тема имеет единственное решение в двух случаях вопервых если квадратное уравнение имеет единственное реш

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Логарифмические уравнения и неравенства с параметром

При решении задач с логарифмической функцией важно учесть область определения и правильно избавиться от логарифма.

1.  При каких значениях параметра  уравнение  имеет единственное решение? Решение. Прежде всего нужно аккуратно избавиться от логарифма:  . Система имеет единственное решение в двух случаях: во-первых, если квадратное уравнение  имеет единственное решение, и оно больше –3; во-вторых, если это квадратное уравнение имеет два решения, но только одно из них больше –3. Чтобы разобраться с первым случаем, находим дискриминант: . Он равен нулю при . Первое значение не годится, так как получаем один корень . При  получаем , это значение подходит. Разбираем второй случай: только один корень больше –3. Вспомним, при каких условиях корни квадратного уравнения  лежат по разные стороны от данного числа : для решения этой задачи составляется неравенство  (если старший коэффициент положительный). Получаем неравенство  , при этих значениях параметра один корень больше –3, а второй меньше, значит, система имеет единственное решение. Если один из корней равен –3, то , и второй корень тоже , это не подходит. Итак, получаем ответ:  Приведем графическую иллюстрацию (рис. 1). Изображаем график функции , выделяем часть графика, удовлетворяющую условию . Рассматриваем «вращающуюся» прямую  и определяем, при каких значениях  мы получим единственную точку пересечения. Ответ:
2.  При каких значениях параметра  уравнение  имеет единственное решение? Найти его. Решение. Преобразуем данное уравнение:  . Для краткости записей введем обозначение  Получим систему  . Мы видим, что уравнение всегда имеет корень , причем Значит, либо второго корня не должно быть, либо второй корень не должен входить в данный промежуток. Чтобы не было второго корня, нужно потребовать, чтобы выполнялось условие  . Чтобы второй корень не входил в данный промежуток, должно быть либо , либо . Но так как , то ни первое, ни второе неравенство не имеют решений. Ответ: .
3.  Найти все значения , при которых неравенство  выполняется при всех значениях . Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем  и . Вторая система, очевидно, решений не имеет. Изобразим множество  в плоскости «переменная–параметр» (рис. 2). Это точки, лежащие между параболой  и прямой . Нам нужно найти значения , при которых соответствующая горизонтальная прямая полностью лежит в данном множестве. По рисунку видно, что это . Ответ: .
4.  При каких значениях параметра  уравнение  имеет единственное решение? Решение. Данное уравнение равносильно системе  . Нужно, чтобы уравнение имело только один корень, больший  и не равный нулю. Подходящая ситуация, когда корни лежат по разные стороны от числа . Составим условие :   . Если один из корней равен нулю, то . Второй корень при этом равен также нулю, это нам не подходит. Остается разобрать случай, когда корни кратные, дискриминант равен нулю:  . Значение  мы уже рассмотрели. При  уравнение  имеет кратный корень , он не удовлетворяет неравенству системы. Ответ: .
5.  При каких  система  имеет два различных решения? Решение. Данная система равносильна следующей системе: . Рассмотрим гиперболу  при  и «вращающуюся прямую»  с неподвижной точкой (6; 8). Касательное положение прямой определим из системы . Получаем квадратное уравнение , отсюда две точки касания:  при , и  при . Определяем по чертежу (рис. 3), при каких значениях  прямая имеет с гиперболой две точки пересечения (при условии ): Ответ:  
6.  Решить уравнение . Решение. Данное уравнение равносильно уравнению . Это уравнение, в свою очередь, равносильно следующей системе . Преобразуем эту систему:   . Эти условия удобно изобразить в системе «переменная – параметр». Первая линия — окружность с центром в точке  (рис. 4). Изобразим прямую  и найдем ее точки пересечения с окружностью: (0; 1) и . Выделим часть окружности, соответствующую условию . Теперь, мысленно проводя горизонтальные прямые, определяем для каждого значения , какие решения уравнения  мы должны включить в ответ. Ответ: при  , при  имеется два корня , при  , при остальных значениях  решений нет.
7.  При каких  функция  определена при всех значениях ? Решение. Данная функция определена, если выполняются условия: . По условию задачи, последнее неравенство должно выполняться при всех . Вспомним, что множество значений выражения  представляет собой отрезок  (так как ). Поэтому по последнему неравенству . Решая систему , получаем . Ответ:  .
8.  Найти все пары , для которых при любых положительных  выполняется равенство  Решение. Продифференцируем обе части этого равенства и получим  Это равенство также должно выполняться при любых положительных . Пусть сначала , тогда  должно удовлетворять уравнению . Докажем, что это уравнение решений не имеет. Для этого найдем множество значений функции . Находим производную . Производная обращается в 0 в точке , при этом . Так как на промежутке  производная положительна, а на промежутке  отрицательна, то в точке  функция имеет наибольшее значение. Но так как , то функция  не принимает значения 1 и уравнение  не имеет решений. Если, то должно быть  для любых , следовательно,  Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

1.  При каких значениях параметра число 1 является решением неравенства ? Ответ: .
2.  При каких  уравнение  имеет единственное решение? Ответ:  
3.  При каких  уравнение  имеет единственное решение? Ответ:
4.  При каких значениях параметра уравнение  имеет единственное решение? Ответ: .
5.  При каких значениях параметра существует решение уравнения ? Ответ: .
6.  При каких значениях  существует единственное решение уравнения ? Ответ: .
7.  При каких значениях параметра система  имеет единственное решение? Ответ: .
8.  При каких  система имеет единственное решение? Ответ:
9.  Решить неравенство . Ответ: при , при остальных значениях   решений нет.
10.  При каких значениях параметра число 2 является решением неравенства ? Ответ: .
11.  При каких значениях параметра неравенство   выполняется для любых ? Ответ: .
12.  При каких значениях параметра уравнение   имеет решение? Найти эти решения. Ответ:  , .

PAGE  819

1. Влияние миграции, смешения, адаптации и изоляции на типологию людей
2. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук Одеса ~ Дисе
3.  Нажата
4. Г1
5. тема менеджмента качества Управление кадрами СТО УКАБ 2111 Настоящий стандарт устанавливает в соответст
6. Тема 9 1 Банк Надія оголосив формування статутного капіталу з 300000 акцій номінальною вартістю 10 грн
7. Ответы напишите в правом столбце таблицы предварительно удалив примерный текст
8. НА ТЕМУ- Субъекты и объекты правоотношений
9. Характеристика поведения и психического отражения на стадии сенсорной психики
10. ВАРИАНТ 3 Тестовые задания
11. своеобразный элемент географического ландшафта в виде большой совокупности деревьев в своем развитии обус
12. 092013 Сущность финансового менеджмента Функции финансового менеджмента- Функции объекта управления-
13. Iru Оригинальный салатик простой в приготовлении и легкий в оформлении
14. философы стратеги воины и производителиземледельцы и ремесленники.
15. Реферат- Изучение информации как объекта коммерческой деятельности
16. Особливості формування зимових скупчень Горлиці кільчатої
17. практикум для студентов специальности 260202 всех форм обучения www.
18. і Процес ведення бухгалтерського обліку та складання фінансової звітності чітко визначений та регламенту
19. Создание эффективной реализации сортированного списка с использованием generics
20. сетей Угрозы и уязвимости проводных корпоративных сетей Угрозы и уязвимости беспроводных сетей Сп

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе