тема имеет единственное решение в двух случаях вопервых если квадратное уравнение имеет единственное реш
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Логарифмические уравнения и неравенства с параметром
При решении задач с логарифмической функцией важно учесть область определения и правильно избавиться от логарифма.
- При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение? Решение. Прежде всего нужно аккуратно избавиться от логарифма: . Система имеет единственное решение в двух случаях: во-первых, если квадратное уравнение имеет единственное решение, и оно больше –3; во-вторых, если это квадратное уравнение имеет два решения, но только одно из них больше –3. Чтобы разобраться с первым случаем, находим дискриминант: . Он равен нулю при . Первое значение не годится, так как получаем один корень . При получаем , это значение подходит. Разбираем второй случай: только один корень больше –3. Вспомним, при каких условиях корни квадратного уравнения лежат по разные стороны от данного числа : для решения этой задачи составляется неравенство (если старший коэффициент положительный). Получаем неравенство , при этих значениях параметра один корень больше –3, а второй меньше, значит, система имеет единственное решение. Если один из корней равен –3, то , и второй корень тоже , это не подходит. Итак, получаем ответ: Приведем графическую иллюстрацию (рис. 1). Изображаем график функции , выделяем часть графика, удовлетворяющую условию . Рассматриваем «вращающуюся» прямую и определяем, при каких значениях мы получим единственную точку пересечения. Ответ:
- При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение? Найти его. Решение. Преобразуем данное уравнение: . Для краткости записей введем обозначение Получим систему . Мы видим, что уравнение всегда имеет корень , причем Значит, либо второго корня не должно быть, либо второй корень не должен входить в данный промежуток. Чтобы не было второго корня, нужно потребовать, чтобы выполнялось условие . Чтобы второй корень не входил в данный промежуток, должно быть либо , либо . Но так как , то ни первое, ни второе неравенство не имеют решений. Ответ: .
- Найти все значения , при которых неравенство выполняется при всех значениях . Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем и . Вторая система, очевидно, решений не имеет. Изобразим множество в плоскости «переменная–параметр» (рис. 2). Это точки, лежащие между параболой и прямой . Нам нужно найти значения , при которых соответствующая горизонтальная прямая полностью лежит в данном множестве. По рисунку видно, что это . Ответ: .
- При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение? Решение. Данное уравнение равносильно системе . Нужно, чтобы уравнение имело только один корень, больший и не равный нулю. Подходящая ситуация, когда корни лежат по разные стороны от числа . Составим условие : . Если один из корней равен нулю, то . Второй корень при этом равен также нулю, это нам не подходит. Остается разобрать случай, когда корни кратные, дискриминант равен нулю: . Значение мы уже рассмотрели. При уравнение имеет кратный корень , он не удовлетворяет неравенству системы. Ответ: .
- При каких система имеет два различных решения? Решение. Данная система равносильна следующей системе: . Рассмотрим гиперболу при и «вращающуюся прямую» с неподвижной точкой (6; 8). Касательное положение прямой определим из системы . Получаем квадратное уравнение , отсюда две точки касания: при , и при . Определяем по чертежу (рис. 3), при каких значениях прямая имеет с гиперболой две точки пересечения (при условии ): Ответ:
- Решить уравнение . Решение. Данное уравнение равносильно уравнению . Это уравнение, в свою очередь, равносильно следующей системе . Преобразуем эту систему: . Эти условия удобно изобразить в системе «переменная – параметр». Первая линия — окружность с центром в точке (рис. 4). Изобразим прямую и найдем ее точки пересечения с окружностью: (0; 1) и . Выделим часть окружности, соответствующую условию . Теперь, мысленно проводя горизонтальные прямые, определяем для каждого значения , какие решения уравнения мы должны включить в ответ. Ответ: при , при имеется два корня , при , при остальных значениях решений нет.
- При каких функция определена при всех значениях ? Решение. Данная функция определена, если выполняются условия: . По условию задачи, последнее неравенство должно выполняться при всех . Вспомним, что множество значений выражения представляет собой отрезок (так как ). Поэтому по последнему неравенству . Решая систему , получаем . Ответ: .
- Найти все пары , для которых при любых положительных выполняется равенство Решение. Продифференцируем обе части этого равенства и получим Это равенство также должно выполняться при любых положительных . Пусть сначала , тогда должно удовлетворять уравнению . Докажем, что это уравнение решений не имеет. Для этого найдем множество значений функции . Находим производную . Производная обращается в 0 в точке , при этом . Так как на промежутке производная положительна, а на промежутке отрицательна, то в точке функция имеет наибольшее значение. Но так как , то функция не принимает значения 1 и уравнение не имеет решений. Если, то должно быть для любых , следовательно, Ответ:
Задачи для самостоятельной работы
- При каких значениях параметра число 1 является решением неравенства ? Ответ: .
- При каких уравнение имеет единственное решение? Ответ:
- При каких уравнение имеет единственное решение? Ответ:
- При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение? Ответ: .
- При каких значениях параметра существует решение уравнения ? Ответ: .
- При каких значениях существует единственное решение уравнения ? Ответ: .
- При каких значениях параметра система имеет единственное решение? Ответ: .
- При каких система имеет единственное решение? Ответ:
- Решить неравенство . Ответ: при , при остальных значениях решений нет.
- При каких значениях параметра число 2 является решением неравенства ? Ответ: .
- При каких значениях параметра неравенство выполняется для любых ? Ответ: .
- При каких значениях параметра уравнение имеет решение? Найти эти решения. Ответ: , .
PAGE 819