Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Рекомендуемые учебники: (практически все учебники можно взять в библиотеке)
Кремер – «Высшая математика для экономистов»
Привалов – «Аналитическая геометрия»
Беклемешев – «Высшая математика»
Пискунов – «Дифференциальное и интегральное исчисление»
Рекомендуемые задачники: (в основном покупать)
Кремер – «Высшая математика для экономистов. Практикум»
Данко – «Высшая математика в примерах»
Для упрощения понимания высшей математики – приобрести Справочник по высшей матиматике Выгодского или Бронштейна и Семендяева.
Матрица!
mxn – матрица размерности m на n называется прямоугольная таблица чисел состоящая из m строк и n столбцов.
а11 а12 … а1n
Пример: А= а21 а22 … а2n
а31 а32 … а3n
Действие над матрицей:
При сложении матриц (особенно простых, второго порядка) числа в строках складываются.
Пример: 1 2 + 0 1 = 1+0 2+1 = 1 3
3 -1 2 1 3+2 -1+1 5 0
При умножении матрицы на число, данное число перемножается со всеми числами в матрице.
Пример: 2* 1 2 = 2 4
3 1 6 2
Существует единичные матрицы которые обозначаются как Е. Единичные матрицы выглядят следующим образом:
1 0 0 - Это единичная матрица третьего порядка. Определяется по главной диагонали.
0 1 0
0 0 1
- Главная диагональ матрицы.
Определитель матрицы второго порядка.
Матрица второго порядка – А = а11 а12 (Матрица это таблица чисел)
а21 а22
Определитель матрицы второго порядка - ∆ = а11 а12 ∆ - число вычисляемое по правилу
а21 а22
∆ = а11*а22 – а12*а21
Определитель матрицы третьего порядка:
а11 а12 а13
А= а21 а22 а23
а31 а32 а33
а11 а12 а13
∆ = а21 а22 а23
а31 а32 а33
= а11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13 – а13а22а31 – а12а21а33 – а23а32а11
Свойства:
Пример: ∆ а11 а12 ∆Т = а11 а21
а21 а22 а12 а22 Следовательно ∆ = ∆Т
При транспонировании (обозначается как ∆Т строка становится столбцом.)
Пример: А= 1 2 = 1*1 – 3*2 = 1-6 = -5
3 1
∆1 = 3 1 = 3*2 – 1*1 = 5
1 2
Пример: ka11 ka12 k* a11 a12
a21 a22 a21 a22
Достаточно один столбец или строку умножить на множитель.
∆= 1 2 3 Если записать третью строку как матрицу, то ее можно выразить как сложение
0 1 2 первых двух строк => третья строка есть линейная комбинация первых двух
2 5 8
(2 5 8) = 2*(1 2 3) + 1*(0 1 2) – Такой определитель равен нулю
Пример: ∆= 2 1 = 0 (4 2) = 2*(2 1) – строки пропорциональны.
4 2
Минор. Алгебраическое дополнение.
Минор обозначается - Mij элементы определителя i и j называется определитель полученный из данного вычеркиванием строки и столбца.
Пример: ∆ = 1 2 3 M12 – минор элемента
1 1 1
2 0 1
M12 = 1 1 = 1*1 - 2*3 = -1
Аij=(-i)i+j* Mij
2 1
а11*А11 + а12*А12 + а13*А13
Формула алгебраического дополнения –
∆ = a11 a12 a13 Вычитаем с помощью формулы -
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Определитель равен сумме произведений какой либо строки.