Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема для самостійного опрацювання 2
Багатовимірні випадкові величини. Система двох випадкових величин
Означення. Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X1, X2, …, Xn) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також си-стемою n випадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.
1. Система двох дискретних випадкових величин (X, Y) та їх числові характеристики
Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = yi , X = xj та відповідних їм імовірностей спільної появи.
У табличній формі цей закон має такий вигляд:
|
X = xj Y = yi |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xm |
pyi |
|
y1 |
p11 |
p12 |
p13 |
p1m |
py1 |
|
|
y2 |
p21 |
p22 |
p23 |
p2m |
py2 |
|
|
y3 |
p31 |
p32 |
p33 |
p3m |
py3 |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
yk |
pk1 |
pk2 |
pk3 |
… |
pkm |
pym |
|
pxj |
px1 |
px2 |
px3 |
… |
pxm |
Тут використано такі позначення
Умова нормування має такий вигляд:
(108)
2. Основні числові характеристики для випадкових величин Х, Y, що утворюють систему (Х, Y)
(109)
(110)
(111)
(112)
= (113)
(114)
3. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості
Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:
(115)
У разі Κху = 0 зв’язок між величинами Х та Y, що належать системі (Х, Y), відсутній. Коли Κху 0, то між відповідними Х і Y кореляційний зв’язок існує.
Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:
(116)
, або .
Отже, якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κху = 0 і rху = 0. Рівність нулеві rху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.
Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо rху = 0, і корельованими, якщо rху 0.
Отже, якщо Х і Y незалежні, то вони будуть і некорельованими. Але з некорельованості випадкових величин у загальному випадку не випливає їх незалежність.
Приклад 1. Задано закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X, Y):
|
Х = хj Y = yi |
5,2 |
10,2 |
15,2 |
Pyi |
|
2,4 |
0,1a |
2a |
0,9a |
|
|
4,4 |
2a |
0,2a |
1,8a |
|
|
6,4 |
1,9a |
0,8a |
0,3a |
|
|
Pxj |
Знайти а. Обчислити M (X); D (X); (X); M (Y); D (Y); (Y); Kху; rху; P (2,4 Y < 6,4; 5,2 < X 15,2).
Розв’язання.
Скориставшись умовою нормування (108), дістанемо:
Зі знайденим а закон системи набирає такого вигляду:
|
Х = хj Y = yi |
5,2 |
10,2 |
15,2 |
Pyi |
|
2,4 |
0,01 |
0,2 |
0,09 |
0,3 |
|
4,4 |
0,2 |
0,02 |
0,18 |
0,4 |
|
6,4 |
0,19 |
0,08 |
0,03 |
0,3 |
|
Pxj |
0,4 |
0,3 |
0,3 |
Основні числові характеристики обчислюємо за формулами (109) — (116):
Kху = М (XY) — М (X) М (Y) = 40,28 – 9,7 4,4 = 40,28 – 42,68 = 1,4.
Оскільки Κху > 0, то між відповідними величинами існує кореляційний зв’язок. Для вимірювання тісноти кореляційного зв’язку обчислимо коефіцієнт кореляції
Остаточно маємо:
p(2,4 Y < 6,4; 5,2 < X 15,2) = 0,2 + 0,02 + 0,09 + 0,18 = 0,31.
4. Умовні закони розподілу системи двох дискретних випадкових величин
та їх числові характеристики
Умовним законом розподілу дискретної випадкової величини Х при фіксованому значенні Y = yi називається перелік можливих значень випадкової величини Х = хi та відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні Y = yi.
У табличній формі запису умовний закон Х / Y = yi має такий
вигляд:
|
X = x j |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xm |
|
Pi1 / Py1 |
Pi2 / Py2 |
Pi3 / Py3 |
… |
Pim / Pym |
При цьому має виконуватись умова нормування:
Числові характеристики для цього закону називають умовними.
Умовне математичне сподівання
(117)
Умовна дисперсія і середнє квадратичне відхилення обчислюються відповідно за формулами
; (118)
. (119)
Умовним законом розподілу випадкової величини Y при фіксованому значенні Х = хі називається перелік можливих значень випадкової величини Y = уj і відповідних їм умовних імовірностей, обчислених при фіксованому значенні Х = хі.
У табличній формі запису умовний закон має такий вигляд:
|
Y = у j |
y1 |
y2 |
y3 |
… |
ym |
|
P1j / Pх1 |
P2j / Рх2 |
P3j / Px3 |
… |
Pmj / Pxm |
При цьому має виконуватись умова нормування:
.
Умовне математичне сподівання
(120)
Умовна дисперсія
(121)
Умовне середнє квадратичне відхилення
(122)
Приклад 2. Задано двовимірний закон розподілу:
|
Х = хj Y = yi |
10 |
20 |
30 |
Pyi |
|
– 6 |
0,02 |
0,05 |
0,03 |
0,1 |
|
– 4 |
0,08 |
0,15 |
0,07 |
0,3 |
|
– 2 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,6 |
|
Pxj |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
Обчислити М (Х / Y = – 4); М (Х / Y = 30); (Y / X= –4 ); (Y / X = 30).
Розв’язання. Для обчислення М (Х / Y = – 4), М (Х / Y = 30) необхідно побудувати відповідні умовні закони розподілу.
Умовний закон розподілу Х / Y = – 4:
|
X = x j |
10 |
20 |
30 |
|
0,08/0,3 |
0,15/0,3 |
0,07/0,3 |
P(X / Y = – 4) = 0,8 / 0,3 + 0,15 / 0,3 + 0,07 / 0,3 = 1
M(X / Y = – 4) = 1 / 0,3 (10 0,08 + 20 0,15 + 30 0,07) =
= (0,8 + 3 + 2,1) = 3,2 / 0,3 = 10,7;
M(X2 / Y= – 4) = 1 / 0,3 (100 0,08 + 400 0,15 + 900 0,07) =
= (8 + 60 + 63) = 131 / 0,3 = 1310 / 3;
D (X / Y= – 4) = 1310 / 3 – (32 / 3)2 = 1310 / 3 – 3481 / 9 = (3930 – 3481) / 9 = 449 / 9;
(X / Y = – 4) = (449 / 9)0,5 = 1 / 3(2906)0,5 = 7,1.
Умовний закон розподілу Y / Х = 30:
|
Y = у j |
– 6 |
– 4 |
– 2 |
|
0,03 / 0,2 |
0,07 / 0,2 |
0,1 / 0,2 |
P (Y / Х = 30) = 0,03 / 0,2 + 0,07 / 0,2 + 0,1 / 0,2 = 1;
M (Y / X = 30) = 1 / 0,2 (– 6 0,03 – 4 0,07 – 2 0,1) =
= 1 / 0,2 (– 0,18 – 0,28 – 0,2) = – 0,66 / 0,2= – 3,3;
M (Y 2 / X = 30) = (36 0,03 + 16 0,07 + 4 0,1) 1 / 0,2 (1,08 +
+ 1,12 + 0,4) = 2,6 / 0,2 = 13;
D (Y / X = 30) = 13 – (–3,3)2 = 13 – 10,89 = 2,11;
(X / Y = – 4) = (2,11)0,5 = 1,45.
5. Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин та її властивості
Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х, Y) називають таку функцію двох аргументів х, у, яка визначає ймовірність cпільної появи подій (X < x) (Y < y):
F(x,y) = P((X < x) (Y < y)). (123)
Геометрично ця функція зображена на рис. 62
Рис. 62
Властивості F(x, y)
(124)
(125)
3. . (126)
4. (127)
5. F(x, y) є неспадною функцією аргументів х і у.
Скориставшись властивістю (5), можна обчислити ймовірності
Р(а < Х < b, Y < y) = F(b, y) – F(a, y);
P(X < x, c < Y < d) = F(x, d) – F(x, c). (128)
6. Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:
P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c). (129)
Приклад 4. Закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) задано функцією розподілу ймовірностей
Обчислити P(0 < x < 4,0 < y < 2).
Розв’язання. Відповідну графічну схему зображено на рис. 65.
Рис. 65
Далі згідно зі (129) маємо:
P(0 < x < 4; 0 < y < 2) = F(4; 2) + F(0; 0) – F(0; 2) – F(4; 0) = 1 – e – 8 – e – 6 + e – 14.
6. Щільність імовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y), f(x, y) та її властивості
Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.
(130)
Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.
Функції f (x, y) у тривимірному просторі відповідає певна поверхня — так звана поверхня розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y).
Тоді f (x, y) dxdy — імовірність розміщення системи двох випадкових величин у прямокутнику зі сторонами dx, dy.
Властивості f (x, y)
(131)
Якщо , то (131) набирає такого вигляду:
. (132)
3. Імовірність розміщення системи змінних (х, у) в області обчислюється так:
(133)
Імовірність розміщення системи змінних (х, у) у прямокутній області D = (a < x < b, c < y < d)
(134)
4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння
(135)
5. Якщо , то (136)
7. Основні числові характеристики для системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y)
(137)
(138)
(139)
(140)
(141)
(142)
Якщо, то виконуються співвідношення:
(143)
(144)
(145)
(146)
(147)
Якщо , то маємо:
(148)
(149)
(150)
(151)
(152)
8. Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х і Y,
які утворюють систему (Х, Y)
Як і в системі двох дискретних випадкових величин, у системі двох неперервних випадкових величин розглядаються умовні закони розподілу.
Ураховуючи (124), можна записати
(153)
Звідси
(154)
(155)
Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х, Y, що утворюють систему (Х, Y), визначаються умовними щільностями ймовірностей f (x / y), f (y / x):
. (156)
Аналогічно доводимо співвідношення
(157)
Із (156), (157) дістаємо
f (x, y) = f (x) f (y / x) = f (y) f (x / y). (158)
Для умовних законів розподілу неперервних випадкових величин умова нормування має такий вигляд:
(159)
Якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то
f (x / y) = f (x), f (y / x) = f (y). (160)
У цьому разі (158) набирає вигляду
f (x, y) = f (x) f (y). (161)
Для незалежних випадкових величин Х та Y виконується рівність
F(x, y) = F(x) F(y). (162)
Числові характеристики для умовних законів розподілу ймовірностей:
(163)
(164)
(165)
(166)