =-2 |
Отже, .
2)
|
Система показників вищого члена |
Вищий член |
Відповідний елементарний симетричний многочлен |
|
|
2 |
0 |
||
|
1 |
1 |
Знаходимо коефіцієнт .
|
1 |
1 |
2 |
1 |
2=4+ =-2 |
Отже,
Тепер .
II спосіб
Відповідь:
4. Розв’язати систему рівнянь.
Вводимо нові змінні . Тоді для нових невідомих отримали наступну систему рівнянь:
Тепер розглядаємо три випадки:
1)
Оскільки то та
2) система не має розв’язків;
3)
Отримуємо, що тобто дана система має розв’язок будь-яку пару чисел, що задовольняє умові .
5. Розв’язати систему рівнянь, ввівши нові допоміжні невідомі.
Введемо нову допоміжну змінну: .
Тоді: . Оскільки то
Виразимо та розв’яжемо рівняння:
Отримали нову систему:
Отже, отримали: та
Якщо повернутися до заміни, то одержимо:
та .
6. Розв’язати рівняння.
Робимо заміну: .
Підносимо до квадрата обидва рівняння системи: .
Склавши їх, отримаємо:
Тоді маємо:
Оскільки , то
Підставимо й розв’яжемо квадратне рівняння:
Отож, отримали дві системи:
та
Повертаємося до заміни:
1)
Отже, та
2)
Отож, та
Відповідь: , , ,
7. Розв’язати зворотне рівняння.
Це зворотне рівняння непарної степені. Згідно з теоремою його ліва частина ділиться на . Отримуємо:
Таким чином, отримали два рівняння:
Друге рівняння – зворотне рівняння парної степені. Перетворюємо його ліву частину:
Так як не є коренем даного рівняння, то ми прийдемо до наступного рівняння відносно :
Таким чином, ми маємо корінь й ще чотири, які легко знайти розв’язавши біквадратне рівняння відносно :
Отож,
Це означає, що для знаходження коренів заданого рівняння слід розв’язати п’ять рівнянь: 1)
2)
3)
4)
5)
Таким чином,
8. Розкласти на множники многочлени.
Перетворимо даний многочлен:
Отримали многочлен другого степеня, який легко розкласти відносно на множники:
Тоді: .
Підставляючи значення , отримаємо:
Розв’яжемо кожне рівняння окремо відносно :
Тоді
Відповідь:
9. Розв’язати задачу про квадратне рівняння.
Скласти квадратне рівняння коренями якого є числа: де – корені квадратного рівняння
Для розв’язування використовуємо формули Вієта, згідно з якими та
З іншого боку, за тими ж формулами:
Таким чином, і тому шукане квадратне рівняння має вигляд
10. Довести, що при будь-яких дійсних та , які задовольняють нерівність , справедлива нерівність .
З умови задачі ми маємо:
(адже ).
Так як за умовою задачі , то нерівність доведено.
Висновки
Розв’язування багатьох задач елементарної алгебри значно полегшується, якщо використовувати симетричність умови. За допомогою теорії симетричних многочленів розв’язування таких задач помітно спрощується і, що найголовніше, проводиться стандартним прийомом. Було з’ясовано, що це такі завдання, як розв’язування системи рівнянь вищих ступенів, ірраціональних та зворотних рівнянь, доведення нерівностей, розклад многочлена на множники тощо. А прийом оснований на використані елементарних симетричних многочленів та твердженні основної теореми про симетричні многочлени від двох змінних та теоремі єдиності. І хоча він й не універсальний, але його можна застосовувати для розв’язання багатьох задач.
Було вивчено властивості симетричних многочленів та їх застосування при розв’язуванні відповідних задач.
В роботі розкрито загальний метод розв’язування системи рівнянь вищих степенів, а також з'ясовано основні властивості квадратних рівнянь, складено алгоритм розв’язування ірраціональних рівнянь на основі прикладу, з'ясовано вплив дискримінанта при доведенні нерівностей, складено таблицю обернених симетричних многочленів, підібрано задачі для самостійного розв’язання і наведено розв'язок типового варіанту.
Отже, теорія симетричних многочленів досить корисна, адже допомагає, спрощує розв’язання багатьох задач елементарної алгебри. Ряд таких задач було розібрано в роботі, серед них є доволі складні, деякі пропонувалися на математичних олімпіадах.
Література