Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
СПРАВОЧНИК
vy
геодезиста
СПРАВОЧНИК
геодезиста
(В ДВУХ КНИГАХ)
КНИГА 1
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ, переработанное И ДОПОЛНЕННОЕ
П од редакцией
МОСКВА «НЕДРА* 19 7 5
В. Д. БОЛЬШАКОВА И Г. П. ЛЕВЧУКА
Справочник геодезиста (в двух книгах). Изд. 2, перераб. и доп. М, «Недра», 1975. 1056 с.
Авт.: В. Д. Большаков, Г. П. Левчун, Г. В. Багратуни, К. В. Бажанов, П. А. Гайдаев, И. И. Краснорылов, А. Н. Кузнецов, А. В. Кондрашков, Е. Г. Ларченко, Н. И. Модринский, М. Е. Пискунов В. Г. Селиханович, В. Ю. Торочков, М. С. Урмаёв, 3. С. Хаимов, Б. П. шимбирев. В. И. Шил- шгагер, Н. В. Яковлев.
В Справочнике в двух книгах изложены теория и практика геодезических работ, описапы инструменты, способы обработки результатов измерений, техника вычислений. Второе издание Справочника переработано и дополнено вовыми разделами: космическая геодезия, радиогеодезические системы, гироскопические приборы, экономика и организация геодезических работ.
Справочник состоит из шести разделов. В книге 1 в первом разделе рассмотрены элементы теории вероятностей и математической статистики применительно к теории ошибок геодезических измерений, теория ошибон и метод наименьших квадратов, вычислительная техника в геодезии. Во вто* ром разделе изложены основные вопросы теории фигуры Земли и гравиметрии, космической геодезии, геодезической астрономии, сфероидической геодезии. В третьем разделе детально освещены основные геодезические работы: триангуляция и трилатерация, радподальномерные и светодальномерные измерения. в книге 2 даны уравнительные вычисления в триангуляции и три- латерации, полигонометрия, гироскопические определения, нивелирование* Четвертый раздел посвящен методам топографических съемок: теодолитной, тахеометрической, мензульной, и методам фототопографических съемок: комбинированной, стереотопографической, наземной стереофотограмметрии. В пятом разделе приведены основные сведения по инженерно-геодезическим изысканиям, разбивочным работам, методам установки и выверки строительных конструкций и технологического оборудования, наблюдениям за деформациями сооружений. В шестом разделе даны общие понятия об экономике производства, планировании и организации геодезических работ.
Справочнин предназначен для инженеров и техников, выполняющих основные геодезические работы и топографические съемки, а также изыскания и разбивки инженерных сооружений. Он будет полезен для преподавателе^ аспирантов и студентов геодезических специальностей высших учебных заведений.
Таблиц 140, иллюстраций 431, список литературы 162 назв.
20701-21» л
043 (0»)75 © Издательство «Недра» , 1875
Первое издание «Справочника геодезиста» вышло в свет в 1966 году. За восемь лет, прошедших со дня выхода первого издания настоящей книги, произошли существенные изменения в теории и практике геодезии.
Естественно, что эти изменения нашли отражение во втором издании «Справочника геодезиста». К числу упомянутых изменений прежде всего следует отнести новые главы: космическая геодезия; гироскопические приборы; радиогеодезические системы; экономика, планирование и организация геодезических работ.
Заново написаны главы: уравнительные вычисления в триангуляции, трилатерации и комбинированных сетях; метод наименьших квадратов.
Существенной переработке подверглись главы: теория ошибок измерений; вычислительная техника в геодезии; теория фигуры Земли и гравиметрия; радио- и светодальномерные измерения; раздел геодезические работы при изысканиях и строительстве инженерных сооружений. Внесены изменения и в другие главы.
Ограниченный объем книги не позволил включить раздел «Сведепия из математики, фи- викп, радиотехники».
Авторы получили от читателей «Справочника геодезисте» много1 замечаний и пожелапий об
улучшения его содержания и постарались по возможности учесть их. Однако авторы отдают себе отчет в том, .что и второе издание Справочника не лишено недостатков, и будут благодарны читателям, если они вновь укажут на допущенные в изложении промахи и сообщат свои пожелания и замечания.
Настоящее издание Справочника по техническим причинам выпускается в двух книгах, которые имеют единую нумерацию страниц и общий предметный указатель.
Раздел I
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
В. Д. Большаков
А. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности случайных явлений.
Случайное явление это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта, наблюдения протекает каждый раз несколько по-иному. Однако в массовом проявлении случайные явления обнаруживают вполпе определенную закономерность (примерно одинаковое число выпадений гербов и цифр при бросании монеты, более частое попадание в. центральную часть мишени, чем па ее края, и т. д.).
Осуществление каждого отдельного наблюдения, опыта будем называть испытанием. Результат испытания назовем событием (например, при подбрасывании монеты могут происходить два события: появление герба, появление цифры). События условно можно разделить на элементарные, которые нельзя разложить на более простые, и сложные, состоящие из двух или более элементарных событий (например, появление положительной ошибки при одном измерении элементарное событие, появление пяти положительных ошибок при 10 измерениях сложпое событие). При выполнении определенного комплекса условий различают события следующих видов.
группа достоверное событие (например, выпадение одной из граней при бросании игральной кости).
События обычно обозначают заглавными буквами латипского алфавита А, В, С, . . . или At, A .. . Ап.
Достоверное событие обозначают буквой U\ невозможное буквой V; противоположное по отношению к событию А через А.
Если вероятность события сколь угодно близка к единице или нулю, событие называется практически достоверным или соответственно практически невозможным. Степень приближения к единице или нулю оценивается, исходя из практических соображений.
П р и м е р 1. При артиллерийской стрельбе из 1000 снарядов, выпущенных из орудий, 999 разрываются, одип снаряд не разрывается. Вероятность неразрыва снаряда равна 0,001, разрыва
Непосредственный подсчет вероятностей
С каждым событием связывают понятие вероятности числовой характеристики объективной возможности появления события. Существуют события, вероятность которых можно определить из условий самого опыта, не производя его. Для этого необходимо, ятобы элементарные события, составляющие полную группу, были несовместными и обладали симметричным исходом и в силу этого были бы равновозможными. Говорят, что в этом случае опыт сводится к «схеме случаев». Случай называется благоприятствующим некоторому событию А, если появление этого случая влечет за собой появление данного события А. Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А можпо оценить по формуле
рИ)=Р (1Л-1)
где N общее число случаев, М число случаев, благоприятствующих событию А. При этом 0 ^ р (А) ^ 1, причем вероятность достоверного события р (V) 1, невозможного р (V) = 0.
Формулу (1.1.1) называют классическим определением вероятности, а вычисления по (1.1.1) непосредственным подсчетом веро- ятпостей. Применяя (1.1.1), найдем, что вероятность появления герба при одном бросании монеты
1
Ргерба -£•
Этому же числу равна вероятность появления положительной (отрицательной) ошибки при одном измерении. , '
Вероятность выпадения грани с цифрои 6 при одном бросании игральной кости
1
Р*~Т'
Пример 2. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут
белые. „ пг
Так как число благоприятствующих случаев М ~ где С% число сочетаний из а белых шаров по 2, а число всевозможных случаев составляет
71=са+ь,
где Сд + 6 число сочетаний из а + b всех шаров по 2, то
- с|
Очевидно, не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев, п поэтому существуют события, вероятности которых невозможно вычислить по формуле (1.1.1). Для таких событий применяют другие способы определения вероятностей. Все эти способы связаны с опытом (экспериментом) и понятием относительной частоты (частости) события.
Относительной частотой события называют отношение числа появлений этого события т к числу всех произведенных опытов л1, т. е.
<? = (1.1.2)
При неограниченном числе опытов с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно ожидать, что относительная частота (частость) события приближается к его вероятности (теорема Бернулли закон больших чисел). Это утверждение пишут так:
вер. lim Q= р.
п->- оо
Вероятностный предел (вер. lim) отличается от математического предела и понимается как тенденция стремления к проделу.
Теоремы теорпи вероятностей позволяют определить вероятности сложных событий суммы и произведения элементарных событий, если пзвестпы вероятности последних. Суммой событий Ai (i = 1, 2, . . ., п) называется сложное событие В, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. Для несовместных событий условно пишут
В = пли Ai. пли А2 или Ап,
а также
В = А\ + Аз +. . . -\-Ап.
Теорема. Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.
П
p(B)=2>Mi>. (1.1.3)
i=l
Пример 3. Бросают игральную кость. Какова вероятность того, ято вскроется грань с яетпой цифрой.
Решение'. Искомое событие наступает, когда вскроются грани с цифрами: или 2, или 4, или 6. Вероятность вскрытия любой грани р (А{) = Ve-
Искомая вероятность р (В) = р (четн. цифра) = */e + Vo + + V« = Vs-
Пример 4. В лотерее 1000 билетов, из них падает выигрышей: на один билет 500 руб.; па 10 билетов по 100 руб.; па 50 билетов по 20 руб.; на 100 билетов по 5 руб. Остальные билеты невыигрышные.
Найти вероятность выигрыша но менее 20 руб. и какой-либо суммы, имея один билет.
Решение. Обозначим события: А выигрыш не менее 20 руб.; Аг выигрыш 20 руб.; А3 выигрыш 100 руб.; А3 выигрыш 500 руб.| Л4 выигрыш 5 руб.
Согласно условию
A=Ai-\-A2-{-As, р(А) = р (Ai-\-A%-\ Az).
По теореме сложения имеем
p(A) = p{A1)+p{Ai) + p{Az),
но
р (Ai) = 50: 1000 = 0.050; р (Аг) = 10: 1000 = 0,010;
Р(/1Э) = 1: 1000 = 0,001.
Следовательно, получим
р (Л) = 0,050 + 0,010+0,001 = 0,061.
Вероятность выиграть какую-либо сумму, имея один билет, равна
Р <,Л)=р(А!) (Л2) + р (Аа) + р (Ай);
так как
р(Л4) = 100 : 1000 = 0,100,
то
Р(А') = 0,161.
Следствия из теоремы сложения
Следствие 1. Если события А,• образуют полную группу, то
П
S P(At) = p{,U) = l. (1.1.4)
г-1
Следствие 2, Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1, т, е.
Р(А)+р(А) = 1 и p(A) = i р(А). (1.1.5)
Произведением событий называется сложное событие С, заключающееся в совместном появлении всех событий At. Условно это пишут так:
С= и А\, д А2, д и Ап,
или
С=Ах • А2 •. . . • Ап.
Теорема. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей, т. е.
П
Р(С)=Р (А±) ■ р (А2) .....р (Ап) = П р (At). (1.1.6)
г=1
Вероятности независимых событий называются безусловными. Зависимые события имеют так называемые условные вероятности, которые записываются в виде р (A JA 2) условная вероятность события Alt вычисленная в предположении, лто* произошло событие Аг, р (Ai/At, Аг, . . Ai-x), условная вероятность события At, вычисленная в предположении, что произошли собы-
ТИЯ rm11 '
Теорема. Вероятность произведения двух или нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, т. е. р (С) = р (А х) X
X Р (Аъ/Ау)-, р =р (Aj)- p^Ai/A^-, . ,P^AnJll Ai j.
Пример 5. Найти вероятность того, что при 5 измерениях появятся только положительные ошибки.
И
Решение. Так как события независимые, то применяем (1.1.6), инеем
Р(С) = Р(ЛХ) -р (Л2)- . . .. р {Ai)-p(Ab),
где событие Ai появление положительной ошибки в £-ом иамере-
1 11 нии. В силу того, ято р (4,) =-р имеем р (С) = “jjjj*
Пример 6. Вероятность попадания в цель ири стрельбе на орудия равна pt = 0,20. Какова вероятность поразить цель при одном выстреле, если 2% взрывателей снарядов дают отказы?
Решение. Считая события «попадание в цель» и «действие взрывателя» независимыми, по теореме умножения имеем
р = р 1. р2,
где р вероятность поразить цель; ра вероятность разрыва снаряда при выстреле.
Так как вероятность «неразрыва» равна 2%, т. е. 0,02, то вероятность р2 = 1 0,02 *= 0,98 (разрыв и неразрыв события, составляющие полную группу событий).
Следовательно, р = р1 ■рг = 0,20 0,98 = 0,196.
Теорема. Бели события At совместны, то вероятность суммы событий
р (В) = 1 р (Ах • •. . . • Ап).
Если события At независимы, то
П
Р(В) = 1П p(Ai). (1.1.7)
j-i
Для двух таких событий
р(В) = р(А1) + р{А2)-р(А1)-р(А2).
Когда все р (At) равны между собой и независимы, то
р(В) = 1-{р(Л)}\ (1.1.8)
Пример 7. На испытательном стенде размещено 50 приборов. Вероятность отказа в работе одного прибора ва время t равна р (Л) = 0,1. Найти вероятность того, ято ва время t откажет хотя бы один прибор, если приборы работают независимо друг от друга.
Решение. На основании (1.1.8) имеем р(В) = 1р (J4)50 = 1
Логарифмируя р (Л)0,56 »= 0,950, получим lg Р (Л)°'60= 50 lg 0,9= 50 • (Г,954) = -50 • 0,046=^2,30
в
lg р (Л)».»«= 3,70,
откуда
р (А) = 0,0051 и р (В) = 0.995.
Пример 8. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень с вероятностью попадания, соответственно равной рг = 0,7 и р2 = 0,9.
Найти вероятность хотя бы одного попадания.
2* |
«г |
$ |
л, |
Решение. Так как попадание в мишень обоими стрел- п ками события независимые, но совместные, то, применяя (1.1.7), нмоем
р (В) = 1-0.3.0,1 = 0.97.
Пример 9. Электриче- Рие. i.i.i
скан цепь составлена по схеме рис. 1.1.1.
Выход из строя за время t различных элементов цепи независимые события, имеющие следующие вероятности:
Элемент |
*1 |
Кг |
Лх |
JI% |
л9 |
Вероятность |
0,10 |
0,20 |
0,15 |
0,20 |
0,10 |
Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.
Решение. Цепь выйдет из строя (событие В), когда откажут в работе следующие элементы: или Кх (событие A j), или все Л/ (событие Аг), или Кг (событие А 2), или все Ki и Л/ вместе.
Так как эти события совместны, то имеем на основании (1.1.7)
р (В) = 1 р (Ау) • р (Л2) • р (Л3).
Вероятности:
Р (А]) = 0,90; p(J2)=0,80.
Событие Аа заключается в том, что хотя бы один из элементов Лj не откажет, поэтому р (А 8) находим также по теореме сложения для совместных событий
р (Л3) = 1-0.15 • 0,20 • 0,10 = 0,997,
отсюда
р (В) = 1 - 0.9 • 0,8 • 0,997 = 0,282.
Вероятнейшее число появлений события
Если необходимо определить вероятность того, .что при п независимых испытаниях интересующее нас событие А появится к раз, то применяют формулу Бернулли
Pn(b) = Ckpuqn-\ (1.1.9)
где Рп (к) вероятность появления события к раз при п испытаниях, С% число сочетаний из п по к, р вероятность появления события в отдельном опыте, 9=1 р вероятность непоявления события в отдельном опыте. Напомним, ято
причем
С° = С«=1. (1.1.11)
При больших значениях ft и л для упрощения вычисления факториалов применяется формула Стирлинга
л ! д=! У^2ш • пп • е~п, (1.1.12)
При многократных испытаниях вероятность Рп (к) по форме представляет собой члены разложения бинома (?+ р)п, т. е.
(g+py,=csj»po+ci9«-xpi + .. . + Ckqa~hPh+. . ,+С№Р\
(1.1.13)
Контролем вычислений по формуле (1.1.13) является (? + р)л = 1.
Пример 10. По одной и той же мишени в одинаковых условиях производятся четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле р = 0,33 (Я = 0,67). Определить вероятность поражения мишепи к = 0, 1, 2, 3, 4 раза.
Решение. Так как общее чнсло испытаний (выстрелов) л =■ 4, то имеем:
P1(2) = Q?2P2 =
^4(3)=<W = Рм)=С1д°р* =
рК1)=с1я3Р1
Pim = C№p° 41
.0,674. |
■ 0,33»; |
Р 1(0) |
= 0,20; |
.0.673. |
■ 0,331; |
Рц 1) |
= 0,40; |
.0,672. |
■0,332; |
Р 4(2) |
= 0,29) |
■ 0,671, |
■ 0,333; |
Р 4(3) |
= 0,10; |
.0,67». |
.0,33*1 |
Р М) |
= 0,01. |
0 I (40) I 41
11(4-1)!
4!
2! (4-2) ! 4!
3! (43)! 4!
14
Контроль. 0,20 + 0,40 + 0,29 + 0,10 + 0,01 = 1,00. Приедем следующие полезные формулы:
Т. С. к 1-- It
Tl
Рп (к^1) = ^Р(к). к=-1
i
ft= о
При этом легко получить соотпошеппе
Pn(k^l) = l+Pn(l)-Pn(k^l). (1.1.14)
Обозначим через А г событие, заключающееся в том, что интересующее пас событие появится большее число раз, чем противоположное событие, через А 2 меньшее число раз и через А 3 одинаковое число раз (при нечетном п р (А3) = 0) (например, событие A j гербов больше, А 2 гербов меньше, Ая одинаковое число появления гербов и цифр при п бросаний монеты).
Очевидно, имеет место зависимость
p(Ai) + p{A2)+p(A3) = t (1.1.15)
причем, если р = 1/г, то р (А ^) = р (Л2).
В условиях последнего примера вероятность попадания пе менее двух раз
Р4 (*Ss2) = Pi (2) + Р4 (3) + Р4 (4) = 0,40,
не более двух раз
Pi (* 2) = Pi (0) +Pi (1) + Pi (2) =0,89,
или по формуле (1.1.14)
(A sg 2) = 1 + Р4 (2) - Р4 {к is 2) = 1 + 0,29-0,40 = 0,89.
Вероятность того, ято попаданий больше, яем промахов,
P(^i) = ^4(3) + /,4 (4) =0,11;
одинаковое число промахов и попаданий р (/4а) = (2) = 0,29.
Очевидно, что р {Аг) = Pt (0) + (1) = 0,60 вероятность того, что попаданий меньше, нем промахов. Контроль (1.1.15) дает
Р {А{)+р (А2) + р (Лэ) = 0,11+0,60+0,29 = 1,00.
Вероятнейшим числом появлений события при многократных испытаниях (к0) называется число, соответствующее наибольшей при данных условиях вероятности, В обычном смысле 810 наиболее возможное яисло,
В математическом смысле число к0 отвечает условиям:
Рп (*о) & Р п. (^о +1).
Рп (ко) === РП (^О 1).
В теории вероятностей доказывается, что эти условия будут соблюдены, если
np д ^ к0 ^ pn-\- р. (1.1.16)
В условии примера 10 имеем:
или 0,65 к0 =5 1>65, откуда /c<j «s 1.
Пример 11. Из многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 июля равна 0,227. Найти вероятнейшее число дней ко, когда в ближайшие 50 лет 1 июля выпадает дождь.
Решение. По условию задачи п = 50, р = 0,227. На основании (1.1.16)
50 • 0.2270,773 ка «£ 50 • 0,227 + 0,227,
10,5 < к0 11.5.
Следовательно, за ближайшие 50 лет 1 июля наиболее возможное число дождливых дней к0 я» 11.
Если значение р выражается числом, не близким к нулю, то при большом п ко SS& пр.
Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Примером случайных величин являются:
Случайные величины могут быть прерывными (дискретными) п непрерывными. Прерывной называют такую случайную величину, возможные значения которой можно варанее указать (см. пример 1). Непрерывной называют случайную вели- яину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток на числовой оси и не могут быть перечислены заранее (см. примеры 2 и 3).
От событий всегда можно перейти к случайпым величинам. Пусть производится опыт, в котором может появиться или не появиться событие А.
Вместо события А можно рассматривать случайную величину, равную 1, если событие А происходит, и равную 0, если событие А не происходит.
В отличие от величины неслучайпой случайную величину недостаточно характеризовать числом, но необходимо каждому из ее
возможных числовых аначений приписывать вероятность появления этих значений.
Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и вероятностью его появления, называют законом распределения случайной величины. Закон распределения фундаментальное понятие теории вероятностей.
Для характеристики закона распределения прерывной случайной величины часто применяют ряд (таблицу) и м н о г о - угольник распределения. Если X случайная величина, которая может принять значения хг, х2, . . ., хп, то ряд распределения имеет вид таблицы,
*1 |
*2 |
|||
Р1 |
Pi |
Pi |
Рп |
в которой перечислены возможные значения случайной величины х и соответствующие им вероятности. Так как в таблице перечислены
П
все возможные значения ц, то 2 Pf= 1. Например, для случайной
i=1
величины к числа появлений положительной ошибки при 8 измерениях ряд распределения имеет вид (биномиальное распределение):
Число появления к |
и |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Контроль |
Р1 |
1 |
8 |
28 |
56 |
71 |
56 |
28 |
8 |
1 |
256 |
256 |
256 |
256 |
256 |
256 |
256 |
256 |
256 |
256 |
256 |
Здесь
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, прибегают к его графическому изображению, откладывая по оси абсцисс значения ц, а по оси ординат вероятности. Концы ординат соединяют ломаной линией. Получепная фигура называется многоугольником распределения. Так, для приведенного выше ряда распределения многоугольник имеет вид, показанный на рис. 1.1.2.
Иа этого графика, в частности, следует, что к0 = 4.
Функция распределения. Для задания закона распределения как прерывной, так и непрерывной случайной величины служит так называемая функция распределения. Функцией распределения называется вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее некоторого ее заданного значения х, т. е.
(1.1.17)
Г(х) = Р{Х<х).
Функцию F (г) паэывают еще интегральной функцией распределения. Приведем ее некоторые свойства:
1. F{со) = 0, 2. /?(+оо) = 1,
Эти свойства легко иллюстрировать с помощью геометрической интерпретации как вероятность попадания на отрезок левее точки х,
Р
расположенной на числовой оси ОХ (рис. 1.1.3).
Рис. 1.1.2
Часто оказывается необходимым знать вероятность того, ято случайная величина иримет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от а до р.
При этом условимся левый конец а включать в участок (а, (3), а правый не включать. Можно показать, что тогда искомая вероятность
Р{а ^х<Р) = Рф) F(a). (1.1.18)
Заметим, .что
i>(z=a)= lim [^(Р) F (о)].
Р->-а
При этом для непрерывной величины Р (х = а) = 0. Однако такое значение случайной величины нельзя считать невозможным событием (оно происходит, но крайне редко).
Пр и м е р 12. В ус- Fix) ^
ловиях примера 10 найти ^ . ,
вероятность того, .что .число Q j Л
попаданий в мишень будет
находиться в пределах Рис- |<(ij
1 =3 к <3 3 (т. е. будет равно 1 или 2).
Решение. На основании (1.1.18) имеем
Р{1 =53 к <3) = /'(Л:=3)-/(Л = 1) = 0Г89 0,20 = 0,69.
Действительно,
Р {1 «£ к <3 3} = Р4 (1) + Р4 (2) = 0,40+0,29 = 0,69.
Пример 13. Функция распределения случайной величины имеет вид
Найти вероятность попадания величппы х на участок О <Т я: <3
я
Отрешение, Так крк случайная величина непрерывна, то Р (х = а) = 0.
Поэтому
^(о<*<х}=р{0^г<т} = /(т)-^(0)==
=.1 (sin -J- +1) - -i (sin 0 + 1) .
Плотность распределения. Закон распределения для непрерывной случайной величины удобно задавать в виде плотности рао
F/xl
пределения (кривой распределения), которая определяется кан производная от функции распределения, т. е.
Шп, F {X+A^~F (х)- = F' (д) = ф(х). (1.1.19)
Плотность ф (х) называется еще дифференциальным законом распределения, а функция F (х) интегральным законом. Плотность ф (х) обладает свойствами:
*) Ф (*) 3^ 0,
00
СО
т. е. площадь, заключенная «под кривой распределения», всегда равна 1. Если все возможные значения х заключены в пределах от а до 0,
В
J ф (х) dx = 1. а
Велнчипу ф (х) dx, выражающую с точностью до бесконечно малой вероятность попадания на участок Аг, примыкающий точке х, пазывают элементом вероятности (рис. 1,1,4),
О невидно, ято F (г) и ф (х) связаны соотношением
F (х) = J ф (х) dx.
Вероятность попадания на участок выражается через плотность так:
IP)
(х) dx.
(1.1.22)
Р{а
= /ф
График F (*) в примере 13 иаображен на рис, 1.1.5.
а) Выразить С через аир, б) найти вероятность попадания в интервал at <3 х <3 Ри в) найти F (х).
Р е ш е п и е. а) Так как график функции ф (х) = С имеет вид
Пример 14. Случайная величина х подчинена закону распределения с плотностью Ф (х) = С при а а: <$ Р (равномерный закон распреде-
Рио. 1.1.6
Рис. 1.1.6, то на основании свойства (1.1.20) площадь прямоуголь
ника (или ^ф (х) dx) равна единице, т. е.
a
(P-a)-C = l.
Откуда
б) имеем
в)
С=-
э.
Р-a »
р {«! <г <? Pi> = j ф(х) ;
и ф (х) = -
Математическое ожидание. Во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью (законом распределения), часто достаточно знать только отдельные числовые параметры, характеризующие закон распределения, например, какое-то среднее значение (центр распределения), около которого группируются возможные значения случайной
величины, какое-то число, характеризующее степень разброса этих значения отпоыггельно среднего, и т. д.
Характеристикой центра распределения является так называемое математическое ожидание случайной величины, определяемое в виде
(1.1,23)
(1.1.24)
м [г]=2 xPi
i=l
для прерывных величин в
оо
М [х] = J хф (i) dx
для непрерывных.
Доказывается, ято при неограниченном числе испытаний сред-
П
нес арифметическое х= 2 xiQl< где Qi относительная частота,
(=1
стремится по вероятности к М [я], т. е.
вер. lim х=М [i].
n-*-oo
Математическое ожидание обладает следующими свойствами: М [с] = с М [сх] = сМ [х]
М
(1.1.25)
(-1
i-l
Mix 1-лг2.. . .-х„] = П М [XI] i-l
где с постоянная (неслучайная) величина.
Последнее свойство справедливо только для независимых величин. Математическое ожидание (М. О.) числа появления события при к испытаниях
М [ft] = пр.
Так, в условиях примера 10 М. О. числа попаданий в мишень при 4-х выстрелах
M [fc] = 4 ■ 0,33 = 1,32.
Это же значение можно непосредственно получить по формуле
м [ft] = 2 к1рп (к0 = 0 • °-20 +1 ■ 0,40+2 • 0,29 + i-l
+3-0.10 + 4- 0,01 = 1.32.
ei
Пример 15. Найти математическое ожидание случайной величины х, подчиненной равномерному закону ф (х) = 1/(Р <*)• Решение. На основании (1.1.24)
Р
... , [* 1 , Р*-а2 р + а
J Х"р^сГ ~ 2(Р а) 2 * а
Пример 16. Найтп математическое ожидание случайной величины
хМ [х] i= ® *
Решение. На оспонапип первого пэ свойств 1.1.25 имеем
M[t] = ^ (Л/ [х\ М [*]) = 0.
Несложно показать, что М. О. случайной величины х, подчиненной нормальному закону распределения с плотностью
_ (х-а)
<Р(х) = _1 "• . (1Л-26)
у 2л а
равпо параметру а этого закона.
Моменты. Кроме математического ожидания, в теории вероятностей употребляется еще ряд характеристик так называемые моменты.
Начальным моментом s-ro порядка случайной величины называется математическое ожидание s-ой степени этой случайной величины:
а 5 = Л/[х«]. (1.1.27)
При 5=1 имеем а 1М [х].
Для прерывных величин
п
as = 2 x!pi>
i=l
для непрерывных
00
as= J *5ф(х)йх. (1.1.28)
“00
Центральным моментом порядка s случайной величины X называют математическое ожидание s-ой степени отклонепия X от ее математического ожидания:
Hj = М[(х-М[х\У). (1.1.29)
Случайная величина х М [я] называется центрированной случайной величиной. Для прерывной случайной величины
П
[*])>(, (1.1.30)
г=1
для непрерывной
оо
ц5 = J (х М [г])5 ф (a:) dx. (1.1.31)
Центральные моменты всегда можно выразить иерея начальные*
Так,
Pi = 0,
(х3 = сс2
Из = «з За^ + 2а}
и т. д.
Имеют употребление еще так называемые центральные абсолютные моменты
ys = M[\x-M\x] [*],
причем среди них наиболее важное значение имеет среднее отклонение
= M [\хМ [ж] |]=Yi. (1.1.32)
Дисперсия. Особое значение имеет центральный момент второго порядка
(.12 = й = М [(л: М [я])2], (1.1.33)
называемый дисперсией. Дисперсия характеризует степень разброса случайной величины относительно центра распределения. Дисперсия обладает следующими основными свойствами:
(1.1.34)
D[cx\ = c*D[x]
Последнее свойство справедливо лишь для независимых вели- яин. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики разброса удобно пользоваться так называемым стандартом
а= + УЪ\
Дисперсия случайной величины, подчиненной биномиальному вакону (дисперсия числа появлений события при п испытаниях), выражается формулой
D [Л] = npq.
Пример 17. Ряд распределения случайной величины имеет
вид
О
Pi \ Ч | Р
где q = 1 р.
Найти дисперсию D [*].
Решение. На основании (1.1.23) имеем математическое ожидание, равное
М [г] = 0 ■ q +1 • р = р,
а согласно (1.1.30) дисперсия равна
D [г] = (0 р)2-?+(1 p)2-p = pq (Р + ?) = Р?-
Пример 48. Найти дисперсию случайной величины ху подчиненной равномерному закону распределения.
Решение. Имеем (см. пример 14)
С учетом того, что М [х] = (р + а)/2 (см. пример 15), выполнив интегрирование, найдем
п (Р~«)2
12
В частности, для ошибок округления, подчиняющихся равномерному вакону распределения (р = а = 0,5 ед. поел, знака), получим
„ 0,52 0.5
D = -: а=-=■ ед. поел, знака.
3 уТ
Пример 19. Найти дисперсию суммы и = хг + хг + + . . . + хп одинаково округленных слагаемых.
Решение. На основании свойства 3 из (1.1.34) имеем
D[u] = '2iD[xi] = nD[xi],
НО
Поэтому
D[xi] = ~Q,2b, 0В = О,5 "[Ау.
Пример 20. Найти дисперсию случайной величины
t= Х~М\х\ ' где a = y£)[Ij
Решение. На основании свойств (1.1.34) дисперсии Dt =-^Г [°[jc] DM\x] 1 =-^г D I1! = l-
Рис. 1.1.7 Рио. 1.1.8
Можно показать, что дисперсия случайной величины х, подчиненной нормальному закону распределения с плотностью (1.1.26),
D [г/] = а2.
Асимметрия и эксцесс. Кроме дисперсии, для характеристики распределения часто используются еще третий и четвертый центральные моменты.
Величина
(1.1.35)
носпт название «асимметрии». Для симметричного распределения Sk= 0.
На рис. 1.1.7 показано два асимметричных распределения. Кривая I имеет положительную асимметрию (5* Г> 0), кривая II отрицательную (S* <$ 0).
Величина
Я=-^|~3 (1.1.36)
носит название «эксцесса» и является мерой крутости (островершинности или плосковершинности распределения). Для нормального распределения Е = 0. На рис. 1.1.8 представлены три кривые распределения с положительным, равным нулю и отрицательным эксцессами.
Для оценки допустимости отклонения значений эксцесса от пуля, а следовательно, действительного распределения от нормаль- пого, служит формула
l/l4
где аЕ стандарт эксцесса, п число испытаний (измерений).
Т.1.8. Нормальный закон распределения. Интеграл пероятностей
Понятие о центральной предельпой теореме Ляпупова. Теорема Ляпунова устанавливает условия, при которых возникает наиболее важный и наиболее часто встречающийся в природе нормальный закон распределения, имеющий плотность
<р(х) = -=-е ,
у 2я а
где а = М [я] и а = УО [*].
Теорему Ляпунова упрощенно можно сформулировать так. Если некоторая случайная величина есть сумма достаточно большого числа других случайных пезависимых величин, отклоняющихся от своих математических ожиданий на весьма малые величины по сравнению с отклонениями суммарной величины, то закон распределения этой суммарной случайной величины будет близок к пормальному.
На основании этой теоремы можно полагать, ято ошибки измерений подчиняются пормальному закону, так как они складываются пз суммы большего числа элементарных ошибок. По этой же причине координаты попадания в цель при стрельбе подчиняются этому закону распределения. Таких примеров можно привести много.
Приближенная формула Лапласа для вычисления Рп (к). Число появлений события при достаточно большом числе испытаний можно представить в виде суммы случайных величин, отвечающих условиям теоремы Ляпунова. Поэтому можно доказать, ято при большом п вероятность
1 1 -
Pn(fc)~ 2 (М-37)
У 2я
(приближенная формула Лапласа), где а* = У npq.
к пр
<=■
V~npq
Учитывая, что с изменением к на единицу величина t получит приращеппе
y~npq У npq VnP4
fl.1.37) переписываем в виде
1
Рп(к)=е 2 At.
У 2л
1
У' = ~е 2
Для функции
- Ул
составлена таблица (см. прил. 1). Тогда
P^w-vk'y'- 11ЛМ)
Пример 21. Найти вероятность выпадепия герба 4 раза при 10 бросаниях монеты.
Решение. Имеем
f=-^J- = 0,632,
V2T5
у' = 0,460, Дг=-^ = 0,632.
/2,5
На основании (1.1.38)
Р10 (4) = 0,460 • 0,632 = 0,207.
ут
Биномиальное распределение дает Р10 (4) = 0,205.
Теорема Лапласа. На практике важнее определить вероятность того, что число появлений события к будет заключено в некоторых пределах, т. е. найти вероятность Р {а ^ к <$ Ь}. На основании (1.1.19) имеем
Р{а «S к < b) = F (b) F (а),
где
fc-l ft=l (h-np)>
гпрд
е
7§Г7=г
fto /1=0
Учитывая, ято при п оо, Рп (к) -> 0, величина Д< -> 0 <■
и функция в 2 непрерывна, можно написать
Р{а<Л<Ь} = Р{<1<«<<5!} = tg (»
fl
где
Ь пр _ _ а пр Vnpq 1 /гард
Формула (1,1,39) дает хорошие результаты уже при п ^ 20.
27
Выражение (1.1.39) носит название теоремы Лапласа. Его можно записать также d виде
Но величина О = есть относительная частота появления п
события, а величина Ур ч/п = Oq есть стандарт частоты.
б fit)
ч |
|
Ьг |
\ |
?э |
1 |
Рис. 1.1.9
Поэтому вероятность отклонения относительной частоты от вероятности по абсолютной величине на заданное число е = taq определим ■ по формуле
<*
*<lG-Pl<e>=-J=-f е~~ dt. (1.1-40)
Выражение (1.1.39) будет справедливо для любой случайной величины X, подчиненной нормальному распределению. В общем случае
ЬМ [д] а М[х\
2 а [г] ' 1~ а[х]
где а и Ь нижний и верхний пределы пэменения случайной величины X.
Интеграл вероятностей (функция Лапласа). Для вычисления вероятности Р {а << х <1 Ь) удобно ввести функцию Ф (t), которая представляет собой вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания, т. е.
Ф(1) = Р {\х-М[х\\<Ца}.
функция Ф (t) численно равна заштрихованной площади рис. 1.1.9:
а) в осях X и ф (х); б) в осях t и <р (()•
Как видно из рис. 1.1.9, имеет место связь
*(0-=у+ТФ<°- (1Л-41>
р (t) есть площадь под кривой ф ((), ограниченная справа абсциссой t. Подставив (1.1.41) в выражение
Р {а<х<Ь) = Р {h<t<t2} = F (tJ-F (/О,
получим
Р{а<х<Ь)=±-{Ф(Ь)-Ф(Ь)). (1.1.42)
Функция Ф (t) = , J е 2 dt нечетная, т. е. обладает свой-
ством
Ф (-<) = -<*> (О-
Функция Ф (t) называется интегралом вероятностей и является одной из важных в теории вероятностей.
I
Аналитически она выражается в виде
ж*
Ф(0=-р=-£е 2 dx. (1.1.43)
Для вычислений интегралу придают вид
ф , 2 Л <3 | 1Ь п I 19 *и I
г^2п \ 6 40 336 3456 42 240 ' )'
(1.1.44)
У 2и Так как
/я =1.77245, уТ= 1,41421,
то
®M = 0,797888(.-4 + il_T£r+Ti&_...).
При вычислениях Ф (t) пользуются обычно таблицами (см. прпл. 2).
л 5 Р и м в р 22. Вычислить интеграл вероятностей для t =
6 1 |
' 40 |
0,403 |
, 0,405 |
6 |
1 40 |
0.50* |
. 0,505 |
6 |
1 40 |
0,603 |
, 0,605 , |
Решение. Применяя формулу (1.1.45), получаем Ф
>(«х) = 0,798 (о,30 Ф(г2) = 0,798 ^0,40 Ф(<3)= 0,798 ^0,50 Ф(<4) = 0,798 (0,60
...)
-)
...)
...)
®(«i) = 0,236 Ф(<2) = 0.311 Ф(/3) = 0,383 ф (<4) = 0,452
Проверка вычислений Ф (<) по таблицам (прил. 2) показыпает сходимость результатов в пределах ошибок округлений.
Пример 23. Вычислить наиболее возможное число ошибок Д из общего их числа п = 100, превышающих по абсолютной величине:
а) одинарный стандарт измерений, т. е. а;
б) удвоенный стандарт, т. е. 2а;
в) 2,5а;
г) утроенный стандарт, т. е. За при п = 1000.
Решение. По условию задачи имеем при п = 100:
а) |Д| > а; б) |Л | > 2а; в) |Д| > 2,5а; г) | Д | > За.
Необходимо определить:
a) {Р | Д| > а}; б) Р <|Д| > 2а}; в) Р { |Д | > 2,5а}; г) Р{[Д | > £> За}.
Определим Ф (t) по таблице (прил. 2) и сведем результаты вычислений.в табл. 1.1.1.
Таблица 1.1.1
Число ошибок п |
Заданное предельное значение | Л 1 |
9 |
II- 5 а. II |
Число ошибок, превышающих заданное, k=>n {1 Ф (0) |
Число ошибок, укладыв ающих- ся в предел от 0 до ±to |
Контроль |
|
100 |
1,0 |
1 |
0,6827 |
0,3173 |
32 |
68 |
100 |
100 |
2,0 |
2 |
0,9545 |
0,0455 |
5 |
95 |
100 |
100 |
2,5 |
2,5 |
0,9876 |
0,0124 |
1 |
99 |
100 |
1000 |
3,0 |
3,0 |
0,9973 |
0,0027 |
3 |
997 |
1000 |
Пример 24. Найти вероятность того, что ошибка измерений Д по абсолютной величине не превзойдет предел 4” < | Д| < 6", если а = 10",
Решение. На основапип теоремы сложения имеем Р {4<|Л|<6} = Р {-6<Л<4} + Р {4<Д<6}.
Можно папнеать по (1.1.42)
Р (4<| Д |<6} =2Р {4<Д<6} =
= ф (^-)-ф (-ж) =0.452-0,311 =0,141.
Их связь со стандартом при нормальном законе распределения
Кроме стандарта ст, иногда применяются другие критерии разброса случайной величины или, если случайная величина ошибка измерения, критерии точности измерений.
Среднее отклонение в определяется как
Ъ = М[\хМ\х\\\ (1.1.46)
(центральный абсолютный момент первого порядка см. (1.1.32). Справедлива формула
Вероятным отклонением г называется велпчппа, больше и мепыпе которой (по абсолютной величине) ошибки в ряде наблюдении равновозможны, т. е.
Р{|Д|<г}=у.
Имеет место формула
г = 0,670. (1.1.48)
Пример 25. Найти вероятность того, .что ошибка Д не превзойдет предел, равный: а) 20, б) 2г.
Решение.
а) Р{|Д|<2Ф} = Ф((); < = -^ = ТЦз “1А
Поэтому
Р {| Д |<2-е> =Ф (1,6) =0,890;
б) Р{|Д|<2г}=Ф(г); 2 = = -^^ = 1,34,
сг о
Поэтому
Р {| Д |<2г} = Ф (1.34) = 0,820.
Рассматривая понятие события, мы говорили о независимых и зависимых событиях. Независимые события А и В определялись как такие, условные вероятности которых равны безусловным, т. с. Р (В/А) = Р (В) или Р (А/В) = Р (Л). Теорема умножения для независимых событий имела вид Р (АВ) = Р (А) Р (В). Случайная величина У называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины У не зависит от того, какое значение приняла величина X. Для непрерывных случайных величин условие независимости У от X может быть записано в виде
Я> (У/^) = Фг (tf).
ф(аг/у) = ф1 (х).
их непрерывпы: 1ет вид
где <р (у/х) плотность распределения У при условии, что X приняла значение х (условная плотность), <р2 (у) плотность распределения Y. Аналогично можно паппсать условие независимости
Для двух независимых непрерывпых случайных величин теорема умножения принимает вид
где
„ , ч d*F (х, у) ф(*'у)=- дхду
плотность совместного распределения, а
F (х, у) = Р {Х<х, У О)
функция совместного распределения.
Могут встретиться две формы зависимостей: функциональная и статистическая (вероятностная).
Функциональной зависимостью между двумя величинами X и Y называют такую зависимость, при которой каждому значению X соответствуют значения Y, которые можно точно указать (например, Y = Y~x , V = -|-пД3 п т. д.).
Статистической (вероятностной) зависимостью между двумя величинами X и У называют такую зависимость, при которой каждому значению X соответствует распределение У, изменяющееся с изменением X (условное распределение).
Частным случаем статистической зависимости является такая, при которой с изменением X изменяется математическое ожидание У по линейному закону. Эта зависимость называется прямолинейной корреляционной (корреляцией); папример, зависимость между ростом и весом человека (Укг Хсм 100).
Если зависимость между измеряемыми величинами будет установлена и выражена формулой, то ее можно использовать для надлежащей организации измерений и обработки их результатов.
Коэффициент корреляции. Теснота корреляционной зависимости между двумя случайными величинами X и Y измеряется так называемым коэффициентом корреляции, определяемым следующим образом:
где корреляционный момент
кху = 1 = М [(I М [ж]) (у М [у])] = М [х ■ у] М И • М [у\
(1.1.50)
центральный смешанный момент второго порядка, наиболее важная числовая характеристика системы двух случайных величин. Вообще центральный смешанный момент порядка р + s определяется как
Up. s = M[{x-M[x\)P{y-M[y]Y].
В частном случае, очевидно, имеем
(*2. 0 = ^14 Ш>. 2 = -ОМ-
Коэффициент корреляции изменяется в пределах
Когда коэффициент корреляции равен +1 или 1, между X п Y существуют точныо прямолинейные функциональные связи, т. е.
у = ах+с,
x = by-\-d.
В случае, когда г < 0, имеет место отрицательная корреляция: с уменьшением (увеличением) х имеет тенденцию увеличиваться (уменьшаться) у\при г О говорят о положительной корреляции: с уменьшением (увеличением) х имеет тендепцию уменьшаться (увеличиваться) у.
Форма прямолинейной связи между X и У выражается в виде так называемого уравнения регрессии Y на X
YM[y\ = py/X(x M [*])
или
(1.1.51)
= M[y] + pylx(x~M[x\).
где
(1.1.52)
коэффициент регрессии у на х.
где
33
Заказ 10 58
I.!.11. Общие понятия математической статистики
Законы распределения случайных величин и их числовые характеристики устанавливаются на основе опыта, эксперимента. Разработкой методов регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных занимается специальная па- ука математическая статистика. Математическая статистика решает следующие типичные для нее задачи.
Результаты наблюдений х,, х2, х3, . . ., хп над случайной величиной X называются выборкой из генеральной совокупности (из всевозможных значений случайной величины X). При большом п выборка оформляется в виде статистического ряда (подобно ряду распределения). При этом весь диапазон наблюденных значений х делится на интервалы («разряды») и подсчитывается количество значений т;, приходящихся на каждый разряд. Для каждого разряда вычисляется частость Qi = Статистический ряд имеет вид таблицы
Разряды I |
ж-!, а?2 |
, . . |
xi'. ^/+i • * • |
Xk-> ,TA + 1 |
mt |
mi |
тг |
mk |
|
Qi |
Qi |
q2 ... . |
Qi |
Qk |
Число разрядов к выбирается порядка 1020, а их длины, как правило, одинаковыми.
Статистический ряд часто оформляется в виде так называемой гистограммы: по оси абсцисс откладываются разряды и на каждом
пз разрядов как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна <?г, высота прямоугольника Л равна- Qi/(xut xi).
При равных длинах разрядов h пропорциональна Qi. Следует ft
заметить, ято 2 Qt = *■ г=1
Лпалогом функции распредсленпя F (х) (1.1.8) В математической статистике служит статистическая функция распределения
F* {x) = Q(X<x).
D разделе (1.1.7) мы познакомились с основными числовыми характеристиками закопов распределения; математическим ожиданием, дисперсией, начальными и центральными моментами. Аналогичные числовые характеристики существуют и для статистических распределений. Для математического ожидания, как мы уже знаем, статистическим аналогом является среднее арифметическое
М* [х] = х=-^~
Для дисперсии величина
D* [*] =
Для статистических начальных и центральных моментов соответственно
I*])*
i=l
Ms
Как видим, в этих формулах везде вместо математического ожидания фигурирует среднее арифметическое. Для статистических печальных и центральных моментов (в том числе для М* [х] и D* [zj) справедливы те же свойства, ято и для теоретических моментов.
Пример 26. При исследовании геодиметра Бергстрапда типа NASM-2A одна и та же линия была измерена 16 раз. Пользуясь Данными, помещенными в табл. 1.1.2, вычислить p*t pj, pj, pj.
Таблица 1.1.2
в. о о о о |
СО Е н в go. !»£ Я о а - |
1 Е Ls ® л И 'о |
СО* |
со* |
V) |
Вычисления |
% |
а в® |
ю 1 |
|
|||
1 |
6994,911 |
+ 17,8 |
^ = =Ж=0'0 |
|||
2 |
,890 |
-3.2 |
fi*=T?=74'2 |
|||
3 4 5 |
,879 ,895 .882 |
-14,2 +1,8 11,2 |
(4=^=+40.8 |
|||
6 7
10 11 12 13 14 |
,898 ,885 ,883 ,902 .901 ,895 ,894 ,896 ,883 |
+4,8 -8,2 -10,2 +8.8 +7.8 + 1,8 +0,8 +2,8 -10.2 |
. 199 313 ц|- 16 - 12457 D* [х] = (г2 = 74.2 Е'- 1 3; н Е* = -0,74 тЕ= 1,22 |
|||
15 16 |
,895 ,902 |
+1,8 +8,8 |
\Е*\<тЕ |
|||
ai = |
= Sep = 6994,8932 |
2-0.2 |
1186 |
+ 653 |
199 313 |
Для оценки допустимости отклонения значений эксцесса от нуля используется формула
где тЕ среднее квадратическое отклонение эксцесса, п .число испытаний.
Задача выравнивания ааключается в том, чтобы подобрать теоретическую кривую распределения ф (х), наилучшим образом описывающую данное статистическое распределение. Как правило, вид теоретической кривой выбирается заранее из существа задачи, в некоторых случаях по внешнему виду гистограммы. Поэтому задача переходит в задачу выбора параметров распределения. Найример, если вагляд на гистограмму заставляет предполагать нормальное распределение
, (х-д)«
Ф(*) = -~7=-Г 202 .
а у 2 л.
то задача сводится к рациональному выбору параметров а я а. Один из методов (метод моментов) заключается в подборе параметров таким образом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик были равны соответствующим статистическим характеристикам. Для нашего примера
а = М*[х]\ a = YD*[x].
Рассмотрим вопрос, связанный с проверкой правдоподобия гипотез, а именно вопрос о согласованности теоретического и статистического распределения. К. Пирсон в качестве меры расхождения между Pi и Qi принял величину %й
i=i
Распределение у,2 зависит от параметра г, называемого «числом степеней свободы», который равен числу разрядов к без числа связей, накладываемых на частоты. Например, для нормального закона этих связей три:
к h
1) 2 2) 2*'0=а;
i=i i=l
3) А
2 (xiМ* [х])2 Qi = D [х]=а2; г = к 3.
t=l
Для распределения у2 составлена таблица (см. прил. 4). Пользуясь этой таблицей, можно для каждого значения х и числа степеней свободы г найти вероятность Р того, что величина, распределенная по закону х2, превзойдет это значение (или Р есть вероятность того, ято за счет чисто случайных причин мера расхождения будет не меньше, чем фактически вычисленная %г). Если эта вероятность мала, то результат опыта следует считать противоречащим гипотезе о том, что закон распределения X есть ф (х); если велика, то гипотезу следует считать правдоподобной. На практике считают критическим значением вероятности Р = 0,1.
Пример на выравнивание статистического ряда и на применение критерия Пирсона приведен в разделе 1.1.17 применительно к ошибкам измерений.
В теории ошибок на оспове положений теории вероятностей я математической статистики изучают причины возникновения и законы распределения ошибок наблюдений, а также свойства различных видов ошибок и разрабатывают методику наблюдений, позволяющую удержать эти ошибки в заданных пределах.
Основные задачи теории ошибок следующие.
Ошибки подразделяются на грубые, систематические и слу- иайные.
Грубые ошибки. К такого рода ошибкам относят промахи в измерениях, вызванные невнимательностью наблюдателя, неисправностью инструмента или неучетом влияния внешней среды, которое не является пренебрегаемо малым.
Задача наблюдателя состоит в надлежащей организации контроля работ с целью своевременного устранения грубых ошибок из результатов измерепий.
Систематические ошибки. Ошибки, происходящие от определенного источника и имеющие определенные знак и величину, называются систематическими.
Влияние такого рода ошибок может быть выражено функцией, связывающей результат измерения с каким-либо фактором (например с температурой).
Задача наблюдателя состоит в том, чтобы исключить основную насть систематических ошибок из результатов измерений, а остаточное их влияние свести к пренебрегаемо малым величинам.
Случайные ошибки. Ошибки измерений, закономерности которых проявляются в массе и которые обусловлены точностью инструмента, квалификацией наблюдателя, неучтенными колебаниями внешних условий называются случайными.
Если систематическая ошибка может быть исключена из единичного измерения, то случайные ошибки, поскольку опи являются одним из наиболее ярких примеров случайной величины и их закономерности обнаруживаются только в массовом проявлении, не могут быть устранены из единичного измерения.
Их влияние можно лишь ослабить, повышая качество и коли- нество намерений, а также надлежащей математической обработкой результатов измерений. Под случайной ошибкой будем иметь в виду разность между наблюденным значением случайной величины xt н истинным (точпым) значением X при условии исключения систематических ошибок, т. е.
= X (г = 1, 2, 3 п).
IB теории ошибок принимают два постулата:
В этом случае математическое ожидание М [xt\ совпадает с истинным значением X.
Плотность распределения случайных ошибок
1 _.*1
Ф(Л) = у=-е 2°а (1.1.54)
а У 2л
пли, если перейти к нормированной величине t = Д/а,
1 -
(p(t) = -7=-e 2 , (1.1.55)
У 2л
причем
ф(Д)=-^-<Р (0.
Выражение (1.1.54) часто записывается в виде
/ * \ Л -Л!Д! ф(Д) = -7= е па ,
у л
где h = 1/ст/2 так называемая мера точности.
Свойства случайных ошибок, вытекающие из указанных двух постулатов и проявляющиеся при массовых испытаниях, могут быть охарактеризованы следующим образом.
Свойство 1. Случайные ошибки по абсолютной величине с заданной вероятностью Р не превосходят определенного предела, равного iff, где t коэффициент, при котором Р = ф (<). Так, например, из 100 ошибок с вероятностью Р = 0,68 не превосходят предел, равный а, 68 ошибок, 95 ошибок с вероятностью 0,95 не превосходят 2а и т. д. (см. пример 23).
Свойство 2. Положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможпы, т. е.
Я(Д>0) = Р(Д<0)=-|,
^Свойство 3. Среднее арифметическое из значений случайной ошибки при неограниченном возрастании .числа наблюдений имёет пределом нуль, т. е.
М [Д] = вер. lim -^- = 0
71 “►ОО П
(свойство компенсации). Систематические ошибки этим свойством не обладают.
Свойство 4. Малые по абсолютной величине случайные иокц встречаются чаще, .чем большие.
Плотность нормального раснределения ошибки
(1.1.56)
Ф (А/) =У = 7= е У л
называют уравнением кривой ошибок, или кривой Гаусса. Как указывалось выше, мера точности
h = ~= .
а/2
Если плотность (1.1.56) подобрана по экспериментальным данным, то h=\jm У~2, где т средняя квадратическая ошибка.
Пример 27. Вычислить ординаты кривой нормального распределения для значений Д = 0, т, 2т, Зт, если т = 0,47". По полученным данным построить кривую распределения. Вычисления проконтролировать по таблице (прил. 1).
Решение. Прежде всего имеем
* 0.851; г/-0.851<ГЛ2д£-0,851е 2 /л т /2л V т / h * 1,505. т. /2 Вычисления располагаем в табл. 1.1.3. Таблица 1.1.3 |
|||||
1 |
(2 -А.Д.т |
е 2 |
У |
Контроль |
|
1 i 2 У е Уп |
y = y'h |
||||
0 1 2 3 П р и м с ч |
0 -0,50 -2,0 -4,5 а н и я: 1) |
1 0,007 0,136 0,010 1де-0,^°= 1 |
0,851 0,516 0,115 0,0095 ,783; 2) |
0,564 0 342 0,076 0,0063 lg е“2,° = 0,8 |
0,850 0,516 0,115 0,0095 08=1,132; |
з) ig«
= -1,954 = 2,046.
Построим кривую ошибок (рис. 1.1.10).
Кривая ошибок, уравнение которой у = •e~!l2Д2, обладает
у я
следующими основными свойствами:
П ]1 уль |
ут
При
д = 0 ордината у принимает
максимальное значение,
Средняя ошибка (О). Среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок называется средней ошибкой, т. е.
a_UAIL
где
Ошибка А' есть эмпирический центральный абсолютный момент первого порядка (см. 1.1.32).
Вероятная ошибка (т-). Вероятной ошибкой называется такое значение случайной ошибки, больше или меньше которого по абсолютной величине ошибки равыопозможны.
Из определения вероятной ошибки вытекает способ ее отыскания: если все ошибки расположить в ряд по убывающим или возрастающим зпачениям абсолютных величин, то вероятная ошибка будет расположена в середине этого ряда. Поэтому вероятную ошибку часто называют срединной (см. раздел 1.1.9).
Средняя квадратическая ошибка (т). Средней квадратической ошибкой называется величина, вычисляемая по формуле Гаусса
(1.1.57)
т = I/ -- •
У П *
где
[A®] = AJ + A* + Aj+. . . + А»,
Аг = х( X (г = 1 2, 3 тг);
здесь Дi истинные ошибки, X истинное (точное) значение измеряемой величины; х{ результаты намерений одной и топ же величины.
Обычно средней квадратической ошибке оказывается предпочтение перед средней и вероятной по следующим причинам:
Надежность средней квадратической ошибки характеризуется средней квадратической ошибкой самой средней квадратической ошибки, полученной из эксперимента, которая определяется по формуле
у2п
1
тт т
п
При п ■* 8
Исходя из этого, для достаточно падежного определения в практических целях принято считать, ято п 8.
Для теоретических расчетов допусков служит формула
Дпред^аЗт. (1.1.58)
На практике, учитывая ограниченное число измерений, принимают
Дпред^2т. (1.1.59)
При нормальном распределении ошибок измерений существуют связи (см. 1.1.471.1.48)
т l,25d; т 1,48г. (1.1.60)
Абсолютные н относительные ошибки. Среднюю квадратическую, среднюю, вероятную, предельную ошибки называют абсолютными.
Отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеренной величины, выраженное дробью с числителем, равным едипице, называют относительной ошибкой.
В зависимости от того, какая ошибка при этом используется, относительная ошибка называется средней квадратической относительной, средней относительной, вероятной относительной, предельной относительной.
Знаменатель относительной ошибки целесообразно округлять до целых десятков, если он выражается в сотнях, до сотен, если оп выражается в тысячах, и т. д.
Примеры
к 510
ms 1
В разделе 1.1.13 приведены теоретические основы решения втого вопроса.
Приведем пример применительно к ошибкам измерений.
Пример 28. В табл. 1.1.4 даны угловые невязки 32 треугольников сети триангуляции, причем для нахождения вероятной ошибки т они уже расположены в порядке возрастания абсолютных величин. Требуется установить, подчиняется ли данный ряд невязок, которые являются истинными ошибками суммы углов в каждом треугольнике, нормальному распределению.
Таблица 1.1.4
№ ПО пор. |
Невязки Л в сек |
J^fi DO пор. |
Невязки А |
Nh по пор. |
Нсвязни Л |
М по пор. |
Невязки Л |
1 |
0,00 |
9 |
+0,38 |
17 |
-0,76 |
25 |
+ 1,29 |
2 |
+0,01 |
10 |
-0,38 |
18 |
-0,95 |
26 |
+1,31 |
3 |
+0,06 |
и |
0,41 |
19 |
-1,03 |
27 |
-1,38 |
4 |
+0,07 |
12 |
+0,43 |
20 |
+1,04 |
28 |
+1,52 |
5 |
-0,19 |
13 |
-0,62 |
21 |
+ 1.16 |
29 |
-1,88 |
С |
+0,22 |
14 |
0,69 |
22 |
1,23 |
30 |
+ 1,92 |
7 |
-0,24 |
15 |
+0,71 |
23 |
1,27 |
31 |
+2,28 |
8 |
-0,25 |
16 |
-0,73 |
24 |
1,28 |
32 |
-2,50 |
£(Л,>0) =+ 12,40 2(Д/<0) = -15,79 £ (А,) = -3,39
Решение. Для определения кривой распределения вычислим эмпирические моменты:
3,39
32
-0,105";
[А]
Напишем ураопение теоретической кривой распределения
Y2я • 1,1
Строго говоря, следует написать
Ф(д) = -^=:
/2л. 1,1
(А+0,10)2 е~ 2-1,21
Однако мы для простоты будем полагать, что а 0. Далее находим
- |Ац| + |А1т| 0.73*-4-0,76" _пп„ 2=2
г _ I Аи
т 1Л0 1,49;
0.74
и вычисляем коэффициент *1 =
32 32
в коэффициент
fcj = 4 = jL10=125.
2 Ъ 0,88
Затем строим статистический ряд распределения в виде табл. 1.1.5, разделив невязки на 12 интервалов (длина интервала равна 0,5т).
Таблица 1.1.5
а А Р. £ 14 я m *3 О Къ |
Длины интервалов |
Число ошибок mt |
fi ll СУ |
О -h |
аГ |
(Г е |
а" к !_ в* |
й" к 1 (Г |
ft е |
|
в сек |
т |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
я |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
0 0,55 |
0 0,5 |
7 |
0,219 |
0,192 |
0,192 |
6 |
1 |
0,167 |
|
2 |
0,56 1.10 |
0,5 1,0 |
2 |
0,062 |
0,341 |
0.149 |
5 |
-3 |
-0,600 |
|
3 |
1.11 1,65 |
1,0 1,5 |
4 |
0,125 |
0,433 |
0,092 |
3 |
1 |
0,333 |
|
4 |
1,66 2,20 |
1.5 2,0 |
1 |
0,031 |
0,477 |
0,044 |
1 |
0 |
0 |
|
5 |
2,21 2,75 |
2,0 2,5 |
V |
0,031 |
0,494 |
0,017 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
2,76 3,30 |
2,5 3,0 |
0 |
0 |
0,4986 |
0,0045 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
0 -0,55 |
0 0,5 |
5 |
0,156 |
6 |
-1 |
-0,167 |
|||
8 |
-0,56-1,10 |
0.5 1,0 |
6 |
0,188 |
5 |
+1 |
+0,200 |
|||
9 |
-1,11 -1,65 |
-1.0 -1,5 |
4 |
0,125 |
3 |
+1 |
+0,333 |
|||
10 |
1,66 -2.20 |
-1,5 -2,0 |
1 |
0,031 |
1 |
0 |
0 |
|||
11 |
-2,21 -2,75 |
-2,0 -2,5 |
1 |
0,031 |
1 |
0 |
0 |
|||
12 |
2,76 -3,30 |
-2,5 -3,0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
с |
|||
2 |
32 |
1,0001 |
0,9972 |
32 |
0 |
В столбце 6 таблицы вычислены вероятности попадания ошибки ■ интервал от 0 до t (значения t приведены в иравой стороне
столбца 3), а в столбце 7 вероятности попадания в i-ые интервалы. Так как распределение симметричное, то эти вероятности выписаны только для интервалов, расположенных справа от 0. В столбце 8 вычислено теоретическое число ошибок, попавших в г-ый' интервал (также одинаковое для «положительных» и «отрицательных» интервалов). В столбце 9 вычислены разности между фактическими и теоретическими числами ошибок г-ro интервала, а в столбце 10 частные (пц npi)/npt.
Рис. 1.1.11
Методом накопления на арифмометре вычислена величина
: 2,80.
(mi npi)2 npi
i-l
По таблицам прил. 4 при числе степеней свободы
г = 12 2 = 10
(здесь число связей, см. раздел 1.1.13, взято не 3, а 2, так как а = = М* [Д] нами принято равным 0), находим вероятность: для X2 = 2 Р = 0,996, для х2 = 3 Р = 0,981. Интерполируя для х2 = = 2,80, получим Р = 0,984 >> 0,10.
В результате исследования приходим к выводу о том, что рассматриваемый ряд ошибок подчиняется нормальному распределению и М [Д] = 0, так как: а) среднее арифметическое [Д]/п практически равно 0; б) ни одна из ошибок не превышает 3т\
в) коэффициенты к1 и к2 совпадают с их теоретическим значением;
г) на основании критерия Пирсона вероятность Р = 0,984 достаточно велика.
Высоты прямоугольников гистограммы приведены в табл. 1.4*7.
Построим гистограмму и выравнивающую кривую (рис. 1.1.11). Вычисление ординат у = ф (Д) выполняем, используя прил. 1. Вычисления записываем в табл. 1.1.6.
Границы интервалов |
/ = т |
1г .1 п /л |
h 1 |
У |
ту2 |
||||
1 |
0 |
0,564 |
0,645 |
0,364 |
2 |
0.5 |
0,498 |
0,645 |
0,321 |
3 |
1,0 |
0,342 |
0,645 |
0,220 |
4 |
1,5 |
0,183 |
0,645 |
0,118 |
5 |
2,0 |
0,076 |
0,645 |
0,049 |
6 |
2,5 |
0,025 |
0,645 |
0,016 |
7 |
3,0 |
0,006 |
0,645 |
0,004 |
Таблица 1.1.6
Ы =
Qi
Qt
xi 0,55
Таблица 1.1.7
№ интервалов |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
hi |
0.398 |
0,113 |
0,227 |
0,056 |
0,056 |
0 |
М4 интервалов |
7 |
8 |
о |
10 |
11 |
12 |
hi |
0,284 |
0,342 |
0,227 |
0.056 |
0.056 |
0 |
На выбор масштаба наложено лить условие наглядности.
Приведенные в разделе 1.1.10 формулы для г редко применимы на практике, так как нужно знать математические ожидания и дно Персии X в У.
На практике имеем пары наблюдений
*1 |
х2 • • • хп |
|
VI |
Vl |
Уг • • . Уп |
Математическое ожидание в (1.1.50) 'заменяют средним арифмети- неским (напомним, ято вероятностный предел среднего арифмети- яеского при п -*■ оо совпадает с математическим ожиданием). При этом для коэффициента корреляции получают формулу
(1.1.61)
У1(Х1 Х)(У1~ у) i=1
г
птхту
дающую его эмпирическое зпачеппе. Здесь
XV
Ъх> Z*" -■/
тх= I/
Возникает вопрос, с какой надежностью вычисляется само значение коэффициента корреляции и при каком минимальном абсолютном его значении можно считать связь существующей. Возникает, таким образом, необходимость оценки надежности коэффициента корреляции.
Известный ученый, статистик В. И. Романовский рекомендует прп числе измерений п ^ 50 применять формулу для среднего квадратического отклонения коэффициента корреляции
1 г2
ar = -?=-. (1.1.62)
V п
Связь считается установленной, если выполняется условие MSs3arr. (1.1.63)
Наименьшая величина коэффициента корреляции гт\п, удовлетворяющего условию (1.1.63), в зависимости от числа измерений вычисляется по формуле
Уп + Ж-Уп rmin g * (1.1.64)
Для оценки надежности коэффициента корреляции при п < 50 пользуются специальной функцией, так называемым критерием Фишера,
z = -{In (1-f r) In (1 г)}, (1.1.65)
которая подчиняется закону нормального распределения. Стандарт величины z вычисляется по формуле
1 (1.1.66)
У п 3
Значения величины z по полученным пз опыта значениям коэффициента корреляции т могут быть вычислены непосредственно по формуле (1.1.65) или по таблицам, приведенным в прпл. 5. Уравнение регрессии получает вид
у = У + г-^-(х х) (1.1.67)
тх
ИЛИ
*=х + г (У у)-
ту
Среднее квадратическое отклонение коэффициентов регрессии при большом п вычисляется по формуле
Пример 29. В табл. 1.1.8 приведены расстояния D, измеренные светодальвомером CDB-1, и ошибки |Д | этих намерений. По данным таблицы вычислить коэффициент корреляции, коэффициент регрессии, оценить их точность и составить уравнение регрессии.
Таблица 1.1.8
Н по пор. |
Результаты наблюдений |
Вычисления |
|||||
X D (км) |
1*1 V-M) |
8D DtD |
бд = д^д |
W |
8Д |
fiij.s д |
|
1 |
8,7 |
7,0 |
+3,8 |
+3,2 |
14,44 |
10,24 |
+ 12,16 |
2 |
3,7 |
3.0 |
-1.2 |
-0,8 |
1,44 |
0,64 |
+0,96 |
3 |
6,0 |
4,0 |
+ 1.1 |
+0,2 |
1.21 |
0,04 |
+0,22 |
4 |
3,3 |
3,0 |
-1.6 |
-0,8 |
2,56 |
0,64 |
+ 1,28 |
5 |
5,1 |
4,0 |
+0.2 |
+0,2 |
0,04 |
0,04 |
+0,04 |
6 |
6,1 |
4,0 |
+1.2 |
+0.2 |
1,44 |
0,04 |
+0,24 |
7 |
2,7 |
3,0 |
-2.2 |
-0.8 |
4,84 |
0,64 |
+1,76 |
8 |
4,9 |
4,0 |
0,0 |
+0.2 |
0,0 |
0,04 |
0,00 |
9 |
3,1 |
4,0 |
-1.8 |
+0,2 |
3,24 |
0,04 |
-0,36 |
10 |
3,7 |
2,0 |
-1.2 |
-1.8 |
1,44 |
3,24 |
+2,16 |
11 |
5,7 |
6,0 |
+0,8 |
+2.2 |
0,64 |
4,84 |
+ 1,76 |
12 |
4,9 |
5,0 |
0,0 |
+ 1.2 |
0,0 |
1,44 |
0,00 |
13 |
5,6 |
3,0 |
+0,7 |
-0,8 |
0,49 |
0,64 |
0,56 |
14 |
7,6 |
4,0 |
+2,7 |
+0,2 |
7,29 |
0,04 |
+0,54 |
15 |
4,2 |
3,0 |
-0,7 |
-0.8 |
0,49 |
0,64 |
+0,56 |
16 |
2,0 |
2,0 |
2,9 |
-1,8 |
8,41 |
3,24 |
+5,22 |
17 |
4,0 |
2,0 |
-0,9 |
1,8 |
0,81 |
3,24 |
+1,62 |
18 |
6,5 |
5,0 |
+ 1.6 |
+1,2 |
2,56 |
1,44 |
+1,92 |
19 |
7,2 |
6,0 |
+2,3 |
+2.2 |
5,29 |
4,84 |
+5,06 |
20 |
2,7 |
2,0 |
-2,2 |
-1,8 |
4,84 |
3,24 |
+ 3,96 |
Ср. 4,9 |
3,80 |
+14,4 |
+И.2 |
2 = |
39,20 |
+38,24 |
|
= 61,47 |
|||||||
14,7 |
11,2 |
||||||
2 |
= -0,3 |
0,0 |
Решение. Прежде чем решать задачу, обычно прибегают к графическому изображению точек {xt, yi) (рис. 1.1.12). Как видно, график указывает на наличие корреляции между D и | Д |.
В результате вычислений (см. табл. 1.1.7) имеем
т°= "К'Ж'=175; m|AI=/“lr=W0
коэффициент корреляции но (1.1.61) равен
38,66 . л „„
Оцепим надежность коэффициента корреляции. Так как яисло измерений сравнительно небольшое, для оценки надеж, ности применим критерий Фишера z.
По таблице, помещенной в ирил. 5, пользуясь коэффициентом корреляции г => +0,79 как аргументом, находим
z = 1,0714.
Z J * 5 6 7 в 9 10 11 Рис. 1.1.12
Оценим надежность z по формуле (1.1.66)
, 1 =0,243.
У 20 3
С вероятностью 0,90 (t = 1,645) величина z может принять значения
; 1,0714+ 1аг\ 1,47.
1.0714 to-z 0,67
(1.1.69)
Иа таблицы (ярил. 5) находим соответствующие крайним зна- пениям 2 (0,67 и 1,47) значения коэффициента корреляции
; 0,90.
Следовательно, с вероятностью не менее 0,90 действительный коэффициент корреляции может быть заключен между +0,59 в +0,90. Минимальное значение (при данном .числе измерений п = 20)
Так как 0,50 <; 0,59, прямолинейную корреляционную связь можно считать установленной.
Определим аг по формуле (1.1.62), хотя, как было отмечено выше, она не совсем подходит в данном случае (п <5 50),
1 _0 792
vjy =0.085.
/20
Как следует из неравенства (1.1.69), учитывая, ито t = 1,65, определенная с помощью критерия Фишера величина о'г равна
= 0,094.
0,900,59
2-1,65
Из сравнения ог и аг следует, что формула (1.1.62) дает хорошие результаты при п = 20, хотя принято считать необходимым условием для ее применения п ^ 50.
Составим теперь уравнение регрессии |Л | ва вида (1.1.67)
I 1 = Р |Д|/Вд*+ ( 1Д| Р| д \/1р)- Подставляя яисленные вначения г, од, ос, получим
| Д, | = +0.79 • -Di +3,8-0,79 • • 4,9;
|Д,| = (0,63^+0,70) см,
где Di расстояние в километрах.
Оценим приближенно надежность коэффициента регрессии P1AI/D = +0,63 по (1.1.67)
1,40-1/1-0,79*
0р|Д|/£> i(75 У 203
следовательно,
Р| д |/и ^ 0'®^ ±0,12.
В связи с этой задачей заметим, ято уравнение регрессии х ва у не имеет смысла, так как никто по ошибкам | Д| не станет определять расстояние D.
Если случайные величины хи у подчинены нормальному закону распределения, то корреляция между ними считается установлен* ной (критерий Фишера), когда величина
<м•70,
соответствующая значению г (1.1.61), пе попадает в интервал
где Vo выбирается из таблиц так называемого распределения Стькъ дента (прил. 3) по нислу степеней свободы п 2 и вероятности 1.
Пример 30. Коэффициент корреляции между двумя случайными величинами х и у, Подчиненными нормальному закону распределения, при л = 20 получен равным г = +0,7, Сделать ваключение о наличии корреляции между х и у с вероятностью р = 0,65.
Решение. По таблицам прил. 3 при 18 степенях свободы и Р = 0,95 находим Vp = 2,10. Так что
-2,10<7<2.10. (1.1.71)
По (1.1.70) имеем значение
У = - 2? -/18 = 4,2,
/1-0,49
не содержащееся в интервале (1.1.71). Поэтому следует признать, ято х и у коррелированы.
Пусть дана функция
и = I (xyt x%t . . ., Хд), (1.1.72)
где х,, х2, . . хп попарно коррелированные аргументы, полученные из измерений со средними квадратическими ошибками mi (или стандартами а().
Тогда ее средняя квадратическая ошибка ти (или стандарт) вычисляется по формуле
£=*1 <</
X.rXtXI-mXl-mXj. (1.1.73)
Значения производных вычислены по приближепным зна- яенинм аргументов (на это указывает индекс 0 у производной), но близким к истинным значениям; от степени этой близости зависит точность формулы (1.1.73). Строго говоря, она является точной лишь для линейных функций.
Заметим, что при вычислениях согласно (1.1.73) в результате следует получать не более двух значащих цифр. Поэтому значения производных нужно вычислять не более нем с тремя значащими цифрами. По этой причине знание точных вначений аргументов xt обычно пе требуется.
Пример 31. Найти ср. кв. ошибки функции и = 2х1 + хг, если mXi = щХя ■= го, a rXtXt = 0,5.
Решение. На основании (1.1.73) получаем т£ = 4/м2 -J- + то2 2-0,5те2 - 4т2 и ты = 2т.
Когда аргументы функции некоррелировапы [гц = 0), то имеем формулу
mS=2(^r)!"V <IU4)
f-1
Это наиболее часто встречающийся случай оценки точности, еппщ несколько задач, ними Р и м е Р 32. В треугольнике измерены два угла со сред- квадратическими ошибками = 5", ■=• 3\ Найти m0j,
Решение, Составляем функцию
и = Рз = 180s PiPj.
Далее имеем:
(ж) = 1 " шр, = гов,+те, = 25+9=34*
mpa = /34 = 5.8”.
Вообще для линейной функции вида и = ±Я!±хг;Ь . . .±хп
ти = тх,+тхг + - • - + тх = S тх,< (1.1.75)
п 1-1 1
а для функции и = ± кгхг± . . . ± кпхп,
< = 2fc?mv 1=1 1
Пример 33. Найти ср. кв. ошибку функции
и = 1/2Х 1/ь!/+1/42.
если известны ср. кв. ошибки аргументов. На основании (1.1.75) получаем
Пр и м е р 34. Определить превышение и средпюю квадрати- яескую ошибку превышения
h = s • tg v,
где s = 143,5 м (горизонтальное проложение), v = +2° 30' (угол наклона),
если ms 0,5 м; mv = 1,0'.
Решение.
u ft = s-tgv;
..= /•4
»»-'|/(0.5-о.о44)н(-ет--н^)!;
т/, = 4,8 • 10~2 м; т/, = 0,048 м.
П р и м е р 35. Коэффициент к нитяного дальномера теодолита к определяется иа базисе, длина которого s 250,00 м измерена со средней квадратической ошибкой ms = 0,052 м.
Из многократных измерений был получен средний дальномер- бый отсчет I = 249,0 см со средней квадратической ошибкой ггц = = 0,30 см.
52
Определить ft = у (постоянное слагаемое дальномера равно 0)
И fflk'
Решение. Имеем функцию к = / (s, Z), т. е. Л® у, Согласно (1.1.74) получим
но
тогда
mk=V
( дк \ L-
\ ds )~ I ' \dl ) V •
mft = 0,12; Л = 100,4 ± 0,12. Если функция имеет вид
Ц = ■ ^2
или
Х1 U=i- ** '
то можно написать
In и = In х1 ± In Xj.
Применяя теперь (1.1.74), получим
т\ т\ т* 1 ' **
In и xs Т xi •
НО
т2 - тЬ
|П U и2 •
поэтому имеем формулу
т* т\ т*
В общем случае для функция
справедлива формула
т х,
Ц2
~ZaT~ • (1-1-77)
откуда легко найти m2. Отношение называют относительной
ср. кв. ошибкой.
Припер 36. Найти ошибку определения увеличения V зрительной трубы, если фокусное расстояние объектива /об = = 40,0 см определено с точностью mf06 = 2 мм, а фокусное расстояние окуляра /ок = 1,5 см определено с ошибкой т/ок=0,1 мм. Решение. Применяя (1.1.76), имеем
т% "if об . т'ок
»* /8в
или
Hi!
Ilv
„ __mfo6 /об .
/ок
^ •"ok-
Вычисляя, получим
4
Я1''=1П25"1V "1 ЗЖ
id-* + • 10-4 = 1.77 • 10-2 + 4,73.10-2 = 6,50 • 10-*.
Пусть выполнен ряд равноточных независимых измерений одной и той же величины, истинное значение которой равно X, и получены результаты (выборка) хх, х2, . . ., хп, свободные от систематических ошибок (М [i(] = X). По результатам этих наблюдений требуется подобрать наиболее надежпое, «наилучшее» аначение или оценку для X, а также для неизвестной дисперсии а2. По сути дела, эта вадача 3 математической статистики (см. 1.1.11).
Всякая оценка а% для неизвестных параметров распределения <ц есть функция измеренных величин, т. е. а* о(- (ij, х2, . . ., in). «Наилучшимп» из всех возможных ai называются такие оценки а*, которые обладают свойствами:
вер. lim af = ai,
П-* оо
М\аЦ = а1,
D [a?J = min.
В теории - ошибок доказывается, что наилучщей оценкой для математического ожидания будет так называемая простая арифметическая средина
а для дисперсии квадрат ср. кв. ошибки (формула Бесселя)
--й..
где oi = х{ х отклонения от простой арифметической средины, обладающие свойствами
[у) =0 и (i>2] = inin.
Величина х имеет ср. кв. ошибку
m- = A/=-^=. (1.1.80)
* V п
Совместное влияние случайных ошибок и постоянной систематической ошибки может быть выражено формулой
где в систематическая ошибка. Число измерений поэтому не может беспредельно повышать точность х. Полагают, что должно
иметь место неравенство 6 <5 .
V п
Ср. кв. ошибка характеризуется ср. кв. ошибкой
V2 (п 1) *
Порядок вычислений при обработке ряда равноточных измерений следующий.
х = х'+-^~,
где х' приближенное значение для х, обычно это минимальное значение ц, а величины . .
&t = xix\
М = пр.
где Р ошибка округления при вычислении х, т. е. Р = х0Кр х- Обычно 10кр вычисляют с числом десятичных знаков на один болЁйю, чем их имеется в xt (х0кр получают округлением х,-т. е. х содержит на один знак больше, чем х0кр)<
[»»] = [е»1
и ошибки
т |
, М, тт- |
т |
и тм = |
М |
||
V 2 ( |
п 1) |
Таблица 1.1.9 |
||||
о. о п о о % |
Результаты измерений |
S vi |
ei |
*• ei |
Контроль |
|
1 |
57° 23' 44” |
0.7 |
0,49 |
+4 |
16 |
1. Р = ^0Кр* = |
2 |
40 |
-4.7 |
22,1 |
0 |
0 |
= 57s 23' 44,7” |
3 |
43 |
-1,7 |
2,89 |
+3 |
9 |
■57° 23'44,67”= = +0,03” |
4 |
45 |
+0,3 |
0,09 |
+5 |
25 |
rap = 0,03" • 12 = |
5 |
46 |
+1,3 |
1,69 |
+6 |
36 |
= -0,4” |
6 |
43 |
-1,7 |
2,89 |
+3 |
9 |
М = 0,4” |
7 |
48 |
+3.3 |
10,9 |
+8 |
64 |
2. [у2] = [е2] [Е]2 334 п |
8 |
45 |
+0.3 |
0,09 |
+5 |
25 |
|
9 |
48 |
+3,3 |
10,9 |
+8 |
64 |
= 72. |
10 |
46 |
+1,3 |
1,69 |
+6 |
36 |
Ошибки: |
11 |
47 |
+2.3 |
5,29 |
+7 |
49 |
m = l/ZM = 2,7” |
12 |
41 |
-3,7 |
13,7 |
+1 |
1 |
V 11 2 7 М = 4= = 0,75” /12 «„■=0,15" |
х' |
= 57° 23' 40" Ы- 23' 44,7" 57° 23' 44,67" |
-12,5 +12,1 |
2= = 72,9 |
2 = = +56 |
2= 334 |
|
= |
2= -0,4 2 8/п = = 4,67" |
Ответ: х = |
57® 23' |
44,7"+ 0,75" |
Результат вычислений записывают в виде х±М или в виде „верительного интервала (см. следующий раздел).
Пример 37. Даны результаты равноточных измерений
.,Ю] о п того же угла. Определить х, т, М, тт. решение выполнено в табл. 1.1.9.
рассмотренный выше способ оценки параметров закона распределения называется точечным. Более совершенным является так называемый способ доверительных интервалов.
Доверительным называется такой интервал, относительно которого с вероятностью Р, сколь угодно близкой к единице, называемой доверительной, можно утверждать, что он содержит математическое ожидание параметра или его истинное значение при отсутствии систематических ошибок.
Доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины имеет вид
х-/рЛ/<Х<г+«рМ, (1.1.81)
где коэффициент, выбираемый из таблиц так называемого распределения Стьюдента (прил. 3) по вероятности Р и числу степеней свободы г = п 1.' Так, в условия» предыдущего примера при Р =0,90 имеем = 2,20 и доверительный интервал
57° 23' 43,1"<Х<579 23' 46,3”.
Важно отметить, что распределение измерений при этом должно быть нормальным.
Доверительный интервал для стандарта а в случае нормального распределения измерений строится в виде
Yjm ^ 0 sg y2m, (1.1.82)
где
Л f п 1 Л Г п~ 1
Yl~ У “^с! * г~У “хГ-*
а величины и -/J выбирают из таблиц распределения уа2 (прил. 4)
по числу степеней свободы п 1 и вероятности рг = ^ ^ и р2
~ 1 Pi. Так, в примере .37 для Р = 0,90 и п 1 = 11 имеем Pi = 0,05, р2 = 0,95 и 19,7, xl = 4,6.
Доверительный интервал будет
Kw'27<»</-SX'27-
2,0" <а <4,2°.
Доверительный интервал для о- имеет вид
JVl
У'п 2 У п
В нашем примере
0,61" <а-< 1,3*.
Другой пример применения доверительных интервалов был приведен в разделе 1.1.18 (для истинного значения коэффициента корреляции).
Заметим, что иногда результат обработки измерений записывают в виде т~, что соответствует вероятности р ^ 0,7.
Если имеем двойные равноточные измерения п величин xlt хг, . . хл и получены результаты
3-1» ^2t • * •» %flt
* f *
^1» • • м
то составляем разности
di = xi х
При отсутствии систематических ошибок эти разности можно рассматривать как ошибки величин, истинное значение которых равно 0. Поэтому, применяя формулу Гаусса (1.1.57), имеем
L и mXi = • (1.1.83)
Для среднего значения
*( + *,г XI ср- 2
получаем
На наличие постоянной систематической ошибки укажет значительное отклонение от нуля величины
е=-!^.
В этом случае, рассматривая разности
<г,'=<г/-е (Ы.85)
как уклонения от арифметической средины и применяя формулу Бесселя (1.1.79), получим
т л/~№
т-
Формулы (1.1.831.1.84) остаются в силе и в этом случае. Контролем вычислений служит формула [d'J =п(3, где величина
Р = 0ОКр 0"
Пример 38. В табл. 1.1.10 даны результаты нивелирования (превышения в м) между точками при двух положениях инструмента. Вычислить средние квадратические ошибки одного измерения и среднего из двойных измерений.
Таблица 1.1.10
JMi ПрСВЫ- ШСНВЙ |
1-е положение Х[ |
2-е положение Xj |
d (мм) |
сГ = d 0 |
d'1 |
1 |
+1,273 |
+1,270 |
+3 |
+ 1 |
1 |
2 |
+0,987 |
+0,988 |
-1 |
-3 |
9 |
3 |
+1,069 |
+1,065 |
+4 |
+2 |
4 |
4 |
+0,542 |
+0,542 |
0 |
-2 |
4 |
5 |
+0,768 |
+0,766 |
+2 |
0 |
0 |
6 |
+0,895 |
+0,891 |
+4 |
+2 |
4 |
7 |
+1.166 |
+1,167 |
1 |
-3 |
9 |
8 |
+1,304 |
+1,302 |
+2 |
0 |
0 |
9 |
+1,198 |
+ 1,194 |
+4 |
+2 |
4 |
10 |
+0,484 |
+0,481 |
+3 |
+ 1 |
1 |
+22 |
+8 |
||||
-2 |
-8 |
2<* = +20 2^' = 0 +36
Вычисляем 0 = =+|^ = +2,0 мм и величины d[ по ть 10
формуле (1.1.85).
Средняя квадратическая ошибка превышения при одном положении инструмента согласно (1.1.83)
md т / [сГ3] -./IT ,
m*i=7T=y V ir=1-41 мм-
Средняя квадратическая ошибка превышения, полученная как среднее из результатов нивелирования при двух положениях инструмента по (1,1.84),
m-ticP = -j7g-=1'00 мм-
Неравноточными называются измерения, дисперсии которых не равны между собой. В этом случае дисперсия определяется формулой
= (1-1.86)
где а% = С = const постоянная для всех измерений произвольно выбираемая величина, a pi так называемые веса измерений. Из (1.1.86) следует определение веса
Л = -Й". (1-1.87.)
т. е. вес величина, обратно пропорциональная дисперсии. Веса величины относительные. О весе имеет смысл говорить, когда число измерений п !> 1; Приняв р,- = 1, устанавливаем смысл о§.
Так как при этом о% = о|, то сг£ есть дисперсия измерения, вес которого принят за единицу (сокращенно дисперсия единицы веса).
Измерение с весом р = 1 может быть как реально существующим, так и фиктивным.
В случае, когда дисперсии оЗ неизвестны, вес вычисляют по приближенной формуле
и-|р (1-1.88)
где пц средняя квадратическая ошибка /-го измерения, а величина р., введенная вместо а0, средняя квадратическая ошибка единицы веса. Для применения (1.1.88) ошибка mi должна быть определена надежно (получена из результатов измерений, число которых п£>8), а также свободна от систематического влияния.
Часто, пользуясь свободой выбора 0о (или ц), веса измерений можно установить, не зная О; (или т,-).
Так:
■ 1.1.24. Вес функции коррелированных и некоррелированных аргументов
Учитывая формулу (1.1.73) и выражение дисперсии (1.1.86), легко получить формулу для вычисления обратного веса функции
“^=/(*1, *2. • • •> хп) коррелированных аргументов в виде
±-2(£):->2 (£).(£).-*/
(=i (■</
1
VP*i'P*i
(1.1.89)
а для некоррелированных аргументов в виде
-L-Sf'tysL. (j.1.90)
Ри \ дц Jo рх
i-l 1
Пример 39. Используя условия примера 31, найти вес функции
и = 2xi + х2.
Решение. На основании (1.1.89) имеем 1/ри = 4-i/p* + + i/Px1+2rxlZ2l/VpxlPx1!, при этом rXlX2 = 0,5, mXt = mXt = то. Приняв за ошибку единицы веса |Л стандарт т, получаем pXt =
= Рх2 = поэтому
Ри 4
В следующих вадачах будем рассматривать лишь некоррелированные измерения.
Пример 40. Найти веса следующих функций:
Пример' 41-. Найти ввС' площади- треугольника, «ели основание его Ь = 8 м получено с весом рь= 1» высота h = 16 м с весом
1
РА = Y.
Решение. Составляем функцию измеренных величин затем находим
= 64+32 = 96.
Пример 42. Дана функция и = хУ~р. Найти вес ри, если х результат измерения, ар его вес.
Решение.
=(/р)г4-=1-
Ри Р
Вывод. Еели результат измерения умножить на корень квадратный из его веса, то полученный результат будет иметь вес, равный 1.
На этом основано приведение неравноточных измерений к равноточным.
Если имеем ряд независимых (некоррелированных) результатов измерений хг, х2, . . хп с заданными весами pt, рг, ,,., р„, то при отсутствии систематических ошибок величина
п
является наиболее надежной оценкой для истинного значения измеряемой величины и называется общей арифметической средипой. Ее точность определяется формулой
т- = М= 7=-»
Vlp]
где
р=-[Дёт- (Ilg2)
в р. __ х[ ~х. Уклонения vi обладают свойствами!
1. [ру] = 0; 2) [jw>*] = mm.
Для истинного значения X можно построить доверительный интервал аналогично тому, как было рассмотрено в разделе 1.1.21 для равноточных измерений.
Если известны истинные ошибки измерений, то
(1.1.93)
(формула Гаусса для неравноточных измерений).
Порядок вычислений при обработке ряда неравноточных измерений следующий.
х = х +-
[PJ
[рт] = р [р],
где
P=3\jnpX.
и ошибки оценок ц, М
Ц т|1 у 7 И /И n j _ *
При достаточно большом л оба значения ц (принятое для вычисления весоо = с и полученное по формуле (1.1.93)) должны совпадать в пределах ошибки т^. Их расхождение на величину, большую нем указывает на наличие систематических ошибок.
Результат записывают в виде х± М или в виде доверительного интервала вида (1.1.81). Доверительный интервал для о„ строится точно так же, как и для а (1.1.82).
Пример 43. Произвести математическую обработку по Данным, приведенным в табл. 1.1.11, в которой даны средине зпа- аенця одного и того же угла, измеренного разным числом приемов п. Для удобства вычислений целесообразно применять фор-
ЫулУ Pi ~ . Вычисления располагаем в этой же таблице,
МЬ по пор. |
*i |
Число приемов 71 |
п р=т |
Е |
ре |
рв* |
V |
pv |
|
1 |
899 47' 16" |
6 |
2 |
+10 |
+20 |
200 |
+6 |
+12 |
72 |
2 |
9 |
18 |
6 |
+3 |
+18 |
54 |
-1 |
-6 |
6 |
3 |
6 |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-4 |
-4 |
16 |
4 |
10 |
15 |
5 |
+4 |
+20 |
80 |
0 |
0 |
0 |
5 |
23 |
6 |
2 |
+7 |
+ 14 |
98 |
+3 |
+6 |
18 |
6 |
8 |
12 |
4 |
+2 |
+8 |
16 |
-2 |
-8 |
16 |
х' = 89° 47'06" з? = 89 47 10,0 |
2 = = 20 |
2= = +80 |
2= = 448 |
-18 + 18 2=0 |
2= = 128 |
Т7Г=1Ь+4'0; Р=0:
М = [ре]--1^ = 448--^-= 128;
*-V:
128" г ,, 5,1" „ „ ц
= 5,1"; Af=- -■ =1,1"; го = ■- =»
5,1"
/10 ,U "М /|7]
5 1/20 ^ /2(л-1)
= -^=г = 1,6"; mM = -7^r=0,36"
Ответ. 89°- 47' 10,0"± 1,1".
1/ 41-4 1=У-6-Г
Пример 44. Отметка Н точки местности получена по шести нивелирным линиям. Произвести полную математическую обработку результатов измерений по данным, приведенным в табл. 1.1.12. Средняя квадратическая ошибка единицы веса
= 2,9 мм, а т„ = - = 0,92 мм,
^ /2(6-1)
/с=/1о = 3,1, так что |ц /с l^rre^,
9 4 ПЧ?
Л/ = т=^ = 2,3 мм, шм = -^=- = 0,73 мм. /1,6 М /1,6
Ответ: х = 196,5277 м ± 2,3 мм,
№ линий |
11 ч |
т„ нмм |
10 р=г т н |
®Мм |
ре |
ре2 |
и |
pv |
pv* |
1 |
196,529 |
6,3 |
0,25 |
+ 12 |
3,00 |
36,0 |
+1,3 |
+0,33 |
0,4 |
2 |
522 |
8,4 |
0,14 |
+5 |
0,70 |
3,5 |
-5,7 |
-0,80 |
4,6 |
3 |
517 |
9,1 |
0,12 |
0 |
0 |
0 |
-10,7 |
-1,28 |
13,7 |
4 |
532 |
4,3 |
0,54 |
+15 |
8,10 |
121,5 |
+4,3 |
+2,32 |
10,0 |
5 |
530 |
5,2 |
0,37 |
+13 |
4,81 |
62,5 |
+2,3 |
+0,85 |
2,0 |
6 |
520 |
7,5 |
0,18 |
+3 |
0,54 |
1,6 |
-7,7 |
-1,39 |
10,7 |
х' = 196,517 [р] = 1,60 2 = 17'15 ~3-47 S = 414
х = 196,5277
Щ= =+10,72 мм 0,01072 м,
[/>] 1,60
Р = -0,02, -[р]р = +0,03,
\роЦ = 225,1-^ = 41,3.
Если разности двойных измерений d = х[ х[ получены по неравноточным измерениям (но попарно равноточным, т. е. рХ[ = = р .), то имеем обратный вес разности
хг
Pdl РХ[ Рх' Рх; 1 2 2
Поэтому при отсутствии систематических ошибок получаем ошибку единицы веса
г-уз*£1~узф.
Средние квадратические ошибки средних значений xi ср= Xi^£T'±
равны
будут
УгР1
3 Заказ 10 58 65
В случае, когда разности di содержат систематические ошибки, величина
будет ваметно отличаться от нуля 4. Тогда будем иметь ^ У 2 (га 1)
1дв rfj di 0*
Пример 45. Даны разности d двойных измерений некоторых величин и веса измерений. Выполнить оценку точности. Составим табл. 1.1,13.
Таблица 1.1.13
Л» измерений |
Разности "j |
Веса измерений PX[=Pl ' |
я г |
pd> |
1 |
+2,4 |
1,11 |
5,8 |
6,4 |
2 |
•6,2 |
0,28 |
38,4 |
10,7 |
3 |
2.2 |
0,62 |
4,8 |
3.0 |
4 |
+1.3 |
0,32 |
1.7 |
0.5 |
5 |
-0.6 |
0,27 |
0,4 |
0,1 |
6 |
+2,1 |
0,71 |
4.4 |
3,1 |
7 |
-4,0 |
0,43 |
16,0 |
6.9 |
8 |
+1.4 |
0,45 |
2,0 |
0,9 |
9 |
+7,5 |
0,48 |
56,2 |
26.9 |
10 |
-1,3 |
0,53 |
1.7 |
0,9 |
+14.7 |
О см. II |
59,4 |
14.3 2 =+0,4
[Pd\
1Р\
Так как ницы веса
0, то средняя квадратическая ошибка еди-
Средняя квадратическая ошибка среднего весового равиа
т 11 _ 1,7 1 1 (JCi)cp /2р[ ^ Угж
Таблица для вычисления величин у' =
у я
t |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,0 |
0,5841 |
0,5641 |
0,5641 |
0,5640 |
|
0,1 |
5614 |
5607 |
5602 |
5595 |
|
0,2 |
5530 |
551В |
5507 |
5494 |
|
0,3 |
5394 |
5377 |
5360 |
5343 |
|
0,4 |
6209 |
5187 |
5166 |
5143 |
|
0,5 |
4979 |
4954 |
4929 |
4903 |
|
0,6 |
4712 |
4684 |
4656 |
4626 |
|
0,7 |
4417 |
4385 |
4354 |
4322 |
|
0,8 |
4097 |
4064 |
4030 |
3998 |
|
0,9 |
3763 |
3729 |
3695 |
3661 |
|
1,0 |
0,342 |
0,339 |
0,336 |
0,332 |
|
1,1 |
308 |
304 |
302 |
298 |
|
1,2 |
275 |
272 |
268 |
265 |
|
1,3 |
242 |
240 |
236 |
233 |
|
1,4 |
212 |
209 |
206 |
203 |
|
1,5 |
183 |
180 |
178 |
175 |
|
1.6 |
156 |
154 |
152 |
149 |
|
1,7 |
133 |
131 |
129 |
126 |
|
1,8 |
112 |
110 |
108 |
106 |
|
1.9 |
093 |
091 |
090 |
088 |
|
2,0 |
0,076 |
0,076 |
0,075 |
0,073 |
|
2,1 |
062 |
061 |
060 |
058 |
|
2,2 |
050 |
049 |
048 |
047 |
|
2,3 |
040 |
039 |
038 |
038 |
|
2,4 |
0,032 |
031 |
030 |
030 |
|
2,5 |
025 |
024 |
024 |
023 |
|
2,6 |
019 |
019 |
018 |
018 |
|
2.7 |
015 |
014 |
014 |
014 |
|
2,8 |
011 |
011 |
011 |
010 |
|
2,9 |
008 |
008 |
008 |
008 |
|
3,0 |
006 |
xM [*1 Д аргументу, t = или t =
5 |
6 |
7 |
8 |
0,5634 |
0,5731 |
5,5629 |
0,5624 |
5579 |
5571 |
5561 |
5551 |
5469 |
5455 |
5440 |
5425 |
5306 |
5288 |
5268 |
5250 |
5098 |
5076 |
5052 |
5028 |
4849 |
4822 |
4796 |
4769 |
4568 |
4538 |
3507 |
4477 |
4258 |
4227 |
4195 |
4162 |
8932 |
3898 |
3864 |
3831 |
3594 |
3558 |
3524 |
3490 |
0,326 |
0,322 |
0,318 |
0,315 |
292 |
288 |
284 |
282 |
258 |
256 |
252 |
248 |
227 |
224 |
221 |
218 |
197 |
194 |
192 |
189 |
170 |
167 |
165 |
162 |
145 |
142 |
140 |
138 |
122 |
120 |
118 |
116 |
102 |
100 |
098 |
096 |
084 |
083 |
081 |
080 |
0,069 |
0,068 |
0,066 |
0,065 |
056 |
055 |
053 |
052 |
045 |
044 |
043 |
042 |
036 |
036 |
034 |
033 |
028 |
027 |
027 |
026 |
022 |
021 |
021 |
020 |
017 |
016 |
016 |
016 |
017 |
012 |
012 |
012 |
010 |
009 |
009 |
009 |
007 |
007 |
007 |
007 |
Таблицы значений интеграла вероятностей t 1
3456
(* ~Т , 2 /' <* , f5 <7 , <p(0==f^=3e уТГч 6 + 40 336-*
Ф( О
Ф(0
Ф «).
0,00000
0,03988
0,07666
0,11924
0,15852
0,19741
0,23582
0,27366
0,31084
0,34729
0*38292
0,41768
0,45149
0,48431
0,51807
0,54675
0,57629
0,60468
0,63188
0,65789
0,68269
0,70628
0,72867
0,74986
0,76086
0,98758
0,98922
0,99068
0,99195
0,99307
0,99404
0,99489
0,99563
0,99627
0,99682
0,90730
0,99806
0,99863
0,99903
0,99933
0,99953
0,99968
0,99978
0,09986
0,99990
0,99994
0,99996
0,99997
0,99998
0,99999
3.00
3.10
3.20
3.30
3.40
3.90
4.00
4.10
4.20
4.30
4.40
0,78870
0,80640
0,82298
0,83849
0.В5294
0,86639
0,87886
0,89040
0,90106
0,91087
0,91988
0,92814
0,93569
0,94257
0,94882
0,95450
0,95964
0,96427
0,96844
0,97219
0,97555
0,97855
0,98123
0,98360
0,98571
1.25
1.40
2.25
2.40
2.45
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
Коэффициенты Стьюдента /р (г чпсл
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
||
2 |
0,16 |
0,33 |
0,51 |
0,73 |
1,00 |
|
3 |
0,14 |
0,29 |
0,45 |
0,62 |
0,82 |
|
4 |
0.14 |
0,28 |
0,42 |
0,58 |
0,77 |
|
5 |
0,13 |
0,27 |
0.41 |
0,57 |
0,74 |
|
С |
0,13 |
0,27 |
0,41 |
0,56 |
0,73 |
|
7 |
0,13 |
0,27 |
0,40 |
0,55 |
0,72 |
|
8 |
0,13 |
0,26 |
0,40 |
0,55 |
0,71 |
|
9 |
0,13 |
0,26 |
0,40 |
0,54 |
0,71 |
|
10 |
0,13 |
0,26 |
0,40 |
0,54 |
0,70 |
|
11 |
0,13 |
0,26 |
0,40 |
0,54 |
0,70 |
|
12 |
0,13 |
0,26 |
0,40 |
0,54 |
0,70 |
|
13 |
0,13 |
0,26 |
0,40 |
0,54 |
0,70 |
|
14 |
0,13 |
0,26 |
0,3В |
0,54 |
0,69 |
|
1Т> |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,54 |
0,69 |
|
1C |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,54 |
0,69 |
|
17 |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0.54 |
0,69 |
|
18 |
0,13 |
0,26 |
0,3 9 0,39 |
0.53 |
0,69 |
|
19 |
0,13 |
0,26 |
0,53 |
0,69 |
||
20 |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0,69 |
|
21 |
0.13 |
0,26 |
0,3 9 |
0.53 |
0,69 |
|
22 |
0,13 |
0,26 |
0.39 |
0,53 |
0,69 |
|
23 |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0,69 |
|
24 |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0,69 |
|
25 |
0,13 . |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0,69 |
|
26 |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0.68 |
|
27 |
ОИЗ |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0,68 |
|
28 |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0,68 |
|
29 |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0.68 |
|
30 |
0,13 |
0,26 |
0.39 |
0,53 |
0,68 |
|
40 |
0,13 |
0,26 |
0,39 |
0,53 |
0,6В |
|
60 |
0,13 |
0,25 |
0,39 |
0,53 |
0,68 |
|
120 |
0,13 |
0,25 |
0,39 |
0,53 |
0,68 |
|
оо |
0,13 |
0,25 |
0,39 |
0,52 |
0,67 |
[о степеней свободы, р доверительная вероятность)
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
1,38 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
636,6 |
1,06 |
1.3 |
1.9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
31,6 |
0.98 |
1.3 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
5,8 |
12,9 |
0,94 |
1.2 |
1.5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
8,6 |
0,92 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
4,0 |
6,9 |
0,90 |
1.1 |
1,4 |
1.9 |
2,4 |
3,1 |
3,7 |
6,0 |
0,90 |
1,1 |
1.4 1.4 |
1.9 |
2,4 |
3,0 |
3,5 |
5,4 |
0,90 |
1.1 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
3,4 |
5,0 |
|
0,88 |
1.1 |
1,4 |
1.8 |
2,3 |
2,8 |
3,3 |
4,8 |
0,88 |
1.1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,8 |
3,2 |
4,6 |
0,87 |
1.1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,1 |
4,5 |
0,87 |
1.1 |
1.4 |
1.8 |
2,2 |
2,7 |
3,1 |
4,3 |
0,87 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,0 |
4,2 |
0,87 |
1,1 |
1.3 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
3,0 |
4,1 |
0,87 |
1,1 |
1.3 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,0 |
0,86 |
1,1 |
1,3 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,0 |
|
0,86 |
1,3 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
4,0 |
||
0,86 |
М |
1,3 |
2,1 |
2,6 |
2,9 |
3,9 |
|
0,86 |
1,1 |
1,3 |
2,1 |
2,5 |
2,9 |
3,9 |
|
0,86 |
1,1 |
1,3 |
2,1 |
2,5 |
2.8 |
3,8 |
|
0,86 |
11 |
1,3 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
|
0,36 |
1,1 |
1,3 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
|
0,86 |
11 |
1,3 |
2.1 |
2,5 |
2,8 |
3,8 |
|
0,86 |
11 |
1,3 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
|
0,86 |
1.1 |
1,3 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
|
0,86 |
1,1 |
1,3 |
2,1 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
|
0,86 |
1,1 |
1,3 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
|
0,86 |
1,1 |
1.3 1.3 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3.7 |
|
0,85 |
1,1 |
2,0 |
2,5 |
2,8 |
3,7 |
||
0,35 |
1,1 |
1,3 |
1 1 t |
2,0 |
2,4 |
2,7 |
3,G |
0,85 |
1,0 |
1,3 |
1 1 » |
2,0 |
2,4 |
2,7 |
3,5 |
0,85 |
1,0 |
1,3 |
2,0 |
2,4 |
2,6 |
3,4 |
|
0.84 |
1.0 |
1.3 |
1.6 |
2,0 |
2,3 |
2,6 |
3,3 |
3e
0,000 |
0,001 |
0,020 |
0,040 |
0,115 |
0,185 |
0,297 |
0,429 |
0,5 54 |
0,752 |
0,872 |
1,134 |
1,239 |
1.564 |
1,640 |
2,03 |
2,09 |
2 53 |
2,56 |
3,06 |
3,05 |
3,61 |
3,57 |
4,18 |
4,11 |
4,76 |
4,66 |
5,37 |
5,23 |
5,98 |
5,81 |
6.61 |
6,41 |
7,26 |
7,02 |
7,91 |
7,63 |
8,57 |
8,20 |
9,24 |
8,90 |
9,92 |
9,54 |
10,60 |
10,20 |
11,29 |
10,86 |
11,99 |
11,52 |
12.70 |
12,20 |
13,41 |
12,88 |
14,12 |
13.56 |
14,85 |
14 26 |
15,57 |
14 95 |
16.31 |
0,004 |
0,016 |
0,103 |
0,211 |
0,352 |
0,584 |
0,711 |
1,064 |
1,145 |
1,610 |
1,635 |
2,20 |
2,17 |
2,83 |
2,73 |
3,49 |
3,32 |
4,17 |
3,94 |
4,86 |
4,58 |
5,58 |
5,23 |
6,30 |
5,89 |
7,04 |
6,57 |
7,79 |
7,26 |
8,55 |
7,96 |
9,31 |
8,67 |
10,08 |
9,39 |
10,86 |
10,11 |
11.65 |
10,85 |
12,44 |
11,59 |
13,24 |
12,34 |
14,04 |
13,09 |
14,85 |
13,85 |
15,66 |
14,61 |
16,47 |
15,38 |
17,29 |
16,15 |
18.11 |
16,93 |
18,94 19,77 |
17,71 |
|
18,49 |
20,6 |
у2 в зависимости от г и р
0,70 |
0,50 |
0,36 |
0,20 |
0.10 |
0.05 |
0,62 |
0,61 |
0,001 |
0,148 |
0,455 |
1,074 |
1,642 |
2,71 |
3,84 |
5.41 |
6,64 |
10,83 |
0,713 |
1,386 |
2,41 |
3,22 |
4,60 |
5,99 |
7.82 |
9,21 |
13,82 |
1,424 |
2,37 |
3,66 |
4,64 |
6,25 |
7,82 |
9,84 |
11,34 |
16,27 |
2,20 |
3,36 |
4,88 |
5,99 |
7,78 |
9,49 |
11,67 |
13,28 |
18,46 |
3,00 |
4,35 |
6,06 |
7,29 |
9,24 |
11,07 |
13,39 |
15,09 |
20,5 |
3,83 |
5,35 |
7,23 |
8,56 |
10,64 |
12,50 |
15,03 |
16,81 |
22,5 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,02 |
14,07 |
16,62 |
18,48 |
24,3 |
5,53 |
7,34 |
9,52 |
11,03 |
13,36 |
15,51 |
18,17 |
20,1 |
26,1 |
6,39 |
8,34 |
10,66 |
12,24 |
14,68 |
16,92 |
19,68 |
21,7 |
27,9 |
7,27 |
9.34 |
11,78 |
13,44 |
15,99 |
18,31 |
21,2 |
23,2 |
29,6 |
8,15 |
10,34 |
12,90 |
14,63 |
17,28 |
19,68 |
22,6 |
24,7 |
31,3 |
9,03 |
11.34 |
14,01 |
15,81 |
18.55 |
21,0 |
24,1 |
26,2 |
32.9 |
9.93 |
12,34 |
15,12 |
16,98 |
19,81 |
22,4 |
25,5 |
27,7 |
34,6 |
10,82 |
13.34 |
16,22 |
18.15 |
21,1 |
23,7 |
26,9 |
29,1 |
36,1 |
11,72 |
14,34 |
17,32 |
19,31 |
22,3 |
25,1) |
28,3 |
30,6 |
37,7 |
12,62. |
15,34 |
18,42 |
20.5 |
23,5 |
26,3 |
29,6 |
32,0 |
39,3 |
13,53 |
16,34 |
19,51 |
21,6 |
24,8 |
27,6 |
31,0 |
33,4 |
40,8 |
14.44 |
17.34 |
20,6 |
22,8 |
26,0 |
28.9 |
32,3 |
34,8 |
42,3 |
15,35 |
18.34 |
21,7 |
23.9 |
27,2 |
30.1 |
33.7 |
36,2 |
43,8 |
16,27 |
19,34 |
22,8 |
25,0 |
28,4 |
31.4 |
35,0 |
37,6 |
45.3 |
17,18 |
20,3 |
23,9 |
26,2 |
29,6 |
32,7 |
36,3 |
38,9 |
46.& |
18,10 |
21,3 |
24,9 |
27,3 |
30,8 |
33.9 |
37,7 |
40,3 |
48,3 |
19,02 |
22,3 |
26,0 |
28,4 |
32,0 |
35,2 |
39,0 |
41,6 |
49,7 |
19,94 |
23,3 |
27,1 |
29,6 |
33,2 34,4 |
36,4 37,7 |
40,3 |
43,0 |
51,2 |
20,9 |
24,3 |
28,2 |
30,7 |
41,7 |
44,3 |
52,6 |
||
21,8 |
25,3 |
29,2 |
31,8 |
35,6 |
38,9 |
42,9 |
45,6 |
54,1 |
22,7 |
26,3 |
30,3 |
32.9 |
36,7 |
40,1 |
44,1 |
47,0 |
55,5 |
23.6 |
27,3 |
31,4 |
34,0 |
37.9 |
41,3 |
45,4 |
48,3 |
56,9 |
24,6 |
28.3 |
32,5 |
35,1 |
39,1 40,3 |
42,6 |
46,7 |
49,6 |
58,3 |
25,5 |
29,3 |
33,5 |
36,2 |
43,8 |
48,0 |
50,9 |
59,7 |
Таблица значений функции z = -i-{ln(l + r) 1п(1 г)}
Г |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0,0 |
0,0000 |
0,0100 |
0,0200 |
0,0300 |
0,0400 |
од |
0,1003 |
0.1104 |
Q.1206 |
0,1307 |
0,1409 |
0.2 |
0,2027 |
0,2132 |
0,2237 |
0,2342 |
0.2448 |
0,3 |
0,3095 |
0,3205 |
0,3316 |
0.3428 |
0,3541 |
0.4 |
0,4236 |
0,4356 |
0,4477 |
0,4599 |
0,4722 |
0,5 |
0,5493 |
0,5627 |
0,5763 |
0,5901 |
0,6042 |
0.6 |
0,6931 |
0,7089 |
0,7250 |
0,7414 |
0,7582 |
0.7 |
0,8673 |
0,8872 |
0,9076 |
0,9287 |
0,9505 |
0.8 |
1,0986 |
1,1270 ' |
1,1568 |
1,1881 |
1,2212 |
0,9 |
1,4722 |
1.5275 |
1,5890 |
1.6584 |
1,7380 |
0,99 |
2,6466 |
2,6996 |
2,7587 |
2,8257 |
2,9031 |
Продолжение приложения 5
г |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,0500 |
0,0601 |
0,0701 |
0.0802 |
0,0902 |
0,1 |
0,1511 |
0,1614 |
0,1717 |
0.1820 |
0,1923 |
0,2 |
0,2554 |
0.2661 |
0,2769 |
0,2877 |
0,2986 |
0,3 |
0,3654 |
0,3769 |
0,3884 |
0,4001 |
0,4118 |
0.4 |
0,4847 |
0,4973 |
0,5101 |
■0,5230 |
0,5361 |
0,5 |
0,6184 |
0,6328 |
■ 0,6475 |
0,6625 |
0.6777 |
0.6 |
0,7753 |
0,7928 |
0,8107 |
0,8291 |
0,8480 |
0,7 |
0,9730 |
0,9962 |
1,0203 |
1,0454 ■ |
1,0714 |
0,8 |
1,2562 |
1,2933 |
1,3331 |
1,3758 |
1,4219 |
0,9 |
1,8318 |
1,9459 |
2,0923 |
2,2976 |
2,6466 |
0,99 |
2,9945 |
3,1063 |
3.2504 |
3,4534 |
3,8002 |
В. Д. Большаков
А. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ УРАВНИВАНИЯ
Т.2.1. Общие понятия о методе наименьших квадратов
В теории ошибок измерений рассматривался вопрос математи- нейкой обработки многократных измерений одной и той же величины. В практике геодезических вычислений возникает п более общая задача совместной обработки измерений, выполненных для определения мпогих неизвестных величин (например, при уравнивании нивелирных и плановых геодезических сетей). Получение наиболее надежных значений этих величин и их оценка точности составляют задачу так называемых уравнительных вычислений (уравнивания). Уравнивание выполняют по методу наименьших квадратов (м. н. к.), согласно которому измеренные величины получают поправки V(, удовлетворяющие условию [р ч2] = min, где pi вес измерений. К. Гауссом и русским математиком А. Марковым доказано, что этот принцип приводит к наилучшим оценкам для искомых неизвестных: они при условии отсутствия систематических ошибок в измерениях являются несмещенными и обладают минимальной дисперсией (теория Гаусса Маркова). Это утверждение справедливо и для любых функций уравненных неизвестных. При этом не требуется, чтобы результаты измерений подчинялись нормальному вакону распределения. Однако в последнем случае, который наиболее часто имеет место в геодезической практике, уравнивая по м. н. к., мы уменьшаем риск того, что найденные оценки в своей совокупности будут существенно отклоняться от истинных значений. Только при нормальном закопе стаповитсл возможным построение доверительных интервалов.
Задача уравнивания возникает потому, что число измерений п в геодезических построениях всегда больше числа необходимых неизвестных ft, для определения которых и выполняют работы. Наличие избыточных измерений, нисло которых г = п к, позволяет выполнить контроль измерений, оценить их точность и повысить точность уравненных неизвестных и их функций.
Доказывается, что отношение весоБ уравненных Р и нсуравнен- 111,IX р результатов измерений в среднем определяется формулой
Существуют два основных способа уравнивания: параметрический п коррелатпый. В первом случае решение приводит к непосредственному получению уравненных неизвестных (параметров), но втором сначала вычисляют уравненные коррелаты, а затем, как функции, пепзвестные. Оба способа уравнивания приводят к- одним и тем же результатам, но они обладают различной трудоемкостью при решении одной и той же задачи.
Так, например, в полигонометрическом ходе число параметров равно удвоенному числу определяемых пунктов (2s) (по числу координат X и Y этих пунктов), а число всех измерений (углов и длин сторон), очевидно, равно 2s + 3. При уравнивании этого хода параметрическим способом пришлось бы совместно решать 2s уравнений, а при коррелатном всего r = 2s+3 2s = 3 уравнения. Поэтому полигонометрический ход уравнивают коррелатным способом. Если же величины кти т примерно одинаковы, то существенное влияние на выбор способа уравнивания оказывает простота составления исходных уравнений.
Кроме указанных двух основных способов уравнивания существуют и так называемые комбинированные способы, сочетающие достоинства одного и другого.
Классическая теория м. н. к. предполагает некоррелированность результатов измерений. Однако современный м. н. к. обобщен к на коррелированные измерения.
Рассмотрим основные положения параметрического способа уравнивания.
Пусть в качестве необходимых неизвестных (параметров) ,вы- брапы к величин, точные значения которых обозначим через X}
U = 1, 2, . . к). Заметим, что эти неизвестные не должны быть связаны между собой функциональными зависимостями. В качестве XI могут быть выбраны также к измеренных величин. Измеренными являются п функций этих параметров. Если истинные значении измеренных величин обозначить через Yt, то можно написать п уравнений вида
Yl = <?i(X1, Х.г, . . Xk) (1.2.1)
(i = 1, 2, . . ., п) ji^>k.
Систему уравнений (1.2.1) называют исходной системой связи. Так как истинные значения Yt иам неизвестны, то нельзя определить и точные значения X/* Однако в силу переопределенное™ исходной системы вместо Yt ИХ/ можно подобрать так называемые уравненные значения yt и х/, такие, ято
0t=4>(*i> *2. . . хк), (1.2.2)
причем уi = у\ + Vi, где у\ измеренное значение функции, а щ поправка.
Систему уравпений (1,2.2) пеобходимо привести к линейному
виду.
Разложив для этого функции <p; (xlt х2, . . ., я*) в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными яленами разложения, получим
y'i+vi=at^l + bi6x2 + . . . + £i6a* + <p(®S, zg, . . х%)
или
(1.2.3)
vt = atbx-ibibx-i +. . . + gibxk-\-li.
где свободный .член
(1.2.4)
Здесь х';0) приближенные, однако близкие к точным значения параметров. Их обычно вычисляют по измеренным значениям у'. Первое слагаемое в (1.2.4) представляет приближенное значение функции. Коэффициенты at, Ь, , ,, gi в (1.2.3) суть .частные производные
взятые по истинным значениям параметров, но вычисленные при их приближенных значениях.
Уравнения вида (1.2.3) называют системой уравнений поправок.
Если исходная система (1.2.2) имеет линейный вид, то уравнения поправок также имеют вид (1.2.3), при этом коэффициенты at, bt, I . gt равны коэффициентам при неизвестных х/ в этих уравнениях.
Решение уравнений (1.2.3) при условии [р у2] = min приводит к системе к линейных уравнений с к неизвестными.
Система
+ 8хг +\_/>ас\ дх} +...+[ pag'lSx^ + ^pai] = О
V.
\ра8~\ 8х1 + [/i^]-<£x2 + [р8с~\ 6xj +...+[p8g] Sx^ +\_p8l~\ = 0 \pac] 8x, + [p8c] <?:гг^ Sx} +. .+[pcg\ Sx^ +\_pcl~\ = 0
__ N_ _ _ _ _ _ _
\рад~\ 8х, + \_p8g] 8хг + [peg] 8х}+- ■ + + [pgl ]=0
называется нормальной! 74
В (1.2.5) коэффициенты при 6х (гауссовы суммы) раскрываются
так:
п п
[ров] = 2 Plalah [Pab\ = '2iPlalbl И Т. Д.
Г=1 <=1
По главной диагонали QQ1 этой системы расположены квадратичные коэффициенты, являющиеся всегда положительными числами; коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали, попарно равны между собой
[раб] = [рЬа], [рас] = [рса] и т. д.
В случае равноточных измерений система (1.2.5) имеет вид [аа] 6;ri + [afc] б*2 + [ас] 6х3 + . . . + [ag] + [al] = 0
[а6]бх<-(-[&6]д;Г2+[Ьс]б;гз+- • • + [bg]6®ft+[W] = 0 [ос]бг!+[с6]6а:2 + [ес]6хз + . . .-)-[<#] tafc + [cJ] = 0 ■ J-. (1-2.6) [aff] 6*1 + [bg\ &Ч + [«g] + • • • + [gg] tek + [gl\ = 0 (все p; = l).
Дальнейшая задача заключается в решении системы нормальных уравнений.
Разработанный Гауссом способ решения нормальных уравнений сводится к последовательному исключению из нее всех неизвестных. При этом исходная система заменится так называемой эквивалентной системой уравнений, которая для равноточных измерений имеет вид
[аа] 6*1 -f [аб] 6*2 +[ас] блг3 +. . .+ [ag] e^ + [ai] = 0 [Ы..1]вг,+ [вс1]в*8 + . . . + [Ь*.1]в** + [Ы.1] = 0 [сс • 2] -f-. . . -|- [eg » 2] 6х^ -|- [cl • 2] = 0
(1.2.7)
[gg(k-l)]dxk + [gl (Дг 1)] = 0
Ее получение называется прямым ходом решения. Неизвестные, начиная с последнего, вычисляют из так называемых элими- национиых уравнений, получаемых из (1.2.7) и имеющих вид
[<*1]
dics. . .-
[Ы ■ 1]
1*6-1]
М
[аа]
[“£]
6х2
.(1.2.8)
А„ [6е - 1] .
2 Ta
_ [ab]
[а«]
[аа] “ [аа] [ЬМ]
[ЬЬ-1]
ёхк
6 xk-
[gl (fc-OI [gg (/с 1)]
Этот процесс называют обратным ходом решения.
Коэффициенты при неиавестпых в эквивалентной системе
[ab] [aft] [а а]
[об] • [ai]
Правило раскрытия алгоритма Гаусса. Будем называть алгоритм с цифрой ; преобразованным, а без цифры 'пепреобразовап- ным. Тогда любой преобразованный алгоритм Гаусса равен этому же пепреобраэованному алгоритму минус число дробей, совпадающих с цифрой / раскрываемого алгоритма. Знаменатели этих дробей равны первым коэффициентам (/ 1) эквивалентных уравнений, а их числители произведению двух алгоритмов с той же цифрой, что и в алгоритме впаменателя, причем первый сомножитель условно получается как произведение первой буквы знаменателя на первую букву раскрываемого алгоритма, а второй как произведение второй буквы знаменателя на его вторую букву. Например,
[66. 1] = [66.] [Ы-1] = [Ы\-
[аа]
1C ■ 1
[яа] [66 • 1]
Возможна и неполная форма раскрытия алгоритма, когда раскрываемый алгоритм с цифрой / равен тому же алгоритму с цифрой / 1 минус последняя дробь из полной формы раскрытия. Например,
о, г., [bc'i][bl.l]
[eZ.2] = [cZ.l] [blml] - .
При неравпоточпых измерениях во всех алгоритмах Гаусса приписывается буква р.
Коптроль составления уравнений ошибок производится вычислением в две руки, х Контроль составления и решения нормальных уравнений производится методом сумм:
&i~\~bi-]-ci-{- . • .-|(i I» 2t . ■ n), (1.2.9)
причем
[в]+Ш+[в] + . • .+[*ЖЧ = М. (1-2.10)
или
[pe] + [p6] + [pe] + . . .+[рв] + [р4«[р»1- (1-2.10')
Коэффициенты нормальных уравнений контролируют так:
[flo] + [afc] + . . . + [■*] + [« Ц'=[«]
(1.2.11)
1«г]-Иьг] + - ■ • + [ffg] + [gl] = [г*] i«»]+iы)+.. . + igi\ + m=w
[as] + [6s] +. . .+ [gs] + [b] = [ss]
В схеме Гаусса суммирование выполняется углом;
aa] + |
[ab] + |
[««] + . . .+ |
[«£] + |
[al] = |
[as] |
[&Ы + |
1И + ... .+ |
[Ь?] + |
[«]= |
М |
|
[«] + . . .+ |
М] + |
[cl] = |
[cs] |
||
[гг] + |
[**] = |
[«'*] |
|||
[II] |
[Is] |
||||
[S*] |
Далее:
[aa] + [ab] + [ac)+ . . .-f [a£] + [a/] = [as] [ЬЬ.1]+[Ьс1]+. . . + [bg-i] + [bl-i] = \bs. 1]
(1.2.12)
[|c • 2] +. . . + lcff • 2] + [ci • 2] = [cs • 2}
[gg (*!)] + № (A 1)] = (* 1)1
Заключительным контролем прямого хода решения в схеме Гаусса является выполнение равенств
(1.2.13)
(1.2.13')
или
[И . А] = [Ь . й] = [ss • А] [pH • к] = [pis • Л] = [pss • Л].
Закончив прямой ход решения, переходят к вычислению неизвестных бх/. По мере их вычисления контроль осуществляют под- ~кой найденных неизвестных в эквивалентные уравнения I ♦. ■ 2,1) 4
Получив все неизвестные 6х/, согласно (1.2.8) вычисляют по (1.2.3) поправки £>/ и осуществляют контроль их вычисления на основе выражений
[ду] = 0 [ pay] = О
[Ьу]-=^0 пли [рЬу] = 0 , (1.2.14)
[g*0 = 0 [рН=о
которые представляют собой сокращенную запись нормальных уравнений (1.2.5), (1.2.6) (совокупность этих равенств известна как лемма Гаусса).
Проверяют также выполнение контрольных равенств
или
[pv2] = [pll. ft] =■ [pis > А]. Справедливы равенства
[l>2] [Zt>] = [w] и [ру2]= [plv\ = [psv'\, pi пи пин задачи
Окончательным контролем является соблюдение равенств
y\ + Vl = ф(Я!1, х2, хз, • • Хк).
которые следует проверить при нелинейных функциях (контролируется правильность разложения в ряд).
В линейных задачах достаточно ограничиться проверкой равенств (1.2.14) и (1.2.16).
Составление нормальных уравнений при равноточных измерениях и их решение выполняют с помощью трех схем, приведенных для трех неизвестных.
Схема 1
Mi уравнения |
а{ |
bi |
ci |
I i |
V |
|
1 |
“1 |
bi |
Cl |
h |
*i |
|
2 • • |
#2 |
b2 • • |
c2 • • • |
h |
«2 |
v2 |
п |
ап |
♦ » • bn |
Cn |
Ifl |
sn |
Vn |
Суммы |
(aj |
И |
m |
IS| |
И |
|
Неизвестные |
6*1 |
Ox 2 |
6*3 |
|||
Контроль |
[av] |
[to] |
lev] |
[l>2] |
Схема 2
а] |
Ь] |
с] |
I] |
S] |
Контроль |
|
[а |
[аа] |
[аб1 |
[ас] |
И1 |
[as] |
Расхождение |
[ъ |
[И] |
[6с] |
[М] |
[to] |
до 0,01 |
|
[с |
[сс] |
И] |
[csj |
|||
[1 |
[И] |
[Is] |
||||
(s |
[Si] |
Схема 3
6эС| |
6х, |
бх3 |
i |
S |
Конт роль |
|
l/laa] |
[аа\ (-D |
И] [аб] [aa] |
[ас] [ас] [аа] |
[al] [,al1 [аа] |
[as] [as] [аа] |
|
1/(66 • 1] |
[66 ■ 1] (-D |
[6с-1] [6с 1] [66-1] |
[&г • 1] 1Ы-1] [66-1] |
[6s. 1] [6s-1] [66-1] |
||
1/[сс • 2] |
[«• 2] (-D |
[С/. 2] [сг-2] _ [сс .2] |
[cs ■ 2] [cs • 2] " [cc ■ 2) |
|||
6xi |
Ьх3 |
[гг -3] |
[Is- 3] [ss • 3] |
При небольшом числе неизвестных (к ^ 10) коэффициенты нормальных уравнений следует вычислять до 0,01. С такой же точностью вычисляют и коэффициенты эквивалентных уравнений. Коэффициенты же элиминационных уравнений и неизвестные вычисляют до 0,001. Величины 1/[аа], 1/[66-1] и т. д. в схеме 3 внедены для замены действия деления умножением. Их вычисляют до 0,0001.
Расхождение контрольных сумм эквивалентных строк в схеме Гаусса допускают до 0,010,02 (допуск увеличивается по мере спуска вниз по схеме). Заметим, ято в столбец s выписаны числа из столбца «(контроль» схемы 2.
Схема 3 представляет собой сокращенную схему Гаусса, в которой опущены промежуточные записи, связанные с раскрытием алгоритмов. Все алгоритмы Гаусса в этой схеме получаются методом накопления на счетчиках механических или электрических вычислительных машин. Если выполнить порядковую нумерацию строк в схеме 3, опустив элимипационные строки, то можно сформулировать следующее правило вычисления коэффициентов этих строк: любой коэффициент, расположенный в'{-ой строке и /-ом столбце схемы, равен соответствующему коэффициенту из схемы 2 плюс сумма произведений уже полученных чисел элиминационных строк из столбца г на числа из столбца ), расположенные над ними (в эквивалентных строках). Например, алгоритм [cs-2] (г = 3, / = 5) равен [cs] плюс сумма произведений чисел элиминационных строк из столбца 3 ([ае]/[яо] и [be-1]/[ЬЬ-1]) соответственно на числа [as] и [bs-1] (числа эквивалентных строк пз столбца 5). Неизвестные 6х/ вычисляются по следующему правилу: неизвестное 8х с номером / равно числу /-ой элимипационной строки из столбца I плюс сумма произведений уже вычисленных неизвестных бх на расположенные над ними числа из этой же элимила- ционной строки.
При уравнивании неравноточных измерений описанный нами порядок вычислений остается без изменений. Однако схема 1 приобретает такой вид:
al bi ci |
h 4 |
Ppl Plbi Vlcl Plli Pisl |
vl |
Pi°i |
|
1 2 |
|||||
n |
8.Г! 6хг 6хя [ра\ [рб] [рс] [pi] [ps]
а в алгоритмах схемы 2 добавляется буква р, при этом любой алгоритм Гаусса получается как сумма произведений всех чисел из соответствующих этому алгоритму столбцов схемы 2. Например,
п п
[Р®я] = 2 \РаЪ] = ^ atPibt и т. д.
f-1 ;=1
При неравноточпых измерениях возможна также схема вычислений, соответствующая равноточным измерениям. 13 самом деле, как было показапо в (1.1.24), перавноточные измерения можно свести к равноточным умножением каждого результата па корень квадратный из его веса. При этом уравнения поправок приобретают вид
vi = + + • • ■ + £i&r3 + аналогичный (1.2.3), гдо
al = ai V~Pi, Ь[~Ь, Vpt, . . ., g\ = giV~Pi, v\=viYTi и 11 = 1(УЛ,
[I псе формулы и схемы, полученные для равноточных измерений, остаются в силе, если коэффициенты в,-, bi, . . gi и свободные члены U заменить на а\, Ъ\, . . g[. В концо вычислений необходимо вычислить поправки г>, = Ц: Vpi.
В табл. 1.2.1 даны результаты измерения углов во всех комбинациях (рис. 1.2.1). Уравнять эти результаты параметрическим
способом.
Таблица 1-2.1
>6 углов |
Углы |
Измеренные значения |
Неизвестные |
Уравненные эпачения |
1 |
АОВ |
38« 31' 15,5* |
*1 |
38« 31' 15,62* |
2 |
вое |
46 07 30,0 |
Э?2 |
46 07 29,88 |
3 |
COD |
17 43 46,5 |
17 43 46,87 |
|
4 |
АОС |
84 38 45,0 |
*1 + *2 |
84 38 45.50 |
5 |
BOD |
63 51 16,5 |
Xg + Xg |
63 51 16,75 |
6 |
AOD |
102 22 33,0 |
*1 + *2 +г3 |
102 22 32,37 |
Решение. I. Выберем в качестве независимых неизвестных (параметров) xt, х2, х3 соответственно первый, второй и третий углы. Тогда остальные три угла, зависящие от первых трех, будут представлять собою суммы независимых неизвестных.
(1.2.17)
Записываем уравнения поправок в общем виде
б*!-|-ii = 1>1
d%i ~j~ 12 = ^2
6xj 4-Z3 = v3
6Х| -{- бхд
6l'i -(-6х3 -)- 1Ъ = 176
®Х1 + 6^2 + &Из Ч-1в = г>в
xj0, = 38° 31'15.5';
x<°> = 46 07 30.0;
4»)= 17 43 46,5.
«1 = 0;
Z2=0;
*3=0;
г4=+ 0.8»;
*5 = 0;
гв = 1,0”.
Таблица I-2-2
а |
ь |
С |
1 |
j> |
||
1 |
+ 1 |
+1 |
+0,12 |
|||
2 |
+1 |
+1 |
-0,12 |
|||
3 |
+1 |
+1 |
+0,37 |
|||
4 |
+ 1 |
+1 |
+0.5 |
+2,5 |
+0,50 |
|
5 |
+1 |
+1 |
+0,25 |
|||
6 |
+ 1 |
+ 1 |
+1 |
-1,0 |
+2,0 |
0,63 |
+3 |
+4 |
+3 |
-0,5 |
+9,5 |
[i;2] = 0,874
Таблица L2-3
а] |
Ь] |
с] |
П |
*] |
Контроль |
+3,00 |
+2,00 4,00 |
+1,00 +2,00 3,00 |
1 1 1 Ь^ОО О СЛ СП ООО |
+5,50 +7,50 +5,00 |
+5,50 +7,5 +5,00 |
-1,25 |
0,75 +17,25 |
-0,75 +17,25 |
Выполним решение нормальных уравнений (табл. 1.2.4).
6*1 |
6х2 |
6х3 |
[ |
S |
Контроль |
|
0,3333 |
3,00 |
2,00 |
+1,00 |
0,50 |
+5,50 |
+5,50 |
(-1) |
2,667 |
-0,333 |
+0,167 |
1,833 |
1,833 |
|
0,3745 |
+2,67 |
+ 1,33 |
-0,17 |
+3,83 |
+3,83 |
|
(-D |
(0,498) |
+0,064 |
-1,434 |
-1,434 |
||
-0,5000 |
+2,00 |
-0,75 |
+ 1,26 |
+1,25 |
||
(-D |
+0,373 |
-0,627 |
-0,627 |
|||
6^1 |
8*2 |
дх3 |
0,88 |
+0,89 |
||
+.0,124 |
0,122 |
+0,373 |
+0,89 |
Для оценки точности уравненных неизвестпых. последние необходимо выразить в виде линейных функций непосредственно измеренных величин или свободных членов уравнений поправок, Можно доказать, ято
6xi= <?11 [pf>Z] <?12 [pcZ] (?13 . . . [pg^Qik
dx2={pal]Q21 [pbl]Q2i [pcl]Q23. . . [pgl]Qik 6*3 = [pai](?3i [pbl]Q32 [ре/](?зз . . . [pgl]Q3k 1» (1-2-18)
6xk = [pal]Qkl [pbl]Qk2 [pcl]Qk3- ■ - [Pgl]Qkk
где Qij так называемые весовые коэффициенты, определяемые из решения к систем нормальных уравнений с теми же коэффициентами, что и в системе (1.2.5), но с разными свободными членами, равными к столбцам вида
(1.2.19)
Из каждой системы весовых уравнений можно определить к весовых коэффициентов. Всех весовых коэффициентов при к неизвестных будет к2.
Веоовые уравнения решаются одновременно с нормальными Уравнениями и в той же последовательности, используя одни и те значения коэффициентов первого к-то столбца схемы 3. Зна- непия свободных членов каждой "системы весовых уравнений вносятся в дополнительный столбец.
В схеме 3 для единообразия обозначения свободные члену (1.2.19) весовых уравнений, равные 1 или 0, имеют вид
/[ра2]Л /lpalh\ /[pal]k\
I Ipblh \ / [pMh \ / tpblh \
Vtpgiii/ \[pgi]J \\pgi]J
С этими обозначениями весовые коэффициенты вычисляются по тем же формулам, что и неизвестные 6х/. .Контролем вычислений служит свойство весовых коэффициентов Qij = Qji. Так, в примере (1.2.6) по схеме 3 получим следующие весовые коэффициенты (таблица 1.2.5).
Таблица 1.2-5
Qll |
°2/ |
«з 1 |
h |
U |
1з |
+3,00 |
+2.00 |
+2,00 |
1 |
0 |
0 |
-1,00 |
-0,667 |
-0,333 |
+0,333 |
0 |
0 |
+2,67 |
+ 1,33 |
+0,67 |
-1,00 |
0 |
|
-1,000 |
0,498 |
-0,251 |
+0,374 |
0 |
|
2,00 |
0 |
+0,498 |
1,00 |
||
-1,000 |
0 |
-0,249 |
+0,500 |
||
/+0,500 |
0,250 |
0 \ |
/ |
<?is\ |
|
-0,250 |
+0,499 |
-0,249 ( = |
= (?2l(?22 |
O23 I |
|
\ 0 |
-0,249 |
+0,500/ |
\Q 31<?32 |
<?33 / |
(столбцы I и s здесь опущены).
Преобразовав в схеме Гаусса все дополнительные столбцы, сначала, как и неизвестные, вычисляют весовые коэффициенты QS3, @32> <?3i п0 третьему преобразованному столбцу, затем Q23, <?22, Ол по второму и, наконец, (?13, <?12, 9ц по первому.
Исходя из (1.2.18), можно доказать, что обратные веса неизвестных
Поэтому средние квадратические ошибки
mxj = ^ (1.2.20)
где ц ошибка единицы веса, определяемая формулой
■ <L2-211 (обобщение формулы Бесселя, получаемой при к = 1).
В случае равноточных измерений
niXj = m ~\f Qjj, (1.2.22)
где
Так, в примере 1.2.5
“-/S-0'54'
п
тх< = тх> = тх% = 0,54 1^0,50= 0,38”.
Заметим, что гц = Qtj/YQii'Qil есть коэффициенты корреляции между уравненными i-ым и /-ым неизвестными. Так, коэффициент корреляции между первым и вторым
0.250 0,250 nq
Г1'г У 0,500 ■ 0,500 0.500
Для функции
F = / (*1, *21 • ' м
где xj урйвнеппыс неизвестные, обратный вес можно найти по формуле
77=2 Фи+2 2ftfiQii (1,2-24)
i<j
(*i / = 1» 2» • . •, к)
где коэффициенты
*-(£)•
Так, в примере 1.2.5 обратный вес суммы уравненных углов . /, = 11-Ь*2 + 1з (I-2-25)
(шестой угол) найдем, учитывая, что все // = 1 но формуле (1.2.24),
=0.50+0^0+0,50+2 (0i2 + 9x3 + ^2s) =
"f
= 1,50 + 2 (0,250 0,250) = 0,50.
Если же весовые коэффициенты неизвестны, то справедлива
формула
1 -/? Г/а- И2 f/a• 2]2 Г/fe ■ (^ DP ,T92fi,
/V (аа] [66-1] lcc2j '•* |яг • (к-1)] V 1
в которой алгоритмы
й-ч-л-^л, <L2-27
[/.•21 = /,-gfl-f^[/a-l] (1.2.28)
и т. д. Ясно, что отдельные слагаемые формулы (1.2.26) могут быть получены в схеме решения Гаусса путем введения дополнительного столбца I, если условно считать, ято
h=\al], h = [M\ 1к=\чЧ, /а+1 = °-
При этом указанные алгоритмы Гаусса, имеющие одну букву, раскрываются так же, как и алгоритмы [Ь1 • 1], [с/ • 2] и т. д.
Для контроля вычислений служит формула
[Л
Рр
Si/i [st •!][/»-11
[аа] [66-1]
(1.2.20)
[St (* 1)] [/*№-!)]
в которой вновь введены суммы
2i = M-[«J] + /i
(1.2.30)
2a = fH-[bi] + /2
• t » I I I М I
символом 2 следует условно
S*=i 9*]-[«ч+л
Для раскрытия алгоритмов с считать, ято
2i=№ 2в=[ы]
Найдем обратный вес функции (1.2.25). Добавив в схему Гаусса два дополнительных столбца
1 |
2 |
1,оо |
7,00 |
1,00 |
9,00 |
1,00 |
7,00 |
и выполнив преобразование их, получим (табл. 1.2.6)
По формулам (1.2.24) и (1.2.26) можно определять также обратные веса уравненных значений неизвестных. Например, если требуется определить обратный вес неизвестного х3, то необходимо принять /, = /2 = /4 = . . . = = fk~ 0;/3= 1. Тогда последняя примет вид
Р = хг.
Таблица 1.2.6
. 1 |
2 |
+1.00 |
+7,00 |
-0,333 |
-2,333 |
+0,33 |
+4,33 |
-0,124 |
1,622 |
+0,51 |
+2,51 |
-0,254 |
-1,249 |
1 = -0,50 |
-0,51 |
Рр |
Средняя квадратическая ошибка функции определяется формулой
Уравнения поправок (1.2.3) можно записать в виде
v= A Ax-\-L,
где векторы (матрицы-столбцы)
а матрица
(
<*i ii » . * ft'
аг b2 ... g2 • • • • •
аа Ьп • • • SnJ Введя диагональную матрицу весов 'Pi
Р2
Ра/
нормальные уравнения запишем в виде
ЯДх+6=0, (1.2.31)
где матрица
[
\раа\ [раЬ] . . . [ра^П • • • I. (1.2.31'.)
[,pag] [pftg] ... [pgg] J
a вектор свободных членов
[
[ро6]“| l.pW.1 ■ [PSilJ
В случав равноточных измерений матрица Р = Е,
где
Выражению (1.2.18) соответствует матричная форма
(1.2.32)
Так как по свойству обратных матриц RQ = Е, то сразу следует
описанный ранее способ вычисления весовых коэффициентов решение к систем вида RQj Е\= 0, где Q\ = /-ый столбец матрицы Q, a F] /-ый столбец матрицы F.
При оценке точности сразу нескольких функций получаем йатрицу Qp = }QfT, диагональные элементы которой соответствуют обратным весам (1.2.24) (/ матрица, содержащая строки из коэффициентов // функций).
Схема сети представлена на рис. 1.2.2, исходные данные в табл. 1.2.7, результаты измерений в табл. 1.2.8.
Таблица 1.2.7
i/W2
Рис. 1.2.2
Отметки исходных марок, м
Ml марок
М 30 ЛГ31 Л/32
183,506
192,353
191,880
Приближенные значения отметок реперов
*'» = 189,641 м, *20) = 197,967 м, 4°> = 190:950 м.
№ ходов |
Превышение, м |
Длина хода, нм |
Вес р. = -£- Ь1 |
1 |
+6,135 |
33,0 |
1,21 |
2 |
+8.343 |
33,9 |
1,17 |
3 |
+5,614 |
30,4 |
1,31 |
4 |
+ 1,394 |
32,7 |
1,22 |
5 |
-6,969 |
31,8 |
1,25 |
6 |
0,930 |
29,9 |
1,34 |
7 |
+6,078 |
34,5 |
1,15 |
Уравпения поправок
+ 6я2 |
1,7 |
= Pl. |
|
+6^2 |
= v3> |
||
+8х3 |
8,5 |
= »4, |
|
6^2 |
+бг3 |
4.S |
= vb> |
+бг3 |
= »е, |
||
+ бх2 |
+0,9 |
= v7. |
Свободные члены выражены в сантиметрах.
Веса измерений вычисляем по формуле pi = 40/Li.
В табл. (1.2.9) и (1.2.10) приведены коэффициенты уравнений □оправок и нормальных уравнений *.
Таблица 1.2.9
Л* уравнений |
а |
ъ |
С |
(, см |
S |
Р |
v, см |
1 |
+ 1 |
0 |
0 |
0,0 |
+1,0 |
1,21 |
-2,64 |
2 |
-1 |
+1 |
0 |
1,7 |
1,7 |
1,17 |
. +0,08 |
3 |
0 |
+1 |
0 |
0,0 |
+ 1,0 |
1,31 |
-0,85 |
4 |
-1 |
0 |
+1 |
-8.5 |
8,5 |
1,22 |
-2,69 |
5 |
0 |
-1 |
+1 |
4,8 |
4,8 |
1,25 |
-0,77 |
6 |
0 |
0 |
■ +1 |
0,0 |
. +1,0 |
1,34 |
+3,17 |
7 |
0 |
+1 |
0 |
+0,9 |
+ 1,9 |
1,15 |
+0,05 |
-1 |
+2 |
+3 |
-14,1 |
-10,1 |
|||
&г |
-2,64 |
0,85 |
+3,17 |
||||
1 |
0,00 |
0,01 |
0,01 |
* Если коэффициенты уравнений поправок равны ± 1 или 0, столбцы ра, р Рс можно не добавлять.
Px, = lcc21 = 2.80, ^ = -^-=2,80.
^ со ЛЮО м «о со 1 |
|
+2,21 +3,46 +0,34 |
|
• Ь. |
ООО °ss- + 1 |
W ь. |
+1,00 0 0 |
Контроль |
+13,57 +7,51 15,03 +122,30 +128,35 |
J^ *9 |
+13,57 +7,51 15,03 +122,30 +128,35 |
+12,36 +5,05 -16,37 +121,26 |
|
V |
CM irt т-* 0^04 00 чн СО 1 1 + |
1,17 +4,88 1 |
|
o |
+3,60 |
Л U Ъ) а. о, о, о, а. |
Таблица 1.2-10
Решение системы нормальных уравнений приведено в табл. 1.2.11.
В результате проведенного решения полуяены следующие значения неизвестных:
*1=189,641 м2,64 мм= 189,614 м,
аг2 = 197,967 м0.85 мм = 197,958 м*
хг= 190,950 м+3,17 мм = 190,981 м.
Средние квадратические ошибки единицы веса и километровая ошибка равны
ЛГ'32Д2 оок у 2,85 см,
m,<M= ==0,45см- Вес последнего неизвестного найден дважды
J_
Q33
Вес первого неизвестного также полу- яен дващцы
^. = ^=265' ^.= ^г=265-
Вес предпоследнего неизвестного
р*>~!^=3'70> р».= Шг',-=3'70-
Ошибки:
mxi = I1 V 0и = 2,85 0,3763 = 1,75 см,
YQzz = 2,85 V0,2700 =1,48 см, mXi = yiVQ33 = 2,85 Y0,3578 = 1,70 см,
mFi = ц =2,85 V'0.3660 = 1,72 cm.
После введения поправок в измеренные величины полупим
h\ = J6,108q и, h% ~ Н”8,343з м,
^з =+5,6055 м, Л-4 = |1,367з м,
= “6,9767 Лд = 0,8982 м>
hj= -|-6i078qM,
Дополнительным контролем вычислений является равенство нулю сумм уравненных превышений в каждом замкнутом полигоне.
Ьх2 |
6х3 |
1 |
S |
Контроль 1 |
Qi |
<?2 |
<?з |
SQ |
Контроль 2 |
Fi |
F2 |
s |
Контроль 3 |
|
+3,60 (-1) |
1.17 +0,325 |
1,22 +0,339 |
+12,36 -3.433 |
+13,57 -3,769 |
+13,57 3,769 |
1,00 +0,278 |
0 0 |
0 0 |
+1257 3,492 |
-3,491 |
+1,00 -0,278 |
0 0 |
+2,21 0,614 |
+2,21 0,614 |
4,50 (-1) |
-1,65 +0,366 |
+9,07 -2,015 |
+11.92 -2,649 |
+11,92 -2,649 |
0,32 +0,072 |
-1,00 +0,222 |
0 0 |
+10,60 -2,355 |
+10,60 -2,355 |
+0.32 -0,072 |
+1,00 -0,222 |
+4.18 -0,929 |
+4,17 -0,928 |
|
+2.80 |
8.86 +3.171 |
-6,07 +2,172 |
-6.06 +2,171 |
-0,46 +0,164 |
-0,37 +0,131 |
1,06 +0,357 |
-7,89 +2,818 |
-7,90 +2,823 |
+0,46 -0,164 |
-0,63 +0,227 |
+2,62 -0,936 |
+2,63 -0,937 |
||
32,44 |
32.44 32.44 |
0,376 |
+0,031 -0,366 |
-0,345 -0,333 |
-0,345 -0,335 |
Ьх2 |
||
■2,636 |
•0,855 |
+3,171 |
Весовые коэффициенты
+0,376 |
+0,132 |
+0,164 |
+0,132 |
+0,270 |
+0,131 |
+0,164 |
+0,131 |
+0,358 |
Для случая уравнивания нивелирных сетей и узлов в сети полп- гонометрип проф. В. В. Попов предложил следующие правила составления нормальных уравнений с помощью чертежа сети:
а) квадратичные коэффициенты нормальных уравнений в строке t раины сумме весов ходов, сходящихся в узле стем же номером i,
б) неквадратичные коэффициенты, расположенные в строке i и столбце равны отрицательному весу хода, соединяющего узлы с номерами i и J,
в) свободные члены нормальных уравнений получаются суммированием величин ±pl тех ходов, которые сходятся в узле i, причем, если узел является конечной точкой хода,' то ставится знак «+*, а если начальной, то, «».
Например, для нивелирной' сети (см. рис. 1.2.2) нормальные уравнения будут
Р2&х1 + (Р2 + PS + РъЛ-Рт) Рь$х3 + = О,
Р РъЬх 2 + (Pi + рЪ + Ре) + Ъ3 = 0,
а свободные члены
&1 = pylx P2I2 Р4«4> b%= Pzh-r Psh~ Ръ^ъ~\~ Pih Ьз ~ P4fi+Pbh + Pe^e •
Решение этих уравнений выполняется обычным образом.
Для истинного значения F любой функции можно построить доверительный интервал в виде
F t$mF ^~F ?SiF-\-t$mF, . (1.2.33)
где F значение функции, вычисленной по уравпенным неизвестным.
Коэффициенты tp выбираются по вероятности Р и числу степеней свободы г = п fc из таблиц распределения Стьюдента.
В частном случае для точных истинных X\ имеем доверительныо интервалы
*/ «S Xj sS xl-\-t(imxr
Так, для отметки xi уравненного репера 1 при доверительной вероятности р = 0,90 и г = 4 имеем = 2,40 и интервал
189,615 м-2,4 м X 1.75 см Xj ==S 189,615 + 2,4 X 1,75
или
189,573 X} 189.657.
Иногда результат уравнивания, как указывалось выше, записывают в виде
xj ± mXj,
что соответствует доверительному интервалу при f) я» 0,7.
Доверительный интервал для стандарта единицы веса строят d виде
■YiH < ог0 ^ угМ'» (1.2.34)
причем коэффициенты
1 Г пк if п к
'•■“Ктг Vs*V•
а х1 и Ха выбираются из таблиц распределения %2, как описано в (1.1.21), но по числу степеней свободы г = л к. Так, для стандарта о0 при Р = 0,90 и г = 4 будем иметь Хх = 9.5. х! = 0,71 в доверительный интервал
^Vm285'
1,8 CM^a0=S6,8 см.
Для стандарта функции aF доверительный интервал будет Yimp^aF sc уг mF,
а для стандарта аХ[
Vi тх.^ах1^у2тх}.
Например, для aXi в этом же промере будем иметь доверительный интервал
1,1 см ^ о, ^ 4,2 см.
А-1
Иногда вместо построения доверительного для ст0 интервала вычисляют ошибку ошибки т-р я=г ц//27 и пишут интервал в виде
В. КОРРЕЛАТНЫЙ СПОСОБ УРАВНИВАНИЯ
Условные и нормальные уравнения коррелат
В силу того что в геодезических сетях число измерений п$> к, истинные значения измеренных величин Yi должны удовлетворять г = п к точным математическим уравнениям вида
fl(Yv У2 Уп) = 0,
(i = l, 2, . . г)
называемыми условными уравнениями.
Поскольку истинные значения У г нам неизвестны, заменим их в (1.2.35) уравненными значениями щ, такими, ято Yi = у[ + р*, где vt, как и ранее, поправки в результаты измерений у\. Тогда вместо (1.2.35) получим уравнения
г/2+г2, • ■ -1 Ул+Рл)о.
Эти уравнения необходимо привести к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора. Сделав это, получим условные уравнения
(1.2.36)
alvll\-a2v2~\~ - ■ •Jranvn-\~w 10 Ь2»2~{- ЪпУц-\- W2 = 0
?lt,l_b92t,2+• • • + 4tlvn + wr 0 ,
где коэффициенты
(индексы снизу у скобок означают, что производные вычисляются по измеренным значениям у[). Свободные члены в (1.2.36)
= У г, • • •> У'п)
равны вначениям функции //, вычисленным по результатам измерений у{, и носят название невязок.
Условные уравнения (1.2.36) удобно писать в сокращенном
[?у] + ш2 = 0. (1.2.37)
виде
[о1>] + ш1=0, [Ьи] + ш2 = 0,
В отличие от параметрического способа далее возникает задача отыскания минимума функции Ф= [р v2] при условиях (1.2.37) (условный минимум). Действуя по правилу Лагранжа, к функции Ф присоединяем условные уравнения (1.2.37), умноженные соответственно на вспомогательные множители коррелаты klt к2, . . кг. После дифференцирования полученного выражения по vl будем иметь выражение поправок
(1.2.38)
vi я; (а^х-Ь bihz-j- • • . -f- Qlkr),
1
iде я; = обратные веса, и нормальные уравнения коррелат
[лаа] [лвб] ft2+. .. [naq] kr + u> 1 = 0 )
[лаб] А1+[яЬЬ]/с2+. . . + [яЬд]/|> +u>2 = 0 I (i.2.39)
\naq\k1 + \nbq\ki+. . . + [nqq\kr-\-wr = Q J
число которых равно г.
Решая эти уравнения, находим коррелаты kj, затем поправки vi и уравненные результаты измерений и их функций,
Составление условных уравнений производят в две руки. Контроль составления коэффициентов нормальных уравнений коррелат пр'оизводят методом сумм, следующим образом
«/+Ь< + с/ + -•- + 9< = si (1.2.40)
(1 = 1, 2, . . ., п)
[а] + [Ь] + [с1+> . . + [}] = [*'].
Затем
[яво] + [яаЬ]+[яас]+. . . + [яяд] = [яа«']
[яаЬ] + [яЬ6] + {яЬс]+.• . + [я6д] = [яЬ«'] | (1.2.41)
[яад]+[я6д]+[ясд] + . . . + [ядд] = [я^'1
Далсо
(1.2.42)
[яв*'] + ю1=21, И>«'] + ш2 = 22 ["««'] + »/•= 2<-
Решение системы нормальных уравнений по схеме Гаусса контролируют
[лаа] + [яаЬ] + [яос] + . . . + [nog] + u>i= 2i ^
[л&Ь ■ 1] + [яЪс • 1] +.. . + [лbq -1] + [w-i • 1] = [2a • l] [ясс.1]+. . . + [яс9.2] + [и>3.2]= [23-2]
[яqq (г 1)] + [wr (г 1)] = [2, (г 1)]
(1.2.43)
95
Заключительным контролем решения системы нормальных уравнений коррёлат является
[ц'з • 2]а [иу(г-1)]2
-1»' - [Si ”* --Цгтг • '--feif•2|-
[л?9 (г 1)]
Алгоритмы [и>2 • 1], [wa • 2] и т.д. в системе уравнений (1.2143) и формуле (1.2.44) раскрываются аналогично (1.2.27) и (1.2.28). Например,
. [яаб]
[Wi.l] = W2--Ю1;
. [яас] [ябс • 1] [и>2 • 1]
[w3-2]=^3Wiт^Г]ит-д-
После вычисления поправок v по формуле {1.2.38) производят заключительный контроль
[р„2] = _[*«,]. (1.2.45)
Результаты, полученные по формулам (1.2.44, 1.2.45), должны быть равны между собой.
Рассмотрйм наиболее часто встречаю 1циесл виды условных уравнений в геодезических сетях.
Пусть имеем простую сеть триангуляции (вставка в угол) (рис. 1.2.3).
В этой сети возникает всего г = 9 4 = 5 условных уравнений (п = 9, к = 4 удвоенное число координат определяемых пунктов),, в том числе:
а) три условных уравнения уравненных фигур
ui+ v2 v3 + wi=
14+г5 + 1'в+“,2=01
и7+ ^8+ v9~\~ w3= 0,
где невязки w равны разностям между суммой измеренной в треугольнике углов' и 180“;
б) условное уравнение жесткого угла
Vi -f- w = 0,
где певяэка
v^y'i + y'i + yi L ЛОВ-,
в) базисное условное уравнение, выражающее требование совпадения длины стороны ОВ с ее значением, вычисленным по уравненным углам от стороны О А.
В отличие от предыдущих это уравнение имеет нелинейный вид и носит название синусного условного уравнения. В линейном виде оно составляется по следующему правилу: 1) выбираем направление подхода от стороны АО к стороне О В (показано стрелкой); 2) последовательно по каждому треугольнику намечаем
А
РИС. 1.2.3 Рис. 1.2.4
углы, лежащие против передней и задней по ходу стороны (углы 2, 5, 9 и 3, 6, 8); 3) пишем условное уравнение
A5V5-I- Лз^з Agi>g-|- w = 0, (1.2.46)
где А; изменение логарифма синуса угла с изменением угла на одну секупду, выраженное в шестом знаке логарифма, а невязка
, «1 • sin 2 • sin 5 • sin 9 /т „
Ш • sin 3 • sin 6^sin 8 * (I247)
u В центральной системе (рис. 1.2.4) кроме трех условных уравнений фигур возникает условное уравнение гориаонта
ll + t'4+l'7+U'=0,
где
«> = + y"i 360?
и полюсное условное уравнение, составляемое так же, как и базисное, с той разницей, ято начальная и конечная стороны здесь совпадают, а направление обхода выбирают, например, от стороны АО
я к пей же подходят. Условное уравнение также имеет вид (1.2.46), но в выражешш (1.2.47) = s2.
Рис. 1.2.5
В этом ходе возникает условное уравнение дирекционных углов
П
где невязка
= ССначЧ“ 2 Р* лев акон 180® (л 1),
и два условных уравнения координат 2
где невязки
п
*x = XA+'2lAxi-xL, i=»l
”v=ya+2>^~ya-
i-1
В последних двух уравнениях поправки приращений координат следует заменить поправками непосредственно измеренных величин углов и линий. Заметим, ято координатные условные уравнения возникают также в сети триангуляции.
В этой сети число условных уравнений г п к = 5 2=3 (в зисло всех ходов, к число узлов). Возникающие в этой
сети условные уравнения называют полигонными, и они для выбранных трех полигонов имеют вид
^1+;3+У4+'»1 = 0
”1+^2+ ^2=0,
у4+у5+ w3=0,
•где невязку w вычисляют как разность между данными отметками конечных марок и этими же отметками, но полученными от отметок
В
начальных марок по измеренным превышениям. Аналогичный вид имеют условные уравнения и в замкнутых полигонах, не содержащих твердых марок.
Полигонные условные уравнения возникают и в полигонометрп- ческой сети, но они имеют более сложный вид.
В отличие от параметрического способа при коррелатном способе уравнивания функцию составляют в виде
F = f (У и У г Уп)-
После разложения в ряд получим ее выражение
где коэффициенты
/i==("S})yr*r
а свободный член
fo = f (У1-. Уг< • • ч Уп)'
Сравнивая (1.2.48) с (1,2.36), замечаем, что выражение (1.2.48) имеет вид условного уравнения. В некоторых случаях это уп{ющает составление функций. Например, при оценке точности длины стороны дс (см. рис. 1.2.3) функцию составляют точно так же, как
бааисное условное уравнение от стороны О А к стороне ДС. При оценке отметки репера 1 (см, рис. 1.2.6) функция совпадает с условным уравнением между маркой А и репером 1 (так называемый восовой полигон). Свободный ялен /0 в (1.2.48) не вычисляют, так как при оценке точности его не используют.
Обратный вес функции получают в виде алгоритма Гаусса
1 fnff - rl Гл Н\ [яй^2 * II2 [щ!(г\)]г
Т~ ~fП// Г] ~ [П}1] ПггГ [Яб~1]2 [*qq(r- 1)] •
(1.2.49)
и он может быть вычислен попутно с решением нормальных уравнений добавлением к схеме Гаусса столбца F с элементом [да/], (лб/J,... , [я qf\.
Контрольная функция имеет вид
*
Рр [паа]
(1.2.50)
[ngf.jr 1)] [n/s(r 1)| [nqg (г 1)]
где
С учетом этого схемы для составления нормальных уравнений имеют тот же вид, ято и в параметрическом способе уравнивания, однако с той разницей, ято столбец I заменится столбцом /. Роль столбца / в параметрическом способе играет столбец невязок и>. Средняя квадратияеская ошибка функции
в которой ошибка ц (или m при равноточных измерениях) вычисляется, как и в параметрическом способе, по формуле
,=|/is (та=|/Ж).
Систему условных уравнений (1,2.35) можно записать в впде
BV+W = О, (1.2.51)
где матрица
/а± аг ... ап'
w =
а векторы
V=
\Vn/ \wr
Введя диагональную матрицу обратных весов измерений 1
1
Рг
Pi
р-1 =
_1_
нормальные уравнения получим в виде
(1.2.52)
NK + u> = О,
где матрица
[яад]' [яб?]
• [Я qq\J
/[яаа] [яаб] . дг_др-1дт = | [яаЬ] [яЬЬ] ,
\[ла7] [лбд]
а вектор коррелат
Я =
Определив из решения (1.2.52) вектор коррелат (решение можно выполнять в виде К = iV"1 И^), получим вектор поправок
(1.2.53)
V=P-^BtK,
ято соответствует (1.2.38).
Обратный вес функции получают в виде
(1.2.54)
. = fp-lf _/р-1ДТ . JV-1. BP-If*,
где
/= (/i> /а» ■ ■ •• /»)■
ято соответствует алгоритму Гаусса (1.2.49).
На основании (1.2.54) можно найти матрицу Qp весовых коэффициентов сразу нескольких функций, при этом матрица / будет состоять из нескольких соответствующих функциям строк.
Можно доказать, ято стандарт невязки /-го условного уравнения выражается формулой
У N ц, (1.2.55)
где Njj соответствующие диагональные элементы матрицы коэффициентов нормальных уравнений. Если стандарт единицы веса ст9 неизвестен, то вместо (1,2.55) имеем среднюю квадратическую ошибку невязки
та>1=рУЩ
Допустимая невязка определяется формулой {wj)AOn = te,aoyNYi
или
(wl)доп = У N//. (1.2.56)
При равноточных измерениях вместо Оо и ц следует иметь в виду о и то.
Обычно в зависимости от точности и ответственности работ принимают
«р = 2,5 или 3,
ято соответствует вероятностям р = 0,99 или 0,997 (чем точнее измерения, тем меньше to).
Пример. При измерении углов в триангуляции с точностью
о => 2- наибольшая невязка условных уравпепий фигур получеиа равной 12 е, Проверить ее допустимость, припяв (3 = 3.
Решение, Так как нормальное уравнение имеет вид
ЗАу+И'/ = 0,
то (Nu) = 3 и
(Wi)aon = 3-2 ./.”=10,4',
следовательно, невчзка недопустима.
Аналогичный образом подсчитываются допустимые значения невязок п в других условных уравненных,
Ураппяом нивелирную сеть (см. раздел 1.2.9). В этой сети возникает г = 7 3=4 условных уравнения или полигона, показанных па рис. 1.2.7.
Условные уравнепия полигонов имеют вид
v.t vi+v5-\-w1 = 0,
Vb+vevi+w2 = 0,
viv2 + + w3 = О,
y3+i;7 +ш4 = 0.
Оценим также точность функций отметок реперов 1, 2 и 3, составив весовые функции по ходам 1, 3 и С (весовые полигоны). В табл. 1.2.12 и 1.2.13 приведены коэффициенты условных и нормальных уравнений.
Решение нормальных уравнений по схеме Гаусса выполпепо в табл. 1.2.14.
Обратим внимание, ято последняя схема предусматривает двойной контроль. Второй контроль получается вычитанием из чисел в столбце «контроль 1» чисел нз столбца W и прибавлением чисел из столбцов Flt Рис. 1.2.7
Контроль вычисления обратных весов (или матрицы QF) выполняется так же, как и в параметрическом способе (см. раздел 1.2,9).
По найденным значениям коррелат в табл. 1.2.14 получены поправки vi и произведен заключительный контроль вычислений:
[рр2]= [кш].
После введения поправок v в измеренные значения получены уравненные значения превышений и отметок реперов
hi - +6,108б м,
h2 = +8,343а м, HRpl = 189,614в,
= -f* 5,6055
Л4=+1,3672 м, Яйр2 = 197,958s,
J15 = 6,9767 м,
Аа = 0,898j м, BRp 3 = 190,981g.
<4 |
Ь] |
«] |
<Л |
и\ |
М |
/.] |
Контроль |
W |
2 |
|||
[па |
2,47 |
-0,80 |
-0,85 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,82 |
0,82 |
-2.00 |
-1.18 |
|
[яЬ |
2,42 |
0 |
-037 |
0 |
0 |
0,75 |
1,50 |
1,50 |
3,90 |
-3,15 |
||
[пе |
2,44 |
0,76 |
0,83 |
0,76 |
0 |
0,76 |
0,76 |
-1,70 |
-0,87 |
|||
[яй |
1,63 |
0 |
-0.76 |
0 |
-0,76 |
0,76 |
-0,90 |
-0,90 |
||||
л/г |
0,83 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
я/л |
0,76 |
0 |
0,76 |
0,76 |
||||||||
я/з |
0,75 |
1,50 |
1,50 |
ft. |
ft. |
ft. |
ht |
w |
s |
Контроль 1 |
/. |
/. |
s |
Контроль 2 |
|
+2,47 (-D |
-0,80 +0,324 |
-0,85 +0,344 |
0 0 |
2,00 +0.810 |
-1,18 +0,478 |
-1,18 +0,478 |
0 0 |
0 0 |
0 0 |
10,82 -0.266 |
1,18 +0,478 |
(0,4630) |
2,16 (-D |
-0,27 +0.125 |
-0,87 +0,403 |
-4,55 +2.107 |
-3,53 +1,634 |
-3,53 +1,635 |
0 |
0 |
+0.75 -0,347 |
+1.77 -0,820 |
1,77 -0,819 |
(0.4739) |
+2,11 (-D |
-0,87 +0,412 |
2,97 +1,407 |
-1,73 +0.820 |
-1,73 +0,819 |
-0,83 +0,393 |
+0,76 -0,360 |
+0,10 -0,047 |
+ 1,26 -0,597 |
+1,27 -0,602 |
|
(1,0870) |
+0,92 (-D |
3,95 +4,294 |
-3,03 +3,294 |
-3,03 +3,294 |
-0,34 +0,370 |
-0,45 +0,489 |
+0.34 0,370 |
+0,47 -0,511 |
+0,47 0 511 |
||
+3;274 +4,237 |
+3.174 |
+4,294 |
-32,34 |
-32,33 |
|
+0,38 |
+0,13 +0.27 |
+0.16 +0,13 +0.36 |
+0,67 +0,54 +0,65 |
+0.67 -f-0,53 +0,65 |
Средние квадратические ошибки единицы веса и одного километра хода равны
= 0,45 см.
ткн = £=■ = 0,45 см.
У 40
Средние квадратические ошибки функции
В пределах точности вычислений полученные результаты совпадают с результатами уравниваппя этой же сети параметрическим способом.
Доверительные интервалы строят так же, как и в параметрическом способе,
В случае, если полигонные условные уравнения имеют коэффициенты ± 1 или 0, нормальные уравнения можно получить, пе составляя условные уравнения. При этом схему сети необходимо предварительно подготовить, пронумеровав на ней все ходы от 1 до I и полигоны от 1 до г = I то, где то число узловых точек. Следует выбрать также направления ходов и полигонов и выписать измеренные величины (сумму углов или превышений) и обратные веса ходов (например, число углов или длины ходов). Сделав это, нормальные уравнения составляют по простым и удобным правилам, предложенным проф. В. В. Поповым:
а) квадратичные коэффициенты нормальных уравнений в строке i равны сумме обратных весов ходов, принадлежащих (-му полигону,
б) неквадратичные коэффициенты, расположенные в строке i и столбце / равны обратному весу хода, принадлежащего полигонам i и /, причем взятому со знаком «+», если направления этих полигонов совпадают и «* в противном случае.
в) свободный член i-ro нормального уравнения равен невязке i-го полигона.
Ясно, что каждому (-му полигону (условному уравнению) соответствует t-ля коррелата.
Решив нормальные уравнения, получают все коррелаты и далее поправки в измеренные в каждом ходе величины (в сумму углов или превышений) по правилу: поправка и/равна обратному весу Я/, умноженному па сумму коррелат тех полигонов, которым принадлежит i-ый ход, причем, если направление хода и полигона не совпадают, то коррелата берется с обратным знаком.
Так, для сети (см. рис. 1.2.7), имеем нормальные уравнения
(Я2+Я4+Я5) ki Л5Л2 Я2А3 + И71 = О
(1.2.57)
(л6+Яв + Я7) n-]k$-\-W2 = 0
^2^1+ (Л1"Ь Па+Яз) Я3АГ4 -)- W3 = О
Л 7^3-Ч3А:3+ (Я3 + Я7) А'4 И74 - О
Определив из решения (1.2.57) коррелаты, поправки вычислим по формулам
1>1= Jli&3,
v2 = n2(k1 k3)
п т. Д.
Для оценки точпости отметок узлов выбирают весовой полигон от твердой точки до оцениваемого узла. Дополнительный столбец в схеме Гаусса тогда получается по тем же правилам, по которым составляются нормальные уравнения. Например, если для оценки точности отметки узла 1 выбрать полигон, совпадающий с первым ходом, то получим
[ля/] = 0,
[л bf] о,
[лс/] = пг,
[л df] = о,
[л//] = я1.
Способ В. В. Попова применяется и при раздельном уравии вании полигонометрической сети.
Проф. II. А. Урмаев упростил применение двухгруппового способа Крюгера к уравниванию углов в сетях триангуляции. При этом в первую группу относят все условные уравнения фигур треугольников без пересекающихся диагоналей. Эти условные уравнения не содержат общих поправок. Поэтому нормальные уравнения первой группы имеют вид
3kj+u>j = 0 и не содержат общих коррелат.
Затем измеренные углы исправляем первичными поправками. По этим углам вычислим невязки условных уравпепий второй группы п преобразованные коэффициенты этих уравнений. В каждом треугольнике они вычисляются оо формулам
Решая каждое уравнение, относящееся к /-ому треугольнику, получим первичные поправки
Ai ах а/,
A2 = oL2aj,
A3 = аз а/
премепио полагаем, что углы в треугольнике имеют спого нумерацию), _
Вз = Рз Р/.
где
_ 1 v
а/ = -у- (а1 + а2+«з)
(1.2.58)
Р/ = -3_ (Рг + Рг + Рз) ]
Контроль: для каждого треугольника [А] = [В] = 0. Аналогично преобразуются коэффициенты функции /ь которую целиком относят во вторую группу:
F\ = 1i~ 7/.
Ft h//*
Fs = h 7/t
где
tl = \(h + h + h)> (1-2.59)
Обратный вес получаем в виде
JL r™_ ...
PF [АА] [ВВ. 1]
Лриведем пример уравнивания способом Крюгера Урмаева. Пример. Уравнять по способу Крюгера Урмаепа углы в системе треугольников между двумя жесткими сторонами (рис. 1.2.8) и оцепить точность определения стороны ДС.
Исходные данные следующие:
lg «1 = 3,2584263, lgs4 = 3,3295004,
^ BOA 22V 14' 40,5" (твердый угол).
Измеренные углы приведены в табл. 1.2.15.
Решение. I. Составим таблицу предварительного уравнивания углов.
а) условие жесткого угла
+ vb “Н ив + 2,3 = 0,
б) базисное д
+1ДК 1,80^ + l,4CvJ 0,79i>; +
+ 3,15^; - 2,26 v% +12.5 = 0, получаемое с помощью табл. 1.2.16.
^» = 21-22 = +125-10_7-
F = l
Sin Vl'Sin ^4 Рис. 1.2.8
и приводим ее к линейному виду
F = /0-1,00^+1,80^-l,46uj+ l,46i".
По найденным коррелатам вычисляют вторичные поправки 1%
в табл. 1.2.17.
Вычисленные вводят в предварительно уравненные углы (см. табл. 1.2.15). По окончательно уравненным углам вновь вычисляют невязки всех условных уравнений. Они должны быть равны нулю.
[iw] = I» V] + [и V] = 33,28 +10,26 = 48,64!
MS треугольников |
Название вершин |
J JVe углов |
Измеренные углы |
Первич ные поправки •<'I |
Предварительно уравненные углы |
Вторич ные поправки <4 |
Окончательно уравненные углы |
Логарифмы синусов углов |
1 |
д |
1 |
649 36' 00,9 |
1,8' |
64е 35' 59.1' |
-0.3* |
649 35' 58.8” |
9.9958478 |
О |
2 |
65 53 45,2 |
-1,8* |
65 53 43,4 |
-1.0 |
65 53 42,4 |
9.9603754 |
|
А |
3 |
49 30 19,3 |
-1,8' |
49 30 17.5 |
+1.3 |
49 30 18.8 |
9.881 0793 |
|
у |
180 00 05,4 |
-5.4 |
180 00'00.0 |
0.0 |
180 00 00.0 |
|||
£fl = +5.4” |
||||||||
2 |
С |
4 |
55 19 45,2 |
+2,4 |
55 19 47,6 |
-0.3 |
55 19 47.3 |
9.915 1042 |
О |
5 |
55 12 15,1 |
+2.4 |
55 12 17,5 |
-0.7 |
55 12 16,8 |
9.914 4466 |
|
3 |
6 |
69 27 52,6 |
+3,3 |
69 27 54.9 |
+1.0 |
69 27 55,9 |
9.971 4899 |
|
у |
179 59 52,9 |
+7.1 |
180 00 00,0 |
0,0 |
180 00 00,0 |
|||
tb- 7,1” |
||||||||
3 |
в |
7 |
33 44 19,4 |
-1.5 |
33 44 17,9 |
• -1.3 |
33 44 16.6 |
9.744 6022 |
О |
8 |
103 13 43,4 |
1,5 |
103 13 41,9 |
-0,6 |
103 13 41,3 |
9.988 3211 |
|
с |
9 |
43 02 01,7 |
1,5 |
43 02 00.2 |
+1.9 |
43 02 02.1 |
9.8340589 |
|
у |
180 00 04,5 |
-4.5 |
180 00 00.0 |
0.0 |
180 00 00,0 |
|||
£с=+4.5' |
[i>Vl = 33.28 £^=1002
№ углов (передних) |
Значения углов |
Логарифмы синусов углов |
Д1" |
1 |
64s 35' 59,Г |
9.955 8481 |
+ 10,0 |
4 |
55 19 47,6 |
9.915 1047 |
+14,6 |
' 7 |
33 44 17,9 |
9.744 6390 |
+31,5 |
*2 |
3.329 5004 |
||
Si = 2.945 0922 |
Продолжение табл. 1.2.16
Логарифмы синусов углов
№ углов (задних)
Значения углов
Д1"
30' 17,5' 27 54,9 02 00,2
49s
69
43
9.881 082 9.971 4873 9.834 0579 3.258 4263
+18,0
+7,9
+22,6
S2= 2.945 0797
Ошибка самой ошибки
т 3,0”
тт , • т- 0,95 |
У 2 (ri + г2) /2X5
mlgs = т Y~f~= 3.0УЩ = 7 2 • 10«;
Щ _ тг8 7,2 1
s М ~ 0,43 • 10е 60 000
Заметим, что способ Крюгера Урмаева применяют также в случае, когда в сети имеются геодезические четырехугольники, относя в первую группу условные уравнения фигур треугольников, не содержащих общих углов. Остальные условные уравнения от-
№ треугольников |
Углы |
а |
0 |
t |
А] |
В] |
П |
||
1 |
+1.00 |
-1,00 |
1 |
+1,27 |
-1,27 |
1,00 |
0,35* |
||
1 |
2 |
+ 1 |
+2 |
+0.27 |
-0,27 |
+2,00 |
-0,97 |
||
3 |
-ш |
+130 |
-1 |
-1,53 |
+1.53 |
-1.00 |
+1.32 |
||
4 |
+1.46 |
-1,46 |
-1 |
+1,24 |
-1,46 |
-1,22 |
0.33 |
||
2 |
5 |
+1 |
+ 1.46 |
+2 |
-0,23 |
+1,46 |
+3,23 |
-0,68 |
|
6 |
-0.79 |
-1 |
-1.01 |
0 |
. -2,01 |
+1,01 |
|||
7 |
+3,15 |
-1 |
+2,85 |
+1,85 |
-1.30 |
||||
3 |
8 |
+1 |
+2 |
-0,29 |
+1,71 |
-0,64 |
|||
9 |
2.26 |
-1 |
-2.56 |
-3,56 |
+1.94 |
||||
W |
+2,3 |
4-12,5 |
ш |
+6,9 |
+12.5 |
+19,400 |
10,26 |
||
к |
-0,409 |
-0,600 |
W |
||||||
И |
+18.00 |
-0,78 |
+3,60 |
+20,82 |
+6,90 |
||||
[В |
+21.39 |
-6.17 |
+ 14,44 |
+ 12,50 |
|||||
2 |
|||||||||
[F |
+8.28 |
+5,72 |
24.12 |
||||||
[* |
+40,98 |
33,11 |
*1 |
*11 |
W |
2 |
Контроль |
F |
S |
Контроль г |
(0.0556) +18,00 (-D |
-0,78 +0,043 |
+6,90 -0,383 |
+24.12 -1.341 |
+24,12 -1.340 |
+3,60 -0,200 |
+20,82 -1,158 |
+20,82 -1.158 |
(-0,0468) |
+21,36 (-D |
+12,80 -0,599 |
+34.15 -1.598 |
+34.16 -1.599 |
-6,01 +0,282 |
+15,34 -0,718 |
+15,35 -0,717 |
-10.32 |
-10,32 |
+5.87 1 Pf |
+5,88 1 Pf |
||||
-0.409 |
-0.600 |
носят во вторую группу. Первичные поправки углов в геодезическом четырехугольнике
а формулы (1.2.58) и (1.2.59) примут вид 1
а/ = (ctj + а2 + а3 + сс4),
Р/ = _4" (Pl + P2+Pa + P4)i
1/ =~£ (fl + /2 + /з + /4)*
прп этом для каждого треугольника придется вычислять по 4 коэффициента А, В, . . G, F. Все остальные формулы останутся без изменений.
В ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
•В некоторых случаях вместо уравнений вида (1.2.2), возникающих при параметрическом способе уравнивания, бывает целесообразно составить уравнения
У<=ф/(*и *г> ■•-xk') (1.2.60)
(i = 1, 2, п),
в которых число параметров к $> к. В таком случае эти параметры должны удовлетворять г' = к' к условным уравнениям вида
//(*1. *2. • • •. ЯЬ')=0 (1.2.61)
(; = 1, 2, . . ., г').
После разложения в ряд Тейлора (1.2.60) и (1.2.61) получим уравнения поправок
vi = ai6x1 + bibx2+. . . + gibxk + l[ и условные уравнения
[A^ + W^ 0,
[BSx] + tV2 = 0,
[G6i] + HV = 0.
Здесь, как и рапее, о*, бх поправки к результатам измерений и приближенным значениям неизвестных х'/К Невязки Wj=}j (г^01, z'0>, , , ., xft). Коэффициенты
А> = , Bi= {Щ)Хгху>' ■ • •*
Ц-ёгК-т-
Условно [р v2] = min приводит к системе уравнений
[раа] 5^1+ . . • + \РаЯJ t>xk' + -^Л + #1*2 + ■ • •-\-Gikr, + [pai] = 0 [pah] 6^i+ . . • + Ipbq] &хь' + ^2^1 + В2к2-\- ■ • • + G2kr, + [pbl] = 0
Гpaq] 621+ . • ■ + \P141 6xft,+ + Bh,k2-\- . . . + Gk.kr, +
+ [p?*J = 0
Al8x1 + Ai6x2 + . . . + AhMh,-\- 1У1 = 0 Bi8xi + В2Ьх2-\- • ■ •-}-B^tbx^,-\-W2 = 0
Gi&xi -Ь G2Qx2-\- . . . -{-G^rbx^t -}- Wrt = 0
(1.2.62)
В системе уравнепий (1.2.62) соблюдается симметрия коэффициентов. Поэтому система эта может быть решена любым пз способов. Значение Ipv1] может быть получено в данном способе по обычпому правилу, как сумма произведений чисел элимипацион- ных строк па вышестоящие числа в графе свободных членов при решении пормалышх уравнений, или по формуле
\pail] Ti+ \ра21] т2+ . . . + [ра*г]т7г +
+ WAkA + WBkB + WCkC + ГР**1 = (Py2I-
Обратный вес функции в рассматриваемом способе может быть найден в дополнительной графе по тому же правилу, по которому его находят в параметрическом способе.
Справедлива также формула
■р= fifiQu +2/1/2^12+ • • ■ + 2/i/fe$1jl/ +
F
+/г/2<?22 +• • • + 2/o/*'?2h' + + fkfiQk'h,. (1.2.СЗ)
Следует, однако, иметь в виду, что в формуле (1.2.63) фигурирует лишь часть общей системы весовых коэффициентов, которую определяют при помощи общей системы нормальных уравнений (1.2.62), учитывающей и услоппые уравнения.
Сродпяя квадратическая ошибка одного пзмереппя
- л Г [»*]
У п (к' г')
В качестве примера можно привести уравнивание сетей, когда вместо необходимых неизвестных поправок координат приняты избыточные измерения поправки приращений координат.
В некоторых случаях имеется возможность упростить вид условных уравнений, вводя в них дополнительные неизвестные. Упрощение достигают путем увеличения числа условных уравнений на число дополнительных неизвестных, но иногда это может оказаться выгодным (например, при уравнивании оистем рядов триангуляции или сетей полигонометрпи). При этом в отличие от коррелатного способа уравнивания условные уравнения имеют вид
У2. ••• Уп, h, h, ■ • *s) = 0, (1.2.64
(i = l, 2 г')
где ( получаемые И) уравнивания дополнительные неизвестные- Разложение (1.2.64) в ряд Тейлора приводит к уравнениям
(I.2.G5)
где
(<0) приближенные значения дополнительных неизвестных.
Решая (1.2.65) при условии [pt>a]= min, получим систему уравнений
[лаа] fci + . . . + [яа?] kr, + ^4i6«j+ . . . + ^5^5+^1 = О
[лад] Arj |- . . . + [Я99] kr, -f . . . + Gs6<s-|- Wf, 0
= 0
решая которую, например, по схеме Гаусса, найдем неизвестные Ыр и коррелаты к. Поправки tц определяются также по формулам (1.2.37). Значение [pf2] = [kW].
Для оценки точности функции
F =F (j/h У2, . . ., Уп, • • • 1 *s)
ее приводят к линейному виду
F = F™ + fpl + 0/fitp,
и d схему Гаусса добавляют столбец из элементов
|ла/], [лб/], . • ["?/], ф±, ф2, • ■ и [я//].
Обратный вес получают, исключив все г' + в неизвестных, по формуле
Рр 1 [пиа{ ' [nqq(r\)\
[tf>! T'J2 ГФ5.(г' + 5_1)]2
[Л^-r'J ■" |CC.(r' + *-l)J
где в условных обозначениях знаменатели во второй строчке преобразованные квадратичные коэффициенты последних s уравнений.
Средняя квадратическая ошибка единицы псса
„-j/ES.
Наиболее широкое применение этот способ получил при уравнивании полигонометричеекпх сетей. В качестве дополнительных неизвестных вводят поправки ориентирующих углов и координат узлов пли только ориентирующих углов (предложение И. И. Куп- чпнова, Б. А. Литвинова, Ю. И. Маркузе). Его применяют также для уравнивания при наличии систематических ошибок.
И. 10. Пранис-Пранепич предложил следующий так называемый многогрупповой способ уравнивания больших сетей, суть которого применительно к параметрическому способу уравнивания сводится к следующему.
Сеть делят на несколько примерно равпых участков. Обозначив векторы неизвестных, относящиеся только к данному участку, череа Ах, а неизвестных, общих для участков, через Дх0 и поставив эти неизвестные в уравнениях поправок на последние места, получим, например, для трех участков следующую систему нормальных уравпений:
R1 Дл^ -f- R1. о Дяо -|- = О,
Н.% “Ь ^2. О А^О“Ь ^2 =0»
Rsb*3 + Л3. о Длго+Ь3=0,
Щ. о ^20 ^хз л0 Д*о+Ьо = 0.
Первые три матричных уравнения называют частично независимыми, а последнее связующим нормальным уравнением.
Эти уравнения могут быть получены одновременно по каждому участку. Затем в каждом участке исключают неизвестные Дxi а в результате суммирования получают общую систему нормальных Уравнений
[/?о ■ 3] Аго+[Ьо • 3] = 0.
Решая ее, находят вектор Д0, а затем и Дxi независимо по каждому уяастку.
Этот способ аавоевал заслуженное прпзпание геодезистов и широко применяется, например, при уравнивании астрономо- геодезпческой сети СССР.
Метод наименьших квадратов можно применять н при зависимых (коррелированных) измерениях.
Суть уравнивания зависимых иэмерепий заключается п том, ято условие [р и3] = min, справедливое для независимых измерений, характеризующихся диагональной матрицей весов Р, следует заменить условием
yTQ-iv= min,
где матрица весовых коэффициентов результатов измерений
Обычно в качестве зависимых рассматривают не сами измерения, а их функции. Так ято возникает задача уравнивания функции измеренных величин.
В качестве примера можно привести задачу уравнивания углов при измеренных направлениях (углы, имеющие общую сторону, коррелированы между собой, коэффициент корреляции между ними г = -0,5).
Другим примером является уравнивание сетей с учетом ошибок исходных данных коррелированных величии.
Можно показать, ято двухгрупповое уравнивание по способу Крюгера или Бесселя является частной задачей уравнивания зависимых измерепий. Например, при двухгрупповом уравнивании нолигонометрического хода матрица весовых коэффициентов предварительно уравпеиных углов имеет вид
(1.2.67)
где п число стороп хода.
Появление центральных координат при двухгрупповом уравнивании и есть следствие преобразования матрицы коэффициентов при поправках углов d услоппых уравнениях второй группы с помощью матрицы (1.2.67).
Теорию уравнивания зависимых измерений удобно излагать в матричной форме.
Так, нормальные уравнения в параметрическом способе имеют
впд _ _
АТРА &x+ATPL = 0,
где, в отличие от (1.2,31), матрица весов Р «полпая».
В коррелатпом способе нормальные уравнения следует записать d виде
BQBTK + W = О, где Q = Р1, а вектор поправок в виде
V=QBT К.
Y
Метод наименьших квадратов находит широкое применение при решении задачи аппроксимации функций пли при так называв* мом сглаживании экспериментальных зависимостей. Пусть производится опыт, целью которого является исследование зависимости
V
некоторой физической величины у от физической величины х, причем предполагается, ято у их связаны функциональной зависимостью
у = Ф (х).
В результате наблюдений получены пары чисел (XI, yt) (i = 1, 2, . . re).
О форме зависимости судят исходя из существа задачи или по внешнему виду экспериментальной зависимости. Например, экспериментальные точки, изображенные на рис. 1.2.9, предполагают прямолинейную зависимость вида у = ах + Ь, а на рис. Ь<2.10 полином второй степени у = ах* + Ьх + с. В общем случае можно говорить о подборе полинома степени п 1, который задаёт
кривую, проходящую яерез все п точек (ж,-, yi). Но построение такого полинома нецелесообразно, ибо существующая закономерность будет искажена случайными ошибками наблюдений. Для сглаживания случайных уклонений как раз и служит метод наименьших квадратов, • С его помощью определяют коэффициенты сглаживающих полиномов. Так, для прямолинейных зависимостей будем иметь уравнения поправок вида
ax-L+Ъ y[ = v1. ax2 + b y'2 = v2,
axn+by'n = vn.
Здесь роль неизвестных играют два параметра а и Ъ, а роль измерений величины {/', коэффициенты при а и Ь образуют матрицы
[**] И
[*] п
i'll 1' х2 1
[ху]
1у]
-(
АТА--
Так что имеем систему нормальных уравнений с двумя неизвестными
)•
[хЦ a + [z] Ь [zi/] = 0 [i] a + nb Ы = 0
Решение легко выполнить с помощью обратной матрицы по
(1.2,32)
где
1-0
л= 1 ( п
V [Х2]П-[ХР \-[х] [**] )
[ХЦП[Х]2
[д] [ду] + [у] [*2] I *
[х2]га [г]2
Откуда
(1.2.68)
Рассмотрим пример. Пусть имеем пары наблюдений (xt, yi), представленные в табл. 1.2.10 и на графике рис. 1.2.11 в виде точек,
Л» наблюдений |
Х1 |
VI |
|
1 |
1 |
2.8 |
-0,16 |
2 |
2 |
2,7 |
+0,11 |
3 |
3 |
2.9 |
+0,08 |
4 |
4 |
3,3 |
-0,16 |
5 |
5 |
3,2 |
+0,11 |
6 |
6 |
3,4 |
+0,08 |
7 |
7 |
3,6 |
+0,05 |
8 |
8 |
3,9 |
-0,08 |
9 |
9 |
4.0 |
-0,02 |
10 |
10 |
4,2 |
-0,04 |
2 = 55 |
Я II |
2=-0.03 |
[х2] = 385 [xi/] =200,9 [хЦп [xJ2 = 825
График показывает, ято можно предположить функциональную зависимость у = ах + Ь. Согласно (1.2.85) имеем
20091870
825
= 0,168, Ь=-=И°*982+513090 =2>473,
-JIII I I I д
Далее вычисляем уклонения (см. табл. 1.2.19)
pj = 0,168 • х; + Ь yi
и осуществляем контроль на основании (1.2.14)
[ху] = 0,18 0,
[и] = 0,03 <=«0.
Для оценки точности вычисляем
о 1 г з * з 6 у в s to
Рис. 1.2,11
[i»2j = 0,0991 и m = j/^M = 0,ll
Далее имеем
где
<?и = *?22 =
= 0,0121; = 0,467.
825
385
та = т У Qn, тьmYo^, п 10
[Х2]ге_[х]2
[Х2]
ma = 0,ll • У0,0121 =0,012, mb = 0,11 • УШ&7 = 0,068.
Можно показать, ято, когда функциональная зависимость имеет
вид
у = ах-\-Ь,
задача нахождения параметров а и Ъ математически тождественна задаче построения уравнения регрессии, однако по существу отличается от нее, так как наличие функциональной связи предполагает, что коэффициент корреляции г = +1. Так, применяя метод наименьших квадратов к примеру 29 (раздел 1.1.18), получаем то же уравнение регрессии
у = 0,63*+0,71,
по говорить о функциональной связи между у и х не приходится (это видно уже по расположению точек на графике рис. 1.1.12).
Аналогично решается задача и для подбора параметров полиномов более высокого порядка, а также для определения коэффициентов систем линейных уравнений.
Кроме описанных методов решения нормальных уравнений,, называемых точными, для решения больших систем применяют методы приближений (итераций). В геодезических вычислениях наиболее часто используют метод простой итерации и метод Зейделя.
Метод простой итерации сводится к следующей процедуре. Система нормальных уравнений (например трех) приводится к виду
I ас] [аа] [Ьс] [ЬЬ]
= 0 • [аЫ
[ЪЪ]
[ас]
[сс]
гз ■
\аа]
ь2
. (1.2.69)
Х3_.
[ЬЬ]
Ьз
[сс]
*3 =
[аЬ]
\аа]
Xi 0 • х2 [Ьс]
х% 0 • х$-
[сс]
~
Здесь роль неизвестных х/ могут играть как поправки в*/, так и коррелаты, а роль свободных членов соответствеппо величины [aZ], [W], [с/] или невязки wlt w2, w3. Обозначим коэффициенты при неизвестных х/ в правых частях яерез аг/ (< номер строки, / номер неизвестных), а свободные члены яерез (J;.
Тогда процесс приближений выполняют по формуле
,$<» = ^ацх^+pt.
3-1
Здесь р = 0, 1, 2, . . т помер приближения, а и число неизвестных в общем случае (в 1.2.69 п = 3).
Приближение начинают со значений
*j«> = P,
п заканчивают, когда значения неизвестных *'т_11и будут в продолах точности вычислений совпадать.
Можно доказать, ято процесс будет всегда сходиться, если наибольшая из сумм абсолютных величин коэффициентов а;/, вычисленных по строкам, меньше единицы.
Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, ято при вычислении аначений пеиэвестпых х/ в приближении р используются уже полученные в этом же приближении неизвестные *^{, а остальпые неизвестные будут из приближения р 1.
Формула для вычислений имеет вид
*1Р) = 2 + 2 *ц*р-1,+Pt-
3-1 }-г
Например, при р = 3 и га = 3 имеем
*iS) = «1. 2*J!) + «1. в*»* + Pi.
*2S, = 02. i*{3) +аг.31<,2» + р2,
= ®з. 1*{а) + аз. 2*is) + Рз-
Вычисления выполпяют в таблице следующего вида:
№ неизвестных |
Коэффициенты |
р,=х{0) |
Приближения |
|||
хЦУ г |
1 |
х[ту % |
||||
1 |
0 «12 <*13 |
Pi |
||||
2 |
0 агз |
в* |
||||
3 |
а31 <*32 0 |
Рз |
Метод Зейделя для нормальной системы уравнений всегда сходится.
Пример. Решить систему из трех нормальных уравнений, составленных при уравнивании нивелирной сети (см. раздел 1.2.9) методом Зейделя
3,606*!1,17di2 1,225*3 +12,36 = О, 1,176*! + 4.88б*г 1,25б*з + 5,05 = 0, -1,226*! 1,25б*2 + З,816*3 -16,37 = 0.
*<» |
х(2) 1 |
|||||
1 |
0 |
+0,325 |
+0,339 |
3,433 |
2,31 |
-2,23 |
2 |
+0,240 |
0 |
+0,256 |
-1,035 |
0 |
-0,66 |
3 |
+0,320 |
+0,328 |
0 |
+4,296 |
+3,56 |
+3,36 |
Х<8) з |
. x'.'l) г |
х(5) г |
х[в) г |
ЗС<7) % |
3C(.S ) г |
|
1 |
2,51 |
-2,59 |
2,621 |
2,631 |
2,634 |
-2,636 |
2 |
0,78 |
-0,83 |
0,847 |
-0,853 |
-0,855 |
0,855 |
3 |
+3,24 |
+3,19 |
+3,179 |
+3,174 |
+3,173 |
+3,172 |
Как видим, неизвестные получены те же, что и в примере раздела 1.2.9. Заметим, что значения х[ в первых приближениях целесообразно получать с меньшей точностью, увеличивая ее по мере сходимости процесса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
10. Большаков В. Д. Теория ошибок наблюдений с основами теории вероятностей. М., «Недра», 1965, 183.
И. Вентце ль Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969, 576 с.
1.3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА В ГЕОДЕЗИИ
Е. Г. Ларченко
А. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СРЕДСТВ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Вычислительную технику широко применяют при механизации и автоматизации различных расчетов, в том числе при математической обработке результатов геодезических измерений. Особая роль принадлежит вычислительной технике в области отыска- пия оптимальных (наилучших) решений, в деле автоматизации отдельных геодезических процессов и в автоматизированных системах управления (АСУ).
Успех решения геодезических задач во многом зависит от рационального использования вычислительных средств: счетных таблиц, счетных приборов, вычислительных машин.
Некоторые элементарные задачи в области геодезии можно решать при помощи простейших вычислительных средств, к которым относятся счеты, таблицы, логарифмические линейки и разные арифмометры, применяя при этом рациональные приемы вычислений. На логарифмической линейке можно решать все задачи, где достаточна точность чисел в три значащие цифры. На ней удобно вычислять различные поправки и ошибки, вычислять проценты и производить многие вычисления без промежуточных записей по различным формулам, что значительно повышает производительность труда.
Самым мощным средством механизации и автоматизации инженерных и экономических расчетов являются вычислительные машины, которые можно разделать на три класса: аналоговые вычислительные машины (АВМ), цифровые вычислительные машины (ЦВМ) и машины смешанного типа. Аналоговые машины, которые называются еще моделирующими, оперируют с данными, выраженными какими-нибудь физическими величинами: длинами отрезков, электрическими напряжениями, температурой и др. Большим их недостатком является ограниченная точность (от двух до четырех значащих цифр).
Цифровые вычислительные машины (ЦВМ) позволяют выполнять вычисления с любой необходимой точностью. Чтобы
подчеркнуть, что эти машины сконструированы на принципах электропной автоматики, их обычно навивают ЭВМ. В настоящее премн имеется много разных ЭВМ. С их помощью решаются самые разнообразные задачи геодезической техники и экономики. При этом их роль не сводится только к механизации и автоматизации расчетов они являются также средством отыскания оптимальных планов на основе экономико-математических методов.
Номенклатура цифровых вычислительных машпп с каждым годом увеличивается. Создаются новые модели машин, расширяются их эксплуатационные возможности.
Существуют различные принципы классификации вычислительных машин. Однако в условиях бурного развития средств вычпслц-
Рис. 1.3.1. Классификация цифровых вычислительных машин
тельпой техники любая из классификации имеет условный характер.
На рис. 1.3.1 показана классификация вычислительных машин, исходящая из способа ввода чисел в машину и учитывающая их эксплуатационные признаки. Все цифровые вычислительные машины можно подразделить на два больших класса: машины с ручным вводом чисел (исходных данных) и машины с автоматическим вводом чисел. Машины с ручным вводом исходных данных характеризуются тем, что каждое число набирается путем нажима па клавиши или путем перемещения рычагов. Эти машины делятся на две группы: суммирующие и вычислительные. Суммирующие машины главным образом применяются для сложения и вычитания, но на них можно производить умножение и деление. Вычислительные машины, которые можно разделить па три группы (см. рис. 1.3.1), предназначены для умножения и делепия, хотя на пих производят
сложепне и вычитание, по с меньшей производительностью, чем на суммирующих машинах.
Наибольшее развитие суммирующие машины, как и другие средства вычислительной техники, получили в последние десятилетня. Сконструировано и применяется много различных типов суммирующих машин с узкими и широкими каретками, на которых удобно находить алгебраические суммы чисел, производить запись обрабатываемых чисел, результатоп вычислений и условных обозначений. Имеются суммирующие многосчетчиковые текстовые машины, снабженные цифровой и алфавитной клавиатурой.
В настоящее время сконструировано и применяется много типов полуавтоматических и автоматических клавишных вычислительных машин, действующих на различных принципах (см. рис. 1.3.1). Эти машины, называемые клавишными вычислительными машинами (КВМ), наиболее приспособлены для индивидуальных инженерно-экономических расчетов небольших объемов. В настоящее время электромеханические КВМ заменяются электропными (ЭКВМ), позволяющими повышать производительность труда п 23 раза по сравнению с работой на арифмометре.
Перфорационные вычислительные машины (ПВМ) это такие машины, ввод исходных данпых в которые производится автоматически с помощью перфорационных карт. ПВМ используются в комплекте, в который входят: 23 перфоратора, служащие для пробивки (в соответствии с исходными данными) отверстий па специальных карточках, называемых перфокартами; 12 контроль- пика, служащие для проверки правильности перфорации; сортировка, служащая для группировки перфокарт по заданному признаку; табулятор, являющийся осповной счстно-записывающей машиной, и некоторые специализированные машины.
Наиболее эффективно на табуляторе выполняются сложение и вычитание. Например, на табуляторе Т-5М можно выполнить до 72 ООО сложений в час при одновременной работе восьми его счетчиков. Комплект ПВМ применяется главным образом для механизации учетных и статистических работ.
В современный комплект ПВМ включают часто различные специальные машины (электронные вычислители, электронные вычислительные приставки и др.), позволяющие эффективно выполнять все арифметические операции и значительно повышающие производительность вычислительного труда. ПВМ также используются в автоматизированных системах управления.
Применепие электронных вычислительных машин (ЭВМ) играет важную роль в повышении эффективности производства.
Первая электронная цифровая вычислительная машина, действующая на вакуумных лампах, была создана в 194Б г. Вскоре вслед за ламповыми машинами начали конструировать полупроводниковые ЭВМ и другие элементы электронной автоматики, в которых использовались полупроводниковые диоды п триоды. Полупроводниковые машины истребляют меньше энергии и более надежны. Машины, собранные на полупроводниковых элементах (транзисторах), пропускают импульсы с частотой свыше ста миллпопов в се- кунду, чем и объясняется быстродействие таких машин.
Ламповые ЭВМ это машины I поколения, в настоящее время сняты с производства как морально устаревшие. Полупроводниковые машпны это машины II поколепия широко используются различными организациями для решения инженерных и экономических задач. ЭВМ II поколения уже начали заменять машинами III поколения, которые конструируются на базе микроэлектроники, па так называемых интегральных схемах. ЭВМ ближайшего будущего это машины IV поколения, которые конструируются па больших интегральных схемах. Современные ЭВМ выполняют миллионы операций в секунду. Из вычислительных машин комплектуют вычислительные системы (ВС), позволяющие одновременно решать несколько задач по разным программам. В настоящее время сконструированы многопрограммные (мультипрограммные) ЭВМ, позволяющие одновременно выполнять несколько программ или несколько частей одной программы.
Современные электронные вычислительные машпны могут выполнять за очень короткие промежутки времени, исчисляемые наносекундами (1 нсек = 10'9 сек), не только операции счета, но также сложные логические действия. В настоящее время электронные вычислительные и управляющие машины применяют в экономике и управлении производством, при решении различных астрономических, геодезических, военных, медицинских и многих других задач и проблем.
С увеличением быстродействия электронных машин габариты их должны неуклопно уменьшаться, потому что скорость передачи информации ограничивается скоростью света. Легко подсчитать, что для передачи единицы информации на расстояние 30 см уже требуется времени 1 псек. Применение интегральных схем открывает новые перспективы в развитии электронных вычислительных машин с резко уменьшенными размерами, с еще большей производитель^- ностью и надежностью. Возможности ЭВМ определяются их быстродействием, емкостью запоминающих устройств, устройств ввода- вывода и уровнем теории и техники программирования (кодирования) задач. Многие задачи могут быть сформулированы лишь один раз, а затем эта формулировка, представляющая машинный алгоритм (программу), повторяется ЭВМ столько раз, сколько необходимо, что резко повышает производительность труда.
Самые распространенные клавишные вычислительные машины (КВМ) используются не только индивидуальным путем, но и централизованным, когда они сосредоточены в машиносчетном бюро (МСБ). Кроме этого, КВМ используются в машиносчетных станциях (МСС), на фабриках механизированного счета (ФМС) и вычислительных центрах (ВЦ).
Перфорационные вычислительные машины (ПВМ) используются на МСС и ФМС. Этими машинами оснащаются районные машиносчетные станции (РМСС), которых в настоящее время организовано более 2000. В соответствии с решением правительства во всех районах страны должны быть организованы РМСС для решения инженерных и экономических задач, возникающих в предприятиях и учреждениях района.
Вычислительные цептры (ВЦ) оснащаются быстродействующими электронными вычислительными машинами и машинами других класс-on. ВЦ обычно обслуживают научные учреждепия п крупные предприятия, требующие большого объема вычислений.
Ни основе современной вычислительной техники и математических методов у нас проводится большая работа по созданию авто- матизиронвнпых систем упранления (АСУ). За 19661970 гг. было внедрено на различных предприятиях более 400 АСУ, а в период 1971 1975 гг. должно быть внедрено но менее 1600 АСУ. Под АСУ понимают систему, которая включает в себя три основные функции:
Создаются отраслевые автоматизированные системы управления (ОАСУ) для выполнения комплекса операций как в сфере планирования, так и управления отраслью на различных уровнях (района, области, края, республики).
Б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ С НИМИ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
Приближенное число отличается от точного па погрешность (ошибку), допустимую в соответствии с условиями дапной задачи, и заменяет точное число в расчетных формулах.
Основпыми источниками происхождения приближенных чисел являются:
Приближенные числа, записанные в любой позиционной системе, при машинном счете округляют по правилу: к старшему из отбрасываемых разрядов прибавляют половину основания системы счисления, в которой записано округляемое число.
' ООычно точность результата измерений и точность числа, выражающего "тот результат, не одинаковы.
При решения задач на электронных вычислительных машинах приходится пользоваться двоичной, восьмеричной и другими позиционными системами счисления. Целые числа из одной позиционной системы в другую переводятся точно, а дробные приближенно (аа исключением отдельных чисел). Поэтому нри переводе чисел из одной системы в другую, как правило, появляются дополнительные погрешпостп, которые относятся к неустранимым. Эти погрешности должны быть меньше погрешностей исходных данных. Например, для того, чтобы сохранилась точность при переводе десятичного .числа х = 990,45 в дпоичную запись, необходимо в двоичном ппсле сохранить 18 разрядов.
При действиях с приближенными числами необходимо учитывать точность, о которой можно получить значения искомых величин, и точность, с которой необходимо анать эти значения. В настоящее время разработаны правила вычислений с приближенными пислами, применение которых облегчает решение различных задач, дает возможность выбирать соответствующие по точности средства вычислительной техники и рационально использовать их. Применение правил действий с приближенными числами экономит труд и время и повышает культуру вычислений.
Относительную погрешность выражают обычно аликвотной дробью (дробь, у которой .числитель равен единице) и записывают
1
Знаменатель а/Д выражают приближенно целым числом, где а ■ приближенное значение числа, а Д погрешность его.
Чем меньше относительная погрешность, тем с большей точностью иввестен результат, поэтому в большинстве случаев критерием точности служит относительная погрешность. При помощп относительной погрешности обычно оценивается точность измерения линий, площадей, объемов; точность же углов оценивают при помощи абсолютной погрешности, так как погрешность измерения угла не вависит от величины самого угла.
В тех случаях, когда абсолютная погрешность неизвестна, а известно лишь ее предельное аначение, вычисляют для характеристики точности результата предельную относительную погрешность как отношение предельной абсолютной погрешности к приближенному значению данной величины. Если, например, приближенные (округленные) числа 0,10 и 1,00 дапм каждое с предельной абсолютной погрешностью в 0,005, то они имеют следующие предельные относительные погрешности:
0,005 0,5 0.005 0.5 п...
■олоТо- или 5/о' ТОГ “100 ИЛИ °'5% '
Относительно точнее то число, которое больше, если его прочитать без запятой. Так, например, округленное число 6485,4 относительно точнее округленного числа 0,00065 в 1000 раз.
Величина относительной погрешности связана с количеством значащих цифр, заслуживающих доверия.
Значащими цифрами приближенного числа являются все цифры его, иачиная слева от первой отличной от нуля и направо до цифры, имеющей погрешность не больше единицы. Например, следующие округленные числа имеют такое количество значащих цифр и относительные предельные погрешности:
320,02 ... 5 значащих цифр, 1: 64000 0,00320 ... 3 » » 1:640
Относительная погрешность однозначно определяет количество значащих цифр приближенного числа. Чем мепыпе значащих цифр, тем больше относительная погрешность.
Нуль, стоящий в конце числа, может иметь двоякий смысл. Так, в следующих двух записях цифра нуль имеет разпый смысл:
а) 1 га = 10 000 м2;
б) на земном шаре в настоящее время живет 3 680 000 000 чел.
В первом случае мы имеем точное соотношение, и нули здесь
являются значащими цифрами. Во втором случае пули поставлены взамеп неизвестных цифр, и число имеет только три значащие цифры.
Во избежание путаницы не следует писать нули вместо неизвестных цифр; лучше употреблять словесное название или степень десяти (3,68 миллиарда или 3,68 • 10е).
Для приближенной оценки точности округленных чисел пользуются способом подсчета числа верных значащих цифр, который позволяет оценить точность приближенных чисел по самому их начертанию.
Если абсолютное значение погрешности приближенного числа больше единицы последнего знака, но меньше 10 единиц, то говорят, что все цифры данного числа верны, кроме последней, которую называют сомнительной.
При вычислении промежуточных значений необходимо сохранять одну пли две, а иногда и больше запасных цифр, в зависимости от сложпости вычислений.
Запасные цифры доверия не заслуживают и, чтобы не смешивать их с надежными цифрами, их обычно пишут в уменьшенном размере или отделяют от верных запятой.
Существуют разные способы оценки точности результатов вычислений. Их можпо разделить на строгие и приближенные. Приближенные способы практически не требуют никаких затрат вре- мепи па их применение. Приближенные способы основаны на подсчете десятичных знаков (при сложении п вычитании) и значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень п извлечении
корнл).
то предельная погрешность суммы может быть представлена выражением
п
где &xi погрешности слагаемых.
Очевидно, что предельная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности слагаемого, имеющего наименьшее количество десятичных знаков. Поэтому и сумме нет смысла сохранять больше десятичных знаков, чем их имеется в ела гасмом с наименьшим количеством десятичных знаков.
При вычитании приближенных чисел, когда вычитаемое близко □о величине к уменьшаемому, исчезают значащие цифры слива, что вызывает резкое увеличение отиосительной ошибки разности. Поэтому, чтобы результат имел заданную точпость, близкие по значению уменьшаемое- и вычитаемое необходимо брать с большим количеством значащих цифр пли применять другие формулы.
Исчезновение вначащих цифр слепа встречается при решении систем нормальных уравнений, при вычислении координат точек, определяемых насечками (угловыми и линейными), и при решеппп некоторых других геодезических задач.
При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное число с наименьшим количеством зпачащнх цифр. В промежуточных результатах следует сохранять 12 запасных знака.
Пример. Пусть требуется вычислить
а • Ь 8,042 • 20,066 -п,
g = ~= -1Ш2 - = 1о81'5°3-
В дапном примере все приближенные числа (о, Ь, с) дапы с тремя десятичными знаками и с разным количеством значащих цифр. Наименьшее количество (три) значащих цифр имеет число с, поэтому в результате (в числе q) значащих цифр будет не больше трех.
В этом можно убедиться, изменив грубейший компонент (число с) па величину иредельной погрешности округления и вновь вычислив число:
8,042-20,060
Сопоставляя первое п второе зпачеппя <?, видим, что рояулптат исйствптелыю имеет только три верные цифры, так как он ошибочен примерно на 8 целых единиц.
Относительная предельная погрешность произведения п частного раина сумме предельных относительных погрешностей компонентен.
м |
-4- |
ь |
Для приведенного примера имеем
Ac I 0,5 0.5 0,5 1
fits* •
S042 1 20 0(56 1 102 200'
Абсолютную предельную погрешность вычисляют по формуле
(А?) п], = ?(-у-) •
\ Ч /пр
Для пашего примера получим /л ч *582
(Д<?)пР 20Г~7-9-
что приближенно раопо разности найдепных значений д (Дд)пР = 1581,6-1573,9 = 7,7.
При делении и умножении приближенного числа па точное (или условно точное), а также точного числа па приближенное в результате получится значащих цифр не больше, чем их имеется в приближенном числе.
При возведении в квадрат в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число.
Пример, р = d2 = 21,04*-= 442,6816.
Результат следует записать так: р = 442,7, поскольку остальные цифры числа неверны, а следовательно, их нельзя считать значащими. В данном примере сомпительны (ошибочны на несколько единиц) уже десятые доли, однако сомнительные цифры следует оставлять в результате, особенно если он промежуточный.
Относительная погрешность степени равна показателю степени, умноженному на относительную погрешность основания.
Для нашего примера имеем
Др Ad 0,5 1 .
р ~ d 2104 2100 •
4'=-шг-0'21-
При извлечении квадратного корня в подкоренном числе необходимо брать столько значащих цифр, сколько их требуется получить в значении корня.
Пример. Найти Ь = У~В = У3462,193081 с шестью значащими цифрами.
Округляя подкоренное выражение до шести значащих цифр, * = У3462,19 = 58,8404 с погрешностью, пе превышающей
Относительная погрешность корня из приближенного .числа уменьшается пропорционально показателю п корня, если п £> 1,
АЬ 1 АВ Ь “ п В
Для нашего примера имеем
Д6 1 0,5 1
Ъ 2 346 219 1 380 ООО
со о -
М=-1380000 -0Л00М2.
Рассмотрим сначала функцию с одним аргументом
¥=/(*). (1.3.1)
Дифференцируя функцию (1.3.1) и заменяя дифференциалы погрешностями, напишем
Ay=f'(x)Ax. (1.3.2)
Разделив (1.3.2) на (1.3.1), получим относительную погрешность функции
1дг. (1.3.3)
У / (*)
Формулу (1.3.3) можно получить путем дифференцирования натурального логарифма функции (1.3.1).
Пример. Вычислить площадь круга и определить абсолютную и относительную погрешность площади его, если радиус круга г = 10,0 ± 0,05 м. Число л будет считаться точным, поскольку в настоящее время оно иавестно с 2000 знаками.
Дифференцируя функцию
Р = пг2,
получим
ДР = л 2гДг; Р = 3,142 • 10,02 = 314 м2;
ДР = 3,14. 2-10,0-0,05 = 3,1 м2.
Относительная погрешность равна АР 3,1 1 Р “ 314 = 100 "
Относительную погрешность площади можно определить также путем дифференцирования выражения
In Р = In л:+ 2 In г.
Имеем
АР г. , „ Аг „0,5 1
Пример. Определить, по какой из указанных ниже тригонометрических функций можно более точно найти угол, если
uj = sin а = 0,00757,
it2 =cos а = 0,99997,
u3 = tg а = 0,00759,
u4 = ctga= 132,2.
Дифференцируя каждую из этих функций и полагая Лиг = ™ 0,5 единицы последнего знака, легко определить погрешности углов Да/, вызываемые погрешностями функций.
Для первой функции имеем
Да*
Au1 = Asina = cosa*- = 0,5-10-5.
Отсюда
. . 0,5.10-5.2,06-105
Да, ± 1,0 .
1 л»ле п
Аналогично находим
Да'г = ±131"; Да£= ±1,0";
Таким образом, паиболее точно угол будет определен по ctg a, хотя его значение дано с одним десятичным знаком и с четырьмя значащими цифрами. Наиболее грубо (с погрешностью, равной ±2,2') угол будет определен по cos а, значение которого имеет пять десятичных знаков и пять значащих цифр. Здесь правило значащих цифр не действует. При использовании таблиц натуральных значений тригонометрических функций более точно угол будет определен по той тригонометрической функции, которая быстрее изменяется в окрестности данного угла.
Если функция зависит от нескольких независимых аргументов
!/=/(* 1. *2, • • -, *п),
то предельную абсолютную погрешность ее можно выразить формулой
П
2 ■!-£*««
i = l
где Дxi предельные погрешности аргументов.
Вычисленная по формуле погрешность при значительном числе аргументов будет сильно преувеличена, поэтому при п £> 3 за предельную погрешность функции общего вида обычно берут утроенную среднюю квадратическую погрешность, которую вычисляют по формуле
(Ду)пр = 3mtf = 3 ^/^^2 (~д*ГП*0
Иногда требуется определить погрешности нескольких аргументов по заданной погрешности функции. Такая задача называется обратной задачей теории погрешностей. Здесь получается одно уравнение и несколько неизвестных погрешностей аргументов, поэтому без дополнительных условий задачу решить нельзя. За дополнительные условия часто берут принцип равных влияний,
полагая, что все .частные дифференциалы Дх; одинаково влияют
па относительную или абсолютную погрешность функции, т. е. иолагают
В. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СРЕДСТВ
Средства и приемы вычислений выбирают с учетом точности исходных данных и надобности получения результатов в кратчайший срок с необходимой и достаточной точностью. Еслп вычисления ведутся от случая к случаю и требуется небольшая точность результатов вычислений (23 значащие цифры), то в этих случаях следует применять логарифмические линейки (в том числе и специальные), которые при использовании рациональных приемов дают возможность получать ответы с быстротой, с какой числа записываются на бумаге.
При вычислении на логарифмической линейке надо стремиться сводить к минимуму передвижение движка, а при вычислении на арифмометре вращеппе рукоятки должно быть минимальным. Так, например, при вычислении процентов следует пользоваться формулой
Xf% = "-°-° at = kat.
2
i=i
При вычислении на линейке коэффициент к не записывается и не читается и все проценты вычисляются при одном или при двух положениях движка. При вычислении на арифмометре коэффициент к вычисляется с необходимым и достаточным количеством значащих цифр, а значения Х,% находят, пользуясь приемом доумпожепия, без гашения счетчиков.
Если проводятся вычисления по одним и тем же формулам и результаты требуется знать с 23 впачащими цифрами, то выгодно использовать номограммы, особенно в полевых условиях 5.
При значительных объемах вычислений, но не превышающих одного технико-месяца, выгодным средством вычислений являются
клавишные вычислительные машины (особенно ЭКВМ) и различные таблицы с достаточным, но не пзлнШшш количеством знаков.
Весьма важное значение имёб! рациональный порядок расположении отдельных действий, обеспечивающий четкость вычислений. Для четкости и быстроты вычисления ведут по определенной схеме, в которой каждое входящее в вычисление число записывается на заранее отведенном для него месте. При массовых вычислениях схемы заранее размножаются на листах бумаги определенного размера и на них приводится формула, в соответствии с которой составлена схема. Такие листы называют бланками или формулярами. Схема составляется с учетом рациональной организации вычислений и облегчения их контроля и рассчитана на применение определенных средств вычислений. Использование хорошо соста- пленной схемы способствует механизации вычислительной работы, сводя ее к элементарным однообразным операциям.
Всегда надлежит помнить, что без проверки результат вычисления непадежен. Пока проверка пе произведена, вычисление нельзя считать законченным. Любое действие можпо проверить, повторяя его, но так как простое повторение мало надежно, то повторные вычисления -следует проверять по контрольным формулам или выполнять каким-либо другим способом. Например, контрольное сложение нескольких чисел на счетах следует делать не сверху вниз, а снизу вверх.
Наибольшую производительность труда при работе на арифмометре обеспечивают однотипные приемы вычислений, требующие минимального количества установок и гашения чисел, а также минимального количества поворотов рукоятки.
При умножении нескольких чисел па одно и то же число нужно это число считать за множимое, установить его на барабане и умножать на все данные множители. При этом пет надобности гасить сомножители и результаты, а лучше вращением рукоятки по ходу к против хода часовой стрелки подбирать на счетчике оборотов новые множители и получать на счетчике результатов новые произведения, т. е. использовать прием доумпо/кенпя.
Деленне на одно и то же число целесообразно заменять умножением на величину, обратную делителю, если деление повторяется более трех раз (этот прием можно рекомендовать, нанример, при решении систем липейпых уравнений), прп этом полезно пользоваться таблицей обратных величин.
Необходимо отметить, что при вычислении на арифмометре на запись затрачивается около 30% времени, потребного на умножение, п около 20% , требуемого на деление двух чисел. Кроме того, промежуточные записи и повторные установки являются дополнительными источниками ошибок. Поэтому падо стремиться вычислять без записи промежуточных результатов и без повторных установок чисел.
При извлечении квадратного корня па арифмометре удобно пользоваться приближенной формулой
У~В = 4-0,5 + 0,5b = bi,
О
где Ъ приближенное значение корня, взятое на логарифмической линейке или найденное каким-нибудь другим путем с 34 значащими цифрами. Если значение b взять с тремя значащими цифрами, то bj получится с шестью, а если Ь взять с четырьмя значащими цифрами, то bj получится с восемью значащими цифрами. Порядок действий рассмотрим па следующем примере.
Пусть требуется определить
VH = К206 493,5114 с шестью значащими цифрами.
Округляя подкоренное выражение до шести значащих цифр и взяв на линейке Ь 454, пайдем
V~fi = K206 494 = о,5 + 0,5.454 = 454,416.
При этом вычисление надо вести без промежуточных записей, придерживаясь следующего порядка:
Выражение |/"а ^ вычисляют следующим образом. Пронз-
ведение а • Ь получают обычным путем на счетчике результатов, после чего гасят счетчик оборотов п на рычаги устанавливают число d. Имеющееся на счетчпке результатов произведения а • Ь делят на d и на счетчике оборотов получают (а • b)/d. После этого, не гася счетчиков оборотов, на рычаги устанавливают число с и вращают рукоятку в положительную сторону до тех пор, пока не исче*- нет число, стоящее на счетчике оборотов, тогда на счетчике результатов получится выражение (а < Ь • c)/d, из которого извлекают квадратный корень по способу, изложепному выше.
Рассмотрим еще пример вычисления на арифмометре общей арифметической средины по формуле
alPl + a2P2 + • ■ • + anPn Pi + Р2 + • ■ • +Рп
Перед выполнением действий в низшем разряде на крайней правом рычаге устанавливают единицу, в высших разрядах устанавливают числа а/ так, чтобы высшие разряды суммы произведенн! не вышли ва пределы счетчика результатов, на котором в высших
П п
разрядах получится 2 “ipti а в низших разрядах 2 Р*> Деление i-1 i-1 производят обычным путем (методом последовательного вычитания
делителя из делимого). Сумму 2 Pi можно сиять со счетчика результатов установив ее на рычагах и повернув рукоятку один раз в обратном направлении; попутно этим будет проконтролирована установка 2 Р1 на Рычагах арифмометра. При больших значениях at арифметическую средину следует вычислять по формуле
2
х = а0-
2=1
п
;=i
где
et = at а0.
Без записи промежуточных даппых на арифмометре можно вычислять ряд других выражений.
К числу эффективных средств, которые широко используются при вычислении на арифмометрах и различных клавишных машинах, относятся различного рода таблицы.
Ипженеру-геодезпсту приходится пользоваться различными таблицами, составляемым^ для определенных функций.
Таблицы обычно делят на общие и специальные. Общими таблицами являются, например, таблицы логарифмов чисел, таблицы умножения и деления, таблицы квадратных корней и т. п. Примером специальных таблиц могут служить таблицы превышений, таблицы приращений координат, таблицы размеров рамок планшетов и т. д.
Таблицы разделяют по системе расположения материала. Материал таблиц располагают по определенному закону так, чтобы они были компактны, удобны и по ним можно было быстро находить нужные величины. По системе расположения ма'териала различают таблицы с одним, двумя, тремя входами и т. д. Число входов связано обычно с числом аргументов функции, для которой составлены таблицы.
Таблицы составляются с разным числом знаков. Например, цри геодезических вычислениях применяются таблицы логарифмов, Имеющие от четырех до восьми знаков. Таблицы натуральных вначений тригонометрических функций при тех же вычислениях применяются от четырехзначных до десятизначных. Не безразлично, с каким числом знаков употреблять таблицы для тех или иных вычислений. Можно выбрать таблицы с недостаточным числом эпаков, и тогда не получим требуемой точности в результате вычислений, если даже будем оперировать с точными числами. Если возьмем таблицы с большим числом знаков, чем требуется, то затратим много времени на вычисления, значительно понизим производительность вычислительного труда. При всех вычислениях
необходимо выбирать таблицы с необходимым п достаточным числом зпаков в зависимости от точности исходных данных и требуемой точности результатов вычислений.
В настоящее время, в связи с применением различных вычислительных машин, особое значение имеют таблицы натуральных значений тригонометрических и других функций, хотя уже сконструированы настольные машины, на которых натуральные значения тригонометрических функции определяются за долм секунды (см. 1.3.15).
Основным достоинством всяких таблиц является удобство их использования и отсутствие в них ошибок (опечаток).
При составлении, контроле и употреблении таблиц используют конечные разности. Напишем функцию
U = f(x),
значение которой определено для ряда равностоящих значений аргументов
х0 а, г1 = а + А, x3 = a + 2k, x3 = a-f-3h и т. д.
Если независимой, переменной х давать конечное приращение к, функция получит приращение, равное
Ь'9х = Ух+Г1Ух-
Эта разность называется конечной разностью первого порядка функции уу или первой разностью. Вторые разности, или разности иторого порядка, составляются из первых разпостей
&"Ух ~&Ух+Н' Ь'Ух-
Третьи разности составляются из вторых разностей Ь'"Ух = AYt И Т. д.
Табличные разности обычно записывают целыми числами в единицах младшего разряда зпачений функции, данных в таблицах.
О правильности таблиц можно судить по постоянству конечпых разностей.
Если для целых рациональных функций конечные разности постоянные величины, то для трансцендентных функций этого не будет. Однако и для этих функций конечные рааности достаточно высокого порядка близки к постояппым и ими можно пользоваться при составлении и коптроле таблиц.
При использовании таблиц приходится применять различные интерполяционные формулы. Если вторые разности | Д Пуп) I <4 единиц последнего апака, то ими и последующими разностями можно пренебречь и пользоваться линейным (пропорциональным) интерполированием. Если | | Е> 4 единиц, а | Д'"у | <3 7 еди
ниц последпего знака, то без потери точности мошпо допускать интерполирование по формуле
«Механизация вычислительных
У=Уо +1 • Дуо Н ^~ Д6Уо-
При этом значение t определяется по формуле
h
где х0 табличное значение аргумента, соответствующее табличному значенпю функции уа\ х задапное значение аргумента, соответствующее искомому значепию функции у\ h шаг таблиц.
Г. КЛАВИШНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ (КВМ)
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
КВМ это машины с ручным вводом исходных данных и ручным управлением работой на них путем нажатия на соответствующие клавиши. Сконструировано и применяется много различных КВМ: суммирующих, табличных, вычислительных и др.
На вычислительных табличных машинах можно записывать не только числа, по и буквенный текст. Эти машипы имеют довольно сложные устройства, приспособленные для составления различных ведомостей и получения итогов как по строчкам, так и по столбцам ведомости.
Для инженерных п экономических расчетов наибольшее распространение получили клавишные вычислительные машины: электромеханические, релейные и электронные.
Имеются электромеханические машины полуавтоматические п автоматические. Полуавтоматические машины (например, ВМП-2) это такие, при работе которых передвижение каретки из разряда н разряд и управление ходами машины осуществляется вручную. Операция деления на полуавтоматических машинах выполняется автоматически.
Автоматическими клавишными машинами (ВМА-2, САР, САРС, «Целлатрон» и др.) называют машины, автоматически выполняющие умножение и деление чисел. На всех КВМ типа «Целлатрон» Удобно вычислять без промежуточных записей выражения вида
2 fei/c/).
Полуавтоматические и автоматические электромеханические машипы конструируются на принципах: однеровского колеса, ступенчатых валиков и пропорционального рычага *.
Большую степень автоматизации вычислительного процесса имеют релейные клавишные машины («Вятка», «Вильнюс» и др.), они отличаются от электромеханических машин ие только принципами конструкции, но и своими эксплуатационными данными.
В последние годы у нас и во многих других странах стали выпускать электронные клавишные вычислительные машины (ЭКВМ), которые обладают высокой надежностью в»бесшумно эа доли секунд выполняют арифметические и некоторые логические операции.
Широкое применение при инженерных и экономических расчетах нашли ЭКВМ «Вега», «Искра-12», «Искра-1122», «Элка-22», «Зоемтрон-220» и др.
Некоторые из ЭКВМ заменяются новыми, более совершенными полупроводниковыми машинами, имеющими 46 регистров и более, что дает возможность почти все расчеты в паших специальностях производить без промежуточных записей.
Регистр это га-разрядное устройство запоминания и хранения чисел. В разных ЭКВМ количество разрядов в регистрах бывает разным: от 6 до 10 и более. В последнее время стали выпускать ЭКВМ на интегральных схемах, что позволило уменьшить общин вес до 1,5 кг и размеры машин до 4 X 7 X 25 см и увеличить их надежность в работе.
Для повышения •производительности труда необходимо стремиться выполнять вычисления без промежуточных записей, так как это одновременно уменьшает промахи, которые появляются при частом списывании чисел со счетчиков, а также сильно уменьшает влияние погрешностей вычислений на окончательный результат, ято особенно важно при вычислении по сложным формулам.
Машина сконструирована на интегральных схемах, имеет 4 оперативных регистра и 2 регистра памяти. На цифровом индикаторе высвечиваются числа до 16 разрядов, высвечивается знак числа, номер индицируемого регистра и знак переполнения регистра. Машина автоматически бесшумно выполняет все арифметические операции и извлечение квадратного корня. На ней удобно производить без промежуточных записей различные геодезические вычисления, с учетом знаков чисел и места запятой в них.
Перед началом вычислений машину необходимо привести в рабочее состояние. Предварительно надо проверить, установлен ли предохранитель сети на требуемое напряжение. Затем, после включения шнура в сеть, тумблер выключателя поставить в положение «ВКЛ» и по истечении 3 минут нажать на клавишу «С» (клавиша 17 на рис. 1.3.2). Если во всех разрядах индикатора загорятся нули, то машина готова к работе.
При появлении на индикаторе внака переполнения (рис. 1.3.3) для приведения машины в рабочее состояние необходимо нажать клавишу сброса регистра клавиатуры «СК» (клавиша 1 па рис. 1.3.2).
При вводе числа нажимаются требуемые клавиши цифровой клавиатуры 11 и клавиша запятой 21. Число каждый раз высвечивается на индикаторе.
Для установки необходимого количества десятичных знаков „ числах служит вращающийся диск 5 С индексами 0, 2, 4, 6, 8, 10, с помощью которого переключается положение запятой. Учитывая количество значащих цифр, имеющихся в исходных данных, и количество требуемых значащих цифр в результате, можно приближенно
Рис. I.S.2. Клавиатура ЭКВМ «Искра-12М»
сообразить, на сколько знаков надо установить переключатель вапятой.
Примеры вычислений на ЭКВМ «Искра-12М» показаны в табл. 1.3.1.
ч
Рис. 1.3.3. Цифровой индикатор ЭКВМ «Искра-12М»
1 номер регистра; 2 знак переполнения; 3 десятичные разряды; 4 знак числа
При выполнении операций каждый раз сначала необходимо переключатель установки нанятой (см. рис. 1.3.2) установить в тре-_ уемое положение, а затем уже нажимать цифровые и операционные клавиши.
Операции |
Примеры |
Порядок набора чисел и нажатия операционных клаойш |
Результаты на индикаторе |
Сложение и вычитание |
Переключатель запятой в положении 2. 45,48,34+46,3 |
45,4 |=| 8,341+| 46,3 R |
83,36 |
Умножений |
Переключатель запятой в положении 2. -4,352.1,411-26,16 |
4,352 |/-/ |х| 1,411 | х\ 26,16 Й |
160,63 |
Деление |
Переключатель запятой в положении 6. 434,564 0,863465 • 132,4648 |
434,564 |Т| 0.863465 |Т| 132,4648 |=| |
3,799343 |
Обратное деление |
Переключатель запятой в положении 4. 463,45 12.382 - 9.442+14,200 |
12,382 |х| 9,442 |+| “•206 00 463,451=| |
3,5346 |
Умножение на постоянный множитель |
Переключатель запятой в положении 4. 0,61591-614.16 0,78781 • 614,16 |
614,10 ) 0,61591 |П| 0,78781 |П| |
378.2672 483,8413 |
Воз ведение в степень |
Переключатель запятой в положении 2. 4,183 |
4'18й 00 |
73,03 |
Извлечение квадратного корня |
Переключатель запятой в положении 4. V31383,7 |
31 383,7 |?| |
177,1544 |
ЭКВМ «Искра-1122» сконструирована на интегральных схемах с индикацией чисел на экране электронно-лучевой трубки. Машина оперирует с 12-разрядными десятичными числами и производит все арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, обратное деление) с учетом знаков и положения запятой за доли секупды. Накопление результатов вычислений можно производить в трех регистрах памяти: Al, А2 и АЗ.
Автоматическое накопление чисел (операндов) и результатов цри выполнении арифметических действий осуществляется, если
нажаты клавиши «2 I»! «2 *2 3|>
Рассмотрим способ автоматического накопления на примере вычисления общей арифметической середины.
2aPi 6,4Х2,1 + 6,8Х1.7+4,ЗХ0,9 28,87 £pi ~ 2,1 + 1,7+ 0,9 4,70 ' '
Для накопления значений 2 рс и 2 aiP1 необходимо нажать клавиши «У 2» и «23». Тогда в регистре А2 накопится 2 Pi = = 4,70, а в регистре АЗ накопится 2 «iP/ = 28,87- Значение X можно получить так.
Нажать на клавиши «2 2» и «2 3» (выключить устройства
накопления регистра памяти). Погасить число, находящееся в регистре клавиатуры (нажать клавишу «С», от чего погасятся все три операционные регистры РК, PC, РВ). Нажатием на клавишу АЗ передать число 28,87 в регистр клавиатуры.
Нажать клавишу деления (-f-). Нажать клавишу «А2» (передать число 4,70 в регистр клавиатуры) и затем нажать на клавишу «=». После этого па экране ЭЛТ в четырех его строках появятся числа: 0; 4,70; 28,87; (5,14.
На этих ЭКВМ (рис. J.3.4) можно производить вычисления как вручную, так и с помощью программ.
Числа и знаки, вводимые путем нажатия соответствующих клавиш, и результаты вычислений индицируются на экране электронно-лучевой трубки (ЭЛТ). Важное преимущество этих машин по сравнению с другими ЭКВМ заключается в том, что па них можно выполнять вычисления как с плавающей, так и с фиксированной запятой. Все вычисления производятся с плавающей запятой для 12-разрядных чисел, а на экране ЭЛТ индицируются числа, имеющие до десяти значащих цифр в мантиссе и два разряда порядка. Каждой клавише (кроме «шаг прогр» и «ПП») соответствует цифровой код п восьмеричной системе (от 00 до 76), который служит для контроля ввода программы.
5 табл. 1.3.2 показаны операции, которые выполняются машиной при одном нажатии соответствующей клавиши.
Рас. 1.8.4. ЭКВМ «Электроника-70М»
1 переключатель «градусы радианы»; 2 переключатель «плавающая . фиксированная запятая»; з электроннолучевая трубка; 4 устройство записи считывания с магнитных карт; 5 переключатель «программирование вычисление»; 6 переключатель установки числа знаков после зашитой; 7 клавиши управления; 8 клавиши арифметических операций и ввода данных; 9 клавиши обмена и передачи информации между регистрами; 10 функциональные клавиши
Таблица 1.3.2
Номера операций |
Наименование операций |
Время выполнения (сек) |
1 |
Сложение, вычитание, умножение, деление, из |
0.02-0,04 |
влечение квадратного корня |
||
2 |
Вычисление логарифмов (десятичных и нату |
0,05-0,15 |
ральных) и показательной функции |
||
3 |
Вычисление значений синусов, косинусов и тангенсов углов, а также обратных тригоно |
0,3 |
4 |
метрических функций в радианах |
|
Преобразование координат (вычисление прямоугольных координат но полярным и наобо |
0,3 |
|
рот) |
На ЭКВМ «Электроника-70» и «Электроника-70М» удобно находить логарифмы чисел, вычислять значения тригонометрических функций, производить преобразования полярных координат в прямоугольные и наоборот, а значит, удобно и эффективно решать массовые геодезические задачи. Например, на решение задачи По- тенота по программе затрачивается около одной минуты, с вводом в машину координат и углов.
Программирование для этих машин производится упрощенным способом. Для составления программы необходимо знать назначение каждой клавиши и программу составлять по возможности с наименьшим количеством шагов (команд), учитывая огра- ниченпый объем памяти ОЗУ (196 и 392 тага). Назначение каждой клавший описывается в инструкции по эксплуатации машин. При записи программы указывается шаг, пазвание клавиши и восьмеричный код клавиши.
Программа записывается на магнитную карту размером 5 X X 9 см и может быть использована любое число раз. Перед записью программы па магнитную карту необходимо ее проверить по шагам при помощи клавиши «шаг программирования». Из записанных программ на магнитные карты составляется библиотека программ. Кроме того, вместе с машиной поставляется библиотека программ, включающая более 100 программ для решения задач из различных областей пауки и техники, некоторые из них можно использовать и в геодезии. Для решения той или иной задачи магнитная карта, на которой ваиисана программа задачи, вставляется в считывающее устройство машины, и программа за несколько секунд записывается в регистры машины. После этого по данной программе можно решать любое число задач.
Машины «Электроника-70» и «Электроника-70М» могут быть использованы для решения разнообразных и сложных инженерных задач. Эти машины имеют ряд периферийных устройств, непосредственно стыкующихся с ЭКВМ двухкоордннатный графопостроитель, электростатическое цифропечатающее устройство и опти- нескии считыватель с бумажных карт, на которые наносится программа с помощью карандашных меток.
Кроме того, имеется внешнее запоминающее устройство «Электроника-72», которое составляют 248 доступных оператору регистров для хранения до 248 числовых данных и до 3472 шагов программы.
К ЭКВМ со специальным буферным блоком одновременно можно подключать другие внешние устройства (перфоратор, считыватель с перфоленты, цпфропечатающее устройство н др.).
ЭКВМ конструируются на различных принципах п основах, в том числе и на базе интегральных схем. Многие ЭКВМ могут работать не только от сети переменного тока и от 12-вольтной автомобильной батареи, но и от вмонтируемых в машину периодически заряжаемых батарей. Уже сконструированы миниатюрные ЭКВМ и машины «карманного» типа весом в 0,5 кг и даже 0,15 кг.
в. о в о с % |
Название машины |
КоЛ1 CTi реги Ю к 0,3 a я о с |
тче- 30 ст- в В н Б S л С |
Разрядность чисел |
Скорость выполнения отдельных операций (сек) |
Потребляемая I мощность (Вт) 1 |
||||
± |
X |
н- |
V |
|||||||
1 |
Вега |
2 |
1 |
20 |
0,06 |
0,60 |
1,0 |
5,0 |
30 |
2 |
2 |
ЭДВМ |
2 |
2 |
16 |
0,05 |
0,60 |
1,0 |
3,0 |
25 |
2 |
3 |
Раса |
3 |
1 |
12 |
1,0 |
1,5 |
1,8 |
|
60 |
2 |
4 |
Искра-11 |
3 |
1 |
15 |
0,1 |
0,3 |
0,3 |
|
60 |
2 |
5 |
Искра-12 |
4 |
2 |
16 |
0,03 |
0.5 |
0,5 |
1,5 |
60 |
2 |
6 |
Искра-22 |
3 |
2 |
27 |
0,03 |
0,5 |
0,7 |
|
100 |
3 |
7 |
Искра-111 |
3 |
1 |
12 |
0,05 |
0,2 |
0,3 |
|
30 |
|
8 |
ПКВМ-3 |
2 |
1 |
12 |
0.15 |
1 |
1 |
3 |
Юо |
1 |
9 |
Орбита |
2 |
2 |
15 |
0,07 |
0.2 |
0,2 |
|
40 |
i; |
10 |
Зоемтроп-220 (ГДР) |
3 |
3 |
15 |
0,01 |
0,5 |
0,5 |
|
60 |
i: |
11 |
ЭЛКА-22 (НРБ) |
2 |
1 |
12 |
0,1 |
0,5 |
0,5 |
|
30 |
|
12 |
Искра-12М |
4 |
2 |
16 |
0,05 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
45 |
i. |
13 |
Искра-110 |
3 |
|
8 |
0,03 |
0,25 |
0,35 |
|
15 |
3,1 |
14 |
Искра-122 |
6 |
5 |
16 |
0,02 |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
50 |
i. |
15 |
Искра-1122 |
3 |
3 |
12 |
0,03 |
0,3 |
0.3 |
|
30 |
is |
16 |
Электроника-ДД |
2 |
1 |
14 |
0,03 |
0,4 |
0,4 |
|
45 |
li |
17 |
Элсктронцка-С2 |
3 |
3 |
15 |
0,05 |
0,5 |
0,5 |
|
35 |
7,1 |
18 |
Электроипка-155 |
2 |
1 |
12 |
0,05 |
0,3 |
0,3 |
|
40 |
t |
19 |
Э лектро а ика-70М |
3 |
32 |
12 |
0,00 |
0.02 |
0,02 |
0,04 |
75 |
If |
20 |
Искра-123 |
3 |
5 |
16 |
0,02 |
0,10 |
0,10 |
0,2 |
40 |
15 |
Почти на всех ЭКВМ, кроме обычных арифметических операций, можно получать алгебраические суммы произведений, алгебраические суммы частных и производить (применяя рациопальные приемы) многие инженерные и экономические расчеты без промежуточных записей.
Необходимо отметить, что современные ЭКВМ конструируются не только с плавающей, но и с фиксированной запятой. В последних часто происходит переполнение регистров устройств запоминания и хранения чисел. Хотя в ЭКВМ рсгпстры имеют 1216, а иногда и более десятичных разрядов, прп вычислении на некоторых из этих машин результаты могут получиться неправильными потому, что в конструкции таких машин точность результатов определяется не числом значащих цифр в компонентах, а количеством десятичных знаков, т. е. знаков после запятой.
В технических описаниях и инструкциях по эксплуатации ЭКВМ часто не учитывается, что только прп сложении и вычитании точпость характеризуется количеством десятичных знаков. При умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня точность результата характеризуется не количеством десятичных знаков, а количеством значащих цифр, имеющихся в приближенных числах, входящих в вычисление.
При использовании ЭКВМ с плавающей запятой можно даже на машинах, имеющих регистры в 8 десятичных разрядов, производить геодезические расчеты с необходимой и достаточной точностью и значительно повысить производительность труда.
В табл. 1.3.3 приведены технико-эксплуатационные характеристики ЭКВМ, нашедших наибольшее распространение в нашей стране. Отметим, что ЭКВМ «Искра-123» машина с программным управлением, с максимальной длиной программы в 71 шаг. С 1974 года выпускается ЭДВМ-ЗП, имеющая большие возможности для геодезических вычислений.
Д. ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ (ЭВМ)
Около четверти века тому назад начали впервые применять ламповые ЭВМ для решения отдельных небольших задач. После первых экспериментов ЭВМ стали стремительно развиваться. За короткий срок сменилось первое поколение машин (ламповые) и заменяется второе поколение (полупроводниковые машины) машинами третьего поколения, конструируемыми на базе интегральных схем. Ведутся работы по конструированию ЭВМ четвертого и пятого поколепий с производительностью свыше 10100 млн. операций в секунду.
В ипженерных, экономических, плановых и во многих других расчетах в настоящее время широко применяются полупроводниковые ЭВМ типа «БЭСМ», «Минск», «Урал» и др. Начинают внедряться ЭВМ единой системы (ЕС), построенные на интегральных
Каждая ЭВМ состоит из большого количества элементов электронной автоматики, которые объединены в отдельные блоки, называемые устройствами. К основным устройствам относятся:
ПРУ пулы ручного управления; Увв устройство ввода информации (программы и исходных данных); ЗУ запоминающее устройство; АУ арифметическое устройство; УУ устройство управления; Увыв устройство вывода решения и некоторых данных.
Все эти устройства соединены между собой каналами связи (проводами) для передачи чисел в виде электрических сигпалов
Рио. 1.3.5. Блок-схема ЭВМ
1 основные управляющие сигналы, передаваемые от одного устройства к другому; г движение информации (чисел и команд)
из одного устройства в другие (рис. 1.3.5). Прн этом каждое устройство выполняет определенную работу независимо от других частей машины.
Пульт ручного управления (ПРУ) служит для оперативного ручного управления машиной (пуск, остановка машины, ввод отдельных чисел, контроль за ходом вычислений).
Устройство ввода (Увв) служит для переноса в запоминающее устройство (ЗУ) программы решения задачи и исходных данных. Современные ЭВМ имеют различные устройства ввода, включающие ввод с перфокарт, перфолент, с ручной пишущей машинки и др.
Запоминающее устройство (ЗУ) предназначено для хранения исходной, промежуточной и результативной информации. Оно состоит из нескольких отдельных устройств: а) быстродействующего, называемого оперативным (ОЗУ) или памятью машины;
б) внешнего запоминающего устройства (ВЗУ), называемого накопителем (накопители на магнитных барабанах, на магнитных дисках, на магнитных лентах); в) долговременного запоминающего устройства (ДЗУ), в котором обычно записываются некоторые стандартные программы.
ОЗУ имеет емкость 2048, 4096, 8192, 16 384 яисел (слов), а иногда и большую. ОЗУ предназначено для приема, хранения и выдачи чисел и команд. Через ОЗУ проходит вся информация, поступающая в машину, и информация, идущая на вывод. Скорость работы ОЗУ выше скорости других устройств. ВЗУ имеет большую емкость, содержащую от нескольких сот тысяч до нескольких миллионов яисел.
Запоминающие устройства состоят из отдельных ячеек, каждой из которых присвоен свой номер, называемый адресом. В ячейку помещается обычно одно число с определенным количеством разрядов: от 30 до 50 двоичных знаков, что соответствует 610 десятичным знакам. Например, ЭЦВМ М-220, БЭСМ-4 и др. имеют ячейки по 45 двоичных разрядов и позволяют вводить и выводить 9-разрядные десятичные числа.
Содержание ячейки называется машинным словом, которое представляет собой некоторую закодированную информацию.
ВЗУ н ДЗУ связаны только с оперативной памятью (ОЗУ), и хранящаяся в пих информация попользуется другими устройствами только через ОЗУ.
Арифметическое устройство (АУ) выполняет элементарные арифметические, логические и др. операции. АУ, как и другие устройства, выполняет операции в соответствии с командами, предусмотренными программой, для решения данной задачи.
Каждая команда изображается в виде некоторого условного япсла, реализуемого электрическим сигналом. Команда состоит из адресов и кода операции, представляющего собой номер операции, которую машина должна выполнить. Последовательность команд является программой решения задачи. АУ вырабатывает управляющие сигналы, которые поступают в УУ. Обычно ОЗУ, АУ и УУ вместе называют процессором машины.
Устройство управления (УУ) обеспечивает автоматическое управление работой машины в процессе вычислений в соответствии с программой. Оно связано со всеми устройствами ЭВМ. УУ расшифровывает поступающие в него команды, вырабатывает управляющие сигналы и посылает их в другие устройства машины, ука- аывая дальнейший путь вычислений. На рис. 1.3.5 управляющие сигналы показаны одинарными стрелками, а двойные стрелки указывают обмен информации между различными устройствами ЭВМ.
Устройство вывода (Увыв) служит для записи полученных результатов вычвслений в виде печати на бумаге, пробивок на перфокартах, перфолентах, вывода информации на телетайп, световое табло и др. Увыв преобразует электрические сигналы в механические действия, и поэтому скорость его работы значительно ниже Других устройств. Скорость печати 20 чисел в секунду, а скорость вывода чисел с использованием фотопечати около 200 чисел в секунду. Это очень низкая скорость, если учесть, ято сложение двух чисел простейшая ЭВМ выполняет за доли миллисекунды (1 мсек = 10“3 сек). Уже имеются ЭВМ, которые выполняют сложение за микросекунды (1 мксек = 10~в сек) и даже за наносекунды (1 нсек = 10'® сек). Ведутся исследования по созданию быстродействующих устройств ввода и вывода.
ЭВМ производит операции со словами, которые в нее вводятся. Слова в машине обычно изображаются в виде двоичпых чисел, в которых используются только две цифры (два символа) 0 и 1, называемые битами. Имеются ЭВМ, выполняющие операции и -в других системах счисления.
Системы счисления подразделяются на позициопные и непозиционные. К позиционной относится наша десятичная система с основанием 10 и другие системы, применяемые в ЭВМ; к непозиционным относится римская система счисления.
Позиционные системы называются так потому, что значение каждой цифры зависит от ее позиции, положения в данной последовательности цифр. Например, в числе 648,36 цифра «6» слева обозначает шесть сотен, а цифра «С» справа шесть сотых. Количество разных знаков, применяемых в данной позиционной системе, называется ее основанием. Привычная нам десятичная система имеет 10 знаков от 0 до 9. Число 648,36 в десятичной системе счисления можно записать так:
648,36 = 6-102 + 4-101+8-10“ + 3-10-1+6-10-2.
Обозначив буквами о„, an-i, • • •, вц о0, а-п а-2> • ■ •> а-к цифры некоторого числа N в системе счисления с основанием q, можно написать
N=anqn + an_1qn~1+. . . + 0^1 + o0q° + a.tf-1 + a_2q-z + . . .a-Kq~K, или сокращенно
i= к
N= 2 “ifl1- (L3-4>
l=n
где n + 1 положительное число, определяющее количество разрядов в целой части числа N\ к положительное число, определяющее количество разрядов в дробной части числа (после запятой); а(- цифры числа, удовлетворяющие неравенству 0 а,- ^ =5 Я 1; Я основание системы счисления. Пользуясь формулой 1.3.4, можно переводить числа из любой позиционной системы в десятичную систему. При 9=2 система называется двоичной, в которой ai = 0, 1; при 9=3 система называется троичной, в которой я; = 0, 1, 2; при 9=8 система называется восьмеричной, в которой а; = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; при q = 16 система называется шестнадцатиричной, в которой а; = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а, Ь, с, d, е, /. Представляет интерес система счисления с основанием q = = 32, число цифр в которой совпадает с числом букв в русском алфавите, и поэтому буквы удобно кодировать числами. Используемая система счисления связана с конструкцией ЭВМ.
Арифметические операции во всех позиционных системах выполняются по одинаковым правилам, но с использованием своих таблиц сложения и умножения. Таблицы двоичной системы счисления наиболее просты, так как состоят только из четырех комбинаций цифр.
Таблица сложения Таблица умножения
0+0=0 0X0=0
0+1=1 0X1=0
1+0=1 1X0=0
1 + 1 = 10 1X1=1
Для счета в ЭВМ чаще всего применяют двоичную систему потому, что арифметические операции наиболее просты именно в двоичной системе счисления. Например,
1001,11 9,75
+ 111,10 + 7,50
10001,01 17,25
Пользуясь формулой (1.3.4), полученную двоичную сумму легко перевести в десятичное число:
10001,01 = 1 ■ 24+ О ■ 23 + О • 22+ О • 21 + 1 • 20 + о ■ 2-1 +
+ 1.2-s = 17 + -J-, при этом (10001)2 = (17)10, а (0,01)2 = (0,25)10.
Умножение двоичных чисел в ЭВМ сводится к сдвигу множимого в сторону старших разрядов и сложению. Однако двоичная система имеет и свой недостаток, заключающийся в том, что она требует для изображения числа примерно в 3,3 раза больше разрядов, чем десятичная.
В любой позиционной системе целые числа точно изображаются целыми. Дробные числа изображаются дробными, но обычно приближенно, за исключением отдельных дробных чисел.
Правило перевода целых чисел из одной позиционной системы в другую можно сформулировать так. Необходимо делить данное число и получающиеся частные на основание q повой системы до тех пор, пока не получится частное, меньшее основания системы. Новое число в системе я будет равно остаткам деления, начиная с последнего частного. Например, при переводе десятичного числа 473 в восьмеричную запись поступают так.-
Это значит, ято (473) 10 =« (731)а- Дли контроля полученное восьмеричное число можно перевести в десятичное число, пользуясь формулой (1.3.4):
JV10 = 7-82+3.81 + 1 -8<> = 473.
Перевод дробных чисел производится путем умножения данного числа и получающихся дробпых частей па основание новой системы, пока в дробной части числа пе получится пуль, если число переводится точно, или пока не будет получено необходимое количество значащих цифр.
Десятичное число 0,5463 переводится в двоичное не точно, а приближенно. Производя последовательное умножение данного чпсла 0,5463 на 2, получим
0 |
*5463 х 2 |
1 |
„0926 х 2 |
0 |
V1852 х 2 |
0 |
^3704 х 2 |
0 |
v7408 X 2 |
1 |
4816 |
Направление чтения искомого числа
Следовательно, (О,5463)10 = (0,10001...)2.
Необходимое количество значащих цифр при переводе чисел иэ одной позиционной системы в другую можно подсчитать по формуле
к=д Igq + (re-l)lgg-lgb +1) (135)
где к количество значащих цифр в определяемом числе с основанием ft; п количество значащих цифр в данном числе с основанием q; а первая значащая цифра данного яисла; Ь первая значащая цифра определяемого яисла.
Пользуясь формулой (1.3.5), для нашего примера приближенно получим
*=м+1~13-
Таким образом, чтобы сохранить точность при переводе десятичного числа 0,5463, имеющего четыре значащие цифры, в его двоичном эквиваленте, необходимо получить тринадцать значащих цифр, в нашем примере 13 двоичных знаков после запятой.
В практике вычислений на ЭВМ используются также смешанные формы записи чисел:
Восьмерпчная система счисления применяется для записи программы вычислений на ЭВМ благодаря простоте перевода чисел на восьмеричной в двоичную систему и обратно. Двоично-восьмеричная система заключается в том, ято десятичное число сначала переводится в восьмеричное, а затем каждая восьмеричная цифра заменяется тройкой двоичных знаков, называемых триадой (табл. 1.3.4).
Таблица 1.3.4
Восьмеричные цифры |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Триады |
000 |
001 |
010 |
011 |
100 |
101 |
110 |
111 |
Каждая триада соответствует одному восьмеричному разряду. Поэтому для перевода двоичного числа в восьмеричное достаточно двоичное идсло разбить на триады вправо и влево от занятой и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой. Например, двоичное число 101 001 001, 010 100 в восьмеричной системе изобразится так: 511,24.
Если каждую цифру восьмеричного числа заменить двоичной триадой, то получится запись .числа в двоичной системе счисления. Например:
275,61в=Ю 111 101, 1100012-
Большинство ЭВМ выполняют все вычисления в двоичной системе счисления. Программа решения аадачи, записанная в восьмеричной системе, легко перекодируется в двоичную систему па специальных перфораторах.
Исходные данные, заданные в десятичной системе, записываются на перфокартах или перфолентах в двоично-десятичном коде. Двоично-десятичная запись .чисел заключается в том, ято каждая десятичная цифра представляется двоичной четверкой, называемой тетрадой (табл. 1.3.5).
Таблица 1.3.5
Десятичпые цифры |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Тетрады |
0000 |
0001 |
0010 |
ООН |
0100 |
0101 |
оно |
0111 |
1000 |
1001 |
Десятичное число 689,05 в двончио-десятпчном коде изобразится так:
689,05(Г(,, = 110 1000 1001, 0000 0101 (г_10).
Для перекодировки двоично-десятичного числа в десятичное необходимо двоично-десятичное число разбить на тетрады влево н вправо от запятой и каждую тетраду заменить соответствующей десятичной цифрой.
Из возможных шестнадцати различных тетрад: 0000, 00001, . . 1111 в двоично-десятичной записи используются только первые десять тетрад.
В шестнадцатиричной системе используются все 16 тетрад.
Двоичная система позволяет использовать наиболее простые электрические цепи в ЭВМ. С помощью запоминающих двоичных элементов может быть представлено любое двоичное число. В ЭВМ используются две формы представления чисел: естественная (с фиксированной запятой) и нормальная (с плавающей запятой). В соответствии с этим по своей конструкции ЭВМ бывают с фиксированной и плавающей запятой. В настоящее время ЭВМ конструируются для вычисления как с фиксированной, так и с плавающей запятой.
При работе на машинах с фиксированной запятой все числа х; при помощи масштабных множителей изменяют в некоторое количество раз и делают их меньше единицы | х,- | <; 1 так, чтобы для каждого из чисел выполнялось неравенство q~n sg | х; | (1 <ГЛ)> где 5 основание используемой системы счисления, are количество разрядов в целой части числа.
При вычислении па машинах с фиксированной занятой может произойти потеря значащих цифр (а значит, и потеря точности) или даже получиться такое малое число, которое окажется меньше единицы младшего разряда ячейки памяти, так называемый машинный нуль. При дальнейших операциях это может привести к неверным результатам.
В машинах с плавающей запятой любое число представляется как произведение двух сомножителей:
х = ± mq±p,
где т мантисса числа (т << 1); р целое положительное или отрицательное число, называемое порядком. Например, десятичные числа 425,75 и 0,09375 в нормальной форме могут быть записаны так:
425,75 = 0,42575-103; 0,09375= 0,9375-10-1.
Этп числа в двоичной системе могут быть записапы так:
110 101 001,11 =0,11010100111 ■ 10+юо1; 0,00011= 0,11 • 10-п.
Различают нормализованные и ненормализованные числа. Нормализованным называют такое число, в котором в первом разряде (после запятой) стоит не нуль, а любая значащая цифра (для
двоичного числа единица). Таким образом, в нормализованном ряде ииело записывается так, чтобы
-i-sSMCl-
Операции в ЭВМ выполняются с кодами чисел и их знаками.
Знак «+* кодируется нулем, знак «» кодируется единицей. Все арифметические операции сводятся к сложению, точнее к нало- жепию импульсов. При умножении знаки чисел складываются.
Арифметические и логические операции выполняются в ЭВМ по правилам действий двоичных чисел, при этом двоичные числа представляются в прямом, обратном и дополнительном кодах.
Положительные числа во всех трех кодах изображаются одинаково и их изображение совпадает с обычной формой записи двоичных чисел.
Отрицательные двоичные числа имеют единицу перед запятой. П ри записи отрицательных двоичных чисел в прямом коде (ПК) числовые разряды не изменяются. При записи отрицательных чисел и обратном коде (ОК) изменяются все нули на единицы, а единицы на нули, что позволяет вычитание чисел заменять сложением. При записи отрицательных чисел D дополнительном кодо (ДК) сначала находят О К числа и затем добавляют к нему единицу в младший разряд.
При сложении в ЭВМ числа сначала изображаются в обратном коде и после этого сложение выполняется по обычным правилам во всех разрядах, включая и знаковый разряд. При этом если слева у знакового разряда получается единица, то она прибавляется к младшему разряду.
Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется пайти сумму двух чисел:
= 4-9,875(10) = + 1001,111,2) = 0,1001111 • 10+10°;
*2= 5,75„0) = -101,11(2, = -0,10111 • 10*11.
Если числа имеют разные порядки, то в машине сначала выравниваются порядки и затем производится сложение.
В нашем примере число х2 надо записать так: х2 = 0,01011Юх X10* loo. После этого мантиссы чисел записываются в обратном кодо и производится их сложение.
ОК(*!) = 0,1001111 + ОК(х2) = 1,1010001
ОК(*1 + *а) = 10,0100000
Получеппая сумма является положительпой потому, что в знаковом разряде остается (после переноса единицы в младший разряд) цифра 0. Поэтому
^ + *2= +0,0100001 • 10+100= +100,001.
Программа для вычислений па ЭВМ состоит из последовательности команд, каждая из которых содержит элементарную операцию. Команда состоит из кода и померов ячеек запоминающего устройства, называемых адресами. Число адресов в команде у разных машин разное. Наибольшее распространение в нашей стране получили полупроводниковые ЭВМ с трех-, двух- и одноадресными командами. Учитывая количество адресов в команде, ЭВМ пазывают одноадресными, двухадресными и трохадреснымп. В некоторых странах есть машпны и с другим количеством адресов: четырехадресные, полутораадресные и др. Есть ЭВМ с переменной адресностью, т. е. с перемепной длиной команд.
В одноадресных ЭВМ команда состоит из кода операции и одного адреса ячейки ОЗУ, в которой хранится помер ячейки, указывающий, откуда надо взять операнд, т. е. число, над которым выполняется операция.
Многие современные ЭВМ имеют одноадресную систему команд. К ним относятся ЭВМ семейства «Урал» и БЭСМ-6.
В двухадресных ЭВМ в адресной части команды содержится два адреса, которые отводятся либо для номеров ячеек, в которых хранятся операнды, либо для результата вычислений, пли в его втором адресе указывается помер ячейки, в которой расположена следующая команда.
К двухадресным машинам относятся машипы типа «Минск» и «Раздан».
В трехадресных ЭВМ комапда содержит, кроме кода опорацпи, три адреса, два из которых отводятся для номеров ячеек, в которых хранятся операнды, а в третьем адресе записывается номер ячейки ОЗУ, куда отсылается результат вычислений, полученный после выполнения данной комапды.
It трсхадресным ЭВМ отпосятся БЭСМ-ЗМ, БЭСМ-4, М-20, М-220, М-222 и др.
В ЭВМ Единой системы длина одной команды может быть разной и состоять из 2 байтов (полуслово), 4 байтов (слово), или из 8 байтов (двойное слово). Один байт состоит из 8 битов, пли двух десятичных цифр, или двух шестнадцатиричных цпфр, или из одной буквы, или представлять собой специальный символ. Емкость запоминающих устройств выражается в килобайтах (один килобайт равен 1024 байтов) и мегабайтах (один мегабайт равси
В табл. 1.3.6 приведены основные характеристики наиболее распространенных ЭВМ. На этих машинах решаются различпые инженерные и экономические задачи.
К числу распространенных ЭВМ надо отнести полупроводниковую машину «Минск-22», хотя выпуск ее уже прекращен. Однако эта машина и в настоящее время еще играет заметную роль в решении различных планово-экономических и пнженерпо-техпических, в том числе п геодезических задач. Это объясняется тем, что машина надежна в эксплуатации и достаточпо полно обеспечена библиотекой стандартных программ, куда входят: программы для решения систем линейных уравнений, программы по обработке результатов паблюдепий по методу наименьших квадратов, про-
Средняя скорость операций I в секунду! при рабо-| те с ОЗУ
Форма
представле
ния
чисел
1 ООО ООО 20 000 27000 30 000
20000
12000
1
з
3
1,2
2
1, 2, 3
Плавающая запятая То же
Фиксированная и плавающая запятая Плавающая запятая Фиксированная и плавающая запятая Плавающая запятая Фиксированная и плавающая запятая То же
Переменное Свободная адресация То же
20000
500 000
Разряд ность |
Средняя емкость ЗУ (слов) |
5 Л 5 |
л 1 |
* . н |
к „ Зсз, 2s® |
||
чисел (двоич ных разрядов) |
опера тивного |
на магнитных лентах |
на магнитных барабанах |
о а SU X a s UIS |
Снорост печати чисел, л |
ы 2 ж о С г> х |
^ 3 * я я - о 5 а Й с.* |
50 |
32 768 |
32 • 10» |
262 000 |
8400 |
2400 |
20 |
200 |
45 |
8192 |
до 8 - 10е |
16 384- -65 536 |
8400 |
2400 |
8 |
80 |
45 |
16 384 32 768 |
32 • 10е |
192 000 |
7200 |
1200 |
10 |
160 |
37 |
16 384- -65 536 |
38-10» |
8400 |
2400 |
15 |
100 |
|
48 |
16 384- -32 768 |
2,5 ■ 10» |
60000 |
6000 |
2400 |
20 50 |
150 |
37 |
4096 |
Постоянное ЗУ 8192 слов и для хранения программы 24 576 слов |
2600 |
1.6 |
16 |
||
Произ вольная |
8192 |
Б ЗУ 4096 слов ПЗУ 1,6 млн. бит |
10 симв/сек |
4 |
20 |
||
16, 32, 48, 64 |
64256 Кбайтов |
До 8 • 25•10» байтов |
До 8 - 7,25 Мбайтов на магнитных дисках |
500 карт |
650- 890 строк |
20 |
50 |
16, 32, 43, 64 |
До 1024 Кбайтов |
То же |
То же |
500 карт |
То же |
70 |
200 |
Число адресов в команде
граммы по решению различных задач методами линейного программирования и многие другие программы. Для ЭВМ «Минск-22» разработаны трансляторы (см. раздел Е) с языков АЛГОЛ, ФОРТРАН, АЛГЭМ и автокод-инженер (АКИ). Двухадресная ЭВМ «Мипск-22» имеет объем ОЗУ 8192 слов, среднее быстродействие 5000 оп/сек, разрядность 37 двоичных знаков.
Для больших объемов вычислений заслуживает внимания многопрограммная ЭВМ «Минск- 32», на которой удобпо решать различные ппженерные, экономические и учетно-статистические задачи. Ввод информации в ЭВМ «Минск-32» осуществляется с перфоленты, перфокарт и с пишущей машинки со скоростью соответственно: 1500 строк/сек; 600 карт/мип; 10 знаков/сек. Вывод информации можно производить на перфоленту со скоростью 80 строк/сек; па перфокарты около 100 карт/мин; на печать при помощи пишущей машинки со скоростью 10 знаков/сек и на печать при помощи алфа- Dитпо-цифрового печатающего устройства (АЦПУ) со скоростью около 400 строк/мпн.
Достаточно хорошее математическое (программное) обеспечение имеют ЭВМ семейства БЭСМ и М-222.
Для небольших объемов вычислений удобно применять ЭВМ «Мир», «Наири», «Проминь», для работы па которых не требуется специального обучепия программированию. В машину достаточно ввести при помощи электрифицированной печатающей машинки исходную информацию, и она на основе внутренней библиотеки подпрограмм автоматически решает задачу и печатает результаты.
Для автоматизации решения математических задач весьма удобной ЭВМ является «Мир-2», которая имеет емкость ОЗУ 8192 13-разрядных слов, емкость буферного запоминающего устройства (БЗУ) 4096 10-разрядпых слов, емкость постоянного запоминающего устройства (ПЗУ) 1,6 млн. бит. Вычислительный алгоритм п исходные числа вводятся в машину в виде словеспо-формульного описания в языках «Мир» или «Аналитик».
ЭВМ быстро развиваются. Уже сконструированы машины третьего поколения на мпкромодулях и интегральных электронных схемах. Существует два типа интегральных схем: тонкопленочные и полупроводниковые ннтегральпые схемы, имеющие миниатюрные размеры (до 5000 элементов в одном кубическом сантиметре). Это создает условия для конструирования пеболыпих размеров ЭВМ с большой надежностью.
Машина третьего поколении «Наири-З» оыполпена на интегральных гпбридпых микросхемах, что по сравпепню с полупроводниковыми ЭВМ дало возможность уменьшить габариты и вес машины и увеличить ее надежность, «Наири-З» отличается много- программностью и способностью одновременно решать несколько различных задач. Результаты вычислений на «Наири-З» можпо выводить на пишущую машинку, ленточный перфоратор и быстродействующую цифровую печать.
К третьему поколению относятся машины Единой системы (ЕС ЭВМ), созданные в содружестве социалистических государств. Единая система представляет собой унифицированную конструкцию программно-совместимых машин: ЕС-1010; ЕС-1020; ЕС-1021; ЕС-1030; ЕС-1040; ЕС-1050; ЕС-1060. Программы решения задач, составленные для одной машины, могут использоваться па всех других машинах Единой системы.
ЭВМ Единой системы оперируют с цифровой и буквенной информацией. Эти машины позволяют производить как различные вычисления, так и универсальную обработку данных и выдавать готовые документы, содержащие буквенно-цифровую информацию. В понятно буквенно-цифровой информации включаются и цифры, л буквы, и специальные символы.
ЭВМ Единой системы сконструированы для работы в режиме разделения времени, заключающемся в том, что ресурсы машины делятся между большим числом пользователей, имеющих свои индивидуальные дистанционные пульты, соединенные с машиной каналами связи.
На рис. 1.3,6 показан общий вид ЭВМ ЕС-1020 минимального состава (машина сконструирована в СССР и Болгарии), ЭВМ
Рно. 1.3.в. ЭВМ ЕС-1020 минимального состава
ЕС-1020 предназначена для решения технических, экономических и управленческих задач.
Структурная схема машины ЕС-1020 показана иа рис. 1.3.7. В ее состав входят: процессор, внешние запоминающие устройства, устройства ввода и вывода информации. Процессор состоит из вычислителя и основной оперативной памяти, которая может быть расширена от 64 до 256 Кбайтов (см. табл. 1.3.6). Учитывая, что К = 1024, можно подсчитать, что 64 Кбайта равны 16 384 десятич-
ным восьмиразрядным числам
Кбайтов равны 65 536 десятичным восьмиразрядным числам. В процессор также включены каналы: мультиплексный (МК) it селекторный (СК), а также устройство питания (см. рис. 1.3.7).
На рис. 1.3.7 кроме процессора показаны: ЕС-5511 устройство управления накопителями на магнитной ленте, в которое можно подключать до 8 накопителей ЕС-5010 емкостью каждый в 25• 1 Ов байтов; ЕС-5551 устройство управления накопителями на магнитных дисках и барабанах, в которое можно подключать До 8 накопителей разных типов (емкость одного смепного пакета Дисков равна 7,25 Мбайта); ЕС-6012 устройство ввода с перфокарт; ЕС-6022 устройство ввода с перфоленты; ЕС-7022 устрой
ство вывода на перфоленту; ЕС-7030 алфавитно-цифровое печатающее устройство) ЕС-7010 • устройство вывода на перфокарты; ЕС-7070 пишущая машинка с блоком сопряжения со стандартным каналом.
Высокопроизводительной ЭВМ, предназначенной для решения широкого круга технических, економических и рааличных специальных задач, является пвготовленная в СССР машина ЕС-1050, среднее быстродействие которой равно 500 тыс. описок. Основные дан-
ЕС-5551
7\
ЕС-1022
ECSD22
ЕС-7030
СС-50Ю |
[С-5010 |
[С-5056 |
1С-5055 |
СС-5511
£о В накопителей До В накопителей
ЕС-7070
£0-7010
ЕС-6012
I 1
ПРОЦЕССОР 2020
Инженерный пульт |
|
МК |
Вычисли тель |
С К |
|
СК |
|
Питание |
|
Оперативная память |
J
Рис. 1.3.7. Структурная схема ЭВМ ЕС-1020
ные о модели ЕС-1050 приведены в табл. 1.3.6. В состав ЭВМ ЕС-1050 входят; процессор, основная оперативная память общей емкостью до 1024 Кбайтов, каналы, устройства ввода-вывода информации, сервисная аппаратура. Количество и состав периферийных устройств определяются в казкдом конкретном случае.
Е. ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ЭВМ
Для решения конкретной вадачи на ЭВМ необходимо выполнить комплекс ручных и машинных действий, которые можно разделить па следуйщие этапы:
Один и тот же численныи метод может быть реализован при помощи различных алгоритмов, и задача заключается не только в выборе метода и алгоритма, по и в обеспечении наиболее эффективного использования ЭВМ. „
Основным на втором этапе является выбор или разработка алгоритма решения задачи, т. е. устаповленпе строгой последовательности всех операций (арифметических, логических и др.), применяя которые можно получить искомый ответ. Алгоритм, разработанный для данной задачи, должен быть применим к совокупности различных значений ее исходных данных. После выбора алгоритма составляют логическую схему программы в виде блок- схемы или в виде условных символов, называемых операторами, или в другом каком-либо виде. Логическая схема облегчает составление программы, наглядно и компактно отображая весь процесс решения задачи на ЭВМ. Прп разработке алгоритма решения задачи учитывается размещение информации в запоминающих устройствах ЭВМ.
Применяют два способа программирования: на языке конкретной машины (в кодах ЭВМ) и автоматизированное (с помощью алгоритмических языков). В обоих случаях необходимо пользоваться инструктивными материалами и применять разработанную технологию.
Программирование в кодах ЭВМ состоит из двух частей: распределение ячеек ЗУ и составление команд. ЗУ машины состоит из определенного числа ячеек, пронумерованных подряд от 0 до п 1. Поскольку каждая ячейка содержит определенное количество к разрядов, в нее может быть записано к-разрлдное число, называемое словом.
Составленную программу записывают в восьмеричной системе счисления и при помощи специального перфоратора переносят па перфокарты или перфоленты. Исходные данные также записывают на перфокарты или перфоленты, но в двоично-десятичном коде. На одной перфокарте ооычпо можно записать 12 команд или 12 чисел. Команды записываются триадами, числа тетрадами.
4 Четвертый этап заключается в том, что зафиксированную на перфокарты пли перфоленты информацию вводят в машину.
Если программа используется впервые, то она отлаживается (проверяется) при помощи тестов небольших задач, точное решение которых известио.
Пятый этап заключается в автоматическом решении задачи обычно без вмешательства человека. Проверка вычислении может осуществляться по контрольным формулам, или путем подстановки полученных заключений в решаемое уравнение, или при помощи двойного, а иногда и тройного счета. Машина автоматически производит все арифметические и логические операции, контролирует вычисления, полученные результаты переводит в десятичную систему счисления и печатает их на широкой пли узкой бумажной ленте или перфорирует на перфокарты или перфоленту.
па ^ВМ определяется соответствующими инструкциями подготовке исходной информации, проведению счета и др.
Эффективность программирования п кодах ЭВМ (непосредственного) или автоматизированного программирования определяется различными факторами: квалификацией программистов, сложностью задач, наличием математического обеспечения и др. Иногда для некоторых задач выгодно составлять программы непосредственным путем, но для большинства'задач аффективно применять автоматизированное программирование, если для данпой ЭВМ имеются программы-трансляторы, с помощью которых программа, записанная на алгоритмическом языке, переводится в команды данной машины. Отметим, что многие трансляторы недостаточно совершенны, и на выполнение программы, составленной с их помощью, затрачивается иногда в 1,52 раза больше времени по сравнению с программой, составленной в кодах машины квалифицированным программистом. Кроме того, программы, переведенные транслятором с алгоритмического языка, требуют больших объемов ЗУ, чем программы, составленные вручную.
Каждая ЭВМ может выполнять операции сложения и вычитания чисел, вычитапие модулей чисел, умножение, деление, пересылку чисел из ячейки в ячейку, сравпепие чисел (кодов), сложение и вычитание команд и многие другие операции.
Ячейка памяти ЭВМ обладает тем свойством, что записанное в ней слово (число) может храниться и прочитываться любое число раз, до тех пор пока в эту ячейку пе будет послано новое слово. При записи в ячейку нового слова предварительно стирается прежнее содержимое.
Команду можно рассматривать как число и как управляющий сигнал. Управление работой ЭВМ заключается прежде всего в изменении естественного порядка выполнения команд. Все команды машины можно разделить на две основные группы:
Непосредственное составление программы решения задачи включает в себя два вида работ: написание (или составление) команд программы и распределение памяти. Эти два вида работ тесно связаны друг с другом.
Сначала выполняют распределение памяти в общем виде, вводя буквенно-цифровые обозначения адресов ячеек: например адреса (номера) ячеек для команд программы обозначают а + 1,
а + 2 для исходных данных 6+1, Ь + 2, ..., для
промежуточных результатов г + 1, г + 2 для констант
е+ 1, е + 2, „ для окончательных результатов i+ 1, f 2 ■, •«
После такого распределения памяти составляют программу, записывая на месте адресов их буквенно-цифровые обозначения.
Составленная в таком виде в условных адресах. После того как программа составлена в буквенно-цифровом обозначении,видно,сколько опа занимает ячеек, и можно решить вопрос о ее размещении в памяти машины, т. о. дать конкретные числовые значения буквам а, Ь, с, г, t. Далее пере- ппсывают программу, прибавляя к числовым зпаче- пиям соответствующих букв относительные адреса, и получают таким образом программу в действительных адресах. Для сокращения записи при непосредственном программировании обычно пользуются символикой: 1) запись х -*■ а обозначает: число х посылается в ячейку а; 2) запись (а) = х означает: содержимое ячейки а равно х, т. е. в ячейке а хранится число х.
1.3.23. Блок-схемное представление алгоритма решения задачи. Циклические программы
При непосредственном программировании процесс решения задачи разбивается на этапы, которые обычно изображаются графически в виде прямоугольников (или других фигур) и называются блоками. Внутри блока текстом или условными обозначениями указываются действия, которые необходимо выполнить. Передачи управления от блока к блоку указываются стрелками.
Представим в виде блок-схемы алгоритм решения квадратного уравнения ах2 -(- Ъх -(- с = 0, корни которого можцо вычислить по формуле _____
b ± V №4а с _ Ь ± УД
«Г
Печать результатов
X
и
Останов
Рис. 1.3.8. Блок-схема программы вычисления корней квадратного уравнения
Вычисление |
дели чины |
Л |
де
Перевод исходных доннь/х uj 'есятц иной- системы в дво и чн у to
программа называется программой
l\ Ввод в ашину исходных данных и программы
£jВь/числение комплексных /горней
Перевод результатов из двоичной системы в десятичную
вычисление действительных порней
Проверка условия Д О или Л < О
При М ^0
При А<0
1
Если П Е& 0,
П С, О ТО уравнев?*: Уравнение имеет действительные корни, если решение уравнений**® имеет комплексно-сопряженные корни, т. е, что отражается на Производится по разветвляющейся программе, г олок-схеме (рис, 1.3,8).
Т Вдод исходных данных 6 машину
2J Организация счетчипа задач
-LIЛеребод исходны данных I* задачи 10^
~Ьы чи сление л, йул tg а
ZT вычисление
гладкого значения ^ Sing, cos at »
Рис. J.3.9. Блок-схема про* граммы для решения ве- сколышх обратных геодезических задач
Б
Переадресация
Z] Вычисление V S2^S
~T\ Продеркаусло&иХТ" Все задачи реше^/
W
Перебод результат & 2^Ю и их печап^ь
Стоп
г**еР то й геодезических вычислений является много- нГсН различными в “Р™ операций по одним и тем же формулам,
»»““;»г»“:г“г.=”\глг,яющ"ся ,,“т"
аадач по ф^рмуламРаШ1у для Решения обратных геодезических
У В У А
tg«,
5,=
у вУ А sin аАВ
coscT^-; S3 = у (ХВ *А)2+(УВУЛ)2
Программа должна иметь арифметический цикл с переадресацией (для изменения адресов комапд, с помощью которых вводятся новые исходные данные в цикл). Блок-схема программы показала па рис. 1.3.9.
Распределение памяти в буквенно-цифровом обозначении адресов ячеек показано в табл. 1.3.7.
Таблица 1.3.7
Номера ячеек |
Ь + 0 |
6+i |
6 + 2 |
6 + 3 |
6+4 |
6 + 5 |
6 + 6 |
Ъ + 7 |
6+8 |
|
Содержимое |
Количе ство |
.у и |
У1А |
rt хь |
х1А |
Ув |
Уа |
X2 хв |
т2 ХА |
|
ячеек |
задач п |
Первая задача |
Вторая задача |
В табл. 1.3.8 приведена программа решения п геодезических задач в условных адресах в кодах машины М-20, с обозначениями, показанными в табл. 1.3.7.
По команде
л + 0) 010 6 + 0 <1 + 0 г+0
производится ввод массива исходных данных, начиная с ячейки 6+ 0.
По командам а+0; а+1;а + 2;а+3;а + 4;а+5 выполняется овод исходных массивов с контролем и переводом из десятичной системы счисления в двоичную.
По командам
а+ 11) 016 а+12 7501 7610
я+12) 000 г + 3 0012 г + 4
производится вычисление главного значения угла а по найденному значению lg а.
Для определения зпачения дирекционного угла а используется комапда
а+13) 001 г + 3 с+0 г + 3.
В зависимости от знака tg а вырабатывается признак ш, равный 1, если знак «», и равный 0, если знак «+».
По команде
а+14) 036 0000 в+ 22 0000
передается управление в а 4- 22, если со = 1, или в следующую команду в+ 15, еслп ю = 6, т, е. в а + 22, если tga <3 0, или в а + 15, если tg а ^ 0.
S п |
Команды |
||||
X 0 1 Я fcf |
Б & |
адреса |
Поясяепал |
||
Номер «оман: |
а» *3 а> о а X о |
А, |
Аг |
А» |
|
а+0 |
010 |
Ь + 0 |
а + 0 |
г + 0 |
|
1 |
067 |
ь+0 |
0000 |
г+0 |
|
2 |
052 |
0000 |
0001 |
0000 |
|
3 |
013 |
а+ 43 |
г + 0 |
о+43 |
|
4 |
016 |
о+5 |
7501 |
7610 |
|
5 |
052 |
ь+1 |
0042 |
Ь+4 |
|
6 |
002 |
ь + З |
Ь+4 |
г+1 |
<г+1) = жв ХА |
7 |
002 |
ь+1 |
6 + 2 |
г + 2 |
(г + 2) = ув-уА |
•+10 |
004 |
г + 2 |
г+1 |
г + 3 |
(г + 3) = tg а |
1 |
016 |
а+12 |
7501 |
7610 |
|
2 |
000 |
г + 3 |
0012 |
г + 4 |
|
3 |
001 |
г + 3 |
с+0 |
г + 3 |
|
4 |
036 |
0000 |
а + 22 |
0000 |
|
5 |
001 |
г + 1 |
с + 0 |
г+1 |
|
6 |
036 |
0000 |
в+20 |
0000 |
|
7 |
056 |
г + 4 |
а + 27 |
*+0 |
|
«+20 |
001 |
с+1 |
г + 4 |
г+0 |
(i+0) = n+rn. эн. а |
1 |
056 |
0000 |
а + 27 |
0000 |
|
2 |
001 |
г+1 |
с+0 |
Г+ 1 |
|
3 |
036 |
0000 |
о + 26 |
0000 |
|
4 |
002 |
с+2 |
г + 4 |
t + 0 |
(( + 0) = 2ягл. зн. а |
5 |
056 |
0000 |
а + 27 |
0000 |
|
6 |
002 |
с +1 |
г+4 |
t+0 |
(1 + 0) = ягл. вн. а |
7 |
000 |
t+0 |
0000 |
г + 3 |
(г + 3) = а |
«+30 |
016 |
а + 31 |
7501 |
7610 |
|
1 |
000 |
г + 3 |
0005 |
г+4 |
(r+4) = sina |
2 |
002 |
с+3 |
г+3 |
г + 3 |
|
Э |
016 |
а + 34 |
7501 |
7610 |
|
4 |
000 |
г+3 |
0005 |
г + 5 |
(г + 5) = cos а |
5 |
004 |
г + 2 |
г + 4 |
(+1 |
(« + 1) = *1 |
6 |
004 |
г+1 |
г+5 |
4 + 2 |
(t + 2) = s2 |
7 |
005 |
г+1 |
*■+'* |
г+1 |
(г+1) = Дя2 |
•+40 |
005 |
г + 2 |
г+2 |
т+2 |
(г + 2) = |
1 |
001 |
г+1 |
г + 2 |
г+1 |
(r+i)^? Д**+'Ду* |
2 |
044 |
Г + 1 |
0000 |
1 + 3 |
(f+3) = /A*a+Ai«4= s3 |
3 |
112 |
0000 |
а+ 51 |
0001 |
|
4 |
055 |
с+4 |
в+ 42 |
г+0 |
|
5 |
075 |
г+0 |
о+47 |
в+47 |
|
6 |
016 |
а+47 |
7501 |
7610 |
|
7 |
052 |
/+0 |
0027 |
0000 |
Номера ячеек длг. команд |
Команды |
Пояснения |
|||
код операции |
адреса |
||||
А, |
А, |
А в |
|||
о+50 |
037 |
0000 |
0000 |
0000 |
СТОП |
1 |
013 |
0+5 |
с+5 |
о+5 |
|
о |
013 |
в+6 |
с+6 |
0+6 |
|
3 |
013 |
о+7 |
с + 6 |
о+7 |
|
4 |
013 |
о+17 |
с+7 |
а + 17 |
|
5 |
013 |
а + 20 |
с + 7 |
о + 20 |
|
6 |
013 |
о+24 |
с+7 |
о + 24 |
|
7 |
013 |
о+26 |
с+7 |
а + 26 |
|
а + 60 |
013 |
о+27 |
с+10 |
о + 27 |
|
1 |
013 |
а + 35 |
с+7 |
о+35 |
|
2 |
013 |
о + 36 |
с+7 |
о+Зб |
|
3 |
013 |
о + 42 |
с + 7 |
0 + 42 |
|
4 |
056 |
0000 |
о + 4 |
0000 |
Константы
с+0 1 2 |
ООО 102 103 |
0000 6220 6220 |
0000 7732 7732 |
0000 5042 5042 |
3 |
101 |
6220 |
7732 |
5042 |
4 |
7777 |
|||
с+5 |
4 |
0000 |
оооо |
|
6 |
4 |
0004 |
0000 |
|
7 «+10 |
4 |
0000 |
4 0000 |
машинный ноль я 2п я ~2~
const для выделения третьего адреса const для переадресации 1-го в 3-го адресов на четыре единицы
const для переадресации первого и второго адресов на яетыре единицы const для 3-го адреса const для 1-го адреса
По командам
а+15) 001 г+1 с+0 г+1
а+16) 036 0000 a+ 20 0000
аналогично исследуем знак приращения Дх.
Команда
o-fl7) 056 г + 4 а+ 27 г + 0
выполняется при условии, что tg а ^ 0 и Дх ^ 0,. т. е, дирекцион- ный угол а равеп главному значению а.
Команда
а+ 20) 001 с+1 г+4 < + 0
выполняется при условии, что tg а ^ О, Дх 0, т. е, а расположен в III четверти,
По команде
а+21) 056 0000 о+ 27 0000
управление передается в ячейку а + 27,
По командам
а+ 22) 001 г+1 с+0 г+1
a+ 23) 036 0000 о+ 26 0000
аналогично исследуется знак Дх при tg а <3 0.
Команда
а+ 24) 002 с+2 г+4 « + 0
выполняется при tg а <£ 0, а Дх ^ 0, т, е. когда а находится в IV четверти.
По команде
а+ 25) 056 0000 а + 27 0000
управление передается в а + 27.
Команда
а+26) 002' с+1 г+4 < + 0
выполняется при tg а <£ 0, Дх <Г О,
По команде
о + 27) ООО t+0 0000 г + 3
число из ячейки t + 0 пересылается в рабочую ячейку г+3, По командам
а+ 30) 016 а+ 31 750 1 7610
а+ 31) ООО г + 3 0005 г + 4
вычисляется зпаченпе sin а и результат записывается в ячейку г + 4. Команда а + 43 определяет номер следующей вадачи,
Команды в + 44; а + 45; а + 46; л + 47 выполняют перевод результата из двоичной системы в десятичную н выдачу его па печать,
Команда
а+51) 013 а + 5 с+5 а + 5
Рис. 1.3.10. Принципиальная блок-схема циклической программы
будет выполняться перед решением каждой повой задачи. Так как для решения каждой следующей задачи необходимо использовать исходные данные, соответствующие данной задаче, то в команде а+5 следует соответствующим образом изменить адресную часть по первому и третьему адресам.
Комапды а + 52 а + 63 выполняются аналогично команде а + 51.
По команде
а+64 ) 056 0000 а+4 0000
управление передается в ячейку а + 4 па решение следующей задачи.
Команды программы, управляющие повторениями цикла, называются счетчиками. Циклическая программа может быть представлена блок-схемой, показанной на рис. 1.3.10. Цикл, в котором число повторений заранее известно, называют арифметическим. Разработали различные приемы управления повторениями в арифметических циклах. Один из таких приемов показан в табл. 1.3.8.
В практике вычислений приходится иметь дело с циклами, число повторений для которых заранее неизвестно. Такие циклы возпикают при решении задач методом итераций. Поэтому эти циклы называют итерационными. В итерационных процессах момент окончания вычислений определяется достижением заданной точности результата, т. е. вычисления прекращаются, когда выполняется условие
| Az |<е,
где | Az | = zfc + 1 zk, а е заданная абсолютная погрешность.
Есть задачи, при программировании которых приходится создавать циклы в циклах.
1.3.24. Перенос программы и исходных данных на перфокарты и перфоленты и ввод их в машину
Программа решения задачи и исходные данные переносятся па перфокарты или перфоленты путем пробивки отверстий при помощи специальных клавишных устройств и перфораторов. На одной перфокарте может быть размещено 12 команд, чисел илп
каких-либо вспомогательных кодов. Контроль правильности пробивок осуществляется путем пробивок информации в две руки,, путец печатания зафиксированных чисел на носителях информации и сравнения результатов печати с данными, записанными на бланках, или каким-нибудь другим путем.
Ввод информации с перфокарт или с перфолент в оперативное запоминающее устройство осуществляется при помощи устройства ввода по специальной команде для ввода исходных даппых и по другой команде для ввода программы решения задачи.
Правильность ввода исходной информации осуществляется по контрольным суммам или путем печати на бумажной ленте.
Т.3.25. Вывод результатов вычислений
Современные ЭВМ имеют различные устройства для вывода результатов вычислений: устройство быстродействующей печати цифрового материала на узкой бумажной ленте, устройство печати алфавитно-цифрового материала на широкой бумажной ленте, устройства выдачи результатов на перфокарты и перфоленты и др. В табл. 1.3.9 приведены примеры выдачи на узкую печать цифрового материала при решении задач на машине М-222.
Таблица 1.3.9
Вид печати |
Пояснения |
+ + 01 456400000 -| 02 304000000 Н 1- 04 648945284 |
Десятичное число +4,564 = 0,4564 • 10+1 с признаком Десятичное число 0,00304=0,304 • 10"2 без признака 6489,45284= -0,648945284- 10** |
В табл. 1.3.9 первый слева знак обозначает признак числа, второй знак числа, третий знак порядка. Первые слева две цифры порядок числа, а следующие девять цифр мантисса числа.
При использовании быстродействующей печати порядок числа со знаком печатается в конце числа. Последнее число табл. 1.3.9 будет напечатано так: -|- 648 945 284 +04.
Под математическим (программным) обеспечением понимают совокупность алгоритмов и программ, предназначенных для организации, проведения и контроля вычислительного процесса на данной ЭВМ и обнаружения ее неисправностей.
Всякий пользователь ЭВМ должен быть уверен, что машина исправна и все ее устройства работают безошибочно. Правильность работы ЭВМ и всех ее устройств обычно устанавливают ь помощью тестовых и диагностических программ, комплекс которых с соответствующими инструкциями прилагается к каждой машине,
Для ускорения программирования составляют подпрограммы п стандартные программы для вычислений на конкретных ЭВМ! Примером подпрограмм являются программы для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно, программы для извлечения корней из чисел, для вычисления значений тригонометрических функций и др. Такие подпрограммы, представляющие собой некоторую последовательность команд, обычно используются в нескольких местах программы.
Стандартными (типовыми) являются программы: для решения систем линейных алгебраических уравнений, для нахождения обратной матрицы, умножения векторов и др. Составлено мпого программ для уравнивания геодезических сетей (триангуляции, полигонометрии, пивелирных сетей).
На основе подпрограмм и типовых программ создаются библиотеки стандартных программ (БСП). Картотеки программ имеются в ВЦ и различных учреждениях, например в ЦНИИГАиКе.
Математическое обеспечение должно создавать возможности рациональной и экономной организации и проведения вычислительного процесса. В состав математического обеспечения включают:
Для некоторых полупроводниковых ЭВМ машин второго поколения (Минск-22, Минск-32 и др.) разработаны достаточно полные БСП, и математическое обеспечение этих машин считается лучшим по сравнению с машинами других марок, хотя и для названных машин математическое обеспечение не всегда удовлетворяет нроизводственные организации.
Если в настоящее время в основном применяются ЭВМ второго поколения и начинают применять машины третьего поколения, то в ближайшие годы будут применяться более совершенные ЭВМ. Более совершенная вычислительная техника требует и более совершенных методов и средств программирования и математического обеспечения ЭВМ. В настоящее время наиболее распространенным методом автоматизации программирования являются различные алгоритмические языки, в связи с применением которых в состав математического обеспечения ЭВМ включаются и трансляторы с этих языков.
На принципы построения нового математического обеспечения ЭВМ влияют не только бурно развивающиеся средства вычислительной техники, но и интенсивно разрабатываемые теории алгоритмических языков и опыт их применения.
На рис. 1.3.11 показана структура математического обеспечения ЕС ЭВМ. Операционная система (ОС ЕС) и дисковая операционная система (ДОС ЕС) являются основными; они предназначены для использования во всех совместимых моделях ЕС ЭВМ. ДОС ЕС имеет относительно малую емкость памяти (64128 Кбайтов).
Она применяется главным образом для обработки экономической информации. ОС ЕС более мощная система с емкостью памяти для храпения 1282000 Кбайтов.
В состав операционной системы входят управляющие п обрабатывающие программы. Управляющие программы управляют данными (например обменом данных между оперативной памятью и
Рис. 1.3.11. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ
внешними ЗУ), заданиями (например, организацией очереди выполнения заданий, распределением устройства ввода-вывода) и задачами. В основе управления задачами лежит программа, называемая супервизором, которая удовлетворяет запросы па основную память, обеспечивает службу времени, выполняет прерывания, осуществляет завершение задачи и выполняет ряд других функций.
К обрабатывающим программам относятся трансляторы и сервисные программы, используемые для выполнения паиболее часто встречающихся функций обслуживания при обработке данпых.
В систему математического обеспечения входят также комплексы программ технического обслуживания, содержащие различ- пые тест-программы и диагностические программы и пакеты прикладных программ (ППП).
Для некоторых моделей ЕС ЭВМ создаются дополнительные системы обработки, хранения и передачи информации, позволяющие достигать наибольшего экономического эффекта.
На ручное программирование и контроль программы затрачивается обычно очень много времени по сравнению с машинным временем решеппя задачи. Часто на непосредственное составление и отладку программы уходят месяцы, а па решепие задач по составленным программам требуются только минуты. Программирование весьма трудоемкий процесс. Поэтому сразу после изобретения ЭВМ стали разрабатывать приемы и методы, позволяющие составлять программы для машип при помощи самих машин, на основе алгоритмических языков и трансляторов с них.
Алгоритмические языки отличаются тем, что программы на них пишутся в удобной обозримой форме и ватем с помощью особых программ, называемых трансляторами, переводятся в систему команд той илп иной конкретной машины. Каждый алгоритмический язык содержит строго определенный набор символов и правила, позволяющие одпозначно переводить (транслировать) программы, записанные на этом языке, в рабочие программы данной машипы при помощи самой ЭВМ.
Существующие алгоритмические языки можно разделить па три группы: машинно-ориентированные (автокоды), универсальные и проблемно-ориентированные.
Отличительной особенностью машинно-ориентированных языков является простота трансляторов с них, так как в каждом таком языке учитываются конкретные особенности ЭВМ. Поэтому трансляторы с таких языков занимают мало места в заломппающих устройствах данной маппшы.
Универсальные языки отличаются тем, что в их структуре не учитываются особенности работы конкретной машины. Эти языки (как и другие языки) имеют свои преимущества и недостатки. К преимуществам таких языков относится простота составления и чтения программ, возможность широкого обмена программами между вычислителями, выполняющими работы на разных ЭВМ. К универсальным языкам относится алгоритмический язык АЛГОЛ-бО й, получивший широкое распространение (особенно в США) язык ФОРТРАН, предназначенный главным образом для решения инженерных и научных задач. Язык ФОРТРАН [6] (как и язык АЛГОЛ) позволяет записывать решение задачи в виде, близком к обычным математическим записям. Например, выражение
па языке ФОРТРАН будет записано в виде: Е = {А X В + C)/D.
На базе языка ФОРТРАН разработано много специализированных языков.
Алгоритмический язык АЛГОЛ-бО разработан группой математиков различных стран и предназначен для описания алгоритмов научно-технических задач. В алгоритмическом языке АЛГОЛ-бО используются все строчные и прописные буквы латинского алфавита и различные символы и слова па английском языке. Алгольные выражения кодируются так, чтобы они правильно были расшифрованы транслятором. Математические выражения должны быть записаны в одномерном виде, т. е. при записи выражений пе допускается выносить за строку индексы и показатели степеней. Например, математические выражеипя
па языке АЛГОЛ записывают соответственно так: г[1НЗ; ((А + В)/С) 13,4; at(b + c);
Beta: = 8/(2Ха \ 0,5) +И 2/(4хс t 3),
где стрелка озпачает возведение в степень, а знак «: = » означает операцию присваивания.
В течение 19631968 гг. группой специалистов международной федерации по обработке информации разработан универсальный язык АЛГОЛ-68 с более расширенной областью применения, чем АЛГОЛ-бО. Учитывая международный характер языка, его авторы предусмотрели создание «национальных» иерсий АЛГОЛа-68, разрешая присоединять к канонической версии дополнительные буквы алфавита и выбирать разные представления для основных символов.
Большое распространение во многих странах получает универсальный язык программирования PL/1 (П-'f/1), впервые опубликованный в США в 1964 г. Его применяют для решения широкого круга вычислительных, экономических, управленческих, логических п др. задач.
Получили также большое распространение проблемно-ориентированные языки, приспособленные для решения задач в той или иной области. Примером проблемно-ориентированного языка является алгоритмический язык КОБОЛ, приспособленный для обработки экономической информации. Язык КОБОЛ не связан с особенностями конкретной ЭВМ, он имеет и достаточно широкую универсальность.
В последние годы стали широко применять машинно-ориентированные языки (автокоды), позволяющие программисту в полной мере использовать свой опыт непосредственного программирования. Хотя автокоды не обладают такими широкими возможностями, как универсальные языки, они позволяют использовать более компактные трансляторы, значительно уменьшающие время трансляции.
Эффективным средством автоматизации программирования является автокод «Инженер» (АКИ), который широко применяется при автоматизации программирования для ЭВМ «Минск-22». Удобство применения языка АКИ для машины «Минск-22» объясняется также и тем, что он включает все символы международного телеграфного кода, используемые для ввода автокодовой программы в машину. Для записи программы на языке АКИ используются символы: русские прописные буквы (кроме Ё и ъ), все латинские прописные буквы, цифры десятичной системы и некоторые знаковые символы.
В нашей стреле применяются и другие алгоритмические языки, к которым относятся АЛЬФА, АЛГЭК, АЛМО и др.
В Вычислительном центре Сибирского отделения АН СССР в 19661967 гг. разработан язык ЭПСИЛОН (принадлежащий к классу машинно-ориентированных языков), который применяется при вычислениях на ЭВМ типа М-220, БЭСМ-6 и др.
В ряде стран получает применение алгоритмический язык СИМУЛА, разработанный в Норвежском вычислительном центре в 1964 г. Язык СИМУЛА основан на языке АЛГОЛ и предназначен для программирования и описания систем с дискретными событиями.
Алгоритмический язык АЛГОЛ получил широкое распространение в различных странах мира для решения задач численного анализа, линейной алгебры, геодезических, астрономических и др. задач. В основу АЛГОЛа положен общепринятый язык математи-
Рис. 1.3.12. Состав операторов языка АЛГОЛ
ческих формул, дополненный различными знаками и словами, необходимыми для формального описания алгоритмов.
Программа на АЛГОЛе состоит из блоков, внутри которых могут быть другие блоки. Каждый блок представляет собой автономный участок программы, содержащий информацию двух видов: описание данных (типа, массива, переключателя, процедуры) и операторов, представляющих собой указания о действиях, предусмотренных в программе. На рис. 1.3.12 показан состав операторов языка АЛГОЛ. В АЛГОЛе используются шесть различных типов операторов: присваивания, перехода, условный, цикла, процедуры и пустой.
Оператор присваивания является одним из основных операторов. Он присваивает тем или иным переменным определенные значения.
В левых частях формул, описывающих синтаксис, па АЛГОЛе ставятся только определяемые переменные, заключенные в угловые
скобки, в правых записываются определяющие выражении (операция перечислепия п опсрацпп построепия определяющего выражения). Например, запись
< 2 >: : = А | В | С | D
означает, что z может принимать значения А, илп В, или С илп D, где зпак = » читается «это есть», вертикальная черта используется для отделения символов друг от друга и читается как союз «или».
Запись z : = ABC означает, что значению z присваивается конкретно выражение ABC. Символ «: =» называется знаком присваивания.
Оператор перехода служит для изменения естест-. венпого порядка выполнения операторов. Естественным порядком выполнения операторов является порядок их записи. Операторы программы, к которым должны совершаться переходы, снабжаются метками, которые записываются перед этими операторами н отделяются от них двоеточием. Общин вид оператора перехода: перейти к L (go Ьо<>1етка», где L метка оператора в каком- нибудь месте алгольной программы.
Если, например, дапы операторы
*: =5X6 \ 2 +а; z : ~ А [2] -8; go to L\ и : = i + 3;
L-.y: =M2/(4 + et3),
то поело выполнения первых двух операторов присваивания, в соответствии с третьим оператором перехода, следующим будет-выполняться последний оператор.
Условный оператор позволяет изменить последова-» тельность выполнения операторов, в зависимости от результатов1 '■ выполнения программы, т. е. позволяет сделать условную передач^ управления.
Оператор цикла служит для организации циклических- программ. Он имеет вид
forz-.ex, е2, . . ., е„ do Р,
где for (для) и do (цикл) символы АЛГОЛа, г переменная; Р алгольный оператор, е;элементы цикла. J
Оператор процедуры служит для обращения к про'-1- цедуре. Блоки, составные или простые операторы, играющие роль подпрограммы, называются в алгольных программах процедурами (см. пример на стр. 180).
В АЛГОЛе содержится 116 наименований неделимых символ- лов и знаков языка, в число которых входят:
Можно использовать буквы русского алфавита, не совпадающие с латинскими буквами.
^логическое вначение> : : = истинно | ложно.
В эталонном АЛГОЛе используются для этого английские слова (rue и false
<гразделитель> :: =, | • | ю | : | ; | : = | U | шаг | до | пока | примечание.
В эталонном АЛГОЛе используются соответствующие английские слова step, until, while, comment. Занятая используется для разделения элемептов, например индексов [1,}\; точкадля отделения целой части числа от дробной; число 10есть основание степени, которое записывается с понижением; двоеточие служит для разделения граничных пар в описаниях массивов и для отделения пустых операторов (меток) от операторов; точка с запятой используются для разделения отдельных участков программы, которыми являются описания и операторы, знак «: =» используется в операторах присваивания и в операторах циклов, а также в описаниях переключателей; знак и представляет собой пробел, используемый при построении строк; слова шаг, до, пока используются при записи операторов цикла. Символ «примечание» транслятором не воспринимается и ставится после слова «начало» пли точки с запятой для пояснения текста и понимания программы людьми.
<знак арифметической операции >> :; = +1 I * I / I -5- I t , где виак « ~ » означает операцию целочисленного деления, а знак « f » операцию возведения в степень.
<зпак логической операции^ : = V I А ! "I 1^1 = соответственно означает «ИЛИ» (логическое сложение); «И» (логическое умножение); «НЕ» (логическое отрицание): «ИМПЛИКАЦИЯ» , «ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ».
«^операции отношеппя> ::=<3|^[ = |^|>|^s <зггак операции следования> :: = на | если | то | иначе | для [ цикл, что в эталонном АЛГОЛе соответствует английским словам: go to, if, then, else, for, do.
<скобка> :: = (| ) [ [ | ] | ' [ [ начало | конец. Круглые скобки используются для определения порядка действий при вычислении, а квадратные для заключения индексов величин и индексов в указателях, а также в описаниях массивов, при этом индексы отделяются друг от друга запятыми. Например, переменная Х(: /, в АЛГОЛе записывается так: X [i,Л]. Строчные кавычки используются при образовании строк с нечисловыми величинами. Словесные скобки «начало» и «конец» (по английски «begin» и «end») используются для объединения операторов в блоки и составные операторы.
<<описание> :: = целый | реальный | массив | собствепный | булевский | переключатель | процедура, что в эталонном АЛГОЛЕ соответствует английским словам integer, real, array, own, boolean, switch, procedure.
При помощи описаний транслятор получает информацию для установления свойств описанных величии и распределения памяти машины.
■^спецификатор> : : = строка | метка | значение, что в английской записи соответствует словам string, label, value.
Спецификаторы используются для описания типов величин в алгоритмах.
В АЛГОЛ-программах широко используются идентификаторы, представляющие собой любую последовательность букв или цифр, начинающуюся с буквы. Идентификаторы служат для обозначения различных величин: постоянных коэффициентов, функций, массивов, меток, переключателей, процедур. Описание одного типа идентификаторов от другого отделяются точкой с запятой. Например, для обозначения действительных перемеппых (real) и для обозначения целых (integer) идентификаторы можно записать так: real а2, аЗ, а5, аЭ; integer 1, k, 1; но смысл не изменится, если запись сделать так: real а2, аЗ; integer i; real а5, а9; integer k, 1; или в каком-нибудь другом произвольном порядке. Сама программа представляет собой блок, начинается символом begin и заканчивается символом end.
Пример. Составить стандартную АЛГОЛ-программу для вычисления полинома
р ~ йо -|-
в котором степень и коэффициенты at заданы.
Такая программа имеет вид описания процедуры Procedure polinom (р, х, power, coeff); value power; integer power; real array coeff [0: power]; real p, x; begin integer i; i : = power; p: = coeff [ij X x; for i: = power 1 step1 until 1 do
p : = (P -f- coeff [i ]) X x;
Для автоматического ввода в машину данных, зафиксированных на перфокартах или перфолентах, и для вывода результатов вычислений па печать используются команды ввода (read) и печати (print), которые записываются так:
read (список идентификаторов);
print (список идентификаторов).
В списках, заключенных в круглые скобки, перечисляются идентификаторы переменных, числепные значения которых зафиксированы на носителе информации.
В язык АЛГОЛ введены следующие обозначения стандартных функций:
eqrt (А)квадратичный корень из значения A (V'k),
abs (А) абсолютное значение А (| А |),
sin (А) синус с аргументом в радианах (sin А),
сое (А) косинус с аргументом в радианах (cos А),
arctg (А) арктангенс для значений от я/2 до + п/2 (arctg А),
In (А) натуральный логарифм (In А),
ехр (А)показательная функция с основанием е(е-А),
entier(A) целая часть А,
[+1 при А>0
eign (А) знак A: sign (А) = < 0 при А = О
(1 при А <3 0.
Например, математические выражения
lns+^x; |Я еэ 811111; -JC09 V
VK* + 8
на АЛГОЛе записываются так:
In (г)+у f nXi; abs (Я exp (3xsin (я))); 4Xcos(»)/sqrt (Л t 2 + 8).
Язык ФОРТРАН получил широкое распространение сначала в США, а затем в ряде других стран. С ФОРТРАНа разработаны трансляторы для ЕС ЭВМ. Язык ФОРТРАН быстро развивается. В настоящее время используется ФОРТРАН IV. Слова и выражения ФОРТРАНа составляются из 26-ти заглавных букв латинского алфавита, десяти арабских цифр и специальных символов. К специальным символам ФОРТРАНа относятся «+» (плюс); «» (минус); «*» (знак умножения); «,» (запятая); «.» (десятичная точка; «/» (зпак деления); «=» (равно); «()» (скобки); «**» (знак возведения в степень).
Символ «=» является знаком операции присваивания. Запятая используется как разделитель в списках аргументов и индексов.
Идентификаторы в ФОРТРАНе составляются из наборов букв и знаков, включающих от одного до шести символов; первым элементом должна быть буква.
В ФОРТРАНе используются следующие обозначения стандартных функций:
SQRT (А) квадратный корень из А (У~А);
SIN (А) сипус с аргументом в радианах (sin А);
COS (А) косинус с аргументом в радианах (cos Л);
ARCTG (А) арктангенс с аргументом в радианах (arctg Л); LOG (А) натуральный логарифм (In А);
ЕХР (А) показательная функция с основанием е (еА);
ABS (А) абсолютное значение А (| А I).
Например, квадратный корепь из 1 /Вг>6 (S/i8y> на ФОРТРАНе надо записать так:
SQRT (1/Д**2.5*(5/18.0)«р).
Программа решения задачи, записанная па языке ФОРТРАН, состоит из последовательности операторов. Арифметический оператор а = Ь есть вычисления, выполняя которые ЭВМ определяет значение выражения в правой части и присваивает это значение переменной в левой части оператора. Оператор вида N N + 1 означает: переменной N присвоить старое аначение плюс единица. Ойератор ввода информации в ЭВМ READ содержит перечисление переменных, для которых требуется прочесть новые значения, зафиксированные на перфокартах. Оператор вывода PRINT действует так, что значения, передаваемые на печать, перечисляются в том порядке, в каком опи должны располагаться в строчке. Оператор этот всегда озпачает печатание с повой строки. Операторам
READ и PRINT сопутствует оператор FORMAT, который содержит различные сведения о вводимой и выводимой информации.
Оператор безусловного перехода GO ТО определяет передачу управления какому-либо оператору, находящемуся в программе. Запись «GO ТОп» означает, что управление передается оператору с номером п, находящемуся до или после оператора GO ТО. Опера* тор условного перехода IF записывается в виде
IF (е)п!, п2, и8,
где е некоторое выражение, а т^, л2 и пэ представляют собой номера операторов, при этом если выражение (е) отрицательно, то выполняется оператор с номером п1, если это выражение равно нулю, то га2, а если оно положительно, то выполняется оператор с номером п3.
Кроме арифметических, в ФОРТРАНе используются логические (булевы) выражения.
Операторы PAUSE и STOP записываются в случаях, когда требуется приостановить выполнение программы.
Оператор END записывается в конце программы, указывая, что закончилась программа или подпрограмма.
С помощью оператора DO в программе организуются циклы. Этот оператор записывается в виде
п DO mi = ji, /2, /8,
где п номер оператора DO, т номер некоторого оператора, указывающего предел действия оператора DO, i целая переменная без индексов, а /2. /з целые числа либо целые переменные без индексов.
Описательный (неисполнимый) оператор DIMENSION применяется для различных указаний, например, для указания размеров массивов, которые используются в программе. Запись DIMENSION А (20), В (2, 3, 5) означает, что под массив А отводится 20 ячеек, а под масспв В 30 ячеек памяти машины.
В алгоритмическом языке ФОРТРАН используются кроме перечисленных и некоторые другие операторы и применяются установленные правила записи программ, с которыми можпо ознакомиться в работе [6].
Пример. Программа для вычисления площадей участков (в гектарах) по формуле
п
р = Шю 2х(У+1“Уы) (1,3-7)
Л = 1
на языке ФОРТРАН будет иметь вид, показанный на рнс. 1.3.13.
Программа начинается с управляющей перфокарты NAME, в которой указывается название программы. Вся программа состоит иа одного блока, который начинается с названия ПЛОЩ и заканчивается оператором END. Оператор DIMENSION X (200), У (200) указывает транслятору на загрузку оперативной памяти исходными данными для решения одного варианта, предполагая, что.количество вариантов будет не более 200. Количество исходных данных (количество точек) будет меняться от варианта к варианту.
PfcQ.GjMM <1Л0Ш В I ? 0.^ у <200 3 > у (?б О}
1.0 N = 0
P# 1 W т 3 (М| К ) » V { Ц У t К SS1 * N }
С зХI * V * f V ? ? ) т У ( ы J } ♦ X Щ&* i U 1)1 ;
о0 16 К*8?.* г ' . ,/]
: $*•.' ■-
рйшт*, |Г !
* i f crm,itf$f§, i у '•'. ;
3 * О^МДТ'* \ 4f 8 . 1 ) i * ?0RM4|T { 4 5X , Pf JVflbT ДТЬ1' f>йс*-*^T<» * /')
5 fd&M/f'Tt *H{*5{Cj|HbjC Й £HKW| * , / / } ,
fc ^16 4}
: - f»r> ' _ , ill
Рис. 1.3.13. Контрольная печать отперфорированной программы доя вычисления площадей по координатам точек
П программе приняты следующие обозначения для переменных N количество заданных переменных в исходных данных
(Ль У к)',
/с значение индекса переменных X и F;
С накопление результата вычисления по формуле (1.3,7)1
Длина вводимого слова ванимает 6 позиций, из них 1 десятичная и 5 целые. В конце массива исходных данных набивается число 777777, которое определяет конец варианта.
Операторы PRINT 5 и PRINTS осуществляют печать исходных данных, причем оператор PRINT 5 печатает текст ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ, а оператор PRINT 3 производит непосредствен
ную печать исходных данных по 14 чисел в каждой строке, печатая не более 8 позиций, из них 1 десятичная.
Оператор С = X (1) * У ((2) У (N) + X (JV) * Y (1) -
По1 инструкции 16 С = С + X (К) * (У (К~\- 1) У (К 1))
п
подсчитывается выражение ^ %k (У*+1 Yk-i) формулы (1.3.7).
Для получения окончательного значения величины Р формулы (1.3.7) необходимо полученное значение разделить на константу 20 ООО, что и выполняет следующий оператор.
Оператор PRINT 4 печатает текст РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА. Оператор PRINT 6 (с) производит печать результата решения С, т. е. печатает число, которое может иметь до 12 знаков до запятой и 4 после вапятой.
После выполнения печати производится передача управления инструкцией GO ТО 10 к метке 10, т. е. в начало программы на ввод следующих исходных данных.
Вычисление площадей 60 участков с количеством вершин в каждом от 20 до 100 по приведенной выше программе заняло на БЭСМ-6 около 10 минут, включая трансляцию программы и печать (для контроля) всех введенных координат.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Раздел II
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГЕОДЕЗИЯ И ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АСТРОНОМИЯ
П.1. КОСМИЧЕСКАЯ ГЕОДЕЗИЯ
И. И. К рас норы лов, М. С. Урмаев
А. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
II. 1.1. Роль космической геодезии в системе геодезических работ
Космическая геодезия раздел геодезической науки, в котором для решения научных и практических задач геодезии используются результаты наблюдений искусственных спутников Земли (ИСЗ), космических аппаратов (КА) и Луны.
Задачами космической геодезии являются:
Методы космической геодезии имеют существенные преимущества при решении некоторых задач по сравнению с традиционными. Возникает возможность быстрой передачи координат на расстояния в несколько тысяч километров и создания построений в абсолютной системе координат, отнесенной к центру масс Земли. Определение параметров гравитационного поля по наблюдениям искусственных спутников требует сравнительно небольшого числа станций на поверхности Земли, в то время как использование для этой цели традиционных методов основывается на густой сети пунктов на суше и на море.
Повышение точности лазерных наблюдений создает предпосылки для использования наблюдений спутников при изучении дрейфа континентов и движения земных полюсов. Особенно полезными могут оказаться при этом стационарные ИСЗ, оснащенные уголковыми отражателями. Для решения этих задач можно использовать также отражатели, установленные на Луне,
Применение спутникового динамического метода позволит исследовать возможные изменения гравитационного поля Земли во времени, а также определить фигуру геоида в океанах, причем для успешного решения последней задачи потребуются высотомеры, обеспечивающие высокую точность.
Обобщением и развитием задач и методов космической геодезии является использование искусственных спутников Луны и планет для изучения этих объектов геодезическими методами: создание опорных сетей, определение параметров гравитационных полей, исследование формы, составление топографических и специальных карт.
Задачи космической геодезии обычно подразделяют на геометрические и динами я еские. В задачах первой группы спутник используется как высокая визирная цель и не требуется знать теорию его движения. При решении геометрических задач используют синхронные илп квазисинхронные наблюдения ИСЗ с нескольких пунктов. В динамических 8адачах теории движения ИСЗ используются в качестве основы для вывода по результатам паблюдений ИСЗ параметров гравитационного поля Земли и определения координат пунктов в абсолютной системе координат, отнесенной к цептру масс Земли.
На рис. II. 1.1 р/ геоцентрический радиус-вектор ИСЗ. 7'hi топоцентрический радиус-вектор ИСЗ, имеющий точку приложения в пункте земной поверхности к, Я* радиус-вектор пункта к, имеющий точку приложения в центре О' некоторого референц-эллипсоида, АЛ вектор, связывающий положение центра референц-эллипсоида О' (начало геодезической системы) с центром масс Земли О.
Векторы р/, га;,, Rk и ДП связаны соотношением
рГ=гм+Д*+АД. (II.1.1)
которое является фундаментальным уравнением космической геодезии.
Одним из этапов при решении задач космической геодезии может являться определение положений ИСЗ (оря - мая задача). Решается эта задача с помощью уравнения
При использовании геодезических координат пупктов (система референц-эллипсоида) возникает еще задача определения положения центра референц-эллипсоида относительно центра масс Земли, т. е. определения вектора ДЯв уравнении (II.1.1).
Гораздо наще в космической геодезии приходится рассматривать вопрос об определении координат пунктов наблюдений (обратная задача).
В этом случае уравнение (II.1.1) будет иметь вид
Л* = Р1-7и-ДЗ*. (II. 1.2)
Задачу можно решить, если для некоторого момента известен из теории движения геоцентрический радиус-вектор ИСЗ р£ и для этого же момента на пункте к получены по результатам наблюдений все три компоненты топоцентрического радиуса-вектора r'hi, а также известен вектор A R.
Для создания геодезических построений широко применяются синхронные и квазисинхронные наблюдения ИСЗ. Если для некоторого момента на пунктах к и / синхронно определены компо- пенты топоцентрических векторов rhi и rji ИСЗ, то получим два векторных уравнения
Рi 1R k “Н rjfei "}■ AR |
_ _ I (п. 1.3)
pi = Rj-\- + J откуда
RjRk=7'hi (II.1.4)
Если координаты одного из пунктов заданы, то уравне- х ние (II.1.4) дает возможность p„c п.1.1,
получить координаты другого пункта в системе исходного.
Динамический метод космической геодезии заключается в совместном определении параметров гравитационного поля Земли, элементов орбит и координат пунктов наблюдений по совокупности измерений, выполняемых на пунктах. Кроме этого, яасто определяют некоторые аппаратурные постоянные, параметры, характеризующие атмосферу, и уточняют значение гравитационного параметра /А/©.
Геоцентрический радиус-вектор ИСЗ есть сложная функция элементов орбиты £/, параметров фд гравитационного поля и времени t
р = р{Et, ф*, О- (II.1.5)
Поскольку измеренными величинами в общем случае можно считать топоцентрические радиусы-векторы, то в обобщенной форме можно написать
? = р(£,, 1|>*, 0-Л. (II.1.6)
Линеаризуя уравнение (II. 1.6) и полагая безошибочными моменты t регистрации времени, получим
Дг- $ aei+2=- &$к -|=- дд+(»■;- г ;,м)=»г. (н.1.7) ар ар зн
где ДЕг, Дфь ДЯ соответственно поправки к элементам орбиты, параметрам гравитационного поля п координатам пунктов, г'п приближенное значение топоцептрического радиуса-вектора, vr вектор вероятнейших поправок измеренных величин.
В частном случае, когда не определяются поправки к принятой модели гравитационного поля, надо положить if* = 0, тогда получим основное уравнение орбитального метода
^|Н-Д£,_*1-Д Л+ &-?*„,,) = ?,. (11.1.8)
op on OR
в котором предполагаются известными возмущающие силы, действующие на ИСЗ, и ставится задача совместного определения элементов орбиты и координат пунктов.
Навопец, полагая известными для моментов измерений и элементы орбиты Е{, получим основное уравнение упрощенного орбитального метода /
Ол.
В последнем случае ставится задача определения лишь координат пунктов.
В космической геодезии приходится использовать несколько координатных систем. При обработке фотографических наблюдений, например, топоцентрическпе прямое восхождение а' и склонение: спутника б' определяются в системе координат, заданной опорным^ звездами. При этом изображения звезд и спутника на снимке полу41 чаются в мгновенной системе координат, а исходными являются координаты опорных звезд в системе некоторого звездного каталога;1 Эта система непригодна для задания координат пунктов и параметр рое гравитационного поля, так как в ней они являлись бы функции ямп времени. Чтобы упомянутые величины не изменялись со врв* менем, надо использовать систему коордипат, жестко связанную с Землей.
Следует отметить, что система координат, используемая в дина-* мических исследованиях, должна быть инерциальной. Практически ннерцпальной можно считать систему координат, образованную привязкой к внегалактическим туманностям. Создание такой свете мы является одной из основных задач астрометрии на совремеНт ном этапе.
Приведем системы координат, наиболее часто используемы^ при исследованиях в космической геодезии.
Ввевдные веоцентрнчеокиа системы координат
Ь sZ +90-], р гео-
а Ю ос «3 24*] и склонением 6 [909 центрический радиус-вектор.
(II.1.10)
а, б, р -ух, у, г х = р cos а cos 6 p = psinacos6 z=psin6 х, у, z-*<x, й, р и
(II.1.11)
tga = tg5 =
Vxi + yi р = Ух*+уЪ+1*
* В скобка! указываются
xti VtiM (®(. fy, P) средняя геоцентрическая звездная система координат. Ось х/ направлена в среднюю точку весепнего равноденствия Тt на эпоху (, ось Ц совпадает со средней осью вращения Земли, плоскость xpyt совпадает с плоскостью среднего экватора, ось yt дополняет Систему до правой.
соответствующие полярные Координата,
191
\= Г = (аS),
где S гринвичское звездное время. В зависимости от решаемых задач гринвичская звездная система может вводиться как мгновенная или как средняя.
Звездные топоцентрические системы координат
1
Земные системы координат
соида, принятого в настоящее время за общий земной. Ось X направлена в точку пересечения геодезического мерпднана Гринвича с плоскостью экватора общего земного эллипсоида, ось Z совпадает с малой осью общего земного эллипсоида, плоскость XOY совпадает с плоскостью геодезического экватора. Полярные координаты: квяпи геоцентрическая долгота Л двугранный угол между плоскостями гринвичского и местного меридианов, квазигеоцентриче- ская широта Ф угол между квазигеоцентрическим радпусом- пектором R и плоскостью экватора общего земного эллипсоида.
Рис. П. 1.5
находится в точке физической поверхности Земли, ось и параллельна касательной к геодезическому меридиану и направлена на север, ось w направлена вдоль нормали к референц-эллипсоиду и положительна в направлении от центра, ось v дополняет систему до правой. Полярные координаты: геодезический азимут Аг, геодезическое зенитное расстояние zr и расстояние т' от текущей точки до начала координат.
Полярные координаты: астрономический азимут А, астрономическое зенитное расстояние z и расстояние г' от текущей точки
до начала' координат.
!/q>zq и т д Здесь обозначено через Q восходящий узел орбиты, ш аргумент перицентра (см. 11,1.6).
XIV. xs, ys, zs спутникоцентрнческая система координат. Ось ys (радиальная) направлена к центру масс центрального тела, ось xs (трансверсальная) перпендикулярно к ys в плоскости орбиты в направлении движения спутника, ось zs (бинормальная) перпендикулярна к плоскости орбиты (положительна к северу). Единичные векторы вдоль осей xs, ys, zs часто обозначаются соответственно Г, S и W.
II. 1.4. Преобразования систем координат
Выписывают из каталога координаты звезды а0 и б„ и исправляют их поправками за собственное движение от эпохи каталога t0 до энохи f. Далее вычисляют направляющие косинусы направления на звезду
/o = cosaocos6o 'l *
m0 = sin a0 cos бо > . (II.1.12)
no = sin 60 J
Влияние прецессии учитывается с помощью формулы
- |
аг b\ ci |
^0 |
||
т |
= |
Ъ 2 С2 |
т0 |
|
,яз &3 с3 _ |
-«0 _ |
* В формуле (11.1,12) а0 и б„ средние координаты на эпоху (о, исправленные за собственное движение.
где
fl! = sin go sin z + C03 £o cos z cos 9 61 == cos g0 sin z sin io cos z cos 0 cj= cos z sin 0
(II.1.14)
a2 = + sin go cos z + cos losinz cos 0 ii2= + cos£0coszsin |o sin z cos 0 c2 = sin z sin 0, a3 = + cos |0 sin 0 63=sin E0 sin0 сз = + cos 0
причем
(II.1.15)
£0 = (2304',253 + 1",397 ta) т + 0',302т2 + 0',018т» z = (2304",253+ Г,397 t0) t+1",095x2 + O',018т*
где x t f0, t, t,HT задаются в тропических столетиях, считая от 1900.0.
Затем вычисляют ос< и б/
(II.1.16)
ос/ = arctg
б/ = arctg " _ .
У m'i+ii
а, 6 на эпоху t.
Вначале учитывают влияние нутации
^HCT |
1 6^cose 6^(i sine |
'7 ' |
|||
mHCj |
= |
6iJ> cos в 1 6e |
m |
, (II.1.17) |
|
-ПНСт - |
. flij) sin e бе 1 |
-n . |
где бф долгопериодическая и короткопериодпческая нутация по долготе; бе долгопериодическая и короткопериодическая нутацпя в наклонении,
6i|>= -17",2327 sin £2 1",2729 sin 2 (Q + fР)+0",2088 sin 2Q +
+ 0", 1261 sin V 0",0497 sin (2Q + V + 2F-2D)
-0",2037 sin 2 (Й + F) + O,0675 sin l\ (II. 1.18)
бе = + 9",2100 cos Q + 0”,5522 cos 2 (Q + F D)
Аргументы п формулах для вычисления нутации представляют рядами. По исправленным таблицам движения Луны Брауна вти ряды имеют вид
0-=259*10'59",79-1е34008'31*,28Г+7",487г+0*,0080Г8 г = 296?06”16",59+477 1е8*60'56*,79Г+33\0972+0\0518Гз l'=358*28'33”,00+ 35999*02'59,10r 0",54Т2 0",0120Г»
F= 11М5'03",20+ 483 202*ОГЗО*,54? 11*,56Г2 0*,0012Г3 D = 350*4444',95 + 445 267*06'51 МвГ5',17Г2+0",0068Т»
T*=(t1900), в тропических столетиях
(II.1.20)
Ватем вычисляют а н 8
(II.1.21)
. т а = arctg -у
п
6 = arctg-
X р^рр, У = ртГр, Z = рпгр,
V m2+ г2
3. X, Y, |
От истинных координат а, Z |
б, p на эпоху |
t к гринвичским |
||||
irp |
cos S |
' sin 5 |
X |
^ист |
|||
mrp |
- |
sin S |
cos S |
у |
твст |
1 |
|
_лгр |
х COSiS у sin 5 |
x sin 5+;/ cos 5 |
1 |
-nHLI _ |
(II.1.22) (II.1.22')
гдо S истинное ввеэдное время в Гринвиче; х, у координаты мгновенного полюса в радианах.
(II.1.23)
x = x-AX0-r|;0y+Voz У = У ДУ о+фоХ Vo Z z -- Z Д20Vo-^ "Ь v0Y
где ДХ0) ДУ0, Д20 координаты центра эллипсоида, принятого ва общий земной, в гринвичской системе координат, i|>0, v0l Yo Эйлеровы углы.
Обычно полагают = v„ = y„ = 0,
(11.1.24)
(11.1.25)
(И.1.26)
tg £= X
Н-
N =
cos В cos L
X cosL+ У sinZ< У
cos В sin L N( 1е2),
У
tg L = ,
в а:
Z + Ne^sin В
-ЛГ =
(II.1.27)
где а большая полуось эллипсоида, е эксцентриситет эллипсоида, N длина внутренней нормали (см. рис. II, 1.5), причем
ЛГ = -
V\ e2sin2 в
Вычисления по формуле ((II.1.25) ведутся последовательными приближениями.
В первом приближении можно положить
(II.1.28)
(II.1.29)
tg ВЛ) = ~=-
X cos £ + У sin L
Обратный переход от В, L, Н к X, У, Z:
X = (N-\- Н) cos В cos L У = (N + Н) cos В sin L Z = [N(\ e3) + tf]sin В
(i. От квазигеоцептрическпх координат X, У, Z к прямоугольным геодезическим горизонтальным и, v, w п далее к геодезическому азимуту Аг, зенитному расстоянию zr и расстоянию г.
sin Bi cos Lt |
sin#/sin L/ cos Bt |
~Xi~'X,~ |
|||
vl |
= |
sin Li |
cos Li 0 |
Yl-Yi |
|
_“7- |
cos Вi cos L[ |
cos Bi sin Lt sin Bi |
-Z,-Zt . |
(II. 1.30)
rii= Vvj + Uj+Wj /
tg(zr)// =
где индексом j отмечают координаты текущей точки, а индексом {•^координаты начала коордипат горизоптальпой системы.
(II.1.32)
Ъ=у-в \
т)= (К L) cos В J
где £ составляющая полного уклонения отвесной линии и в меридиане, 1Q в плоскости первого вертикала, причем
(II.1.33)
u = V52+Tia.
Х(0 |
~Рх Ру Рг~ |
~ X “ |
|||
У (л |
= |
Qx Qy Qz |
У |
(II.1.34) |
|
-8<о_ |
_WX Wy wz_ |
_ z _ |
где
^^ = 003 cocos Q sin со sin Я cos i Ру=- cos со sin Я + sin со cos Я cos I Рг = sin со sin i
Qx = sin со cos Я cos со sin Я cos I Qy=sin со sin Я + cos со cos Я cos £ }, (II. 1.35) Qz = cos со sin I W,x=sinQsini Wy = cos Я sin i Wz = cos I
В формулах (II.1.35) со, Я, i элементы орбиты, определения которых будут даны ниже (см. II.1.6, рис. II.1.6).
II. 1.5. Системы измерения времени
Промежуток времени, в течение которого Земля совершает один оборот вокруг своей осп относительно направления на какую- нибудь точку в пространстве, называется сутками. Если оборот Земли вокруг своей оси фиксируется относительно направления на точку весеннего равноденствия, то это звездные сутки; при направлении на центр видимого диска Солнца, смещенный годичной аберрацией истинные солнечные сутки; при направлении на «среднее солнце» средние солнечные сутки.
В зависимости от того, какая точка весенпего равноденствия используется в качестве отсчетного индекса, звездпое время подразделяют на среднее, истинное и квазиистппное.
Местное средпее солнечное Бремя гринвичского меридпана называют мировым пли всемнрпым UT - 0. Получив па наблюдений местное звездное время некоторого меридиана п зная долготу последнего, находят UT-0. Вследствие движения полюса получеп- ное из наблюдений в разных точках Земли время UT-0 будет неодинаковым.
С учетом движения полюса имеем
UT-l = UT-0 + AX., (II.1.36)
где
ДХ = -^г- (г sin А,о + ^ cos Х0) tgф0. (II.1.37)
Вследствие неравномерного вращения Земли вокруг своей оси время UT-1 будет неравномерным.
Учет поправки за сезонные неравномерности во вращепии Земли дает систему UT-2
UT-2 = UT-l+Ars=UT-0 + AX + ATs. (II.1.38)
Необходимость пспользованпя при составлении эфемерид и в других динамических задачах в качестве аргумента равномерно текущего времени привела к введению так называемого эфемерид- ного времени. Начиная с 1960 г. эфемеридное время является аргументом во многих таблицах «Астрономического ежегодника СССР». Различие эфемерпдного времени и времени UT-2 обусловлено вековыми и нерегулярными изменениями скорости вращения Земли.
Эфемеридное время связано с UT-0 формулой
ЕТ = иТ-0+Д7\ (II.1.39)
где Д Т определяют пэ специальных наблюдений Луны.
«Эфемеридная» секунда по определению Международного Бюро мер и весов (1956 г.) это Vs J656B25.9747 доля тропического года для 1900 г., январь 0, в 12 часов эфемеридного времени. Таким образом, определение «эфемеридпой» секунды связано как с вращением Земли вокруг своей оси, так и с ее движением по орбите вокруг Солнца.
Молекулярпые и атомные эталоны частоты позволяют получить шкалу времепи, не зависящую от вращения Земли. Атомная секунда определяется как промежуток времени, равный 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующих переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома-изотопа цезия с массовым числом 133 при пулевом магнитном поле. Таким образом получаем шкалу атомного времени (АТ). В СССР такая шкала времени обозначается АТ-1 и является государственным эталоном времени и частоты. При переходе к ней от UT-2 приняли, что 1 января 1964 г. в 12Л (UT) эти времена совпадали 9.
Б. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ИСЭ
II. 1 6.'"Невозмущенное движени; ИСЗ
В первом приближении движение ;icKycciDonnoro спутника вокруг Земли можно рассматривать в рамках ограниченной задачи двух тел, Прн этом полагают, что притягивающее тело (в нашем случае Земля) является шаром со сферическим распределением плотности, а спутник материальная точка, не притягивающая центральное тело. При таком допущении спутник будет двигаться вокруг Земли в соответствии с закопами Кеплера, которые формулируются следующим образом.
(II.1.40)
Первый закон. Орбита искусственного спутника Земли есть эллипс, в одном из фокусов которого находится центр масс притягивающего тела. Уравнение орбитального эллипса имеет вид
1 + е cos v р = а (1 е2),
где р параметр орбиты, а большая полуось, е эксцентриситет.
Второй закон. Радиус-вектор спутника за равные промежутки времени описывает равные площади. Другими словами, секториалъ- ная скорость спутника есть величина постоянная,
ТГ-Т р2^Г- (ПЛ-41)
Третий закон. Квадраты периодов обращения двух спутников относительно центра масс притягивающего тела относятся как кубы больших полуосей их орбит
(II.1.42)
ZL_ “L
П а? '
Период обращения спутника вокруг Земли равен
з
2л л 2
т= (II.1.43)
Уш®
следовательно,
-^-=7^- = const. (II. 1.44)
в» /М 0
Уяитывая притяжение спутником центрального тела, Ньютон уточнил третий закон Кеплера и получил формулу
Т\ M + ml д? (II 1 45)
т; M + tnt а% • ( 5)
Вместо формулы (11,1.44) в этом случае имеем
^ = (1М'46)
d*z
-■*4-
Ц = / (М -\-т)
р=У*2_|_ 3,2-f
Для того чтобы тело стало искусственным спутником Земли, ему необходимо сообщить некоторую начальную скорость. Минимальное значение этой скорости называют первой космической скоростью
Vc =
(II.1.47)
¥ Ро
где
Ц = /(Л/© + т).
(И.1.47')
У поверхности Земли Vc = 7,9 км/сек.
Скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно преодолело земное притяжение, называют второй космической, или скоростью освобождения.
Эта скорость равна
У-S-
” Ро
(II.1.48)
и у поверхпости Земли составляет 11,2 км/сек.
Движение спутника вокруг Земли в неподвижной системе координат с началом в ее центре масс определяется системой дифференциальных уравнений второго порядка
fi
Р3
d2y
(II.1.49)
dt 2 d4
dt2
У
где
(II.1.50)
Z2
Уравнения (II. 1.49) называются дифференциальными уравнениями невозмущенного кеплеровского движения. Эти уравнения в цилиндрических координатах (р, Я., z) имеют вид
(4г) - -
цр
гЗ
(II.1.51)
d*z dt2
\iz
гЗ
где
Г=Ур2+22.
Если р, ф, X сферические координаты, определяемые выражениями
1/ = рсозфзтХ, , (II.1.53)
z = р sin ф
то дифференциальные уравнения невоэмущенного движения будут
■г-'ФМ-з-)*--*'
. (II.1.54)
1Г ('Р2 чг) + рг (ЧгУsiaV'соа'*'='0 -^-(рг-^-соз2(р)=0
Интегрирование дифференциальных уравнений невозмущепногЯ кеплеровского движения приводит к совокупности независимы^ между собой первых интегралов.
Интегралы площадей:
(II.1.55J
yz zy = cl
ZX XI = С%
ху ухса
В уравнениях (II.1.55) ct, е2, св постоянные площадей Интеграл анергии
(II.1.E
i'-+y* + Z*=-Q- + h,
CII.t.5t|
где произвольную постоянную h называют постоянной энергии} Так как
l2-|-j,2_|-Z2=V2, то вместо (II.1.56) получаем
(II.1.58)
F2=-^R. Р
Интегралы Лапласа
ХР рх.= fl v'p py=h
zp р Z=fg
где /ц /2i /в постоянные Лапласа, 202
Между семью полученными интегралами существуют следующие соотношения:
(11.1.60)
(11.1.61)
ci/i4~ сг/2 + сэ/э 0) 11+11+11 = ^+ * (4+ 1+4)-
Отметим также, ято
с=Ус1+с*+$ есть вектор момента количества движения,
ta=vn+n+n
Векторы с и /л перпендикулярны друг к другу и определяют неизменную плоскость Лапласа. Из семи интегралов (II.1.55), (II. 1.56) и (II. 1.59) только пять будут независимыми.
Общим интегралом системы (II. 1.49) являются системы уравнений
x = x(t, h, |
g, |
1 с ] , |
]/ |
) |
|
y=y(t. |
h. |
g, |
1 C ] . |
1/ |
) |
l = Z(t, |
h, |
g, |
M. |
1/ |
), |
x = i{t, |
h, |
g, |
M. |
1/ |
) |
y=y(t, |
A, |
g, |
M. |
I/I |
) |
z = I (/, |
h, |
g, |
\C\, |
1/ |
1) |
(II.1.62)
(И.1.63)
где F ((, A, g, clt сг, с„ /х, /2, /3) функция времени и шести независимых произвольных постоянных.
Произвольные постоянпые могут быть определены через так называемые начальные условия, т. е. через координаты (х0, у0, z0) и составляющие скорости спутника (х0, у0, z0) в момент t0. Однако с нрактической точки зрения во многих случаях произвольные постоянные целесообразно выразить .через элементы орбиты.
Элементы орбиты спутника есть совокупность параметров, характеризующих положение орбиты в пространстве, ее размеры и форму, а также положение спутника на орбите в некоторый мо- мепт времени.
Положение орбиты в пространстве характеризуют: Q долгота восходящего узла, со аргумент перигея, i угол наклона орбиты (см. рис. И.1.6).
Размеры и форму орбиты характеризуют: а большая полуось, е эксцентриситет орбиты.
В качестве шестого элемента может быть использован момент прохождения спутника через перигей т.
Возможны разные модификации элементов орбиты (табл. II.1.1, рис. II.1.7).
a |
e |
(0 |
X |
p= a (1 es) q=a( 1 e) -V* 2я T= |
Sin<p = e |
3 1 a II e |
Мй=п (t t) е = Я + ш + Л/о M = n (t to)-)-Mo E = M-\-e sin E v i/l + e E V.l-e 2 |
В табл. II.1.1 и на рис. II.1.7 р фокальный параметр, п среднее движение, Т период обращения спутника, л долгота перигея, М средняя аномалия, Е эксцентрическая аномалия,
о истинная аномалия, 8 средняя долгота, [J. = /М@ гравитационный параметр.
Связь между эксцентрической и сродней аномалиями устанавливается посредством уравнения
Е е sin Е = М, (II.1.64)
называемого уравнением Кеплера. Обычно это уравнение решают методом приближений.
В соответствии с рис. II.1.6.
= У+Ш,
(II.1.65)
где и аргумент широты.
Между элементами орбиты и постоянными интегрирования существует следующая связь:
(II.1.66)
(II.1.67)
(ii.1.68;
Ci = Y^P s>n * s'n c2 = Уцр sin i cos
C3 = У (ip COS I
fi = \ie (cos со cos Я sin ш sin Я cos i) f2 = це (cos ш sin Я + sin ш cos Я cos i) /з = [ie ain a> sin i
c = V\ip f = e\i
--r(i~°
Невоэмущенное движение ИСЗ может происходить либо по эллиптической, либо по круговой орбите. В случае эллиптической
орбиты
сфО, 0<«<1, h< 0, F0<l/" ; /<Ц. (II.1.69)
г Ро
Для круговой орбиты соответственно имеем
= 1/^, " Ро
/ = 0. (II.1.70)
Сф 0, е = 0, А=<0, У0 Ро
Для орбит с очень малыми эксцентриситетами вместо элементов ей со, которые становятся неудобными, часто используют ^2? ^о"
(II.1.71)
! = ecoscD, X2 = esind), к0 = М о + <в.
Формулы для представления составляющих радиуса-вектора положения и радиуса-вектора скорости яерез элементы орбиты имеют вид
х= р(соэ £2 cos и sin й sin и cos O']
i/ = p (sin Q cos u + cos Й sin и cos £)>, (II.1.72)
z = p sin и sin i )
ux = Vp (cos fi cos и sin Q sin u cos i)
Plf=vf (sin £2 cosu + cos£2 sin и cos г) (II.1.73)
где
i>p = |/"-~ esin v, (II.1.74)
pn = ]/'^(l + ecosp). (II.1.75) Осповные разложения в ряды в задаче двух тел
» = £ + 2 (psin£+-| р2 sin 2Е + -ip3Sin3£+ . . .^ , (II.1.76)
P = l(l_y-f372)= |e + |e3+_Le5+.<i) (П.1.77)
E = v 2 sin v -1 p2Sin 2у + -i рз sin 3t> . . , (II. 1.78)
205
u = M+(2e ■j e*+. . sin Д/+(-|е2-|-. • .)sin2A/ +
+ (-Ц*»+...)атЗЛ/+..., (II.1.79)
|-e3. . Л sin 3M+. . .,
E = M-\-(e
(II.1.80)
*(
~=i e cos М у- (cos 2Л/ 1)
1 ' 6 * ft
£
cos£ = cosAf-| (cos 2 M 1) +
ы
4- ; f (3 cos ЗЛ/- 3 cos Af) .. ♦ (II.1.82)
1 • 1 • Z4
II. 1.7. Возмущенное движение ИСЗ
В зависимости от характера действующих сил возмущения в движении ИСЗ делятся на гравитационные (возмущения от аномального гравитационного поля Земли, от притяжеппя Луны и Солнца) в вовмущения от пеконсерва- тивных сил, основными из которых являются сопротивление
атмосферы и давление солнечного излучения.
Для изучения возмущенного движения используют понятие ос купирующей (соприкасающейся) орбиты, которая определяется как кенлерова орбита, элементарная дуга которой в любой момент совпадает с элементарной дугой действительной орбиты. Элементы этой орбиты называются оскулирующпми. Изменение оскулирующпх эллипсов описывается функциями р (<)■ е (t), П (t), m (0. М (t). Определение этих фупкций является основной задачей теории возмущенного движения.
В самом общем виде возмущенное движение описывается системой дифференциальных уравнений Лагранжа (2-го рода)
d ( дТ \ дТ 0V „ тт \ вч» г|;I =; (& 1, 2t 3), (II.1.83)
dt \ dqi j dqt dqt
где Qi обобщенная координата, Ткинетическая энергия системы,
Если декартовы координаты (г, у, г) в абсолютной системе прямоугольных координат с началом в центре масс Земли, то уравнения Лагранжа обращаются в систему
d-x <1№ <1Ц dt2
dH
dt2
* dV , л
(II.1.84)
^~~dT + Qx
+iV“-5r+<?«
Начальными условиями для интегрирования уравпеппц
Дифференциальные уравнения возмущенного движения (в оску- лирующих элементах) могут быть представлены через компоненты возмущающего ускорения в виде
m=w-2=- dt
у ц/> sin
/7 / n
W cos u
VTp
J^=yz[Ssinv+(l+JL}Tc°sv+eJLT-]
■w = Vi ['s cost ('1+f)T sin y“7 wctg 1 sin u]
JL = Ym fi _ PL ж ctg i sin l/Ш
л pa L up (p)2 ^ p J
(II.1.85)
где (u), (p) н (p) невозмущенные значения аргумента широты m фокального параметра р и радиуса-вектора р; W, Т, S компоненты воамущающего ускорения соответственно в направлении бппормали, трансверсали и радиуса-вектора (рис. II. 1.8); и = и
(и).
При малых значениях эксцентриситета е уравнения для de/dt и da>jdt в системе (II.1.85) заменяют на уравнения
T=^f-[-Sc0S“+2,(1+i)sinU +
+ -jj- (T\i Wk2 ctg i sin u) J, (II.1.86)
+ -£- (T%z+W'k1 ctg i sinu)*], (II.1.87)
P J
где
Система уравнений движения интегрируется при известных начальных условиях.
II. 1.8. Методы интегрирования дифференциальных уравнений возмущенного движения ИСЗ
Для интегрирования дифференциальных уравнений возмущенного движения используются аналитические методы (Пикара, малого параметра), численные методы и аппроксимации решений в виде систем полиномов.
При аналитическом интегрировании в качестве независимой переменной обычно выбирают не t, а одну из быстро меняющихся переменных, чаще всего и или v.
С помощью выражения
1
где
(II.1.83)
(II.1.89)
1 W ctg < sinu
fiP
легко перейти от уравнений (II.1.85) к следующим уравнениям по переменной и:
du bin i
du j.ip
dQ ^ p3Y sin и
du , pgy V(p) du y~p (p2)
Аналогично с помощью выражения
dt p2Vi do У up
-з =■ или т=
■ ^ >^|хр “< Р Yl
где
, (II.1.92)
Yi
1
це це \ р )
можно перейти к уравнениям по переменной v, которые будут иметь такой же вид, как и (II.1.90), но с заменой множителя у на Vi-
Система (II.1.85) или (II.1.90) может быть решена методом последовательных приближений, для чего она представляется в интегральной форме. В первом приближении оскулирующие элементы в правых частях полагают постоянными, после чего система распадается на отдельные уравнения, которые решаются с помощью квадратур,
бе = е (е) = ^ £iS sin i?-f- ^1 + Т cost>-|-e rj du
(II.1.93)
йш = <в (<o) = J £ S cos ^ a'n v
T sin v
где (Й), (р), (i), (е), (<в) невозмуЩеииие элементы орбиты, опре-
u
а>о начальные значения элементов.
Для интегрирования системы (II.1.85) или (II.1.90) численными методами используются, как правило, экстраполяционный и интерполяционный методы Адамса, при этом начальные («разгонные») точки для применения метода Адамса получаются при помощи метода Рупге-Кутта четвертого порядка.
Для получеппя интегралов системы (11.190) методом аппроксимирования используют степенные ряды, тригонометрические функции и так называемые гиперболические. члены, при этом любой элемент (£=1,2,., ., 6) представляется в виде
Ei(t) ^ Ej (t toy ^ Sj (я? + М) +
>=o j=o
+ V н) exp {n} [In (H) -()]}. (II.1.94)
j= o
II. 1.9. Возмущения от гравитационного поля Земли
Одной из основных причин:, вызывающих возмущения в движении искусственных спутников Земли, является весьма сложная структура гравитационного поля Земли, определяемая неправильностью ее формы н неравномерным распределением масс в ее недрах.
Одной из распространенных формул, выражающих гравитационное действие Земли на точку во внешнем пространстве, является
[.- 2 л,(^-уЧот®>+
п--2
+ 2 2 (-^■)n-pn'»(sin®)(/„OTC03mA. + ^„msmmX)J, (II.1.95) п=2 т=1
где Ф геоцентрическая широта, К долгота, Рп (sin Ф) полиномы Лежандра, Рпь (sin Ф) присоединенные функции Лежандра, П0 средний радиус Земли, /„я, Кпт безразмерные коэффициенты.
Возможно нредставлепие гравитационного потенциала в иной форме:
v= fMp®~\}+ 2 2 ('^■)П(СятСозтХ+5пте sin тЯ)Х
n=2m=0
XiWsin®)], (II.1.95')
причем
-Cnm=Jnm • (II.1.95")
Snm ~ Knm )
Первый член /Af/р характеризует притяжение шарообразной Земли со сферической симметрией.
Все остальные члены (R) учитывают переход к реальной Земле. Члены, содержащие Рп (sin Ф), называют аональными гармониками. Члепы, содержащие Рпт (sin ф), называют долготными, причем в случае га Ф т имеем дело с так называемыми тессераль- пмми гармониками, а при п = т с секториальными.
Если па спутнпк действует только притяженпе Земли, гравитационный потенциал который равен
(II.1.96)
то возмущепия в движении ИСЗ будут обусловлены только величиной П (пертурбационная функция).
Влияние второй зональной гармоники на движенпе спутпика характеризуется величиной возмущающей функции
(II.1.97)
или в виде разложения по степепям эксцентриситета (с точпостью до е3)
х cos (2Af+2co)-| cos(3A/-f2o>)+-y-e2x
х cos (AM + 2<о) + cos (5M-(-2ш) I, (II.1.98)
где s = sin I.
Действие возмущающей функции (II. 1.98) вызывает вековые возмущения в элементах ft, ш, М0
(II.1.99)
(II.1.100)
(II.1.101)
Вследствие возмущающего действия второй зональной гармоники, как видно из приведенных формул, перемещение узла происходит в направлении, обратном движению спутника (регрессия узла). Одновременно в противоположном направлении происходит ьращепие плоскости орбиты вокруг собственной оси,
Как отмечалось выше, вместо to и М0 могут использоваться соответственно элементы я и ё; для них имеем
а . /До \а 5 cos2 £ 2 cos I 1
{ ) (1=3)2 - (II.1.102)
■_ 3 т ( R0 (5+3 Vi e2)cos2 j 2 cos I 1 /l e* e _yan j (1 e2)2 -
(11.1.103/
Кроме того, вторая зональная гармоника вызывает короткопериодические возмущения во всех элементах орбиты.
Формулы для вычисления этих возмущений могут быть взяты из [1], [9].
При исследовании движения ИСЗ в течение продолжительных промежутков времени в формулах должны быть учтены влияния вековых возмущений второго порядка и долгопериодические возмущения первого порядка относительно полярного сжатия. Возможность использования при этом формул для орбит с разными эксцентриситетами определяется количеством сохраненных в разложении членов. Имеет место особенность при е 0.
Для орбит с малыми эксцентриситетами при вычислении возмущений от второй зональной гармоники возмущающую функцию выражают в виде
1 г
^ 1 sin2 / ^ £ 1 + 3i cos X + Zh sin X+
_|_ _L (fc2 4- гг)+_L (hi гг) cos 2A, + Ш si n 2XJ
ч )Мф.Я\ Г 1 ,1
j-Ji , ■ 1 sin2 * тг-l cos X + h sin X+cos 2X+
+ -^- г cos 3X+-^-/s sin 3X |-(fe2+J2)cos2Ji,+
+ ^-(Z2-Hcos4X+17Afsin4>.J , (II.1.104)
2 аз
R = -k-Ji
где
I
ft = esin(n Q), I = ecos(n £2), X = eQ+ j ndt.
Формулы вычисления возмущений для этого случая можно взять из [9); там же даются формулы для круговой орбиты.
Зональные гармоники, порядок которых п j> 2, вызывают вековые возмущения в элементах Q, со, М и долгопериодические во всех элементах. Вековые возмущения первого порядка вызываются только летными зональными гармониками.
Формулы для вычисления влияния зональных гармоник высших порядков (п £> 2) имеют вид
105
1024
3 = -п cos i ^ V4 (2 + Зе2) (4 - 7*2) - Ye (8 + 40е2 -|- 15в4) (8 _ 36*2 _|_ 33s4) +
315 32 768
+
Yb (16 + 168е2 +210е* + 35е«) (64 - 528s2 +1144*4 _ 715*6)];
(II.1.105)
15
Дш = ДЯ cos г' + п [^"l^"^4 (4 + Зе2) (8 40s2 + 35*4)
105
2048
Ye (8 +20е2 + 5е«) (16 168s2 + 378s* 231*«) +
315
262 144
Ye (64 + ЗЗбе2 -f 280e« + 35*6) x
где
X (128 - 2304s2) -f 9504s4 -13728*» + 6435s») J, (11.1.105')
У n = Jn {Jj-f • * = sini, P a (1 e2).
Для вычисления долгопериодических возмущений, обусловленных зональными гармониками, могут быть рекомендованы формулы, приведенные в [1]. Эти формулы для эксцентриситета орбиты имеют следующую структуру:
Де, = 2я2^(-у-)П««
П
е.2 = 0
3 /5 \
, (II.1.105”)
ез = ^{l е2) sin i coso) ( 1 / J
= -^-(1 e2) (l/esin 2cо e5 = -^(l-e2) sin £ [(ll 7+Щ- /2) (l + -|*2) X X cos ш +-^- ^ 1 ^ /e2 cos 3cd J
где
/ = sin2 i.
Диалогично можно записать выражения для возмущений
В формулах вида (II.1. 105") члены, содержащие синусы или косинусы от ш, 2со, Зсо, 4со, . . ., вызывают долгопериодическпе возмущения. Точные вычисления требуют продолжения рядов в этих формулах.
Долгопериодическпе возмущения имеют такой же порядок, ято и короткопериодические возмущения от второй зональной гармоники. Вековые возмущения от второй зональной гармоники примерно в 1000 раз больше вековых возмущений от зопальпых гармопик высших порядков.
Тессеральные и секториальные гармоники вызывают только периодические возмущения. Амплитуды долгоперподических возмущений примерно в 1015 раз больше амплитуд короткопериоди- яеских возмущений. Период долгоперподических возмущений примерно соответствует суткам, формулы для вычисления этих возмущений могут быть взяты из [1], [9].
II. 1.10. Влияние притяжения Луны и Солнца
Под влиянием притяжепия Луны в элементах орбиты спутника появляются вековые и долгопериодические возмущения, для вычисления которых могут быть использованы формулы, например, из
[1], [9].
В этих формулах не учитывается лунный параллакс, а орбита принимается эа круговую.
По аналогичным формулам производится вычисление возмущений, обусловленных притяжением Солнца.
Короткопериодическими возмущениями, возникающими до указанной выше причине, пренебрегают, так как они малы.
II.1.11. Возмущения в движении ИСЗ вследствие тормозящего действия атмосферы
Сила сопротивления атмосферы
F=±pV*SCD,
где р плотность воздуха, V скорость спутника относительно атмосферы, S площадь поперечного сечения спутника, CD аэродинамический коэффициент лобового сопротивления.
Для большинства спутников ст> 2>2,
Изменения плотности воздуха в первом приближешш происходят по закону, выражающемуся экспоненциальной формулой
где Н постоянная (шкала высот), р0 плотность воздуха в исходной точке, например в точке перигея, h высота, отсчитанная от исходной точки.
Для вычисления возмущений от сопротивления атмосферы используются формулы из [1], [9).
Возмущения наклона i настолько малы, что их можно пе принимать во внимание.
Для учета вращения атмосферы необходимо вместо и= SCjjjm^ использовать в формулах для подсчета возмущений
где rn u радиус-вектор и скорость спутника в перигее, со угловая скорость вращения атмосферы.
II. 1.12. Влияние светового давления
Спла светового давления определяется формулой
(II.1.106)
где С площадь поперечного сечения спутника, S0 мощность солнечной радиации на 1 см2 земной поверхности в единицу времени (солнечная постоянная), к коэффициент отражения, Яв среднее расстояние от Земли до Солнца, Д расстояние между спутником и Солнцем, а угол падения солнечного луча, с скорость света.
Формулы для вычисления возмущений от светового давления для случая, если спутник постоянно освещен Солнцем, могут быть взяты из [9]; там же даются формулы для вычисления возмущений с учетом теневого эффекта.
II.1.13. Учет возмущений от аномального гравитационного
поля Земли при интегрировании уравнений движения ИСЗ
Потенциал аномалий силы тяжести можно представить в виде
ОО п
71=2 7П=0
(II.1.107)
где ут среднее ускорение силы тяжести на поверхности земного эллипсоида, ot/imi Рит постоянные числа [(коэффициенты разложения (II.1.107)].
Эти коэффициенты связаны с соответствующими коэффициентами в формуле (II.1.95) следующими соотношениями:
Компоненты Т, S, W возмущающего ускорения, обусловленного действием аномалий, получаются по формулам
(II.1.108)
Т = Дgv cos 0 + Agy sin 0 W = Agi cos 0+Agf sin 0 S = -Ag0
где Agf, Agx проекции ускорения, вызываемые аномалиями, в направлении меридиана (на север) и параллели (на восток) в данной точке, Agf в направлении к центру Земли, причем
п-2
п
X 2 (anmCOsmA.+PnmSinmX) Pnm (sin Ф), (II. 1.109)
ш=-=0
со П
ЛгЧ='^'2("^')П+2 2 (“"«nCOSmX + PnmSin ml) X n= 2 тп=0
X [^n,m+l (sin Ф)-^Рм(8шФ)], (II.1.110)
ОО
дл = Ъа "V (х
х Rq cos Ф ^ \ Р /
П-2
п
X S (“nm sin теА, + р„т cos т\)тРш„ (sin Ф), (II. 1.111)
7П=0
cos 9 = sin i sec Ф cos a \
}. (II.1.112)
sin 0 = cos i sec Ф )
Значения T, S, W, определенные формулами (II.1.108), подставляются в дифференциальные уравнения (II. 1.85), после чего производится их интегрирование.
II. 1.14. Вычисление эфемериды ИСЗ
Эфемеридой называется таблица, в которой для равноотстоящих моментов времени даются топоцентрические экваториальные а' (t) и 6' (t) или горизонтальные координаты A (t) и г (t) ИСЗ с точностью, необходимой для организации наблюдений на станциях.
Порядок вычисления эфемериды. Интегрируют систему дифференциальных уравнений движения (II.1.85) соответственно для моментов tlt t2, . . ., tn. При этом ограничиваются учетом лишь
первых членов (до четвертого порядка) в разложении аномалий силы тяжести, сопротивление атмосферы учитывают приближенно.
В результате интегрирования получают оскулирующие элементы орбиты.
С помощью уравнения Кеплера Е е sin Е = М вычисляют эксцентрическую аномалию Е с использованием итеративной схемы
Е -Е Е«-(е,Ю)sin Ея~М
Ьцл-Ья 1 е<“) cos Eq (П.1.113)
где е(0) эксцентриситет орбиты в градусах, е(0) = е 57°, 295780. Далее вычисляют истинную аномалию v
Y1е2 . „ COS Ее ....
sin£, созу=- , (II.1.114)
радиус-вектор р
р = -Т~г =а(1е cos Я), (II.1.115)
l-fecosy v '
прямоугольные геоцентрические координаты ИСЗ
= Р [cos (ш+и) cos Я sin (<в + и) sin Я cos г] i
yc = p[cos(co + t>)sin£}-|-sin(<B-|-zOcosQcos £] I (II.1.116)
zc = psin (0-f-v) sin t )
геоцентрическое прямое восхождение и склонение tg а = ; tg б = ■■ Zc ,
Хс V*l+yl
прямоугольные гринвичские координаты пункта наблюдений = (W + Н) cos В cos L Yn = (N + H) cos£sin£
Zn = [N (i-eb) + H\$mB }, (II.1.117)
_
N = a (1 e2SinSB) 2 эипаториальные геоцентрические координаты пункта наблюдений Хп Хп cos S + Уп sinS \
Уп = Xnsin S-\-YncosS 1. (II.1.118)
Zn = Zn '
В формулах (II.1.118) S гринвичское звездное время, при-
чем
5 = 50 + иТ-1+циТ-1. (И.1.119)
217
Затем бкчисляют топоцентрические экваториальные координаты ИСЗ
t г«*'«
(11.1.120)
(11.1.121)
Ус Уп X г Хп
t&6' =
У (гс гп)2 + (!/с Уп)2
и далее в случае необходимости горизонтальные координаты, азимут А и зенитное расстояние z
. , COS 6' COS У ( ,
cos z = sin ф sin б' + соэф cos 6' coss,
s = S + A,.
II.1.15. Определение орбит ИСЗ
^ sin 6'cos tp + cos б'sin ф coas * '
(11.1.123)
(11.1.124)
Определение орбиты ИСЗ заключается в нахождении вероятнейших поправок к приближенным начальным условиям интегрирования дифференциальных уравнений движения (II.1.85) по совокупности орбитальных измерений, выполненных на станциях наблюдения за некоторый промежуток времени t f0.
Приближенные начальные условия обычно известны для мо- мента выхода ИСЗ па орбиту.
Элементы орбиты в любой момент t есть функции начальны* условий и времени. Если начальными условиями являются кемеровские элементы, то
а = а (а0, ед, ig, Шд. ®о> 0
(II.1.125)
е = е(а0, е0, i0, ш0, й0. М0, t)
(II.1.126):
с другой стороны, любая измеренная величина Ujk, связывающая положения ИСЗ (к) и станции наблюдения (/), есть функция текущих координат, скорости ИСЗ и времени t
Ujk Ujk (xkt Uk' %k< xk> Ук, *k> 0*
Раскладывая (II.1.126) в ряд Тейлора и переходя к уравнениям поправок, с учетом (II.1.125) получим
v Puik M\+'Mk-uT)=vibVp i-1
где Эi любой из шести элементов, ДЭ“ поправка к i-му элементу орбиты, Vjk вероятнейшая поправка измереппого значении Ujk, Uj\приближенное значение U/k, £/^м измеренное
апачение f/д, Pv вес Ujk- №
Производные от измеренных величин по начальным значениям элемептов ди^/дЭ? будут
dUjk дЭч
Из (11.1.128) следует, что возникает псобходпмость в вычислении производных d9ijd9\ от текущих значений элементов по начальным.
Матрицу производных от текущих элементов по начальпым можпо приближенно, с учетом только вековых возмущении первого порядка от сжатия, вычислить по формулам
д (а, е, i) д (а, е, i)
д (а, е, I, со, М, S2)
(I (яо. ео- *о> М0, Qq)
д (a0i ео< *о) 0 (Af о. шо> Оо) д(М. to, Q) д(М, (о. Q)
1-eg
х(*-/„) (11.1.130)
В формуле (II.1.130)
т(П1Ш)
M = M0+n(t t0), (II.1.132)
fl = £20 + £i(t <о), (II.1.133)
(о = о)о + ш(* to), (II.1.134)
a aQ, (II.1.135)
е=е0, (II.1.136)
t = i0, (11.1.137)
re = «(l-Y), (II.1.138) £2 п со вычисляются соответственно uo формулам (II.1.99) и (II.1,100).
219
ctg sin2 Ф0 1 3 sin* Ф0
5£2 sin iо & tg <о
К\Е cos Е0
(3 7у) 2ао 7 ■
6л\
1 «о cos Ео 4<?о •
К =
1-е?
2«о
-Д£2
(II.1.129)
Злу
2вп
где
о
д (doi е0 ®о) ^ (-^о. ®о> Q0) Е \ О
Система (II.1.127) решается последовательными приближениями по способу наименьших квадратов до выполнения условия
|[7oOT_i/Oh(N-l)|^ei (II.1.139)
где N помер приближения, е заданная точность вычислений.
Приближенные значения Ufk получают следующим образом.
С принятыми приближенными начальными условиями (i =0) интегрируют систему дифференциальных уравнений движения (II. 1.85) для момента */* измерения величины Цц, в результате чего получают приближенные элементы dot (I = 6) для момента t/k, точно соответствующие принятым По значениям Эof вычисляют коордипаты и компоненты скорости ИСЗ и далее величины Ufa.
В результате всех вычислений получают поправки к элементам орбиты по формуле
_ N
Э( = ЭЫ + '21АЭ'>. (И.1.140)
1
В. СПУТНИКОВАЯ СФЕРИЧЕСКАЯ АСТРОНОМИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ ВИДИМОСТИ
Формулы для вычисления координат подспутниковых точек спутника следующие:
ср = arc sin (sin и sin i).
(II.1.141)
X = Я0 -)- arc tg (tg и cos i) S + ДЯ -jr
S ^о+®з (* *s0)
где Я„ начальное значение долготы восходящего узла, S гринвичское зоездное время, ш3 = 7,29211 • 10'5 сек-1 угловая скорость вращения Земли, ДЯ процессия орбиты яа один оборот, t время, прошедшее от некоторого начального момента, для которого задано значение Яв.
Семейство точек, координаты которых определяются по формулам (II.1.141), образует проекцию траектории спутника на поверхность Земли (трассу полета).
Величины, входящие в формулы (11.1.141), вычисляют следующим образом (табл. 11.1.2).
После того как по формуле (II. 1.141) подсчитано значение Xlt для каждого гс-го витка имеем
X„ = *i-(n_l) (II.1.142)
где д™ 15,0411 градус/час, <2 = 2,378-107 градус • кма,
Таблица II.1.2 |
|
Круговая орбита, «=0 |
Эллиптическая орбита, 0<<?<1 |
t try и 2 л Т 2я ДЙ= р2 Х е cos £ хСО, p-iM-fi-)* е = 2,634 ■ 1010 км5/сек2 р. = 3,98602 • 10Б км8/еек2 >4 =4,15196 ■ 105 км2 |
и = (0 "4* V t tf. ш = м0+Дсо Дй> = -^- . -j^(5 cos2 г1) Е е sin Е -т+ я да/2 Е -I Г 1 е v tg 2 ~V i + e tg 2 в Га~Т* ro+r. . 2л в ДО=• cosi = cos I р2 р = а (1 е2) = р (1 + е cos у) P-i + ecos'y-^1-*008^ |
Топоцентрическое зенитное расстояние спутника в кульмина-
Р
tg *'» = ~S . (П.1.Ш)
COS zc 1
где
li 0
p = -.a_|1~"2) ■ , (II.1.144)
zi геоцентрическое зенитное расстояние.
Топоцентрическое зенитное расстояние спутника в текущей точко орбиты S
Р Р *
-д Sln zs tgz„
= = ° (II.1.145)
-5 coszs 1 -jj cos Д У cos2 Д + tg2 ze ti 0 ^0
д = As Ac. (II. 1.146)
Геоцентрическое зенитное расстояппе спутника
{ШМ1)
Формулы (II.1.143)(II.1.147) не учитывают сжатия и вращений Земли.
С учетом сжатия и вращения Земли
I/ 4U-sin2 ze + 2 -jj sin (ВФ) sin гссоз^в tgz11“ , (II.1.148)
COS Zc C03 (B Ф)
0
® = arctg[(l e2) tgB], (II. 1.149)
tg zs = LJh *2
-Ц cos Дcos (В Ф) Уcos2 Д + tg2 za «о
(II.1.150yj
Время между двумя последовательными прохождениями спут^ ника .через один и тот же меридиан (без учета возмущений) равно;
АТм Jm(1+ 1440 sin2AXM+cos2Aa,Mcos2i)* (П-1Л51);
где
дхм XQ.
Изменение угла пересечеппя проекции траектории спутника- на поверхности Земли (принимается за шар) с меридианом место] вследствие вращения Земли
ДQ" = 2'ATm cos i с tg <?, (11.1.152J
где Q угол пересечения проекции траектории с меридианом места для случая неподвижной Земли.
Зависимость сферических координат спутника от времени^ Полагая do>/ds = 0, de/ds = 0 и учитывая, .что и = (i>+ <и),
du du dM | 0 Л11 dM di\l
Для геоцентрических координат имеют место соотношения dfl cos и sin i du cos i du
(11.1.155)
(11.1.156)
ds cos 6 ds tgQ cos 6 ds
da cos3 Да соэ i du cos i du _ sin2(? du
~dl cos2 и ds cos2 6 ds cos i ds
dz (. da \ d5
= -cos<psin Л-cos (Q-9)^, (II.1.157) dA cos 6 cos q (. da\ . cos z sin А соз q -f sin 6 sin t rfS
ds sin z \ ds J ' sin z cos A ds
_ cos 6 cos q sin (Q-q) du ' (II.1.158)
sin z sin z ds
В двух последних формулах п далее q параллактический угол в параллактическом треугольнике, А азимут, отсчитанный от направления на север.
Для топоцентрических координат
^_(c0sz-jr)CO3Cpsin^ du
ds P 2coSz+*<L + 2cos 2 ds
R0 ' P До P
(II.1.159)
n, принимая поверхность Земли за сферу,
А'=А, dA' dA
(И. 1.160)
ds ds
Геоцентрические зенитные расстояния и азимуты ыожпо вычислить с помощью аналитических выражений
z = z0 £cos (Q q) -|-C03<psin.4j As+. . (II.1.161)
1440 + C0?U°^-'W. . . (И.1.162)
L sin z T sin z J
Аналогично получаются в впде разложения в ряд значения геоцентрических а и б
Для вычисления азимута и величины Ди = иа и5 спутника в момент восхода в соответствии с рис. II.1.9 применяются формулы
sin (А М) = ± tg Дф ctg 0 sin М, cos (Ди ±N) = cos 0 cos N sec Дф, tg M = cos Дф tg Qa, tgN = tg Дф cos*?,, а для захода соответственно получим
sin (Л М) = ± tg Дф ctg 0 sin М, cos (Ди + N) = cos 0 cos N sec Дф.
(11.1.165)
(11.1.166)
(11.1.167)
(11.1.168)
(11.1.169)
(11.1.170)
Вторые знаки в формулах (II.1.165), (II.1.166), (II.1.169), (II.1.170) будут иметь место для случая, когда точка М (см.
рис. II.1.9) лежит южнее точки а.
Если восход (заход) спутника происходит вблизи нисходящего узла, применяют те же формулы, но угол Q, отсчитывается от южной части меридиана к дуге орбиты по ходу часовой стрелки.
[и5со + 2е sin (us <*>)] +т
. (II.1.171)
Гвосх (зах)
T BOcX
(зах)
= _Т
(зах)
1440
Вычисление времени восхода (захода) ведется в такой последовательности:
к5 = и„Ди cos u„ = ctgictg<?M
us = arccos (ctg i ctg Q) Ди i«s = arcctg(cos ictgAA,M)Ди y = us til MP ,
Геометрическая интерпретация величип М и N ясна из рис. II.1.10.
Время, в течение которого спутник находится над горизонтом пункта наблюдений, вычисляется по формулам (для неподвижной
Земли)
Г3ах Твосх = (II. 1.172)
Т
ДТгх = ■J44Q- [2т+4е (cosи»cos tcos Nsmit,,sin Tsin N)],
(II.1.173)
cos t=cos 0 cosiVsec Дф, (II.1.174)
sec 0 (II.1.175)
«о
В момент кульминации ИСЗ в пункте М
“с = “еосх + arccos (cos 0 cos N sec Дфм) =
= arcctg(cos i с1д ДХЛ|) + агс1д(соз(?1гДфм); (II.1.176) Ac= arcsin (tg Дфм ctg 0 sin M) = 180° arcctg (cos Дфм tg (?),
(II.1.177)
где
^м = ^м ^q'' = arctg (sin ДХМ tg i). (II.1.178)
При прохождении спутника через меридиан места (рис. II.1.11) <4 = 0 или А = 180° геоцентрическое зенитное расстояние
zi= Дфм (II.1.179)
cos ф„ = cos i cosec @м, (II.1.180)
QM= arccos (sin i cos ДЯМ); (II.1.181)
момент прохождения
тм = T + lJo [“М - ® + 2е sin (uM -<в)], (11.1.182) tg “и = u« = tg д\м see i. (II.1.183)
При прохождении спутника через параллель места (рис. 11.1.12)
sin 6 ДА. \*Е
tg ^4 = ± : т-. 1 , (II. 1.184)
sin<p(l совбДЛ.) j_w ' '
геоцентрическое зенитное расстояние
znap = sin 6 ДА, cos <ps (для A s|90?|), (II.1.185)
в общем случае
COS Znap = sin2 Фа + cos2 <Ps cos б ДА., (11.1.186)
ЪЬХ = \% Км, (II.1.187)
момент прохождения
Tn®P==T+'J^Q- [UM <й+2е sin (мм ш)], (II.1.188)
sin uM= sin ф5cosec «. (II.1.189)
Определение условий видимости ИСЗ. Для расчета условие видимости в соответствии с рис. II.1.13 можно применить формулы
Р = arccos cos Y. (II.1.191)
P = arcsin sin a^Ja', (II.1.193)
P = 180ea'6', (II.1.194)
6'=arcsin ^ ^ sin o', (II. 1.195)
D ss ft tg a'± 0,020 (для A<1000 km, a'<25s).
Если имеется ограничение в работе аппаратуры по наклонной дальности d, то
P<W = arcsin (я^рГ ^ Yrfmin)' (11-1-196) Чп« = (^ + ^ + 2fl„d sin Y<w)/. - л0. (II■ 1.197)
Видимость поверхности планеты со спутника. Пусть требуется определить участок орбиты спутника планеты, при движении на котором угол между планетоцентрическими направлениями спутник Солнце не превышает заданной величины ф.
Зона Видимости пункта М
Граничные значения эксцентрической аномалии в этом случае определяются из уравнения
Ре +cos \р
Е = у ± arccos
р=
Е =
У(\1 -fe cos ф)2+ (1 ei)
где
f - iVi-e*
® ^ Р + е cos г|)
XQPx + YQPy + Z~.P2
, (II.1.193)
(11.1.199)
(11.1.200)
(11.1.201)
Координаты Солнца могут быть взяты из Астрономического ежегодника, Рх, Ри, Р>, Qx, Qu, Qz вычисляют по Формулам (II.1.35).
Я
(II.1.202) 227
Уравнение (II.1.198) имеет решение для всех ^ , если
У(Р+есозг|))г+(1-е2) ga
Моменты, соответствующие граничным значениям эксцентрической аномалии равны
tt=El~eSm Ь -1-т. (И.1.203)
Пребывание спутника в тени Земли. Наблюдения пассивных ИСЗ возможны только в том случае, когда они освещаются Солнцем, В связи с этим из рассмотрения следует исключить часть орбиты, находящуюся в тени Земли. Это имеет также значение при аналиве условий, благоприятных для зарядки солнечных батарей. Подобная задача возникает также при учете влияния светового давления на движение ИСЗ,
Уравнение тени
5* = ^oCOs1u+/l1cosSy+i42cos2y-(-/l3Cosy-f-/l4, (II.1.204)
(|a_p2)e2+(p2+|2)2i (II.1.205)
Аг = 4 (-^-)4еЗ-4(-^-)2 (£2-Р2)е, (II.1.206)
(ir)4 е2-2 ('pL)2 (|2_р2)_
_2^А.у (1_|2)е2+2(|г_р2)(1_£2)_4р2£2 (Н.1.207) ^ = 4(^-)1e-4(-^-)a(l-^)f. (II.1.208)
А4= (-J-)4-2 (1-£2) + (1- № (II.1.209)
При соблюдении условия
f}cosi>+£sini> = 0 (II.1.210)
спутник будет всегда освещен Солнцем. При входе в тень S* меняет знак минус на плюс, при выходе из тени плюс на минус. Приведенные формулы не учитывают сжатия Земли и ее движения по орбите. Моменты входа в тень и выхода из нее вычисляются по формуле (II.1,203).
Время пребывания в тени Земли
в J
Д* = £=г [-Ба-®х+е(sin sin ^г)], (1Ы.211) у /Л#ф
причем
Учет влияния аберрации. Поправка в координаты спутника за аберрацию вычисляют по формулам
(II.1.214) (II. 1.215)
(11.1.216)
(11.1.217)
У со» 8 cos Ф 2Q
С COS о
Аа.= Усо80атФ 206265.|
206 265",
Az" V cos9cos(Q + g)
АЛ" = ^ cos 9 sin ((?+Л206265Д- с sin Z
В формулах (II. 1.214) (II. 1.217) V скорость движения ИСЗ по отношению к наблюдателю, с скорость света. Углы Ф и 0 изображены на рис. II.1.14.
Спутниковая рефракция.
rs = г, Дг, (II.1.218)
где г* астрономическая рефракция.
Дг = к3 tg z sec z [1 + &4 (2 sec2 z + + tg2z)(l-«-01385,l)l, (II. 1.219)
где s расстояние до спутника, к3 = 435,0"/км, к4 = 0,001137км,
е основание натуральных логарифмов, h высота спутника над станцией.
Если h ^ 1000 км, z 45ч, то
(II.1.220)
ЧЧ
Дг 3S206 265" т■ tgz.
Поправки в координаты спутника за рефракцию вычисляют по формулам
(11.1*221) (II.1.222) 229
Дг0 = Дг sec 6' sin q, А г 5 = Дг cos q.
Г. НАБЛЮДЕНИЯ ИСЗ
II. 1.20. Методы вабшдешВ ИСЗ
Методы наблюдений ИСЗ можно подразделить на оптические и радиоэлектронные.
К оптическим методам относятся визуальные, фотографические, фотоэлектрические и лазерные наблюдения.
К радиоэлектронным методам относятся интерференционные, допплеровские и дальномерные наблюдения. Кроме того, существуют комбинированные методы радиоэлектронных наблюдений.
Визуальные наблюдения не обеспечивают точности, достаточной для использования результатов этих наблюдений в геодезических целях.
Наиболее широкое распространение получили фотографические наблюдения ИСЗ, так как долгое время ни один другой метод не мог с ниш конкурировать по точности. Только бурзое развитие лазерных методов обещает в самое ближайшее время отодвинуть эти методы по точности на второе место.
Фотографические наблюдения документальны, позволяют в случае необходимости, многократно повторять измерения. Положения ИСЗ на снимке определяются путем привязки к опорным авеэдам в системе пекоторого фундаментального каталога.
Масштаб фотографического изображения
т“ = 20С 265" -Jr • (11.1.223)
Размеры поля зрения
2a0 = 57s.3-|-, (II.1.224)
где а сторона снимка.
Зависимость между угловым расстоянием о звезды (или спутника) от проекции оптического центра на небесную сферу и линейным расстоянием s изображения звезды от Этического центра снимка выражается законом тангенса (в идеальном случае)
s = F tga. (II. 1.225)
Закон тангенса выполняется только приближенно из-за влияния ошибок объектива, дифференциальной рефракции, диффереп- циальиой аберрации, атмосферной дисперсии, внешней среды, уравнения яркости.
Для фотографирования использовались и используются как модифицированные камеры, в первоначальном варианте применявшиеся для других целей (НАФА-Зс/25, Wild ВС-4 и т. д.), так и специально созданные спутниковые камеры (Baker Nunn, ВАУ, АФУ 75, SBG и т. д.).
'Все камеры, используемые для наблюдений спутников, можно разделить на две группы. Камеры одной из этих групп не отслеживают движение спутника. Они могут иметь азимутальную или
экваториальную моитйровку. Вторую группу образуют следящие камеры. Эти камеры имеют трехосную или четырехоспую монтировку. Как правило, песледящне камеры более портативные и дешевые. Данные о камерах приведены в табл. II.1.3.
Следует отметить, что с принципиальной точки зрения отслеживание движения ИСЗ и тем самым интегрирование световой энергии в определенной точке фотографической пластинки (пленки) может осуществляться в разных камерах одшш из следующих методов:
пластинки;
Совершенно очевидно, что следящие камеры позволяют фотографировать более слабые спутники, а также получать большее количество снимков за одно прохождение.
Камеры для фотографических наблюдений ИСЗ снабжены специальными затворами, с помощью которых задается необходимая продолжительность экспозиции, многие из них имеют обтюраторы для прерывания следов спутника и звезд на фотопленке (фотопластинке) с целью привязки наблюдений к шкале времени.
Турбулентные явления в атмосфере вряд ли позволят получить из фотографических наблюдений направлеиия с точностью, превышающей 0,40",5.
исследований.
cosgftg(ocf Ао) cos (qi D0)
(11.1.226)
•don on ijtf |
Название камеры |
Страна-изготови тель |
Монтировка |
1 О ** - ц ЕС О О © о |
Действующее отверстие объектива, см |
Поле зрения градус х градус |
Фотоматериал и размеры снимка, мм |
Масштаб в центре снимка* */мм |
Сведения одос-, тигнутой точности |
Неследящие камеры |
|||||||||
i |
MOTS-24 |
США |
Двухосная |
60 |
10 |
Пластинка |
344 |
||
2 |
MOTS-40 |
США |
» |
101,6 |
20,3 |
юхю |
Пластинка |
202 |
2* |
203X 254 |
|||||||||
3 |
PC-1000 |
США |
» |
1 о о |
21 |
10X10 |
Пластинка |
206 |
12* |
215X190 |
|||||||||
4 |
IGN-1964 |
Франция |
» |
30 |
6,7 |
35X35 |
Пластинка |
685 |
2-4" |
5 |
Wild BC-4 |
Швейцария |
» |
45 |
11,5 |
25X25 |
Пластинка |
460 |
|
30,4 |
11,5 |
35X35 |
Пластинка |
675 |
2* |
||||
215x190 |
|||||||||
6 |
BMK A 30/23 |
ФРГ |
» |
46,3 |
23 |
30X30 |
Пластинка |
445 |
|
7 |
Хьюита |
Англия |
» |
91,5 |
14,8 |
14X14 |
Пластинка |
225 |
1* |
8 |
Познань-2 |
ПНР |
» |
100 |
14 |
8X6 |
206 |
||
Следящие |
|||||||||
9 |
АФУ-75 |
СССР |
Четырех |
75 |
21 |
15X10 |
Пленка |
275 |
~1* |
осная |
|||||||||
10 |
ВАУ |
СССР |
Трехосная |
70 |
50 |
30X5 |
Пленка |
294 |
~1* |
11 |
Baker Nunn |
США |
Трехосная |
53,5 |
53,5 |
35X5 |
Пленка |
385 |
2” |
56x300 |
|||||||||
12 |
SBG |
ГДР |
Четырех |
76 |
42,5 |
6X6 |
Пластинка |
260 |
|
осная |
|||||||||
13 |
Antares |
Франция |
Трехосная |
90 |
30 |
11X11 |
Пластинка |
229 |
2“ |
232
где
= ах: -4- bui 4- с 1
, Т Т, , (II.1.229)
'<\lVl = dxi+eyi + t )
где а Ъ, с, d, е, / постоянные снимка (постоянные Тернера), которые необходимо найти из решения уравнений (II.1.229) или составленных на их основе нормальных уравнений при числе звезд более 3. Если точность, получаемая из решения уравнений (II.1.229), недостаточна, то учитываются члены второго порядка (обобщенный способ Тернера)
л _i_ _| . , , , • (И-1-230)
“Hi yi = dXi +eyt + f + d х? + е xiyi + j у? J
Дг = c(i г0) [(гг0)2 + (г/ у0)2] | ^ 2з
Дг/ = с (У Уо) [(г *о)2 + (у Уо)2] Г
где х0, Уо координаты оптического центра снимка; х, у координаты звезд (спутника); с = vtF~ 3; коэффициент дисторсии.
Ес=*с+«*0 + ЫГс+О. (П 1 232)
r\c = Vc+dXc + eyc+} J'
решая их, можно найти его идеальные координаты, так как постоянные а, Ь, с, d, е, / определены раньше.
^c sec Dq ■He + tg D0 1Лс tg £>p ^Ic + tg D о
(II.1.233)
ctg 6с sin (a0 Л0) = ctg вс cos (ac^4q) =
Обычно при обработке фотографических наблюдений ИСЗ в качестве опорных используется от 8 до 14 звезд.
Кроме приведенных формул Тернера, являющихся классическими в фотографической астрометрии, могут использоваться для вычислений формулы других авторов, например, Шлезингера, Дейча, Киселева. Вопрос о выборе надлежащих формул решается в зависимости от особенностей задачи и требований к точности.
Измерения астрофотографий выполняются с помощью координатно-измерительных машин типа КИМ-3, СИП-5, У ИМ-21, Asco- record и т. д. Измерения координат на пластинках выполняются с точностью, характеризуемой средней квадратической ошибкой
Радиоэлектронные методы, используемые для наблюдений спутников, подразделяют на пнтерференционные, допплеровские и дальиомерные.
Б радиоинтерферометре измеряется разность фае сигналов от спутника, которые регистрируются па Земле в один и тот же момент на двух разнесенных антеннах.
В допплеровском методе измеряют равность скорости изменения фазы яастоты, принимаемой на станции, и стандартной яастоты.
При измерении расстояний сигнал, посылаемый станцией, модулируется по фазе, Сигнал принимается импульсным приемо-передатчиком спутника, который ретранслирует сигнал как фазовую модуляцию с измененной несущей частотой, и наземные станции принимают сигнал; при этом фазовый сдвиг модуляции измеряется фазометром и далее пересчитывается в расстояние.
Для решения задач космической геодезии применяется преимущественно эффект Допплера, поскольку соответствующая аппаратура является наиболее простой и обеспечивающей более высокую точность, нем метод радиопнтерферометра или непосредственное измерение расстояний.
Допплеровская установка состоит из приемника для приема транслируемой спутником яастоты, высокостабильного наземного генератора яастоты и регистрирующих устройств.
Принятая приемником частота сравнивается с частотой наземного генератора и из их разности выделяется допплеровский сдвиг яастот Д/ на достаточно малых интервалах времени Дт. Сдвиг яастоты пропорционален изменению расстояния до ИСЗ за интервал времени Дт
Д r' = e^j-, (И.1.234)
где с скорость распространения радиоволн, / частота, относительно которой измеряется допплеровский сдвиг Д/.
Таким образом, допплеровские системы позволяют получи1^ разность расстояний до ИСЗ.
Если значение допплеровского сдвига отнесено к среднему моменту, то допплеровская система дает возможность определить радиальную составляющую топоцентрнческой скорости ИСЗ (г')
(II.1.235)
Точность измерений допплеровскими системами зависит ot полноты учета условий распространения радиоволн, стабильности частот генераторов и точности счетчиков. В настоящее время точность определения г' составляет 0,02 м/сек [2].
Лазерные установки используются для измерения расстояппй до ИСЗ, а также для освещения ИСЗ при его фотографирования на фоне звездного неба, в последнем случае мощность излучения должна быть намного выше.
Лазерные установки для наблюдений ИСЗ состоят из лазерного передатчика (применяются, например, рубиновые лазеры с 1 = = 0,694 мк), приемного устройства, платформы, системы измерения и регистрации результатов. Процесс измерений заключается в фиксации времени прохождения светового импульса до ИСЗ и обратно.
В момент выхода лазерного импульса с передатчика начинает работать счетчик циклов частоты 100 Мгц или 1 Ггц, который выключается в момент поступления в приемник отраженного импульса, что дает возможность определить интервал времени Дт прохождения светового импульса от установки до ИСЗ и обратно. Зная скорость распространения света с на трассе, можно рассчитать расстояние до ИСЗ (г')
г'=-1сДт. (11.1.236)
Дальность действия лазерной дальномерпой системы пропорциональна четвертой степени излучаемой энергии, обратно пропорциональна квадратному корню из ширины луча н прямо пропорциональна квадратному корню из диаметра апертуры приемника.
Расходимость (ширина) лазерного луча устанавливается в зависимости от точности эфемерид и точности наведения лазера, и л настоящее время лазерные установки имеют расхождение луча от 0',5 до 20'. Выходная мощность лазера колеблется в пределах от 10 до 50 мВт, длительность импульса от 10 до 60 нсек и энергия в импульсе от 0,5 до 7,5 Дж [2].
Точность измерения расстояний лазерными системами определяется длительностью и крутизной фронта возвращенного сигнала, разрешающей способностью счетчика для регистрации интервалов времени, а также точностью учета изменения скорости света в атмосфере.
При повышении мощности и сокращении длительности импульса достигается соответствие посланного и возвращенного импульсов, ято может обеспечить измерение расстояний с точностью порядка
Ошибка лазерного метода определения расстояний до ИСЗ окажется порядка 0,60,7 м при точном учете температуры и давления, так как в этом случае влияние атмосферы приведет к ошибке, не превышающей 0,2 м.
Со счетчиков допплеровской аппаратуры получают числовые характеристики, соответствующие допплеровскому сдвигу частоты за определенный интервал времени (например 10 сек), сдвиг частоты пропорционален разности расстояний между положениями спутника в начале интервала и в его конп,е.
Предварительная обра&отка допплеровских измерений сводится к вычислению по снятым со счетчиков значениям числовых характеристик (п) разности расстояний (Дг' = г[ т'г ) за соответствующий мерный интервал Дт или вычислению радиальной скорости
(г'), которая получается делением разности дальностей на счетный интервал Дт. Поскольку изменение радиальной скорости за интервал Дт, вообще говоря, нелинейно, полученное таким образом значение г' не будет соответствовать середипе интервала и его нужно редуцировать к моменту ta + Дт/2.
Значения Дг' и г' исправляются поправками за рефракцию радиолуча в ионосфере, тропосфере и релятивистский эффект. Поправками аа рефракцию в тропосфере и релятивистский эффект обычно пренебрегают, а для исключения ионосферной рефракции прием сигналов осуществляется па двух когерентных частотах.
В приемной аппаратуре принятые частоты выравниваются, и па регистрирующее устройство подается смешанная частота, свободная от влияния ионосферной рефракции.
Помимо указанных поправок, в результаты допплеровских измерений вводится поправка ДF за счет так называемой ошибки «частотной подставки», возникающей вследствие нестабильности работы генераторов.
Непосредственным результатом лазерных измерений является значение расстояния г' до ИСЗ, отнесенное к некоторым стандартным значениям температуры TQ и давления атмосферы Р0, поэтому в измеренные расстояния вводится поправка бг (за отклонения ДТ = Т Г0 и ДР Р Р0 реальных значений температуры Т и давления Р от стандартных) по формуле
, h&P , и
а + ~\Г + сН
б г = гтгхъп . (II.1.237)
cos z+0,001 tgz v
где а, Ъ, е постояпные коэффициенты, Т, Р температура и давление, определенные в момент измерений с точностью до 0°,1,
Кроме того, в измеренную дальность вводятся поправки за аппаратурные задержки.
Д. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОСМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ
Космическая триангуляция геометрическое построение, основанное на определении взаимного положения пунктов по синхронно наблюденным на них мгновенным положениям ИСЗ. Таким образом, при создании космической триангуляции спутник является промежуточной высокой визирной целью.
При создании космической триангуляции наблюдения пассивных ИСЗ ведутся синхронно, однако нет необходимости в строгой одновременности фотографирования, так как достаточно организовать перекрытие по времени на двух или более стапциях, участвующих в наблюдениях.
В результате фотографирования пассивных ИСЗ получаются сппмки, содержащие по десяти и более точечных изображений спутника в перекрывающемся интервале времени т. Каждому изображению I спутника соответствует зарегистрированное время 71,-. Далее последовательно определяют периоды перекрытий и средний момент перекрытия Т0. Такие наблюдения называются квазисии- хронными. Введение поправки за спутниковую аберрацию эквивалентно введению поправки в Т0, поэтому на каждом пункте вводится своя поправка в Т0 за аберрационное время
(II.1.238)
Д7о = --|-,
где D расстояние до ИСЗ, с скорость света.
По моментам Ti и измеренным на снимках прямоугольным координатам xi и у(- точечных изображений ИСЗ вычисляются координаты «фиктивной вспышки» (момента синхронизации), причем выполняют интерполирование по способу наименьших квадратов с использованием полиномов третьей степени
(II.1.239)
После определения коэффициентов а* и ft; (i = 1, 2, 3) средний моментТ0 подставляют в (II.1.239) и находят координты х0 и у0 «фиктивной вспышки» в момент синхронизации.
Синхронность наблюдений активных спутников обеспечивается фотографированием одних и тех же вспышек с разных пунктов.
В зависимости от назначения сетей космической триангуляции возможны три типа их построения.
Построение сетей космической триангуляции обладает двумя особенностями. Первая из них все измерения в сетях космической триангуляции являются односторонними, поскольку с борта ИСЗ измерений не производится.
Вторая особенность положения ИСЗ получаются с гораздо мепыпим весом, чем положения пунктов, поскольку каждое положение ИСЗ наблюдается лишь с нескольких (иногда двух) пунктов и притом однократно. Для определения положений пунктов в процессе длительных наблюдений накапливается большое количество избыточных измерений.
Выражая основное векторное уравнение космической геодезии
Xk Xt=AXik=r'lkcosb'lkcosy'ik '
Yk Y{ = AYlk = r'ihcos6'iksm y'ih , (II.1.240) Zk Zi = &Zik = г^ sin
где Xk> Yky Zk ~ координаты пункта паблюдопий, Xt, Yt, Zi координаты ИСЗ, г{д, 6(k, у[к топоцентрические координаты ИСЗ, получениые по результатам паблюденпй па пункте.
Из (II.1.240) следуют формулы для выражения измеренных величин г[ь, Vih и .через неизвестные ДX ik, Д Yik, AZik
\
r'ik^V ^'tk + ^h + ^h
(II.1.241)
В случае применения радиотехнических систем, основанных на использовании эффекта Допплера, измеряются разности расстояний Дriki„2 от пУнкта наблюдений до ИСЗ в двух (к] и к2) положениях
(II.1.242)
Основными элементами космической триангуляции являются а) вектор, соединяющий пункт наблюдений и мгновенное положение
г'
ИСЗ, б) вектор, соединяющий два
пункта наблюдений, в) плоскость, проходящая через два пункта наблюдений и мгновенное положение ИСЗ, называемая плоско-
кг стью синхронизации.
Если на пунктах наблюдений производятся только фотографические наблюдения, то по пим можно определить лишь ориентировку указанных элементов в пространстве.
Направлепие с пункта наблюдений на положение спутника
определяется по результатам фотографических паблюдений п пли по координатам орта вектора г{ь (рис, II.1.15)
lik = cos&'ik cos '
mik = cos sin \'ik . (II. 1.243)
n,* = sinfljfe
Если с пунктов i и / синхронно фотографируется ИСЗ, находящийся в точке к, то определяется плоскость синхронизации Ц к, уравнение которой в векторной форме имеет вид
(II.1.244)
(/Ь-Я/Пу* =0,
где Ri и Rj геоцентрические векторы пунктов наблюдений, а п Пк орты тоноцентрнческих векторов соответственно с пункта i и пункта /,
Уравнение (II. 1.244) в координатной форме имеет вид
(II.1.245)
Ak &-Х i j + В к ij Ч- С к Д Z /у О,
где
(II.1.246)
Ак miknjk mjknik Bk=ljk4ikliknjk Ck ^jklik mikljk
Направляющие косинусы орта г9, перпендикулярного к плоскости синхронизации, получаются в виде
1 =
sin р*
(II.1.247)
(II.1.248)
Bk sin р*
П :з
sin Ра
где Ра угол засечки на ИСЗ с пунктов t и /, причем Ра = arccos {likljk + m(A™/A + п;ап/а)-
Если с пунктов I и ] синхронно наблюдались два положения ИСЗ (к = 1, 2), то определяются две плоскости синхронизации (см. рис. II.1.15) tfkx и tjk2, пересекающиеся по хорде гц, соединяющей пункты I и /.
Г{}=т\Хг%,
При этом направление хорды гц определится как векторное произведение ортов г} и г% , нормальных к плоскостям синхрониэа-
(II.1.249)
239
а направляющие косинусы хорды гц получатся из выражений Lii = Q (B-fiiCiBi) |
Mii = Q(CiAi-CiA{i 1, (II. 1.250)
Nij = Q (AiB%A^Bi) J
где
Q= . *:г-, (II.1.251)
sin l|> sin Pi sin |12
вдесь i|> угол между плоскостями синхронизации.
Направление хорды можно также вадать двумя углами (по аналогии с 6 и у), один из которых характеризует наклон хорды к плоскости экватора (угол Ф), другой есть угол между проекцией хорды на плоскость экватора и осью ОХ (угол Л)
Л/у arctg ^^ , (II. 1.252)
®n = arctg(-т===Л . (II.1.253)
\VM2+L*jij
В космической триангуляции направления между пунктами получаются независимо друг от друга в единой звездной системе коордипат, поэтому в сетях космической триангуляции не возникает условий сумм и азимутов, но, как и в обычной триангуляции, в иих могут быть полюсные базисные и координатные условия.
Помимо указанных условий, возникают специфические условия, присущие только пространственным сетям, компланарности трех векторов, пучка плоскостей и связки плоскостей.
г1г гг гз
0, (II.1.254)
или в координатной форме
mi-i |
"is |
|||
h-з |
т1-3 |
nl-3 |
= 0. |
(II.1.255) |
h-з |
з |
nZ'3 |
Это условие является основным в космической триангуляции и возникает вследствие синхронности наблюдений одного положения ИСЗ с двух пунктов.
Это условие заключается в том, что, строго говоря, все плоскости синхрониаации для двух пунктов должны пересекаться по одной хорде, Две плоскости синхронизации должны пересекаться по
хорде, соединяющей пункты наблюдення, каждая новая плоскость является избыточной и приводит- к возникновению одного условия. Бела три плоскости заданы своими нормальными векторами
Ni (<4i, В\, Ci). Ni(Ai, B%. Co), N3 (Л3, Zf3l C3),
(II.1.256)
где А, В, С коэффициенты уравнений плоскостей, то смешанное пропзведепие этих векторов
V=NlNiN з
имражает объем параллелепипеда, построенного па векторах Nt< гГг и jV7. Если плоскости образуют пучок, то параллелепипед вырождается в прямую и в этом случае V = 0. Таким образом, условие пучка трех плоскостей в координатной форме будет иметь вид
Сх
с2
Сз
Bi
Вг
Вз
(11.1.257)
= 0.
A3
Пересечение трех плоскостей определит точку в пространство, любая дополнительная плоскость связки должна проходить через эту же точку, что приводит к условию связки плоскостей
А1 В! Су D!
(II.1.258)
= 0,
А% В% С% D2
Ад Вз С3 D3
А^ В4 С4
где А, В, С, D соответственно коэффициенты и свободные члены уравнений плоскостей, образующих связку.
Дальнейшее увеличение фотографических синхронных наблюдений ИСЗ с пунктов i и / приводит к уточнению углов Ф и Л, определяющих ориентацию хорды в пространстве.
Уравнивание космической триангуляции можно выполнять параметрическим, коррелатным способом и способом условий с дополнительными неизвестными.
Коррелатный способ в данном случае является достаточно сложным и не находит практического применения, но введение Дополнительных неизвестных может упростить составление условных уравнений.
Если каждое положение ИСЗ наблюдается только с двух пунктов, то все измеренные величины можно разделить на группы, каждая из которых относится к соответствующей хорде. Тогда уравнивание можно выполнить в два этапа. На первом этапе определяются вероятнейшие значения неизвестных, характеризующие положение и ориентировку каждой из хорд. Далее, полагая в качестве измеренных величин ориентирующие углы хорд и их длины.
полученные на первом втапе, уравнивают сети, составленные из хорд. При выполнении в сети только фотографических наблюдений этот метод получил название «метода замыкающих направлений».
Наиболее общим п строгим является способ параметрического уравнивания, в котором определяются вероятнейшие иоправкп к координатам пунктов наблюдения п мгновенным координатам ИСЗ, соответствующим синхронному моменту. При этом .число нормальных уравнений будет 3(« + р), где s число положений ИСЗ, р число определяемых пунктов, причем, как правило, s существенно больше р.
Выражая результаты фотографических наблюдении 6^ и как функции координат пункта i ll координат спутника к и линеаризируя эти функции, получим уравнения поправок в следующем виде:
(11.1.259)
(11.1.260)
V,y
V/ft'
V6. = '«Si elk + di\k + <?£* + /*, vtk
где т|г, поправки к приближенным координатам пункта, Ль Zk поправки к приближенным координатам спутника. Коэффициенты уравнений (II. 1.259) и (II. 1.260) определяются формулами
Sln Уih
rik™s6'ih
sin y'ik sin 6jk
d =
r «
ik
cos 6lk
ro'
ik
(II.1.261)
Yj*
b =
rfk cos б?*
cosYi*sin6;A
r®'
а свободные члены равны
-v'0
-У Ik ik
(II.1.262)
v.-ft'
; A'9 Х'(изм)
где Yift и приближенные значения углов, точно соответствующие приближенным координатам пункта i и спутника к. Величины Yih и 6^ вычисляются по формулам (II.-1.241).
Веса измеренных величин определяются нз выражений
Р 5=-
(II.1.263)
если измерения в сети выполнялись однотипными установками, то Р8 = 1 и Pi = cos* 6',
В случае если лазерными или радиотехническими средствами измеряется расстояние г\ь, то возникает уравнение поправок вида
i'rih = liklk + пЧкЧк + nlk(Ji liilt nikU + lrlk, (11 ■ 1.264)
где
Гк-Х\
rik
n-y\
z;-z;
rik
Uk
(II.1.265)
mu, ■■
nik = -
/ r'° г'СНЗМ)
l'ib ~ Tik ra
= Y(X'g + (l'ft0_irt:W)2 + z^0)® г^изм>, III.1.266)
И DOC
mg„
Pr = '
(II.1.267)
Для измеренных допплеровскими системами разностей расстоянии Дг = r-j, r\i уравнения поправок будут иметь вид
идг = Fit Gr\t tf£j + !/*£*+ Ш{кГ\к+
где
(II.1.269)
F=ltk+lu G = mik+mu H = nik + nu
Dec
Прц
Piw
II.1.31. Установление масштаба в космической триангуляции
При отсутствии линейных измерений в сети, создаваемые путем исключительно фотографических наблюдений, включают «космические базисы», представляющие собой длины некоторых хорд, соединяющих пункты космической триангуляции. Эти длины получаются из комплекса высокоточных линейных и угловых измерений, выполненных на поверхности Земли, в сочетании с астрономическими и гравиметрическими определениями.
В этом случае в уравнивание также вводят уравнения поправок космических базисов; их вид аналогичен (II.1.264), но неизвестными будут поправки к координатам обоих пунктов наблюдения. Вес «базисного» уравнения поправок выводится из оценки точности соответствующих геодезических работ, выполненных при создании базиса.
Возможны также случаи, когда в качестве измеренных элементов в уравнивание вводятся углы Ац и Фу, определяющие направление хорды i;, полученные из обычной триангуляции. В этих случаях для углов Л и Ф составляются уравпепия поправок точно такие же, как и для углов и 6-h.
Для установления масштаба космических геодезических построений могут быть испольаовапы измеренные радиоэлектронными или лазерными методами расстояния «пункт спутник».
II. 1.32. Орбитальный метод построения космических сетей
В основе орбитального метода лежит уравнение (II. 1.8). Таким образом, орбитальный метод построения сетей заключается в одновременном определении элементов орбиты £;, положения пункта Rk и поправок за перенос начала системы координат в центр масс Земли по совокупности измерений Um, выполняемых па пунктах наблюдений и связывающие мгновенное положение ИСЗ г с положением пункта наблюдений к.
Основные измерения на пунктах включают определения топо- центрических экваториальных координат а' и 6', расстояний r'lti и радиальных скоростей г[&.
Линеаризация уравнений, связывающих измеренные величины о', 6', г', г' с координатами ИСЗ и пункта наблюдений, приводит к уравнениям поправок [2] (см. ф-лу II.1.271 на стр. 245), где
АХ = ХкХ1ч A Y=Yk-Yi,
A Z Zfe Zi.
Уравнения (II. 1.271) можно привести к виду
»lk = dUi\ ■ . d(X, Y, Z, X, Y, Z)k-
3(Х, Y, Z, X, Y, Z)k dUlk
д(Х. Y Z)i
cos a' r' cos 6'
sin a' sin 6'
sin a' r' cos 6'
cos a' sin 6'
cos S'
sin 6'
sin a' cos 6'
cos a' cos 6'
AZ
r'
ДY_ r'
AX
t'
ift
(II.1.271)
• bk |
1 |
||
г |
'* J |
.T' |
T |
-d (Xk-Xi)- |
~la' |
||
dlXk-Yd |
|||
h |
|||
d(Zk-Zt) |
|||
X |
+ |
||
dXk |
|||
V |
|||
dtk |
|||
_ dZk _ |
Jy- |
гЛ
Текущие координаты и скорость ИСЗ есть функция начальных условий движения и времени
rik = rik (X 0. у O' Zo, ±0. У 0. z'o, t) |
Ъ (X Y 7 X Y 7 * ' (H.1.273) rik r 0. *0- -^0. * 0. ^0' ч )
Линеаризуя уравнения (II.1.273) и подставляя результат в (II.1.272), получим
dUik d(X,Y, Z, X.Y, Z)k w
Vik = : : : : : : X
d(X, Y, Z, X, Y, Z)k d(X, Y, Z, X Y, Z)0
Xd(X, Y, Z, X, Y. Z)o~ 0{XdUy Z). d(X. Y, Z)t + Lik =
= QR ■ d (X, Y, Z. X, Y, Z) Sd(X, Y, Z)i+Lik. (II.1.274)
Матрица R производных от текущих значений координат и скорости по начальным условиям может быть вычислена методом, изложенным выше (см. II. 1.15).
Система уравнений вида (II.1.274) решается последовательными приближениями под условием [pvv] = min, веса р уравпепий поправок устанавливаются в соответствии с точностью измерений.
Для вычисления свободных членов в каждом приближении численно или аналитически интегрируется система дифференциальных уравнений движения в оскулирующих элементах (II.1.85) или в прямоугольных координатах с возможным в данное время учетом всех действующих на ИСЗ сил. По полученным в результате интегрирования значениям координат и скоростей ИСЗ вычисляются приближенные, но точно соответствующие принятым начальным условиям значения величин после чего получают свободные члены
11к = Щк-Щ£3*>. (II.1.275)
В случае когда необходимо отнести координаты к центру масс Земли, в уравнения (II.1.274) вводят соответствующие неизвестные йх, Ну, bz, представляющие собой координаты центра референц- эллипсоида в абсолютной системе координат с началом в центре масс Земли.
Орбитальный метод может быть применен для .определения параметров общего земного эллипсоида, установления связи между отдельными геодезическими системами, определения положения центра референц-эллипсоида относительно центра масс Земли. Все эти задачи подробно рассмотрены в [3].
Е. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ КОСМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ
Геометрические методы космической геодезии позволяют определить относительное положение пунктов на поверхности Земли. Применяя динамические методы, получаем возможность определить координаты пунктов в абсолютной системе, отнесенной к центру масс Земли, параметры ее гравитационного поля и уточнить значения элементов орбит спутников.
Основным уравнением динамического метода является уравпе- ипе (II.1.7).
Возможно представление основного уравнения динамического метода в другой форме:
(II.1.276)
х Rz (S) Р~1и ~ x-Rz (-S)P-iu
где й координаты станции наблюдения в системе, жестко связанной с Землей и отнесенной к среднему полюсу, х мгновенное положение спутника, Rz и Р матрицы вращения, причем
cos S |
sin S |
0 |
1 |
0 |
X |
||
Rz = |
sin S |
cos S |
0 |
, P = |
0 |
1 |
у |
0 |
0 |
1 |
X |
У |
1 |
а единичный вектор, полученный из наблюдений; х,у координаты мгновенного полюса.
Положения спутника * являются функциями оскулирующих элементов орбиты
х = х(а, е, со, I, Й, М). (II.1.277)
Если учтено влияние всех факторов, кроме возмущений, обусловленных гравитационным полем Земли, н если для момента t0 имеем в0, «01 *«• Мц, то вместо (II. 1.277) получим
х х (ар, ?(j, C00l ip, Й0, Л/q, Спгп, Snm)• Принимая во внимание
й=й{Х, Y, Z)
(II.1.278)
(II.1.279)
и учитывая также (II.1.278), убеждаемся, что использование в ка- .честве исходных уравнений вида (II. 1.276) позволяет определить координаты пунктов, параметры гравитационного поля и элементы орбит спутников.
В силу различного характера возмущений в элементах орбиты от зональной и долготной частей геопотенциала зональные гармоники определяют отдельно от тессеральных и секториальных.
Для определения зональных гармоник гравитационного поля Земли используются вековые и долгопериодические возмущения в элементах орбиты спутника. Поскольку интегрирование при этом выполняется для значительных отрезков времени (месяц и более), пренебрегают действием тессеральных и секториальных гармоник, вызывающих короткопериодические возмущения. Подлежит учету влияние только отдельных тессеральных и секториальных гармоник, вызывающих так называемый резонансный эффект. При определении зональных гармоник можно обойтись приближенными значениями координат пунктов, не выполняя их уточнения.
Исходным является представление гравитационного потенциала Земли в виде
р
Рп (sin Ф) . (II.1.280)
Полученные по результатам наблюдений возмущения элементов орбиты освобождают от влияния, обусловленного притяжением Солнца и Луны, сопротивлением атмосферы, световым давлепием и резонансными эффектами. Должны также учитываться возмущения второго порядка, обусловленные /|.
Четные зональные гармоники вызывают вековые возмущения в элементах Й, со и М. На практике для определения /2„, как правило, используют вековые изменения Q и со.
Гармоники с нечетными коэффициентами /2п+1 приводят к долгопериодическим возмущениям в Й, со, г, е\ эти возмущения имеют период 2я/со3.
Последовательность обработки при определении зональных гармоник заключается в следующем.
Для орбитальных дуг временной протяженностью 25 суток определяют из наблюдений средние элементы орбиты. Из средних элементов исключают значительные короткопериодические возмущения, используя приближенные значения гармонических коэффициентов /£0), /j0), . . . Элементы орбиты представляют в виде соотношений
(II.1.281)
(11.1.282)
(11.1.283)
(11.1.284)
О = П0 + 6й + Й(Г ro)+^acosco,
G^COO+SCD+CL^T 7о)+Ла COS со,
где ялены 6Q, бсо, 6i, be учитывают возмущения, вызванные сопротивлением атмосферы, световым давлением и притяжением Солнца и Луны. Из величины Q исключают также возмущения второго порядка, обусловленные /§.
Величины Q, со и AQ, At, Ае выражают в виде линейных функций поправок к зональным гармоническим коэффициентам
Д26/2046/4 -|-. . . 1 2n Й Qq Iqi (II. 1.285) 036/3 + 056/5-)-. . . +“2n+i6*^2fi+i Ae Ae^ = le. (II.1.286)
Аналогично (II.1.285) получают уравнение для а и аналогично
2пп ( 3 Д 1
я10==-'75-(т C0SI)
а4 = 4| (2+ ^ <3~7 0032 '> cos £)
а" = -1Г- (5 “30 cos2 +33 с°94 *
1024
X (8 + 40е2 + 15е4) cos ij
(11.1.287)
'I2
SID I
йз ■
2 pJ2
а5 = - -53g3^ n2 (1 -14 cos2 i + 24 cos* i) (4+ 3e2) 1,2 (5 ”135 cos2 г+49 cos4' "
429 cos« j) (8 + 20e2 + 5e*)
( dM\ где n среднее движепие U = 1 ,
r)2= 1 e2,
Z) = (l 5cos2 <)_1-
Уравнения вида (II.1.285) и (II.1.286) являются уравнениями поправок, которые решаются по способу наименьших квадратов. Веса уравнений определяются в зависимости от точности определения величин Я, ш и ^4Qi Aw, Л,- и Ае и исходя из возможного влияния гармонических коэффициентов высших порядков, которые отбрасываются при ограничении рядов.
Поскольку в формулы (II. 1.287) для коэффициентов входят тригонометрические функции наклонения cos i и sin i и степени эксцентриситета, для уверенного определения зональных коэффициентов необходимо иметь набор орбитальных дуг с различными паклонениями и эксцентриситетами.
Зональные гармоники определялись по наблюдениям спутников разными авторами [8]. Приведем здесь результаты, о которых на XV Генеральной ассамблее МГГС в Москве (1971 г.) сообщил Козаи, а также более поздние и точные результаты по Вагнеру * (1972 г.) (табл. II.1.4).
Козаи была предпринята попытка выявить годовую вариацию /2. По его оценке, J2 имеет годовую вариацию с амплитудой (1,3 + ±0,2)-Ю" в, однако этот вывод требует основательной проверки с привлечением более точных наблюдений.
N1 |
■по' |
10' |
№ |
Jno |
•10е |
Л5 |
•Wt0” |
|
в. |
а |
. д |
о, |
|||||
Сб Г5 |
и ь |
d [Л |
к |
« |
в С* |
|||
О W |
ев m |
о К |
as Я |
О X |
Я |
|||
2 |
1082,637 |
1082,635 |
11 |
+0,323 |
+0,137 |
20 |
-0,126 |
0,085 |
3 |
4,539 |
-2,541 |
12 |
0,190 |
-0,208 |
21 |
-0,086 |
+0,015 |
4 |
1,617 |
1,600 |
13 |
-0,333 |
0,101 |
22 |
+0,024 |
|
5 |
0,234 |
-0,230 |
14 |
+0,105 |
+0,166 |
23 |
+0,128 |
|
6 |
+0,555 |
+0,530 |
15 |
+0,108 |
0,072 |
28 |
+0,058 |
|
7 |
-0,348 |
-0,364 |
16 |
+0,042 |
+0,003 |
34 |
+0,055 |
|
8 |
0,209 |
0,200 |
17 |
-0,218 |
-0,204 |
35 |
-0,104 |
|
9 |
0,159 |
-0,081 |
18 |
-0,103 |
0,086 |
36 |
+0,148 |
|
10 |
0,240 |
-0,224 |
19 |
+0,084 |
+0,047 |
IT. 1.35. Определение тсссеральных и секториальных гармоник
Точное определение тессералышх и секториальных гармопиче- ских коэффициентов по наблюдениям ИСЗ задача более сложная, чем определение зональных коэффициентов, поскольку тессеральныо н секторпальные гармоники вызывают лишь короткопериодические возмущения элементов орбит. Периоды этих возмущений обычно 24л ,
составляют доли суток (здесь пг второй индекс гармонического коэффициента), а амплитуды не превышают 150 м. Тессе- ралыше и секториалыше гармоники, как отмечалось выше, определяют отдельно от зональных.
Малые амплитуды этих возмущений приводят к тому, что прп определении тессеральных и секториальных коэффициентов необходимо иметь частую и равномерно распределенную вдоль орбиты систему наблюдений. Кроме того, между координатами станций наблюдения и тессеральнымп гармониками имеется корреляция, пренебрегать которой нельзя.
Таким образом, необходимо совместное определение тессераль- пых и секториальных коэффициентов и координат станций. В общем случае задача решается с использованием соотношений (II.1.7) динамического метода.
На практике задачу решают в два этапа. На первом этапе по всей совокупности измерений на орбитальной дуге, охватывающей промежуток времени от 1 до 4 недель, производится дифференциальное уточнение орбиты. После завершения уточнения для каждого наблюдения получают текущие значения ai, i/, ш;, е;, £2/, Mi средних орбитальных элементов в некоторый момент звездного гринвичского времени S и остаточных разностей наблюдений dVi в iWi в направлении вдоль и поперек орбиты. Выделяемые таким образом остаточные разности зависят от ошибок координат станций, принятых коэффициентов тессеральных и секториалышх гармоник и ошибок в определении времени.
На втором этапе составляют уравнения ошибок, связывающие остаточные разности, искомые коэффициенты Спт и Snmи координаты станций, из решения которых по способу наименьших квадратов получают поправки к принятой модели гравитационного поля. Через Спт и £птобозначены коэффициенты разложения долготной части геопотепциала по нормированным сферическим функциям, причем
Спт = }МЩСпт }
Snm fMR()Snm J
Приведем впадения незональпых гармонических коэффициентов, полученных по наблюдениям ИСЗ Е. М. Гапошкиным11 и вошедших в «Стандартную Землю, II, 1969 г.» (табл. 11.1.5).
Таблица II. 1.5
n |
TO |
C .10* nm |
nm |
n |
m |
10* nm |
Яят-*0' |
2 |
2 |
+2,43 |
1,39 |
7 |
l |
+0,15 |
+0,08 |
3 |
1 |
+1,89 |
+0,24 |
7 |
2 |
+0,26 |
+0,11 |
3 |
2 |
+0,77 |
0,69 |
3 |
0,29 |
-0,17 |
|
3 |
3 |
+0,69 |
+ 1.42 |
7 |
4 |
0,24 |
-0,06 |
4 |
1 |
0,62 |
-0,46 |
7 |
5 |
-0,07 |
+0,02 |
4 |
2 |
+0,33 |
+0.66 |
7 |
6 |
-0,10 |
-0,05 |
4 |
3 |
+0,89 |
0,16 |
7 |
7 |
+0,01 |
+0,02 |
4 |
4 |
-0,13 |
+0,37 |
8 |
1 |
-0,09 |
+0,10 |
5 |
1 |
0,07 |
-0,06 |
8 |
2 |
+0,02 |
+0,00 |
5 |
2 |
+0,58 |
0.33 |
g |
3 |
-0,04 |
+0,00 |
5 |
3 |
0,41 |
+0,07 |
S |
4 |
0,17 |
-0,03 |
5 |
4 |
0,29 |
+0.21 |
8 |
5 |
0,21 |
+0,00 |
5 |
5 |
+0,10 |
-0,62 |
8 |
6 |
-0,29 |
+0,19 |
6 |
1 |
-0,06 |
+0,02 |
8 |
7 |
+0,05 |
-0,05 |
6 |
2 |
+0,01 |
-0,40 |
8 |
8 |
0,19 |
+0.26 |
6 |
3 |
-0,05 |
+0.01 |
||||
6 |
4 |
+0,01 |
-0,45 |
||||
6 |
5 |
0,30 |
0,46 |
||||
6 |
6 |
-0,11 |
0,21 |
II. 1.36. Формулы вычисления гравитационного потенциала для разных моделей Земли
У0=-
(II.1.288)
р р
vu = •у [Д +С2» (-^-)'“ рг (sin ф)] C20 = -|(a-y?)
(II.1.288')
? = -
(1 а)
а полярное сжатие Земли, со3 угловая скорость вращения Земли.
^m = y[l+C20 (-^-)аР2(зЬФ) +
(II.1.289)
+ С40(^-)4Р4(8тФ)] С20=-§(а--1д--|а2 + ±а?)
C™=i{b2-Taq)
^iv =~ ^1 + ^20 Рг (sin®)4-
-^-^5-^ (С22 cos 2X-f" *^22 sin 2Х) Р22 (sin Ф)^ . (II.1.290)
Vv=_р" С1+Сг° (■?L)2 р*(sin ф)+Сз° (v-)3 Рз (sin ф)] •
(II.1.291)
K[v =-^- + j”c2(jP20 (sin Ф) +
+ (^22 cos 2Х+522 SID 2X) P22 (Sm Ф)^| -|- ^ p~ ) ^30^1280 (s*n Ф) + + (-^^)4С4°Р4о(зтф)}. (II.1.292)
Ж. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ (ГИСЗ)
II.1.37. Требования к ГИСЗ и параметрам их орбнт
По целевому назначению ИСЗ можно подразделить на исследовательские, метеорологические, навигационные, связные и геодезические.
Для геодезических целей в принципе могут использоваться различные ИСЗ, относящиеся ко всем группам, однако наиболее ценные для геодезии и смежных с ней отраслей знаний данные могут быть получены в результате наблюдений специальных геодезических спутников.
Спутник может быть использован для целей геодезии, если оп отвечает определенным требованиям. Такой спутник должен иметь:
Исключение составляют спутники-баллоны, для которых характерна малая величина отношения масса/поверхность и которые могут использоваться только при синхронных или квазисинхронных наблюдениях, когда не требуется знать точно геоцентрические координаты спутника.
Используемые для целей геодезии спутники должны иметь орбиты с. эксцентриситетом 0,020,05* и во всяком слуяае, как правило, не более 0,1 [8]. Высота перигея орбиты должна заключаться между 10004000 км. Она не должна быть менее 500 800 км, так как в этом случае возникают существенные трудности при учете сопротивления атмосферы; кроме того, для обеспечения одной и той же территории при малой высоте спутника требуется большее число станций наблгодепий. Наконец, .чем меньше высота спутника, тем больше его видимая скорость, ято осложняет производство наблюдений.
Недопустимо п значительное увеличение высоты перигея, так как в этом случае действие отдельных гармоник гравитационного поля Земли на движение ИСЗ начинает сглаживаться п, таким образом, спутник становится мало пригодным для динамических исследований. Усиливается гравитационное действие на движение ИСЗ Луны и Солпца и осложняется учет этих влияний.
При решении геометрических аадач для обеспечения большей территории целесообразно использовать спутники с большими наклонениями (60°80?).
Решение динамических задач требует использования ИСЗ с разными параметрами орбит и в первую очередь с разными высотами и наклонениями.
На борту геодезического спутника может находиться следующее оборудование:
Для обеспечепия обзора поверхности всей Земли должно соблюдаться условие
<11Л'293)
где Rq средний радиус Земли, 21 ширина зоны обзора бортовой аппаратуры, причем
В приведенных формулах a половина угла поля зрения со спутника, р геоцентрический радиус-вектор спутника, к коэффициент, выражающий заданный процент перекрытия.
Для обеспечения наблюдений пунктов с ааданной широтой <р ледует выполнить условие
я-ф+-5-(1-*')2г t Ss ф (II.1.296)
пц Но
Появление спутника над пупктом с заданной широтой d одно ! то же время (без учета возмущений) возможно при соблюдении >авсяства
:де Тг продолжительность тропического года (365, 2422 средних золнечных суток),
(2я) ' * е
(II.1.298)
(!-«•)» Г{/2(/М@)5/. > = W04(a_«l)
Обеспечение последовательного перекрытия полос обзора за заданное число суток достигается при условии
Мз7.+ - (^cosf MS (П.1.299)
где пс целое число витков в течение звездных суток, кс .число суток, через которое обеспечивается совпадение полос обзора для одного ИСЗ, кс = ц/1, ri смещение проекции орбиты вследствие вращения Земли за один оборот спутника.
Долгота n-го витка при е ^ 0,06 вычисляется по формуле (II.1.142).
Значение периода Г, при котором спутнпк пройдет через заданную долготу Кп, равно
( kl~~ Хпп +fP°^- + ) . (И.1.300)
Число витков п, которое должен совершить спутник при заданном Т, чтобы попасть в район заданной долготы,
в= *i -»■„+8ео°лг_е (ц.1.301)
, cos ( '
Еслп п нецелое число, ап* ближайшее целое, то
В приведенных формулах jVcсутки полета, п номер витка, скорость вращения Земли <о3 = 0,25068447 градус/мин, dl = 2,3784766 -107 градус-км2.
При диффузном отражении (для шара):
m = mQ 2,5 lg а0 51g-^--|-51gsec z-f-
+ D (sec z -U-2.5 lg /> +(я-p) cos p , (II. 1.303)
где = 26,8 яркость (визуальная) Солнца в зените, а0 коэффициент отражения при диффузном отражении, Rs радиус спутника, s расстояние до спутника (h = s cos z), p фазовый угол спутника (угол между направлениями со спутника на Солнце и пункт наблюдений), D характеризует поглощение света атмосферой в зените.
Для зеркального отражения (в случае шара):
т = 25,3 5 lg (II.1.304)
Количество света, необходимое для потемнения фотографического слоя при отслеживании движения спутника,
B = k(J£~y Ev, (II.1.305)
при неподвижной камере
В = к^Е, (II.1.306)
где D* действующее отверстие объектива* d диаметр кружка рассеивания в плоскости изображения, к коэффициент проницаемости оптики, / фокусное расстояние объектива, со угловая скорость перемещения изображения спутника, т эффективное время выдержки, Е освещенность, создаваемая спутником, например для шара
E = ja(J^-^ Е0, (II.1.307)
здесь Еа интенсивность солнечного излучения, падающего на спутник.
Яркие спутники в большинстве случаев наблюдают при высрте Солнца под горизонтом 12°, а слабые порядка 189.
Очень яркие спутники (12т) в случае использования светосильной камеры можно наблюдать при /iQ, равном (9°)(10°).
«Геодезическую референц-систому 1967», принятую иа XIV Генеральной Ассамблее МГГС (1967 г.), в полпом соответствии с астрономическими фундаментальными постоянными, принятыми MAC (1964 г.), образуют величины
ае=& 378 160 м,
fM@ = 398 603 км2 • сек-2,
/2 = 10827-10-7;
им соответствуют
Ye = 978 031,846 мгал, а= 1: 298,249.
!•
Выше уже говорилось об определении и уточнении /2. По результатам наблюдений спутников могут быть уточнены фундаментальные постоянные ае и /ЛГ@, причем для уточнения последней величипы могут быть также использованы данные слежения аа далекими космическими аппаратами (КА). Один из вариантов уточнения параметров общего земного эллипсоида предложил М. Бурша*. Суть его способа состоит в следующем. Пусть параметры общего земного эллипсоида а и е равны
(II.1.308)
приближенные значения параметров, а поправки к ним da и de1 искомые величины.
Располагая топоцентрическими координатами спутников, полученными из наблюдений с некоторого количества пунктов, и геоцентрическими координатами ИСЗ, а также значениями я0 и ej}, приходим к уравнениям поправок вида
Дг = -da |l-1 [ 1 - (2TJ + У?) rj*|J -
где
-у “о de* [1_(Х02+У§) V]+ I, (II.1.309)
Z = (Zg + y§+Z8),/-ao{l--^[1-(Z3+y§) ''о'2] -
-^[^г^+Уо^г^-З^+У^гг^!, (IU.310)
a (1_e2)l/.ll_e2(Jtg+^g) ,(11.1.311)
8 Заказ 1058 257
■V о* Y„ z0 координаты пункта на поверхности Земли,
r0 = l.Z8+YJ+Zfl,/'. (II. 1.312)
Решая систему уравнений вида (II.1.309) по способу наименьших квадратов, найдем поправки к параметрам общего земного эллипсоида и по (11.1.308) сами параметры. Решение должно ироводиться под условием
V(Ar)2 = min; (II.1.313)
если учесть, что поверхность общего вемного эллипсоида близка к поверхности квазигеоида, то должно соблюдаться условие
где Н нормальная высота. Тогда свободный члеп в (II.1.309) будет V = 1 11. (II.1.315)
Поправку к /Mqопределяют в рамках спутникового динамического метода, по наблюдениям далеких КА и Луны.
Новейшие результаты свидетельствуют о том, ято величины ае и /ЛГ@, приведенные в начале параграфа, являются завышенными. Так, согласно данным, приведенным в [8], ае = 6378140 м, а по данным слежения за далекими КА ]М о,= 398600,37 + 1,0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2. Б у р ш а М. Основы космической геодезии. М., «Недра»,
11.2. ТЕОРИЯ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ И ГРАВИМЕТРИЯ
В. П. Шимбирев
А. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛБ ЗЕМЛИ
Изучение гравитационного поля Земли имеет важное научное и практическое значение.
Определение орбит межконтинентальных ракет и искусственных спутников Земли, разведка полезных ископаемых, изучение внутреннего строения Земли и определение ее фигуры все эти проблемы требуют для своего решения знания гравитационного поля Земли.
Гравитационное поле Земли является полем силы тяжести. Сила тяжести есть та сила, с которой всякое тело притягивается
к Земле. Она измеряется ускорением g, сообщаемым ею свободно падающему телу.
Единицей ускорения силы тяжести является гал = 1 см/сек213; 0,001 гала называется миллигал (мгал); 0,001 мгала называется мнкрогалом (мкгал).
Поскольку сила тяжести для единичной массы числеппо равна ускорению силы тяжести, то обычно эти два понятия не различаются.
■ ^
Сила тяжести (g) является равнодействующей двух сил: силы t
пыотопианского притяжения (F)
g = F + K. (II.2.1)
х
Обычный способ представления вектора в прямоугольных коордипатах состоит в использовании трех единичных векто-
и центробежной силы (К), т. е.
ров Г, Г и it, которые направлены вдоль осей х, у и z соответственно
g = gxi+gyi + gjtt
где gx, gy и gz проекции величины ускорения g на оси координат, величина ускорения g есть
(II.2.2)
в=Уй+*& + «!;
направление вектора g определяется через направляющие косинусы по следующим формулам:
(II.2.3)
cos (g, х)=-у- cos{g, •
cos(g, z)=-j-
Проекции силы тяжести на оси координат (gx, gy, gz) можно получить, если воспользоваться теоремой: проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих. Тогда на основании формулы (II.2.1) получим
gx = F x-\-Rxi Sy=Fy+Ky,
g2 = F2 + K2.
Проекции силы ньютонианского притяжения и центробежной сплы на оси координат равны
X
т
(II.2.4)
i
где в соответствии с рис. II.2.1 приняты следующие обозначения: / постоянная тяготения, равная 6,67 X 10-8 см3/г-сек2,
г расстояние между текущей точкой М и точкой Р, в кото-
рой определяется сила тяжести, х, у, z прямоугольные координаты точки Р, со угловая скорость вращения Земли, т объем всей Землп.
Вследствие крайне неравномерного распределения масс о тела Земли сила тяжести изменяется па ее поверхности по такому сложному закону, что певозможно дать точную функциональную зависимость между силой тяжести и координатами точки на земной поверхности.
Изучение гравитационного поля Земли значительно упрощается, если воспользоваться понятием потенциальной функции (или просто потенциала). Потенциалом называется функция, частные производные которой по осям коордипат равны проекциям действующей силы на соответствующие оси.
Следовательно, если через W обозначить потенциал силы тяжести, то проекции силы тяжести па оси координат будут связаны с потенциалом W следующими соотношениями:
aw
dW
(II.2.5)
(II.2.6)
Потенциал силы тяжести равен сумме потенциалов силы нью- тонианского притяжения (V) и центробежной силы (Q):
W = V + Q.
Потенциал силы ньютониапского„ притяжения вычисляется по формуле
т
а потенциал центробежной силы по формуле
в соответствии с обозначениями, принятыми для рис. II.2.1.
(II.2.7)
Дифференциал потенциала силы тяжести при перемещении единичной массы на бесконечно малый отрезок ds
dW =g cos (g, s) ds,
где угол (g, s) дополнение зенитного расстояния до 18015.
Полученная формула позволяет получить проекцию силы тяжес- сти на любое произвольное направление в,
В самом деле, поскольку
geos(g, s) = gs,
имеем
dW
Формула (11.2.7) показывает также, что дифференциал потенциала равен дифференциалу работы и, следовательно, работа, которую совершает сила тяжести g при перемещении единичной массы между точками, находящимися на конечном расстоянии, раппа разности потенциалов в этих точках:
в
WB WA = [ g cos (g, s) ds. (II.2.8)
A
Потенциал силы тяжести является функцией^, ограниченной „ _ aw dW
и непрерывной. Он имеет три первые производные: , -г- и
, которые являются также функциями непрерывными. Фиаи-
OZ
ческий их смысл ясен из формул (II.2.5): оии являются проекциями силы тяжести на оси координат.
Потенциал силы тяжести имеет шесть вторых производных:
эг\у dm dm dm дт дт
дх2 ду2 ' dz2 дх ду ' дх дг ' ду dz
Потенциал силы тяжести во внешнем пространстве относительно объема х удовлетворяет уравнению
ДЖ = 2со2, (II.2.9)
а во внутреннем пространстве (внутри объема т)
&W = 4л/й + 2й)2, (II.2.10)
где символом Д, называемым оператором Лапласа (лапласианом), обозначена сумма вторых настных производных от потенциала
4I„ am , am , дт
А" = а , Ч Г а .> ' •
дх3 дуг dz-
Поскольку вторые производные потенциала связаны с плотностью (формула (II.2.10)), то можно сделать вывод, ято вторые производные W (или, по крайней мере, одна из них) терпят разрыв непрерывности на вемной поверхности и внутри Земли там, где плотность притягивающих масс (б) меняется скачком.
Потенциал силы тяжести полностью характеризует гравитационное поле Земли, поскольку всегда, в случае необходимости, по формулам (II.2.5) можно вычислить составляющие сплы тяжести (gx< gyi Sz)i a зная пх> по формулам (II.2.2) и (II.2.3) величину силы тяжестп g и ее направление в пространстве.
меняются и направления касательных к силовым линиям. Вектор кривизны силовой линии определяется по формуле
(II.2.11)
Важной характеристикой гравитационного поля Земли являются силовые линии. Силовыми, или отвесными, линиями поля силы тяжести называются такие, касательные к которым во всех точках совпадают с направлением вектора силы тяжести. Силовые линии выражаются всюду непрерывными функциями; непрерывно
где v единичный вектор главной нормали кривой, р радиус кривизны силовой линии.
На основании полученной формулы делаем вывод, что при пересечении силовой линией масс с различными плотностями ее вектор кривизны будет меняться скачком. Однако вне масс вторые производные потенциала W непрерывны, а поэтому и силовые линии вне масс изменяют свою кривизну непрерывно.
Семейство уровенных поверхностей силы тяжести также является важпой характеристикой поля силы тяжести.
Уровепной поверхностью называется поверхность равного потенциала, ее уравнение имеет вид
(II.2.12)
W (х, у, г) = const.
Придавая различные значения постоянной, будем получать различные уровенные поверхности. В зависимости от величины постоянной уровеппые поверхности могут проходить вне Земли, пересекать ее или же находиться внутри Земли.
В каждой точке уровепной поверхности сила тяжести направлена по нормали к ней.
Если единичпая масса будет перемещаться вдоль уровенной поверхности ортогонально направлению силы тяжести, то в этом случае угол (g, s) всегда будет равен 90?. Тогда на основании формулы (II.2.7) получаем dW = 0, т. е. при движении по уровенной поверхности работа не совершается.
Поверхность воды в спокойном состоянии, находящейся под действием только силы тяжести, совпадает с одной из уровенных поверхностей. Уровенные поверхности являются поверхностями равновесия, поскольку слагающая силы тяжести по касательной к уровепной поверхности в любой точке равна нулю, и, следовательно, не может возникнуть никаких тангенциальных сил, которые могли бы вызвать перемещения водных масс по ее поверхности.
Одпа из уровенных поверхностей потенциала силы тяжести, совпадающая в открытом океане с невозмущенной поверхностью воды, называется геоидом.
Наличие материков делит геоид на две части: внешнюю, совпадающую с уровнем океапа, и внутреннюю, проходящую под материками, Из непрерывности потенциала силы тяжести вытекает, что уровенные поверхности, как проходящие вне масс, так и пересекающие земную поверхность или находящиеся внутри Земли, не терпят никаких разрывов, наклон касательной плоскости при перемещении точки касания по уровенной поверхности также меняется непрерывно.
Однако кривизна уровенной поверхности, пересекающей слои различной плотности, будет изменяться скачком там, где меняется скачком плотность. Это обусловлено тем, ято кривизна уровенной поверхности определяется вторыми производными потенциала:
где р радиус кривизны нормального сечения уровенной поверхности, А угол, образуемый плоскостью нормального сечения с осью х.
Следовательно, кривизна геоида в тех местах, где он пересекает материковые массы, изменяется скачком, и поэтому всякое продолжение аналитическими методами поверхности геоида внутрь притягивающих масс не будет соответствовать действительному положению геоида. Кривизну геоида нельзя представить одной аналитической функцией.
Кроме того, есть еще одна трудность, заключающаяся в том, что положение геоида, проходящего под материками, невозможно точно определить, не зная закона распределения^!лотпостей в земной коре.
Выясним физический смысл вторых производных потенциала. Возьмем начало прямоугольных координат в точке М земной поверхности. Направим ось z по отвесной линии внутрь Земли, а оси ха у на север и восток соответственно.
Тогда очевидно, что
dW ~=g-
d2W *
Представим вторую производную следующим образом:
dm д / dW \ dg
dz2 dz \ dz ) dz '
отсюда видно, ято эта производная представляет собой вертикальный градиент силы тяжести.
Переписав аналогичным образом производные
= 2a
dx *
IL
~~ dy '
dm _ d / dW \
dx dz dx \ dz )
d2W _ d Г-dW \
dy dz dy \ dz )
убеждаемся в том, ято эти производные характеризуют изменение силы тяжести в горизоптальной плоскости: первая в направлении меридиана, а вторая в направлении первого вертикала. Они получили наименование горизонтальных градиентов силы тяжести.
Полным горизонтальным градиентом называется геометрическая ->■ >■ сумма векторов dg/dx и dg/dy, т. е. вектор dg/ds, указывающий направление, в котором сила тяжести возрастает (или убывает) быстрее всего. Величина его равна
i£-= 1/7 9g V , { dg V т/( d2W \2 , I a*W \2
* V vw) +\'df) = V \TTd7) +{-dV3l)
а угол с осью x, т. e. азимут, определяется формулой
dg dm
Вторые производные d2WJdx2, 62W/dy2, d2W/dxdy, как мы пидели в формуле (II.2.13), характеризуют кривизну нормального сечспия уровенной поверхности.
Припяв в (II.2.13) А = О, получим
9W g ,
д 2 р (кРивязна меридионального сечения).
л л. d^W g (кривизна сечения уровенной повёрх-
при Л = пости плоскостью первого вертикала).
Приведем формулу для вычисления вертикального градиента силы тяжести, которой удобно пользоваться в тех случаях, когда кривизны нормальных сечений уровенной поверхности бывают известны.
Подставив в (II.2.10) значения производных d2W/dx2 и d^W/dy2, полученные выше, пайдем
^_2„»+g(_L+_L)_4.,/a. (н.2-14)
Полученная формула показывает зависимость вертикального градиента силы тяжести от плотности.
Отсюда следует, что редуцирование силы тяжести внутри притягивающих масс невозможно выполнить точно без детального знания закона распределения плотностей.
Напротив, во внешнем пространстве, где притягивающие массы отсутствуют и 6 = 0, редуцирование силы тяжести возможно.
Для определения разности потенциала силы тяжести относительно среднего уровня моря используются результаты геометрического нивелирования.
Поскольку при геометрическом нивелировании измеряются не наклонные отрезки ds земной поверхности, а отрезки нормали dn между уровенными поверхностями силы тяжести, получаемые как разности отсчетов dh по рейкам, то, используя соотношение (рис. II.2.2)
dn = ds COS (g, s),
приведем формулу (II.2.7) к виду
dW=-gdn. (II.2.15)
Величину dn можно рассматривать как элементарпое превышение dh между двумя бесконечпо близкими уровенными поверхностями. Поэтому в формуле (II.2.15) величину dn можно заменить аеличиной dh.
Интегрируя (II.2,15) вдоль хода нивелирования от исходного пункта нивелирования футштока 0 до репера В, получим формулу для вычисления разности потенциалов между этими точками
в
WB-W0=-$gdh. (II.2.16)
о
Из (II.2.15) следует, ято
dW
(П-2Л7)
т. е. сила тяжести есть ироизводная от потенциала, взятая по направлению внешней нормали к уровенной поверхности силы тяжести.
Расстояние между близкими уровепнымп поверхностями обратно пропорционально величине силы тяжести в данной точке. Действительно, из (II.2.15) следует
dn = --^. (II.2.18)
Так как сила тяжести на уровспной поверхности непостоянна, то п расстояние между двумя уровенпыми поверхностями в разных местах различно. Поскольку сила тяжести увеличивается от экватора к полюсам, то в направлении полюсов уровепные поверхности сближаются, а в направлении экватора удаляются друг от друга.
Именно вследствие непараллельности уровенных поверхностей силы тяжести сумма элементарных превышений между двумя точками земпой поверхности не определяется однозначно, она зависит от паправленпя, по которому проложен нивелирный ход.
Для определения конечной величины отрезка силовой линия Не, заключенного между двумя уровенными поверхностями си
ли тяжести W = WM и W = 1У0 (рис. 11.2.3), проинтегрируем выражение (II.2.15) вдоль силовой линии ММ'\ м м
WM W0= j g dh = gm J dh = gmHg.
M M'
Отсюда
, w0-wM Нй= , (II.2.19)
gin
где gm среднее значение силы тяжести на отрезке ММ'.
Заметим, что отрезок силовой линии можно принять за отрезок нормали к уровенной поверхности W = WB, поскольку разница между этими отрезками даже при расстояниях между точками М и М' порядка 10 км составляет менее 0,01 мм.
Полученная здесь высота точки М над уровнем моря называется орто метрической высотой. Индекс g пад Н означает, что для ее определения требуется энать среднее значение действительной силы тяжести на отрезке ММ'.
Формулу для ортометрической высоты можно паписатъ иначе:
м
Я® = -^- [gdh.
gm J
О
м
Интеграл j gdh может быть точно вычислен. Для этого нужно, о
чтобы между футштоком О и пунктом М был проложен нивелирный ход, который даст возможность получить величины нивелирных превышений dh, и чтобы в точках этого хода были измерены значения силы тяжести g. Среднее же значение силы тяжести gm на отрезке ММ' неизвестно. Для его определения необходимо использовать данные о строении верхних слоев Земли, которые в большинстве случаев отсутствуют. По этой причине система ортометрпческих высот в СССР и в ряде других стран не применяется.
Для определения фигуры Земли требуется знание ее потенциала W,. Однако вычислить потенциал Земли по формуле (II.2.6) в настоящее время не представляется возможным, так как в нее входит потенциал ньютонианского притяжения V, зависящий от плотности 6. Точный же закон изменения плотности внутри Земли нам неизвестен. Поэтому при изучении гравитационного поля Земли ученым приходилось использовать те или иные гипотезы
о ее внутреннем строении.
В 1849 г. замечательный английский ученый Стокс полностью освободил теорию от необходимости привлечения каких-либо гипотез о внутреннем строении Земли при изучении ее фигуры, он доказал, что внешний потенциал Земли может быть определен независимо от плотности.
В основе теоретических исследований Стокса лежит его знаменитая теорема, которая может быть сформулйрована следующим образом: если известна общая масса плапеты, угловая скорость ее вращения и форма внешней уровепной поверхности потенциала силы тяжести, целиком охватывающая все притягивакйцие массы, то потенциал силы тяжести и сама сила тяжести определяются однозначно как во всем внешнем пространстве, так и на самой поверхности уровня.
Можно обобщить теорему Стокса, распространив ее на физическую поверхность планеты (вместо внешней уровенной поверхности считается известной сама поверхность планеты). Только в этом случав необходимо знать на ее поверхности приращение потенциала силы тяжести относительно какого-либо начального пункта О.
Теорема Стокса устанавливает принципиальную возможность определения потенциала W независимо от плотности, однако она не отвечает на вопрос, как может быть решена эта задача для данной конкретной уровенной поверхности. Решение этого вопроса составляет так называемую проблему Стокса.
В общем виде, т. е. для любой произвольной уровенной поверхности, проблема Стокса ввиду ее исключительной трудности не решена до сих пор. Имеются решения проблемы Стокса для некоторых наиболее простых поверхностей, в частности для эллипсоида вращения.
Стоксом была решена и обратная задача, состоящая в определении формы внешпей уровенной поверхности силы тяжести и внешнего потенциала при условии, если известны угловая скорость вращения, зпачения силы тяжести и потенциала на поверхности уровня.
Решение было получено Стоксом при предложении, что искомый внешний потенциал W достаточно близок к некоторому вспомогательному потенциалу U, называемому нормальным.
Нормальный потенциал задается.
Таким образом, в задаче Стокса определению подлежат лишь малые величины W U = Т, квадратами которых можпо пренебречь.
Строго говоря, для определения потенциала Земли и формы геоида нельзя использовать задачу Стокса, так как, во-первых, геоид пе удовлетворяет условиям теоремы Стокса, он пе является внешней уровенной поверхностью и пад ним возвышаются массы материков и, во-вторых, измерения силы тяжести производятся на физической поверхности Земли, а не на геоиде.
Поэтому М. С. Молоденскпй (1945 г.) предложил не связывать вадачн геодезии и теории фигуры Земли с проблемой определения фигуры геоида.
Задача геодезии, по мысли М. С. Молоденского, должпа заключаться в определении физической поверхности Земли и впешнего гравитационного поля. М. С. Молоденский доказал, что эту задачу можно решить принципиально строго, без привлечения каких- либо гипотез о внутреннем строении Земли.
Решение сформулированной выше задачи было получено М. С. Молоденским при предположении, что внешний потенциал Земли W близок к известному нормальному потенциалу U. Как и в задаче Стокса, в этом случае определению подлежат небольшие величину Т = W U. Эта величина Т получила название возмущающего потенциала Земли.
За нормальный потенциал U Земли принимается потепцпал уровеиного эллипсоида (уровенным называется эллипсоид, у которого внешняя поверхность является уровенной поверхностью силы тяжести и, следовательно, в каждой точке которой сила тяжести направлена по нормали), который настолько близко представлял бы действительный внешний потенциал W, чтобы квадратами малых величин Т = W U можно было пренебречь.
Потенциал такого эллипсоида определяется в результате решения проблемы Стокса. Проблема эта может быть сформулирована следующим образом: пусть форма уровенного эллипсоида определяется уравнением
Х2+У2 , Z2 д2 62
Известны его общая масса М и угловая скорость вращения <£». Определению подлежат потенциал и сила тяжестп этого эллипсоида как во всем внешнем пространстве, так и на самой поверхности эллипсоида.
Приведем наиболее важные соотношения между параметрами уровепного эллипсоида.
Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида, называемая нормальной силой тяжести, изменяется по вакону, установленному итальянским геодезистом Сомильяна:
ду.соа2В + Ьу,,ац.«Д
Y a? C0S2£ + 62sjna В
где В геодезическая широта, уе нормальная сила тяжестп на экваторе эллипсоида, ур нормальная сила тяжести на полюсе эллипсоида, а и Ь большая и малая полуоси эллипсоида.
Формула Сомильяна неудобна для вычислений. Если разложить ее в ряд, то получим приближенную формулу (с точностью до малых второго порядка), удобную для вычислений:
Yo = Ye (1 + Р sin2 В Pi sin2 2В), (11.2.21)
где
P = T"-. Pi=-§-«2+-TaP' (П.2.12)
Формула (II.2.21) называется формулой Клеро с малыми величинами второго порядка.
уровенного эллипсоида
Между формой уровенного эллипсоида, угловой скоростью его вращения и значениями силы тяжести на полюсе и на экваторе существует строгая математическая зависимость, открытая итальянским ученым Пицетти. Для удобства вычислений полученную
Пицетти формулу раскладывают в ряд по степеням сжатия а, приводя ее к виду
(II.2.23)
где
!=. (II.2.24)
Ye
Эта формула имеет важное значение для геодезии: она позволяет определить сжатие Земли
5 л-R
2
а= ^ • (II.2.25)
1+ТГ*
Для определения а по формуле (II.2.25) коэффициент нормальной формулы р должен быть определен из наблюдений силы тяжести, величину q можно считать для Земли величиной известной.
Наблюдения силы тяжести производятся как на контипептах, так и на поверхности морей и океанов, поэтому естественно, ято сжатие а, определенное на основании теоремы Клеро, лучше характеризует фигуру Земли в целом, чем сжатие, выводимое по результатам градусных измерений, покрывающих лишь материковую часть Земли, т. е. примерно Уз всей ее поверхности.
Значение нормального потенциала i70 на поверхности уровен- ного эллипсоида определяется формулой
§-«§-*>• • •) +
(11'2'ад
Масса эллипсоида М -вычисляется по формуле
iM = a2Ye(i_a) + -|-co2a3(l 5-a__La2), (II.2.27)
Приведем еще формулу для определения разности моментов инерции эллипсоида
3/ {CA) = JMa2 (2а а2) ш2а5 La + _|La2_.
(II.2.28)
Из семи параметров, определяющих нормальный потенциал Земли (уе, a, fM, U0, a, Р, со), достаточно знать только четыре, ибо, используя приведенные выше формулы [(II.2.23, II.2.26 и 11,2,27)], можно получить остальные.
В выводах по данным наземных измерений в качестве исходных параметров принимают а, а, (о и уе,
Большую полуось а и сжатие а берут такими же, как и для референц-эллипсоида, принятого в качестве поверхности относи- мости, на которую проектируются триангуляционные сети.
Так, в СССР и странах народной демократии в качестве реферепц- вллппсоида принят рефереиц-эллипсоид Красовского (1942 г.), параметры которого
а = 6 378 245 м,
о = 1: 298,3.
Если же речь идет об изучении всей нашей планеты в целом, то целесообразно принять параметры общего земного эллипсоида. XIV Генеральная ассамблея Международного геодезического и геофизического союза в 1967 г. рекомендовала в качестве параметров общего земного эллипсоида следующие:
а = 6 378 160 м,
а= 1:298,15.
Угловая скорость со вращения Земли вычисляется по формуле
где п = 86164,09 число средних секунд в звездных сутках.
Экваториальная постоянная уе определяется по данным мировой гравиметрической съемки.
В Советском Союзе для вычисления нормальной силы тяжести принята формула Гельмерта (19011909 гг.)
Yo = 978,030 (1+0,005302 sin2 В 0,000007 sin2 2В).
Использование этой формулы объясняется тем обстоятельством, что сжатие, соответствующее коэффициенту (3 = 0,005302, определенному Гельмертом, практически совпадает со сжатием эллипсоида Красовского (по Гельмерту а = 1 : 298,2).
Постоянные 7, и р определены Гельмертом по результатам гравиметрической съемки того времени, коэффициент получен теоретически.
При редуцировании нормальной силы тяжести с одной уровенной поверхности на другую приходится пользоваться ее вертикальным градиентом, вычисляемым по формуле
-1L =-0,30855(1 + 0,00071 cos2B) мгал/м,
здесь п направление внешней к уровенному эллипсоиду нормали.
Вертикальный градиент нормальной силы тяжести в очень слабой степени зависит от широты пункта. Поэтому при малых вначениях высот второй член можно не учитывать и значение нормальной силы тпжсстп на высоте Я пад эллипсоидом (высоты Н отсчитываются по направлению нормали к эллипсоиду) вычислять по формуле
у = Yo Я = Yo- 0.0003086Я,
эсли Я выражать в метрах, нормальную силу тяжести в галах. Знак минус указывает, ято при положительных высотах над эллипсоидом поправка в нормальную силу тяжести за высоту будет отрицательной.
Кривизна силовой липли пормального поля определяется по формуле
где R средний радиус Земли.
Силовая линия нормального поля, в отличие от силовой линии действительного поля Земли, плоская кривая, всегда лежащая в плоскости меридиана и обращенная вогнутостью к полюсу. Поскольку р является величиной порядка сжатия а, заключаем, что радиус кривизны силовой линии примерно в 200 раз больше радиуса Земли.
В. ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ОТЛИЧИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ ОТ НОРМАЛЬНОГО
При помощи возмущающего потенциала определяются отступления физической поверхности Земли от уровенного эллипсоида.
Если по аналогии с формулой (11.2.6) для действительного потенциала Земли представить нормальный потенциал как U = = V3 + Q3, где V3 потенциал притяжения уровенного эллипсоида, a Q3 потенциал его центробежной силы, и взять разность между W и U, то получим следующее выражение для возмущающего потенциала:
Как видно, величппа возмущающего потенциала существенно зависит от выбора нормального потенциала, от того, какой эллипсоид взят в качестве уровенного. Дело в том, что в качестве уровенного эллипсоида может быть взят общий земной эллипсоид, а может быть и референц-эллипсоид.
Под общим аемпым эллипсоидом понимается эллипсоид, у которого центр масс совмещен с центром масс Земли и осп вращения совпадают, масса эллипсоида равна массе Земли, потенциал Ua на поверхности эллипсоида равеп потенциалу Земли в футштоке (PF0) и разность между экваториальным и полярным моментами инерции эллипсоида равна разности между средним из экваториальных в полярным моментами инерции Земли,
Рсференц-зллипсоид поверхность относимости, принятая для обработки триангуляции данпой страны, ориентируется в теле Земли иначе. Их центры масс не совпадают, а ось вращения эллипсоида параллельна оси вращения Земли.
Еслп в качестве уровенного эллипсоида взят общий земной эллипсоид, то Q = Q3, если же взят референц-эллипсоид, то в общем случае Q 4= Q3- Однако, учитывая, ято расстояние между осями вращения эллипсоида и Земли мало (порядка 100 м), можно этим различием пренебречь.
Таким образом, приходим к выводу, ято во всех случаях возмущающий потенциал можно определять как разность потенциалов притяжения Земли и эллипсоида
T=V V*.
Возмущающий потенциал обладает всеми свойствами потенциала притяжения. В частности, во внешнем пространстве возмущающий потенциал является гармонической функцией, т. с. удовлетворяет уравнению Лапласа ДТ = 0.
Возмущающий потенциал не может быть непосредственно измерен, однако в точках фивической поверхности Земли он может быть выражен яерез величины, находимые из измерений.
Условие, которому должен удовлетворять возмущающий потенциал в точках физической поверхности Земли, называется гра- иичньш, или краевым.
Определение возмущающего потенциала сводится к решению уравнения Лапласа ДГ = 0 таким образом, чтобы найденное значение Т в точках физической поверхности Земли удовлетворяло граничному (краевому) условию. Подобные задачи называются краевыми задачами теории потенциала.
II.2.12. Уклонения отвеса
Вследствие отличия действительного гравитационпого поля Земли от нормального, обусловленного неправильным строением нашей планеты и сложностью ее фигуры, направление действительной силы тяжести g (отвесной линии) в данной точке М поверхности Земли пе будет совпадать с направлением нормальной силы тяжести 7 в той же точке.
Угол между направлением отвесной линии и направлением нормальной силы тяжести в той же точке называется г р а в и - м е т р ическим уклонением отвесной линии.
Явление уклонения отвеса наблюдается повсеместно. В равнинных областях величины уклонения отвеса составляют несколько секунд, а в горах могут доходить до Г. Вследствие этого астрономические координаты (ф, К) точек земной поверхности отличаются от геодезических (В, L).
Имеем
(II.2.29)
где | проекция уклопения отвеса на плоскость меридиана, г| проекция уклонения отвеса на плоскость первого вертикала, ДВ
поправка за кривизну силовой линии нормального поля, Лй = = 0", 171 Я sin 2В, где Я высота точки над эллипсоидом.
Принято следующее правило энакон для составляющих | п т): если астрономический зеппт отклоняется от геодезического на северо-восток, то составляющие отвеса £ и т] считаются положительными, если же на юго-запад, то отрицательными.
Зависимость между возмущающим потенциалом Т и составляющими гравиметрического уклонения отвеса выражается формулами
(II.2.30)
дТ уН дВ
где R средний радиус Земли.
Геодезической высотой точки М земной поверхности
называется высота точки над эллипсоидом, отсчитанная по пормали к эллипсоиду. Если бы разность нормальных потенциалов £/0Uм
Физическая
^ГоШхнОСтъ
Земли
Уробенчш
эллипсоид
Рис. 11.2.4
между точками М0 и М (рис. II.2.4) была известна, то геодезическая высота могла бы быть определена из соотношения
Uo-VM
где Ут среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке ММ0.
Однако в результате измерений может быть определена разность W0 WM (см. II.2.16), где И70 значение потенциала силы тяжести в футштоке (точке 0), a WM значение того же потенциала в точке М.
Вследствие отличия реального гравитационного поля от нормального .через разность W0WM определяется не геодезическая
вьтсота, а лишь ее составляющая получившая название нормальной высоты (см. рис. II.2.4).
Таким образом, имеем
(II.2.31)
W0-WM
Ут
где
Разность между геодезической высотой #мточки М и ее нормальной высотойHjf, т. е. величина £м= НМН\1У называется аномалией высоты. Аномалия высоты равна отрезку NM нормали, проведенной к эллипсоиду из точки М (см. рис. II.2.4).
Аномалия высоты определяется через возмущающий потепциал следующим образом:
(II.2.32)
где Yjv значение нормальной силы тяжести в точке N (см. рис.
II.2.4).
Таким образом, геодезическая высота получается как сумма двух составляющих
Ihl = nh+^4-
Величина £ связапа с возмущающим потенциалом Т Земли и характеризует степень аномальности ее гравитационного поля. Чтобы проиллюстрировать это положение, будем откладывать от поверхности уровенного эллипсоида по нормали к пему аномалии высот £, определенные в точках М физической поверхности Земли. В результате получим совокупность точек М", образующих некоторую поверхность (см. рис. II.2.3), которую М. С. Молоденскпй предложил назвать квазигеоидом.
Аномалия высоты £ может быть названа высотой квазигеопда над поверхностью эллипсоида, а нормальная высота НУ высотой точки М физической поверхности Земли, отсчитанной по нормали к эллипсоиду, над поверхностью квазигеоида.
Квазигеоид не является уровенной поверхностью силы тяжести. Отступления Д£ по высоте квазигеоида от геоида могут быть вычислены по формуле
Д£ = £'-£ = Я7-Яг = ^2Ну,
где (; высота квазигеоида (аномалия высоты), £' высота геоида, gm и утсредние значения действительной и нормальной
силы тяжести для точки М (см. рис. II.2.3). Как показывают подсчеты по приведенной выше формуле, отступления Д£ на равнинах составляют несколько сантиметров, а в горах могут достичь максимальной величипы порядка 2 м. Поскольку па поверхности океана разности потенциалов §gdh равны нулю, то и нормальные, и орто- метрические высоты также будут равны нулю, и, как следствие, Д£ = 0. Это означает, что на океанах геоид совпадает с квазигео- идом.
Таким образом, квазигеоид только на материках, да и то незначительно, отступает от уровенной поверхности силы тяжести, принимаемой аа «уровень моря» (геоид).
Но поскольку положение геоида под материками не может быть точпо определено, то за «уровень моря» приходится принимать поверхность квазигеоида, относительно которого отсчитываются нормальные высоты, изображаемые на топографических картах.
Поверхность квазигеоида является сложной, она образует «волиы» относительно эллипсоида, высоты которых £ по абсолютной величине не превышают 100 м.
Отличие действительного гравитационного поля от нормального проявляется также в аномалиях силы тяжести.
Аномалией силы тяжести называется разность между действительным значением силы тяжести, полученным из наблюдений, и ее нормальным (теоретическим) значением. Если значения действительной силы тяжести и нормальной отнесены к одной и тон же точке, то аномалию называют «чистой», если же эти значения относятся к разным точкам пространства, то аномалию называют «сме- шаппой». В зависимости от поправок (редукций), вводимых либо в измеренную, либо в нормальную силу тяжести, различают разные виды аномалий.
При вычислении апомалий в свободном воздухе в измеренное зпачеппе. силы тяжести g никаких поправок не вводят, вводят лишь поправку за высоту в значение нормальной силы тяжести:
(gy)св. B = g (уо + ку),
где Vo нормальная сила тяжести на эллипсоиде, Ду = 0,30855 X X (1 + 0,00071 cos 2В) Н + 0.0723//2 • 106 мгал редукция в свободном воздухе. В этом случае^номалия будет «чистой». Если вместо геодезической высоты взять нормальную высоту Яv, то аномалия будет «смешанной», так как наблюденная сила тяжести относится к точке М земной поверхности, а нормальная сила тяжести к точке N (см. рис. II.2.4). Поскольку в теории фигуры Земли обычно используются смешанные аномалии, то в дальнейшем под аномалией в свободном воздухе будем понимать смешанную аномалию
(g y)cb. в ~Sm Yjv-
Аномалии в свободном воздухе на аемной поверхности изменяются по сложному закону и потому линейное интерполирование их приводит к неудовлетворительному результату. Вследствие этого как построение, так и использование карт аномалий в свободном воздухе, особенно для горных районов, встречает большие
трудности.
Основной причиной, вызывающей сложный, неправильный характер изменения аномалий в свободном воздухе, является влияние топографических масс (т. е. масс, возвышающихся над уровнем моря) па значение измеренной силы тяжести g. Известпо, что в пределах небольших участков, порядка трапеции 1° X Iе, коэффициент зависимости аномалии от высоты в горных районах близок к 0,10 мгал/1 м.
Обычно в горных районах сила тяжести измеряется в долинах, а на труднодоступных горных вершинах измерений не производят. Естественно, что формальное линейное интерполирование зпаче- нпй аномалий силы тяжести между пунктами, лежащими в долинах и расположенными по обе стороны горного хребта, заведомо неправильно.
В Советском Союзе разработан метод так называемого косвенного интерполирования аномалий в свободном воздухе с использованием другого вида аномалий топографических аномалий. Для получения топографических аномалий из наблюденного значения силы тяжести исключается влияние притягивающих масс, расположенных между уровнем моря и физической поверхностью Земли. Эти массы называются топографическими. С необходимостью устранения возмущающего эффекта топографических масс из результатов наблюдений силы тяжести приходится встречаться и при разведке полезных ископаемых, а также при изучении внутреннего строения Земли.
Аномалии силы тяжести, из которых устранен возмущающий эффект топографических масс, называются топографическими. Поправку за влияние топографических масс будем называть топографической поправкой (редукцией) или, иначе, поправкой (редукцией) за топографию Дg. Она равна составляющей притяжения топографических масс Земли на направление силы тяжести в данной точке земной поверхности М-
Составляющие силы притяжепия Fx, Fy и Fz вычисляются по формулам (II.2.4). Если ось г совместить с направлением силы тяжестп g в данной точке М, то
. „ . С бйт .
Ag = Fz = f\ - cos (г, z),
г
где г радиус-вектор от данной точки М, в которой вычисляется топографическая поправка Дg до элементарного объема dr в текущей точке, (г, z) угол между радиусом-вектором и направлением силы тяжести в точке М, т полный объем топографических масс.
Если при вычислении топографической поправки учитывается влияние всех топографических масс Земли, то получепная таким образом поправка носит название полной топографической редукции (Д^п.т. р). После введения в значение силы тяжести в данной точке М полной топографической редукции получается значение силы тяжести, освобожденное от влияния всех топографических
масс Земли. Величина (гмД^п. т. pVjv) называется аномалией в
полной топографической редукции. Однако далеко не во всех случаях приходится учитывать влияние топографических масс всей Земля. Необходимо иметь в виду, что этот учет очепь сложен, требует много труда и времени, а влияние далеких топографических масс незначительно и почти одинаково на все пункты небольшого района. Поэтому оказывается вполне достаточным вычислять влияние не всех топографических масс, а лишь в пределах некоторой области. В этом случае поправка называется неполной топографической редукцией^,,. т.р.Ь а величинаfeM Д^н. т. рVjv) ~ аномалией в не- полпой топографической редукции (gу)н.т.р-
Неполная топографическая редукция вычисляется по формуле
А^н. т, p = 2nf6H^А#р,
где 6 плотность топографических масс, Н$ нормальпая высота исследуемой точки, Agp поправка на рельеф.
Величина 2л/6#^ = 0,04186/7^ представляет собой притя- женпе плоской пластины бесконечного простирания (пластины Буге) и называется редукцией Буге.
Поправка за рельеф Agp учитывает отступления физической поверхности Земли от горизонтальной плоскости Н = Щ = const, проходящей через исследуемую точку. После введения поправки 8а рельеф в значение наблюденной силы тяжести мы получаем такое вначение силы тяжести, которое было бы в исследуемой точке, если бы физическая поверхность Земли в пределах выбранной области была строго горизонтальной. Иными словами, исправленное поправкой за рельеф значение силы тяжести g + Д#р соответствует притяжепию однородной пластины толщиной
Поскольку притяжение плоского материального слоя не зависит от расстояния точки до слоя при условии, что это расстояние мало по сравнению с протяженностью слоя, то можно сказать, что введение поправки эа рельеф соответствует конденсации топографических масс на поверхности Н = Щ = const.
Для определения численной величины поправки эа рельеф (Agp) всю местность вокруг точки наблюдения разбивают на небольшие ячейки (трапеции) при помощи системы концентрических окружностей п радиально расходящихся лучей. При определении размеров радиусов кольцевых зон, а также числа лучей исходят из того, чтобы внутри каждой ячейки высоту k над уровнем точки наблюдения можно было с читать величиной постояшшй.
Поправка за рельеф получается как сумма влияний отдельных ячеек
А14Р 2 (/гТ+Л2_/г1^ТР+Г,+1-Г/),
где п число лучей, б плотность горных пород, h = ЮЩ средпяя высота ячейки над уровнем точки наблюдения, г* радиус внутренней зоны, Г(+1 радиус внешней зоны. Здесь поправка получается в миллпгалах, еслп т н h выражены в метрах. Имеются специальные таблицы, по которым эта поправка вычисляется *.
Если в наблюденное значение силы тяжести вводится только редукция Буге, то величина
(ем - - Yn) = (g - y)b
называется аномалией Буге.
Если в наблюденное значение силы тяжести вводится только поправка за рельеф, то величипа
(£дг + д£рyn) = (*Y)® называется аномалией Фая.
Топографические аномалии используются для так называемой косвенной интерполяции аномалий в свободном воздухе и аномалий Фая.
Косвеппая интерполяция аномалий в свободном воздухе с применением аномалий Буге может быть произведена следующим образом. В пунктах, в которых известны значения силы тяжести, вычисляют аномалии Буге. Затем путем линейной интерполяции определяют аномалии Буге в промежуточных пунктах, где отсутствуют гравиметрические наблюдения. Обратный переход от аномалий Буге к аномалиям в свободном воздухе в этих пунктах совершается при помощи соотношения
(g\) = (g У)Б + 2я ]ЬНУ.
В горных районах, где поле аномалий Буге становится сложным косвенная интерполяция аномалий в свободном воздухе может быть выполнена с помощью аномалий в неполной топографической редукцпн. Процесс вычислений аналогичен описанному выше.
Косвенная интерполяция апомалий Фая выполняется яереа аномалии в неполной топографической редукции, с использованием соотношения
(ё\)Ф={е\)«. т. p+2n/6#v.
По значениям аномалий силы тяжести в отдельных точках составляют гравиметрические карты изоаномал (изоаномалами называются линии, соединяющие точки с одним и тем же значением аномалии). Наиболее распространены карты с аномалиями в свободном воздухе, Буге. Обычно основой любой гравиметрической карты служит топографическая карта соответствующего масштаба. При вычислении высот квазигеоида и уклонений отвеса применяются гравиметрические карты 1 : 100 ООО, 1 : 200 ООО, 1 : 300 000,
При исследованиях гравитационного поля Земли и ее фигуры возникает задача определения средних аномалий силы тяжести в свободном воздухе или аномалий Фая для больших площадей по дискретным и зачастую неравномерно распределенный гравиметрическим наблюдениям.
При получении средних аномалий силы тяжести для больших площадей в качестве исходных данных используются средние аномалии для меньших площадей. Минимальной областью, для которой средняя аномалия определяется непосредственно по значениям аномалий в гравиметрических пунктах или по гравиметрическим картам, является трапеция размером 1а X Is. При этом необходимо учитывать зависимость аномалий силы тяжести от рельефа местности.
Проблемой определения зависимости аномалий силы тяжести от высоты при выводе средних значений аномалий для больших площадей занимались многие исследователи. При исследованиях этой проблемы в ЦНИИГАиК определение средних аномалий в свободном воздухе по аномалиям в гравиметрических пунктах для трапеций размером I2 X 1® производилось методом косвенной интерполяции через аномалии Буге; определение средних аномалий Фая для тех же трапеций производилось методом косвенной интерполяции через аномалии в неполной топографической редукции.
Переход к трапециям больших размеров осуществлялся в три этапа: 1) переход от аномалий трапеций 1а X 1® к аномалиям трапеций 22 X 29; 2) переход от аномалий трапеций 2° X 2- к аномалиям трапеций 4° X 49; 3) переход от аномалий трапеций 49 X 49 к аномалиям трапеций 108 X 109.
Вычисление средних аномалий в свободном воздухе для материковых трапеций на 1, 2 и 3 этапах осреднепия производилось по формуле
СГГу) = (г-У)ср+А/(Й7-Я?р), (II.2.33)
где (gv)Cp, Hiр среднее значение аномалии в- свободном воздухе и средняя высота в трапециях, имеющих гравиметрические наблюдения; Н^ средняя высота всей трапеции; ki коэффициент зависимости аномалии в свободном воздухе от высоты на i-ом этапе осреднения.
Средние аномалии для морских трапеций вычислялись по формуле
(g y) = (g \)cp+bt(P~ .Pep), (II.2.34)
где P и PCp соответствующие глубины, a bt коэффициент зависимости аномалии в свободном воздухе от глубины на i-ом этапе осреднения.
Коэффициенты ki и Ь[ вычислялись по способу наименьших квадратов. Так, например, при переходе от трапеций Is X I9 к трапециям 2е X 2° применялись формулы
[Д^1 L _ [AtfP] /IT о осч
кг [ЛЛГ ь2 [РР\~' (II.2.35)
где Дg значение аномалии в трапеции Is X I9, a h и Р отклонение высоты или глубины гравиметрически изученной трапеции 1® X I9 от высоты или глубины трапеции 2s X 29, полученной как среднее из высот или глубин трапеций Is X Is, имеющих гравиметрические наблюдения.
Аналогичные формулы применялись и на других этапах осред- пепия.
Для вычисления коэффициентов каля Ь использовались районы, достаточно хорошо изученные в гравиметрическом отношении, с большим диапазоном изменения высоты илп глубины.
При вычислении средних аномалий Фая применяли формулы, аналогичные формулам (II.2.33), (II.2.34), (II.2.35), заменяя в них (gy) на (gу)ф и коэффициент к на к . Полученные результаты приведены в табл. II.2.1.
Таблица II.2.1
Среднее значение коэффициентов |
Для трапеций 1° х 1° |
Для трапеций 2° X 2“ |
Для трапеций 4е X 4° |
Для трапеций 10° X 1015 |
к к' |
0,094 0,111 |
0,054 0,059 |
0,026 0,032 |
0,0124 0,0165 |
Проведенные в ЦНИИГАиК исследования * показывают, что если для небольших трапеций площадью порядка Iе X Is хороший результат дает интерполирование через топографические аномалии, то при переходе к трапециям больших размеров зависимость аномалии от рельефа заметно ослабевает.
При изучении внутреннего строения Земли в настоящее время приходится использовать косвенные данные (гравиметрии, сейсмологии и др.), поскольку непосредственные экспериментальные материалы отсутствуют.
С достаточным приближением можно считать, что Земля состоит из бесконечного множества концентрических сферических слоев, плотность которых возрастает с увеличением глубины. Отсюда следует, что закон изменения плотности должен иметь вид
б = /(г), (II.2.36)
где г расстояние от центра Земли.
Распределение плотностей внутри Земли должно удовлетворять известным значениям массы М и момента инерции С Земли относительно оси вращения.
Общую массу Земли можно рассматривать как сумму масс составляющих ее концентрических слоев. Если плотность одного из слоев будет 8 / (г), а толщина dr, то масса такого слоя
dM = 4лдг2 dr = 4л/ (г) г2 dr.
Общая масса Земли
я
М 4л j /(г) г2 dr, (II.2.37)
о
где R средний радиус Земли.
Принимая объем Земли V = лЯ3, можно определить сред-
О
нюю плотность Земли
я
6m = ^- = ^-J/(r)r2dr. (II.2.38)
О
Момент инерции С определяется соотношением
R
= -|- л^ f(r)r*dr. (II.2.39)
а
С:
д
О
Условия (II.2.37), (II.2.38) и (II.2.39) пе дают возможности однозначно определить функцию / (г). Задача обычно решается методом подбора, при котором стараются подобрать такую модель Земли, которая в наибольшей степени согласовалась бы со всеми данными наблюдений.
В настоящее время на основании результатов сейсмических наблюдений принята гипотеза прерывного распределения плотностей в недрах Земли.
Наиболее резко выраженные границы раздела плотностей на глубинах 1070 км и 2900 км позволяют разделить Землю на три главные зоны: земную кору, оболочку (иначе называемую мантией) и ядро. В свою очередь внутри каждой из этих зон намечаются границы, где физические свойства вещества меняются скачком.
Т а б л и ц а II.2.2
Оболочка |
Интервал глубин, км |
Интервал плотности, г/сма |
Кора (А) |
033 |
2,73,0 |
Мантия (В) |
33400 |
3,323,65 |
(С) |
4001000 |
3,65-4,68 |
(D) |
1000-2900 |
4,68-5,69 |
Ядро (Е) |
2900-5000 |
9,40-11,5 |
(П |
50005100 |
11,5-12,0 |
(G) |
5100 - 6371 |
12,0-12,3 |
Моделью Земли, паилучшим образом отвечающей данным наблюдений является модель «А» Гутенберга-Булдена. Основные характеристики для оболочек этой модели приведены в табл. II.2.2.
Предположив распределение плотности внутри Земли известным, можно вычислить силу тяжести и давление внутри Земли.
Если Землю рассматривать как шар, состоящий из концентрических слоев, и пренебречь центробежной силой, то можно силу тяжести на расстоянии г0 от центра Земли отождествить с силой притяжения всех слоев, находящихся глубже (г sz г0), поскольку притяжение однородных слоев на внутреннюю точку равно нулю. В таком случае
где т масса, заключенная внутри сферы радиуса г0. Аналогично (II.2.37) найдем, ято
Го
т = 4я| /(г)г2 dr, о
откуда
t = f-?T [f(r)r*dr.
'о V
о
Вычислим давление р внутри Земли. Уравнение гидростатического равновесия имеет вид
dp = bgdr, (II.2.40)
где g ускорение силы тяжести, б плотность. После интегрирования получим давление как функцию расстояния г0 Ьт центра
Земли
в
p=J ef (О dr.
Го
Из полученных формул следует, что значения силы тяжести и давления внутри Земли определяются принятым законом изменения плотности. На рис. II.2.5 кривые 1 и 2 показывают изменение Sup внутри Земли при принятом законе изменения плотности, соответствующем модели «А» Гутенберга-Буллена.
Для того чтобы ответить па вопрос: находится ли Земля в состоянии гидростатического равновесия, следует сравнить гравитационное поле Земли с тем полем, которое создавалось бы Землей, если бы она находилась в состоянии равновесия под действием силы тяжести.
Перепишем уравпеппе гидростатического равновесия (II.2.40) в виде
dp = bdW.
Отсюда следует, что уровенные поверхности в случае гидростатического равновесия являются также поверхностями равных давлений и равных плотностей. При отсутствии вращения эти по- вирхпости имеют сферическую форму; под влпяппем же центробежной силы, возникающей при вращении, уровенные поверхности приобретают сжатие, зависящее от угловой скорости вращения <о и от закона изменения плотности б по глубине. Если со невелико, как это имеет место в случае Земли, то и уклонения уровенных поверхностей от сферы будут также д, см/:ек2 р-10 ,ш небольшими.
Рис. II.2.5
Предположим, что неоднородная жидкая планета, вращающаяся с небольшой скоростью <в, состоит из бесчисленного множества сфероидальных слоев малого сжатия, имеющих общий центр и общую ось вращения. Каждый слой однороден (плотность его б'= = const), IIO от слоя к слою плотность может меняться по произвольному закону, т. е.
6'=/(г'),
■где г' расстояние слоя от центра планеты.
Сжатие а' внутренних слоев меняется непрерывно, оставаясь малой величиной, второй и высшими степенями которой можно пренебречь. Будем считать, что сжатие а' каждого внутреннего слоя также является некоторой функцией г'-.
а' = ф(г').
При этих предположениях Клёро вывел уравнение, которое выражает собой условие равновесия любого слоя неоднородной жидкой планеты, находящейся в жестком вращении. Это уравнение получено Клеро с точностью до малых величин первого порядка и называется «первичным уравнением» Клеро.
После некоторых преобразований применим «первичное уравнение» Клеро к внешней поверхности плапеты, т. с. напишем условие равновесия жидкой массы в целом:
(“•--г)-т шл-
где а0 сжатие внешней поверхности планеты, находящейся в состоянии гидростатического равновесия; 9 отношение центробежной силы на экваторе к силе тяжести, q = 1/288; Ьт средняя плотность плапеты; А коэффициент, зависящий от внутреннего распределения плотностей слоев б' и их сжатий а',
я
Л = ^6' jL(r*a')dr'.
Вычислим гидростатическое сжатие а0 для случая однородной Земли и для случая, когда неоднородность доведена до крайнего предела и вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Первый слу- иай был рассмотрен Ньютоном, второй Гюйгенсом.
В первом случае
я
И по (II.2.41) получаем
«о = -|-9 = 1 : 231.
Определим плотность во втором случае. Для этого выделим около центра сферу сколь угодно малого радиуса г и будем считать, что вся масса Земли М сосредоточена внутри этой сферы. Тогда плотпость в этой сфере можно считать величиной постоянной и равной
б, = _зм
МгШ
Тогда И
При г -*■ 0 последнее выражение обращается в нуль и пз (И.2.41) получаем
|1:577.
Истинное сжатие Земли находится между этими крайними пределами; оно ближе к ньютоновскому пределу потому, что строение Земли гораздо ближе к случаю, рассмотренному Ньютоном, чем к случаю Гюйгенса.
Знание истинного закона 6' = / (г') позволило бы вычислить истинное гидростатическое сжатие а'. Но этот закон неизвестен. Приходится вычислять гидростатическое сжатие без знания закона изменения плотности. В этом случае необходимо использовать связь между гидростатическим сжатием а0 и некоторым коэффициентом
Согласно определению Радо,
d In а г da
Ч = -
d In г а dr Связь между а0 и г|0 выражается формулой
59
В свою очередь параметр г)0 связан о моментом Иперции С Земли относительно полярной оси соотношением
(l §-/'1+т|о). (П.2.43)
Ма*
Если известна величина С/Маг, то, используя (II.2.43) совместно с (II.2.42), можно найти сжатие, которое имела бы Земля, находящаяся в состоянии гидростатического равновесия. Величину С/Ма2 находят из соотношения
Ма^ = ~ТГ' (II.2.44)
где /j вторая зональная гармоника потенциала силы притяжения Земли, определяемая из наблюдений искусственных спутников Земли,
г С Лт
2~ Маг >
Н постоянная прецессии, иначе называемая динамическим сжатием Земли и определяемая из астрономических наблюдений,
fj С Ат С
Приняв Я = 0,00327237, /2 = 1082,86, получим по (II.2.44) ° 0,3309.
Ма*
Если с этим значением величины CjMa1 по формулам (II.2.43) и (II.2.42) вычислить гидростатическое сжатие а0, то получим
а0= 1:299,8.
Отличие фактического сжатия а от значепия а0 представляет собой крупную аномальную особенность гравитационного ноля Земли.
Г. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ
Современная теория фигуры Земли получила строгое решение в трудах советских ученых, главным образом М. С. Молоденского.
Проблема определения фигуры Земли в ее современной постановке заключается в следующем. Задается фигура относимости, относительно которой определяются координаты точек земной поверхности. При изучении фигуры Земли в целом за такую фигуру относимости принимается общий земпой эллипсоид. Его параметры (а, а, М, ш) должны быть известны. Предполагается, ято проведена мировая гравиметрическая съемка и, следовательно, значение силы тяжести известно в каждой точке физической поверхности Земли. Кроме того, для каждой точки известны ее приближенные геодезические координаты (координаты, данпые; в местной системе, относительно референц-эллипсоида) и прира-
цепне потенциала относительно исходного пункта (одного н того для всей Земля). Требуется определить геодезические координаты произвольной точки М земной поверхности (см. рис. 11.2.4) относительно общего земного эллипсоида: шпроту В, долготу L и иысоту Я. Используя приближенные значения этих координат ц 77, к Я папишем соотношения
вм=вм +&В,
Ям = Ям + бЯ.
Таким образом, задача сводится к нахождению небольших поправок SB, 6L, бЯ. Для этого необходимо определить возмущающий потенциал Т.
Возмущающий потенциал паходится в результате решения третьей краевой задачи теории потенциала. В точках физической поверхности Земли, по исследованиям М. С. Молоденского, возмущающий потенциал должен удовлетворять условию: '
где gM наблюденное зиачепие силы тяжести в точке М (см. рис.
Однако при решении этой задачи возпикает принципиальная трудность.
В обычных краевых задачах поверхность, на которой дается то или другое условие, должна быть известна. В данном случае граничной поверхностью является физическая поверхность Земли, и она сама подлежит определепию. Задачу приходится решать методом приближений.
Вместо неизвестной поверхности Земли М. С. Молоденский предложил попользовать так называемую поверхность Земли в первом приближении, к которой и относят краевое условно, составленное для физической поверхности Земли.
Поверхность Земли в первом приближении строят путем откладывания нормальных высот Ю от поверхности Рис. JI.2.6.
референц-эллипсоида.
, Решение в первом приближении, полученное М, С. Молоденским для общего эемпого эллипсоида, имеет вид
т = ^ Jjte-Y + WW'fo, (II.2.45)
где интеграл берется по поверхности всей Земли, принимаемой за сферу, (gy) аномалия в свободном воздухе, гр дуга большого круга от текущей точки К до данной точки М, в которой определяется возмущающий потенциал Т (рис. II.2.С), S Сф) функция Стокса,
\l) ib
S 0|>) = cosec 6 sin +1 5 cos ф 3 cosг|> X
Поправка 6g в аномалию в свободном воздухе вычисляется по формуле
X In^sin-|- + sin2-|.^.
(II.2.46)
где h = НУЯ}1 разность нормальных высот текущей К и данной М точек;
Х(0) вспомогательная функция
Если в (II.2.32) подставить значение возмущающего потенциала (II.2.45), то получим формулу М. С. Молодепского (первого приближения) для высоты квазигеоида (аномалии высоты):
(II.2.47)
При помощи соотношения (II.2.30) получим формулы М. С. Молодепского (первого приближения) для составляющих гравиметрического уклонения отвеса
(II.2.48)
ш
о
(II.2.49)
где А азимут направления на текущую точку К (см. рис. II.2.6). 288
Учитывая, что методика вычислений по формулам строгой теории для реальных условий пока недостаточно отработана, на практике широкое применение нашли формулы Стокса п Венинг- Мейнеса, которые можно рассматривать в качестве нулевого приближения к формулам М. С. Молоденского.
Формула Стокса для вычисления высоты квазигеонда (аномалии высоты) имеет вид
£=4^- (II.2.50)
Формулы Венинг-Мейнеса для составляющих гравиметрического уклонения отвеса обычно представляются в виде
1= - “2“ j ^ (ву) Q №)cos А dA *1>
(II.2.51)
О О
Я 2Я
Г) = ^ ^ (g y)Q (ф) sin A A A
где
QW= 2062y65-c-°s2-|- [^cosec-|- + 12sm 32 sin2-^|--|-
1 + sinT Всшшг-Мсйнеса.
Одпако формулы нулевого приближения дают удовлетворительную точность только для пунктов, расположенных на равнине. Так, например, уклонения отвеса по формулам нулевого приближения в равнинных районах получаются со средней квадратической ошибкой ± 0,30,5", тогда как в горах с ошибкой ± 1,01,4".
Чтобы получить в горпых районах такую же точность, как к в равнинных, необходимо тем или иным способом исключить из аномалий силы тяжести влияние топографических масс и все вычисления (высот квазигеоида и уклонений отвеса) производить в поле остаточных аномалий. Затем необходимо восстановить влияние исключенных масс непосредственно на высоты квазигеоида и уклонения отвеса. Таким образом, высоты квазигеоида и уклонения отвеса будут находиться как сумма двух слагаемых влияния топографических масс и влияния аномальных масс, которое вычис- ляотг'я по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса. Наиболее удобны
для вычислений формулы, предложенные Л. П. Пеллиненом 16, которые и приводятся ниже:
П т- Р+2я/бЯ?]5 (t) йю + ДСр, (11.2.52)
(I)
2 Я Л
О о
(11.2.53)
2Л л
r\ = J [(g Y)h. т. p + 2n^vJ<?(^)sin/lii4 d\l)+Arip,
о о
(11.2.54)
где приняты следующие обозначения:
S (-ф) и Q (i|i) функции Стокса и Венинг-Мейнеса.
Стоящие в квадратных скобках выражения представляют собой аномалии Фая, вычисляемые методом косвенной интерполяции яерез аномалии в неполной топографической редукции. Высоты квазигеоида и уклонения отвеса, вычисленные при помощи аномалий Фая, соответствуют конденсации топографических масс на поверхность Н = Щ = const, проходящую яерез исследуемую точку. Д£р, Д £р и Дг|р поправки в высоту квазигеоида и в составляющие уклонения отвеса, являющиеся разностью влияний топографических масс на £, £ и т] при их действительном расположении и конденсации на поверхности Я = Щ = const. Эти поправки вычисляются по формулам
Д£р |
/6Я2 Y |
•И(“ |
г Го |
h го |
■) do), |
(II.2.55) |
II а < |
р'/йД4 |
М ,г 1 |
м |
-L) |
cos A rfo), |
(11.2.56) |
Y |
JJ го ! ю |
^ Г« |
Г ) |
|||
Дт]р = |
р'/бЯ2 У |
^ 'о |
V) |
sin A da>, |
(II.2.57) |
0)
где Ь плотность топографических масс, h = Я?Щ, г расстояние между исследуемой точкой и текущей точкой физической поверхности, г0 расстояние между их проекциями на отсчетную поверхность.
По оценкам Л. П. Пеллинена, плен Д£р не превышает 0,5 м, величины Д £р и Дт)р в горах могут достигать нескольких секупд. Для вычислений поправок Д £р и Дг|р имеются удобные таблицы, составленные Е. М, Орловой. 17
После нахождения величин £, £ и т] могут быть определены поправки в приближенные геодезические координаты: №, bL и 6Я.
Исправляя полученными поправками 6В, 6L и 6 Я приближенные геодезические координаты, получаем точные геодезические координаты В, L, Я, которые определяют положение любого пункта триангуляции в единой мировой системе.
В самом деле, если от поверхности общего земного эллипсоида по нормали в каком-либо пункте М (направление нормали определяется координатами В м и Ьм) отложить Геодезическую высоту Нм, то положение пункта М относительно общего земного эллипсоида будет определено. Бели этот процесс продолжить для всех пунктов мировой триангуляции, то тем самым будет определено положение всех пунктов относительно общего земного эллипсоида.
Д. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ОТНОСИТЕЛЬНО РЕФЕРЕНЦ-ЭЛЛИПСОИДА
Прп изучении отдельных частей (районов) Земли в масштабе отдельного государства, группы государств или континента в качестве координатной поверхности принимается поверхность референц-эллипсоида. Референц-эллипсоидом называется эллипсоид вращения известных размеров и известным образом ориентированный в теле Земли.
Геодезические координаты относительно референц-эллипсоида любого пункта триангуляции вычисляются по формулам
B = Bt + AB,
L - + AL,
Я = Ло + ДЯ,
где В L0, Я о геодезические координаты исходного пункта триангуляции, ДВ, AL приращения широты и долготы, получаемые в результате решения прямой геодезической задачи на эллипсоиде, АН приращение геодезической высоты относительно р еференц-э л липсоида.
АН может быть представлена в виде
ДЯ = ДЯ7+Д£,
где МП приращение нормальной высоты, Д£ приращение высоты кпазигеоида относительно референц-эллипсоида.
Приращения нормальных высот находятся по результатам геометрического нивелирования, сопровождаемого измерениями силы тяжести на реперах. Превышения квазигеоида Д£ определяются методом астрономо-гравиметрияеского нивелирования,
Прежде чем решать прямо геодезическую задачу, необходимо все измеренные на физической поверхности Земли направления и базисы редуцировать на поверхность референц-эллипсоида. Для этого необходимо знать астрономо-геодезическое уклонение отвеса в каждом пункте триангуляции (угол между направлением отвесной линии и нормалью к референц-зллипсоиду), а также высоту Н пункта над поверхностью референц-эллипсоида. Компоненты |аг, Паг астрономо-геодезического уклонения отвеса в плоскостях меридиана и первого вертикала вычисляют по формулам
£аг = Ф-В_ \ (II.2.58) т)аг = (А, L)cosB )
где <р и А, астрономические координаты данного пункта.
Уклонение отвеса в плоскости, имеющей азимут А, определяется формулой
flap = £arCOS A + TlaPsin.4. (II.2.59)
Однако астрономо-геодезпческие уклонения отвеса по формулам (II.2.58) могут быть вычислены не на каждом пункте триангуляции, а только на тех, в которых определены астрономические координаты ф и X. В государственной геодезической сети триангуляции 1 класса СССР такие пункты находятся друг от друга на расстояниях порядка 70100 км. Во всех остальных пунктах астро- номо-геодезические уклонения отвеса вычисляют методом интерполяции, используя при этом гравиметрические уклонения отвеса, определяемые яерез аномалии силы тяжести.
Таким образом, чтобы вычислить приращения координат (ДВ, ДL, АН), необходимо наличие гравиметрической съемки, по не мировой (как в случае определения общей фигуры Земли), а только местной (т. е. в пределах некоторой ограниченной области).
Местная гравиметрическая съемка проводится для решения следующих задач:
Рабочая формула для вычисления разностей нормальных высот имеет вид
дh I \h Ус Ун //иэм
ЛПАВ^ ^ йпАВ лср .
где ДН\в = НЪ-Н\\ Д,'АВ=//ИЭМ-ЯИЗМ - измеренное превы-
„ , (s-y)A+{g-y)B
шение репера В над репером A, (g y)m = ^ ;
у в и уЛ значения нормальной силы тяжести в точках В и А,
тт U3U , „ИЗМ
цти _ 11 в т да среднее значение измерений высоты, окру-
ср 2
гленное до целого метра (измеренная высота определяется как сумма измеренных превышений), ут приближенное значение нормальной силы тяжести, принимаемое постоянным для всей территории страны и равным 980 ООО мгал.
Формула, определяющая превышения квазигеоида между пунктами А а В, имеет вид
в в
-(£B-SA) = -AU=J Oar«H+J (II.2.60)
А А
Здесь интегрирование производится вдоль эвена триангуляции между пунктами А и В, (g у) аномалия в свободном воздухе, i')ar астрономо-геодезическое уклонение отвеса в направлении линии АВ, вычисляемое по формуле (II.2.59).
Формула (II.2.60) принципиально решает вопрос об определении превышений квазигеоида. Первый член правой части является главным, второй же малой поправкой за нспараллельность уровенных поверхностей. Главную трудность при вычислении пре-
в
вышений квазигеоида представляет интеграл j Oardi. Для его вы-
А
яислепия требуется знать в каждой точке линии АВ нивелирования астрономо-геодезическпе уклонения отвеса.
При астрономическом нивелировании предполагается липей- пое изменение составляющей уклонения отвеса г^аг между пунктами триангуляции, в которых произведены астрономические определения. В таком случае
jflar dl=l($£. + ©£),
.4
где
Поскольку в действительности уклонения отвеса меняются по более сложному закону, астрономическое нивелирование приводит к неудовлетворительным результатам.
В Советском Союзе применяется метод астрономо-гравимет- рпческого нивелирования, разработанный М. С. Молоденским. В качестве исходных данных для определения превышения квазигеоида между пунктами триангуляции А п В необходимо иметь значения т]^, r)fr и гравиметрическую съемку некоторой области 2, внутри которой находится звено триангуляции АВ.
св-сА=-1 <&+<18] 1+ \[1В (2)-?а (2)]+
+[МЛ- 2)]*) (п.2.61)
где я астрономо-геодезические уклонения отвеса в астровом ических пунктах А п В в направлении В А; I половина расстояния между пунктами А и В', и (А, J) в О (В, 2) гравиметрические уклонеппя отвеса в пунктах А в В, обусловленные влиянием апомалий силы тяжести области 2; (2), £А(2) высоты квазигеоида в пунктах В и А, обусловленные влиянием той же области 2, вычисленные по формуле Стокса; 2 область учитываемых аномалий, радиус которой принимается равным 341.
Первый член формулы (11.2.61) представляет собой результат астрономического нивелироваиня, второй член гравиметрическую поправку к астрономическому нивелированию, обусловленную нелинейностью изменения уклонений отвеса между астрономическими пунктами.
Если гравиметрические уклонения отвеса, входящие в формулу (II.2.61), вычислить по формуле Венинг-Мейнеса, а высоты квазигеоида по формуле Стокса, то зону интегрирования необходимо Припять общей для обоих пунктов. Это условие соблюдается при применении эллиптической палетки для вычисления гравиметрической поправки.
В статье О. М. Остача * было показано, что можпо вычислять гравиметрическую поправку, учитывая аномалии силы тяжести в круговых областях радиуса RB, равного 341, вокруг каждого иа астропунктов. В этом случае вместо £ (2) следует вычислять Д£ (2) по формуле
2Л ф0
Д£(2) = 1^Г^ j (*-Y)[$W-S(1>»)]sini|>A4A|>, (II.2.62)
о о
где S (г[>) функция Стокса, S (г|)0) эпачепие этой функции при ф = -ф0.
Формулу (II.2.61) удобнее представить в виде
;в-СА = -{[<£-в(л, 2)] + [0aflr-tf(tf, S)]IJ+
+дев(2)-дсл(2)« (п.2.63)
где 0 (А, 2) и О (В, 2) гравиметрические уклонення отвеса, вычисленные с учетом апомалий в пределах зоны радиуса \|>о вокруг каждого астропункта, величины Д£й (2) и Д£А (2) вычисляются с учетом аномалий той же зоны, радиус зоны интегрирования i|j0 равен примерно 23?.
£В_£А = -0",00449[(ДГа + Д£в) ДЯ' + ^Ла + ^в)009 Ai'] +
+д£в(2)+а^а (2)-
где ДВ' = ВвВА\М = LbLa (в минутах дуги); Вт= 1/2 (В А+ + Вв)\ Д f,"A, Д Дт|"4, Дг|дразности слагающих астрономогеодезических и гравиметрических уклонений отвеса в меридиане и первом вертикале для астропупктов А а В, выраженные в секундах; Д?д I Д^ необходимо предварительно исправить поправкой за искривление силовой линии нормального поля
Д| = ф В - 0,"171 Ну sin 2В
По разностям уклонений отвеса между соседними астрономическими пунктами вычисляют т~А^ среднюю квадратическую ошибку вывода разности астрономо-геодезических и гравиметрических уклонений отвеса. Затем находят так называемую километровую ошибку астрономо-гравиметричеекого нивелирования
е" = тд#^2г>
где 21 среднее расстояние между астрономическими пунктами.
Для обеспечения необходимой точности астрономо-гравимет- рпческого нивелирования необходимо, чтобы соблюдалось условие
е"<5.
Для вычисления гравиметрических уклонений отвеса, как и высот квазигеоида, применяются круговые палетки, рассчитанные В. Ф. Еремеевым. Палетки изготовляют на прозрачной основе, на которую наносят кольцевые зоны, разбитые радиусами, проведенными через равные промежутки, на криволинейные трапеции. Численное интегрирование при помощи палеток заключается в том, что, совместив центр палетки с определяемым пунктом и ориентируя ее по меридиану, определяют среднее по площади значение аномалии в свободном воздухе для каждого отделения палетки и умножают на коэффициент, соответствующий влиянию этого отделения на величину £ п т].
Рабочие формулы имеют вид
I (2)=2 2 Y)<ftaifc>
ч (2)=S 2 <*“ ?)/*<*.■
д£(2)=22
где 2 область учитываемых аномалий, i .число кольцевых зон, на которые разбита область 2, А: число трапеций в зоне, (&У)ik среднее значение аномалии в свободном воздухе, полученное методом косвенной интерполяции, в трапеции ik, aik, а{', Ьц, соответствующие коэффициенты.
Если принять, нто радиус области 2 ф0 равен примерно 23°, то это будет соответствовать учету тринадцати зон палеток Еремеева (радиус зовы XIII равен 305,4 км).
Радиусы концентрических зоп приведены в табл. II.2.3.
Таблица II.2.3
№ ЗОН |
Радиусы зон, км |
Jsfc ЗОН |
Радиусы зоп, км |
5,0 |
|||
I |
7,3 |
VIII |
102,6 |
II |
10,7 |
IX |
128,0 |
III |
15,7 |
X |
159,6 |
IV |
22,8 |
XI |
198,6 |
V |
33,3 |
XII |
246,7 |
VI |
48,5 |
XIII |
305,4 |
VII |
70,6 |
В настоящее время влияние аои VIIXIII, т. е. от 48,5 до 305,4 км, вычисляется на ЭВМ по аномалиям в свободном воздухе, осредненным для элементарных площадок размером 10' X 15'.
Влияние зон от 0 до 48,5 км вычисляют вручную, проводя численное интегрирование по гравиметрическим и гипсометрическим картам с помощью палетки. В этой палетке имеется шесть кольцевых зоп (зоны IVI) равного влияния, разделенных на 16 секторов.
Влияние аномалий этих эон на величины Д£ (2), | (2), т) (2) подсчитывают по формуле
ie 10
Д?,_у1 = 0,00014 2 («-V)i, *+0,00021 2 (вY)us * + к-1 к=1
1в 1в
+0,00030 2 U-Y)ni, ft+0.00044 2 (ff Y)iv. *+ ft-i ft=i
ie ie
+0.00062 2 (ff-Y)v. ft + 0,00085 2 (g-Y)vi, k. fe=l h=l
если аномалии даны в миллигалах, то Д£ (2) получается в метрах.
VI ie
Si-vi = 0".005 2 2 (S-y)ik cos Ак, i=i k=l
VI ie
Ii-Vi = 0*,005 2 2 sin Ah,
1=1 h-1
где
Аь = -Ц-\ к= 1, 2, 3, . . ., 16; t = I, II, III, IV, V, VI.
Наибольшие трудности вызывает учет влияния центральной аоны радиусом 5 км. В зависимости от точности имеющейся гравиметрической съемки и сложности рельефа в окрестностях астропункта применяют палетки с более или менее подробной разбивкой.
Влияние нулевой зоны (радиуса гф) на уклонения отвеса подсчитывают по аномалиям и высотам, снятым в 8 точках, расположенных на окружности произвольно выбранного радиуса р0, н 8 точках на окружности радиуса гср = (р0 + г0) /2. При выводе формулы для вычисления влияния нулевой зоны радиуса г„ на уклонения отвеса в интервале от 0 до р0 применен метод градиентов, в интервале от р0 до г0 формула .численного интегрирования Гаусса с одной ординатой:
где Agt (pt) аномалия в свободном воздухе в точке с номером к на окружности радиуса р0; Agk (гср) аномалия в аналогичной тояке на окружности радиуса гср = (рв + г#) /2; Л* = лк/4, к = 1,
Таблица II.2.4
Зона |
Радиус зон, нм |
5,000 |
|
А |
|
3,419 |
|
В |
|
2,338 |
|
С |
|
1,599 |
|
D |
|
1,094 |
Рассмотрим слуяай, когда в центральной воне (радиусом 5 км) оалетки выделены 4 кольцевые аоны (Л, В, С и D) такого же влияния на уклонения отвеса, как зоны IVI. Радиусы их даны в табл. II.2.4.
В этом случае имеем радиус нулевой зоны r9 = 1,094 км, р0 = = 0,300 км, = 0,697 км,
Влияние нулевой зоны подсчитывают по формуле
(Н =-0”,02632 2 Agk (Ро> (C0S Ак)~ Wo-f0 Ism Ak)
-O',02998^ Agk (rcp) • (11-2.64)
Если центральную 8ону разбить на другое нисло кольцевых зон (3, 2 или 1), то коэффициенты формулы (II.2.64) можно сохранить при соответствующем подборе значения р0, а именно: поставить условие р0 = 0,2742 г0. Радиус нулевой зоны г„ всегда равен внутреннему радиусу последней кольцевой воны. Так, если центральная вона разбита только на три зоны (А, В и С) г0 = 1,599 км, если на две (А и В), тог* = 2,338 км и если на одну (А), то г0 = 3,419 км.
Влияние на А% (2) нулевой зоны радиуса г0, где .численное интегрирование проводится по точкам, зависит от ее радиуса г,, а также от выбора радиуса р0:
в а
д£<,-г.=8* 2л^ (ро)+^г- 2**(гср)- /1-1 к-1
где Agk (ро) аномалия в свободном воздухе в тояке с номером к, расположенной на окружности радиуса р»; Agk (гср) то же, на окружности радиуса гср = (р0 + г0) /2.
Так, для палетки с зонами А, В, С, D г0 = 1,094 км, р0 = = 0,300 км, тСр = 0,697 км,
8 в
Д£0-Л. = 0.00004 2 Agk ([to)+ 0.00010 £ Agk (rcp). k=i it^i
В 1937 г. М. С. Молоденский разработал метод, который позволяет па основании сравнительно редкой сети астрономически! пунктов ц местной гравиметрической съемки определить астрономо- геодезические уклонения отвеса на каждом пункте триангуляции»'
Если радиус области 2 учитываемых аномалий примерно в 1,5
Рис. II.2.7
|аг I (2) = аф + с>
Tlar-'n(2) = a(P + PX + Y-
где ф и Я координаты точки, находящейся внутри области a; а, 6, с, а,
Р, y коэффициенты.
Коэффициенты для данной области
о находят по способу наименьших квадратов при наличии не менее трех пунктов, не лежащих на одной прямой, для которых известны и астрономо-геодезические, и гравиметрические уклонения отвеса, поскольку каждый такой пункт, например А, позволяет составить уравнения типа
афА + Ь>„Л+с = |£ %А (2),
афА+ра.Л + у = т]£-ПА (2).
где индексом А обозначены величины, относящиеся к пункту А.
Если для данной области а известны коэффициенты а, Ь, с, а, Р, V, то для любого пункта этой области (например К), вычислив гравиметрическио уклонения отвеса (2) и т)К(2), можно получить интерполированные уклонения отвеса по формулам
бйг = ЕК (2)+ «РК+***+*, •п^нт=11к (2) + а<Рк+Р^к+У-
С помощью интерполированных уклонений отвеса можно определить геодезические координаты пунктов, не входящих в сеть триангуляции, при условии, ято на этих пунктах сделаны астрономические определения:
В = (f £инт,
L = Я t]hht sec В.
[1.2.27. Классификация методов
Для определения силы тяжести в принципе могут быть использованы различные физические явления, которые зависят от силы тяжести: падение тел, качание маятника, растяжение пружины под действием груза, поднятие жидкости в капиллярном сосуде, колебания струны п др.
Известные методы измерений силы тяжести можно разделить на две группы: динамические и статические. При динамических методах наблюдается движение тела, а непосредственно измеряемой величиной является промежуток времени, в течение которого тело перемещается из одного фиксированного положения в другое.
При статических методах наблюдается положение равновесия тела, при этом непосредственно измеряемой величиной является линейное или угловое смещение тела при переходе из одного ноло- жешш равновесия в другое под влиянием измепепия силы тяжести.
Определения силы тяжести могут быть абсолютными и относительными.
При абсолютных определениях измеряют полпое значение силы тяжести g в каком-либо пункте.
При относительных определениях измеряется разность Дg значений силы тяжести между двумя пунктами.
К динамическим методам относятся:
К статическим методам можно отнести:
Динамические методы применяются как при абсолютных, так и при относительных определениях силы тяжести. Статические методы могут применяться только для относительных определений.
При абсолютных определениях силы тяжести наибольшего внимания заслуживают следующие методы: баллистические, т. е. методы наблюдений свободно падающих тел, п маятниковые. При маятниковых наблюдениях в настоящее время обычно используются оборотные маятники, но иногда находят применение (Фин- пянпия) и нитяные маятники, близкие по своей форме к математическому маятнику.
Основным критерием при оценке качества того или иного метода является минимальное количество источников систематических ошибок и ясность всех физических явлений, происходящих во время наблюдений. В этом отношении баллистические методы имеют преимущество перед другими, так как падающее тело не имеет связи с другими телами и его движение совершается практически под действием одной лишь силы земного притяжения.
В основе баллистических методов, применяемых для абсолютных определений силы тяжести g, лежит известный закон прямолинейного равномерно ускоренного движения свободно падающего тела
h = h0 + v0t + j£-, (II.2.65)
где ha, v0 путь и скорость тела в начале счета времени, k путь, пройденный телом за промежуток времепи t\ g ускорение силы тяжести.
Регистрируя на шкале значения отрезков пути hi, соответствующие моментам времени U, можно составить систему уравнений вида (II.2.65), решение которой по способу наименьших квадратов даст искомое неизвестное g.
Современные достижения оптико-электропной техники позволяют получить высокую относительную точность (порядка 10“ ®) при измерениях малых интервалов пути и времени.
Среди баллистических методов, получивших практическое применение, могут быть названы метод совмещенного свободного падения тела в вакуумной камере с несвободным падением самой камеры и метод свободного падения тела в вакууме. Наилучшие результаты за последние годы (19671971 гг.) были достигнуты в Международном бюро мер и весов (Севр, Франция) под руководством проф. А. Сакума. Здесь для регистрации свободного движения использовался лазерный интерферометр. Подбрасываемое тело представляло собой трехгранную призму (триэдр), имеющую массу 430 г и высоту 10 см. Эта призма, служившая зеркалом интерферометра, подбрасывалась катапультой вверх па высоту около
При измерениях фиксировались два положения призмы в каждой из двух горизонтальных плоскостей S, и S,2 и соответствующие им два интервала времени Г, 0,2 сек и Т2 ^ 0,6 сек. После внесения в результаты измерений необходимых поправок значение силы тяжести вычислялось по формуле
£ уа Т1 '
1 2 1 1
Метод, примененный проф. А. Сакума, позволяет получить более высокую точность по сравнению с методом наблюдений просто свободного падения тела при одинаковой высоте поднятия тела, так как симметричные наблюдения позволяют исключить значительную часть систематических ошибок.
Точность определений силы тяжести, выполненных в Севре многократно в период 19691971 гг., характеризуется ошибками в пределах ± 2± 10 ыкн-гад(0,2l,0-10'8g), а изменения абсолютного значения g аа тот же период времени оказались в диапазоне ± 0,02 мгал (2-i0_eg). Предполагается, ято в ближайшие годы подобные приборы, установленные в нескольких пунктах мировой сети, позволят выполнить многие важные исследования по нзуяению деформаций фигуры Земли н земной коры, вековых и сезонных изменений силы тяжести, вариаций силы тяжестп вследствие движения полюсов Земли и многие другие.
При определении силы тяжести при помощи маятниковых наблюдений используется формула Гюйгепса для случая бееко- пеяно малых колебаний, устанавливающая зависимость между периодом S колебания маятника, его длиной I п ускорением силы тяжести g:
(II.2.66)
Маятник, применяемый при гравиметрических наблюдениях, представляет собой твердое тело, совершающее периодические колебания около горизонтальной оси. Если считать, ято ось качания маятника неподвижна п колебания совершаются исключительно под влиянием силы тяжести, то на основании формулы (II.2.66) полное значение силы тяжести в данном пункте
Для этого необходимо определить из наблюдений период S колебания маятника и измерить его длину I.
Длиной физического маятника I (называемой приведенной длиной физического маятника) называется расстояние между осью подвеса и центром качания. Эти две точки называются взаимными. Для отыскания центра качания применяются так называемые оборотные маятники. Оборотный маятник имеет две параллельные оси качаний, проходящие через взаимные точки. Эти оси являются ребрами призм, на которых поочередно качается оборотный маятник. Если при качании маятника на каждой из призм периоды окажутся одинаковыми, то приведенная длина маятника получается путем непосредственного измерения расстояния между ребрами призм.
При определении силы тяжестп методом паблюдеппй оборотных маятников в наблюденное значение силы тяжести g приходится вносить целый ряд поправок для исключения различных погрешностей. Важнейшими источниками погрешностей являются: 1) колебания температуры во время наблюдений, 2) удлинение стержня маятника при помещении его в вакуум, 3) сокачание штатива,
Теоретические и экспериментальные исследования по проблеме абсолютных определений силы тяжести ведутся во многих странах мира (СССР, США, Франции, ГДР, Японии, Италии, Англии, ФРГ, Швеции, Финляндии, Австралии и др.). В настоящее время исходным пунктом для гравиметрических измерений во всем мире является Потсдам, где в начале XX века под руководством Гельмерта было выполнено лучшее для того времени абсолютное определение силы тяжести.
XIV Генеральная Ассамблея Международного Геодезического и Геофизического Союза (Люцерн, 1967 г.) рекомендовала принимать уточненное значение абсолютной силы тяжести для Потсдама, равное 981,260 га л вместо прежнего значения 981,274 гал.
В результате совместного уравнивания лучших абсолютных определений силы тяжести, выполненных баллистическим методом, маятниковых и гравиметровых наблюдений (в общей сложности порядка 25 ООО) создана мировая опорная сеть, состоящая из 1997 пунктов. Сила тяжести в любом из этих пунктов определена с ошибкой менее 0,2 мгал. Эта опорная сеть на XV Генеральной ассамблее МГГС (Москва, 1971 г.) была принята в качестве Международной опорной гравиметрической сети 1971 г. (IGSN-71) и рекомендована для дальнейшего развития и совершенствования.
Относительные определения силы тяжести могут производиться как при помощи маятников, так и при помощи специальных приборов, предназначенных для относительных определений силы тяжести, называемых гравиметрами. Существует очень большое число различных типов этих приборов. При работе с одними из них могут применяться статические способы наблюдений, тогда как другие сконструированы так, что возможно применение только динамических способов. Большинство гравиметров основано на принципе компенсации силы тяжести противодействующей упругой силой и по существу могут рассматриваться как высокочувствительные пружинные весы. Приборы этого типа получили название статических гравиметров.
В статических гравиметрах (чаще называемых просто гравиметрами) в качестве противодействующей силы используется упругая сила либо гааа, либо пружины или крутильной нити. Соответственно этому гравиметры подразделяются на газовые и механические. Последние в зависимости от материала, из которого изготовлена упругая система, подразделяются на металлические и кварцевые.
По характеру действия упругой системы различают гравиметры с поступательным и с вращательным перемещением массы.
Гравиметры с вращательным перемещением массы бывают астазированные и неастазироваиные. Дегазированной называется упругая система, находящаяся в положении равновесия, близком к неустойчивому. При астазпрованцн повышается чувствительность упругой системы, благодаря чему малые изменения силы тяжести вызывают сравнительно больший отклонения рычага от положения равновесия.
По способу регистрации деформации упругой системы гравиметры бывают: 1) с оптическим устройством; 2) с электроемкостным устройством, в котором перемещения упругой системы измеряются изменениями емкости конденсатора; 3) с фотоэлектрическим устройством, основанным на использовании электрического тока в фотоэлементах.
Большинство современных гравиметров относится к группе астазированных с большой и нелинейно изменяющейся чувствительностью упругих систем. Для регистрации показаний этих приборов применяется так называемый нулевой метод, при котором непосредственно измеряемой величиной является вспомогательное усилие или механическое перемещение, прилагаемое к упругой системе, компенсирующее изменение веса постоянной массы гравиметра. При нулевом методе регистрации упругая система при помощи специального компенсационного устройства на всех пунктах приводится в постоянное «нулевое» (или исходное) положение. Компенсационное устройство состоит обычно из вертикально подвешенной винтовой пружины с очень малой упругой постоянной. Натяжение этой пружины определяется положением измерительного винта, снабженного крутильной головкой с делениями; эти деления соответствуют изменениям силы тяжести.
Применение в гравиметрах пружин или иных упругих тел основано на законе Гука, по которому деформация упругого тела пропорциональна приложенной силе. Однако упругие тела подчиняются закону Гука лишь при сравнительно малых напряжениях. Известно, ято существует некоторый предел, называемый пределом упругости, для нагрузки упругого тела, эа которым появляется так называемая остаточная (в отличие от упругой, подчиняющейся закону Гука) деформация, приводящая к нарушению закона Гука. Путем специального режима термической и механической обработки материала предел упругости можно повысить в несколько раз. Так, применение плавленого кварца и элинвара особого сплава стали, никеля и хрома позволили значительно повысить стабильность упругих систем. Однако и эти материалы не в полной мере удовлетворяют требованиям постоянства упругих свойств, ято приводит к явлению, которое носит название смещения нульнункта (drift). Вследствие этого показания гравиметра, находящегося в одном и том же пункте, непрерывно меняются, хотя сила тяжести и остается постоянной. Работать с таким прибором можно только при условии, ято изменения нульнункта невелики и пропорциональны во времени, В таком случае поправки, вводимые в отсчеты гравиметра, за изменение нульнункта будут достаточно надежны. Для ослабления ошибок за нелинейное изменение нульпупкта полевые рейсы с гравиметрами весьма непродолжительны и имеют обычно длительность не более 68 часов.
Принцип относительных маятниковых определений основывается на предположении, ято длина маятника I при наблюдениях па исходном и на определяемом пунктах остается неизменной.
В этом случае
где gt и Sj значения силы тяжести и периода колебания маятника в исходном пункте; ДS разиость периодов колебаний маятника между определяемым и исходным пунктами. Полагая приближенно = 980 гал и St = 0,5 сек, получим 2gJSl =
В Советском Союзе в этом отношении достигнуты большие успехи. В ЦНИИГАиК в последние годы систематически проводились работы по созданию высокоточного маятникового прибора, ято привело к созданию опытного вакуумного маятникового прибора, (ОВМ ЦНИИГАиК), по своим достоинствам превосходящего лучшие зарубежные образцы. Наблюдения с группой этих приборов позволили выполнить гравиметрические связи пунктов опорной гравиметрической сети Советского Союза и Международного гравиметрического полигона социалистических стран с ошибками в пределах ±0,050,06 мгал, а по уравнительным вычислениям замкнутой сети полигонов ошибка связей составила всего ±0,03 мгал 20. Эти результаты превышают современные достижения в других странах мира 21.
Преимущество относительного метода перед абсолютным состоит в том, что влияние некоторых ошибок можно в значительной степени ослабить или полностью исключить, если наблюдения во всех пунктах выполнять, по возможности, в одинаковых условиях.
Относительные определения силы тяжести в настоящее время могут производиться на суше, море и в воздухе. Измерение силы тяжести на море, и особенно в воздухе, представляет собой более сложную задачу, нем измерение на земле. Приходится учитывать особенности условий измерения силы тяжести, заключающиеся в том, что при морских (воздушных) наблюдениях гравиметрические приборы находятся на подвижном основании вследствие волнений моря (воздушной среды) и движений самого судна
(самолета). К ускорению силы тяжести g в этом случае добавляются переменные возмущающие ускорения.
Возмущающие ускорения раскладываются на вертикальную и горизонтальную составляющие. Если обозначить горизонтальные составляющие возмущающего ускорения через х а у, а вертикальную составляющую через г, то для результирующего ускорения G получим
c=[(g+«)*+^+»*]1/*=g[ i+2-L+,-ii + ^+-^],/2.
Считая, что возмущающие ускорения малы по сравпенпю с g, разложим полученное выражение в ряд, удерживая члены с квадратами возмущающих ускорений. Получим
2 е
Введя обозначение
x* + yz = h*
получим
G-g = 'i+ -!£-. (II.2.67)
В полученное выражение для поправки за возмущающие ускорения входят два члена: член первой степени, представляющий собой поправку за вертикальную составляющую ускорений, и член второго порядка поправка Броуна, учитывающая влияние горизонтальной составляющей ускорений. При вычислении поправки пользуются значениями осредненнымн в определенном интервале времепи, а результаты влияния вертикальных п горизонтальных ускорений учитываются совершенно раздельно. Среднее значение поправки, учитывающей влияние вертикальных ускорений за интервал времени Т, равно
Т
1 С " 20
= . (П.2.68)
о
При измерениях силы тяжести на море вертикальные ускорения судна могут резко изменяться, но в изменениях скорости г не наблюдается больших скачков, величина z меняется плавно, а потому числитель формулы (II.2.68) будет небольшим. Вся величина
поправки z будет малой в том случае, если интервал времени Т сделать достаточно большим по сравнению с периодом вертикальных ускорений.
На поверхности воды периоды вертикальных ускорений имеют значения порядка 610 сек, а под водой (в подводной лодке) достигают 90100 сек. Поэтому для одного измерения на надводном
судне продолжительность наблюдений достаточна в 5 минут, а на подводной лодке требуется около 30 мин.
Для вычисления поправки эа влияние горизонтальной составляющей ускорений принимается, ято горизонтальные ускорения подчиняются закону простой гармонической функции h= h0 sin toi. Тогда для среднего значения за один период колебаний получим
т
h2 = hjj j sin2 Ш dt =
о
Подставив это значение в (II.2.67), получим значение поправки за влияние горизонтальной составляющей ускорении (поправки Броуна) в пиде
Д*Б.= -§-. (11.2.69)
При определениях силы тяжести на подвижном основании необходимо либо вводить значепне поправки Броуна в измеренное значение силы тяжести G, для чего требуется измерять горизонтальные составляющие ускорений h, либо автоматически исключать это влияние при помощи специально разработапной аппаратуры.
Для более полного исключения влияния горизонтальных ускорений на показания гравиметрических приборов при наблюдениях на подвижном основании могут использоваться либо карданный подвес с очень большим периодом собственных колебаний, либо гиростабилизированная платформа.
При определении силы тяжести на движущемся объекте в результаты наблюдений необходимо вводить еще одну поправку так называемую поправку Этвеша. Необходимость введения этой иоправки вызывается тем обстоятельством, что при движении объекта, на котором установлен гравиметрический прибор, скорость движения объекта складывается с траекторной скоростью Земли, .что ведет к изменению центробежной силы, и следовательно, к изменению измеряемой силы тяжести.
Д?Е=(1 + ^-) (2о)Р sin ос cos ф + -р
В общем виде поправка за эффект Этвеша вычисляется по формуле:
(II.2.70)
где h высота объекта над уровнем моря; Яч радиус параллели на широте ф; ш угловая скорость вращения Земли; v линейная скорость движения объекта; а азимут движения.
Член hjRy в формуле (II.2.70) очень мал, при высотах h, равных 20 км, он имеет порядок сжатия Земли. Поэтому учитывать его необходимо лишь при больших значениях высоты полета h.
При измерениях силы тяжести на самолете центробежный член у2/Яч> поправки Этвеша должен обязательно учитываться. Если самолет летит со скоростью звука, то величина этого члена в поправке Этвеша превышает 1500 ыгал.
При определениях силы тяжести на море при малых скоростях судна центробежным членом поправки Этвеша обычно пренебрегают. В этом случае поправка за аффект Этвеша имеет вид
Л#Б= 2он> sin a cos ф.
Если скорость движения судна выражать в км/час, а поправку в миллигалах, то
ДgE = 4,05» sin a cos ф.
Знак поправки Этвеша определяется значением азимута движения а. При движении судна с запада на восток (0 << a <J 180°), т. е. в том же направлении, в каком вращается Земля, поправка положительна. При противоположном курсе (180s << а <5 360°) поправка отрицательна. Точность морских определений силы тяжести может быть оценена следующим образом: вблизи берегов эта величина составляет 13 мгал, а в открытом море 510 мгал. Следует отметить следующие обстоятельства, ограничивают^ точность гравиметрических определений на море: недостаточная надежность определения координат и скорости движения судна, а также вектора скорости морских течений.
Первые попытки измерения силы тяжести в воздухе были предприняты в СССР (1957 г.) и в США (1958 г.). В настоящее время ведутся экспериментальные исследования и разрабатываются вопросы совершенствования методики в области аэрогравиметричет ских измерений: точность определения силы тяжести в воздухе характеризуется величиной порядка 10 мгал.
Фирмой «Белл» (США) был создан лунный гравиметр, с помощью которого в 1969 г. было измерено абсолютное значение силы тяжести в месте посадки космического корабля «Аполлон-11». Для пункта наблюдений (ф = 0? 41', X = 23° 26' Е) было получено g = = 162 852 ±30 мгал. Позднее определения силы тяжести производились в местах посадки космических кораблей «Аполлон-12» и «Аполлон-14».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. П. Колу паев, А. Н. Кузнецов
А. ОБЩИЕ СПЕДЕНИЯ
ф географическая широта места на земной поверхности, отсчитываемая по географическому меридиану в обе стороны от земного экватора (от 0 до 90°) со знаком плюс к северному полюсу и со знаком минус к южному полюсу Земли;
к географическая долгота места на земной поверхности, отсчитываемая по экватору в обе стороны от гринвичского меридиана (от 0 до 12 я) со знаком плюс к востоку и со знаком минус к западу;
а астрономический азимут направления на земной предмет, отсчитываемый по дуге истинного горизонта (от 0 до 360°) от точки севера в направлении на восток, юг, запад;
а прямое восхождение светила, отсчитываемое по дуге небесного экватора от точки весеннего равноденствия против хода часовой стрелки, если смотреть на экватор с северного полюса мира (от 0 до 24 ч);
6 склонение светила, отсчитываемое по кругу склонения от небесного экватора от 0 до +909 к северному полюсу мира и отО до 905 к южному полюсу мира;
Д полярное расстояние светила, равпое дополнению до 90е склонения светила;
t часовой угол светила, отсчитываемый по дуге небесного экватора в направлении суточного вращения небесной сферы от верхней точки экватора к западу (от 0 до 24 ч);
z зенитное расстояние светила, отсчитываемое по кругу пысот от зенита (от 0 до 180°);
h высота светила, равная дополнению зепитпого расстояния до 909;
А азимут светила, отсчитываемый от точки юга по дуге истинного горизонта (от 0 до 350q) в направлении на запад, север, восток;
д параллактический угол светила, отсчитываемый от направления «светило полюс мира» до направления «светило
зенит» по ходу часовой стрелки, если смотреть на небесную сферу снаружи (от 0 до 360°);
s местное звездное время;
s0 звездное время в среднюю местную полночь;
S гринвичское звездное время;
£0 звездное время (истинное) в среднюю грипвичскую полночь;
Е уравнение времени плюс 12Л, равное разности между истинным и средним солнечным (гражданским) временем;
Г0 всемирное время;
Т эфемеридное время;
Д Т поправка за переход от всемирного времени к эфеме- ридному;
Тп поясное время пояса п;
Da декретпое время пояса п; р. коэффициент перевода среднего времени в звездное; v коэффициент перевода звездного времени в среднее; v (Е), v (о) и у (а) часовые изменения уравнения времени, склонепия и прямого восхождения Солнца в заданный момент;
vo-E' vo-6 и уо-а часовые изменения уравнения времени, склонения и прямого восхождения в табличный момент, предшествующий заданному;
ui-Е' и1-б и vi-a часовые изменения уравнения времени, склонения и прямого восхождения в табличный последующий момент;
Ев, 60 и а0 уравнение времени плюс 12л, склонение и прямое восхождение в табличный момент, предшествующий заданному; и поправка часов относительно местного времени;
V поправка часов относительно гринвичского времени;
со. тх ход часов часовой или десятпминутный; л (10 )
р астрономическая рефракция;
Ро средняя астрономическая рефракция;
А и. В коэффициенты астрономической рефракции для учета температуры наружного воздуха и давления атмосферы; р параллакс светила; р& горизонтальный параллакс Солнца; г цена деления уровня;
R цена оборота барабана окулярного микрометра;
Mz место зенита на вертикальном лимбе;
N место меридиана (место севера) на горизонтальном лимбе.
а. Интерполирование с часовыми изменениями
/ (i) = / (i)o + hv = / (i)0+h (У1 fo)J ,
где h приращение аргумента в долях табличного промежутка.
б. Формула Бесселя интерполирования со вторыми разностями /(*> = /(*)о +АЛ'.,, +ДАТ/,,
где
Д=-£-(Л-1);
Д,'^ первая разность между последующим и предыдущим значениями функции относительно заданного аргумента интерполирования; ДГ/г■ среднее из вторых разностей для предыдущего п последующего табличных аргументов иптерполырования.
т = Го + Я = Гп'+X п = (S So) V (s So) =
= (s Sq) v (s Sq) + vA, = ^0 Em-\-ц Д71;
Tn = Tq-\- n\
Dn = TnJrifl\ sq Sq цХ; tQ = m + Et \LbT\
Eft, t = E0-\-hm, tv (®); hm = (w X-|-ДГ)й;
Й *=(* 0^+дт)л;
, Z)ft
*' = «'•+IT i
D = v1 v0',
Г, = Г0+ЛГ;
(1 = 0,002738; v=0,002730.
Прохождение светил через меридиан, В верхней кульминации к югу от зенита
г = фв;
А = 0а; s = а.
В верхней кульминации к северу от зенита
z = 6ф;
А =180s; s= а.
В нижней кульминации
z = 180® (б + ф);
/1 = 180?; s = a+12ft.
Прохождение светил через первый вертикал. Условия прохождения светила яерез первый вертикал
0<6<ф.
Вычисление эфемерид:
sin б cos z = ; • sin ф '
/lw = 90?; Ле=270°;
tg б cos г = 2•
tg Ф
s^y = ct-j-£; Sg = (X • tt
где f табличный часовой угол в первой нетвертп.
Светила в элонгациях:
sin ф
соа г =
sin А'
sin 6 cos б
СОЯф*
tg4> cos t = ; tg6 »
откуда для западной элонгации
■Ауу = 180® А'\ = ос J tj
а для восточной элонгации
Ае = 1809 + А'; sE = a t.
Восход и заход светил. Условие восхода и захода светила
Время восхода и аахода
cosf = tgfitgq), откуда для восхода светила
** = <*-*•
a для захода светила
sw = a + «.
При учете рефракции р видимого радиуса R и параллакса р светила (или чего-либо одного из них)
cos t = cosec ф cosec 6 [cos (90а + р+Л p) sin 9sin 6]. Азимуты светила в моменты восхода и захода
Л1 sin6
cos А = ■
COS ф
для восхода светила
Ar = 3№q-A',
а для вахода спетпла
AwA'.
При учете рефракции, радиуса и параллакса
cos 6 sin t
sin А' --
sin (90s + р+Я p)
Параллактический треугольник (рис. II.3.1). Основные формулы:
sin z sin q = cos ф sin t;
cos S sin q = cos Ф sin A;
sin z sin A = cos 6 sin t;
cos z = sin ф sin 6 +cos ф cos S cos t;
sin 6 = sin ф cos zcos ф sin z cos A\
sin z cos A = cos ф sin 6 +sin ф cos 6 cos t\
cos 6 cos t = cos ф cos z + sin ф sin z cos A;
sin z cos q = sin ф cos fi cos ф sin 6 cos t;
cos б cos q = sin q> sin г + cos <p cos z cos A; cos ф tg 6 = sin ф cos t + cos A sin t;
M
*4-
cos (p+6) M
tg
2 sin (pz) •
M
2 cos (р + Ф)
Рио. II.3.1
где
-V-
M
cos (p + 6) cos (p-j-ф) sin (p z)
sin p '
р = 90в-у(Ф+б-г).
Параллактический угол
sin ф sin 6 cos z . . . . . .
cos a = т: sin ф sin A sin *+cos A cos t;
cos 6 sin z
sin I
sin A
tgg =
tgфcosб sin 6 cos/ tg9sin z + cos z cos A
sin M tg t cosWtg.4
где
cos(6+Af) cos (z N)
. tg M = clg<f cos t\
tgtf = -^; cos A 1
dg = tg ф tg q d9+ctg t tg q dt ctg z tg q dz; dq = tg Ф tg q dip + tg 6 tg q dS + Ctg A tg q dA.
Зенитное расстояние
t
cos A
18Л/ = ЛА.;
6 cost *
1
cos z = cos (ф 6)2 cos ф cos 6 sin* t
a
• /»т % sin 6 . sin (Nz)= sin N; v sinq)
tgjv=H2-.
cos Л
При малом значении азимута
_ , . 1 А2 cos ф sin (ф6) z f 2 р cos 6
При большом значении склонения
Да
г = 90° Ф+Д cost + -£10фвт21;
“г
<Jz = cos А йфcos jdd+согв sin q dt;
, cos t db . . . . .
dz йф hsm z tg a dA.
cos q cos q b
Часовой угол
sin A
tg t-
соэф^г-гвтфсозЛ
cos t = ctg (ф M) tg 6;
tgM tg z cos A;
. . sin M ® соэ(фЛ/) ®
sin (P г) = ctg ф tg 6 sin P;
tgP = sin фtg A;
cos z . . .
cos t j- tg ф tg fl;
cos ф cos 6
cos S cos (5 z) *
tgi. j/ sin(Sф)5ш(з 6) .
dt= gf+ C0S?- ,d6 + * ;
cos Ф tg Л 1 cos ф sin A cos ф sin A
^ d<p . d6 . dz
При малом азимуте
(1 = 4йп(ф-Л).
Азимут
COSO
. . А sin 6
cos ^ = tg<pctgz-
COS Ф sin z ?
tr i Л l/sin(S Ф) COS (S z) 2 V cos jS sin (S6)
s =y (Ф+6 + z);
. . cos M tg t tgA=-. 6 ■
sin (ф M) tg6
tg M =
cos t *
sin (Ф + 6) t
tgT(A-q) = 7Tte^t;
cos (Ф-6)
С081(ф + б) i
tg тг (■'4 + ®)= \ l<
sin у(ф 6)
sin t ctg 6 sue ф sin t
^8 A sjn ф cos (_ cos ф tg б 1 ctg S tg Ф cos t
Азимут Полярной с точностью до 0,1'
Д2 • „
А= Д sec ф sin tг Бесф tg ф sm 2t;
dA cos 6 cos q cos q sin A . , . .
wo ч_ __ -i _ sin ф+СОЭф ctg z cos A
dt sin z sin t
= sin A (sin Ф sin Л ctg t cos A)\
dA At r- = sm A ctg z; аф
dA sin g cosфsin t costpsinAm
d& ~~ sin z sina z cos 6 sin z •
. . cos t , dd , dz dA = : : j <2ф-|: r-
cin it cm /1 1 1 Cin <7 Cir
sin z sin q sin z sin q ~ sin z tg q
Для азимута Полярной
Г Д Д2 П
dA = sec ф cos t + sec ф tg ф cos 2t J da +
-f- ^sec ф sin i sec ф tg ф sin 2t J <26
^ sec Ф tg ф sin tdif;
d2A cos ф sin A, . . . , „ . .
d(2 sin2 z '
Астрономические широты, долготы и азимуты в системе госуг дарственной геодезической сети выполняют следующую роль:
На пунктах государственной геодезической сети астрономические определения производятся с одинаковой точностью. Средняя квадратическая ошибка определения широты пункта не должна превышать ±0,3". Средняя квадратическая ошибка определения долготы пункта по уклонениям отдельных ее значений от среднего арифметического не должна превышать ±0,020s. Средняя квадратическая ошибка определения личной разности по уклонениям отдельных значений долгот от среднего арифметического не должна превышать ±0,015s. Среднее квадратическое колебание личной разности при наблюдениях с применением контактного микрометра принимается равным ±0,016s. Полная средняя квадратическая ошибка определения долготы пупкта не должна превышать ± 0,03s. Средняя квадратическая ошибка определения астрономического азимута по уклонениям отдельных его значений по приемам от среднего арифметического не должна превышать ±0,5",
Широту определяют одним из следующих способов: Талькотта (по наблюдениям на постоянных нитях и в произвольных малых иасовых углах), Певцова, по близмеридианным: зенитным расстояниям северных и южных звезд (по наблюдениям при одном положении круга инструмента) и равных высот (Мазаева).
Определение времени для долготы производят по способу Цингера, Деллена или по способу равных высот (Мазаева).
Азимут направления на земной предмет определяют по часовому углу Полярной. Определение геодезического азимута непосредственно из астрономических наблюдений звезд в меридиане и вблизи меридиана на больших зенитных расстояниях находит все большее применение в геодезическом производстве.
Все перечисленные способы раздельного определения времени и широты считаются равноценными по точности. Выбор того или иного способа зависит от наличия соответствующих инструментов и ожидаемых на месте работы особенностей в условиях наблюдения.
В северных широтах в условиях незаходящего солнца, где полевым астрономическим инструментом можно наблюдать звезды только ярче 3,5 величины, широту определяют по близмеридианным зенитным расстояниям северных и южных звезд. Наблюдения производят инструментом с вертикальным лимбом, точность отсчета которого около 12*.
В средних и южных широтах широту определяют в основном по способу Талькотта. На постоянных нитях наблюдают при наличии инструмента с простым окулярным микрометром. Если же широту определяют при помощи инструмента с контактным, микрометром (в процессе определения времени), то наблюдают в произвольных малых часовых углах. Наблюдения производят пнструмен тами типа АУ 2*/10* или У-5".
Способ Певцова применяют втех случаях, когда астрономически» ппструмептом почему-либо нельзя определить широту по способ] Талькотта. Если нельзя наблюдать звезды слабее 4,04,5 величины то широту также определяют по способу Певцова.
По способу Цингера определяют время на всей террпторш Советского Союза, за исключением мест, лежащих к северу от Семи десятой параллели. Наблюдения производят инструментами тип,1 АУ 2710*, снабженными контактными микрометрами.
Способ Деллена применяют для работы севернее семидесято) параллели. Однако бывает выгодно определять время по способ; Деллепа и несколько южнее, если приходится наблюдать в условия, незаходящего солпца. Для работы этим способом применяют ин струменты типа АУ 2"/10" с контактным микрометром.
Определение геодезического азимута непосредственно из астре помических наблюдений дает более надежные результаты по сравне нию с раздельным определением азимута Лапласа, особенно в высс ких широтах. Этот способ становится экономически выгодны! на пунктах, где не требуется иметь астрономических широт и дол
гот. Азимут определяют инструментом типа АУ 2*/Ю* с контактным микрометром.
Астрономический азимут определяют по часовому углу Полярной инструментом типа АУ 2710* с простым окулярным микрометром.
В зависимости от задания (определение широт, долгот п азимутов или только широт и долгот), условий передвижения и высоты тригонометрических зпаков астрономическое подразделение снабжается одним или двумя инструментами для наблюдения. При наличии в подразделении двух инструментов один из них помещается наверху тригонометрического знака и служит для определения азимута земного предмета, а другой внизу на столбе и служит для оиределения времени и широты. При такой организации работы определение астропункта заканчивается почти в два раза быстрее.
Для точных астрономических определений широт, долгот н азимутов могут быть также использованы универсальные оптические инструменты Вильд Т-4 и Д КМ-3 А. Для приближенных паблюдепий применяют оптические теодолиты Т2 и Theo-010.
Способ фотоэлектрической регистрации моментов прохождений звезд основан па замене глаза наблюдателя чувствительным световым приемником фотоумножителем. В фокальной плоскости вместо сетки нитей устанавливается равнопромежуточная визирная решетка, состоящая из прямоугольных отверстий (щелей) и ширм между ними. За визирной решеткой, в непосредственной близости от нее, располагается катод фотоумножителя. При наблюдении звезды световой поток падает па катод фотоумножителя лишь при прохождении его через прямоугольные отверстия визирной решетки и потому становится прерывистым. При помощи фотоумножителя прерывистый световой поток преобразуется в прерывистый фототок и усиливается для приведения в действие прибора, регистрирующего момент появления в каждом отверстии визирной решетки изображения звезды и момент ее исчезновения.
Для наведения трубы инструмента с фотоэлектрической уста- повкой на звезду используется труба-искатель, которая жестко укрепляется на ламповом конце горизонтальной оси инструмента. Положение сетки питей трубы-нскателя согласуется с положением визирной решетки главной трубы, визирные оси труб должны быть параллельны.
Применение способа фотоэлектрической регистрации момептов происхождения звезд освобождает результаты наблюдений от влияния личных ошибок наблюдателей и обеспечивает получение моментов наблюдений с высокой точностью. Трудности применения этого способа состоят в том, что световые потоки от звезд, проходящие .через объектив полевого астрономического инструмента, весьма малы и требуют усиления.
При фотоэлектрической регистрации моментов прохождений ВБезд следует учитывать запаздывание фототека при прохождении его через входную цепь и усилитель.
Для записи моментов наблюдения в полевых условиях применяют маркопечатающие, цифропечатающие и пишущие хронографы, обеспечивающие запись моментов наблюдения со средней квадратической ошибкой, не превышающей ±0,01*.
В макропечатающих хронографах оттиск марок производится через печатную ленту от пишущих машинок и при этом без влияния геометрического параллакса марок, так как рабочая марка является общей для отметок секунд хронометра и контактного микрометра.
В цифропечатающих хронографах на ленте в момент контакта от микрометра отпечатываются секунды, десятые и сотые доли секунды. Цифропечатающие барабаны вращаются синхронно и сип- фазно с показаниями хронометра, для чего применена контактно- следящая система фазирования.
В производстве применяются пишущие хронографы типа Гиппа с камертонным регулятором скорости и типа Гартпера с центробежным регулятором.
Недостатками этих типов хронографов являются необходимость расшифровывать ленту после работы, сложность обслуживания в процессе наблюдения и невозможность работы при низких температурах.
Прибор ЦНИИГАиК предназначен для расшифровки хронографической ленты с записью отметок па одной прямой линии. Прибор выражает в долях интервала между смежными отметками секунд на ленте расстояние от отметки контакта хронометра до отметки контакта микрометра. Если на ленте расстояние между отметками двух смежных секунд не менее 18 мм, то прибор обеспечивает полученпе отсчета момента контактирования со средней квадратической ошибкой, не превышающей ±0,008*.
При выполнении полевых астрономических определений для приема секундных сигналов точного времени, кроме радиоприемника, обеспечивающего уверенный прием удаленных радиостанций на длинных и коротких волнах, необходимо располагать импульсной приставкой, хронографом типа ХПМ-3 и хронометром.
Радиоприемная „Волна -Л"
Примерная блок-схема для приема секундных сигналов времени приведена на рис. II.3.4.
Вместе .с секундными сигналами точного времени иа ленте хронографа записываются показания хронометра, что позволяет определять показание хронометра в средний момент передачи секундных сигналов и всемирное время в этот момент.
Во время записи секундных сигналов необходимо отмечать на ленте минутные радиосигналы, регистрируя этим начало каждой серии секундных сигналов.
В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРОТ, ДОЛГОТ И АЗИМУТОВ
НА ПУНКТАХ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ
Подготовка к наблюдениям. Для подбора пар применяются Рабочие эфемериды пар Цингера, откуда выбирают на период наблюдения пары с зенитными расстояниями звезд от 20 до 50° и азимутами от 65 до 115°. В широтах от 60 до 70° допускается наблюдение пар с зенитными расстояниями от 18 до 55° и азимутами от 60 до 120°.
По прибытии на астрономический пункт выполняют все необходимые поверки и юстировки инструмента, определяют ширину контакта микрометра и мертвый ход, приводят нить микрометра в горизонтальное положение (±5'), совмещают середину координатного биссектора с серединой опознавательного контакта (12"), устанавливают инструмент в меридиане (35') и тщательно нивелируют его при помощи талькоттовского уровня.
Методика наблюдения. Инструмент устанавливают по эфемо- ридным зенитному расстоянию пары звезд и азимуту первой звезды пары, скрепляют талькооттовский уровень с трубой, выводят пуяырек уровпя элевационным впитом примерно на середину и откидывают вилку.
Подвижную нить микрометра устанавливают на расстоянии около 1,5 оборота микрометренного винта от иульпункта гребенки навстречу ожидаемому появлению в поле зрения трубы изображения звезды. С приближением изображения звезды к коордипатпому бнссектору отсчитывают талькоттовский уровень, вертикальную координатную нить вращением азимутального микрометренного пнпта инструмента наводят на звезду и удерживают на ней пепре- рионым вращением этого винта, пока изображение звезды ие достигнет координатного биссектора. Затем дают сигнал пуска хронографа.
С момента вступления звезды на подвижную пить микрометра последнюю удерживают на звезде, вращая обеими руками маховички ручного привода на протяжении приблизительно трех оборотов микрометренного винта. Биссектирование звезды прекращают за пол-оборота до второго координатного биссектора, после чего отсчитывают талькоттовский уровень.
Оператор у хронографа ждет появления на хронографической ленте отметки начала счета Минуты по показаниям рабочего хронометра, записывает ее на ленте, а затем останавливает хронограф.
После наблюдения первой звезды пары электромагниты хронографа переключают тал, чтс перо, записывающее контакты микрометра, будет записывать контакты хронометра, пли наоборот.
Сохраняя неизменным положение трубы по высоте, алпдаду ипструмепта устанавливают по эфемеридпому значению азимута второй звезды пары.
Аналогично производят наблюдения второй звезды пары. При переходе от наблюдений одной пары Цингера к другой соблюдают чередование наблюдений первой звезды пары (EW, WE и т. д. или в обратном порядке).
Искусство наблюдения состоит о умении плавно вращать микро- метреиный впнт за маховички ручного привода и достаточно точно удерживать подвижную нить на изображении звезды.
Вычисление поправки хронометра. В обработку включают для каждой пары по 10 отметок соответственных контактов, расположенных на двух смежных оборотах микромстренпого винта, симметричных относительно нулъпупкта микрометра. Расшифровку лепты производят до 0,01s.
Поправки хронометра вычисляют с примепением Астрономического ежегодника и таблиц логарифмов по следующим формулам:
г = п т\ lgra=]gm0 2o(m0); lg n = lg ”« + о ("о) За (m„);
lg m« = lg es + 2a (es) + lg (tg 6 ctg t); lg Щ = lg es + 2o (es) + Ig (cosec t tg <p);
6 = у(вЕ + М:
eS="3o"(e'v6e);
= sec?cosec Aw;
P=y(aE-aiv);
Rs
6Y=( ±ШкMx)06 sec Ф cosec Aw;
Sa =0\ 021 cos z;
В этих формулах приняты следующие обозначения: 6а поправка аа суточную аберрацию; lw и iK наклонности трубы в полу- делениях уровня при наблюдениях W и Е звезды пары; Шк и Мх ширина контакта и мертвый ход контактного микрометра; лип отсчеты левого и правого концов пузырька талькоттовского уровня.
Если при наблюдениях нуль делений шкалы ампулы талькоттовского уровня (или меньшая надпись на шкале) находился вблизи объектива, то
^-гЕ = (л+и)1У -(л + п)Е,
а если вдали от объектива, то
iw гЕ = (л + п)Е (л + п)^.
Если в данном экземпляре хронографа рабочая отметка получается на хронографической ленте в момент замыкания электроцепи, то перед Шк ставят знак плюс. При работе хронографа на размыкание перед Шк ставят знак минус. Это правило относится к контактному микрометру, у которого размыкание электроцепи производится выступами контактного барабана.
Для определения долготы с весом единица в двухчасовом интервале времени между приемами двух соседних радиостанций наблюдают 610 пар Цингера.
Подготовка к наблюдениям. Для производства наблюдений заранее составляют рабочие эфемериды пар Талькотта.
Пары Талькотта должны удовлетворять следующим условиям: среднее зенитное расстояние пары звезд не должно превышать 50°; разность зенитных расстояний для звезд пары не должна превышать 16'; разность прямых восхождений звезд пары должна лежать в пределах 315т; яркость звезд должна быть не нише С,0 величины.
Общая программа пар Талькотта на пункте должна быть подобрана так, чтобы сумма разностей зенитных расстояний звезд не превышала ±30'.
При подготовке к наблюдениям место зенита устанавливают с точностью до Г. Для наблюдений на постоянных нитях определяют расстояния боковых вертикальных нитей от средней. Инструмент устанавливают в меридиане по заранее определенному азимуту марки с точностью до 1'.
Для определения широты астропункта инструментом АУ 2 "/10" следует наблюдать не менее 10 пар, а инструментом У-5" не менее
За 23 мин до эфемеридного момента. прохождения в меридиане первой звезды пары устанавливают трубу инструмента па отсчет z0 или 360? г0 цо вертикальному кругу, а алидаду инструмента по отсчетам горизонтального лимба устанавливают в меридиане, направляя трубу в ту его .часть, где ожидается первая звезда пары. Оправу талькоттовского уровня скрепляют с трубой, откидывают вилку и пузырек уровня приводят элевациопным винтом на середину шкалы.
Когда изображение звезды достигнет в поле зрения трубы установленного опытным путем места, отсчитывают талькоттовский уровень. Подвижную нить микрометра ввипчивапием наводят на звезду в то время, когда она будет пересекать обусловленные для нее' вертикальные нити сетки, и отсчитывают каждый раз по барабану микрометра, беря число оборотов по гребенке.
В конце отсчитывают талькоттовский уровень и алидаду поворачивают по азимуту точно на 180°. Когда вторая звезда пары появится в поле зрения трубы, ее наблюдают так же, как и первую звезду пары.
Широту вычисляют по следующим формулам:
Ф = у (6S + 6jv) ± + Т+ Лр] + *;
В этих формулах fig и 6^ видимые склонения южпой и северной звезд пары с учетом короткопериодических членов нутации; msnmN средние из отсчетов окулярного микрометра при наблюдениях южной и северной звезд пары, выраженные в долях оборота счетного барабана; Ар поправка за рефракцию; к поправка аэ кривизну параллели.
Перед квадратными скобками берут знак плюс, если при увеличении z отсчеты по барабану микрометра возрастают, и знак мипус, когда они убываю .
Разность наклонностей вычисляют по следующим формулам. А. Отсчеты по барабану микрометра возрастают при увеличении зенитного расстояния:
а) нуль делений шкалы уровня вблизи объектива
ig ^=(л-Ъп)<5 (Л -f- n)jyj
б) нуль делений шкалы уровня вдали ог объектива S~ 'jv = (J,+ u)w~(Ji+,))s-
Б. Отсчеты по барабану микрометра убывают прп упРличении длцитного расстояния: знаки Перед раяпостямп наклонностей, вычисленными по предыдущим формулам, меняются на обратные. Поправку за рефракцию вычисляют по формуле
Др = 0\ 017$ Дг sec2 г*),
где Дг полуразпость зенитных расстояний звезд пары в минутах дуги, вычисленная по формуле
Az (ms mN) .
Поправку за кривизну параллели вычисляют по формуле k=Fstg6s + FNlg6Nt
где
г SW& .
s 20р"
N 20р" *
При наличии «Каталога 1967 звезд» среднее; склонение звезды па пачало ближайшего к наблюдениям года t вычисляют по формуле
flf = Й1950 +VAS (t -1950) + VS, ~-210905П)3 .
Приближенное прямое восхождение звезды вычисляют по формуле
а< = ®19ьо + VА а (t 1950).
Пользуясь «Каталогом геодезических звезд» ^КГЗ-2), среднее склонение звезды > на начало года, ближайшего к наблюдениям t = 1975 + i Tf вычисляю^ во,формуле
в< = б1*75. о+г = в1.75. 0+Г,Г + и^* + 1П*Г».
где Т выражено в тропических столетиях.
Для приближенного прямого восхождения ос1975 0 + г может служить формула
®1В7 5, 0+Т =а1975. 0 "Ь
Если северная звезда пары наблюдалась в верхней кульминации, то
(&з +й^) = ^о-+ (А + А'). dj + (В+ В'} Ьц -Ь + Сс0-)-]Эйв4-тцО| 4
где
*0 y(6N, i + ^S, ()
1
a0 = ~2 (а1_ЬЯ2)'
bo = ~2 (^l“b^2)i
co = ~2 (ci+ ci)>
<*o ~~2 (^1+^2);
Ио,6 = у((111в+^г,в)*
Бслп северная звезда пары наблюдалась в нижпей кульминации, то
йв = 00« + у(й51(-6Л1();
1
ао~2 (as ~ °jv);
Ьо = у (ts ~ 6n):
, 1 . ,
со 2 (cs~cjv);
do = У (dS d«);
1
Ио. б y(^s, a~Mjv, в)-
Редукционные величипы первого рода А + А,В-\-В', CmD интерполируют из Астрономического ежегодника с интерполяционным множителем
" = У^Г (“оЬ)л.
где для северной звезды в верхней кульминации 1
®о=у (as, <+ajv,/)>
а для северной звезды в нижней кульминации
ao = y(“s,f + °4<±12'1).
Определение широты по наблюдениям звезд в произвольных малых часовых углах. Особо тщательно устанавливают подвижную нить в горизонтальное положение. Перед наблюдениями определяют поправку хронометра до 0,1s и его ход.
По достижении звездой рабочей части поля зрения трубы отсчитывают талькоттовский уровень. Подвижную нить наводят на звезду в момент любого секундпого удара хронометра, отсчитывают по барабану микрометра и момент наведения отмечают по показаниям хронометра. Таких наведений делают пять, причем желательно два-три наведения сделать до прохождения звездой средней вертикальной нити. Наведения начинают не очень близко от края поля зрения, стремясь равномерно распределить их во времени.
Широту вычисляют по тем же формулам, что и при наблюдениях на постоянных нитях, за исключением поправки за кривизну параллели, которую вычисляют по формуле
fc = y (kS + kN)'
1511il* .
St N 20p" sm s> N '
где
ti=Ti (au).
Для северных звезд в нижней кульминации вместо берут (180* - 6W).
По «Каталогу геодезических звезд» (КГЗ-2) среднее прямое восхождение на начало ближайшего к наблюдениям года t = 1975,0 + + Т вычисляют по формуле
a/ = ai975_ oi-T = al»75. о + HI^8,
где Т выражено в тропических столетиях. К системе FK4 акгз приводится по формуле
aFK4 = aKr3 + ^FK4 + (10 A/JFK4) 10у-
Видимое прямое восхождение вычисляют по формуле
« = ос< + -^г (А-{-А') + (В+ В') b-\-Cc-{- Dd-\- T(ia.
Окончательное вычисление широты пункта и оценка точности производятся путем уравнительных вычислений. В уравнения погрешностей по каждой паре входят пеизвестными поправки к приближенной широте и приближенному значешпо цены оборота окулярного микрометра.
Программа определения долготы.
Каждый вечер рекомендуется определять ао два значения долготы.
Определение времени для вывода долготы с весом единица должно выполняться способом Ципгера не менее чем из шести пар. Если будет произведено наблюдение пяти нар Цингера, то долготе придается вес 0,8, а если четыре пары, то 0,5.
Окончательное значение долготы пункта должно быть выведено не менее чем из трех вечеров наблюдений с весом не менее шести. Личную разность определяют перед началом и по окончании полевого сезона на одном из основных астрономических пунктов. Каждое определение личной разности состоит из результатов пе менее чем яетырех вечеров наблюдений с весом восемь.
Вычисление долготы. Окончательную долготу астроиунктв вычисляют по формуле
X = р- + Pik-i -f-... Pn^.n) -Ь ^ + AXy,
где P pt сумма весов определения долготы;
k( = sS + Д (nut);
JTo + “o-cpt
*о=у[(Х'-'',>+(Х*-0];
X' и X' ■ показания хронометра в средние моменты приема радиосигналов времени первой и второй радиостанций; г' и у" поправки 8а время распространения радиоволн от первой и второй радиостанций;
s«y(5' + 5'>; ио-ср=т2(“'+“10'Пт°-')=
^0+oW" ;
1 N?
ao=ZUti
®IO m =
_ (Ха Тi)n ,
10 *
. (X'-X')m,
.U' = $'.iX'.u'); U” = S"(X" v")', iS, = iSo+ T'o + M-To' я"=50+г;+цг;;
To n Tg моменты середины подачи радиосигналов времени первой и второй радиостанций (во всемирном времени) по данным бюллетеня «Эталонное время»; A (nut)поправка за короткопериоди- ческие .члены нутации, вычисляемая для способа Цингера по формуле
где }' в fi' короткопериоднческие редукционные величины, выбираемые из Астрономического ежегодника на средний момент определения поправок часов Гер, а /' редукционная величина, выбираемая на Oh эфемеридного времени;
3A, = i-(A\i + AM;
где АЯ, и ЛЯ,, значения первой и второй личной разности, вычисленные по формуле
^-изв ^набл;
ДЛе поправка за приведение к центру тригонометрического знака; ДЯР поправка за приведение к среднему полюсу, вычисленная по формуле
Оценка точности определения долготы. Среднюю квадратическую ошибку определения долготы астропункта вычисляют по формуле
M%=VMb+Mh+mK
где Му, средняя квадратическая ошибка определения долготы астропункта по внутренней сходимости отдельных аначений долгот,
У? *
"ви = 4-/"h.+ "h.i
п 1'
ИЧ.
Мд^ среднее квадратическое колебание поправки ва личную разность.
Для наблюдений с контактным микрометром принято
Л/бх = 0 016\
Подготовка к наблюдениям. Инструмент выставляют на столб не позднее двух часов до наблюдення; поверяют накладной уровень; фокусируют окуляр на четкую видимость сетки нитей; проверяют вертикальность установки подвижной нити; испытывают регулировку вертикальной оси; устанавливают микроскопы-микрометры горизонтального лимба на четкую видимость подвижных нитей п делений лимба; устанавливают минимальный угол между микроскопами; устанавливают малый рен н определяют его (на первом полевом астропункте); выправляют и определяют вновь коллимационную ошибку; исправляют место зенита; устанавливают инструмент в меридиане с ошибкой не более 23'; тщательно нивелируют горизонтальную ось ипструмента; устанавливают поверительную трубу и выставляют марку-миру.
Методика наблюдення. Производят прием первой передачи сигпалов времени. Определение азимута со столика тригонометрического знака заключается в следующем.
КП (или КЛ)
Отсчитывают накладной уровень, повернувшись лицом к Полярной, и записывают отсчет сначала по левому, а затем по правому концу пузырька. Перекладывают уровень на 180°. Три раза подряд наводят подвижную нить окулярного микрометра главной трубы па Полярную, отсчитывая каждый раз по барабану микрометра и взяв показания хронометра. Наведение делают в любое целое число секунд хронометра по его секундному удару. Одновременно с наблюдениями Полярной визируют поверительпой трубой па марку-мнру, отсчитывая каждый раз по барабану микрометра.
Вторично отсчитывают накладной уровень, а затем отсчитывают по обоим микроскопам горизонтальный лимб.
KJ1 (пли КП)
Трубу переводят через зенит и все перечисленные в пунктах
Указанные действия составляют прием определения азимута. При переходе к следующему приему переставляют лимб на угол 10ч5'.
В конце наблюдения группы приемов (24 часа) производят прием второй передачи сигналов времени.
Методика наблюдения с астростолба отличается только тем, что накладной уровень перекладывают один раз в полуприеме по завершении первого наблюдения Полярной, причем перекладку делают после отсчета горизонтального лимба.
Газность направлений на земной предмет в полуприеме пе должна превышать 4", колебание двойной коллимационной ошибки в прпеме по отсчетам па вемной предмет пе должно выходить за пределы 6", а колебание нульпункта уровня за пределы трех полу- делений.
-Все приемы, удовлетворяющие указанным требованиям, вычисляют в поле до десятых долей секупды. Расхождения отдельных значений азимута должны находиться в пределах С". Величина коллимационной ошибки, выведенная по наблюдениям земного предмета, должна согласовываться с выводом по Полярной в пределах до 5". Если полученные приемы не удовлетворяют этим условиям, то на симметричных установках лимба наблюдают дополнительную программу, состоящую из 34 приемов. В обработку включают все приемы, за исключением явно ошибочных.
Вычисление азимута. Поправки за окулярный микрометр главной и новерительной трубы (инструменты типа АУ 2"/10" и У-5") равны +ц (М10) при барабане микрометра справа и (х X (Л/ 10) при барабане микрометра слева, где ц цена деления барабана окулярного микрометра.
Поправку за окулярный микрометр главной трубы в направление на Полярную вычисляют по формуле
ДЛ/ = ± (1 (Л/ 10) cosec z,
где г = 90ч ф + 1+ II зенитное расстояние Полярной в средний момент ее наблюдення в полуприеме.
Поправку за наклон горизонтальной оси в направление на Полярную вычисляют но формуле
х
ДЬ Ь ctg z,
где Ь наклон горизонтальной оси инструмента в полуделеннях накладного уровня.
Наклон оси вычисляют но формуле
Ь хо (л+ н);
х "2'[о(л"Ьп) + (л_1_п)оЬ
где х нульпуикт уровня.
По известной долготе пункта Я, поправку хронометра для среднего момента наблюдения приеме Тср вычисляют по формулам
tt = u'-f-C0ft(7cp X')h'
и” и'
' - v»-_ Y>;
а'=.5,,+ П + Г0|»+-.Л. X'; u”-Sq ; Та X'.
Видимые координаты Полярной вычисляют с, иптерполпниои- ным множителем
п = ЗГсрЧ- мо “t" М ■
Азимут направления на земной оредмет вычисляют с применением таблиц логарифмов по следующим формулам:
a=P N\ .
Р=-|[£-МД±180°)|;
N N' + cNq bA;
'V' [(A,f.)eP^(;VH)cP:
('vt)cp-il(At)r('vL)8l;
(jVr)i, 2=^^*г+^я-1, г\ сл = ~КЛГ1.)ср (^л)сР1;
cs. п = у[£-(Я±180°)];
6/4 = 0,'16pcos ф; р = cosec z н -]-cosec zL;
9= у (cosec zfl cosec zLy,
lg tg A = lg (m sin 0 + v; t= T (<x+u); m = ctg 6 sec ф;
n = ctg 6 tg ф cos t,
где L и R средние в полупрпемах направления на земной предмет, исправленные поправками за микрометр; (L) и (R) направления в полуприемах на Полярную при первом и втором визировании, исправленные поправками за микрометр и уровень; 6А поправка за суточную аберрацию; cN и с3, п коллимационные ошибки по наблюдениям Полярной и земного предмета.
Оценку точности определения азимута производят по формуле
г
где л число приемов; 6/ уклонения значений азимута по отдельным приемам от его среднего значения.
Определение геодезического азимута непосредственно из наблюдений звезд в меридиане состоит из определения лично-ппстру- монтальной разности наблюдателя, выполняемого на основном пупкте, и определения геодезического азимута на полевом пункте.
Определение лично-инструментальной разности. Лично-инструментальную разность определяют на одном из основных пунктов до и после полевых наблюдений.
Инструмент исследуется по программе, предусмотренной для азимутальных наблюдений.
Лично-инструментальная разность АТ' определяется по формуле АТ' = и и„, где и поправка хронометра, определенная из наблюдения прохождений звезд в меридиане: и0 поправка хронометра, полученная по результатам приема сигналов времени с использованием астрономической долготы пункта. Обе поправки приведены к одному моменту.
Для определения лично-ипструмептальной разности инструменты устанавливают в меридиане с точностью 12'.
Лично-инструментальную разность определяют из наблюдения пар южных и северных звезд в меридпапо на зенитных расстояниях 5075° с интервалами времени между кульминациями звезд от 8 до 16 мин.
Эфемериды вычисляют по формулам, указанным в II.3.4.
Полное определение лично-инструментальной разности на исходном пункте выполняют в течение 45 вечеров с весом 8.
Для определения лично-инструментальной разности с весом
Промежуток между приемами сигналов времени составляет два часа. В течение вечера наблюдений может быть выполнено определение лично-инструментальной разности с весом 2.
Каждую звезду наблюдают при двух положениях круга.
При первом положении круга звезду наблюдают до прохождения через меридиан в угловом удалении от пего, равном Да, при втором положепии после прохождения через меридиан в том же удалении от него Да. В средних широтах Да выбирается в пределах 2030' и должна бить постоянной для всех звезд, что позволяет исключить влияпие ошибок делений лимба без его перестановки.
Наблюдения каждой звезды выполняются в следующем порядке.
Трубу ипструмента устанавливают по зенитному расстоянию и азимуту для наблюдения северной звезды.
За 56 мин до момента кульминации отсчитывают накладной уровень на горизонтальной оси п переставляют его; отсчитывают горизонтальные круги по обоим микроскопам и регистрируют с помощью контактного микрометра прохождение звезды на трех центральных оборотах винта контактного микрометра. Повторно отсчитывают накладной уровень.
Переключают перья хронографа.
Переводят трубу ипструмента через зенит и устанавливают ее но зенитному расстоянию и азимуту для наблюдения той же звезды. Отсчитывают накладной уровень и переставляют его; регистрируют прохождение 8везды на тех же трех центральных оборотах винта контактного микрометра. Затем отсчитывают накладной уровень и горизонтальный круг.
Наблюдения второй звезды пары выполняются в том же порядке.
При наблюдении обеих звезд в паре отсчеты микроскопов выполняют относительно одних и тех же делений горизонтального крута.
По результатам наблюдения каждой пары звезд определяют одно значение поправки хронометра и.
Полное определение лично-инструментальной разности выполняют с весом 8 в течение 45 вечеров.
Для обработки наблюдений служат следующие формулы:
ц (.aS~Ts)AN~('XN~TN)AS AN~AS
где а прямое восхождение звезды в средний момент наблюдения с учетом влияния короткопериодических .членов нутации и суточной аберрации; А = sin г sec 6;
Тв = Г8 + B'sb8cp + А (мх ± Шк) sec &а +
+ &(Т'В^ср) + АаИа + “о'>
TjjTpf-}- 2” (Мх Шк) sec 6^+ (Т р/ X ср) + «о!
здесь Т' средний момент наблюдения звезды по результатам измерения ленты хронографа;
т 1
В' = cos ъ sec б -g; Ьср = j (bL+bR);
bL' л = 0(л + п) (л+п)0;
Д
мертвого хода винта контактного микрометра;
а ■ приведение момента Тд наблюдения южной звезды к вертикалу северной звезды;
Aaf=■15 [4{L+R)n~7{L + Л)з];
<лк (Т ХСр)приведение поправки хронометра и к среднему
моменту показания хронометра Хер = (X' + X *); X', X"
показания хронометра в моменты приема первой н второй передачи сигналов времени;
ио = -2 (“о+ “о).
ША =ы.о-цо .
(X"-X')ft
uo = 'S,o+7o+^oJ1+^ {X' у');
uo = jSo+7oH~ ^0^+^ (X* f");
ДГ' = и в0; ЛГ = Д7,' + Д +
Д поправка аа влияние неправильностей цапф;
Дх поправка за движение полюса.
Определение геодезического азимута. Для определения геодезического азимута земпого предмета на пункте наблюдают прохождения звезд в меридиане и намеряют горизонтальные углы между каждой звездой и земным предметом. Звезды наблюдаются на зенитных расстояниях от 50 до 709 при двух положениях инструмента; при первом положении до прохождения и при втором положепии после прохождения через меридиан в удалениях от меридпапа, равных Да. В средних широтах Да для южных звезд можпо принять равной 30' и для северных 20'; Да также можно рассчитать по формуле
30'
До <к •
sin z sec о
Число южных и северных звезд должно быть одинаковым и должно соблюдаться условие, по которому 1/18 ^ cos а 2 ^ 0,1-
Для определения геодезического азимута выполняют 18 приемов с перестановкой горизонтального круга через 10? 5' после каждого приема.
Прием определения азимута состоит на следующих операций.
Переключают перья хронографа.
Переводят трубу инструмента через аенит и устанавливают па аеиитиое расстояние той же звезды. Отсчитывают накладной уровепь и перекладывают его; выполняют регистрацию прохождения звезды на тех же трех оборотах вппта контактного микрометра; отсчитывают накладной уровень и горизонтальный круг.
При наблюдении со столбика сигнала используется поверитель-
ная труба.
Каждый вечер до и после наблюдений, а также яерез каждые
Геодезический азимут а, авезды вычисляют по формуле
Г + и а
df :
sin z sec б
где
7=Г' + В'6Ср-|-^.(Мх±Шк)зесб+Д7 + (йЛ (Г Хср); т 1
В' = coazsecfl-^-; bcP = (&£.+ fcR); 6L д = 0(л + п) (л+п)0;
u=-|-(it-+-ii') u момент Xcp = -i (X' + X');
u' = i?o+ Г» + 7\)Ц + L (X u'); u” = 50-(- TJ+ L (Xm v)\
и"и'
О)"
(X" X')ft
Д T азимутальная лично-инструменталытая разность; ш (Г'
В остальном обозначения те же, что и для вычисления авиму- тальпой лично-инструментальной разности.
Результаты каждого приема определения геодезического азимута позволяют составить уравнения ошибок вида
ДЛГ г| cos a ctg z + I = v;
I = Л0 Q аг,
где А0 приближенный азимут земного предмета, отличающийся от А г не более чем на 10"; Q измерепный горизонтальный угол между звездой и земным предметом, исправленный поправкой за влияние неправильностей цапф; г) составляющая уклонения отвесной линии в первом вертикале на пункте наблюдения; z ве- нитное расстояние звезды.
Неизвестные ДЛГ и п определяют по способу наименьших квадратор
А г Aq~{~ ДЛг.
Геодезический азимут Аг исправляют поправкой за движение полюса
[cos a ctg z]2 ,
ЛАг [(cos a ctg z)2l *
nr, ч n | [cos a ctg z]2
Pn = [(cos a ctg z)2] -. n- - - ;
m
ЛЛг“У^Г т'~уЩ
Достоинством указанного выше способа определения геодезического азимута непосредственно из астрономических наблюдений является то, ято точность его определения практически одинакова во всех широтах. Есть пункты 1 класса, на которых определение астрономических широт и долгот вызывается лишь необходимостью определения геодезического азимута избранного направления. С применением изложенного выше способа определения геодезического азимута необходимость определения астрономических широт и долгот на таких пунктах отпадает. В результате объем астрономических работ на таких пунктах сокращается не меньше чем и 2 раза.
Способ определения геодезического азимута из многократных наблюдений ярких звезд вблизи меридиана разработан в 1971 г. в ЦНИИГАиК В. Г. Львовым и предназначен для применения в высоких широтах.
Определение геодезического азимута указанным способом состоит из определения азимутальной лпчно-инструментальной разности до п после полевых работ на одном из основных пунктов и астрономических определений геодезического азимута на полевом пункте.
Определение азимутальной лично-инструментальной разности. Определение азимутальной лично-инструментальной разности состоит из наблюдения прохождений пар звезд через один п тот же вертикал, близкий к меридиану, с отступлением от него не более чем на 4?. В пару входят южная звезда и северная звезда с зенитными расстояниями 4070е. Звезды наблюдаются при двух положениях инструмента. Южпая звезда наблюдается в промежутке между наблюдениями северной звезды в первом и втором положениях.
При составлении эфемерид по аргументу S и ср0 для интервала наблюдений первоначально подбирают северные звезды, а затем к каждой из них подбирают одну или несколько южных звезд, удовлетворяющих условиям
as = aN ± 12л ± 12m; z = 4070°.
Затем вычисляют момент s, когда обе звезды каждой пары находятся в одном вертикале, по формуле
s = aN+ As± 12й,
где
vs
Д s=Aa-^-; Aa = AsrN;
Aa = ag aN± 12А; Av = vs vN\ v=\5 cos б cos q cosec z;
w азимутальная скорость движения звезды.
По формуле А = 180- + Да определяют азимут северной части общего вертикала пары звезд.
Для симметричного наблюдения авезд пары относительно момента прохождения их через общий вертикал вычисляют углы упреждения Д А
2AAn = dn(6t-9)m; 2AAs = vs2m
и устанопочные азимуты
An = A-AA; As = A ± 180° + АЛ; z$ Фо zjv = 180- (Фо~Н®до)'
Эфемериды составляют в порядке возрастания средних моментов наблюдения s.
Для определения азимутальной лично-инструментальной разности наблюдают 3240 пар звезд в течение четырех вечеров наблюдений между приемами сигналов времени с двухчасовым интервалом.
Среднее из азимутальных разностей по наблюдениям всех пар ввезд является поправкой за азимутальную лично-ипструменталь- ную разность. При вычислении геодезических азимутов используют среднее из начального и заключительного зпачения личпо-ин- струмснтальной разности.
Наблюдения пары звезд выполняют в следующем порядке.
Ипструмент устанавливают по зенитному расстоянию и азимуту для наблюдения северной звезды. Отсчитывают накладпой или алидадный уровень. Регистрируют прохождение северной звезды на трех центральных оборотах винта вблизи горизонтальной нити. Вторично отсчитывают уровень. Переводят трубу через зенит, устанавливают ее по зенитному расстоянию для наблЮдепия южной звезды, которую наблюдают аналогично сначала при одном, а затем при другом положении инструмента; переводят трубу через зенит и наблюдают северную звезду пары при втором положении инструмента так же, как и при первом. Для исключения остаточного влияния наклона вертикальной подвижной нити контактного микрометра регистрация прохождений каждой звезды выполняется при симметричном расположении ее относительно горизонтальной нити при первом и втором положениях ипструмента.
Звездпое время наблюдения звезд вычисляют по формуле
Si = Тi -f- Мср + Aui-\- где Тс средний момент наблюдения звезды при KJI и КП;
“cP = y («' + “") в момент Хер = у(Х' + Х'); ы^ *50 + ^о“Н ^of1 Н- ^“0' ^ v')i
и*=5о+г;+г;ц+х„-{х*-о; йю^-г''~“'10И ;
А.0 астрономическая долгота основного пункта; Ли/ поправка за ход хронометра,
10">.
4“( = “l0m (Tl Xср)
*-[4
JV» ■ 1
(Мх+ Шк) ± 0,021 cos ф0+б< I sec t>t;
byt = bctg z; b = 0[(л + n)cpJ [(л + n)cp]0;
6yt поправка за ускорение в движение звезды по азимуту,
(
ДТ \2
w) Sin2/1s;
Д? = (7кл ^кп) в секундах времени;
коэффициент у можно выбрать из табл. 9 [6].
Для вычисления азимутов звезд пары служит формула
t А* sin tj f
координаты звезд исправляют поправками аа влияние короткопериодических членов нутации.
Азимутальную лично-инструментальную разность А Г] вычисляют по формуле
... ■ ^-^±180»
Д'i = : .
в которой vg и vN азимутальные скорости движения звезд пары. Д Т\ поправляется поправками 8а сводные моменты и движение полюса; все полученные ДТ\ осредняют и получают ДГ'. Окончательные значения лично-инструментальной разности Д Т определяют но формуле
ДГ = ДГ+60Ц,
где поправка за влияние неправильностей цапф.
Для оценки точности определения Д71 служат формулы
V*
М не должна быть больше 0,02s.
Определение геодезического азимута. Программа определения геодезического азимута состоит из 18 приемов п выполняется не менее чем за 3 вечера наблюдений* Наблюдают южные и северные ввезды в нижней кульминации ярче 2,5 величины вблизи меридиана с отступлением от него для южных звезд до ±12® и для северных до ±8Ч на аеиитных расстояниях 508<К В этом случае каждая
звезда может наблюдаться до полутора часов, в точение которых можно выполнить 4 приема определенпя азимута. Число наблюдений южных и северных звезд должно быть одинаковым. От приема к приему лимб переставляется на 10° 5'.
Средняя квадратическая ошибка определения геодезического азимута по результатам наблюдений на пункте по внутренней сходимости с учетом ошибки определенпя личпо-инструментальной разности и ее колебания, принимаемого равным ± 0,020s, не должна превышать ±0,7". Расхождение прямого и обратпого геодезического азимута не должно превышать 2,5.
Для звезд ярче 2,5 величины составляют эфемериды по аргументу местного звездного времени S„ начала наблюдений, которое должно быть на 3540 минут меньше времепи их кульминации.
Эфемеридные зенитные расстояния и азимуты вычисляются по формулам
ZS = ZS + ^ZS: ZN7=ZN~^ZN'
As = 0° ±bAs\ An = 180° ± AAn\
Azf = | Д5 | v2\ АЛ; = | | va;
Д S[ = S( S/п'
где zm n Sm меридиональное зенитное расстояние и время кульминации звезды; vz ц va скорости движения звезды по высоте и азимуту.
Прием определения геодезического азимута состоит из следующих операций.
о п. 1.
аи
отсчитывают накладной уровень. Если универсальный инструмент имеет уровень при алидаде горизонтального круга, то наклон горизонтальной оси определяют по его показаниям.
При обработке результатов наблюдений выводят окончательные значения отсчетов кругов на земной предмет и звезду и вычисляют горизонтальный угол Q между ними.
Определяют поправку хронометра иср = 1/2 (и' + и") в средний момент приема сигналов времени двух смежных передач ХСр = = 1/2 (Х'-\-Х ") относительно звездного времени на местном геодезическом меридиане, для чего используют геодезическую долготу пункта наблюдения. Одновременно вычисляют десятиминутный ход хронометра со™. Подсчитывают средние моменты наблюдения звезд
Т = -^(ТКЛ+Ткп) и Ат = \ткп ткп\ в секундах времени.
Из АЕ или FK4 па момент наблюдений выбирают видимые а и б звезд, исправляют их поправками за влияние короткопериодических членов путации и вычисляют авездное время паблюдепия звезд пары 5,- и часовые углы ti
Si Тi~\~ Wcp4~ Аи*“Ь Pi'J ti Si cti^
A^=(rf-xcp)lom<D70;
A N s
B;= tj- (Мх + Шк) ± 0,021 cos q>4-6t sec6j. ь s
Пользуясь таблицами натуральных значений тригонометрических функций, вычисляют (в камеральных условиях до 0,01") азимуты звезд
sinfj
sin В cos ticos В tg6j
A[ Л* -(- Qi -)- 6yt + 6ц,,
by i = k
где б yi поправка за ускорение в движении звезды по азимуту,
бц; поправка эа влияние неправильностей цапф.
Вычисляют свободные члены уравнений погрешностей
(В геодезическая широта пупкта наблюдения) и затем азимут земного предмета
Если на пункте наблюдения | Б I = | ф В | 3*, то уравнения погрешностей составляют в виде
АА + т) ctg z cos А * + l[ = vi.
Если |£]> 3", то уравпения погрешностей имеют следующий
вид:
ДЛ + rictg z cos А* \ ctg z sin А* + lt = v{.
Составляют пормальные уравнения и из решения системы нормальных уравнений находят АА и т] или АЛ, т) и £,
Оценку точности искомых неизвестных производят по формулам
(к лисло пеизвестных);
т т
^А-'7Т==- Му
vtTa 4 утг' ' vj,
Окончательное значение геодезического азимута вычисляют по формуле
<4=Л0 + ДЛ + 15* (ДГ + св) sin В + С + г + Дж„ ± 180s,
где АТ азимутальная лично-инструментальная разность; св поправка за свободные моменты; с, г поправки за центрировку и редукцию; АХу поправка за движение полюса,
Ахи= (аг sin Я + у cos X) sec ф-f- (х sin Х + у cos к) tg Ф cos ficp csc zcp;
В геодезическая шпрота пункта.
Долгота. Для приведения долготы к центру тригонометрического знака измеряют азимут направления а с центра инструмента па цептр тригонометрического анака с ошибкой, не превосходящей + 0,5'. Азимут отсчитывают от точки севера через восток от 0 до 3609. Далее измеряют приведенное к горизонту расстояние I между центром инструмента и центром тригонометрического знака с точностью до 1 см.
* = ИПТГ = ”ПГ1] ф sin
где И длпна дуги параллели в Г в метрах па дапной широте; величину [2] выбираем иа Геодезических таблиц по аргументу ф.
Широта. Для приведения широты it центру тригонометрического знака измеряют приведенное к горизонту расстояние I между точкой стояния инструмента и Центром тригонометрического знака с точностью до 1 см и азимут а направления с центра инструмента на центр тригонометрического знака (от точки севера яереа восток от 0 до 360°) с точностью до 0,5',
Поправку за приведение широты- № центру тригонометрического знака вычисляют по одной из следующих формул:
' / cos а j;
lg Дфс [i] + lg (i cos Ф = ф'+Дфс,
где I длина дуги меридпапа в Г в метрах па данной широте; |1) = lg (р7М0) величина, выбираемая из Геодезических таблиц по аргумепту ф; Мй радиус кривизпы дуги меридиана.
Азимут. Приведенный к центрам тригонометрических знаков азимут вычисляют по формуле
а = а' + Дс+Дг + Ау,
где Дс поправки аа центрировку; Дг поправка за редукцию; Ау поправка за сближение меридианов.
Поправку за цеитрировку вычисляют по формуле
Дс = psin 9,
*
где I горизонтальное ироложеняе между точкой стояния инструмента и центром тригонометрического знака, известное с точностью до 1 мм; а расстояние между тригонометрическими знаками, данное с точностью до 1 м; 0 угол при центре инструмента между направлениями на центр тригонометрического знака, с которого определяют азимут, и на центр тригонометрического знака, намеренный с точностью до 0,1'..
Поправку аа редукцию вычисляют по формуле
Дг = р sin 0Ь
где i| горизонтальпое проложение между центром:тригонометрии ческого знака, на который наблюдают, и точкой стояния гелиотропа (фоиаря), измеренное с Точностью До 1 мм; 0, угол при точке стояния гелиотропа (фонаря) между направлениями на центр тригонометрического знака, на который определяют азимут, и На центр трнгопометрического знака, с которого производятся наблюдения по определению азимута (с точностью до 0,1°).
При наблюдениях с тригонометрического знака элементы Цет* рировки и редукции определяют по два раза: в начале наблюдения и по окончании их.
Поправку за сближение меридианов вычисляют по одной из следующих формул:
.о,. - * * sin a sin ф АУ = [2] I sm a tg Ф = j-j ,
где а азимут с точки стояния инструмента на центр тригонометрического знака, с которого производилось определение азимута (от точки севера к востоку от 0 до 360°), измеренный с точностью до 0,1'; Ф широта места наблюдения (с точностью до 0,1').
Для определении широты с точностью до 1' по аенитному расстоянию Полярной нужно знать поправку хронометра и0 с точностью до 1т.
Перед нцблюдеииями хорошо нивелируют инструмент и определяют место венита на вертикальном лимбе с точностью до 0,1'.
Наблюдения производят при кругах право и лево, наводя на Полярную по два раза при каждом круге. Перед наведением берут счет секунд с хронометра и, продолжая считать в уме, о момент удара хронометра п какую-либо целую секунду наводят на Полярную горизонтальную вить трубы инструмента, действуя мпкромет- ренным винтом по высоте. Отмечают покаааппя хронометра в момент наведения на Полярную, а также отсчитывают вертикальный круг по обоим микроскопам, предварительно приведя на середину пузырек уровня при алидаде вертикального круга.
Вслед за первым делают подобным же образом второе наведение на Полярную.
Дальше переводят трубу инструмента через аепнт и такие же наблюдения повторяют при другом положении круга инструмента.
В конце приема наблюдения но анероиду отсчитывают атмосферное давление и ио термометру-пращу ; температуру наружного воздуха.
При обработке журнала наблюдения вычисляют средние по кру гам отсчеты по вертикальному лимбу и соответствующие им средние отсчеты хронометра.:
Широту по наблюдениям при каждом положении круга инструмента вычисляют по формуле
Ф = 90а*гЬ.1+ П-К Ш.
Зенитное расстояние z для инструмента тппа АУ 2"/10" и У-5" вычисляют но формуле
z = Lcp-r- Mz + р= JV/z /?ср “Ьр,
гДе
Р Ро+Ро В).
Величину
где
t~s ct = rCp-|-uo ■ «,
выбирают ва таблицы I Астрономического ежегодника по аргументу местного звездного времени s.
Величину
15
выбирают из таблицы II Астрономического ежегодника по аргументам s и высоте
Л=9О4 zcp.
Величину
Д2
Ш = -5sin2 t tgcp
выбирают из таблицы III Астрономического ежегодника по аргументам s и дате наблюдения.
За окончательное значение широты по приему берут среднее из вычислений широты по наблюдениям при двух положениях круга инструмента.
Если поправка хронометра будет известна с точностью до 10s, то для получения широты с точностью до 30* можно наблюдать Солнце за 1 ч до прохождения пли через 1 ч после прохождения им меридиана.
С точностью до 2т звездное время в местный истинный полдень равно прямому восхождению Солнца в 0Л эфемеридного времени на дату наблюдения. По декретному времени СоЛнце проходит ме- ридиап в момент
Dn 24ft (Яо-Ь^')-Ь(п_Ь1)-
Перед началом наблюдения нивелируют инструмент и определяют место зенита на вертикальном лимбе. На окуляр надевают стеклянный густой светофильтр.
Широту определяют в следующем порядке.
КП (или KJI)
КЛ (или КП)
В первом положении Солнца наблюдают касание горизонтальной нити сетки его нижним краем, а во втором положении его верхним краем. Вертикальная нить в эти моменты проходит яерез цептр изображения Солнца.
Наблюдения Солнца заключаются в следующем.
Действуя одновременно двумя микромстренпыми пинтами (для передвижения трубы инструмента по высоте и азимуту), устанавливают изображение Солнца в поле зрения трубы так, чтобы горизонтальная пить находилась впереди направления его движения, а вертикальная в это время проходила через цептр изображения
Солнца. Затем прекращают вращение микрометренного винта по высоте п, продолжая действовать азимутальным микрометренным виптом, удерживают центр изображения Солнца на вертикальной лпти. В момент касания нужным краем Солнца (верхним или ппж- ним) горизонтальной нити берут отсчет по хронометру, затем отсчитывают вертикальный лимб по обоим микроскопам. При отсчетах лимба следят, чтобы пузырек уровня при вертикальном круге находился на середине шкалы амиулы.
Для астрономических инструментов типа АУ 2”/10” и У-5' эепитное расстояние Солнца по средним в полуприемах отсчетам вертикального лимба вычисляют по формулам
z=Lcp Mz+p p = Mz Лср-J-pр\
Р=Ро+ Ро (-4+ ®);
P = Pq Sin z\
где можно приближенно принять р© = 9*.
Широту вычисляют по наблюдениям при каждом положении круга по формулам
Vl, R = mL,R + nL, fil
Цв® .
igm-.
COS (q
cos г sin m
COS 71 = -
sin6Q
T'cv=±(TL,+ TLiy,
Ф = 4(фГ-+фя)-
Если при наблюдениях применялся звездный хронометр, поправка которого известна, относительно звездного времени, то
fQ= Тср+И ®0-
Если же применялся средний хронометр и его поправка известна относительно среднего солнечного времени, то
<q = Гер + и -)- Е.
D = v1 v0; v0 9,s85ti vE.
Видимое прямое восхождение и склонение Солнца интерполируют из Астрономического ежегодника по формулам
aQ~ + йО “ +
При наблюдениях на звездный хронометр, когда и известие относительно звездного времени,
fc=[(5-50)-v(J-S0) + &rift;
Если же наблюдения производились на средний хронометр и его поправка известна также относительно среднего времени, то
h = {TCp-\-u А.+ Д T)h.
Поправку часов определяют утром п вечером, начиная наблюдения не раньше чем за 1,5 ч до прохождения Солнцем первого вертикала и заканчивая их не позднее чем 1,5 ч спустя после прохождения. На зенитных расстояниях больше 85° наблюдать Солнце пе рекомендуется.
Приближенно звездное время прохождения Солнцем первого вертикала можно вычислить но формуле "
(q= 24л для утренних наблюдений; = V для .вечерних наблюдепий;
cos t' = tg 6q ctg ф.
Наблюдения по определению поправки хронометра по зенитному расстоянию Солнца производят по изложенной выше методике определения широты но зенитному расстоянию Солнца.
Вычисление поправки часов относительно звездного времени производят по следующим формулам:
и~~2 (sl + sr) гг (7ср + Гср);
SL. a =tX0+<L, R
1 1
v sin у (z +2т") sin2m)
Qin2 ' | *
гт = фft©;
z = Lcp Mz+p p = Mz /?cp+pp; iL д=24л ('для утренних наблюдений; n = t' для вечерних наблюдении;
6©= 8о~Ь^,1,5>
, h'D
i5=i,o+-4g-;
D = vi 1>и; h = [(5 - S«) - v (5- So) + ДПл;
5 = 7ср+цоЯ; а©= ао+
, hD va иоН ^g~ \
D = i\ v0\ y0 = 9,s856v£;
*' = ('£..*-*-*•+MV
Если азимут направления на земной предмет нужно определить с точностью до 1', то для вычисления азимута Солнца иужно знать широту места наблюдения с точностью до 1' и поправку хронометра с точностью до З"1 (для интерполирования из Астрономического ежегодника видимых мест Солнца).
Инструмент перед наблюдением тщательно выверяют, центрируют, нивелируют, определяют место зенита, надевают на окуляр густой светофильтр. Во время наблюдения следует, чтобы пузырек уровня накладного и при вертикальном круге находились па середине. Для учета астрономической рефракции измеряют температуру наружного воздуха с точностью до 23° и давление атмосферы до
Азимут определяют в следующем порядке.
КП (илп КЛ)
KJ1 (или КП)
Указанные действия составляют один прием. Для определения азимута направления наблюдают два-три таких приема.
В первом положении Солнца наблюдают одновременное касание изображения правого края Солнца вертикальной нити в поле аре- пия трубы, а нижнего края Солнца горизонтальной нити. Во втором положении Солнца наблюдают одновременное касание изображения левого края Солнца вертикальной нити в поле зрения трубы, а верхнего края Солнца горизонтальной нити.
Визирование на Солнце заключается в следующем. Действуя одновременно двумя микрометренными винтами (по высоте и азимуту), изображение Солнца устанавливают в поле зрения трубы так, чтобы горизонтальная нить находилась впереди направления его движения, а вертикальная нить касалась нужного края Солнца. Затем прекращают вращение трубы по высоте и, продолжая действовать азимутальным микрометрепным винтом, непрерывно касаются вертикальной нитью нужного края изображения Солнца. Касание изображения Солнца горизонтальной нити фиксируют по показаниям хронометра. Счет секунд по хронометру удерживают в уме.
В журнале наблюдения подсчитывают средние из отсчетоп по горизонтальному лимбу прп наведениях на земной предмет (при круге право и круге лево инструмента) по формуле
ЛГ = у[£ + <Д±180°)];
вычисляют средний отсчет по горизонтальному лимбу при визировании на Солнце
м =4 [ ■Ly+ L*+1R1± ISO9) + (R* ± 180?)],
а также вычисляют среднее показание хронометра по формуле
Азимут направления на земной предмет вычисляют по формуле a = Q + A,
где
Q = N Л/;
А I f sin (pz) sin (pФ)
® 2 V sin p sin (pA)
Р = 1(Л+Ф+2);
д = 90?dQ;
Ф = 90? q>; z P Mz + p;
p=\ Il;+/.;+ (360° - л;жзво°- ЛП1;
P= Po+ Po (Л + B)\
6Q = fio+^t,si , hD
V*-V°+~W'
D = Vii>„;
A = [(S - SQ) - v (5 So) + ДГ]А;
5 = Гер И-u A..
Азимут Солнца принимают со знаком плюс для утреппих и со знаком минус для вечернях наблюдений.
Для определения азимута направления па земной предмет с точностью до 1' нужно звать поправку часов с точностью до 1т и широту места наблюдения с точностью до 5'.
Земной предмет, азимут которого определяется, должен находиться от инструмента на таком расстоянии, чтобы при визировании не пришлось изменять фокусировку трубы при переходе от наблюдения земного предмета к наблюдениям Полярной.
Перед определением азимута инструмент нужно тщательно выверить, обратив особое внимапие на установление перпендикулярности горизонтальной оси вращения инструмента к его вертикальной осп. Затем инструмент нивелируют и центрируют над точкой стояния.
Рекомендуется следующая методика наблюдения,
КП (или КЛ)
КЛ (или КП)
Указанные действия составляют один прием определения азимута. Во избежание грубых просчетов лимб между приемами переставляют на произвольный угол.
Вычисляют азимут со средним по приему моментом наблюдения Полярпой по следующим формулам:
a = Q А;
Q = N М\
Лг = у[Л+(Л±1803)];
Л/![£,+ (/*« ±«0°)]:
А= A sec Ф sin {t-\-6ls)i бIs = As tg ф sin f;
Д= 90° б; t = Tcp (сс u);
Гср| (TL+Tlty
Вычисления можпо вести с применением как арифмометра так и таблиц логарифмов.
Азимут определяют по паблюдениям Полярной и вспомогательной звезды. С начала года и по август в качестве вспомогательной звезды берут б Кассиопеи, а с июня и по конец года звезду £ Большой Медведицы (Мицар).
Инструмент перед работой хорошо выверяют; приводят к минимальному значению коллимационную ошибку; устанавливают горизонтальную ось вращения перпендикулярно к вертикальной оси вращения инструмента; инструмент хорошо центрируют и нивелируют.
Наблюдения состоят из визирования крестом нитей на земной предмет и на звезды при отсчптывании по горизонтальному лимбу.
При каждом положении круга ипструмента вспомогательную звезду наблюдают симметрично по времени (с точностью до 10 сек) относительно первого и второго наблюдений Полярной, для чего пользуются карманными часами.
Наблюдения производят в следующем порядке.
КП (или КЛ)
КЛ (или КП)
Начипают наблюдения с визирования на Полярпую и повторяют их в порядке, обратном порядку при первом положении круга инструмента.
Такие наблюдения составляют один прием.
В журнале наблюдения для каждого полуприема вычисляют средние из отсчетов по горизонтальному лимбу из наблюдений Полярной и находят углы: Q горизонтальный угол как разность направлений на вспомогательную звезду и на Полярную, Qi горизонтальный угол как разность направлений на земной предмет и па Полярную.
Азимут вычисляют методом приближений. Для первого приближения в летних наблюдениях для Полярной принимают AN 0= 1?, а в зимних An 0 = 0Ч. Второе приближение дает для южных и средних широт (до 609 северной широты) азимут Полярной с ошибкой, не превышающей 0,2'. В широтах выше 60°- обычно вычисление ведут тремя приближениям.
Вычисления выполняют по следующим формулам:
A* AN,q + Q'
_СОЗф_.
cos6„ *
sin <7, = &эт А,;
1
sin j (6,+ф)
*1 = 1 I
COS (ft, ф)
« = („+(<!„ а);
£ = 90° (рAcos<;
. . Д sin /
® N р sin С
a = AN+Ql-
Из двух значений азимута, полученных по наблюдениям при положениях инструмента круг право и круг лево, берут среднее.
Углы q„ и tJ2 берут в пределах первой четверти со своим ана- ком, полученным при вычислениях по Приведенным выше формулам. Азимут Полярной AN может лежать в первой или .четвертой .четвертях, .что устанавливается по анаку tg А д..
При наличии Астрономического ежегодника азимут Полярной для первого приближения можно выбрать из Таблиц высот п азимутов Полярной по аргументу s (местное звездное время). Если s известно с точностью до 10т, то окончательный азимут вычисляют с первого же приближения для наблюдений, выполненных в любое время года и под любыми широтами.
Местное звездное время по показаниям карманных часов, идущих по декретному времени пояса п, можно вычислить по приближенной формуле
s = 1S0+ ^ Dn (n-f-1),
Имея поправку хронометра и и покааания его X в средний момент приема радиосигналов времени какой-либо радиостанции, близкой но времени к наблюдениям поправки часов, можно вычислить приближенную долготу места наблюдения по формуле
(Х-)-и) (5о+ То+МГо)-
Если же известна долгота места наблюдения, то при наличии приема радиосигналов времени поправку .часов вычисляют по формуле
и X X.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Сферойдическая геодезия изучает геометрию земного эллипсоида и изображение значительных частей его поверхности по математическим законам на шаре и ва плоскости для целей обработки результатов геодезических измерений.
Эллипсоид, определенным образом ориентированный в теле Земли, на поверхность которого проектируют результаты геодезических измерений и на котором вычисляют координаты пунктов геодезических сетей, называется референц-эллипсои- д о м. Поэтому часто поверхность референц-эллипсоида называют поверхностью относимости.
Эллипсоид Красовского, принятый в СССР (1942 г.) в качестве референц-эллипсоида, получен из обработки геодезических, гравиметрических и астрономических материалов по СССР, США, Западной Европе и Индии. Сжатие эллипсоида Красовского (1 : 298,3) наилучшим образом удовлетворяет результатам наблюдений искусственных спутников как СССР, так п США.
Поверхность, всюду ортогональная к направлениям силы тяжести, называется уровенной поверхностью. Уровенная поверхность, совпадающая с поверхностью мирового океана в состоянии полного покоя водных масс и продолженная под материки, называется основной уровенной поверхностью
Vo
Земли. Геометрическая фигура, ограниченная этой поверхностью, называется геоидом. Поверхность геоида и основная уровенная поверхность как геометрические поверхности совпадают. Поверхность геоида не имеет складок и ребер, она всюду замкнута, только кривизна ее меняется не математически. Поэтому вычисления на этой поверх- s ности строго математически невм-
Рис. II.4.1 полнимы.
Параметры эллипсоида (рис. II.4.1) а большая, пли экваториальная, полуось;
6 малая, или полярная, полуось;
а Ь
а = - полярное сжатие;
а2 62
е1 = квадрат первого эксцентриситета;
,2 Я3_62
е = квадрат второго эксцентриситета;
ег = 2а а2 или приближенно е2 = 2а;
„'2
е2 = .
1 ( е'3 ' «2
1 е2 >
Ь = аУ\ е2. -
Параметры эллипсоида Красовского
а = 6 378 245 ООО м lg а = 6.804701197
6 = 6 356 863,019 м lg 6 = 6,803242853
а = 0,0033523299 lg а= 7.525346747_10
<?2 = 0,0066934216 lg е2 = 7.825648182-ю
г'2 = 0,0067385254 lg е'2 = 7.828564871 _10
На западе наибольшее распространение имеют параметры эллипсоидов Бесселя и Хейфорда.
Параметры эллипсоида Бесселя
а = 6 377 397,155 м lg а = 6.8046434637 6 = 6 356 078,963 м lg 6 = 6.803189289 а = 0,0033427732 lg а = 7.524Ю6909_1О е2 = 0,0066743722 lg е2 = 7.824410424-1О е'г = 0,0067192188 lg е'2= 7.827318783_ю
Параметры эллипсоида Хейфорда в = 6 378 388,000 м lg а = 6.804710934
а=0,00336700337 lga = 7.527243551.w = 0,0067226700 lg *2 = 7.827541795-,,, e* = 0,0067681702 lg e'2 = 7.830471271.lo
Параметрические линии и системы координат эллипсоида»
Параметрическими линиями эллипсоида называются меридианы и параллели. Меридиан геометрическое место точек равных долгот; параллель геометрическое место точек равных широт.
Ps
Рис. 11.4.2
Геодеаияеская широта В острый угол между нормалью и плоскостью экватора (рис. 11-4.2). Геодезическая долгота L двугранный угол между плоскостями первого меридиана (меридиан Гринвича) и меридиапа данной точки.
Рис. II.4.3
Геоцентрическая широта Ф угол между ра- диусом-вектором и плоскостью экватора; приведенная широта и угол между плоскостью экватора и линией, соединяющей точку пересечения ординаты у с окружностью радиуса а с центром эллипсоида (рис. II.4.3).
tg Ф = (1 е2) lg д,
lgM = У1 e*tgB,
_ a cos В a cos В
W
~ У Х е^ШТ) ~ W о(1 e2)sinB a(l e2)sin.B
У \ е2 sin2 В
W = Yl i?2 sin2 В первая функция геодезической широты.
Пространственная система прямоугольных координат 'с началом в центре эллипсоида (рис. II.4.4):
„ , a cos В cos L
IV
a cos В sin L W
Х = х cos L или X = a cos и cos L = -
y=a;sinL или Y= a cos и sin L =
„ _ . ьу 1 e2 sin В
Z = y или Z = b sin и = .
W
-X
Рис. II.4>4
Рис. II. 1.5
Радиусы кривизны (рис. II.4.5).
л/г “(1е2)
М = - радиус кривизпы меридиана;
N =-уррадиус кривизны первого вертикала;
а У 1-.2
r=Ymn=
W2
-средний радиус кривизны;
Ba = MN : (N cos2 А + М sin2 А) радиус кривизны нормальпого
сечения;
r = N cos В = & радиус кривизны параллели; c a:Y^ 1 e* = aV 1 + е2 полярный радиус кривизны. Обозначено:
у ", R у2 •
г= ссоэВ_. NM-i = V2t N>>M.
Величины р"/М = (1) и p/N = (2) называются соответственно первой и второй геодезической величиной.
lg V = 0.0007297842 + 0.00072917139 cos 2 В
и
Дуга мерыдиаиа
ь
$з=
О
£ MdB=a( 1 е2)|^1-^ y-sin 25-f
+ -^-sin4if^s*n 6^ + ••• j
для эллипсоида Красовского.
A = 1,00505177 B = 0,00506238 С = 0,00001062 D = 0.00000002
«= 6 367 558,49587 16 036,48027 sin 2В +
Р
+ 16,828067 sin 450,021975 sin 6В
Длина дуги s с точностью до миллиметров дается .через каждую ми п у ту широты в «Таблицах для вычисления плоских конформных координат Гаусса в пределах широт от 30 до 80?» (М., Геодезиздат, 1958).
В таблицах Д. А. Ларина меридианные дуги, отсчитанные от акватора, обозначены через X. Дуга между двумя пунктами будет
s = X%^i.
Для s =5 5060 км действует формула
. = Мт _ (1)т (В2_ В1)1
где В г и Вг широты данных пунктов.
Дуга параллели
rl" N cos В р
Р Р
где I разность долгот данных пунктов.
В таблицах Д. А, Ларина через каждую минуту широты даются величины
N cos В ь1 = ^ ,
а дуга параллели вычисляется по формуле
s'= *!/.
Площадь и рамки трапеций. Полная поверхность земного эллипсоида
П = 4п62| 1 + -|- + \ «4 + у *“+ •••||
П = 510083035,4 км2 (по размерам эллипсоида Красовского). Площадь пояса от широты Вх до В2
Р = Anb2 ^А' sin ~ (В2 Bi) cos Вт В1 sin (Вг В\) cos 3Z?m+
+ С' sin -5- (В2В1) cos 5Bm . . .j.
Площадь трапеции миллионного листа карты
ЛЬ2
р 1 ООО ooo=-j5- И' sin 2° cos Btn В' sin 6s cos 3Sm+
+ C' sin 10° cos ЪВт . . .}•
Площадь трапеции карты масштаба 1 : 100 000 я
Рюоооо "jgQ- И'sin 10' cosBm5'sin30'cos35m-f- + C' sin 50' cos ЪВт . .
Jifc2 =124 061094,3 km2 A = 1,00336361
по размерам эллипсоида Красовского.
B' = 0,00112403 у
С= 0,00000170 Размеры трапеции (рис. II.4.6)
Г
ai = Ni cos В\ -^г ,
I"
а2~ ^2 cos 52 -^Г ,
(Bs-BjY
с = М„
d j/*«2(71 .
Величины а1, а2, с, da Р для различных масштабов карт можно найти в «Таблицах координат Гаусса Крюгера», составленных под руководством проф. А. М. Вировца.
Стрелка провеса рамки трапеции рассчитывается по формуле
h Nn
sin 2В„
16р"
где Вт средняя широта северной и южной рамок; Nm радиус первого вертикала для Вт.
П.4.3. Кривые ва поверхности земного эллипсоида
Нормальные сечения, расхождение взаимных нормальных сечений. Нормали точек поверхности эллипсоида, имеющих разные широты, пересекаются с осью вращения в разных точках. Вследствие этого нормальная плоскость, проходящая через нормаль гс,/*, и точку Р2, не совпадает с нормальной плоскостью, проходящей через нормаль пгРг п точку Р1 (рис. II.4.7). В пересечении этих плоскостей с поверхностью получаются две кривые а и Ь, которые называются взаимными нормальными сечениями.
Нормальные сечения плоские кривые. Если допустить в триангуляции, .что отвесная линия и нормаль к эллипсоиду в данной точке совпадают, то углы можно считать измеренными между
Рис. II.4.7 Рис. П.4.8
нормальными сечениями. Так как между двумя точками на эллипсоиде проходят два нормальных сечения, то при наблюдении треугольников получаются шестиугольные незамкнутые фигуры (рис. II.4.8).
Угол между взаимными нормальными сечениями
Д = ■ р" cos2 Вт sin 2<х.
При s= 30 км, Вт=60° и а = 509 Д = 0,003*, при s = 100 км, Вт = 60s и а = 50° Д = 0,032", при s=150 км, Вт= 60° и а = 50° Д = 0,057*.
Неучет угла между взаимными нормальными сечениями может привести в звене триангуляции при передаче азимута а к ошибке порядка 0,1".
Несовпадение взаимных нормальных сечений называется двойственностью' нормальных сечений. Чтобы получить замкнутые однозначные фигуры, триангуляционные пункты соединяют геодезическими линиями, которые, будучи кратчайшими расстояниями между двумя пунктами, образуют
замкнутые фигуры. Геодезические линии проходят между взаимными нормальными сечениями, располагаясь ближе к прямому сечению. Расположение геодезической линии в отношении нормальных сечений в общем случае показано на рис. II.4.9.
Угол между геодезической линией и нормальным сечением б равен одной трети угла между взаимными нормальными сечениями, т. е. Р,
В каждое измеренное в триангуляции направление вводят поправку
e2s2
Геодезические линии на поверхности играют роль прямых на плоскости. Основное уравнепие геодезической линии
г sin А = const,
где г радиус параллели; А азимут геодезической линии в данной точке.
Геодезическую линию определяют еще как кривую, в каждой точке которой главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.
Разность длин дуг геодезической линии и нормального сечения между двумя точками весьма малая величина
S s° = 360N* C°S4 Вт Si“2 2“
и при любых точных расчетах и теоретических выкладках не учитывается.
При s 600 км
Треугольники, измеряемые в триангуляции, имеют сравнительно небольшие размеры, без заметных искажений развертываются на сфере соответственно выбранному радиусу. Следовательно, решение сфероидических треугольников малого изгиба сводится к решению им соответствующих сферических треугольников. Базисы в триангуляции измеряются в единицах длины и поэтому из решения треугольников надо также получить стороны в тех же единицах длины.
Существует несколько способов решения малых сферических треугольников, когда стороны получаются в единицах длины. Главнейшие из них теорема Лежандра и способ аддитаментов.
Рис. п. 4. ю
Рис. П.4.11
Теорема Лежандра. Малый сферический треугольник можно решить как плоский, если каждый его угол уменьшить на треть его избытка (рис. II.4.10, а, б)
Al = A~J
сг = с- з ,
где е сферический избыток треугольника ABC, Alt В, и С, приведенные плоские углы.
„ afesinCip" aesin51p" 6csitiy4jp"
2R2
2Д2
2Я2
Способ аддитаментов. При решении по способу аддитаментов стороны треугольника выражаются в частях радиуса (рис. II.4.1I)
sin В
■ Аь Аа.
sin А
lg 6 = lg а
Aa = [g sin , Ль lg J sin ~ называются адцитаментами.
К |
|
Кв- |
к \ |
к |
- .) |
КС- |
К ' |
К,
■К
12
Теорема Лежандра и способ аддитаментов пригодны для треу- угольников, стороны которых не превышают 150200 км. Треугольники с большими длинами сторон решаются по более сложным формулам, где учитываются сфероидичность треугольника и поправочные члены к теореме Лежандра
А^А-Т-ШК(т2~а2)-12
В1 = В-^г- К(т*-Ь2)-^-
60
^ КА+КВ+КС . а2 + Ь2 + йг К = g ; “2= g ; е = Дкр ;
Д поверхность треугольника ABC.
Приведенные выше формулы пригодны для треугольников со сторонами до 500600 км.
Если вершины треугольника ABC соединяются хордами, длины которых обозначены соответственно через а, Ь и с, то решение хордового треугольника ведется по формулам
si
Ь = а
п(д~т)
in(A-\)
Ы)
sin
с= а
ш(л-±)
где е по-прежнему сферический избыток треугольника ABC, п рнчем
а3
а = а
24Я2
Л средний радиус кривизны соответствующей вершины треугольника.
П.4.5. Вычисление геодезических координат пунктов государственной опорной сети
В современной практике геодезических работ в СССР геодезические координаты вычисляются для пунктов триангуляции 1 класса; триангуляция остальных классов и иолигонометрпческие сети обрабатываются на плоскости в проекции Гаусса Крюгера с вычислением плоских прямоугольных координат пунктов.
Вычисление геодезических координат является практической и научной задачей и выполняется с большой тщательностью. Широты и долготы пунктов вычисляются с точностью до 0,0001", а азимутыдо 0,001". Чтобы обеспечить указанную точность, необходимо вычисления вести с удержанием восьмого десятичного знака.
Вычисление геодезических координат часто называют главной геодезической задачей. При этом различают: прямую геодезическую задачу, когда по координатам заданного пункта, длине и азимуту геодезической линии вычисляют координаты текущего пункта и обратный азимут; обратную геодезическую задачу, когда по координатам двух пунктов вычисляют расстояние между ними по геодезической линии и азимуты ее в конечных пунктах.
Для решения прямой геодезической задачи при расстояниях между пунктами до 120130 км в СССР применяются главным образом формулы Шрейбера Изотова, которые имеют вид
В% = #i+ t>o
^2=
A2=Ai± 180° + t'-e', u = scosyli, y = ssin/li,
P'-(1)i», У" = (2)ovi
lg bl = lg Г- (4)i u + (5)г i>2+ (6)! B*. lg c" = lg y” ^ (5)i и2,
%" = c* sec B0! t* = c" tg So,
108ц
6” = (3)0tV, e" = -
2p" Op"''
lg Г = lg Г 2vt"2+ (9)a Г, lg *" = lg t" vt"2 v\"2+ (7)0Г\ lg <Г = lg 6" - vt*2 - -i vt”2 + (8)0 V\
'\-
В этих формулах в соответствии с рис. II.4.12: Ьо разность широт вспомогательной С (В0) 11 данной Р1 (By) точек; d разность широт вспомогательной и искомой;
р" . 3»108цг' sin 22?х
10»Ц
^ = ЖГ* <4*“
'iMiNi
выбирают из «Таблиц для вычисления геодезических координат» по аргументу широты данного пункта Ри а логарифмы величин
' -* N0
2р"А/0
(2)о=-^-, (3)0 =
Для расстояний порядка 2530 км формулы Шрейбера Изотова могут быть упрощены, а именно их можно применить в виде
lg^ = lgr-(4)i«t+(5)ll;2l lg Z" = lg Я"2vt"2. lg = lg т"vr"2 vX"2,
lg d" = lg 6"vt"2 vX"2*
Прямая геодезическая задача может решаться по формулам «со средними аргументами» или формулам Гаусса
В%= В±-1-6 , L% = L\-\~ ln, Л2 = it 180 - -(- о.", lg Ь"= lg Р™+ J vZ"2 Sin2 Вт + 1 Vi”2,
lg I" = lg Kn + J vJ'1 Sin* Bm - 1 vfc"2,
lg a^lg^ + ^vr2 sin2Bm+i-vi'2 cos2^+i-vb'2,
Pm (l)m s cos j4m, Xm = (2)m ssin Л/п sec tJ, = (2)m s sin Am tg Bin,
Bin = ~2 (Bi+Bi): Am = ~2 (^lH-^2 180)°.
В общем случае Bm и Ат неизвестны, поэтому задача решается методом последовательных приближений. Логарифмы величин (1)т и (2)т выбирают из геодезических таблиц по аргументу Вт, поправочные члены вида vZ"2, vb"2 по lg I" и lg b".
Для решения обратной геодезической задачи, т. е. нахождения s, А,, А. по 5,, В,, L,, L, наиболее целесообразны обращенные формулы Гаусса в виде
lg s = lg Р lg sin Ат = lg Q lg cos Am,
Ai = Amja, A2 = Am+~a±l80°, lg tg Am = lg P lg Q, lg p = lg « sin Am = lg 1 C,o! Bm + Alg (* sin Am),
\4m
lg Q = lg * COS Am = lg -щ -f- Alg (s sin Am),
]ga = ]g/sin Bm + A\ga,
Alg(s cos Am)= yv/2_-L v/2 sin? rtm,
1 1
Alg (s sin Am) = Wi- \l~ sin2 lim,
Из решения обратной задачи s получаются с точностью до 1 см, азимуты до 0,01"0,04*.
(1.4.6. Решение геодезических задач на большие расстояния
Прямая задача. Дапы В l, L1, ь и А определяются В2, п Л, (рис. 11.4.13).
Метод' Бесселя. По этому методу сначала переходят на вспомогательную сферу, где геодезические широты соответствуют приведенным (рис. II.4.14), задачу решают на сфере и затем от сферических элементов переходят к эллипсоидальным.
Рио. II. 4.13
р,т
Порядок решенпя задачи.
tg и1 = /1 eng£,.
cos и0 = cos sin Ai, lg<p=tg Uxsec Ai.
к е' sin Uq.
363
о = а 4- -f- Р sin а cos (2<р+ а) + у sin 2а cos (4<р+ 2а) + . . ь
где Ь малая полуось эллипсоида.
tg Ua
tg#2 = -
Vl-t
Обратная задача. Даны Blt В2, Lt и Ь2, определяют $,/1,1/1,. Порядок решения задачи.
со= Z-f-cos и0{а'о+ р' sin сгcos (2ф + ст)-|- . . .}.
В большинстве случаев можно вычислить со по приближенной формуле
ш= J + 667/с0 sin Z cos Вх cos В2.
где для расстояний
до 6000 км |
*0 = 1, |
||
от 6000 до 8000 км |
А0 = 1,5, |
||
» 8000 |
» |
10 000 » |
??- О II to О |
» 10 000 |
12 000 » |
Ао = 2,5, |
|
» 12 000 |
» |
13 000 » |
к0 = 3,0. |
Метод Бесселя для решения прямой и обратной геодезических вадач пригоден при любых расстояниях между пунктами,
Пространственная система координат. В тех случаях, когда геодезические объекты находятся в пространстве на значительной высоте над поверхностью землп, целесообразно геодезические задачи решать в системе пространственных прямоугольных координат с началом в центре референц-эллипсоида. В этом случае ось z направляется по оси вращения эллипсоида на север; ось х располагается в плоскости первого меридиана, а ось у в плоскости меридиана с долготой L = 90°.
Уравнение эллипсоида вращения в канонической форме в пространственной системе координат с полуосями а и Ъ имеет вид
■5-+5-+-S--1- (П-41)
Это же уравнение в векторной форме в геодезических координатах запишется в виде
г = |~ЛГ cos В cos L, iVcosBsinL, JV sin . (II .4.2)
Векторное уравнение справедливо для точек, лежащих на поверхности эллипсоида, где Ы = 0. Допустим, что точка имеет высоту Н над эллипсоидом по нормали N, тогда в уравнении (11.42) вместо N следует подразумевать N + Н. Следовательно,
г= £(JV + tf)cos В cos L, {N+H)cosBsiaL, JV+sin bJ .
(11.4.3)
Из сравнения (11.41) и (11.43) получаем следующие связи между (х, у, г) и (В, L, Н):
(II.4.4)
х= (N + H) cos В cos L y = (N-{- И) cos В sin L
2=(-г5-*+я)81пВ
Определение геодезических координат по пространственный. Из двух первых уравнений системы (II.4.4)
tg L = i. (II-4.5)
Путем преобразования третьего равенства (II.4.4) имеем
tgB = -l + e2 (II.4.6)
где <* = /*2-1-02 = (W+tf)cosB.
370
Формула (II.4.6) применима для вычисления В приближениями. Чтобы ускорить и сократить число приближений, целесообразно первое приближение выполнить по формуле
tg (£)=-i(l+ g2JV- Л.
d \ Yd2+2* )
Имея d и z, В, можно найти Я
Я = d cos В+ z sin BN (1 e2 sin 2 В). (II.4.7)
Формулы (II.4.5), (II.4.6) и (II.4.7) решают задачу обратного перехода: по данным прямоугольным координатам (х, у, г) находим (В, L, Я). Для контроля вычислений можно использовать соотношение
Н = N = - ЛГ = JV.
cos В cos Z, cos В sin L sin В ai
Расстояние и азимут направления (обратная геодезическая задача). Если даны две точки в пространстве со своими прямоугольными координатами (х1; ylt яг) и Р2 (ж2, г/2, г2), то квадрат расстояния между ними, обозначенный через s2, равен
■*2 = Да;2 + Др2+дг2 (И.4.8)
или, подставляя вместо прямоугольных координат геодезические по (II.4.4), получим
*2 = 4^2 3^2-1(1 + -^) (1 + -^-)+(ДЛГ+'ДЯ)*-*е*-
где
cos ч|5 = sin By sin -Вг+cos .Bi cos B2 cos (L2 L{), e = e2 (JV2 sin B2Ny sin Bx),
дя=я2-я1, *=■£,
Для получения азимута направления, совпадающего с азимутом нормального сечения, в плоскости которого лежит данное направление, целесообразно преобразовать координатную систему. Начало координат новой системы совпадает с первой точкой; ось х направлена по касательной к меридиану начальной точки, ось у' направлена по касательной к первому вертикалу точки, а ось z' по нормали.
Связь между новой и старой системами координат выражается уравнениями
х> = (г2*i) cos Bi~ (xs xx) sin Bi
z' = (z2Xi) cos Вi + (z2zjJ sin Bx
tg a = -j7- (II.4.11)
или
ctg а = -^7-, (II.4.11')
ctg tt = .(z2- »1) cos B,- (*2-xt) sin Дг ^ (II 412) У2
Через систему координат (Я, L, Я)
ctg а1 =
(■^2 ■}“ -Да) sin (i?2 ^i)"f-(-f^i) cos B% sin B\ (1cos)(//2■ Ьц) e cos Bi
(N%-f- cos В2 sin {L>2 L\)
sin (Въ-^l) I • n (-^2 -^l)
aea'= coS-B2Sin{L2-L1)+S'n Bl tg 2
e cos By
(N //■_>) COS 5*2 (Z^2 ^l)
Выражение для ctg a2 получится из предыдущего путем перемены индексов
sin (В2Bi) . (^2^1)
ctg a-j = • /, sm В» tg »
ь 1 cos Bi sin (L% L{) 28 2
e cos В2
(7V!+Я1) cos sin (L2£i)
Прямая геодезическая задача. По данным геодезическим координатам Bt, Lx, Н1 первой точки и полярным координатам г, Л12, z12 второй точки вычисляют геодезические координаты Вг, Ь2 и Н2 этой точки.
Для решения поставленной задачи целесообразно несколько преобразовать вспомогательную систему координат, принятую для решения обратной геодезической задачи, а именно: ось х' располагают в плоскости меридиана первой точки в направлении оси вращения эллипсоида; ось у' под прямым углом к оси а ось z' по направлению нормали.
В принятой системе координат координаты второй точки .через полярные выразятся формулами
(II.4.13)
x2 = r sin z12 cos А12 y2 = r sin z12 sin Л12
Z2 r COS Zj2
Новую прямоугольную систему координат подвергнем следующим изменениям: координату z' увеличим на Nl + Я,, систему повернем вокруг оси оу' так, чтобы ось oz совпадала с осью вращения эллипсоида, а начало координатс центром эллипсоида.
С учетом этих преобразований связь между системой {х'2, у'г, z'2) и (хг, уг, z2) выражается соотношениями
г'2 = (zj + + Ну) COS By Х2 sin ВI
У2 = Уг • (II-4.14)
Н = (Н + Nl + Ну) sin By + х2 cos By e^Ny sin By
Подставляя значения x2, y2, z2 из (II.4.13) в (II.4.14), получим (x2, y2, z2) через полярные координаты r, z12 и Ац и геодезические координаты первой точки. Имеем
х2 = (г cos z12+ Ny Ну) cos By г sin z12 cos -^12 sin
(II. 4.15^
S/2 = r sin z12 sin Л12
z2 = (r cos zj^-f-A^-f- Ях) sin + г sin z12 cos i4i3
e^Ny sin By
Полученные по (II.4.15) координаты (x2, y2, z2) отличаются от пространственных координат (II.4.4) тем, что в системе (II.4.15) ось х лежит в плоскости меридиана первой точки, тогда как в системе (II.4.4) она расположена в плоскости первого меридиана. Поэтому в системе (11.4.4) при переходе от прямоугольных координат к геодезическим в данном случае следует под L подразумевать (Ьг L,). Имеем
(п.4.16)
(II.4.17)
tg (£2 Еу)-~- *2
tg52=^ + e2__lSlnfi2 Я2 = Ii cos В-i + z2 sin B2 N2 (1 e2 sin2 B2);
d=Yx\+7%.
Вычисление Вг ведется приближениями, причем для первого приближения рекомендуется выражение
е2Л71
Vd*+
Ы-
Формулы (II.4.16), (II.4.17) и (II.4.18) вполне решают прямую геодезическую задачу в пространстве, если даны полярные геодезические координаты и геодезические координаты первой точки.
Проекция референц-эллипсоида на плоскость, принятую для переноса -и обработки результатов геодезических измерений, называется геодезической проекцией. Основные требования, которые предъявляются к выбору геодезических проекций, сводятся к следующим.
Поскольку искажения во всякой проекции неизбежны, то первое и последнее требования являются определяющими при выборе проекции, особенно для стран, имеющих большую территорию.
Гринвич
Рис. II. 4.15
Проекция Гаусса Крюгера вполне удовлетворяет основным требованиям, указанным выше. Хотя в этой проекции искажения не малы, но они легко учитываются, а переход от эллипеоида на плоскость и наоборот совершается по весьма удобным формулам с помощью таблиц.
Проекция Гаусса Крюгера определяется условиями:
.1. Проекция конформна, т. е. масштаб изображения постоянен в данной точке и зависит только от координат пункта.
Для практического применения проекции территорию страны разбивают меридианами на координатные зоны. В СССР приняты две системы координатных зон: шестиградусные и трехградусные (рис. II.4.15). Осевые меридианы шестиградусных вон совпадают с центральными меридианами листов карты масштаба
п = N 30,
где N номер колонны листа карты.
Долготы осевых меридианов шестиградусных зон определяются по формуле
1/0= 6л 3, трехградусных по формуле
L = 3k,
где к номер соответствующей трехградусной зоны.
На
В пределах территории СССР абсциссы координат Гаусса Крюгера положительные, ординаты положительные к востоку, отрицательные к западу от осевого меридиана. Чтобы избежать
На плоскости У Т'
О Изображение мДатора Рис. II.4.17
отрицательных ординат, точкам осевого меридиана условно приписывают ординаты в 500 ООО м с обязательным указанием впереди номера соответствующей зоны.
Порядок переноса геодезической сети с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса Крюгера складывается из следующих действий.
После выполнения этих действий считается, что геодезическая сеть спроектирована с эллипсоида на плоскость. Получив сеть на плоскости, ее уравнивают по способу наименьших квадратов и вычисляют плоские координаты всех ее вершин.
Основные обозначения и величины, употребляемые при переходе от вйлипсоида на плоскость, показаны на рис. II.4.16 и II.4.17.
Угол между хордой и линией, параллельной осевому меридиану, называется дирекционным углом и обозначается яерез а; оп отсчитывается по ходу часовой стрелки от параллельной осевому меридиану линии до хорды. Угол между изображением
меридиана на плоскости и линией, параллельной осевому меридиану, называется сближением меридиана на плоскости, или Гауссовым сближением меридиана, и обозначается через у.
Угол между хордой и изображением геодезической линии на плоскости называется поправкой за кривизну изображения геодезической линии на плоскости и обозначается через 6.
Связь между азимутом и дирекционным углом определяется формулой (см. рис. II.4.17)
а= А у 6.
Вычисление а выполняется с точностью до 0,001".
Прямая задача проекции Гаусса Крюгера. Под прямой задачей проекции Гаусса Крюгера подразумевается вычисление прямоугольных плоских координат, сближения меридианов на плоскости и масштаба изображения по геодезическим координатам данного пункта, т. е. дано В и L, определяются х, у, у и т.
Для нелогарифмического вычисления по таблицам Д. А. Ларина применяются формулы
1=Х + в2^2+<г4^4+®в^в+ • • ••
^ = + . . .,
т = 1+ d2l2-\- . . .,
где X длина дуги меридиана от экватора до параллели данной точки дается в таблицах через каждую минуту широты с точностью до миллиметра; а2, а4, ав, blt b3, Ъъ, clt с3, d2 и <f4 функции широты, которые также даются в таблицах Д. А. Ларина через каждую минуту широты. Эти коэффициенты имеют следующие значения:
N
<г2 = -^- cos В sin В,
N cos3 В sin В _ , , .. а4= 24 (5 “ *2 + 9т12+4п4).
N cos5 В sin В ,в, со„ , ,4Ч ®в = ^20 ' t ~г1 )i
bi = NcosB,
ь= Nctf--u-*+m,
h = - С°20~ (5-18*2+*4+ 14ri258r)2/2),
C! = sin B,
Здесь t = tg В, г)2 = е'2 cos3 В, I разность долгот цанпого пункта и осевого меридиана, выраженная в радианах.
При решении прямой задачи х а у вычисляются до миллиметров, у до 0,001* и т до восьмого десятичного знака.
Приведенные формулы и таблицы Д. А. Ларина являются наиболее рациональными для решения указанной задачи.
Обратная задача проекции Гаусса Крюгера. Под обратной задачей проекции Гаусса Крюгера подразумевается вычисление геодезических координат, сближения меридианов на плоскости и масштаба изображения по прямоугольным координатам данной точки.
Эта задача может быть решена ио следующим формулам:
В = Вц + + ацу* + айуй +. . 1 = Ку + Ь3у* + Ь'ъуЬ+. . ., У = с'1У + СзУ3 + с^+. . ., m = l + d'2yz+d'ty4 + . .
где
=!зягр”(5+3*°2+6т|» “
4 7207V2
р" (ei + 90tj + 45*|),
, сю\> jj о
6=1Щ
sec В о
(5+28*j + 24tJ+втй+8тйф.
Сз = -щ(1+^-т)2о-4л«).
(2+ 5г02 + 3^ + 2^+^?), d2= 1
2 Я§
йл = - •
4 24/? J *
в этих выражениях В0 широта основания ординаты данного пункта; <0 = tg В0, = <?'2 cos2 й0, V% = 1 -f- 1]^, N радиус кривизны первого вертикала; R0 средний радиус кривизны. Значок «О» означает, что данная величина является функцией широты основания ординаты.
Редукционная задача проекции Гаусса Крюгера. Под редукционной задачей проекции Гаусса Крюгера подразумевается нахождение поправок к длинам и направлениям геодезических сетей при переносе их с эллипсоида на плоскость и наоборот. Эта задача делится на две части; на редукцию длин и на редукцию направлений, т. е. перенос линейных и угловых элементов.
Редукция'длин
здесь S длина на плоскости; s длина на эллипсоиде; ут средняя ордината; Rm средний радиус кривизны для средней широты и Ау = у2 ух. В логарифмическом виде формула для триангуляции 1 класса записывается так:
\
lgS=lgs + (lgro1 + 41gmm-f-lg т2), где обозначено
щг-
Приведенная формула применяется в триангуляции 1 класса; для триангуляции 2 класса и сплошных сетей формула применяется в виде
Для введения поправок в стороны полигонометрических ходов пользуются формулой
Д6' S'J™ '
2Я^
где Д.S поправка; S длина хода. Величины дается
в таблицах по аргументу ут.
Редукция направлений (рис. II.4.18). Для вычисления редукции направлений служат формулы
Р*
•Р' (»т+-^) + Р*
2R*
1тЧтУт Ау
Дх Ах
б,=
Ща (тЛтУт А у
Ахуьт
а2=-
6Д«,
Дпрекцпошше углы прямого и обратного направлений после получепия у и б вычисляют по формулам
al = AiYl*1, <Х-2 А2Y2 ^2*
Ж /Ж
Система 1° зон
Рис. II.4.19
ч
А
в
Рис. II.4.18
Для триангуляции 2 класса формулы для редукций направлений применяются в виде
Ах „ ! А у
р" (Ут
Р” (jm Н jp)
2 Я5.
Ах
6i=
62=
2 Я*.
Для триангуляции 3 класса и сплошных сетей редукции направления вычисляют по формуле
в=-^р-р.
Контролем вычислений редукции служит геометрическое условие, чтобы сумма поправок углов в любой замкнутой фигуре была равна сферопдическому избытку этой фигуры, взятому с обратным знаком.
Перевычисление координат из одной зоны в другую. На практике при применении проекции Гаусса Крюгера возникает задача перевычислить координаты, данные в системе одной зоны, в другую зону, соседнюю. При наличии шестиградусной и трехградусной зон приходится перевычислять координаты из шестиградусной зоны в шестиградусную, из шестиградусной в трехградусную и из трехградусной в трехградуспую. Чтобы уменьшить случаи перевы-
числеиия координат, установлена система «перекрытая зон», а именно: западная и восточная зоны взаимно перекрываются на 30' по долготе. В стыке зон, в полосе «перекрытия», координаты пунктов даются как в западной, так и в восточной системе (рис. II.4.19).
Перевычисления координат выполняют по таблицам. Таких таблиц миого, но наиболее универсальны «Таблицы для преобразования прямоугольных координат» (1952 г.) А. М. Вировца и Б. Н. Рабиновича. В них формулы для вычисления имеют вид
х% Xл A(/-f-b A*/2-j-с,
У2 = Ay + ai Ay + bi Aj^ + Cx.
В таблицах по аргументу хг даны: у0, Х„, а, о,, Ь и blt по аргументам х1 и А у с и с1.
С помощью этих таблиц можно перевычислить координаты из одной шестиградусной зоны в другую и из шестиградусной в трехградусную и наоборот.
Таблицы для обработки геодезических сетей в прямоугольных координатах Гаусса Крюгера. Для практического применения проекции и координат Гаусса Крюгера в СССР существуют различные таблицы, главнейшие из которых следующие.
Во многих европейских, американских, азиатских и африканских странах применяются другие конформные проекции эллипсоида на плоскость, которые имеют свои ценные свойства. Наиболее распространенными из этих проекций являются конформная коническая проекция Ламберта и стереографическая проекция Руссиля.
Проекция Ламберта применяется в США, Канаде, Франции, Мексике, проекция Руссиля во Франции, Испании, Бельгии.
Проекция Ламберта удобна для стран, вытянутых по параллели небольшой широтной полосой. Начало координат выбирают в точке О, ось абсцисс направляют на север по осевому меридиану; ось ординат по касательной к изображению параллели касания (рис. II.4.20). Масштаб по этой параллели принимают равным либо единице, либо 0,999.
Плоские координаты и сближение меридианов па плоскости вычисляют по формулам
У=(Ро <*)sinY, x=d + yXg~, 4 = (L L0)smB0,
где В о широта параллели касания; La долгота осевого меридиана, а ро = N0 ctg В0.
Дирекцпониый угол вычисляют по формуле
а = Л \-|-6,
где А геодезический азимут; б редукция направления (рис. II.4.21).
Конические проекции сфероида характеризуются сложностью редукционной задачи. В проекции Ламберта редукции в длину и направление вычисляют по весьма сложным формулам. Поэтому эту проекцию целесообразно применять в тех случаях, когда не требуется строгого учета редукций.
I
Проекция Руссиля удобна для стран, имеющих территорию круглого очертания. За начало координат в этой проекции принимают центральную точку изображаемой территории, за ось абсцисс осевой меридиан. Абсциссы точек осевого меридиана вычисляют по формуле
г0 = 2Д0 tg
где Н0 средний радиус кривизны начала коордппат; s дуга меридиана между параллелью начала координат и параллелью данной точки.
Прямоугольные координаты х и у по геодезическим координатам В и L вычисляют по формулам
= CL\ Д В -J- ^2 Д5^ -j йз /2 -j- Д В^ -j-, , .,
ул = Ъх1 + Ь2Ш + Ьъ АВЧ-\-Ь^+ . . .
Коэффициенты щ и 6, при заданном начале координат постоянные числа, а ДВ и I разности широт и долгот от начала координат и осевого меридиана. Эти формулы называются формулами с постоянными коэффициентами.
Если совместить начало координат Гаусса Крюгера с началом координат Руссиля, то зависимость координат выразится формулами
Xgy* ■
R е+ 124Д2 + * • • >
, У% ,
УR - У6+ 4Л2 12Д2 -Г • • • »
где xg, yg координаты Гаусса Крюгера; До средний радиус кривизны в начале координат.
Величины редукций в длины и направления в проекции Руссиля меньше, чем в проекции Гаусса Крюгера.
Например:
проекция Гаусса Крюгера проекция Руссиля
Редукция длин
s (Ут + Хт)
2R% 4Д*
Г> Ахутр" (ХгУ\ ХлУч) р"
Редукция направления 2н{~ 4Д» '
Таким образом, искажение длин в целом в проекции Руссиля несколько меньше, чем в проекции Гаусса Крюгера; редукция в направлении в проекции Руссиля примерно в два раза меньше редукции в проекции Гаусса Крюгера. Однако проекция Руссиля пригодна для ограниченных территорий округлых очертаний, тогда как проекция Гаусса Крюгера может применяться для всего земного шара.
Формулы, по которым вычисляются поправки к геодезическим координатам за изменения исходных данных, как, например, начальных координат, азимутов, длины геодезической линии и параметров принятого референц-эллипсоида, называются дифференциальными формулами. Различают дифференциальные формулы первого и второго рода, причем первые учитывают изменения геодезических координат, азимутов и геодезических линий, вторые параметров эллипсоида.
Дифференциальные формулы первого рода. Если изменились Bi на dB1, Ly на dLx, на и s на ds, то изменения координат второго пункта вычисляют по формулам
dB2= dBi+b-^b -^2- dAx,
лг , , ds , ,tgBmdBi , , ctgAm лл dLi = dL1-{-1 j-1 щр! [-1 ^ dAx,
ja x ds j dBi , , ctg Am dA* = t -+tlTn2B-^r+t 2p" dAl'
где 6, l и t разности широт, долгот и азимутов. Эти формулы пригодны для расстояний порядка 2530 км, т. е. для триангуляции
Дифференциальные формулы второго рода. Есди изменились параметры принятого референц-эллипсоида, например а на da и а на da, то поправки к геодезическим координатам вычисляют по формулам
ЬВ2 = Ь |-^ (23 sin2 Вт) da j,
SZr2= ^ Ь s'n2-Дт da j , 6Л 2 = f sin2 Z?m da\ .
Эти формулы точны до величин е2Ь, еЧ, еЧ, где ег квадрат эксцентриситета эллипсоида, и пригодны длл триангуляции 1 класса, если ее стороны не превышают 2530 км. Вычисление ведется по этим формулам с удержанием четырех-пяти десятичных зпаков.
Если геодезические координаты конечного пункта изменились на величины dB2 и dL2, то изменения геодезической лиши и ее азимутов в конечных пунктах вычисляют по формулам
ds = M2 cos Аг dB2N2 cos Вг sin Ao dL2, s dAt = M2 sin A2 dB2N2 cos B2 cos A2 dL2, sdA2 M2 sin A2 dB2 + N2 cos B2 cos A2 dL2.
Аналогичные формулы получаются в случае, если изменились геодезические координаты первого пункта; в этом случае меняются индексы 2 на 1.
Если допустить, что одновременно изменились В1 на dB1, В2 на dBг, Lx на dLx и Ь2 на dL.2, то изменения геодезической линии и ее азимутов в этих пунктах выразятся формулами
ds= MycasAx dBiM2cos A2 dB2 N 2 cos B2 sin A2 (dL2dLi),
s dAy=Mx sin Ai dBx-{-M2 sin A2 dB2 N2 cos B2 sin A2 (dL2 dLi),
d/l2 = jl/1sini4i<fi4i + M2sin/l2 dB2 + N2 cos B2cosA2(dL2dLi),
где M меридианный радиус кривизны; N радиус кривизны первого вертикала.
При вычислениях dB и dL должны быть выражены в радианах. Вышеприведенные формулы приближенные, в них вместо приведенной длины геодезической линии всюду принята сама длина геодези- .ческой линии. Разность этих длин малая величина третьего порядка. Следовательно, эти формулы применимы для триангуляции
В каждой точке земной поверхности угол между отвесной линией и нормалью к поверхности референц-эллипсоида называется астропомо-геодезическим уклонением отвесной линии. Проекции этого угла на плоскости меридиана и первого вертикала называются компонентами уклонения отвесной линии в меридиане и первом вертикале. Чтобы определить уклонение отвесной линии в данной точке в главных плоскостях (меридиан и первый вертикал), нужно знать астрономические и геодезические координаты этого пункта.
Уклонение отвесной линии в меридиане вычисляют по формуле
Б = <рВ0,17Якм sin 2В,
где <р астрономическая широта.
Уклонения в первом вертикале вычисляют по формуле
т| = (Л, L) cos <р, где К астрономическая долгота.
u = VW+^=V(<V-B)*+[(X-L) cos фр .
Влияние уклонения отвесной линии на астрономический азимут определяется формулой
„ , 6 sin/4 т| cos Л
аА = (XL) sin <Р + т ,
v tgz
где Л геодезический азимут; z зенитное расстояние геодезического пункта; а астрономический азимут.
Рис. II. 1.22
Из этого уравнения можно получить формулу для вычисления геодезического азимута
А = а (А, L) sin(p + г] cos А j sin А tgz
Полученный из этого уравнения геодезический азимут называется азимутом Лапласа, а уравнение уравнением Лайла- с а. Второй член уравнения Лапласа мал в равнинной местности и, как правило, его при вычислении азимута Лапласа не учитывают, применяя формулу в виде А = а (к L)sin<p.
Это уравнение имеет очень важное значение для геодезических работ, оно дает возможность перейти от астрономических азимутов к геодезическим.
Лапласовы азимуты получаются независимо друг от друга и предназначены для контроля угловых измерений в триангуляции; они используются при уравнивании астрономо-геодезических сетей.
Геодезическое зенитное расстояние определяется формулой (рис. II.4.22)
Z = z -f1 cos А+л sin А, где Z геодезическое зенитное расстояние; z астрономическое зенитное расстояние.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ч. II. М., Геодезиздат, 1942. 550 с.
Раздел III
ОСНОВНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
О ТРИАНГУЛЯЦИИ И ТРИЛАТЕРАЦИИ
А. ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ СССР
Геодезическая сеть представляет собой совокупность пунктов па земной поверхности, для которых известны плановое положение в избранной системе координат и отметки в принятой системе высот. Эти пункты располагают на местности по заранее составленному плану и отмечают специальными опознавательными знаками.
Основными методами создания плановых геодезических сетей являются триангуляция, полигонометрия, трилатерация. Дли создания карт масштаба мельче 1 : 100 ООО, особенно в необжитых местах (Арктика, Антарктида и др.), может быть использован астрономический метод. Для обеспечения съемок масштаба 1 : 25 ООО и мельче успешно применяются радногеодезические методы создания опорных сетей, а для различных специальных целей (связи материков, островов и др.) методы «космической геодезии» с использованием искусственных спутников Земли.
При создании высотных геодезических сетей основными являются методы геометрического, тригонометрического и барометрического нивелирования.
Геодезические сети СССР подразделяются на (9):
Государственная геодезическая сеть СССР служит для выполнения научных и научно-технических задач. Она является главной геодезической основой топографических съемок всех масштабов и должна удовлетворять различным требованиям народного хозяйства и обороны страны.
Государственная геодезическая сеть СССР состоит из;
а) сетей триангуляции, полигонометрии и трилатерации 1,
б) нивелирных сетей I, II, III, IV классов.
Здесь рассматриваются плановые геодезические сети. Схема и развитие высотного обоснования изложены в подразделе II 1.7.
Общепринятым принципом построения государственной геодезической сети является переход от общего к частному, от высшего класса к низшему. Такой принцип позволяет быстро распространить единую координатную систему на большие расстояния.
Густота пунктов государственной сети регламентируется соответствующими инструкциями и установлена в следующих размерах:
для съемок в масштабе .1 : 25 ООО и 1 : 10 СМ}0 1 пункт на 5060 км2,
для съемок в масштабе 1 : 5000 1 пункт на 2030 км2;
для съемок в масштабе 1 : 2000 и крупнее 1 пупкт на 5 15 км2.
Норма плотности 1 пункт на 5060 км2, как правило, создается построением сетей 1, 2 и 3 классов. В труднодоступных районах указанная густота пунктов может быть уменьшена, но не более чем в 1,5 раза, однако в особо тяжелых районах (болота Западной Сибири, горные массивы, покрытые вечными снегами) плотность пунктов устанавливается в каждом конкретном случае отдельно.
В городах с населением не менее 100 000 жителей и площадью не менее 50 км21 пункт должен приходиться в среднем на 515 км2. В случаях, когда площадь геодезического обоснования не превышает 3000 км2, плотность 1 пункт на 2030 км2 разрешается создавать только сетями 3 класса, а плотность 1 пункт на 515 км2 только сетями 4 класса с последующей привязкой к сетям высшего класса по мере развития последних. В подобных случаях в сетях 3 и 4 классов измеряют не менее двух базисных сторон с точностью не менее 1 : 200 000 и для ориентирования сети определяют астрономические азимуты.
Площадь Р, обеспечиваемая одним пунктом сети, построенной из равносторонних треугольников, может быть приближенно выражена формулой В. Ф. Павлова
Уз"
P = -Iy-s2 = 0,87ss.
Для упрощенных подсчетов можно принимать Р ss s3, где s длина стороны сети (расстояние между смежными пунктами).
Государственная геодезическая сеть СССР создается в соответствии с Инструкцией о построении государственной геодезической сети СССР [8], основанной на специальном «Положении» 1954 1961 гг. Точность этой сети позволяет уверенно использовать ее для обоснования съемок вплоть до масштаба 1 : 2000 и крупнее. Однако на территории СССР созданы значительные сети и по «Основным положениям» 1939 г., рассчитанные по точности на масштаб съемок 1 : 10 0001 : 25 (Ю0 и мельче. Они перекрывались новой сетью только в том случае, если их точность и плотность нунктов не удовлетворяли требованиям предстоящих работ, при этом густота пунктов доводилась до необходимой плотности вставкой дополнительных пунктов соответствующей точности. Основные характеристики сетей, построенных по «Положению» 1939 г., приведены в табл. III.1.1.
В зависимости от условий местности и экономической целесообразности применяется тот или иной метод создания государ-
По «Положению» 1954 1961 гг. |
По «Положению» 1939 г. |
||||||||
Наименование показателей |
1 кл. |
2 кл. |
3 кл. |
4 кл. |
I кл. |
II нл. осн. ряд |
II кл. зап. сети |
III кл. |
IV КЛ. |
Длина эвена триангуля |
200-250 |
||||||||
ции, км * . • Средняя длина стороны |
200 |
|
|
100-120 |
” |
||||
треугольника, км ... . Обратный вес звена триангуляции Относительная ошибка базисной (выходной) сто- роны (ir) Примерная относительная ошибка стороны в слабом |
20-25 Не более 100 ед. 6-го зн. лог. 1 |
7-20 1 |
5-8 1 |
2-5 1 |
25-30 Не более 120 ед. 1 |
15-20 1 |
13 |
S |
Засеч ки |
400 000 |
300 000 |
200 000 |
200 000 |
300 000 |
200 000 |
200 000 |
|||
1та\ месте l-j4 Наименьшее значение угла |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
150 000 |
300 000 |
120 000 |
70 000 |
100 000 |
во 000 |
35 U00 |
15 000 |
||
треугольника Допустимая невязка тре |
40° |
20е |
20° |
20е* |
40° |
30° |
20° |
15° |
20° |
угольника Средняя квадратическая ошибка угла (по невяз |
3' |
4" |
в" |
8" |
3" |
5" |
9" |
15* |
3 5" |
кам треугольников) . . . Средняя квадратическая ошибка астроопределе- ний: |
±0,7' |
±1" |
±1,5" |
±2" |
0,7 0,9" |
1,2-1,5" |
2,0 2,5" |
0 1 СП о |
|
а) широты |
±0,3' |
±0,3" |
|
|
±0,2-0,4" |
± 0,4" |
|
|
|
б) долготы |
± 0s ,03 |
J- 0S ,03 |
|
|
±OS ,03 |
± 0s 05 |
|
|
|
±0,5" |
±0,5" |
±0,5" |
± 1,0" |
|
|
ствевиой геодезической сети (триангуляция, полигонометрия, трилатерадия или их сочетания). Но до сих пор основным методом построения плановой государственной сети преимущественно остается метод триангуляции. Методы полигонометрии и трилате- рации применяются по принципу взаимозаменяемости с трлангу- ляцией соответствующего класса и ведутся по схемам и программам, разрабатываемым в каждом отдельном случае с учетом физико- географических, технико-экоиомических и других условий района работ.
Триангуляция 1 класса. Триангуляция 1 класса строится в виде астрономо-геодезпческой сети 1 класса, которая совместно со сплошной гравиметрической съемкой призвана обеспечить решение основных научных задач, связанных с определением формы и размеров Земли, а также с изучением вековых движений и деформаций земной коры. В то же время она является главной осповой развития геодезических сетей последующих классов и имеет целью распространение едипой системы координат на всю территорию СССР. Построение ее осуществлено с наивысшей точностью, доступной современному приборостроению, и при использовании всех возможностей тщательно продуманной методики измерений. Сеть 1 класса образует систему полигонов из звепьев триангуляции, каждое из которых не превышает 200 км. Периметр полигона порядка 8001000 км. Звенья (ряды) триангуляции по возможности располагаются вдоль меридианов и параллелей.
Типовой фигурой, из которых построены звенья триангуляции, является треугольник, близкий к равностороннему. Однако использовались и комбинации треугольников, геодезических четырехугольников и центральных систем. В месте пересечения звеньев (их концах) измерены базисные стороны или расположены базисные сети, построенные для определения длины выходной стороны, заменяющей базисную сторону. В этом случае измерен базис дли- пою не менее 6 км с точностью порядка 1 : 1 000 000. На обоих концах базисных сторон (выходных сторон) определены пункты Лапласа (астрономические определения широт, долгот п азимутов).
В отдельных районах взамен полигонов, образованных звеньями триангуляции 1 класса, построена сплошная сеть триангуляции
Остальные характеристики построения астрономо-геодезиче- ской сети приведены в табл. III.1.1.
Взамен звеньев триангуляции строились вытянутые ввеиья полигонометрии 1 класса (максимальное удаление отдельных пунктов от замыкающей не превышает 20 км, а направления сторон уклоняются от направления замыкающей не более яем на 20s), состоящие не больше яем из 10 сторон длиною порядка 2025 км. Представление о схеме построения астрономо-геодезической сети СССР дает рис. III.1.1.
Для определеппя высот базисов и линий полигонометрии над поверхностью эллипсоида, а также с целью изучения фигуры Земли и ее гравитационного поля по всем рядам астрономо-геоде- аической сети СССР проведено астрономо-гравиметрияеское нивелирование. Кроме того, в Инструкции [8] выделены ведущие ряды
веского нивелирования с более частым расположением астроцунктов п особым гравиметрическим сгущением вокруг них.
Координаты астрономо-геодезической сети СССР вычисляются в единой «Системе 1942 года», основой которой является референц- эллипсоид Красовского, а исходным пунктом координаты Пулковской обсерватории.
Триангуляция 2 класса. Триангуляция 2 класса строится в виде сплошных сетей треугольников, заполняющих полигоны
триангуляции 1 класса. Она является основной опорной сетью, служащей для развития сетей последующего сгущения и геодезического обоснования всех топографических съемок и изысканий инженерных сооружений. Вместе с тем благодаря своей жесткости и высокой точности сеть 2 класса наряду с сетью 1 класса может быть использована и для целей научного исследования. Треугольники сети 2 класс& должпы по возможности приближаться к равносторонним. В зависимости от физико-географических условий длины сторон сети триангуляции 2 класса колеблются в пределах от
Сеть 2 класса надежно связана с сетью 1 класса. Типовые схемы привязки триангуляции показаны на рис. III.1.2. Базисные стороны располагаются не реже чем яерез 25 треугольников, причем одна базисная сторона должна располагаться примерно в середине полигона 1 класса и на ее концах определены пункты Лаиласа.
Другие технические характеристики сети триангуляции 2 класса приведены в табл. Ш. 1.1.
На рис. III.1.3 представлена наиболее типичная схема построения сети триангуляции i класса внутри полигона 1 класса со сгущейием ее пунктами 3 класса для обеспечения необходимой густоты пунктов: 1 пункт на 5060 км2.
Взамен триангуляции 2 класса допускается построение сети методом полигонометрии, детальная схема которой разрабатывается в каждом конкретном случае.
Триангуляция 3 и 4 классов. Триангуляция 3 и 4 классов является дальнейшим сгущением государственной геодезической сети для целей крупномасштабного картографирования и обоснования строительства инженерных сооружений.
Цепочка треугольников Комбинация цент'
раЛьной системы с геодезическим
четырехугольником Рио. III. 1.2
Триангуляция 3 и 4 классов строится в виде вставок жестких систем или отдельных пунктов в Сети старших классов с обязательным измерением всех трех углов треугольников. Типовые схемы построения сетей 3 и 4 классов показаны на рис. III.1.4.
Во всех случаях расстояние между пунктами смежных систем, не связанных измеренными направлениями, должно быть не меньше
Взамен триангуляции 3 и 4 классов может прокладываться сеть полигонометрии или трилатерации соответствующего класса. Полигонометрические ходы прокладывают в виде систем или одиночных ходов, опирающихся на пункты высшего класса, причем в ходах между узловыми пунктами и узловыми и исходными пунктами должно быть не более двух точек поворота. Наименьшая сторона полигонометрии 3 класса допускается в 3 км, а 4 класса
Пункты сетей всех классов должны иметь отметки, полученные из геометрического или тригонометрического нивелирования.
На пунктах государственной геодезической сети устанавливается по 2 ориентирных пункта на расстоянии от 500 до 1000 м (в лесу не ближе 250 м). В отдельных случаях в качестве одного из ориентирных пунктов может быть принят хорошо видимый
ycAoQnW знаки
* тмит лонжа - Стт'ЩшщтЛиШаш _
- оазис ■ _ -- Стсрона триангупмши 2 «мао
Рис. 111.1.3
с земли до основания геодезический знак или постоянный местный предмет (башня, колокольня, мечеть, фабричная труба и т. д.), расположенные на расстоянии не более 23 км от данного пункта.
Все пункты государственной геодезической сети, а также ориептирные пункты закрепляются на местности особо надежными и долговременными подземными сооружениями центрами.
Помимо типовых схем и методов построения геодезических сетей, указанпых выше, для обеспечения ряда инженерных работ, требующих особо высокой точности, разрешается строить сети специального назначения по особо разрабатываемым программам. В" качестве обоснования различных работ могут также использоваться сети, построенные по методу геодезических засечек проф. А. И. Дурнева [4].
Геодезические сети сгущения. К геодезическим сетям сгущения относят сети, прокладываемые для обоснования топографических съемок масштабов 1 : 50001 : 500 и инженерно-геодезических работ.
Геодезические сети сгущения подразделяются на:
а) триангуляцию 1 и 2 разрядов;
б) полигонометрические сети 1 и 2 разрядов (см. подраздел
III.5);
в) сети технического нивелирования (см. подраздел II 1.7).
Триангуляцию 1 и 2 разрядов строят в виде цепочек или сплошной сети треугольников, а также разнообразных засечек.
Длина сторон в триангуляции 1 разряда от 2 до 5 км; средняя квадратическая ошибка измерений углов, вычисленная по невязкам треугольников, до 5. Невязка в треугольниках но должна превышать 20". Относительная ошибка измерения выход- пых (базисных) сторон не должна быть более 1 : 50 000, а сторон в наиболее слабом месте 1 : 20 000.
В триангуляции 2 разряда длина сторон принимается от 0,5 до 3 км. Средняя квадратическая ошибка измерения углов по невязкам треугольников не должпа превышать 10*, а невязка в треугольниках не более 40", относительная ошибка измерения выходных сторон не должна превышать 1 : 20 000 и сторон в наиболее слабом месте 1 : 10 000.
Углы в треугольниках сетей 1 и 2 разряда не должны быть меньше 30°- в цепочке и 20® в сплошной сети.
Для всех пунктов геодезической сети сгущепия определяются высоты из геометрического или геодезического нивелирования. Все они закрепляются центрами и реперами с расчетом на долговременную сохранность в соответствии с Инструкцией [9].
Съемочные сети. Съемочные сети являются непосредственной основой съемок всех масштабов и разных геодезических работ. Они подразделяются на плановые, прокладываемые в виде теодолитных и мензульных ходов, геометрических сетей или различных засечек; высотные, создаваемые проложением высотных ходов нивелированием горизонтальным лучом (теодолитом или кипрегелем с уровнем на трубе) или тригонометрическим нивелированием с невязками в ходах и политопах не более: 5 V~L см при техническом нивелировании, 10 VL см при нивелированин горизонтальным лучом и 20 VL см при тригонометрическом нивелировании, где L длина хода в километрах.
Предельные ошибки положения пунктов уравненного планового обоснования относительно пунктов государственной геодезической сети и сетей сгущения не должны превышать на открытой местности 0,2 ми в масштабе плана и на закрытой 0,3 мм.
Закрепление пунктов планово-высотного съемочного обоснования производится долговременными знаками в соответствии с [9] и таким образом, чтобы на каждом планшете было, как правило, не менее трех закрепленных точек (с учетом пунктов государственной геодезической сети и сетей сгущения) при съемко в масштабе 1 : 5000 и одной точки в масштабе 1 : 2000.
Б. ПРЕДВЫЧИСЛЕНИЕ И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
Под оценкой точности понимают подсчет ожидаемых средних квадратических ошибок различных элементов проектируемых или фактически полученных ошибок построенных геодезических сетей.
Обычно рассматривают ошибки длин и азимутов сторон, продольные и поперечныо сдвиги диагоналей ряда геометрических фигур или «замыкающих» линий ходов, по которым судят о точности передачи координат.
Формулы для оценки точности различных элементов сети, являющихся функциями измеренных величин, находят по способу наименьших квадратов, откуда известно, ято средняя квадратическая ошибка функции уравненных величин выражается формулой
(III.1.1)
где |х ошибка единицы веса, Рр вес рассматриваемой функции.
Величина тр, полученная no (III.1.1.), является точечной оценкой стандарта соответствующей функции. По ней можно определить величину доверительного интервала, с заданной надежностью накрывающего действительное значение искомой функции: [Л + ± t ■ mF], где А оценка математического ожидания функции измеренных величин, полученная из уравнивания. В сети, состоящей не менее чем из 1520 пунктов, значение t с вероятностью 0,95 может быть принято равным 2, с вероятностью 0,99 равным 2,5 и вероятностью 0,997 равным 3. В сетях с меньшим числом пунктов величина t определяется по таблицам распределения Стьюдента.
Часто при определении ошибок рассматриваемой функции приходится учитывать еще ошибки исходных данных тисх. В этом случае общая ошибка элемента сети т будет выражаться формулой:
(III.1.2)
т = Ут*сх + т% .
За ошибку единицы веса принимается ошибка измеренных величин. При угловых измерениях ею является средняя квадратическая ошибка измеренного угла или направления, при линейных
измерениях средняя квадратическая ошибка принятой единицы длины линии.
Ошибку единицы веса можно определить из уравнительных вычислений по формуле
(III.1.3)
где v поправки в измеренные величины из уравнивания; г доело условных уравнений при уравнивании коррелатным способом или число избыточных измерений при уравнивании параметрическим способом.
Рио. III. 1.В
До уравнивания ц можно определить по невязкам замкнутых фигур, например в триангуляции по формуле Ферреро
(III.1.4)
где ц средняя квадратическая ошибка измеренного угла; w невязка треугольника; п число треугольников.
Приближенное значение ошибки единицы веса обычно известно до уравнивания по аналогичным, ранее выполненным работам.
Выбор готовых формул по оценке точности различных элементов сети зависит от того, к каким измеренным величинам относится ошибка единицы веса и пак она получена, а также от того, из каких геометрических фигур построена сеть и как будет проводиться ее уравнивание.
Оценка точности элементов простой цепи треугольников, уравненной за условия фигур. Для цепи из п треугольников, изображенной на рис. III.1.5, в которой At и Bi связующие углы; Ct промежуточные углы; s(- связующие стороны; с; промежуточные стороны; Ь базисная сторона (исходная), будем иметь следующее значение ошибок.
Средние квадратические ошибки сторон
При уравнивании по углам относительная средняя квадратическая ошибка длины связующей стороны выражается формулой
где т$п средняя квадратическая ошибка связующей стороны п-го треугольника; т/, средняя квадратическая ошибка исходной стороны; р,? средняя квадратическая ошибка измеренного угла; р" яисло секунд в радиане.
2
Выражение (ctg2 At + ctg2 В{ + ctgi4; ctg Bi) называется
опшбкой геометрической связи треугольника или «обратным весом» его.
При построении триангуляции наиболее выгодной формой треугольника принимается равносторонняя. Для нее ctg А = ■= ctg В ctg С = ctg 60s = 1/VX и ошибка геометрической
2
связи равна -5-, а формула (II 1.1.5) принимает вид
О
тЫ тъ , ( V." V 2
Ь2
где л яисло треугольников ряда от исходной до искомой стороны. Полагая, ято ошибка исходной стороны очень мала в сравнении с ошибками развиваемой сети и ею можно пренебречь, получим
sn р” У 3
Из этой формулы видно, что ошибка собственно «передачи» длины стороны (масштаба сети) по ряду триангуляции пропорциональна корню квадратному из числа треугольников ряда.
Для упрощения подсчетов по формуле (III.1.5) принято вместо котангенсов углов отыскивать приращения логарифмов синуса угла при изменении его на 1' (6), исходя иа формулы
р'бд
ctg A~-j±. (III.1.8)
В этом случае, а также учитывая известное соотношение
(III.1.0)
5 М
где М = 0,43429, переходят к определению ошибки логарифма стороны по формуле
п п
тЪ ы=тЪ»+т ^ 2 (6а+6Ь+22 +т^! 2 1 1
(III.1.10)
где migsn и т\еъ средние квадратические ошибки логарифмов конечной и исходной сторон триангуляции.
Величины R = 6^ + 6^ + 6А6В табулированы (табл. III. 1.2) и выбираются по связующим углам А{ и Bi. Их удобно также определять по палетке К. Л. Проворова *.
Величины R =
(в единицах шестого
знака логарифма)
35° |
40° |
45' |
50° |
55° |
60° |
65° |
70' |
75° |
80° |
85° |
90" |
|
33 |
||||||||||||
27 |
23 |
|||||||||||
23 |
19 |
16 |
||||||||||
20 |
16 |
13 |
И |
|||||||||
18 |
14 |
И |
9 |
8 |
||||||||
16 |
12 |
10 |
8 |
7 |
5 |
|||||||
14 |
И |
9 |
7 |
5 |
4 |
4 |
||||||
13 |
10 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|||||
12 |
9 |
7 |
5 |
4 |
3 |
2 |
2 |
1 |
||||
11 |
8 |
6 |
4 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|||
10 |
7 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||
10 |
7 |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
о |
|
9 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
8 |
G |
4 |
3 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||
8 |
5 |
4 |
2 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
||||
7 |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|||||
7 |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
||||||
7 |
5 |
3 |
2 |
2 |
1 |
|||||||
7 |
5 |
4 |
3 |
2 |
||||||||
7 |
5 |
4 |
3 |
|||||||||
7 |
5 |
4 |
||||||||||
8 |
6 |
|||||||||||
9 |
В случае измерения и уравнивания направлений может быть использована приближенная формула
(111.1.11)
(111.1.12)
1
гдо
-W2"-
1
которая получается, если в формуле (III.1.10) пе учитывать ошибку исходных данных, а ошибку угла ц ” заменить ошибкой направления т" по формуле |л" = т." V2.
Для подсчета средних квадратических ошибок промежуточных сторон пужно в формулах (III.1.5); (III.1.10); (III.1.11) в последнем треугольнике ряда вместо ctg Ai или принимать ctg Cj
или Ьг .
С;
Если ряд состоит из геодезических четырехугольников или центральных систем, подсчет ошибки логарифма стороны можно производить по формуле 23
mie + A т"' -£-~ ^ д, (Ш.1.13)
где D число направлений в фигуре без двух исходных (по твердой стороне); С число независимых условий в фигуре; С0 число условий в фигуре с отброшенными избыточными диагоналями (при превращении ее в простую цепь треугольников).
В практике при подсчете обратного веса ряда триангуляции обратные веса 1 /Ps фигур принимают следующими: для треугольников:
-^ = 4 Я. (III.1.14)
для геодезических четырехугольников и центральных систем
-4-=*4- R = l,lfl я* R. (III.1.14')
Ps о D
Средние квадратические ошибки азимутов (дирекционных углов) сторон. На рис. III,1.5 пунктирной линией показана ходовая линия, по которой осуществляется передача азимутов сторон от исходного азимута ао к определяемому асп.
При уравнивании ряда до углам ошибка передачи взвдута через п треугольников определяется формулой
т;л = (х' у \ п. (III.1.15)
а о учетом ошибки исходного азимута т'. формулой
<П-Утъ+Т^п' (III.1.16)
где “* средняя квадратическая ошибка азимута искомой стороны; |л" средняя квадратическая ошибка измеренного угла.
. Иа формул (III.1.15) и (III. 1.16) следуеТ| ято обратные веса сторон и азимутов в простой цепи равносторонних треугольников равны между собой:
Ps Ра з
При уравнивании цепи треугольников по направлениям могут быть использованы формулы проф. А. А. Изотова:
для связующей стороны
для промежуточной стороны
где ц средняя квадратическая ошибка измеренного угла.
Продольные и поперечные сдвиги ряда
В результате действия ошибок измерений конечная точка ряда триангуляции смещается вдоль своей оси на величину t (см. рис. III.1.5), называемую продольным сдвигом ряда, и поперек оси па величину д, называемую поперечным сдвигом ряда.
Общий сдвиг конечной точки будет равен
it = Vrt2 + ?a. (III.1.19)
Он характеризует полную ошибку в положении точки. При уравнивании ряда триангуляции по углам среднее квадратическое значение продольного сдвига mL равпо
где Ь диагональ ряда (расстояние между конечными пунктами ряда); к число промежуточных сторон в диагонали ряда,
Минус перед 3/с принимается в случае ряда, состоящего вз нечетного кисла треугольников, а плюс при четном пх числе.
При уравнивании ряда но направлениям или по углам в случае измерения направлений может оыть применена формула проф. А. А. Изотова
mL 1 / ( mb V I / И* \г I ШЗк+5 10А*7А9 ^
L г\Ь/ \р'/Ч 9к 300*2 )
(III.1.21)
Влияние второго члена в круглых скобках повышает точность примерно на 4%. Поэтому в большинстве случаев им можпо пренебречь.
Для вычисления поперечного сдвига ряда mq при уравммвапии по направлениям имеем:
при нечетном .числе треугольников
L “\ f а I ^ в1 | А: ( 3 I оо\
тй 1 р» у т°» ”15" ^ к ' 1-22)
при четном числе треугольников
^ Тf ** i ^ в* 2йа+ 5А' + 5 /in 1 oq\
т* = -$г У m«o+l5il к ■ (111Л-23)
Прп уравнивании цепи по углам в случае измерения направлений второй член увеличивает тч примерно на 15%. В случае уравнивания эвена между двумя базисами самым слабым местом будет к-я сторона в середине ряда. Ошибки этой стороны можно вычислять от обоих базисов и из них принимать среднее весовое значение по формуле
тхт^ (III.1.24)
Ут\+т\
Оценка точности элементов ряда триангуляции, построенного из равносторонних треугольников н уравненного за условия фигур, базисов и азимутов по направлениям. Средняя квадратическая ошибка логарифма сторон
а т1е Ь | q лц»* f 8 (-ЛГ п)п 2УУ-)-11] (III 1 25)
где N общее число треугольников ряда между базисами; л число треугольников до определяемой стороны; |i," средняя квадратическая ошибка измеренного угла.
Практически можно пользоваться (без учета ошибок исход- пых сторон) формулой
rob«.= fr*'-(JVy--- (III.1.26)
Средние квадратические ошибки азимутов (дирекцпониых углов) сторон
При уравнивании но углам пользуются формулой
~\/ та. , 2 V (N п) п "24<*„= V ~2 N (III.1.27 )
Средние квадратические значения продольных и поперечных сдвигов
<шлг8>
”'“77Г V<+ ',+,й+12>■' ■ <1IU-29>
Оценка точности ряда триангуляции, построенного из равносторонних треугольников и уравненного по углам за условия фигур, фазисов, азимутов и координат. Для оценки точности элементов прямолинейного ряда триангуляции, проложенного между твердыми исходными пунктами без учета ошибок последних, можно воспользоваться формулами А. Т. Черкозьянова *.
Средняя квадратическая ошибка логарифма связующей стороны
mi 1 7п# т/ Я nY* П1Т I ЯП)
Средняя квадратическая ошибка азимута (дирекционного угла) стороны
™«п=0,8ц" У. (111-1-31)
Средние квадратические значения продольных и поперечных сдвигов в середине ряда триангуляции
L ц" -|/ m + N + lb ,Т1Т , чо.
m42=-wir у Х-Т ■ • (ШЛ-32)
Оценка точности элементов сдвоенной цепи треугольников при уравнивании по углам за условия фнгур, полюсов и горизонта.
Средняя квадратическая ошибка логарифма стороны.
На рис. III.1.6 изображен ряд триангуляции, построенный из сдвоенной цепи треугольников, где Ь, ас исходная сторона и ее азимут; ап определяемая сторона и ее азимут; N .число всех центральных систем, составляющих ряд; К яисло центральных систем, отделяющих оцениваемую сторону от исходной; |iг средняя квадратическая ошибка измеренного угла; п яисло треугольников, необходимых для определения искомой стороны.
По формуле А. И. Дурнева имеем
”4gsk=Vm*gb + (2K + 3) |Л§ , (III.1.33)
где
п
2л
Средняя квадратическая ошибка азимутов сторон. Формула А. И. Дурнева
т«п = У КЛ-Т»"1 (т *+1)- (HI.1.34)
Оценка точности элементов сдвоенной цепи равносторонних треугольников при уравнивании по углам за условия фигур, полюсов, горизонта, базисов и азимутов. По формулам А. В. Заводов- ского [5]:
Средняя квадратияеская ошибка в логарифме стороны £-ой центральной системы
Средняя квадратияеская ошибка азимута стороны К-ой центральной системы
{о,67К + 0,75 - (°S + ^r } • (IILU6>
Среднее квадратическое значение продольного сдвига
, Г 2252+1,24*+2,55 *2 + 0,83*+0.17 50* + 57 |
ть р"' { 9к 6*+2,5 100/с2 ]•
(III.1.37)
Среднее квадратическое значение поперечно г о сдвига*
(*+2)(*+1) 36*2+68*+66 322 )
Ш 500* ' 250*2 j
(III.1.37')
где к число промежуточных сторон, диагональ L = sk.
Для определения ошибок логарифма стороны и азимута могут быть применены также формулы К. Л. Проворова [13]
11
(III.1.38)
ЛГ+^-
10»ЛГ „ „ . , mlesn = -yman=2 АтЯа
ап ю т
mg s„=0,47migsn
где N яисло треугольников между исходным сторонами; п .число треугольников до определяемой стороны; М модуль Неверовых логарифмов.
Как покавывают расчеты, точность передачи длин сторон и азимутов в двойной цепи треугольников повышается по сравнению с простой цепью примерно на 30%.
Оценка точности элементов сплошной сети триангуляции, построенной из равносторонних треугольников при уравнивании по углам за условия фигур, горизонтов н полюсов (свободных сетей). Наиболее полные формулы ошибок различных элементов сплошных сетей даны К. Л. Проворовым [13, 14J для ряда триангуляции, выделенного из сети (рис. III.1.7) с N треугольниками между твердыми сторонами (с исходными базисами и азимутами) и п треугольниками от исходной стороны до определяемой.
Средняя квадратическая ошибка логарифма стороны
тlg sn = 0,63ц" Yn-1 +10*(п) . (III.1.39)
Средняя квадратическая ошибка а 8 и - м у т а стороны
тап=0,3ц° /п-1 + 10/(л,. (III.1.40)
В в тих формулах t(n) = ^ 1г ^-L^"4'1 для удобства подсчетов величины tuij табулированы (табл. III.1.3).
Таблица III.1.3
Величины 11п)
п |
((Л) |
п |
1ш |
1 |
0,457 |
11 |
0,022 |
2 |
0,375 |
12 |
0,016 |
3 |
0,291 |
13 |
0,011 |
4 |
0,219 |
14 |
0,008 |
5 |
0,161 |
15 |
0,006 |
6 |
0,117 |
16 |
0,004 |
7 |
0,084 |
17 |
0,003 |
8 |
0,060 |
18 |
0,002 |
9 |
0,043 |
19 |
0,002 |
10 |
0,031 |
20 |
0,001 |
Средние квадратические значения продольных п поперечных сдвигов
ть = тч = ф-т“т, (III.1.41)
где L диагональ выделенного иа сети ряда треугольников; т'т средняя квадратическая ошибка азпмута диагонали избранного ряда, равная
Суммарная ошибка и положения пункта будет равна
U=Ymt+mq- (III.1.43)
Оценка точности сплошной сета триангуляции, построенной из равносторонних треугольников при уравнивании по углам за условия фигур, горизонтов, полюсов, оазисов, азимутов.
Средняя квадрат плеская ошибка логарифма стороны
migs„ = -f- VN-6,5+mN/2 . (III.1.44)
Средняя квадратическая ошибка азимута стороны
™а„ = 0,15ц* /ЛГ-6,5+48/№/2, (III.1.45)
где выбирается из табл. III.1.3 по числу треугольников от исходной стороны до середины ряда.
Средние квадратняеские энавения продольных и понереяных сдвигов
ть = ти = -^г тт, (III.1.46)
где
»l/" Згс+50 п* 5п+80 /ТТ1 ,
тг=и уш т• (ПМ-47)
Средняя квадратическая ошибка положения пункта
u = -^YLm"T. (III. 1.48)
Формулы (III.1.41) и (III.1.46) показывают, ято продольные и поперечные сдвиги в сплошной сети триангуляции равны между собой.
Оценка точности элементов сплошной сети триангуляции, построенной на треугольников произвольной формы при уравнивании по углам за условия фигур, горизонтов, полюсов, базисов и азимутов. Для среднего квадратического значения продольных mt и ноне* речных mq, сдвигов двух смежных пунктов сети К, Л, Проворо- вым [14] предложены формулы
m=irV ■ <111-'-49)
В этих формулах ть и та средние квадратические ошибки
с [б]
исходных данных; » длина стороны треугольника; о0 =
показатель формы сети, где 6 перемены логарифма синусов углов треугольников при изменении их на 1" (у К. Л. Проворйва о0 = 1,33).
Приближенно (для равносторонних треугольников) и без учета ошибок исходных дапных можно принимать, что
т' = "У = Т^ /jV+15. (III.1.62)
Зависимость между ошибками углов и ошибками сторон треугольника. Дифференциальная зависимость между ошибками углов д и сторон выражается формулой
я
НА" = (da cos С db соз В dc),
«а
где ha высота треугольника, опущенная из угла А на противоположную сторону а (рис. III.1.8); dA; da; db; dc дифференциалы угла и сторон.
Переходя к средним квадратическим ошибкам, получим
иг
тл (mo+c°s2 CmJ + cos2 Bmty, (III.1.53)
где mA средняя квадратическая ошибка определения угла; та, ть1 те “ средние квадратические ошибки измерения сторон. ДЯя равносторонних треугольников
тА=^2(Ат%+т1+тс)- (III.1.54)
При равноточном измерении сторон
п„ ,у2, (III.1.55)
л S
и формула (II 1.1.53) будет иметь вид
о1,2
(1+C0S25 + C0S2 С), (III.1.56)
"'а
Р"2
где -Vj- (1 + cos2 В + cos2 С) называется ошибкой геометрической
^а
связи треугольника.
Исходя из формулы (III.1.55), можно подсчитать необходимую точность измерения сторон при заданной ошибке измерения угла.
Наиболее простые формулы для ошибок различных элементов равностороннего ряда трилатерации выведены С. А. Бутлером26.
Оценка точности элементов равностороннего ряда трилатера- цин. Условные обозначения:
тап средняя квадратическая ошибка азимута исходной стороны; та средняя квадратическая ошибка азимута конечной стороны; средняя квадратическая ошибка азимута связующей стороны
так
А'-го треугольника; ms средняя квадратическая ошибка измеренной стороны; s длина стороны; п число треугольников ряда; /с номер связующей стороны К-то треугольника; mL среднее квадратическое значение продольного сдвига; mq среднее квадратическое значение поперечного сдвига.
Средпяя квадратическая ошибка азимута связующей стороны свободного ряда трилатерации (пеуравненного)
та0
m«k=-r-
Средняя квадратическая ошибка азимута связующей стороны при уравнивании за условие азимутов
'(ггУ^'Т (n~h)- t111-1-58)
Среднее квадратическое аначение продольного и поперечного сдвигов рядатрилатерации» уравненного аа условие азимутов,
mq = ms У gg- (n* + n + 48) . (III.1.60)
Кроме этих формул, могут быть применены формулы К. Л. Про- ворова для определения ошибки взаимного положения несмея{ных пунктов
V-
(III.1.61)
(2JV-n+l)
-|/га(4п2_Зп+26) (2п2_п-4)2
36 -W+TГ' (111Л-62)
где N число треугольников между твердыми сторонами; п число треугольников до определяемого пункта.
Оценка точности ряда, построенного из правильных геодезических четырехугольников с измеренными сторонами, уравненного за условия фигур. На рис. III.1.9 показан ряд геодезических четырехугольников с измеренными сторонами, где о исходная сторона; Ь продольная сторона. Примем следующие обозначения!
Средняя квадратическая ошибка пере27 дачпазимута
а
6
Рас. Ш.1.»
Есди передача азимута осуществляется так, как это показано на рис. II 1.1.9 пунктиром, то ошибка азимута выразится формулой
(III.1.63)
та = -^~ р* 1^2». а
Исследования И. А. Кутузова * показывают, ято лучшей фигурой является четырехугольник, по форме близкий к квадрату или ромбу. Допустимо изменение формы четырехугольника до прямоугольника или параллелограмма с углом против малой диагонали не менее 60- и с продвигом I от 0,6 до 1,4.
Среднее квадратияеокое значение продольного сдвига
(III.1.64)
mL msYnA B ,
Значения А и в табл. III.1.4.
где
А \ ■ *
(£> + 1)г '
В в зависимости от продвпга ряда представлены
ь '“Т |
0.4 |
0,6 |
0,8 |
1.0 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1,8 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
Л |
0,976 |
0,952 |
0,925 |
0,900 |
0,878 |
0,858 |
0,842 |
0,829 |
0,818 |
0,786 |
0,771 |
в |
0,008 |
0,014 |
0,019 |
0,022 |
0,022 |
0,022 |
0,021 |
0.019 |
а,018 |
0,010 |
0,007 |
Среднее квадратическое эпачениепоперечного сдвига
m.q = ms Y An3 Brft Cn-j-E , (III.1.65)
где
л=а-4B=-i£rr'> A=2i2+3;
AW 2A£>2(z> + 3) , 2 D .
3(Z> + 1)2 (D2_1)(/) + i)2 ' £>2 1
D . Д2Д (D2 32Z) 69) 20Z>2 (Д 1)
E~ £>2 1 "г" (дг_1)(/?4-1)2
Д2[Д (D26D 10) 30 (£>2-(-l)]
Д4 '
Значения коэффициентов ^,Д,Си£ для различных продвигов приведены в табл. III. 1.5.
Таблица III.1.5
( |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1.0 |
1.2 |
А |
+0,1070 |
+0,2401 |
+0,4267 |
+0,6667 |
+0,9600 |
В |
+0,239 |
+0,198 |
+0,160 |
+0,129 |
+0.105 |
С |
0,846 |
-0,855 |
-0,898 |
-0,979 |
-1.096 |
Е |
+2.84 |
+2,24 |
+1.76 |
+1.42 |
+ 1,18 |
П р о д о л ж ен и е т а б л. III.1.5
1 |
1,4 |
1,6 |
1,8 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
А |
+1,3067 |
+1,7067 |
+2,1600 |
+2,6667 |
+6,0000 |
+10,6667 |
В |
+0,086 |
+0,071 |
+0,059 |
+0,050 |
+0,026 |
+0,015 |
С |
-1,246 |
-1,429 |
-1,643 |
-1,886 |
3,526 |
-5,843 |
Е |
+1,02 |
+0,91 |
+0,83 |
+0,77 |
+0,62 |
+0,57 : |
Оценка точности сплошной сети трилатерации, построенной из равносторонних треугольников. Из сплошной сети трилатерации
выделяется ряд треугольников, внутри которого находится оцениваемый элемент сети. При этом одна из координатных осей совпадает с направлением диагонали ряда, проходящей по промежуточным сторонам его. В начале ряда находятся исходная сторона и азимут.
Средние квадратические ошибки элементов сети при уравнивании заусловия центральных систем и азимутов.
Наиболее просты формулы К. Л. Проворова 28, которые дают хорошее приближение для элементов сети, удаленных от исходных данных не менее чем на два треугольника.
Средняя квадратическая ошибка азимута стороны треугольника
(III.1.
_* 6 т3 та -с * р .
Средние квадратические ошибки взаимного положения смежных пунктов;
продольного сдвига
mt •g- ms
(III.1.67)
поперечного сдвига
mq, ms
общая ошибка
10
Средние квадратические ошибки взаимного положения несмежных пунктов (продольные и поперечные сдвиги)
(111.1.68)
(111.1.69)
(111.1.70)
ЛГ (JV+15) (га+11) j Wj I/ ” ■
10 (JV+ 25)
■\f (iV+15) (5rj2+12/1+8)
l/(JV+15) (5»2+ 15re + 41) “ = ms V 30 (jV+25)
Средние квадратические ошибки направления диагонали ряда
тs 1/ (Л^ + 15) (5>г2 + 12га + 8) /II, < 71\ L V 30 (JV+25) 29 I111-1-'1'
Средняя квадратическая ошибка уравненного угла треугольника /ПуГ
Средняя квадратическая ошибка та любой уравненной стороны а треугольника
та
и
(III.1.73)
В этих формулах: msjs относительная ошибка измеренных сторон; т"Т средняя квадратическая ошибка направления диагонали ряда; L диагональ ряда; N число треугольников между твердыми азимутами сторон ряда; п .число треугольников до определяемого элемента; т* и mq. то же, что и в (III.1.49) и (III.1.50).
Из расчетов по приведенным формулам следует, что в рядах и сетях трилатерадии поперечные сдвиги в несколько раз более продольных; это ведет к неоднородности ошибок ряда и предъявляет повышенные требования к расчету необходимой частоты твердых азимутов. В этом отношении ряды и сети триангуляции выгодно отличаются от рядов и сетей трилатерадии.
Оценка точности рядов с измеренными углами и сторонами. В случае измерения в ряде треугольников как сторон, так и углов точность определения отдельных элементов ряда повышается. Ниже приводятся формулы К. А. Лапинга *, в которых:
р.? средняя квадратическая ошибка измеренного угла; ms средняя квадратическая ошибка измеренной стороны; m's средняя квадратическая ошибка уравненного значения стороны;
ть среднее квадратическое значение продольного сдвига; тч среднее квадратическое значение поперечного сдвига;
& сторона треугольника; п число треугольников звена; р? 206 265".
а, В ряде измерены все углы и все стороны треугольников:
для связующих сторон
Л1в 771? “
для промежуточных сторон
2т*
/Пе Ttl'
s s2
3m* '
■.T p„. li
; f*'42+-^- yrj (n1)
в^ЗтЦ-^-^у
108 (n 1) m} 34 (л 1) + (re 1)3 -i-j- ц»4
96
(III.1.74)
б. В ряде измерены все углы треугольников и связующие сто-
ровы
6m*
для связующих сторон
mg = mf
для промежуточных сторон
ml , 8п 9 S2
т* =+“igs^
П X2 -I
й* . /7а I30
о л"|“ 1 й I
г1=тт!+
d. В ряде измерены все углы и промежуточные стороны вдоль одной диагонали:
для связующих сторон 4п 3
для непосредственно измеренных промежуточных сторон
,» о 2 т\
т. =т?
(III.1.76)
для нсизмерявшихся промежуточных сторон mS I 2 (п 3)sa
Зпр
•+т(7^У
(«2-« + 18)(^гц'У
Для определения продольных и поперечных сдвигов могут быть использованы приближенные формулы К. Л. Проворова 31, которые до нескольких сантиметров (до 5 см) можно считать одинаковыми для звеньев линейной (трилатерации), угловой и линейноугловой триангуляций, а также для достаточно прямолинейных ввеньев полигонометрии.
Формулы выводились для ряда, состоявшего из равнобедренных треугольников со связующими углами В, при уравнивании do углам. Прп измерении и уравнивании направлений ощутимо изменяется только средняя квадратическая ошибка поперечного сдвига (до 30%) в тех случаях, когда на пунктах измеряется более двух направлений.
Продольный сдвиг
а. Прп измерении трех сторон и трех углов треугольника пли только трех сторон и промежуточных углов
(III.1.77)
V 'Г
б. Прп измерении в треугольнике всех углов и только связующих сторон или без памеренпя связующих углов и промежуточных сторон (в полигонометрии):
когда ошибка измерения сторон постоянна, т. е. ms = const, mL = ms cos вУп, (III.1.78)
когда ошибка измерения сторон пропорциональна расстоянию,
ms
т. е. =* const, »
= . (III.1.79)
L * Уп
в. При измерении только всех углов треугольника
= -*£-£ ctg В ]/-£-. (III.1.80)
Поперечный сдвиг
а. При измерении в треугольнике только всех углов, или при измерении всех сторон и углов, или при измерении всех углов и связующих сторон
= (III.1.81)
б. При ивмерении всех сторон и только промежуточных углов или при намерении только связующих сторон и промежуточных углов (полигонометрии)
тЧ = У^-Ь]Рк' (III.1.82)
в. При измерении только всех сторон треугольника
п ctg В У л (9+10 cos 2 В). (III. 1.83)
Оценка точности рядов трилатерадии, построенных радиогеодезическими методами. Для рядов трилатерации, построенных из различных правильных геометрических фигур со сторонами, измеренными радиогеодезическими методами, при уравнивании за условия этих фигур и условие азимутов между конечными сторонами, К. JI. Проворовым рекомендуются следующие формулы для подсчета продольного (mL) и поперечного (mq) сдвигов ряда.
(III.1.84)
т£ = 0,52т, У N
т„ = 0,17ms У N (N* + 2,19JV+ 28,83)
тТ. = 0,70ms (1 0,1/) У N
L , . (III.1.85)
mq = 0,4W VN (iV* - aN+b)
где коэффициенты а и Ь в зависимости от продвига I имеют следующие значения (табл. II 1.1.6).
Таблица III.1.6
{ |
а |
ь |
1 |
а |
Ь |
0,5 |
0,79 |
19,07 |
2,0 |
0,07 |
3,19 |
1,0 |
0,23 |
6,54 |
2,5 |
0,04 |
2,76 |
1,5 |
0,11 |
4,09 |
(III.1.86)
mL = 0,61mj |ЛЛГ'-Н2
, = 0,25msl/V (iV',+ 7,llJV,4-44,7l)
Исследования показали, что наиболее выгодным, с точки зрения минимального объема измерений и наименьших ошибок, является ряд из геодезических четырехугольников.
В. ПРОЕКТИРОВАНИЕ И РЕКОГНОСЦИРОВКА ГОСУДАРСТВЕННЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ
Построение государственных геодезических сетей осуществляется по заранее разработанным и утвержденным в установленном порядке техническим проектам.
Проектированию геодезических работ обычно предшествует целый комплекс подготовительных мероприятий, имеющих целью обстоятельное изучение территории предстоящих работ как по литературным и картографическим источникам, так и путем непосредственного обследования местности. Схематически этот комплекс мероприятий можно представить так:
В зависимости от конкретных условий и особенностей участка, поставленных задач и наличия технических средств указанная схема может сильно меняться. Так, например, при проведении работ в обжитых и хорошо изученных районах по соседству с участком, сходным по своим физико-географическим условиям с данным, где недавно были выполнены аналогичные работы, геодезическое обследование может быть заменено изучением технических отчетов и других материалов. При проектировании работ по картам крупного масштаба (не мельче 1 : 25 ООО 1:10 ООО) рекогносцировка
принедет лшпь к незначительным уточнениям высот и мест расположения пунктов, поэтому надобность в составлении предварительного проекта отпадает; отпадает она при комплексном ведении рекогносцировки и постройки знаков. При планировании предстоящих работ и подготовительных мероприятий все подобные факты должны учитываться.
Основным назначением рекогносцировки является уточнение камерального проекта путем изыскапия на местности выгоднейшего варианта построения намеченной сети, а также окончательный выбор местоположения пунктов с установлением конструкции и высот знаков, а также типов подземных центров.
Организация работ и проведение рекогносцировки зависят от конкретных условий и могут выполняться как самостоятельно,
в составе специализированных рекогносцировочных брпгад, так и в комплексе с постройкой знаков, что особенно выгодно в труднодоступных и малообжитых районах.
Руководящими документами при проведении рекогносцировки являются: предварительный проект на участок работ, техпред- ппсание на рекогносцировку, действующее положение о построении государственных геодезических сетей, а такжо специальные требования по выбору геодезических пунктов, устанавливаемые инструкцией.
С целью улучшения формы фигур сети и снижения высот знаков рекогносцировщику разрешается изменять расположение отдельных пунктов и даже перепроектировать отдельные участки сети.
О всех значительных изменениях проекта необходимо докладывать руководству работ.
При выборе мест пунктов, а также определении командных высот в залесенной местности п определении наиболее удобных путей подхода к пунктам полезно использовать аэроспимкп .масштаба 1 : 40 ООО 1 : 50 ООО и репродукцию накидного монтажа в масштабе 1 : 100 ООО.
Форма и объем отчетной документации по окончании рекогносцировки зависят от характера организации ее: прп самостоятельном ведении рекогносцировки составляется подробная объяснительная записка с приложением журналов рекогносцировки и различных схем отрекогносцированного участка сети [3]; при ведении ее в комплексе с постройкой составляют карточки постройки пунктов, представляющие задаппя рекогносцировщика на постройку пунктов и сведения о выполненной постройке [1], и краткую объяс-
пительную записку с приложением соответствующих графических материалов.
Расчет высот знаков. Определение высот знаков является одной из важнейших задач рекогносцировки. Кроме того, высоты знаков рассчитывают при составлении графических проектов сети по карте.
Рис. IIM.il
Проще всего высоты знаков можпо рассчитывать по следующим формулам (рис. III.1.10):
(III.1.87)
где Hi ri ff3 высоты первого п второго знаков; ^и ft, превышения препятствия над основаниями первого и второго знаков со своим знаком (препятствие минус основание знака); а высота луча над препятствием; v поправка (в метрах) за кривизну Земли и рефракцию, равная
(III.1.88)
где к коэффициент рефракции (обычно принимаемый равпым
Величины v выбирают из специальных таблиц или приближенно вычисляют по формуле
(III.1.89)
Величины h определяют либо по карте, либо вычислением по измеренным зенитным расстояниям по формуле
(III.1.90)
h = s ctg z +i»+1 I,
где i высота инструмента; I высота наблюдаемой точки над землей, либо выбирают из специальных таблиц [3].
Если в створе между пунктами расположено несколько препятствий, то необходимые высоты знаков подсчитывают для каждого препятствия отдельно и из пих выбирают те, которые требуют максимального аначения высот знаков.
После расчета высот знаков по всем направлениям подбирают выгоднейшую их комбинацию по каждой паре пунктов. Обычно экономически выгоднейшей высотой пары пунктов считается пара с наименьшей суммой высот. Однако на стоимость постройки знаков существенное влияние оказывают стоимость лесоразвозки н другие факторы, которые необходимо учитывать.
Определив выгоднейшую высоту какого-либо знака (лучше всего дальнего от препятствия) или в случае уже построенного знака определенной высоты необходимо откорректировать высоту второго пункта. Пусть, например, рассчитанную по формуле (II 1.1.87) высоту в пункте А (рис. III.1.11) пришлось изменить па ДhA = = Н'А UА (новое значение высоты минус прежде рассчитанное). Тогда, пользуясь «правилом коромысла», можно определить измс- нение Д Ав рассчитанной по (III.1.87) высоты второго знака
Нв //В+Д^В.
Окончательное значение высоты знака в пункте В будет
(III.1.91)
(III.1.92)
Для контроля определяют высоту знака графически (часто ограничиваются только графическим определением высот знаков).
Для этого на листе миллиметровой (клетчатой) бумаги (см. рис. III. 1.10) проводят горизонтальную прямую и примерно в середине намечают точку С' (препятствие). Затем в определенном масштабе (например, принимая в 1 см 1 км для горизонтального и в 1 см 10 м для вертикального масштабов) по расстояниям s наносят точки расположения пунктов А' н В'. От полученных точек по вертикали вниз откладывают величину а + и + h (если h имеет отрицательный знак, то его откладывают от точек а + v по вертикали вверх) и получают основания знаков А и В. Измерив отрезок от основания знаков до горизонтальной прямой, определяют в соответствующем масштабе их высоту, обеспечивающую взаимную видимость пунктов. Бели на одном иэ пунктов имеется уже построенный энак или по другим соображениям для него заранее была определена высота, то ее откладывают от основания знака по вертикали вверх, после чего, приложив линейку к полученной точке и точке С', получают высоту второго знака.
Если первоначальная высота знака получается отрицательной (выше горизонтальной линии, проходящей через С') или при корректировании высот линия пересекает вертикаль ниже точки основания второго знака, то это означает наличие взаимной видимости между пунктами с вемли.
Расчет высот знаков очень упрощается применением различных палеток, а также специальных профильных бланков листов бумаги с нанесенными концентрическими кривыми, изображающими уровенные поверхности (см. [3] и др.).
Если построенных знаков на определяемых пунктах пе имеется, то оптимальную высоту для каждой пары пунктов, обеспечивающую наименьшие затраты на постройку сигналов, можно подсчитать □о формулам М. И. Коробочкина
где
При проведении трилатерационных работ с использованием радиодальномеров с выносными приемо-передающими станциями на антеннах в 1025 м обходятся без постройки высоких знаков, что сущестненно снижает себестоимость геодезических работ, облегчает их проектирование и упрощает рекогносцировку.
Г. ПОСТРОЙКА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗНАКОВ
Геодезические знаки состоят из двух основных частей: подземной части центра пункта и устанавливаемого над ним наружного сооружения геодезического сигнала.
Геодезические сигналы служат для обеспечения возможности проведения угловых измерений, свето- и радиодальпомерных измерений расстояний и имеют приспособление для постановки инструмента, платформу для наблюдателя и визирное устройство.
Центры геодезических знаков закладывают в эемлю; они служат для обеспечения неизменного положения собственно геодезического пункта и его сохранности в течение продолжительного времени, а также для обозначения тех неподвижных точек, к которым приводятся все угловые и линейные измерения.
Условия проведения высокоточных геодезических измерений накладывают на сигналы следующие основные требования:
а. Сигнал должен быть устойчивым, т. е. обладать надлежащей сопротивляемостью опрокидыванию его ветром максимальной силы и не подвергаться перекосам под влиянием собственного веса. Это достигается надежным закреплением основных столбов сигнала в котлованах соответственной глубины, а также правильным соотношением между высотой, шириной основания и диаметром основных столбов. Для уменьшения осадки и вдавливания в грунт основные столбы устанавливают на прочные щиты (помосты), уложенные па дно котлованов, или на специальную забутовку (подушки). Глубина котлованов в зависимости от высоты сигнала установлена от 1 до 2,5 м.
б. Сигнал должен обладать значительной жесткостью, т. е. иметь малые упругие деформации частей и быстро восстанавливать свое первоначальное положение по прекращении действия сил, приводивших к его деформациям.
Это достигается тщательной подгонкой отдельных деталей сигнала и правильным соотношением их длины и толщины.
Жесткость сигнала должна позволять выполнять наблюдения при петре небольшой силы (до 45 м/сек), при этом вибрация сигнала но должна ощущаться.
в. Сигнал должен быть прочным, т. е. долговечным, с хорошей сопротивляемостью разрушению отдельных частей.
Это обеспечивается соответствующим подбором ассортимента строительного материала и правильным выбором места постройки. Большое значение при этом имеют толщина и крепление деталей. Для предохранения от гниения основные столбы в месте выхода их над земной поверхностью обжигаются или пропитываются специальным раствором, а заготовленный для постройки лесоматериал ошкуривается. Кроме указанных требований, при постройке сигналов должны соблюдаться условия симметричности формц сигнала относительно вертикальной оси, удобства и безопасности паблюденпй, подъема и спуска с пего и прежде всего обеспечения видимости по всем запроектированным направлениям при минимальной высоте сооружения.
В зависимости от конструкции, высоты и подставки для угломерного инструмента геодезические сигналы строятся следующих типов: туры, пирамиды, простые сигналы н сложные сигналы.
Туры. В высокогорных и горных (не покрытых лесом) районах с открытым горизонтом и скальными грунтами устанавливают туры, представляющие собой каменные, кирпичные, бетонные или железобетонные столбы, возводимые над маркой, заложенной в скалу. Размеры их таковы: сечение фундамента 0,7 X 0,7 м, выступающей над поверхностью земли части 0,5 X 0,5 м, высота 1,20 м.
В верхнюю грань тура и поверхность фундамента строго над первой маркой закладывают вторую и третью марки.
Визирные приспособления крепят либо на специальных деревянных пли металлических пирамидах, устраиваемых пад туром, либо непосредственно на марке тура. Туры могут заменяться деревянными или металлическими штативами, устанавливаемыми над маркой центра.
Простые пирамиды. Простые пирамиды строят в открытых, всхолмленных и горных безлеспых районах, где видимость на смежные пункты открывается с земли и визирный луч проходит па установленной высоте над препятствием. Они бывают трехграпными и яетырохгранными и разделяются на: простые пирамиды, ппрамиды со штативом и пирамиды с вехой. Общая высота (до верха визирной цели) простых пирамид и пирамид со штативом колеблется от 5 до 8 м. Сторона основания у них равна х/3 высоты. Высота штатива пад помостом 1,20 м. У пирамиды-вехи высота визирной цели над стыком основных столбов не должна превышать 5 м. Общая же высота может доходить до 20 м.
Простые сигналы. Простые сигналы состоят из двух строго изолированных друг от друга пирамид: внутренней, являющейся подставкой для инструмента, и наружной, несущей платформу для наблюдателя и визирную цель. Простые сигналы строятся высотой от 4 до 10 м, сторона их основания равна 1/5 высотц,до площадки наблюдателя плюс 2,0 м. Наружные пирамиды, как правило, четырехгранные, внутренние трехгранные. Высота столика для инструмента пад площадкой устанавливается в 1,20 м.
Сложные сигналы. Сигналы высотой от 11 до 40 м строятся в виде сложных трехгранных сигналов (до 1959 г. сигналы высотою свыше 13 м строились сложными .четырехгранными).
Сложные сигналы представляют собой единую конструкцию, в которой внутренняя (инструментальная) пирамида, несущая столик для инструмента, не изолирована от наружной, а опирается на основные столбы последней на б м ниже площадки для наблюдателя. Обшивка граней сложного сигнала может иметь крестообразную или ромбическую форму.
Ширина основания сложных сигналов равняется */4 их высоты до площадки наблюдателя плюс 2,0 м. Высота столика для инструмента над площадкой равна 1,20 м. У сигналов с ромбической решеткой граней ширина основания и площадка наблюдателя увеличены на 0,5 м.
При постройке сигнала следует обращать особое внимание па прочность изготовления инструментального столпка и внутренней пирамиды, а также на полпую ее изолированность от лестниц и площадки для наблюдателя.
Для астрономических наблюдений устанавливаются специальные столбы из кнрппча или камня, скрепленные цементом. В исключительных случаях ставятся деревянные столбы.
Типы закладываемых центров зависят от физико-географических условий района работ, особенно от состава грунта и глубипы промерзания почвы. Их изготовляют либо из бетона, либо из металлических труб, заполненных бетонным раствором и надежно защищенных от действия коррозии (в работах прежних лет встречаются центры из кирпичных или каменных кладок на цементном растворе). В бетопные блоки или трубы заделывают специальные чугунные марки, в центре которых находится полусфера с отверстием пли крест, обозначающие точку, к которой приводятся все угловые и линейные измерения.
Как правило, в применявшихся до 1973 г. конструкциях центров имелось 2 марки: одна в основании, другая в верхней части центра, В настоящее Бремя почти все типы центров имеют одну марку.
При наличии нескольких марок их оси должны находиться на одной отвесной линии. Если верхние марки не имеют номера, то у бетонных центров при изготовлении на верхней грани ставится порядковый помер.
С 1973 г. установлены новые типы центров и реперов государственной геодезической сети 117], рассчитанные на механизацию земляных работ и возможность централизованного изготовления их, а также на облегчение доступа к ним при привязке расположением верхних частей (марок) на уровне или выше земной поверхности и на обеспечение длительной сохранности знаков усилением элементов их внешнего оформления. В соответствии с этим в настоящее время центры изготавливаются в виде железобетонных пилонов или металлических труб, позволяющих при закладке использовать самоходные буровые установки, а также в виде железобетонных свай, закладываемых при помощи сваезабивных установок.
Конструкция центров определяется физико-географическими особенностями районов страны, на территории которой выделяются следующие зоны:
а) сезонного промерзания грунтов, состоящая из южной, болеа благоприятной и северной, менее благоприятной для устойчивости знаков зон, граница между которыми проходит по линии Ужгород Харьков Актюбинск Караганда Семипалатинск оз. Зай- сан;
б) многолетней мерзлоты, включающей южную, менее благоприятную, среднюю и северную, наиболее благоприятную для устойчивости знаков зоны. Граница между южной и средней зонами проходит примерно по линии Воркута Новый Порт Хан- тайка Сунтар Олекминск Алдан Аяп; северная зона определяется глубиной протаивания грунтов до 1,25 м;
в) зона распространения подвижных песков, горных районов, заболоченных грунтов.
По окончании постройки знака со столика сигнала измеряют до минут магнитпые азимуты направлений на все соседние пункты, а также высоту сигнала до столика и верха визирной цели, расстояния до ориентирных пунктов и азимуты на них. Все эти сведения заносят в специальный акт на построенный эпак, где указывается также название знака, учреждение, партия, бригада, производившая постройку, тип знака, центра и ориентирного пункта.
По окончании работ по постройке знаков сдаются следующие документы:
Схемы вычерчиваются в масштабе 1 : 500 ООО (для 1 класса) или 1 : 300 ООО (для сетей 2, 3 и 4 классов) с разграфкой на трапеции масштаба 1 : 100 000;
Организация работ строительной бригады зависит от физико- географических условий. Так, например, в районах с развитой транспортной сетью целесообразно изготовление центров и некоторых деталей знаков в централизованном порядке с последующей развозкой их по местам постройки. В Заполярье и труднодоступных районах выгодно штативы и даже простые пирамиды доставлять на место постройки в собранном виде па вертолетах. В таежных районах все части знаков изготавливают на месте.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Н1.2. ВЫСОКОТОЧНЫЕ УГЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ТРИАНГУЛЯЦИИ
Н. В. Яковлев
Краткие сведения об угломерных инструментах. Согласно ГОСТ 1052963 в настоящее время изготовляются только оптические теодолиты, которые подразделяются на высокоточные, точные и технические. Высокоточные теодолиты Т05 предназначаются для триангуляции и полигонометрии 1 класса, Т1 для 2 класса, точные теодолиты Т2 для сетей 3 и 4 классов. Наряду
о этими теодолитами новых конструкций применяются теодолиты ТТ-2/6 в триангуляции и полигонометрии 1 класса, оптические теодолиты ОТ-02 и ОТ-02М d сетях 2, 3 и 4 классов, теодолиты ОТС, ТБ-1 и другие, им равноценные, в сетях 3 п 4 классов.
Основные технические характеристики высокоточных и точных угломерных инструментов приведены в табл. III.2.1.
Проверки угломерных инструментов. Принципиальная схема высокоточпых угломерных инструментов включает следующие основные яасти:
Каждый инструмент, поступающий для производства работ, должен быть тщательно выверен, отъюстирован и исследован.
В задачу поверок и юстировок входит выявление отступлений от геометрических и оптико-механических требований, положенных в основу конструкции инструмента, и наиболее полное устранение этих отклопенпй.
Исследования предусматривают определение неустранимых отклонений с целью введения соответствующих поправок,
Инструменты |
||||
Основные характеристики |
СО |
S |
||
инструмента |
м |
N о |
||
1 Н |
1 Н |
о |
«4 |
|
Н |
О |
Е-* |
ь |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Главная труба |
• |
|||
Диаметр объектива, мм . . |
65 |
60 |
64 |
60 |
Фокусное расстояние, мм |
520 |
348 |
500 |
350 |
Увеличение (крат) .... |
52; 65 |
24; 30; |
37; |
30; |
40 |
50; 62 |
40 |
||
Цепа деления окулярного |
1” |
1" |
||
микрометра |
Г |
|
||
Ширина биссектора микро |
30" |
|||
метра |
|
36 д |
40” |
|
20” |
||||
Наименьшее расстояние |
||||
визирования, м . . . . |
5 |
5 |
5 |
5 |
По верительная |
||||
труба |
||||
Диаметр объектива, мм . . |
36 |
36 |
||
Фокусное расстояние, мм |
360 |
360 |
||
Увеличение (крат) .... |
30 |
30 |
||
Поле зрения |
1° |
Г- |
||
Цена деления окулярного |
1. 4' 35" |
1. 4" 35” |
||
микрометра Ширина биссектора . . . |
||||
Горизонтальный |
||||
круг |
||||
Диаметр круга, мм , . . |
220 |
135 |
180 |
135 |
Цена наименьшего деления |
||||
круга Отсчетное приспособленце |
5' |
10' |
10' |
10' |
а) бид микрометра . . |
Винтов. |
Оптический микрометр |
||
б) цена деления бара |
микром. |
|||
бана |
2" |
0.5” |
1" |
1" |
Вертикальный |
||||
круг |
||||
Диаметр круга, мм . . . |
160 |
90 |
130 |
90 |
Цена деления круга . . . |
10' |
20' |
10' |
10' |
Инструменты |
||||
Основные характеристики инструмента |
СО сч 1 Н Е-* |
Я « о 1 Е* О |
if. О Н |
н |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Отсчетное приспособление а) вид |
Шкалой. |
Оптическ; |
т микр |
ометр |
б) цена деления . . . |
микром. 6* |
1" |
1" |
г |
Цена деления уровня (сек на 2 мм) Накладного |
2-3 |
4 |
5 |
|
На алидаде горизонтального круга |
|
6-7 |
1 со |
7 |
При алидаде вертикального круга |
610 |
10-12 |
1012 |
12 |
Масса И н с т.р у м е н т а, кг Без упаковки ...... |
27,5 |
10,8 |
18,8 |
11 |
В упаковочных ящиках (футлярах) |
44 |
18,5* |
34 |
17* |
Масса штатива |
|
8 |
|
8 |
* С учетом массы центрировочной плиты.
уменьшающих влияние этих отклонений на результат; определение постоянных инструмента (цены деления уровней, цены деления окулярных микрометров главной и поверительной труб и т. п.); испытание работы отдельных механизмов и частей инструмента (микрометров, направляющих, микрометренных винтов и т. п.); определение ошибок делений шкал и винтов измерительных приспособлений; установление степени влияния внешних условий на отдельные части и на инструмент в целом и т. д.; наконец, установление пригодности инструмента (по результатам исследований) для производства работ данного класса точности.
Поверки теодолитов с винтовыми мин рос копами-микрометрами
Поверки теодолитов выполняют в определенной последовательности. Большую часть поверок выполняют в предположении, что вертикальная (основная) ось инструмента занимает отвесное положение и сохраняет его неизменным при вращении алидады. Поскольку ориентирование инструмента относительно отвесной линии осуществляется при помощи уровня, то п поверки начинают с поверки уровня, приведя предварительно, насколько это возможно прп невыверенном уровне, вертикальную ось в отвесное положение.
Для выполнения первой части поверки вращением алидады устанавливают уровень по направлению двух подъемных винтов и, действуя ими, приводят пузырек уровня точно па середину. Затем осторожно покачивают уровень в обе стороны на горизонтальной оси трубы и следят за пузырьком. Если пузырек при покачивании уровня не смещается, то первое условие выполнено. В противном случае уровень необходимо исправить боковыми исправительными винтами при нем.
Вторую часть этой поверки (поверку равенства подставок уровня) выполняют таким образом. Подъемными винтами приводят пуаырек уровня на середину, фиксируют отсчеты по концам пузырька (достаточно по одному) и затем переставляют уровень на оси трубы на 180°. Разность отсчетов по одному из концов пузырька даст двойную величину неравенства подставок уровня в делениях его. Исправления производят перемещением пузырька уровня на одну половину дуги отклонения вертикальными исправительными винтами при уровне, а на вторую половину подъемными винтами инструмента. Если пузырек после перекладывания уровня на оси на 180°. смещается от исходного положения на величину не более двух делений, то уровень можно не исправлять, а пользоваться так называемым местом нульпункта уровня, т. е. средним из отсчетов по концам пузырька, взятым, при двух положениях уровня. Практически можно ограничиться средним отсчетом только по одному из концов пузырька и пользоваться им при последующей нивелировке инструмента, фиксируя отклонение пузырька от этого среднего отсчета.
Неравномерное (из-за резко различного трения), тугое или слишком свободное вращение алидады недопустимо и должпо быть устранено. Первым признаком неправильного вращения алидады являются периодические изменения показаний уровня (на величину более одного деления, т. е. на 3" и более) при повороте алидады точно через 360° и соответственно периодические изменения разности отсчетов МБ МА по микроскопам-микрометрам.
Регулирование вращения алидады осуществляют при помощи регулировочного винта-грибка. Если это не приводит к цели, то надо сменить смазку вертикальной оси инструмента.
Вращением алидады устанавливают накладной уровень по направлению двух подъемных винтов и, действуя ими, приводят пузырек уровня на середину (в нульпункт). Затем приподнимают уровень, поворачивают алидаду точно на 180® и опускают уровень на ось трубы32. Если пузырек уровня пе сместится, то поверка выпол- пена. В противном случае для пснравлеппя перемещают пузырек уровня на одну половину дуги отклонения его от середины исправительными винтами при подстановке оси вращения трубы, а па вторую половину подъемными виптами инструмента. Неперпендн- гсулярность осей в инструментах, используемых для угловых измерений в триангуляции 12 классов, не должна превышать 5" (двух делений уровня теодолита ТТ-2/6).
Трубу наводят на нитяной отвес и вращают ее около оси при помощи наводящего винта. Если при наклонах трубы в диапазоне изменения зенитных расстояний от 87 до 93°- будут замечены отклонения визирной оси от нити отвеса, то при производстве угловых измерений пользоваться наводящим винтом трубы но следует впредь до устранения отмеченного недостатка.
А. При установке биссектора в нульпункт отсчет по барабану микрометра должен быть равен нулю.
Б. Рен микроскопа-микрометра должен быть не более l/t наименьшего деления отсчетного барабана. Под реном понимают разность между поминальным п0 и действительным числом п делений барабана микрометра, укладывающихся в наименьшем делении лимба, т. е,
г = п о га.
Прежде яем исправить рен, надо приближенно определить его величину. Чтобы не делать лишней работы, обычно перед этой поверкой исследуют правильность работы винта микрометра, где попутно получают приближенное значение репа. Если такое исследование не сделано, то приближенную величину рена определяют таким образом. Один штрих лимба устанавливают в нульпункте микроскопа. Затем биссектор (если их два, то пользуются только одним из них) наводят ввинчиванием винта последовательно сначала на ближайший штрих слева от нульнункта, далее на штрих в пульпупкте и, наконец, на штрих справа от нульнункта и каждый раа берут отсчеты по барабану микрометра: at, Ь/, с;. Вычитая из последующего отсчета предыдущий, получают два приближенных значения реза
rt = ctbi и r\ = bi ai.
Такие определения рена делают на трех-яетырех произвольных установках лимба и затем из всех значений гг и г\ выводят среднее г0, которое и принимают ва приближенную величину рена.
Если рен окажется больше х/а наименьшего деления барабана, то его исправляют: при положительном рене (г0 £> 0) надо выдвинуть объективную трубку из тубуса микроскопа, а сам тубус поднять в обоймах настолько, ятобы отчетливо были видны деления лимба; при отрицательном недопустимом рене (г0 <3 0) объективную трубу вдвигают внутрь тубуса микроскопа, а весь микроскоп опускают в обоймах до тех пор, пока пе будут отяетливо видны штрихи лимба, Рен исправляют последовательными приближениями,
Окончательную величину рена определяют из специальных исследований.
В. Отклонение угла между микроскопами-микрометрами от 180° должно быть не более 20". Этот малый угол d вычисляют по формуле
где
vx = MB-MA- 180е,
v2= Л/£90> - М^80> -180°-.
Здесь МБ и МА отсчеты по микроскопам Б и Л на произвольной установке лимба; ЛГ(^В0) и М^80) отсчеты при той же установке лимба, но при положении алидады, отличающемся от первоначального на 1809.
Если угол | d| > 20", то его необходимо уменьшить. Для этого, вращая алидаду, целесообразно микроскоп А установить на отсчет МА, а на барабане микроскопа Б установить число секунд, равное отсчету МБ = Мв d. Так как в этом случае биссектор микроскопа Б окажется в стороне от младшего штриха лимба (на угол d), то, придерживая рукой барабан микроскопа-микрометра Б на нужном отсчете М'в, необходимо повернуть винт этого барабана до тех пор, пока левый биссектор пе совместится с младшим штрихом лимба. Затем надо сместить «гребенку» в микрометре так, чтобы отсчет в нульпункте был равен нулю. Для контроля поверку следует повторить на другой установке алидады, отличающейся от первоначальной примерно на 90°.
В высокоточных угломерных инструментах двойная величина коллимационной ошибки не должна превышать 20" (2с <Г 20”). Исправление производят вращением винта барабана окулярного микрометра при неподвижном положении самого барабана, причем с последующим смещением гребенки микрометра (нуль барабана должен соответствовать положению биссектора в нульпункте гребенки).
При тщательно отнивелировапном инструменте поверку выполняют путем наведения биссектора микрометра па удаленную точку и вращением трубы в вертикальной плоскости. Нить биссектора при вращении трубы должна оставаться на данной точке, в противном случае исправления производят поворотом коробки микрометра, предварительно открепив стопорный винт.
Место зенита и зенитное расстояние вычисляют по формулам Mz = у (К Л + КП) ± 180°,
Место зенита исправляют при помощи исправительных винтов уровня, установленного при алидаде вертикального круга инструмента.
Поверки оптических теодолитов
Поскольку многие поверки оптического теодолита мало отличаются от соответствующих поверок теодолитов с винтовыми микроскопами-микрометрами, то ниже приводится описание только ряда дополнительных поверок.
Подъемные и микрометренные винты должны иметь плавный ход без люфта и заедания.
Ход подъемных винтов регулируют регулировочными винтами при них. Ход микрометренных (наводящих) винтов регулируют пружинами в гильзах и гайками при этих винтах.
Ось цилиндрического уровня при алидаде горизонтального круга должна быть установлена перпендикулярно к оси вращения инструмента.
Поверку выполняют путем поворота алидады точно на 180°, причем делают ее на двух взаимно перпендикулярных установках алидады.
Правильность вращения алидады проверяют путем поворота алидады точно яерез 360°-. Смещение пузырька уровня в теодолитах типа Т1 и ОТ-02 не должно превышать 0,5 деления. Недопустимое колебание вертикальной оси устраняют только в заводских условиях.
При поверке изображений горизонтального и вертикального кругов необходимо обратить внимание на следующее:
а) индекс оптического микрометра при установке секунд на нуль должен совпадать с совмещенными изображениями диаметрально противоположных штрихов лимба;
б) освещенность поля зрения отсчетного микроскопа должна быть равномерной;
в) линия раздела между верхними и нижними изображениями штрихов лимба должна быть тонкой, прямой и без заметных утолщений;
г) не должно быть перекосов изображений штрихов лимба;
д) изображения штрихов лимба и диска секунд должны быть видны одновременно и резко, без перефокусировки окуляра.
Неперпендикулярностъ оси вращения трубы к вертикальной оси инструмента в теодолитах типа Т1 и О Т-02 не должна превышать 5".
Правильность хода фокусирующей линзы зрительной трубы проверяют по разностям отсчетов, сделанных по горизонтальному кругу при двух положениях вертикального круга на удаленную и па близко расположенную (в 56 м) точки. Несовпадение разностей (KJIКП) для дальней и ближней точек свидетельствует о неправильном ходе фокусирующей линзы. Исправление производят в мастерской или на заводе.
Место зенита в теодолитах типа Т1 и ОТ-02 должно быть близким к нулю.
Исправляют его посредством регулировочного винта при уровне так, чтобы при наведении зрительной трубы на какую-либо удаленную точку и совмещении концов пузырька уровня сумма
отсчетов по вертикальному кругу при KJI и КП была равна
180S
Мг = КЛ+КП 180°, z = КП К Л + 90®.
Исследование угломерных инструментов. В каждом высокоточном инструменте должны быть исследованы:
Осевая система вместе с подставкой и уровнем (накладным или при алидаде). Определяют цепу деления и качество уровней, исследуют правильность вращения алидадной части, определяют влияние люфта подъемных винтов на результаты угловых измерений.
Горизонтальный круг. Определяют ошибки диаметров и эксцентриситет круга.
Визирное приспособление. Исследуют качество оптики главной и поверительной труб, определяют цены оборотов окулярных микрометров, ошибки винта микрометра (ходовые и периодические), правильность хода фокусирующей линзы, правильность вращения трубы вокруг горизонтальной оси (при пользовании наводящим винтом трубы), постоянство коллимационной ошибки, эксцентриситет визирной оси.
Отсчетные приспособления. В винтовых микро- скопах-микрометрах определяют ошибки винтовой пары (винта и гайки), «мертвый» ход винта, испытывают правильность работы микрометра, точно определяют значение рена. В оптических микрометрах с качающимися плоскопараллельными пластинками исследуют систематические ошибки микрометра, случайные ошибки совмещения изображений штрихов круга (для горизонтального и вертикального), мертвый ход отсчетного барабана. В микрометрах с оптическими клиньями выполняют эти же исследования, за исключением мертвого хода, который в данпом микрометре не имеет места.
Перед выездом на полевые работы выполняют только часть перечисленных исследований инструмента, а именно: правильность работы микрометров и рен, эксцентриситет горизонтального круга, правильность вращения алидадной части, правильность вращения трубы вокруг ее оси, систематические ошибки из-за люфта подъемных винтов, постоянство коллимационной ошибки трубы. Полные же исследования ипструмента проводят при получении его с завода, а также после капитального ремонта инструмента.
Ниже приводятся краткие замечания по некоторым видам исследований инструментов.
а) введения поправок в каждый измеренный угол или направление; в этом случае разности поправок любой пары диаметров должны быть получены с одинаковыми весами, а сами поправки для всех диаметров, причем с ошибками не более ±0,1?;
б) установления качества разделения круга и пригодности его для производства высокоточных угловых измерений; в настоящее время круги исследуют обычно через 13°, при этом удовлетворительными считают круги, полные ошибки диаметров которых не превышают 1,2 и 1,5" соответственно для теодолитов типа ТТ-2/6 и Т1 или ОТ-02; при этом в теодолитах ТТ-2/6, п порядке исключения,
допускаются ошибки до 1,4, но не более чем для двух диаметров;
в) установления характера изменения систематических ошибок делений круга и использования выявленной закономерности изменений их для последующей разработки методов борьбы с влиянием этих ошибок в процессе угловых намерений на пункте;
г) контроля работы делительпой машины.
В настоящее время поправки за ошибки диаметров круга не вводят в измеренные углы в триангуляции из-за сложности точного определения их величины и наличия сравнительно простых путей заметного ослабления влияния ошибок диаметров на конечные (уравненные) результаты измерений на станции. Тем не менее техника и качество разделения кругов высокоточных инструментов нуждаются в дальнейшем совершенствовании и повышении точности нанесения делений.
Наибольшее совместное влияние эксцентриситета лимба и алидады на разность отсчетов по микроскопам будет в том случае, когда центр кольца делений лимба и центр осп вращения алидады будут находиться на одной прямой по разные стороны от центра вращепня лимба.
Правильность вращения алидады инструментов с микроскопами-' микрометрами испытывают церестановкой ее через 30?, начиная от 0°, па трех следующих один за другим оборотах алидады по ходу часовой стрелки и трех оборотах ее в обратном направлении. В оптических теодолитах с саморегулирующейся системой осей делают по одному прямому и обратному оборотам. При каждой установке алидады фиксируют отсчеты по горизонтальному кругу и показания пакладного уровня.
При удовлетворительной регулировке вращения алндадной яастп разности v отсчетов МБ и МА по микроскопам Б и А
v = MB-MA- 180s
должны изменяться по закону синуса: отклонения этих разностей от синусоиды, вычислепной по материалам исследований, у теодолитов ТТ-2/6 не должны превышать 10"; абсолютные же значения разностей v должны быть меньше 40*. Если абсолютные значения превышают 40", но колебания отдельных значений. не выходят из этого предела, то необходимо по окончании исследований исправить угол между микроскопами.
Синусоида вычисляется по формуле
гд = /* sin {Л/Д.Р)+d,
где МА отсчет по микроскопу А\ аначения величии /, Р и d находят по формулам
р sin Р [рсоз МА\
® cos Р = [ysinA/д]
2[vcnsMA\ 2[узтЛ/д]
здесь d отклонение угла между микроскопами от 180°; v = МБ
Величина / (амплитуда синусоиды) связана с линейным элементом эксцентриситета е и с радиусом R лимба соотношением
При исследовании эксцентриситета алидады (лимба) оптических теодолитов на каждой установке алидады (лимба) сначала совмещают изображения диаметрально противоположных штрихов лимба (отсчет t), а затем изображение штриха алидады (лимба) с неподвижным индексом (отсчет t'). Изменение разностей v = 2 (t
Рен винтового микрометра с одним бнссектором вычисляют как разность отсчетов при наведении биссектора на старший Ь и младший а штрихи лимба
г = Ь а.
При наличии двух биссекторов в микроскопе (теодолйты типа ТТ-2/6) рен вычисляют по формуле
г = ра,
где р = Ь а (разность отсчетов при наведении правого биссектора на старший штрих и левого бассектора на младший штрих); а отличие расстояния Д между двумя биссекторами от номинального значения его До, т, е, а = Д Дд,
В целях ослабления влияния па рен ошибок винта микрометра, ошибок делений отсчетпого барабана и его эксцентричной посадки исследования ведут на различных установках барабапа, симметрично распределенных по всей его окружности и по всей рабочей части винта (в пределах одного наименьшего деления лимба и вблизи нульпункта микроскопа).
Если величина рена превышает половину наименьшего деления барабана микрометра (для ТТ-2/6 1"), то в результаты измерений вводят поправки
г а + ь
Дг = .ц,
где цена i наименьшего деления лимба и среднни отсчет g ц.
по микроскопу-микрометру должны быть выражены в одних и тех же единицах (в минутах).
Реном оптического микрометра называют разность поминальной величины полуделения круга и его величины, определенной при помощи микрометра. В оптических теодолитах рен определяют отдельно для верхнего и нижнего изображений круга:
г" = (а Ь)Ц + у,
'■н=(“ OjA + y,
1
г = ~2 (гв + гн),
где I цена наименьшего деления на лимбе в секундах; ji цена деления шкалы оптического микрометра в секундах; а отсчет в делениях по оптическому микрометру около нуля его шкалы при совмещении штрихов лимба А и (А + 180°); Ъ отсчет в делениях по оптическому микрометру в конце его шкалы при совмещении штрихов лиыба А iji (А + 180°); с отсчет в делениях по оптическому микрометру также в конце шкалы, но при совмещении штрихов лимба А и (А + 180 - £).
1
Среднее значение рена г = (гв + гн) и разности гв гя
не должны превышать 0,5" у теодолитов Т1 и ОТ-02 и Г у теодолитов типа Т2. Если величина рена превышает указанные допуски, то его исправляют или в результаты измерений вводят поправку аа рен
A г" = ^-г".
где с отсчет по микрометру при совмещепий диаметрально противоположных штрихов лимба, выраженный в минутах; i номинальная цена наименьшего деления на лимбе в минутах.
Для ослабления влияния ходовых ошибок резьбы винта окулярного микрометра измерение направлений следует вести на одной я той же части винта (барабана), не допуская отклонений отсчетов на барабане окулярного микрометра от пуля более ± 5 делений.
Личные ошибки. При визуальном методе высокоточных угловых измерений в триангуляции личные ошибки систематического характера возникают главным образом из-за ошибочной оценки положения оси симметрии наблюдаемых предметных целей (визирных цилиндров, штрихов лимба и т. п.). При наблюдениях на световые цели резко различной яркости влияние личных ошибок на измеренный угол может достигать 1,5" и более. Такие ошибки могут быть заметно уменьшены путем выравнивания яркости целей по всем наблюдаемым направлепиям или путем применения окулярной поворотной призмы.
Для ослабления влияния ошибок, возникающих из-за различного освещения штрихов лимба, в высокоточных угломерных инструментах применяют электрическое освещение кругов.
Инструменталызыс ошибки. При измерении горизонтальных углов в триангуляции предполагается, что вертикальная ось инструмента совпадает с направлением отвесной линии в данной точке, лимб и ось вращения трубы перпендикулярны к вертикальной оси вращения теодолита, визирная ось трубы лежит в плоскости большого круга инструмента и ось вращения алидады проходит через центр лимба, а центр лимба совпадает с центром кольца делений па нем. Отступления от этой геометрической схемы инструмента порождают соответствующие ошибки. В эту группу инструментальных ошибок входят ошибки, возникающие из-за:
Рассмотрим влияние этих ошибок на результаты угловых измерений.
Коллимационная о.ш и б к а. Под коллимационной ошибкой зрительной трубы понимают малый угол с, образуемый визирпой осью трубы с плоскостью большого круга инструмента. Влияние коллимационной ошибки на направление, измеренное
при одном положении трубы (КП или KJI), выражается формулами
ЛГ=КП+-4, N ± 180° = KJI4, sin z sin z
где N истинное значение направления; КП и KJI измеренные аначения направления; z зенитное расстояние визирной цели. Влияние же этой ошибки на угол между точками А и В, измеренный, также при одном положении трубы, выражается формулами
*»'-"л-кп„ - кпл+ .
Из приведенных формул следует, что значения направлений и углов, полученных как среднее иа результатов измерений их при двух положениях трубы (КП и КЛ), свободно от влияния коллимационной ошибки. При измерении направлений только при одном положении трубы (только при КП или только при КЛ) в угол войдет ошибка Ас, равпая
| Ас 1 = с J
При zA = zB величина Ас = 0. При zA Ф zB = 90 ± 2°, как это иногда имеет место в триангуляции, и при 2с = 20" максимальное остаточное влияние коллимационной ошибки на угол, измеренный при одном положении трубы, составляет около 0,01".
Значение коллимационной ошибки с вычисляют по формуле
КЛКП . с к sm z.
При z = 90° получим 2с = КЛ КП. Значение двойной величины коллимационной ошибки не должно превышать 20".
Наклон горизонтальной оси нращения трубы может происходить либо от наклона вертикальной оси'Инструмента, либо от неравенства подставок трубы, включая и неравенство диаметров цапф. Будем полагать, что наклон горизонтальной оси па угол i обусловлен только неравенством подставок трубы, включая и неравенство диаметров цапф, и что влияние других ошибок равно нулю.
Влияние наклона £ горизонтальной оси вращения трубы на направление, измеренное при одном положении трубы, выражается формулами
ЛГ = КП + --^-, N ± 180“ = КЛт-^-, tgz tgz'
где z зенитное расстояние наблюдаемой цели.
Влияние же наклона оси трубы па угол между топками А и В, измереппый также при одном положении трубы, выражается формулами
Из приведенных формул следует, ято значение угла, получен- пое как среднее из результатов измерепий при двух положениях трубы (КП и KJI), свободно от влияния наклона оси трубы. При измерении направлений только при одном положении трубы (только при КП или только при KJI) в угол войдет ошибка Ai, равная
Прп zA = zB Ai = 0; прп { = 5" и zB = 92s, zA = 88?, как это иногда имеет место в триангуляции, At = 0,35". Как видно, измерения при наклонной липии визирования надо проводить с осторожностью и так, чтобы при данной устан о'в к е инструмента одна половина измерений была исполнена при одном положении трубы, а другая непременно прп другом положении ее. При наблюдениях теодолитами тппа ТТ-2/6 необходимо в этом случае особенно тщательно нивелировать горизонтальную ось вращения трубы.
Наклон вертикальной оси ппструмента на малый угол б относительно отвесной линии в данной точке вызывает наклон осп вращепия трубы на малый угол q, равный
<7 = 6 sin t,
где I угол, ориентирующий трубу инструмента (визирпуго цель) относительно вертикальной плоскости, в которой лежит наклоненная па малый угол 6 ось вращения инструмента.
ДГ = КП + N -+- 1ЯП2= К.ПХ Л
а влияние ее на угол, измеренный между точками А и В также цри одном положении трубы, формулами
Влияние наклона q на направление, измеренное прп одном положении трубы (КП или KJ1), выражается формулами
Влпяпие наклона q на угол, полученный как среднее из наблюдений при двух положениях трубы, равно
дг _N _ нпв + КЛв КПЛ + КЛА ( чв дА
в л 2 2 "Г \gzB tgzA *
Таким образом, влияние наклона д оси вращения трубы, являющегося следствием наклона вертикальной оси инструмента, не исключается иа результатов измерений. При дтах = 5", как это допускается в триангуляции 12 классов, и z = 909 ± 2° значение
величины равно 0,17*. При неблагоприятном стечении обстоятельств, например при zA = гв и qA = qB или при других сочетаниях этих величин, влияние наклона вертикальной оси на измеренный угол может быть в два раза больше указанной величины. Поэтому при тщательно выверенном теодолите, когда наклон вертикальной оси составляет около 6=5", его влиянием на измеренный угол можно пренебречь только в том случае, если аенитиые расстояния наблюдаемых целей уклоняются от 90? не более чем на Iй. В остальных случаях, при z = 90 ± Iе и более, в измеренные направления необходимо вводить соответствующие поправки аа наклон вертикальной оси инструмента. Это относится в особенности к горным районам работ и крупным городам, где колебания зенитных расстояний могут быть значительными.
Поправку А в направление за наклон вертикальной оси инструмента вычисляют по формуле
Д= 7
tgz
где I = q + i общий наклон горизонтальной оси вращения трубы, обусловленный совместным влиянием наклона вертикальной оси инструмента, неравенством подставок трубы и неправильностями вращения алидады, вызывающими дополнительный наклон оси трубы; z зенитное расстояние наблюдаемой цели.
Общий наклон оси трубы при наведении ее на данное направление определяют при помощи уровня (накладного или при алидаде) и вычисляют по формуле
где 6 наклон оси, выраженный в полуделениях уровня, а х"/2 цена полуделеппя уровня.
Наклон оси Ь, определенный при помощи уровня, на котором подпись делений возрастает от одного конца ампулы к другому, вычисляют по формуле
Ь = М (Л!п^ (нуль уровпя слева от направления: ипстру- меитвизирная цель)
пли
6=(ла + н2) м (нуль уровня справа от направления: инструментвизирная цель),
где значение М (место нульпункта уровня, выраженное в полуделе- ннях его) вычисляют по формуле
_ (Л1~ЬП1)~Ь(Л2 + П2) т- 2
В этих формулах лх, пх отсчеты по уровню, когда нуль ампулы находится слева от направления: инструмент наблюдаемый пункт, а л2, п2 отсчеты, когда нуль справа (после перевода трубы через зенит или после перекладки накладного уровня на горизонтальной оси).
В случае иной подписи делений на ампуле уровня наклон оси Ь вычисляют по другим формулам.
Влияние наклона (негоризонтальности) лимба па измеренное направление выражается формулой
(о"2
(у z)"=-^rsin2i/,
где х отсчет по горизонтально установленному лимбу при наведении трубы на предмет; у отсчет при том же положении трубы, но при наклоне лимба на малый угол ш относительно горизонта. При ш = 60" и sin 2у 1 получим (у х) ■= 0,004". Неперпен- дикулярность лимба к оси инструмента больше 2' не следует допускать, так как в этом случае будет наблюдаться расфокусировка отсчетных микроскопов.
Эксцентриситет алидады вызывает сдвиг нуль- пупктов микроскопов и изменение рена. Влияние эксцентриситета алидады на отсчеты по диаметрально противоположным микроскопам А и Б выражается формулами
М'А = МА + В" sin {МА Р) + Аг,
МВ~МБ е" sin {М'А Р) Д г,
где МА, Мв отсчеты по микроскопам, свободные от влияния эксцентриситета; МА, М'Б фактические отсчеты; е" = (е/Я) р" так называемый угловой эксцентриситет алидады; е линейный элемент эксцентриситета (расстояние между центром кольца делений лимба и проекцией на лимб центра вращения алидады); Р угол, ориентирующий линейный элемент эксцентриситета относительно нулевого штриха на лимбе; R радиус кольца делений лимба; Аг изменение рена микроскопа, обусловленное влиянием эксцентриситета алидады.
Максимальное значение Аг не превосходит величины пд О.,
причем погрешность Аг в отсчет по одному микроскопу входит со знаком плюс, а в отсчет по другому микроскопу со знаком минус. Ошибка в отсчете, обусловленная изменением репа из-за эксцентриситета алидады, пренебрегаемо мала: даже при е = 60” она составляет для теодолита ТТ-2/6 всего лишь 0,05" (при пп = = 150 д).
Из приведенных выражений для МА и Мв следует, ято при выводе среднего значения из отсчетов по двум диаметрально противоположным штрихам лимба влияние эксцентриситета на измеренное направление полностью исключается.
Эксцентриситет лимба при выводе среднего отсчета по диаметрально противоположным штрихам круга практически, как уже отмечалось, никакого влияния на измеряемое направление пе оказывает, однако при изготовлении инструмента он должен быть доведен до минимума.
Ошибки делений лимба подразделяют на случайные и систематические. Последние делят еще на длиннопериодические, по величине плавно изменяющиеся по всей окружности лимба, и на короткопериодические (внутриградусные) с периодом изменения около 1530'. Полная ошибка Аи градусного деления с номером и, отстоящего от пуля лимба на угол и, состоит из двух слагаемых
Дц = Д(м) + би,
где Д (и) систематическая (длппнопериодическая) ошибка, а би случайная ошибка этого же деления.
При современном состоянии делительной техники случайные ошибки штрихов лимба обычно в несколько раз меньше систематических. По техническим условиям на изготовление горизонтальных кругов высокоточных теодолитов полные ошибки диаметров 33 не должны превышать 1,2 и 1,5" соответственно у теодолитов ТТ-2/6 и Т1 пли ОТ-02, а короткопериодические ошибки должны быть не более Iя.
Систематические ошибки делений обычно представляют в виде периодической функции
Д (ц) = е0-|- sin (u + bi) + e2 sin 2(u+62) +
+ c3 sin 3 (u-(- Ьз) -f-cn sin n (u-(- 6n),
где c0, e,, c2, . . ., cn, bLJ b2, . . ., bn некоторые постоянные для данного лимба величины, определяемые из исследований. Если теодолит имеет р (обычно р = 2) равномерно установленных по кругу отсчетных микроскопов и направления на пункты измерены т. приемами с перестановкой круга между приемами на один и тот же угол д = 3(Ю°/рт, то остаточное влияние систематических ошибок делений лимба на измеренное направление будет равно
т& ~ С0~Ь срт sin ртп, (и -\~bpm) -f- Cj pm sin 2pm (it -f- pm)~b • ■ •
Так, например, при двух микроскопах и двенадцати приемах
mA = C0 + C24sin 24 (tt + ^24) + е48 sin 48 (и + &4в) + . _ _
По мнению проф. Ф. Н. Красовского, остаточное влияние систематических ошибок диаметров лимба на направление, измеренное 12-ю приемами, составляет не более ±0,25"; в современных теодолитах и того меньше 0,100,15".
Влияние ошибок визирования и отсчета на измеренный угол уменьшается многократными наблюдениями, а также соответствующим методом измерений.
Полагают, что средняя квадратическая ошибка отсчета по одному микроскопу-микрометру теодолита ТТ-2/6 составляет + 0,35", а средняя квадратическая ошибка совмещения штрихов горизонтального круга теодолитов Т1 и ОТ-02 не превышает ±0,3". Средние квадратические ошибки визирования т„ на цели, аналогичные визирпому цилиндру высотой в 1 м и диаметром 0,5 м, видимому на расстоянии 10 км, и цели в виде далеко расположенных шпилей приведены (по С. В. Елисееву) в табл. III.2.2.
Таблица III.2.2
Наименование теодолита |
Увеличение трубы |
т1 |
2-секундный теодолит ТТ-2/6 ..... |
65 |
±0,3 |
То же |
52 |
0,4 |
Оптический ОТ-02 |
40 |
0,5 |
То же ..... |
27 |
0,9 |
В данной таблице указаны значения случайных ошибок визирования. Однако при неблагоприятном стечении обстоятельств может иметь место и постоянная личная ошибка при визировании. Ф. Н. Красовский приводит следующую формулу для наибольшей ошибки иаведения:
где и угловое расстояние между нитями биссектора (рекомендуемое в 3540”), а Д личная ошибка наблюдателя. Последняя зависит в основном от величины контраста цели и фона, на который проектируется цель, и может быть различной для разных направлений. При наблюдениях на световые цели она нередко искажает измеренный угол на величину до 1,5”.
Различного рода инструментальные ошибки, появление которых связано с вращением алидады и с плавными изменениями температуры воздуха и инструмента в процессе измерений углов (увлека- ние столика сигнала при вращении инструмента, влияние люфта подъемных винтов, незначительные гнутия частей инструмента и упругие последствия, ход визирных осей трубы и микроскопов и т. п.), могут быть заметно ослаблены, если измерения направлений и углов ведутся по симметричной программе как в смысле симметричного наблюдения направлений во времени внутри каждого отдельного приема, так и в смысле симметричного расположения частей инструмента относительно каждого наблюдаемого направления.
Боковая рефракция света. Одним из основных источников ошибок при высокоточных угловых измерениях в триангуляции является влияние внешних условий, главным образом боковой рефракции. Надо различат* качество изображений, колебания их и явление рефракции. Качество изображений зависит от степени замутненности атмосферы мельчайшими частицами пыли или воды и от степени теплообмена между поверхностью
почвы и прилегающим к ней слоем воздуха. Колебания изображений наблюдаемых целей вызываются конвекционными токами воздуха в приземном слое атмосферы; интенсивность колебаний тем больше, чем выше температура поверхности почвы, чем больше разность температур почвы и воздуха и чем ближе к поверхности проходит визирпый луч. Угловые измерения в триангуляции разрешается вести только на спокойные и слегка колеблющиеся изображения при хорошей и удовлетворительной видимости наблюдаемых целей. Следует иметь в виду, что визирование выполняется достаточно уверенно только при колебаниях изображений, пе выходящих за пределы 2". При- В меиение окулярного микро
метра в этом случае дает хорошие результаты. Подпятие визирного луча над препятствиями местностп па несколько метров способствует улучшению качества изображений и уменьшению влияния боковой рефракции местного характера.
В силу различной плотности среды световой луч проходит от точки А к точке В среды не по прямой АВ, а по сложной кривой двоякой кривизны оптически кратчайшим путем АтВ, условно показанным на рис. 111.2.1. Наблюдатель, находясь в точке А, увидит изображение предмета В не в направлении АВ, а по касательной АВ' к последнему элементу световой кривой АтВ в точке А. Угол В'АВ называется углом рефракции (рефракцией) в точке А. Горизонтальная составляющая его б называется углом боковой рефракции (боковой рефракцией), а вертикаль- пая составляющая этого угла углом вертикальпой рефракции (вертикальпой рефракцией). В то время как при больших расстояниях вертикальная рефракция достигает минуты и более, боковая рефракция не превышает нескольких секунд* Однако наличие боковой рефракции делает точное измерение горизонтальных углов сложной проблемой и, по существу, ограничивает дальнейшее повышепие точности этих измерений.
Различают большие (областные) и малые (местные) поля боковой рефракции (поля Vrre горизонтального градиента показателя преломления воздуха). Большие поля рефракции обусловлены общим географическим распределени ем плотности .воздуха от экватора к полюсу, в прибрежных зонах морей и океанов, вблизи горных хребтов и т. д. Такие большие поля боковой рефракции по их свойствам близки к одпородиым (угп = const). Влияние их в триангуляции 1 класса на направления длиной 2530 км составляет в среднем около 0,2' и носит систематический характер. Ослабляется оно в процессе уравнивания звеньев триангуляции за условия азимутов Лапласа.
Рефракция местного происхождения обусловлена местными аномалиями плотности воздуха на пути визирного луча. При небла
гоприятном стечении обстоятельств ошибки в углах и азимутах, обусловленные влиянием местных нолей рефракции, могут достигать 37" и более. Средняя квадратическая величина влияния местных полей рефракции на точность угловых измерений в триангуляции высших классов составляет в среднем +0,4--0,617, а на точность определения азимутов на пунктах Лапласа ±0,6
Вследствие большого разнообразия подстилающей поверхности местная рефракция в сетях триангуляции Имеет случайное распределение, хотя по отдельным направлениям она носит характер систематических ошибок.
Боковая рефракция 6 зависит от наклонов к горизонту эквипотенциальных поверхностей п = const, где п показатель преломления воздуха, а следовательно, от метеорологических элементов и градиентов их. Эта зависимость без учета пренебрегаемо малого влияния влажности воздуха (составляющего мепсе 1 % от б), может быть выражена формулой
8 = е-)-а,
где для неоднородного поля (уг« ф const)
5
е = -Й^2 j ~W ^ Ysin M <?) (dy,
О
a=^-zlw-nrtgys{n{A-Q)is-y)dy
о
и для однородного ПОЛЯ (уг?1 = const)
Е = 0-37 7£-lSTteYsin^-<?) a=108l^Ж•|FtгYSin(Л-^)•
В этих выражениях: 8 поправка в намеренное направление за влияние боковой рефракции (в секундах дуги), s длина визирного луча по хорде, стягивающей концы его (м), у расстояние по хорде от начальной точки луча до текущей (м), р давление воздуха (мм), Т = 273,2 + Т2 С абсолютная температура его (в градусах Кельвина), dT/dH**=>(T2 Т1)/(Я2 Нг) вертикальный градиент температуры воздуха (градус/метр), у угол, отсчитываемый от точки зенита до вектора уп, направленного в сторону уменьшения п = п (X, Y, Н), А и Q азимуты измеряемого направления и вектора уп соответственно, отсчитываемые по ходу часовой стрелки от оси X, направленной на север, к оси Y, направленной на восток, z зенитное расстояние наблюдаемой цели.
Составляющая а отражает в первую очередь влияние местных полей боковой рефракции, а составляющая в влияние рефракци-
оняых полей значительного протяжения. В общем случае, т. е. при е + а О и А ф Q имеем
Однако в подавляющем числе случаев паклопы tg у на всем пути визирного луча длиною s не равны пулю. Поэтому
•0.
в -*-0, если (tg Y)s -*-0, дТ дН
сг->-0, если и/или tg V
В триангуляции, как отмечалось выше, |ст|>|е|. Поэтому основное внимание должно быть направлено на существенное ослабление влияний местных полей боковой рефракции (составляющей о). Заметим, ято при а -»■ 0 п е -*■ 0.
Рис. III.2.2. Суточный ход радиационного баланса R (кал/см* • ч) и вертикальных градиентов температуры
дт
воздуха (градус/100 м) на высоте метеобудки в от
оН
крытой местности (среднее эа июнь)
Из физики атмосферы известно, ято в нижнем 300-метровом слое атмосферы, в котором ведутся наблюдения пунктов триангуляции, вертикальные градиенты температуры в суточном ходе их дважды в сутки (утром в момент времени fjf, наступающий через
Под воздействием суточного хода рефракции каждое измеряемое направление (касательпая к последнему элемепту световой кривой в точке приема света) также испытывает суточный ход (см. рис. III.2.4). В связи с этим возникает задача учета суточного хода измеряемых направлений при высокоточных угловых измерениях и азимутальных определениях с целью приведения (редуцирования) их результатов к определенным физическим условиям, когда влияние боковой рефракции равно или почти равно пулю. Так как па двух-трехчасовом отрезке времени в окрестйости моментов t0, когда обычпо измеряются горизонтальные углы в триангуляции, температурные градиенты, а следовательно, и функционально связанная с ними боковая рефракция изменяются во времени практически лппейно и, переходя через нуль, изменяют знаки на противоположные,-то отсюда вытекает простой и в то же время эффективный способ почти полного исключения влияний местных нолей боковой рефракции из результатов наблюдений, впервые экспериментально установленный в работе [5] и теоретически обоснованный в диссертации [6]. Суть его сводится к тому, что в нижнем 300-метровом слое атмосферы горизонтальные направления (углы и азимуты) надо: либо измерять симметрично во времени относительно среднего момента t0 «нулевых» градиентов температури воздуха на высоте визирного луча, сочетая, по возможности, вечерние и утренние наблюдения и вычисляя среднее из результатов всех измерений', либо редуцировать результаты измерений на моменты времени t„ в случае асимметричных наблюдений.
В массовых работах по высокоточным угловым измерениям целесообразно использовать первый путь приведения измеренных направлений и углов к соответствующим моментам наименьших рефракционных влияний к моментам «изотермии» воздуха (0, т. е. постановку симметричных во времени наблюдений каждого направления (угла) относительно этих моментов «изотермии», к которым в утренние и вечерние часы приурочены, как известно, наиболее спокойные и четкие нзображепия визирных целей.
Второй же, аналитический способ приведения результатов высокоточных измерений к соответствующим моментам «изотермии», требующий выполнения ряда условий в процессе наблюдении на каждом пункте, целесообразно использовать при обработке асимметричных измерений, исполняемых в специальных сетях повышенной точности и в первую очередь при определении азимутов на пунктах Лапласа.
Горизонтальные углы (направления) р, измеренные в течение пескольких вечеров не менее чем 1518 приемами каждый на отрезке времени (гнач <? ta <J <кон) sg 23 часа, могут быть редуцированы на средний на пункте момент вечерней «изотермии» воздуха х0 (г0), вычисляемый относительно моментов захода Солнца. Редуцирсшанпе углов выполняется по формуле
Ро = Р + * (го х)>
где р среднее пз приемов значение угла, к часовое изменение этого угла (| к\ = "/ч), х средпее по приемам время наблюдений на пункте, вычисленное относительно моментов захода Солнца, к (л0х) = б поправка аа асимметрию времени наблюдений или, ято то же самое, поправка за влияние рефракции.
Часовые изменения /с вычисляю^ ио методу наименьших квадратов из обработки наблюдений в приемах, представляемых по подобию табл. III.2.3. Отметим, что экстраполяция наблюдений на моменты «изотермии» х0 пе допускается и что должны быть предусмотрены меры, позволяющие получить падежные значения часовых изменений углов и моментов времени х0. Приближенные (многолетние) моменты времени х0 даны на рис. III.2.3 и в табл. [С]. Их надо исправить поправками за метеорологические условия и высоту визирного луча над местностью.
Таблица III.2.3
Время наблюдений в приемах */=' эах-(< (до 0,01 ч.) |
Результаты наблюдений в приемах У1^=а!и (до 0,01") |
Х\ |
У1 |
*2 |
Уг |
Хп |
Уп |
Практика [6] показала, что в триангуляции 2 класса часовые изменения к углов треугольников колеблются от 0 до ± 37ч и раины в среднем ±0,77ч; асимметрия времени наблюдений Дх = (х0х) на пунктах в разных физико-географических, условиях изменяется от 0 до ±2 ч, а поправки 6 = к (х0х) в углы треугольников за рефракцию колеблются от 0 до +1,6".
Редуцирование азимутов земных предметов иа момент наименьших рефракционных влияний. Азимуты, определяемые на пунктах Лапласа, рекомендуется в целях почти полного исключения влияний на них боковой рефракции редуцировать на момент вечерней «изотермии» воадуха х0 по формуле
ао иН"Уо>
где
Уо = а» "Ь а110 + а2:Г0>
здесь и приближенное значение азимута, округленное до целого десятка секунд, аа значение азимута после редуцирования его на средний на пункте момент времени х0, когда влияние боковой рефракции практически равно нулю, а/ коэффициенты, определяемые по методу наименьших квадратов иа обработки наблюденных в приемах значений ааимута yi, задаваемых в виде табл. III.2.3, в которой для каждой даты вечерних наблюдений обозначено: <зах время захода Солнца и << время определений азимута а,- в приемах, выраженное в системе среднего солнечного времени.
В процессе наблюдений азимута должны быть выполнены следующие требования.
23 ч до захода Солпца на широтах 4005°, и продолжаться в ночные часы при благоприятных условиях наблюдений земного предмета.
Рис. III.2.3. Время перехода через нуль радиационного баланса к вертикальных градиентов температуры воздуха в суточном ходе их на высоте 2 м над подстилающей поверхностью между широтами 4064° и долготами 30ISO* (время xj дано в часах отиооительно момента захода верхнего края диева Солнца: f' < <эах)
наибольшим и наименьшим значениями ааимута в приемах не должна превышать 6*.
Часы
Рис. III.2.4. Аппроксимация суточного хода азимутов земных предметов ва пунктах Лапласа (б е) и горизонтального направления (а) при помощи поаинома i/| « efl + + агх J. Точками показаны результаты наблюдений
ного на момент эс„; 1[у/х * корреляционное отношение
допуска ±2- в так, чтобы повторный прием по времени наблюдений не уклонялся от основного более чем на ± 2 я (целые сутки в рас- нет не принимаются). В последующую обработку включают среднее из основного и повторного приемов (время наблюдений также осредняют), если вто среднее значение азимута отклоняется от аппроксимирующей кривой не более яем на ±2'; в противном слу- яае в обработку берут только повторный прием (при соблюдении допуска ±2").
Отметим, что азимуты, результаты наблюдений которых не удовлетворяют перечисленным выше требованиям, нельзя редуцировать на момент наименьших рефракционных влияний. Экстраполяция наблюденных значений азимута па момент времени ха не допускается.
Средний за все дни наблюдений на астропункте момент наименьших рефракционных влияний х0 вычисляют в часах относительно момента захода Солнца по формуле
Ч = г0+ет + Е/1,
где
S 71 ixо, j i
хо v ' гт-- ^ 1
ni Z) ni
n'h = 1,30h [1 - (0,6976 0,00264ф) h + 0,064Л2].
В этих формулах: q> широта астропункта (в градусах, придем 40 ^ ф ^ 64°, а долгота его 30 «J X sg 130°);) h эквивалентная высота-визирного луча над местностью (в сотнях метров, придем 0 h ^ 3); п] число приемов определений азимута в /-ый вечер, включая вечерние и ночные (до н после полуночи) наблюдения; Xq,/ многолетний для /-ой даты на широте астропункта момент времени нулевой величины радиационного баланса подстилающей поверхности (на стандартной высоте метеобудки
Поправки е'т, / вычисляют по формуле
( 273,2+ Т 9С)4 1 0,026е 1 Л„ егл, I Q 1273,2+ Уо ?С)4 1 0,026ео 1-Л Х
где для каждой /-ой даты средние суточные значения температуры воздуха Т- С, упругости водяного пара е (мм), общей облачности п (в долях единицы) получают иа наблюдений па ближайших к астро- пупкту метеостанциях, симметрично расположенных вокруг него в радиусе до 50 км в закрытой местности и до 100 км в открытых (степных и полупустынных) районах. По данным всех метеостанций вычисляют средние аначения. Многолетние средние суточные величины этих же метеоэлементов Г^С, е0, п0, а также многолетнее альбедо А 0 (в долях единицы), коэффициенты а и Q и величины х'0 выбирают по широте астропункта и дате наблюдений азимута пз таблиц [6]. Для определения по таблицам среднего значения альбедо местности А надо зафиксировать в окрестности астропункта вид почвы и растительного покрова. Во многих случаях можно принять А = А0. При отсутствии метеостанций в районе работ метеоэлементы следует измерять непосредственно на астропункте
(на высоте не ниже 2 м над почвой) яерез каждые три часа п затем выводить средние суточные значения их. Измерения метеоэле- ментов рекомендуется выполнять в 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 и 22 яаса декретного времени, как это принято на метеостанциях.
Пример вычисления поправок e'mi ( (п часах) на астропункте
ъ ъ о о, в 3 & |
Л Н сО и |
а 2 8 Р~ 0* a е |
UIC> НЕ* |
е тг |
А Аа |
п По |
п |
Q |
-е со |
|
57,9s |
26.08. 1968 г. |
5 |
1,45 |
20,8 15,0 |
14,8 8,3 |
0,17 0,17 |
0,10 0,64 |
0,384 |
1,35 |
-0,13 |
Для определения эквивалентной высоты h визирного луча составляют профиль местности по створу азимута, используя карты масштаба 1 : 100 ООО. Затем профиль разбивают на отдельные участки Дпо числу наиболее характерных точек излома местности, как показано на рис. III.2.5. Отрезки As; нумеруют по порядку от точки стояния угломерного инструмента до визирной цели на конце линии и затем измеряют их длины в плоскости горизонта (до 0,1 км). Далеэ намечают середину каждого отрезка Дsi и измеряют в этой точке текущую высоту hi визирного луча (в метрах) над земной (подстилающей) поверхностью. В случае, когда длина визирного луча более 20 км, при измерении hi учитывают влияние кривизны Земли и рефракции. Результаты обработки профиля записывают в таблицу.
Параметры профиля местности (см. рис. III.2.5)
Да;. КМ |
h., м |
|
1 |
4.3 |
75 |
2 |
1.7 |
135 |
3 |
1.7 |
81 |
4 |
1.5 |
78 |
5 |
1.7 |
93 |
6 |
3,3 |
24 |
Длина стороны Q = 14,2 км Контроль: 2 “ 14,2 км Эквивалентная высота /1 = 0,84 сотни метров
, = 0,01
Эквивалентную высоту h визирного луча над местностью вычисляют в точке стояния инструмента по формуле
24-4)
П
t?i = у Asj+2 Д*г-1 i=l
(i = l, 2, 3, .. n)
при i=l имеем Дх;_1 = Д*0 = 0.
Обозначения, принятые в этих формулах, ясны из рис. III.2.5. Вычисленную высоту h подставляют затем в формулу для поправки ед.
Найдя величины x'(i, г'т и е^, вычисляют искомый момент времени х0, на который и редуцируют результаты определений азимута.
Ниже дан пример редуцирования азимута на момент времени ха, где обозначено: т средняя квадратическая ошибка определения азимута из одного приема; п число приемов; а среднее квадратическое отклонение азимута от аппроксимирующей кривой; ц средняя квадратическая ошибка единицы веса из уравнивания; т| у/х корреляционное отношение, характеризующее теспоту стохастической связи величины азимута и времени наблюдений его; та0 ~ средняя квадратическая ошибка азимута, средуцированного на момент времени х0.
Величину влияния рефракции 6 на азимут можно найти в первом приближении как разность б = аа0, где а и а0 значения азимута до и после редуцирования его на момент времени ха. Практика [6] показала, что на пупктах Лапласа влияние рефракции на азимуты земных предметов (на среднее из 18 приемов) колеблется от 0 до ±2,5". Средняя квадратическая величина ее равна в средцем 0,60,8". Благодаря редуцированию азимутов на соответствующие моменты времени х0 влияние рефракции на азимуты почти полностью исключается, а вес определения их увеличивается.
Редуцирование азимута на момент накмепыннх рефракционных влияний
х0 ™ 1,30 я
Дата ; |
Время наблюдений в приемах Я1=Ч 13ях |
Результаты наблюдений азимута у 1=0,1и |
Сглаженные вначе- ния азимута yj |
22/VIII |
2,32 я |
13,09 |
12,62" |
1968 г. |
-1,95 |
10,63 |
12,16 |
1,60 |
11,82 |
11,75 |
|
1,20 |
12,05 |
11,31 |
|
0,77 |
11,95 |
10,87 |
|
+4,05 |
8,53 |
8,53 |
|
+8,07 |
10,98 |
10,18 |
|
+8,37 |
10,00 |
10,43 |
|
23/VIII |
2,12 |
11,80 |
12,37 |
1968 г. |
1,93 |
11,45 |
12,14 |
1,80 |
13,15 |
11,98 |
|
1.50 |
12,09 |
11,64 |
|
26/VIII |
+1,72 |
8,93 |
8,54 |
1968 г. |
+4,12 |
8,62 |
9,08 |
+7,17 |
8,40 |
9,52 |
|
+7,52 |
8,85 |
9,76 |
|
+7,83 |
11,43 |
9,99 |
|
28/VIII 1968 г. |
-0 90 |
10,09 |
11,00 |
Среднее х= 1,82 я у = 10,77*
сп =+0,139007 «12 = +0,036915 с1Э - 0,007346 с 22 = +0,028408 с28 = 0,004322 с,, = +0,000742
а0 = +10,1839 т^1,58"
ох = 0,8165 а = 0,86
«ss = +0,1011 (X = 0,91
Лу/Х = 0,84
п = 18
Результаты редуцирования азимута иа хц=1,30 я Уо = ао + а1го + “2зсо =11,42"
та, = тЦ, = ИV сх 1 + 2с22х0 + (с22 + 2с13)х* + 2с2Эх$+с33х* = 0,27 454
ао = «*+1/о+2Д:
и = 207s 34' 00,00' Vo И.42
ао = 207934' 10,18' тао = 0,27
иприближенное значение азпмута| округленное до целого десятка секунд;
сумма поправок в азимут, предусмотренных Инструкцией [41-
Обозначения: yi аппроксимирующая функция:
У< = ао + “1^ + <*2*?; с/уэлементы матрицы, обратной матрице коэффициентов нормальных уравнений, из решения которых находятся коэффициенты ду
Оценочные элементы:
»= "у/ «( = у(-у
1 f S *
= y Г e« = w-w
1 f i/n-l
и= I/ 1ГГз- = сгУ-СТ
в среднем в 2,5 раза. Кроме того, в ряде случаев удается избежать повторных перснаблюдешш взаимно обратных азимутов, если недопустимые по величине расхождения их обусловлены существенным влиянием рефракции.
Выгоднейшее время измерения горизонтальных углов в триангуляции. Выгоднейшее время наблюдений в триангуляции рассматривают с двух точек зрения: 1) с точки зрения наилучших условий видимости, минимальных колебаний и высокого качества изображений визирных целей; 2) с точки зрения наименьшего влияния местных полей рефракции на результаты измерений. Такие благоприятные для наблюдений условия имеют место вечером и утром, особенно в периоды, близкие к момепту перехода через нуль радиационного баланса подстилающей поверхности, когда в слое воздуха на высоте визирного луча наблюдается состояние, наиболее
близкое к изотермии (см. рис. III.2.2). Продолжительность этого благоприятного для наблюдений отрезка времени зависит от многих факторов и изменяется в вечерние часы от нескольких десятков минут в полупустынных и степных районах в тихую безоблачную жаркую погоду летом до нескольких часов в холодную и ветреную погоду при наблюдениях в горах и северных широтах. Применительно к средним условиям летней погоды начало «выгоднейшего» времени вечерних наблюдений (iHaq) можно в первом приближении предвычислить по формуле
*нач = ^зах 2#о>
взяв величины x't на рис. III.2.3 и зафиксировав время захода Солнца <3ах1 паходясь на сигнале или вычислив его по астрономическому ежегоднику перед выездом на полевые работы. Заканчивать наблюдения рекомендуется примерно за полчаса до захода Солнца. Как уже отмечалось, наблюдения следует вести на спокойные и слегка колеблющиеся изображения визирных целей, когда случайные колебания их не выходят за пределы 2".
Отметим, что утренний период «выгоднейшего» времени наблюдений несравненно короче, чем вечерний, а ипогда и вовсе отсутствует. С увеличением облачности, усилением ветра и общим понижением температуры воздуха этот период времени заметно возрастает по сравнению с таковым при безоблачной тихой и жаркой погоде.
В условиях крупного города наблюдения целесообразно приурочивать к ранней весне и осени, когда температурные контрасты внутри города сравнительно малы, а следовательно, мало и влияние рефракции. В жаркую летнюю погоду (при ?cp.cyTt> 20-) боковая рефракция в условиях крупного города в ее суточном ходе переходит через нулевое значение утром примерно .через 2,5 ч после восхода, а вечером примерно за столько же времени до захода Солнца, изменяя при этом всякий раз зпаки на противоположные. Для того чтобы существенно ослабить влияние местных полей рефракции путем постановки симметричных относительно момента «изотермии» измерений направлений, утренние наблюдения в жаркую погоду летом рекомендуется начинать не ранее чем яерез 11,5 ч после восхода Солнца и продолжать их не более полутора часов (при наличии хорошей видимости); вечерние же наблюдения рекомендуется прекращать не позднее .чем за полтора часа до захода Солнца, несмотря даже па наличие хорошей видимости.
Ошибки за фазы визирных целей. Явление фаз возникает вследствие неравномерного освещения визирного цилиндра солнечными лучами, составляющими с линией визирования некоторый угол. Вследствие неодинакового восприятия глазом различно освещенных сторон цилиндра наблюдатели ошибочно оценивает положение геометрической оси его, смещая биссектор при наведении трубы в сторону лучше видимой (затемненной на фоне светлого пеба) части цилиндра. Для ослабления ошибок за «фазы» применяют специальные малофазпые визирные цилиндры с радиально направленными по вертикали пластинами, создающими хорошее теневое затемнение по всей видимой поверхности цилиндра. При наблюдениях на болванку
сигнала ее поверхность делают шероховатой и окрашивают матовой краской. Остаточное влияние ошибок за фазы в этих случаях не превышает, как правпло, 0,20,4°.
Ошибки из-за кручения и гнутия сигналов. К ручение и г п у т и е сигналов происходит под воздействием измеиеннй температуры и влажности воздуха, под влиянием ветра. Гнутия сигнала обычно малы и не оказывают существенного влияния па точность угловых измерений, исполняемых при скорости ветра
U Ф г = 1. 2, . . ., п)
Элементы общей теории методов угловых измерений в триангуляции 1 и 2 классов. При высокоточных угловых измерениях в триангуляции 1 и 2 классов требуется, чтобы результат уравнивания независимо измеренных величин на станции мог быть представлен в виде ряда равноточных направлений, имеющих па всех пунктах сети, по возможности, один и тот же вес. Это может быть достигнуто только в том случае, если результаты измерений на каждом пункте удовлетворяют требованиям, выражаемым равенством
(III.2.1)
где 1, I = 1, 2, . . ., п номера направлений на пункте, возрастающие по ходу часовой стрелки; i порядковый номер группы направлений в программе наблюдений; программа наблюдений может состоять из г различных групп (i = 1, 2, . . ., г) по к[ направлений в группе (2 ^ ki < п), при этом отдельный угол j.l рассматривается как группа из двух направлений; г (j.l) число разных групп в программе наблюдений, в которых совместно (отдельно или среди других направлений в группе) измеряется данная пара направлений / и I (угол j.l = //); п яисло направлений на пункте; Р = Р/ = const вес уравненного направления на станции (/ =1,2, . . ., п); р}4)и р[1)веса измеренных в i-ой группе соответственно /-го и 2-го. направлений, образующих угол /. I; шi = • • + P'h- сумма весов всех ki направлений (2 ^ kt ^ п), измеренных в £-ой группе.
Веса /^измеренных направлений / (/, I = 1, 2, . . п) в каждой i-ой группе должны выяисляться по формуле
(III.2.2)
где е некоторая постоянная! а/ наименьшая несмещенная дисперсия 1-то направления в (-он группе. Однако зиаяение а} обычно неизвестно, поэтому в производственных условиях вместо формулы (III.2.2) применяют формулу
р}*»=т(, '/ = 1, 2, .... п) (III.2.3)
где пц нисло приемов измерения направлений в i-ой группе.
Таким образом, в производственных условиях строгое решение вадаяп аамеияется приближенным.
Если измерения па пункте исполнены в соответствии с условиями равенства (III.2.1/, но программа измерений такова, ято все направления в группе измерены с одинаковыми для данной группы весами
P'jU = Р[и = Pi, (III.2.4)
изменяющимися лишь при переходе от одной группы направлений к другой, то равенство (III.2.1) примет вид
<п1-2я
i-l
или, ято все равпо,
г U. I)
2
i=l
г (j. I) (i,
2 4r=const4. an.2.6)
где р'/\\ = pi вес измеренного угла 1.1 = 11 в i-ой группе.
Если при соблюдении условий, выражаемых равенством
p(j. = pjl) = pt (< = 1, 2, г), (III.2.4) r(/.t) = const = « (]Ф1 = 1, 2, .п), (III.2.7)
и, следовательно,
-£^- = const (i = 1, 2, .... (III.2.8) то раненство (III.2.1) ваппшется в виде
t = const = (i = 1, 2, ..., г) (III.2.9)
или, ято все равно, в виде
Pii}i Р
2<-^j = const = (]ф1 = lt 2, . .., п). (III,2.10)
Если эа вес pi принять число приемов mi измерения направлений в группе, то все современные методы угловых измерений, рассчитанные на получение ряда одновесных направлений ва станции, можно рассматривать как конкретные реализации простейших условий (III.2.4), (III.2.7) и (III.2.9). Сюда войдут: способ направлений (круговых приемов), способ измерения углов во всех комбинациях, разнообразные способы трех направлений (неполных приемов) и т. п.
При соблюдении условий наблюдений, выражаемых равенством (III.2.5) или (III.2.9), уравненные по направлениям углы [/.Z] находят по формулам
м 01 2х1.2 + (1.3-2.3) + (1-4-2.4)+. ■ . + (1.п-2.п)
п
2Х 1.3 + (1.2 + 2.3) + (1.4-3.4) + . . .4~(1.в З.га)
1 п
2Х 1.я+(1.2 + 2.ге)+. . ,+(1.пl + B-l.n)
1 ' п
(III.2.11)
где каждый из углов /. I в правой части формул находят как среднее весоьое по формуле
г и. О
2 (*'•*)
м= г1гТП) > <ш-2-12>
i-=l
ято соответствует равенству (II 1.2.5), или по формуле
г а. о
/. г=т2 h ll' (Ш.2.13)
i-l
ято соответствует равенству (III.2.9).
В формулах (III.2.12) и (III.2.13) значения углов /. I равны разностям значений соответствующих направлений, измеренных в i-ой группе с весами р= pj(1) = pi, т. е.
1.М= У11' - М*. (III.2.14)
Веса Р уравненных на станции направлений находят путем умножения на п обеих частей равенства (III.2.1) или равенств
Среднюю квадратическую ошибку уравненного направления вычисляют но формуле
t
(111.2.15)
если программа наблюдений соответствует равепству (111.2.5), н по формулам
(III.2.16)
(III.2.17)
если программа наблюдений соответствует равенству (III.2.9), причем формула (III.2.16) справедлива для случая раапого числа направлений kt в группах, а формула (III.2.17) для случая одинакового числа их в группах, т. е. для случая ki = const = к
О = 1, 2 г).
В формулах (III.2.15)(III.2.17) дополнительно обозначено
I где vl-/=l;- 1*
(t = 1, 2, . . ., г), () =^= 1= 1, 2, .. ., kt).
Иа формул (III.2.16) и (III.2.17) как частные могут быть получены формулы для способа круговых приемов, способа измерений углов во всех комбинациях, неполных приемов п т. д.
Основные принципы высокоточных нэмерепий отдельного угла и направлений. В целях наиболее полного ослабления влияния различпых ошибок измерений на вывод среднего значения угла из т приемов наблюдения на пункте надо исполнять так, чтобы:
Для высокоточных угловых измерений в триангуляции высших классов целесообразно применять такие методы, 9 Которых программа наблюдений:
В настоящее время для измерения горизонтальных углов в триангуляции 14 классов в СССР применяют главным образом два способа: способ измерения углов во всех комбинациях (способ Шрейбера) и способ круговых приемов (способ Струве). Первый способ применяется в триангуляции 1 и 2 классов, а второй в триангуляции 2, 3 и 4 классов. Кроме этих методов, в триангуляции 2 класса для наблюдений пунктов с большим числом направлений применяется способ «неполных» приемов и «видоив- мепенный способ измерения углов в комбинациях».
Способ круговых приемов измерения направлений (способ Струве).
Идея способа. Наиболее простым способом, который позволяет представить результат измерений на станции в виде одного ряда независимых направлений, является способ направлений. Суть этого способа заключается в том, что, оставляя лимб теодолита неподвижным и вращая алидаду по часовой стрелке, наводят зрительную трубу последовательно па все предметы (от первого к последнему) и каждый раз фиксируют при этом отсчеты по лимбу и микрометрам. Указанный комплекс измерений составляет первый полуприем. Затем трубу переводят яерез зенит и наводят ее на те же предметы, по в обратном порядке (от последнего к первому), вращая алидаду против часовой стрелки и снова фиксируя отсчеты по лимбу и микрометрам. Этот комплекс измерений составляет второй полуприем, а два полупри- ема один прием.
Если в копце каждого полуприема трубу повторно наводят на начальное направление и снова берут отсчеты по лимбу и микрометру, т. е. производят «замыкание горизонта», то такой частный случай способа направлений носит название способа круговых приемов (способ Струве).
Программа и порядок наблюдений на станции. Прежде чем приступить к угловым измерениям на пункте, необходимо: защитить инструмент от воздействия солнечных лучей и от ветра, убедиться в устойчивости и прочности столика для инструмента и в том, что внутренняя пирамида сигнала нигде не соприкасается ни с полом площадки для наблюдателя, ни с лестницами. При обнаружении недостатков наблюдатель обязан устранить их. Затем следует составить программу измерений. Для этого падо разыскать все подлежащие наблюдениям пункты и записать на них направления с точностью до одной минуты, приняв направление на хорошо видимый удаленный пункт за начальное. Составить таблицу рабочих установок лимба, имея в виду, ято в способе круговых приемов лимб между при* емами переставляется на угол
180° , , 180s <т = И или а
т т.
рде т яисло приемов] i цена наименьшего деления на лимбе.
Инструмент устанавливают на столике сигнала не менее чем ва аоляаса до наяала измерений, нтобы он принял температуру окружающего воздуха, и затем тщательно выверяют его. С насту п- лением хорошей видимости и четких изображений наблюдаемых целей приступают к измерению горизонтальных направлений.
При измерении направлений круговыми приемами соблюдают следующие правила:
а) в первом полуприема алидаду вращают только по ходу ааоовой стрелки, а во втором только в обратном направлении; в первом полуприеме трубу немного переводят яерез предмет (как видно в трубу), а во втором немного не доводят до него; пра этом биссектор по окончании грубого движения окажется влево от предмета, так ято окончательные наведения будут всегда производиться только ввинчиванием наводящего винта алидады; перед началом каждого полуприема алидаду вращают несколько раз в сторону движения ее в данном полуприеме;
б) ори наблюдениях оптическими инструментами трубу между первым и вторым полуприемами переводят через зенит. При наблюдениях инструментами ТТ-2/6 перекладка трубы в лагерах между полуприемами необязательна. Однако на каждом пункте одна половина яисла круговых приемов должна быть исполнена при положении микрометра справа, а другая при положении микрометра слева.
При наблюдениях теодолитами, снабженными поверительной трубой и окулярным микрометром при главной трубе, порядок измерений дополняется следующим. Каждое наблюдение состоит из трех наведений нитей окулярного микрометра главной трубы на предмет и одновременных с ними трех наведений окулярного микрометра поверительной трубы на специально выставленную марку или на заменяющий ее хорошо видимый и близко расположенный геодезический внак.
В результаты измеренных направлений вводят поправки за показания окулярных микрометров главной и поверительной труб, поправки за рен и за наклон вертикальной оси инструмента (при углах наклона впзпрпого луча в I8 и более).
Поправки за показания окулярного микрометра главной и поверительной труб вычисляют по следующим формулам (при счете оборотов в поле зрения трубы в направлении к барабану микрометра):
ц(Л/ 10,00) при барабане микрометра справа;
(М 10,00) при барабане микрометра слева.
(М 10,00) при барабане микрометра справа.
Здесь ц. цена наименьшего деления окулярного микрометра трубы; М отсчет по микрометру (М ^ ± 5 делений);
10,00 отсчет в нульпункте, выраженный в целых оборотах микрометра.
Контроль результатов угловых измерений, исполненных по способу круговых приемов, осуществляется в каждом полуприеме по расхождениям между результатами наблюдений на начальное направление в начале и конце полуприема, а в приемах по колебаниям направлений в отдельных приемах, отсчитываемых от общего нулевого паправления. Эти допуски даются в инструкциях. Так, например, в триангуляции 24 классов расхождения между результатами наблюдений на начальное направление в начале и конце полуприема пе должны превышать 5 и 6" соответственно для теодолитов типа ТТ-2/6 и ОТ-02, а колебания направлений в отдельных приемах, приведенных к общему нулю, соответственно 4 и 5".
Уравнивание на станции и оценка точ- пости. При наблюдениях по способу круговых приемов измеренные значения направлений приводят к начальному направлению, придав ему аначение О9 00' 00,00”, а затем вычисляют средние значения по каждому направлению из т приемов измерений. Уравненные углы [/Л], образованные любой парой направлений / и I, равны разностям средних значений этих направлений
т т
[/. = U Ф 1 = 1, 2,3 п).
Вес Р уравпеппого направления можно вычислить по формуле Р = nt(pi/ki), если число приемов измерений т принять за вес pi. Так как в данном способе pi = т., к = п, t = 1, то
Р = nt ki
т. е. в способе круговых приемов вес уравненного направления равен числу приемов измерений.
Среднюю квадратическую ошибку направления, выведенного из одного приема (ошибку единицы веса), вычисляют по формуле
\[ 21,2-4 2 №
1111 У (и 1) (т 1)
где v уклонения значений измеренных направлений от их среднего арифметического; п число направлений на станции; т число приемов. Для оценки точности результатов иамерений чаще применяют приближенную формулу Петерса, согласно которой средняя квадратическая ошибка направления, измеренного одним приемом, равна
Г , -г5 SM .21-1
V т (т 1) п п
гДв 2 I v I сУмма абсолютны* величин уклонепий измеренных направлений от их средних значений, вычисленная по всем направлениям и по всем приемам; т яисло приемов; п число направлений. Значения к при т = 6; 9; 12; 15 равны соответственно
Среднюю квадратическую ошибку уравнелного направления (среднего из т приемов) вычисляют по формуле
Достоинства способа круговых приемов:
Недостатки:
От последнего недостатка можно избавиться, если повторные измерения на начальное направление не включать в обработку или же за начальное принять направление на пункт другого класса.
Способ измерения углов во всех комбинациях (способ Шрейбера).
Идея и обоснование способа. Суть этого способа заключается в том, что па пункте с п направлениями измеряют все углы, образующиеся при попарном сочетании направлений из п по 2, т. е. углы
(n-l).n
Число таких углов равно
Применительно к данному способу угловых измерений условие, выражаемое равенством (III.2.1), вырождается в требование
р
Pjtl = const = (/ ф I = 1, 2, ..., п).
Из этой формулы следует, ято вес Р уравненного на станции направления зависит от числа п направлений па пункте
Р = nPl. I-
В производственных условиях вес р/ ; измеренного угла принимают равным числу т приемов измерений, т. е. полагают, ято
Р = тп.
При измерении углов в триангуляции 1 класса произведение тп прнппмают равным 36, а в триангуляции 2 класса 24. Принятое постоянство произведения тп преследует цель получить все направления в триангуляции данного класса с примерно одинаковыми весами.
В целях обеспечения независимости измерения углов и ослабления влияния ошибок делений круга на результаты наблюдений углы измеряют на разных установках горизонтального круга, причем так, чтобы всякое направление измерялось при одном и том же положении лимба, по возможности только один раз. Это достигается тем, ято лимб прп ивмереиии одного п того же угла т приемами переставляют между приемами на угол а = 180°/то, а между группами не примыкающих друг к другу углов на угол б, равный
о т при п четпом,
n i * а
Для ослабления влияния короткопериодических ошибок делений лимба к вычисленным значенням а и б, которые округляют до целого градуса, прибавляют угол г, равный цене наименьшего деления лимба.
В табл. III.2.4 дается пример расчета установок лимба для случая п = 4, т = 6, i = 4'.
Таблица III.2.4
Углы |
Приемы |
||||||
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
||
1.2 |
0s 0' |
30 s 4' |
602 8' |
902 12' |
120s |
16' |
150° 20' |
1.3 |
10 4 |
40 8 |
70 12 |
100 16 |
130 |
20 |
160 24 |
1.4 |
20 8 |
50 12 |
80 16 |
,110 20 |
140 |
24 |
170 28 |
2.3 |
20 8 |
50 12 |
80 16 |
110 20 |
140 |
24 |
170 28 |
2.4 |
10 4 |
40 8 |
70 12 |
100 16 |
130 |
20 |
160 24 |
3.4 |
0 0 |
30 4 |
60 8 |
90 12 |
120 |
16 |
150 20 |
Программа и порядок наблюдений на станции. Для составления программы наблюдений на станции.
сначала измеряют с точностью до 1' углы менаду начальным направлением и всеми последующими направлениями. Затем рассчитывают таблицу установок лимба для каждого угла указанным выше методом и переходят к таблице так называемых рабочих установок. Для этого расчетные установки для каждого угла /. I (1 ^ 2), не связанные с начальным (первым) направлением, приводят к начальному направлению путем прибавления к нему 8наченпя измеренного на пункте угла 1./ между начальным направлением и левым направлением данного угла j.l.
Каждый угол на данной установке лимба измеряют двумя полу- приемами. Если труба не переводится через зенит (как у ТТ-2/6), то одна половипа программы наблюдений должна быть исполнена при одном положении окулярного микрометра, а вторая при другом положении его. В первом полуприеме измеряют искомый угол, а во втором дополнение его до 360°. Алидада в обоих полу- приемах вращается в одном и том же направлении. При переходе от приема к приему рекомендуется изменять направление вращения алидады на противоположное. Все подлежащие наблюдениям углы должны быть измерены в разных условиях, т. е. в течение каждого вечера рекомендуется измерять все углы сначала одним приемом, затем эти же углы вторым приемом, третьим и т. д. Не рекомендуется измерять один и тот же угол несколькими приемами подряд.
Результаты измерений отдельных углов на пунктах триангуляции 1 и 2 классов должны находиться в пределах допусков, указанных в табл. III.2.5.
Таблица III.2.5
Инструменты
Не более 3,0" 4,0
Расхождения между значениями, выведенными для одного и того же угла из разных приемов *
С микроскопами-микрометрами Оптические
Уравнивание на станции и оцеп к а точности. После вывода средних значений измеренных углов из всех ириомов, удовлетворяющих устаповленным допускам, вычисляют уравненные на станции углы по формулам (III.2.11).
Оценку точности результатов измерений выполняют по формулам:
а) средняя квадратическая ошибка угла пз одного приема
угла
Му
В этих формулах v уклонение значения уравненного угла от его значения, полученного пз измерений т приемами, п аисло направлений.
Достоинства способа:
Недостатки способа:
Краткие сведения о других способах угловых измерений.
Видоизмененный способ измерения углов в комбинациях. Для наблюдений пунктов триангуляции 2 класса с шестью и бблыним числом направлений применяется также способ, предложенный А. Ф. Томилиным, согласно которому на станции с п направлениями независимо измеряю» углы
Число таких углов равно 2п. Каждый угол измеряют пятью или шестью приемами в зависимости от требуемого веса уравненного иа станции угла, образованного смежными направлениями (Р/ .
»=» 12 или Pj,ifzx 14 соответственно). Так как в данном методе измеряют не все углы, образующиеся при сочетании направлений из п по 2, а только часть их, то результат уравнивания станции не может быть представлен в виде одного ряда равноточпых направлений. При п 5 исчерпываются все комбинации направлений из га по 2
и, следовательно, все сводится к программе способа Шрейбера.
Поправки к измеренным т. приемами углам вычисляют по формулам функциям свободных членов условных уравнений, Эти формулы даны в Инструкции [4J,
Способ «неполных приемов». В сетях триапгу- ляцин 2 класса на пунктах с семью девятью направлениями применяют также способ, предложенный Ю. А. Аладжаловым *, Суть этого способа заключается в том, что направления на пункта измеряют отдельными группами по три направления в каждой (без замыкапия горизонта), при этом группы направлений подобраны таким образом, что по результатам измерении можно вычислить пса углы, образующиеся при попарном сочетании направлений из п по 2. Программы измерений даны в Инструкции [4]. В ряде случаи (при п = 4, 5, 6 и 8) в программу измерений, помимо групп из трех направлений, включаются отдельные углы. Число приемов измерений направлений в группах и отдельных углов принимают разным, причем таким, чтобы соблюдалось условие, выражаемое равенством
В данном способе отсутствует какая-либо закономерность образования групп из трех направлений на пунктах с различным числом направлений. Однако в печати опубликованы и такие программы измерений для способа «неполных приемов», которым присуща стройная и легко запоминаемая система в образовании групп из трех направлений. Здесь надо указать на предложения В. Н. Гапь- плна ** и Н. В. Яковлева ***.
Рассматриваемый способ при прочих равных условиях позволяет уменьшить объем работы на станции в среднем на 25% по сравнению с таковым при измерении углов во всех комбинациях, причем без потери точности результатов измерений.
Обработка результатов измерений на станции заключается в следующем. Выводят средние значения направлений из т ириемои в каждой группе и средние значения отдельных углов. По полученным средним вычисляют углы при всевозможных комбинациях направлений попарно. Окончательно уравненные по направлениям углы вычисляют по тем же правилам, как п в способе измерения углов во всех комбинациях.
где v разности между измеренными и уравненными значениями углов; п число направлений на пункте; г число отдельно измеряемых углов в программе.
* Сборник статей по геодезии, вып. 8 М , Геодезиздат, 1954, с. 324, ** Сборник статей по геодезии, вып. 8. М., Геодезиздат, 1054, с. 2739.
*** Иэв, вузов, «Геодезия и аэрофотосъемка», вып, 4. М., 1969, с, 45.
Средняя квадратическая ошибка уравненного направления может быть вычислена по формуле (III.2.16), которая применительно к данному способу измерений записывается в виде
t
Для вычисления веса уравненного направления можно воспользоваться формулой (III.2.10). Приняв в ней веса р'/Л измеренных углов равными числу приемов измерений mi, получим
„ „mi Р = Ъ1-тг, ki
где kt яисло направлений в I-ой группе.
III.2.4. Определение элементов приведения
Рис. 111.2.6
Графический способ определения элементов приведения. В процессе угловых измерений на пункте проекции оси вращения инструмента J, визирной цели S и центра С подземпого знака на горизонтальную плоскость должны совпадать. Однако в действительности такого совпадения нет.
Поэтому необходимо определить отрезки е и соответственно до точек J и S относительно центра
С, сориентировать их относительно направлений А, В, ... триангуляции при полощи углов
еА, е», ... и е,А, of, . . .
(рис. III.2.6) и принести результаты угловых измерений к центру знака.
Элементы центрировки е л 0 и редукции е, и 0t определяют графическим способом па каждом пункте трнапгулмцпп. Для этого над центром знака устанавливают легкую мензулу, па горизонтальную поверхность которой прикалывают центрнровочный лист и показывают на нем направление на сспер. Затем прп помощи теодолита, устанавливаемого на расстоянии, равном примерно высота сигнала, проектируют на этот лист ось вращения инструмента и геометрическую ось визирного цилиндра при двух положениях вертикального круга с трех установок теодолита так-, чтобы проектирующие плоскости пересекались под углом около 120q. Аналогично проектируют и центр знака на этот лист. За проекцию точек /, S и С принимают центр соответствующего треугольника погрешностей, стороны которого не должны превышать: 3 мм при проектировании центра знака, 5 мм при проектировании оси инструмента и 10 мм ирц проектировании визирной цели. Из точек / и S проводят направления на два пункта триангуляции А и В. Точки / и S соединяют прямой линией с точкой С и измеряют отрезки е = CJ и el = CS с точностью до 1 мм. При помощи большого транспортира в точках / и S измеряют соответственно углы 0 и 0j, отсчитываемые от направления на центр знака до направления па пункт. Контролем правильности проведения направлений на пункты триангуляции служит сходимость углов между ними, полученных графическим методом па центрировочпом листе п из измерений при помощи теодолита.
Состав предварительных вычислений. Предварительные вычисления в триангуляции включают:
Составление сводок измерения горизонтальных направлений, и углов. В сводку из журналов паблюдений выписывают результаты всех измерений, кроме явно ошибочных, руководствуясь указаниями действующей инструкции. Затем выводят средние из т приемов эпачения каждого угла (или направления, приведенного к начальному), выполняют уравнивание углов на станции и вычисляют средние квадратические ошибки уравненных направлений и ухлов.
Уравнивание направлений, измеренных в двух группах с одинаковыми весами. В тех случаях, когда начальные направления в группах разные, надо предварительно все направления обеих групп привести к общему начальному (нулевому) направлению и выписать их в таблицу. Пусть в первой группе измерены направления 1, 2, 3, 4, 5, а во второй 1, 3, 5, 6, 7 (табл. III.2.6). Уравнивание групп наблюдений выполняют следующим образом. Для направлений, общих для обеих групп, вычисляют средние значения
М1=0.00, м3 = у(м; + ло, =
которые принимают за окончательно уравпенные величины. Для 470
остальных направлепий первой группы вычисляют поправки Alt а для направлепий второй группы поправки А,
(Л/я_л/;)+(лг»м;> л тя-м1)+(мь-м^
з 2= 3 •
В внамсиателе стоит число направлений, общих для обеих групп, включая в начальное. Прибавляя поправки А, к направлениям первой группы, а поправки Дг к направлениям второй группы, получают уравненные значения их.
Предварительное решение треугольников и вычисление сферических избытков. Предварительное решение треугольников выполняют с целью получения длин сторон, необходимых для вычисления поправок аа центрировки и редукции, для вычисления сферических избытков и приближенных координат пунктов триангуляции. Треугольники решают по теореме синусов
sin .<4 sin ft sin С откуда, приппв сторону а аа исходеую, находят b = DsinB, c = DsinC.
За исходные ирипимают базисные пли выходные стороны, а также стороны триангуляции высшего класса или ранее уравненной. Треугольники решают раздельно по каждому классу триангуляции по углам, округленным до 1".
Одновременно вычисляют сферические избытки треугольников по одной из следующих формул:
6" = fab sin С = fас sin В = fbc sin А,
где величину / = р"/2Пг выбирают из геодезических таблиц или пз табл. III.2.7 после умножения приведенных в ней величин на три.
Для территории СССР величина коэффициента / для вычислений в трнапгуляцнп 24 классов может быть цринята в среднем равной 0,00253, если длины сторон треугольников выражены в километрах. Сферические избытки вычисляют до 0,01" в триангуляции
Приведение измеренных направлений к центрам злаков. Поправки аа цептрировку ипструмента с" и редукцию визирной цели г* вычисляют по формулам
е sin (Л/-f-О) с= ъ р,
eisin (Д/1 + 6г)
Т ~ D Р
где е, 0 и ev 0j элементы центрировки и редукции; М значение измеренного направления, для которого вычисляют поправки; D длина стороны триангуляции по этому направлению; р!
= 206 265.
Для контроля вычислений поправок можно применить номограммы и таблицы величин (а) = 2Q.G265 sin (ДГ + 0),
1 А га Сгт- 535 s S t* й> в щ |
Наблюдения первой группы м: г |
Поправки Д, |
Наблюдения второй группы мг |
Поправки А: |
Уравненные направления м, |
1 |
О9 00' 00,00" |
_ |
0° 00' 00,00" |
_ |
О9 00' 00,00" |
2 |
67 42 56,95 |
+0,03" |
67 42 56,98 |
||
3 |
92 51 50.42 |
|
92 51 50,90 |
|
92 51 50,66 |
4 |
151 01 19,57 |
+0,03 |
151 01 19,60 |
||
5 |
213 39' 53,10 |
|
213 39 52,78 |
|
213 39 52,94 |
6 |
267 38 47,17 |
-0,03* |
267 38 47,14 |
||
7 |
321 21 07,88 |
-0,03 |
321 21 07,85 |
Таблица III.2.6 Уравнивание наблюдений в группах
«1-
Если линейные элементы е и е1 вырвзить в дециметрах, то (а) . „ (а)
Аш Як
Поправки за центрировку и редукцию d триангуляции 1 и
Вычисление приближенных прямоугольных координат пунктов. Приближенные координаты пунктов необходимы для составления точной схемы триангуляции, для вычисления поправок в направления аа кривизну изображения геодезических линий на плоскости, для вычисления расстояний между пупктами в тех случаях, когда эти расстояния не могут быть получены из решения треугольников, и т. д.
Приближенные координаты пунктов вычисляют при помощи пятизначных или шестизначных таблиц натуральных значений тригонометрических функций с точностью до целых метров. Приближенные координаты могут быть вычислены: по формулам решения прямой задачи на плоскости; по формулам котангенсов углов треугольников; но формулам тангенсов или котангенсов дирекционных углов. Вычисление поправок в направления за кривизну изображения геодезических линий в проекции Гаусса Крюгера; редукция длины исходной стороны. В триангуляции 24 классов поправки в направления за кривиану изображения сторон треугольников па плоскости в проекции Гаусса Крюгера вычисляют по формулам *
1
6i2 = ■-j / (*1 хг) (2^1 + Уг),
1
*21 = з* / (*1 *2) (2j/2+ s/i),
где 6j2 п поправки в прямое и обратное направления; хи j/j, х2,у2 приближенные координаты пунктов 1 и 2, выраженные в километрах; ординаты yi и у2 отсчитывают от осевого меридиана зопы, причем с положительным знаком к востоку от меридиана и с отрицательным к западу от него; } = р"/2Дг.
Поправки 6 вычисляют и вводят в измеренные направления с точностью до 0,01" в трпапгуляцип 2 класса и до 0,1" в триангуляции 3 и 4 классов.
Для направлений триангуляции 3 и 4 классов на территории
СССР значение коэффициентов / принимают равпым 0,000845.
О
Для направлений 2 класса значения этого коэффициента можпо выбирать из табл. III.2.7 по средней абсцпссе линии хт = 1/2 (хх +
+ *а)-
Таблица III.2.7
1
Значения коэффициента у /
*m. 1™ |
-h |
KM |
xm, KM |
||
4010 4300 4585 4865 5145 5430 |
XlO-T 8465 8460 8455 8450 8445 |
5430 5715 6005 6310 6625 6960 |
X10-7 8440 8435 8430 8425 8420 |
6960 7320 7720 8195 8825 9500 |
XlO-7 8415 8410 8405 8400 8395 |
Чтобы не ошибиться в порядке поправок б", рекомендуется пользоваться табл. III.2.8, дающей приближенные значения этих □оправок.
Таблица III.2-8
Величина поправок ви = -у / (*i *2) (2i/i +У2)
*1*1. KM |
2yt + Vt, км |
||||||||
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
|
1 |
0.1* |
0,2” |
0,2° |
0,3" |
0,4° |
0,5° |
0,6" |
0,7" |
0,8° |
5 |
0.4 |
0,8 |
1,3 |
1.7 |
2.1 |
2,5 |
3,0 |
3.4 |
3,8 |
10 |
0.8 |
1,7 |
2,5 |
3,4 |
4,2 |
5,1 |
5,9 |
6.8 |
7,6 |
20 |
1,7 |
3,4 |
5,1 |
6,8 |
8,4 |
10,1 |
11,8 |
13,5 |
15,2 |
30 |
2,5 |
5.1 |
7,6 |
10,1 |
12,6 |
16,2 |
17,7 |
20,2 |
22,8 |
Правильность вычисления поправок 6'^ в направления контролируют по сферическим избыткам треугольников. В треугольнике с вершинами 1, 2, 3, номера которых возрастают по ходу часовой стрелки, вычисляют для каждого угла поправки fi, = о13 612,
• ^21 ^231 ^8 == ^32 ^31* КОНТРОЛЬ. 6j + *j- = “В,
т. е. сумма поправок 6[ в углы треугольника должна быть равна его сферическому избытку, взятому с обратным знаком.
Для перехода от длины стороны на эллипсоиде к ее длине на плоскости применяют формулы, приведенные в разделе сфероидпче- ской геодезии соответственно для триангуляции 1 и 2 классов.
н |
of |
0,5" |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
7 |
8 |
9 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
1*0" |
ж |
У |
У/ |
У/ |
У/ |
У |
У/ |
У, |
У |
У/ |
У/ |
У, |
У |
|||||
81 |
у |
у |
У |
'У |
-у |
у. |
у |
у, |
Р |
/У |
/V 1 У/ |
||||||
82 |
У/ |
у/ |
у |
У/ |
УУ |
У |
У/ |
У/ |
|||||||||
8J |
У/ |
У/ |
У/ |
||||||||||||||
84 |
А |
У |
У/ |
'У |
У. |
у |
|||||||||||
85 |
у |
А У/ |
У/ |
1 У/. |
£ |
t |
|||||||||||
86 |
У/ |
||||||||||||||||
81 |
У/ |
У/ |
У/ |
У/' |
|||||||||||||
88 |
У/ |
У |
'У |
У |
У |
У |
|||||||||||
ш |
1 |
||||||||||||||||
10 |
|||||||||||||||||
20 |
|||||||||||||||||
SO |
|||||||||||||||||
40 |
|||||||||||||||||
51/ |
|||||||||||||||||
Ж |
Рис. III.2.7
Вычисление поправок в направления за уклонения отвесных линий, за высоту наблюдаемых целей и за переход от нормального сечения к геодезической линии.
а) Поправки за уклонения отвесных линий учитывают в триангуляции 12 классов и при создании высокоточных геодезических сетей в горных районах.
Поправку в направление с пункта г на пункт п за уклонение отвесной .линии от нормали к эллипсоиду в данной точке £ вычисляют по формуле
6j = sin cos Ain) ctg zin,
где и t\i составляющие уклонения отвесной линии соответственно в плоскости меридиана и первого вертикала; А{п геодезический азимут направления in, для которого вычисляется поправка; Z(n измеренное зенитное расстояние с t на п.
Поправку 6" вычисляют лишь в тех случаях, когда величина полного уклонения отвесной линии на пункте и = + tla И значение зенитного расстояния z данного направления находятся в пределах площади, заштрихованной на рис. III.2.7,
Значения !; и ц получают по астрономо-геодезическим и гравиметрическим данным.
Азимут A in вычисляют с точностью до 0,1е по формуле
Ain аю + Y+М in,
где oio дирекционный угол начального направления, вычисляемый по приближенным прямоугольным координатам; у угол сближения меридианов (выбирается из геодезических таблиц); Mi„ измеренное направление.
Если зенитное расстояние цп не измерялось, то при известных пормальных высотах Нп и Я,- центров пунктов величина ctg z может бить вычислена по приближенной формуле
ctg zin S 1 [(Я„+»я)-(Я; + li) - ,
где vn и li высота визирной цела и высота инструмента соответственно над центрами знаков п и i; (1 к) $г/2Я поправка за кривизну Земли и рефракцию; s расстояние между пунктами.
б) Поправка в направление ва высоту наблюдаемой цели. Прп наблюдениях в горных и высокогорных районах в результаты наблюдений на пунктах триангуляции
е2
йа = нп (!)я ~2 sin 2Ai„ cos2 Вп,
где Нп высота визирной цели над эллипсоидом Красовского в точке п; Вп широта точки п; е первый эксцентриситет меридианного эллипса; (1)„ = р/Мпфункция радиуса крпвизпы меридианного сечения, выбираемая из геодезических таблиц по аргументу Вп\ Ainгеодезический азимут направления in.
в) Поправка ва переход от нормального сечения к геодезической линии. В триангуляции
Ъ'з= s,?„ (2)£i Sin 2Ain COS2 Bm,
где
Вт = ~2 (Bi -f- Bn),
e первый эксцентриситет мерндиапного эллипса; (2)m = Р"INm функция радиуса кривизны сечения первого вертикала, выбираемая из геодезических таблиц по аргументу средней широты Вт; sin длина стороны, Atn геодезический азимут направления.
Составление таблицы направлений, приведенных к центрам знаков и редуцированных на плоскость. В каждое измеренное направление вводят поправки за центрировку с и редукцию г", поправки й* за кривизну изображения геодезических линий в проекции Гаусса Крюгера; при наблюдениях в горных районах и при вначительпых уклонениях отвесной линии в направления 1 и 2 клас
сов вводят поправки 6J за уклонения отвесных линий, поправки 6'а за высоту наблюдаемых целей над эллипсоидом Красовского и дополнительно в триангуляции 1 класса поправки б, за переход от нормального сечения на эллипсоиде к геодезической линии.
По каждому направлению вычисляют сначала сумму перечисленных поправок, а затем разности между суммой поправок каждого направления и суммой поправок начального (пулевого) направления на станции. Полученные поправки алгебраически прибавляют к измеренным значениям направлений. В итоге получают таблицу приведенных к центру знака и редуцированных на плоскость направлений, которые испольауют при дальнейшем уравнивании сети.
Предварительная оценка точности угловых измерений в триангуляции. Прежде чем приступить к окончательному уравниванию триангуляции за все возникающие в ней геометрические условия, необходимо убедиться, что угловые измерения на пунктах сети исполнены качественно и удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям. Для этого вычисляют свободные члены условных уравнений фигур (невязки треугольников), полюсных, базисных, азимутальных и затем полученные величины сравнивают с установленными для них допусками.
Невязки треугольников вычисляют по углам, приведенным к центрам знаков, по формулам
ш = ^ Р (180° + е) сфере, ш = ^ Р 180° на плоскости,
где ^ Р сумма измеренных углов в треугольнике, е сферический избыток треугольника. При этом 67% невязок должны находиться в интервале от 0 до т У 3; 95% от 0 до 2,5т |^3 и только лишь три невязки из тысячи могут быть допущены равными 3т. Y3. Здесь т средняя квадратическая ошибка измеренного утла, вычисленная по невязкам треугольников,
где п число невязок треугольников.
Согласно Инструкции [4], невязки треугольников не должны превышать 3, 4, 6 и 8" в триангуляции 1, 2, 3 и 4 классов, а сред пне квадратические ошибки измеренного угла, вычисленные по невязкам треугольников, 0,7; 1,0; 1,5 и 2,0" соответственно.
где 2 I Ш1 сУмма абсолютных значений всех п невязок треугольников в сети.
Для вычисления средней квадратической ошибки измеренного угла нередко используют и другую формулу
Свободные ялены условий полюсных (юп), базисных (сое) п азимутальных (ша) вычисляют по формулам- приведенным в следующем разделе Справочника. Величины свободных яленов этих условий не должны превышать
шб = 2,5 VV22624'2mlB6 .
ша ^ 2,5 У|i2ra-j- 2т£,
где р, установленная Инструкцией для соответствующего класса триангуляции средняя квадратическая ошибка измерения углов; У] б2сумма квадратов изменений логарифмов синусов связующих углов треугольников при изменении этих углов на 1"; mig ь средняя квадратическая ошибка в логарифме длины базисной (выходной) стороны; та средняя квадратическая ошибка исходного азимута, ап число углов в передаче азимута.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
РАДИОГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И РАДИОГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
А. В. Кондрашкоа
А. СВЕТОДАЛЬНОМЕРЫ
III. 3.1. Общие сведения
Светодальномеры приборы, служащие для измерения расстояний при помощи световых сигналов. Прибор состоит иа собственно дальномера приемо-передатчика, устанавливаемого на одном конце измеряемой линии, и отражателя, устанавливаемого иа другом конце линии.
Длину линии определяют по времени, затраченному световыми сигналами на распространение вдоль линии от приемо-передатчика до отражателя и обратно, и по скорости распространения света в воздухе и. Если это время равно т, то измеряемое расстояние
D =~2 т+6*,
где 6* постоянная поправка дальномера.
Световые сигналы, используемые для определения расстояния, получаются изменением во времени параметров световых колебаний или их модуляцией. Такими параметрами в существующих дальномерах являются амплитуда колебаний, определяющая яркость, силу спета или световой поток, или отношение осей эллипса эллиптически поляризованного света. Для модуляции света используются линейный или квадратичный электрооптический эффект, дифракция света на ультразвуковых волнах в прозрачном веществе или зависимость интенсивности испускаемого источником света от проходящего через пего электрического тока. Поэтому различают дальномеры с электроонтическими и ультразвуковыми модуляторами света, а также дальномеры со светодиодами.
Изменения параметров световых колебаний могут быть импульсными или непрерывными. В последнем случае они имеют характер, близкий к гармоническому; для определения времени т в этом случае измеряют разность фаз параметра за время т. В связи с этим различают дальномеры импульсные 36 и фазовые. Разность фаз гармонического колебания меняется циклически, а непосредственное ее измерение возможно лишь в пределах^одного фазового цикла. Поэтому для определения по измеренной разности фаз полного времени распространения сигналов приходится измерять разности фаз колебаний па нескольких известных частотах модуляции, либо, плавно изменяя частоту модуляции, определять яисло полных фазовых циклов, соответствующее некоторому непрерывному диапазону их изменения и частоты, ограничивающей выбрапный диа- иазон.
В связи с этим различают фазовые дальномеры с фиксированными частотами модуляции и дальномеры с плавно изменяемой .частотой модуляции. Фиксация выбранной разности фаз или ее измерение могут выполняться визуальпо глазом или фотоэлектрическим устройством. Поэтому различают дальномеры визуальные и фотоэлектрические.
В качестве источников света в дальномерах используют ламны накаливания, газоразрядные источники света, газовые оптические квантовые генераторы (лазеры), светодиоды.
В зависимости от источника света различают дальномеры: обычные, лазерпые, со светодиодами. По назначению светодально- меры делятся на дальномеры для измерения больших, средних и малых расстояний (топографические).
Светодальномеры для больших расстояний применяются для измерения расстояний ~2025 км и обеспечивают измерения с относительной ошибкой не больше 1/300 ООО1/400 ООО («Кварц», геодиметры NASM-2A, модели 6 п 8).
Светодальномеры для средних расстояний применяются для измерения расстояний 515 км с относительной ошибкой порядка 1/100 0001/300 000 (СВВ-1).
Топографические дальномеры применяются для измерения расстояний до 35 км с относительной ошибкой порядка 1/10 000 1/100 000 (СТ-65, КДГ-3, ТД-2).
Успехи полупроводниковой электроники в последнее десятилетие позволили разработать небольшие по размерам, достаточно легкие, потребляющие небольшую энергию светодальномерные приставки (насадки) к угломерным инструментам (ДНК-02, DI10).
Естественным шагом в развитии геодезической электронной техники явилось стремление объединить в одном приборе измерение расстояний п углов. В связи с этим в последние годы были разработаны электронные тахеометры (Reg Elta 14, геодиметр мод. 700).
Некоторые сведения об отечественных и зарубежных свето- дальномерах приведены в табл. III.3.1.
Лазерный светодальномер «Кварц» предназначен для наиболее точных измерений расстояний в государственной геодезической опорной сети. Он состоит из двух частей: приемо-передатчика (рис. III.3.1) и отражателя (рис. III.3.2). Источником электри-
Марка дальномера, странаизготовитель |
Тип дальномера |
Источник света * |
Частоты модуляции, МГц |
||
СВВ-1, СССР |
Визуальный |
ДАЦ |
Переменные |
10 |
|
Кварц, СССР |
Фотоэлектриче |
ОКГ |
Постоянные |
30 |
|
ский |
|||||
СТ-65, СССР |
Визуальный |
лн |
Переменные |
25 |
|
ТД-2, СССР |
Визуальный |
лн |
Переменные |
15 |
|
КДГ-3, СССР |
Фотоэлектриче |
СД |
Постоянные |
30 |
|
ский |
|||||
МСД-1, СССР |
То же |
сд |
Постоянные |
150 |
|
ДНК-02, СССР |
СД |
Постоянные |
30 |
||
Геодиметр, мод. 6, |
ЛН |
||||
Швеция |
РЛ |
» |
|||
Мод- Si Швеция |
» |
ОКГ |
» |
||
EOS, ГДР |
ЛН |
Постоянные |
~60 |
||
ЕОК2000, ГДР |
» |
сд |
Постоянные |
30 |
|
DI 10, Швейцария, |
сд |
Постоянные |
14 |
||
Франция |
|||||
МЕ-3000, Швейца |
* |
КИЛ |
Постоянные |
500 |
|
рия |
|||||
Reg Elta 14, ФРГ |
сд |
||||
Геодиметр, мод. |
ОКГ |
30 |
|||
700, Швеция |
* JIH лампа накаливания, ДАЦ дуговая аргено-циркониевая лам КИЛксеноновая импульсная лампа, СДсветодиод.
Дальность действия, км |
Средняя квадратическая ошибка измерения, см |
Масса, кг |
Потребляемая мощность, Вт |
||||
минималь ная |
днем |
ночью |
приемо передат чика |
комп лекта |
|||
1 |
5 |
20 |
1,5+1,5 D. 10-е |
18 |
400 |
350 |
|
20 |
40 |
1,0+2 -D- 10-е |
105 |
140 |
|||
0,1 |
2 |
5 |
1,5+3 D-10-6 |
9 |
70 |
30 |
|
0,135 |
4 |
10 |
1,0+2 • D ■ 10-е |
15 |
105 |
80 |
|
0,002 |
1,5+5 • D ■ 10-е |
||||||
0,004 |
0,2 |
0,1-0,2 |
4,5 |
3,5 |
|||
0,004 |
0,4 |
2 |
1 |
||||
3-5 |
1015 |
0,5+1 • D • 10-6 |
14,5 |
37 |
20 |
||
710 |
20-25 |
57 |
300 |
||||
0,015 |
60 |
60 |
0,5+1 • D • 10_6 |
23 |
45 |
||
0,020 |
10 |
15 |
0,5+2 •£>• 10-е |
32 |
70 |
70 |
|
0 |
2 |
1 |
12 |
8 |
|||
1 |
1 |
1 |
4 |
22 |
15 |
||
Нескол |
ЬКО СО! |
ген |
0,010,2 |
12 |
|||
метров |
|||||||
До 2 км |
1 |
20 |
31,5 |
||||
До 5 км |
0,5+1 •£»• 10-е |
14,5 |
20,5 |
па, РЛртутная лампа, ОКГгазовый оптический квантовый генератор.
из нее свет проходит интерференционный фильтр 17 и оптической системой 18 через диафрагму 19 направляется на катод фотоэлектронного умножителя 20.
Для модуляции света на конденсатор Керра подается постоянное поляризующее напряжение от источника 21 и переменное модулирующее напряжение от генератора 22. В последнем могут быть получены колебания четырех высокостабильных частот: /i= 30,0 МГц, /2 = 29,99625 МГц, /3 = 29,925 МГц и /4 = 28,5 МГц. Одновременно эти колебания подаются в смеситель 26. В него поступают также колебания от вспомогательного генератора 24, частоты которых на 15 кГц больше соответственных частот модуляции света. В смесителе образуются колебания частоты 15 кГц, которые подаются в фаэосдвигающее устройство 25, где фаза их может быть изменена скачком па 90°. С выхода этого устройства с измененной или пе измененной переключателем фазой эти колебания напра-
вляютея в индуктивный фазовращатель 26, а с него, после усиления в усилителе 27, в фазовый детектор 28. Эти электрические колебания образуют так называемое опорное напряжение иа фазовом детекторе. Модулированный свет, прошедший дважды измеряемое расстояние и упавший на катод ФЭУ, вызывает в нем переменный поток электронов. На дополнительный электрод ФЭУ, накладываемый снаружи на его прозрачный катод, от вспомогательного генератора 24 подается переменное напряжение, частота которого на 15 кГц больше частоты модуляции света. В результате в токе
Рис. III.3.1
ФЭУ образуется переменная составляющая тока с частотой в 15 кГц. Эта составляющая поступает в усилитель 29, а из него в фазовый детектор 28, где образует так называемое сигнальное напряжение. На выходе фазового детектора получается ток, величина которого зависит от разности фаз сигнального и опорного напряжения. Этот ток направляется в стрелочный индикатор 80. Последний указывает нуль всякий раз, когда разность фаз сигнального и опорного напряжений составляет 90 или 270°. При измерении расстояния светодальномером стрелку индикатора устанавливают на нуль при помощи фазовращателя. Такому положению стрелки индикатора соответствует соотношение
Di = Ni li + в*,
где 4 “ 1, 2, 3, 4 номер частоты модуляции света, результат измерения расстояния на яастоте //, Nt целое аисло или
Рис. III.3.2
Рис. Ш.3.3
нуль, Xj длина волны модуляции света, 6* постоянная поправка дальномера. Величины Nt находят по формулам
/V| = 20s3,8 (/4^i) м,
N2 = N1 P, Ns = Nl m, N4 = TV 1 з,
где
s= 20m 4,0 (£3 /1) м -j-0,2 (^4 l\) м, m = 20p 4,0 (f2 ij) m + 0,2 (I3 li) m, р = 0,0251>пр km+0,2 (J2 ii) m,
и приближенно известному с погрешностью до 20 км расстоянию Z>np.
Постоянная поправка дальномера определяется по результату измерения дальномером линии в 12 км достаточно точно известной длины. Если эта длина Dn3B, а длина, полученная дальномером, D д, то
6 k = ^изв Dd.
Измерение расстояния дальномером производят в следующем порядке. После наведения приемо-передатчика на отражатель, получения ответного сигнала и регулировки его величины серым клином устанавливают переключатель фаа в положение, при котором вносимая фазосдвигающим устройством постоянная разность фаз равна нулю. Затем при помощи фазовращателя устанавливают стрелку индикатора па нуль таким вращением рукоятки фазовращателя, при котором направление ее вращения и движения стрелки совпадают. При положении стрелки на нуле получают отсчет по шкале фазовращателя. Затем получают отсчет по фазовращателю при установке стрелки индикатора на пуль при противоположных направлениях вращения стрелки ипдикатора и рукоятки фазовращателя. После этого направляют свет во внутреннюю оптическую линяю и точно так же получают два отсчета по шкале фазовращателя при установке стрелки индикатора на нуль.
Затем получают по два отсчета по шкале фазовращателя прп установке стрелки индикатора на пуль для света из внутренней оптической линии и от отражателя, при положении переключателя фаз, соответствующем постоянной разности фаа, рапной 90°. Такие измерения выполняют на каждой из четырех частот модуляции света, деля общее число приемов (например 16 при измерениях базисных сторон триангуляции 1-го класса) поровну между частотами. Так как дальномером можно работать в светлое время суток, то обычно всю программу делят поровну и каждую часть выполняют в подходящие утренние и вечерние часы. Температуру и давление воздуха определяют на обоих концах лшши, а влажность у прп- емо-передатчика. Метеорологические измерения у ириемо-передат- .чика выполняют перед измерением на каждой частоте модуляции, а у отражателя через каждые десять минут. При обработке результатов намерения на станции образуют средние отсчеты по фазовращателю, полученные на каждой частоте модуляции при свете от отражателя и из внутренней оптической линии, и их разность. Эту разность исправляют поправкой аа нелинейность шкалы
фазовращателя, получаемой из специальных исследование:. Пользуясь формулами
г1 = 0,012488фь = 0,01248992,
^з = 0,012519фз, ^4 = 0,013145ф4,
переводят разности средних отсчетов ф< в линейную меру. Затем по формулам
Dt Ni 4- li,
Z>2 = ■-+ 1%,
Da = ^3 + h<
D\ ЛГ4 /4
вычисляют величишл Dj, D2, Ds, Df результаты измерений на .частотах flt /2, /8, /4, исправляют их метеорологическими поправками и образуют среднее. К последнему придают постоянную поправку дальномера 6* и получают измеряемое расстояние.
Светодальномеры СТ-65 (рис. III.3.4 визуальные топографические дальномеры с модуляции света.
Блок-схема светодаль- номера СТ 65 приведена на рис. III.3.6. Свет от источника 1 конденсором 2 направляется яерез поляризатор 3 в конденсатор Керра 4, затем объективом 5 свет посылается на зеркально-линзовый отражатель 6. Отраженный последним свет поступает в приемную трубу дальномера и объективом 7 направляется в конденсатор Керра 8. Пройдя анализатор 9 и окуляр 10, он попадает в глаз наблюдателя.
Для модуляции света па конденсаторы Керра подается постоянное поляризующее щ переменное модулирующее напряжение
высокой чистоты от геператора 11. Одновременно переменное напряжение подается в смеситель 12, куда поступают также электрические
колебания частоты 100 кГц от
кварцевого генератора 13 и электрические колебания яастоты 110 кГц от кварцевого геператора 14. Образующиеся в смесителе колебания низкой яастоты после усиления в усилителе 15 поступают о телефон 16. Электрическое питание дальномера осуществляется от блока питания 17 и аккумулятора 18.
Дальномер работает следующим образом. Естественно поляризованный свет источника 1 поляризатором 3 превращается в линейно поляризованный и направляется в первый конденсатор Керра 4. Здесь под влиянием приложенного к конденсатору переменного электрического напряжения образуются обыкновенные и необыкновенные световые колебания, мгновенная разность хода
которых на вмходе конденсатора
соответствует мгновенному значение. ш.з.о нию электрического напряжения.
В результате сложения этих световых колебаний образуется эллиптически поляризованный свет, а форма эллипса поляризации непрерывно меняется. Такой, модулированный по поляризации, свет после отражения на другом конце измеряемой линии поступает во второй конденсатор Керра, а но выходе ва него проходит анализатор.
Измерение расстояний этим дальномером производится компенсационным способом. При измерении расстояний этим способом частота электрического напряжения, приложенного к конденсаторам Керра, устанавливается такой, при которой разность хода обыкновенных и необыкновенных лучей, образующаяся в передающем конденсаторе Керра за время пробега светом оптического пути от входа первого конденсатора до выхода второго, компенсируется во втором конденсаторе. Кроме того, конденсаторы Керра устанавливаются так, чтобы электрические поля в них были взаимно перпендикулярны. Если указанная разность хода изменением частоты электрического напряжения скомпенсирована, то на выходе второго конденсатора образуется свет, поляризация которого такая же, как и поляризация света, поступающего в первый конденсатор Корра. Поляризатор и анализатор в дальномере установлены так, что их плоскости пропускания света перпендикулярны. Поэтому достижение упомянутой компенсации фиксируется минимумом света, видимого наблюдателем. Этому минимуму соответствует следующее соотношение между измеряемым расстоянием D, скоростью света в воздухе v и частотой / переменного электрического напряжения, приложенного к конденсаторам:
D^N-^. + 5k = Nj + 6k, (III.3.1)
где N целое число или нуль, А. длина волны модуляции света, соответствующая скорости v, постоянная поправка дальномера. В приведенном уравнении две неиэвестные величины! D и N. Для определения расстояния компенсационным способом производят измерения частот, соответствующих, по крайней мере, двум минимумам света. При этом определяют число минимумов света, образующихся при плавном изменении частоты от начальной fi до конечной fk- В этом случае для расстояний имеют
Dl = N,-£n- + bk = Ni-^4-6*,
Dk=Nk-±. + 6k = Nk^- + &k, а для чисел Nk и jVj
Nk-N; = n,
где п число минимумов света, образующихся при плавном изменении частоты в указанных пределах. Решение последних уравнений для Ni и Nk дает
В дальномере СТ-65 конденсаторы Керра подключены к генератору электрического напряжения так, что действующие на них электрические напряжения различаются по фазе на 1809. Вследствие этого упомянутая компенсация имеет место, когда число N отличается от целого на 0,5. Для составления программы изменения расстояния компенсационным способом вначале выполняют так называемый счет минимумов. При этом, плавно изменяя частоту генератора от наяала до конца диапазона, получают отсчеты по шкале генератора, соответствующие минимуму наблюдаемого света. Программа намерения расстояний дальномером СТ-65 аависит от длины линии. Для линий длиной до 1 км просчитываются все минимумы, а для более длинных линий лпшь 510 минимумов в начале и конце диапазона. Для измерения линий длиной 0,1
По нулевым биениям, прослушиваемым в телефон, устанавливают младшую и старшую калибровочные точки, кратные 100 кГц, между которыми находится наблюдаемый минимум света. Отсчеты по шкале генератора, соответствующие этим точкам, записывают в журнал. Производят калибровку шкалы генератора через 10 кГц, начиная от установленной калибровочной точки, кратной 100 кГц, на участке шкалы, соответствующем положению исиольэуемого минимума. Наблюдают минимум необходимым числом приемов. Производят ваключительную калибровку шкалы генератора на узком участке шкалы, где находится наблюдаемый минимум.
При вычислении измеренного расстояния находят средние из отсчетов шкалы генератора, полученные при соответствующих минимумах, а также из отсчетов для калибровочных точек, кратных 10 кГц, между которыми находятся минимумы. По средним отсчетам, линейной интерполяцией, иольэуясь «Таблицей калибровочных точек кварцев 100 кГц и 110 кГц», прилагаемой к прибору, аолуяают частоту модуляции, соответствующую минимуму света. Затем по формулам
(/ft /<) ~M/ft+p ll+p) ~h (/fe+zp h*ip)
Ui+p 11) + (1l+ip U+p) + (/ft*p /ft) + (tkiifi I nuil
= Nk = Nt + n,
G/cp
ZVf+p = Nt -j-p, ^<+2p= Nt-{-2p,
Nk+p = Nh-hPt ^ft+2p = ^ft+2p,
Dt+2p = NU2p±±fL,
Dk = Nk*±., Dk+p=Nk+p^, Dk+2p = Nk+2p^-
вычисляют Di, Dt+p, Di+jp, Dh, Dk+P, Dht2p. При этом полученные из вычислений числа N округляют до нечетного числа половин. Здесь }i, }i+p, fi+2p частоты минимумов, наблюдаемых в начале диапазона генератора, /*, fk+p, fk+ip частоты минимумов, наблюдаемых в конце диапазона i, i + р, i + 2р, 'к, к'+ р, к+ 2р их номера, Я;/2, \i+p/2, Х;+2Р/2, Xk/2, Xktp/2, ^■k+2p/2 длины полуволн, модуляции света, выбираемые из «Таблиц для вычисления расстояний, измеренных светодальпомером СТ-62М» по аргументу соответствующих частот. Указанные длины полуволн соответствуют температуре воздуха 12° С п давлению воздуха 740 мм рт. ст.
Среднее из полученных D затем исправляется необходимыми поправками.
Блок-схема оптической части дальномера ТД-2 приведена па рис. III.3.7.
г, Г~1 г~\ Л Г71 1 |
■ \ |
|
-П л П J |
кл * - |
|
о(1 |
||
LA V. V |
||
■ -с_ |
Ф9 |
Рис. III.3.7
13 11 11 10
Свет от источника 1 конденсором 2 через поляризатор 3 направляется в конденсатор Керра 4. По выходе из последнего зер- кальпо-линзовой системой, состоящей из зеркала 5, светоделительной призмы 6 п объектива 7, направляется па отражатель 8. Возвращенный последним свет веркально-линзовой системой 7, 6, 9 направляется во второй конденсатор Керра 10. Свет, вышедший из конденсатора, может быть пропущен либо через пластину исландского шпата, либо яерез анализатор, либо через простое стекло, конструктивно объединенные в револьверную головку 11. Прошедший револьверную головку свет яерез окуляр 12, поляроид и фильтр 13 рассматривается глазом. Для модуляции света к конденсаторам Керра прикладываются постоянное поляризующее и переменное модулирующее напряжения. Для измерения частоты модуляции света служит кварцевый калибратор, позволяющий прокалибровать шкалу генератора через 25 кГц. Электрическое питание дальномера осуществляется от аккумуляторных батарей в 6 и 12 В при помощи преобразователя напряжения, выполненного в виде отдельного блока. Измерение расстояния дальномером может выполняться компенсационным способом или способом сравнения. При измерении расстояния компенсационным способом револьверная головка устанавливается в положение, при котором свет, вышедший из второго конденсатора Керра, проходит анализатор. При измерении
расстояния способом сравнения головка устанавливается в положение, при котором свет, вышедший яэ конденсатора, проходит иластппу исландского шпата. Вследствие свойственного исландскому шпату двойного луяепреломления вошедший в пего свет образует обыкновенные и необыкновенные световые колебания. При достаточной толщине пластины они образуют два изображения источника света, которые могут рассматриваться глазом. При измерении расстояния способом сравнения изменением .частоты модуляции света добиваются одинаковой интенсивности указанных двух изображений. При этом среднее из .частот, соответствующих дпум последовательным одинаковым интенсивностям изображений, равно частоте, соответствующей измерепию расстояний компенсационным способом. Уровень, на котором приравниваются интенсивности света, может регулироваться положением плоскости пропускания света поляроидом. Фильтр облегчает приравнивание интенсивности света в двух изображениях отражателя.
Программа измерения расстояний способом сравнения включает те же элементы, ято и программа измерения расстояний компенсационным способом, т. е. счет минимумов, калибровку шкалы генератора, собственно измерения расстояний. После того как определены яастоты, соответствующие минимумам света, и число минимумов между ними п, по формулам, приведенным выше, вычисляются расстояния.
Светодальномеры КДГ-3 (рис. III.3.8) и МСД-1 (рис. III.3.9) топографические фотоэлектрические дальномеры с полупроводниковыми светодиодами в качестве источника света.
Блок-схема дальномера КДГ-3 изображена на рис. III.3.10. Электрическое напряжение любой из трех высоких частот /х = =» 30,0 МГц, /а = 27,0 МГц, /3 = 29,9 МГц с генератора 1 подается на светодиод 2. Излучаемый им свет полупрозрачным зеркалом 3 направляется на объектив 4 и последним посылается на призменный отражатель 5. Возвращенный отражателем свет проходит объектив, полупрозрачное зеркало 3 и падает на катод фотоэлектронного умножителя 6. Напряжение высокой частоты поступает также в смеситель 7, В смеситель подаются электрические колебания генератора 8, частота которых на 100 кГц меньше .частоты колебания генератора 1. В результате в смесителе образуются электрические колебания частоты 100 кГц. Эти колебапия поступают в фазовращатель 9, а с него в фазовый коммутатор 10, который с частотой
щателп в приборе имеется другой «'ГТгЯР'жЯ
Рио. Ш.3.8
Рис. 1П.3.9
фазовращатель, позволяющий изменять фазу опорного напряжения скачком на 90°. Дальномер снабжен внутренней ойййе- ской линией, позволяющей направить свет из передающей яаетн
Рве. т.з.ю
прибора в приемную, минуя отражатель, установленный на другом конце измеряемой линии. Измерение расстояния состоит в Нолу- нении отсчетов по фазовращателю, соответствующих нулевым
показаниям индикатора при разностях фаз сигнального и опорного напряжений в 90 и 270® и положениям переключателя фазы 0 и 90е *, при свете с дистанции и из оптической линии. По полученным средним разностям отсчетов при свете с дистанции и из оптической линии получают расстояние по таблицам и формулам, приведенным в руководстве по пользованию прибором.
Блок-схема дальномера МСД-1 приведена на рис. III.3.11. Свет полупроводникового иалучате^и 1 объективом 2 направляется па призменный отражатель 3, установленный на другом копце измеряемой линии. Возвращенный отражателем свет объективом 4
Рис. III.3.11
направляется на катод фотоэлектронного умножителя 5. Для модуляции света на источник света от генератора 6 через манипулятор фазы 7, изменяющий ее на 180®, с частотой 80 раз в секунду подается электрическое напряжение частот = 149,852 МГц и /2 = = 146,854 МГц. Напряжение генератора 6 подается также в фазовращатель 8, ас него на специальный электрод вблизи катода фотоэлектронного умножителя. Электрические сигналы с ФЭУ поступают в синхронный детектор 9. На манипулятор фазы и синхронный детектор подаются импульсы напряжения от устройства 10 с частотой следования 80 имп/сек. Ток синхронного детектора регистрируется стрелочным индикатором 11. При помощи призмы 12 часть света, выходящего из объектива 2, может быть направлена в оптическую линию, образованную прямоугольной призмой 13, возвратно-отражающей призмой 14 и призмой 15. Откидным зеркалом 16 свет может быть направлен в приемную часть дальномера, минуя отражатель. Возвратно-отражающая призма 14 может перемещаться поступательно, а ее положение может быть отмечено отсчетом по шкале 17.
Измерение расстояния дальномером состоит в получении ;шух отсчетов по шкале оптической линии, соответствующих двум последовательным нулевым показаниям индикатора, на каждой
Т«лько при измерениях на частоте /».
частоте модуляции света. Частота модуляции света /] такова, что в сухом воздухе при температуре +20° С и давлении 760 мм рт. ст. длина волны модуляции света равна 2 м. Частота модуляции света позволяет определить расстояние однозначно, если оно предварительно иэвестио с точностью до 50 м. Формулы для вычисления расстояний имеют вид
DX = N ^ + = (1000,OOON + Li) мм,
D2 = N -^- + L2 = (1020,408JV + L2) мм,
Ar = 0,049(LiL%) mm,
D = + 50 m + 6ft,
где и L% средние из отсчетов шкалы оптической линии, т число отрезков по 50 м, содержащееся в измеряемой линии, 6* постоянная поправка дальномера.
Ш.3.5. Светодальномерные насадки ДНК-02 и Д1 10
Светодальномерная насадка на теодолит ДНК-02 (рис. III.3.12) разработана в Государственном оптическом институте им. С. И. Вавилова на основе дальномера КДГ-3. Светодальномерная насадка на теодолит DI 10 (рис.
II 1.3.13) выпускается совместно французской фирмой Серсель и швейцарской фирмой Вильд.
Источники света в этих насадках полупроводниковые светодиоды, дающие свет в близкой инфракрасной части спектра.
Порядок и программа измерения расстояний насадкой ДНК-02, а также вычисление измеренного расстояния подобны имеющим место при измерении расстояний дальномером КДГ-3. Результат измерения расстояния насадкой Д1 10 выдается на числовом табло: при этом после наведения насадки на отражатель и включения прибора автоматически по определенной программе выполняются все изменения частот модуляции света, необходимые для однозначного определения расстояния. Рис. ш.з.12
Электронный тахеометр Reg Elta 14 (рис. III.3.14) н геодиметр 700 (рис. III.3.15) служат для измерения горизонтальных и вертикальных углов, а также наклонных расстояний. Оба прибора имеют электронные вычислительные устройства для автоматического получения горизонтальных расстояний, а геодиметр имеет также устройство для автоматического введения в результат измерения расстояния метеорологической поправки. Результаты измерений в обоих приборах представляются автоматически па цифровом табло. К обоим приборам придаются ленточные перфораторы, позволяющие записать информацию, получаемую от тахеометра, для последующего непосредственного введения ее в ЭВМ или передачи по телеграфу без промежуточного преобразования.
Для измерения расстояний в тахеометре Reg Elta 14 используется дальномер (SM И) со светодиодом в качестве источника света, а в геодиметре 700 гелий-неоновый газовый лазер. Для измерения углов в обоих тахеометрах используются кодовые диски с электронным отсчетом.
В. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАДИОДАЛЬНОМЕРЫ
Радиодальномерами называют приборы, состоящие из двух приемо-передающих радиостанций, снабженные устройствами для измерения времени прохождения радиосигналов при распространении их от одного пункта до другого. Радиостанции помещают в пунктах, расстояние между которыми необходимо измерить.
Расстояние измеряют по измеренному времени распространения сигналов, излучаемых радиостанциями. Если это время равно т, а скорость распространения сигналов v, то измеряемое расстояние D равно
D 2 т +
где 6* постоянная поправка дальномера.
Так как время распространения сигналов наиболее точно можно определить измерением разности фаз гармонических колебаний, то сигналы, используемые для получения расстояния, представляют собой близкие к гармо_пическим электромагнитные колебания.
Для измерения времени т могут быть использованы несущие электромагнитные колебания, излучаемые радиостанциями. Практика показывает, однако, что удобнее использовать сигналы, полуденные модуляцией несущих колебаний по гармоническому закону; при этом результаты измерения получаются точнее. Так как в последнем случае время определяют путем измерения разности фаз модулирующих колебаний, то последние часто называют измерительными, или метрическими, а соответствующую частоту метрической частотой.
Так как время должно быть иамерепо с малой абсолютной ошибкой, метрическая частота пе может быть выбрана низкой. Вследствие того, что разность фаз колебаний циклически повторяется и может быть измерена только ее часть, меньшая или равпая 2я,
Марка дальномера, страна-изготовитель |
S3 “1 3 |
Основная частота модуляции, МГц |
"в S 5 р. л л |
Пределы измеряемых расстояний, км |
|
«15 |
О Ч о. Р ь*в> Оиа |
min |
max |
||
Теллурометр MRA-3, ЮАР |
3 |
7,5 |
Цифровой |
0,03 |
50 |
MRA-4, ЮАР СА 1000, ЮАР |
0,8 3 |
75 |
ЭЛТ* Цифровой |
0,05 |
60 10 и 30 |
Электротейп |
3 |
15 |
Цифровой |
0,05 |
100 |
DM-20, США |
|||||
Дистомат DI-50, |
3 |
15 |
Цифровой |
0.1 |
150 |
Швейцария |
7.5 |
Цифровой |
0,05 |
100 |
|
Дистаметр III, |
3 |
||||
ФРГ |
Цифровой |
0,05 |
50 |
||
Дистаметр 8, ФРГ |
0,8 |
7,5 |
|||
GET-A2, ВНР |
3 |
10 |
Цифровой |
|
15 |
RG10, ПНР |
3 |
7,5 |
Цифровой |
0,1 |
40 |
РЕМ-2, ГДР |
3 |
10 |
ЭЛТ |
0,1 |
100 |
РДГВ, СССР |
10 |
10 |
ЭЛТ |
0,2 |
30 |
«Лун», СССР |
3,5 |
Фазовра щатель |
0,2 |
40 |
Средняя квадратическая ошибка измерения расстояний |
Масса станции, кг |
Потребляемая мощность, Вт |
Примечание |
± 1 см + 3 • D 10-8 ± 3 мм + 3 • D • 10"® |
16 19.5 |
38 |
10 км с нормаль |
1,5 см |
7 |
||
± 1 см + 3 -D- 10-е |
11,5 |
ной антенной, 30 кмс усиленной антенной |
|
± 2 см + 10-6 10-« |
22 |
50 |
Приемо-переда- ющий блок может |
±2cm + 10_5 Ю'в |
10,8 |
30 |
быть удален от индикаторного на 15 м |
±2см + 2-Д- 10-е |
5 |
32 |
Приемо-пере да |
±3 см+5- D- 10-е |
10 |
ющий блок может быть удален от индикаторного |
|
± 3 см + 3 -D • 10_в + 5CM+3-Z)- 10-е |
13,5 |
на 15 м |
|
,± 3 см + 3 -D- 10-е |
23,5 ** |
80 |
Прцемо-переда- ющий блок может быть удален от индикаторного на 25 м |
для определения полного времени распространения сигналов необходимо использовать сигналы нескольких метрических частот, по которым определяют различные доли полного времени распространения сигналов.
Некоторые сведения об отечественных и зарубежных радио дальномерах приведены в табл. III.3.2.
III.3.7. Геодезический радиодальномер РДГВ
Геодезический радиодальномер РДГВ (рис. III.3.16) (радиодальномер геодезический с взаимозаменяемыми станциями) был разработай на основе дальномеров РДГ и ВРД37 и отличается от последних тем, что в нем любая станция дальномера может выполнять функции ведомой и ведущей станций.
Рис. III.зло
Станции дальномера имеют следующую блок-схему (рис. III.3.17): 1 и Г приемо-передающие антенны станции, работающей в режиме ведущей, и станции, работающей в режиме ведомой. Опи представляют собой полуволновые вибраторы с рефлектором. 2 и 2' клистрошше генераторы электрических колебаний несущих частот, частоты колебаний которых могут изменяться в пределах 28003200 МГц и различаются на 33 МГц на ведущей и ведомой станциях. 3 и 3' термостатированные кварцевые генераторы колебаний метрических частот: А = 10 000, А* = 9999, А" = 10 001, В = 9990, В' = 9989, С = 9900, С' = = 9899, D = 9000, D' = 8999 кГц. 4. и V микрофоны и 5 и 5'
телефоны для дуплексной телефонной связи между станциями, 6 и 6' кристаллические смесители, 7 и Т ~ усилители промежуточной частоты, 8 и <S' частотные детекторы, 9 и 9 амплитудные детекторы, 10 и 10' индикаторные блоки, 11 и 11 электроннолучевые трубки.
Станции дальномера могут работать в режимах измерения и разговора. В режиме измерения станции работают следующим образом. Колебания генератора 2, модулированные но частоте
Ведущая станция Ведомая станция
Рис. III.3.17
колебаниями одной из частот А, В, С или D модулятора 3, излучаются передающим диполем антенны 1 ведущей станции. Колебания ведущей станции принимаются приемным дииолем антенны а' ведомой станции и поступают в смеситель 6'. Колебания клистрон- ного геператора 2' этой станции, модулированные по частоте одним из колебаний А*, А", В', С' или D' модулятора 3', излучаются передающим диполем антенны 1' этой станции. Излученные передающим диполем колебания улавливаются приемным диполем этой стаиции и также поступают в смеситель 6', Таким образом, в смеситель 6' поступают колебания несущих частот, различающихся на 33 МГц, модулированные по частоте разными частотами, В результате на выходе смесителя обраауется синусоидальный сигнал промежуточной частоты, модулированный по амплитуде с частотой, равной разности частот модуляции, т. е. 1 кГц. Этот сигнал поступает и усилитель промежуточной частоты 7', а затем в амплитудный детектор 9'. Амплитудный детектор имеет два выхода, управляемых переключателем: +л и it, сигналы с которых сдвинуты по фазе на 180°. Синусоидальный сигнал низкой частоты с выхода детектора поступает в индикаторный блок 10', в котором в момент прохождения сигнала через нуль образуется импульс. Изображение этого импульса
получается на экране электроннолучевой трубки 11'. Импульс положительной полярности с индикаторного блока подается на кли- стронный генератор 2' и также модулирует его по частоте. Таким образом, клистронный генератор ведомой стапцпн оказывается модулированным дважды: синусоидально с одной из частот А*, А~, В', С илп D' и импульспо с частотой следования импульсов 1000 пмп/сек. Такие дважды модулированные по частоте колебания ведомой станции принимаются приемным диполем антенны 1 ведущей станции. В пего же поступают н колебания, излучаемые ведущей станцией. Колебания различных несущих частот, модулированные с различными частотами синусоидально и импульсно, образовавшиеся в приемном диполе, направляются в смеситель 6. В смесителе образуется сигнал частоты 33 МГц, модулированный синусоидально по амплитуде с частотой 1 кГц и модулированный импульсно по частоте с частотой следования 1000 имп/сск. Этот сигнал поступает в частотный детектор 8 и амплитудный детектор 9. На выходе частотного детектора образуются импульсы с частотой 1000 нмп/сек, а на выходе амплитудного детектора синусоидальные колебания частоты 1 кГц. Синусоидальные колебания поступают в индикаторный блок 10 и испольауются для получения круговой развертки на экране электроннолучевой трубки 11. Импульсы также поступают в индикаторпый блок 10, а затем на модуляторный электрод электроннолучевой трубки и запирают ее на время действия импульса. В результате в развертке образуется разрыв. Экран трубки снабжен круговой шкалой, содержащей 100 делений, по которой определяется место разрыва. При работе станций в режиме разговора, прп соответствующем положении переключателя, к клистронным генераторам 2 и 2' оказываются присоединенными усилители низкой частоты с микрофонами 4 и 4', а к частотным детекторам усилители низкой частоты с телефонами 5 и 5'. Вместе с радиостанциями в одном кожухе смонтированы блоки пн- танпя в виде преобразователей постоянного тока аккумуляторных батарей напряжением 12 В в постоянные токи напряжений, необходимых для нормальной работы радиостанций.
В комплект дальномера входят три станции. Источником электрического питания дальномера служат аккумуляторные батареи напряжением 12 В. Для зарядки аккумуляторов служит выпрямитель и бензо-электрнческий агрегат.
Геодезический радиодальномер «Луч» (рис. III.3.18) разработан в Центральном научно-исследовательском институте геодезии, аэрофотосъемки и картографии.
В этом дальномере приемо-передатчик и индикатор выполнены отдельно И могут соединяться кабелем длиной до 25 м. Приемопередатчик может устанавливаться на мачте необходимой высоты, обеспечивающей взаимную видимость между двумя станциями. Управление прпемо-передатчпком и производство измерения производятся при помощи индикатора, расположенного внизу. Дальномер работает следующим образом (рис. III.3.19). Колебания высокой частоты (86008900 МГц) клистронного генератора 1 ведущей станции, модулированные по частоте колебаниями метрической
частоты термостатированного кварцевого генератора 2, излучаются антенной 3 этой станции и принимаются антенной ведомой
станции 3'. Антенной этой станции принимаются также колебания клистронного генератора 1' другой высокой частоты, модулированные но частоте колебаниями термостатированного кварцевого генератора 2'. Колебания, принятые антенной 3', направляются в смеситель 4', на выходе которого образуются колебания промежуточной яастоты, модулированные пр амплитуде. Эти колебания поступают в усилитель промежуточной частоты 5', а с него ';в амплитудный детектор 6' и частотный детектор 7'. На выходе амплитудного детектора 6' образуются синусоидальные колебания частоты, равной разности частот модулирующих колебаний, т. е. 1 кГц. Последние поступают в усилитель 8', а с него в частотный модулятор 8". Колебаниями этого модулятора модулируются по яастоте колебания вспомогательного генератора 9' колебаний частоты 83 кГц. Ко- Рис. ш.3.18 лебания последнего посту
пают в клистрониый генератор 1' и вторично модулируют его по частоте. Таким образом, колебания генератора Г оказываются модулированными по частоте
дважды. Этп колебания излучаются антенной 3' ведомой станции и принимаются антенной 3 ведущей станции. Последней принимаются также и собственные колебания этой станции. Принятые колебания поступают в смеситель 4, затем в усилитель промежуточной частоты 5, а с него в амплитудный 6 и частотный 7 детекторы. На выходе амплитудного детектора образуются колебания частоты
Дальномер DM-20 (рис. III.3.20) состоит из двух приемо-пере* дающих станций, каждая из которых может быть и ведомой и ведущей. В качестве источников питания, вставляемых в при- емо-передатчики, могут быть испольэовапы 12-вольтовые аккумуляторные батареи: свинцовые весом 3,6 кг на 3 часа работы, никелево-кадмиевые весом 3,2 кг на 3 часа работы; серебряные весом 0,8 кг на 2 часа 30 мин работы. Масса всего оборудования каждой станции с указанными источниками питания около 26 кг.
Восемь фиксированных несущих частот станций лежат в диапазоне 10 000
7,3500; 7,4850 и 7,4985 МГц позволяют измерять полное время распространения сигналов при расстоянии до 100 км.
Индикатором измеряемого Рис- Ш.3.20
расстояния служит цифровое устройство, показания которого используют для получения сразу расстояния в сантиметрах при некотором стандартном показателе преломления воздуха. При необходимости оно может
быть исправлено аа отличив температуры, давления и влажности воздуха от принятых для стандартного показателя преломления.
Дальномер DI50 (рис. III.3.21) состоит из двух приемопередающих станций, каждая пз которых может быть как ведомой,
так и ведущей. Станция состоит из двух отдельных блоков передатчика и блока управления и измерения. Блоки могут быть разнесены па расстояние до 15 м. Масса передатчика 7,5 кг, блока управления и измерения
Результат измерения расстояния, выраженный в сантиметрах, получают на цифровом индикаторе. Он отнесен к метеорологическим условиям: температура воздуха 12° С, давление 745 мм рт. ст., относительная влажность 76% (показатель преломления воздуха 1,000320).
Блок управления и измерения снабжен программным переключателем, при помощи которого (без участия наблюдателя на другой станции) часть расстояния, меньшая 1 м, может быть получена повторно. Измеренное расстояние может быть исправлено поправками за отличие темиературы, давления и влажности воздуха при измерениях от принятых средних.
Для измерения расстояния станции радиодальномера устанавливают на конечных точках линии, направляют одну на другую, включают и между ними устанавливают радиотелефонную связь. Оператор станции, исполняющей роль ведомой, настраивает ее на частоту ведущей станции, пользуясь радиотелефоном. После настройки уточняется направление станций друг на друга по силе принимаемых сигналов станций. После этого в течение
Каждый прием измерения линии состоит из приближенных (грубых), точных и вновь приближенных измерений. При приближенных измерениях на ведущей станции получают отсчеты по шкале электроннолучевой трубки А*, А~, В, С и D при работе станций на метрических .частотах А, В, С a D п соответствующих им частотах А у, А~, В', С' ий1. Затем на обеих станциях измеряют температуру, давление и влажность воздуха. Оиератор ведомой станции передает пх по радиотелефону на ведущую станцию.
Из отсчетов А+, А~, В, С и D образуют разности А* В, А* С и А* D, а также А* А~ и из полученных чисел образуют япсло, дающее приближенное время распространения сигналов па пути распространения. Последнее получается в наносекундах, если слева направо выписать число десятков в разностях А*В, А* С, А*D и приписать к ним полуразиость А* А~. Если измеряемое расстояние больше 15, 30, 45 км, то слева от этого яисла надо приписать соответственно 1, 2 или 3.
Затем приступают к точному измерению времени распространения для уточнения содержащегося в нем числа единиц наносекунд. Для этого при 1020 различных, следующих через равные интервалы, значениях несущих частот, изменяемых на ведомой станции, и при частотах модуляции А, А+ , А~ получают при каждой несущей частоте по четыре отсчета А+, А~, А-л и А +11. После этого вновь измеряют температуру, давление и влажность воздуха, а затем повторяют приближенные измерепия расстояния.
Для контроля степени ослабления влияния отражений электромагнитных колебаний от подстилающей поверхности на результат измерения полезно построить график результатов точных измерений, полученных на различных несущих частотах. По оси ординат графика откладывают результаты точных измерений времени в наносекундах, а по оси абсцисс соответствующие различным несущим настотам отсчеты по шкале объемного резонатора клистропного генератора. Вид графика, напоминающий один период синусоиды, указывает на достигнутую компенсацию влиянии отражений в окон- аательном среднем результате измерения. Отличие графика от синусоиды указывает на неполную компенсацию упомянутых влиянии; при этом в зависимости от необходимой точности измерений могут потребоваться дополнительные измерения па других несущих яастотах, перемепа мест расположения станций или измепение их высот над землей. Длины сторон при измерениях в государственной полигонометрии измеряют шестью приемами, распределяемыми по возможности равномерно на два дня. Стороны поли тонометрии 3 и 4 классов измеряют тремя приемами в один день. Средние из четырех отсчетов (А+, А~, А +1, и А _л), получении* на каждой несущей .частоте, должны лежать в пределах 4 нсек. Длины сторон, вычисленные по результатам измерений в различных приемах, не должны расходиться более чем на 8 см при измерениях в ходах полигонометрии 2 класса и более 10 см в полигонометрии 3 и 4 классов. Если указанные допуски не соблюдаются, то производят дополнительные измерения двумя приемами, а за окончательный результат измерений принимают среднее из всех полученных результатов.
В. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ, ИЗМЕРЕННЫХ СВЬТО- ИЛИ РАДИОДАЛЬНОМЕРАМИ.
ПОПРАВКИ В РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ
Расстояние, измеренное свето- или радиодальномером, приведенное к центрам знаков и на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера, вычисляется по формулам
Л Dq + + 6ft + б/, + 6 с + 6r + бд- -j- 6L
или
d = + вс4~
где Dо расстояние, отсчитанное по указателю расстояний дальномера, соответствующее некоторому стандартному значению скорости распространения электромагнитных колебаний в воздухе £>о или стандартному показателю преломления воздуха п0 или стандартной длине волны модуляции колебаний Яц; D0 может быть также вычислено по формуле, соответствующей дальномеру, с упомянутыми значениями v0, по или ?.0; D0 расстояние, полученное по значению скорости распространения электромагнитных колебаний v или показателю преломления п или длине волны модуляции колебаний А,, имевшим место фактически во время производства измерений; б„ метеорологическая поправка за отличие фактических скорости распространения электромагнитных колебаний v, показателя преломления воздуха п или длины волны модуляции X от принятых при получении D; б* постоянная поправка дальномера; f)h поправка за приведение измеренной линии к горизонту; 8С, Ьг поправки за центрировку приемо-передатчика и отражателя светодальномера или станций над концами измеряемой линии; бд поправка за приведение измеренного расстояния на референц- эллипсоид; поправка за приведение измеренного расстояния на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера.
При вычислении некоторых поправок следует принимать приближенное значение измеренного расстояния, исправленное некоторыми предыдущими поправками. В связи с этим применяют следующие обозначения:
Р\ “Ь йа-|- = Dv D„ =/),+«*+ вв + в,.
=^п + бн, d = Z>n,+6L.
Показатель преломления воздуха для света nL вычисляется по формулам
^ ЛП 7 П07ЙП/ , 16.288 , 0,136 («о - 1) • 10^ = 2876,04 + р f- ,
» , nG~i Р 55е tn_a
nL~i+ 1 + ctf 7бо 1 + oU -1° •
Показатель преломления воздуха для радиоволн гаи вычисляется no формуле
.ч <03,49 , . , 86,26 / . , 5748 \
(nR-l)-10" = - j, (Р е) Н \Х + ^Г~)е =
103,49 ,/ 17,23 , 495822\
= у Р+\ f 1Т2~)е'-
В этих формулах: nG групповой показатель преломления сухого воздуха при температуре 0° С и давлении 760 мм рт. ст., А. эффективная длина волны света, который используется в дальномере, в мкм, nL показатель преломления света в воздухе при температуре t9 С, давлепии р в мм рт. ст. и абсолютной влажности е в мм рт. ст., а коэффициент объемного расширения воздуха, равный 1/273,16 = 0,003661, ид показатель преломления воздуха для радиоволн, Т абсолютная температура в градусах Кельвина, Т = t° + 273,16. Абсолютная влажность воздуха в вычисляется по формуле
* = £' + -£■ (tc-lM) (1 + -^8_).
где Е' давление водяных паров, насыщающих воздух, при температуре влажного термометра tBJI (выбирается из Психрометрических таблиц), р давление воздуха в мм рт. ст., а постоянная психрометра Ассмана, равная 1510 при положительных температурах влажного термометра и 1756 при резервуаре влажного термометра, покрытом льдом, f0 и 1вл температуры сухого в влажного термометров психрометра Ассмана.
Если скорость распространения света в пустоте с, а показатель преломления воздуха л, то скорость распространения электромагнитных колебаний в воздухе,
_ с п
При вычислении метеорологической поправки могут оказаться полезными следующие соотношения:
е
и |
_ "0 |
о У0 |
_ По п |
~»о |
1 п |
“о |
п * |
X |
V |
X. Хо |
_ V 170 |
Х-о |
~~ "0 ' |
h |
щ |
т |
п |
X То |
_ ЛПо |
to |
По * |
То |
П0 |
где п показатель преломления воздуха, v скорость распространения электромагнитных колебаний, X длина волны модуляции, х ■ время, затраченное колебаниями на пробег двойного измеряемого расстояния. Эти величины соответствуют температуре, давлению и влажности воздуха, имевшим место во время измерений, или расстоянию D0, по, ь»0, Х0 и то те же величины, соответствующие расстоянию D0.
При вычислении метеорологической поправки вместо показателя преломления воздуха пользуются также модулем N показателя преломления воздуха
N= (п 1) • 106-
Для сухого воздуха при t = 0° С, р = 760 мм рт. ст. и длинах волн света 0,56 мкм и 0,63 мкм модули показателя преломления соответственно равны 303,8 и 300,0.
Для радиоволн при тех же метеорологических условиях N = = 288,0.
Метеорологическая поправка может быть вычислена также но формуле
б„ = (ЛГ0 ЛГ) Л0.10-».
Здесь 8и получается в миллиметрах, если D0 выражено в метрах.
Постоянная поправка дальномера 6ft] приводится в паспорте прибора и для светодальномеров может даваться отдельно для приемо-передатчика 6Д и отражателя 6£. В этом случае
6ft = 6/t 6ft.
Постоянная поправка радиодальномера должна быть взята та, которая соответствует паре станций, участвовавших в измерении данной линии.
Поправка за приведение линии к горизонту 6/, вычисляется по формуле
h2 hi b~ 2D: 8Z)j>
где h превышение приемо-передатчика над отражателем свето- дальномера или между станциями радиодальномера.
Поправки за центрировку приемо-передатчика 6С и отражat- теля 6Г вычисляются по формулам
Q ■ h2 ос = е cos 0 ■
2D-, e cos 0 '
6r=^lCos01 + 2T_L,
или, если е и e?i < 1 м, то по формулам
Ьс = е cos 0,
6Г = е± cos 01.
Здесь е, <?i, 0, 0j элемепты центрировки приемо-передатчика и отражателя, а значения Ли указаны па рис. III.3.22,
Поправка ва приведепие лппии на поверхность относимости 6Л вычисляется по формуле
_2Ь
л г, Нт hm , г, / Rm-thmY
24 R*a
"н^+)■
- -D,, - (""„t-")] +1,020!, •»-,
где /Лп средняя высота измеренной линии над уровнем моря, hm средняя высота геоида над референц-эллипсоидом, Нл
Рио. 1П.3.22
средний радиус кривизны нормального сечення референц-эллгшео- чда в азимуте измеряемой линии в точке со средней широтой линии Вщ. Поправка аа приведение измеренной линии на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера 6 ь вычисляется но формуле
где D [| ] длина линии на поверхности референц-эллипсоида в километрах, Ут средняя ордината линии, ДУ разность ординат концов линии, Rm средний радиус кривизны референц- эллпнеоада. Второй член формулы учитывают при удалении линии от осевого меридиана, превышающем 150 км.
Некоторые дальномеры снабжаются специальными таблицами для вычисления расстояний и поправок.
Модули показателя преломления света в воздухе для длин волн света А. = 0,50ч-0,85 мкм прп температурах t = 40 + 509 С; абсолютную влажность воздуха е про температурах от 39 до +409 С; модули показателя преломления воздуха для радиоволн ори температурах от 39,9 до +49,9- С; величины v/2 для радиоволн при N = 180-ь 379, а также таблицы поправок за центрировку станций, наклон линии, аа приведение измеренных расстоянии на уровень моря, а также на плоскость в проекции Гаусса- Крюгера имеются в [4] и [5].
Р. РАДИОГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Под радиогеодезической системой понимают несколько радиостанций, взаимодействующих друг с другом так, что положение одной нз них может быть определено, если иоложение других
известно. Радиогеодезические системы предназначены главным образом для определения местоположения движущихся объектов. Такими объектами в геодезической практике могут быть: самолет, выполняющий аэрофотосъемку, судно, производящее гидрографическую съемку. Радиогеодезические системы широко применяются также при геофизических разведках с самолетов и судов. Радиогеодезические системы, подобно радионавигационным системам воздушной и морской павигяции, позволяют определять местоположение объектов, но отличаются от пих более высокой точностью, меньшим весом и габаритами и потребляемой энергией.
Рио. [II.3.23
Рациогеодезпческие системы различают по виду измеряемых ими величин, определяющих местоположение. Такими величинами, определяющими положение объекта на поверхности земли, являются: два расстояния от двух известных У\д пунктов до определяемого, две разности расстояний от определяемого до трех заданных пунктов.
При определении местоположения объекта, находящегося над Землей, одним расстоянием является высота. Опа определяется яаще всего при помощи радиовысотомера. Если две другие величины, необходимые для определения положения объекта и определяемые системой, есть расстояние его от двух известных пунктов, то система называется круговой. В этом случае положение объекта или его точки надира определяется пересеченном двух окружностей с центрами в известных пунктах А и В и с радиусами rt и гг (рис. III.3.23). Если пренебречь эллипсоидальностыо Земли п полагать ее шаром, то указанные окружности будут сферическими, а если точность измерений и расстояния rt и га позволяют, то они могут быть приняты плоскими. Координаты объекта или его точки надира в этих случаях могут быть найдены по формулам для вычисления координат пункта, определяемого линейной засечкой на сфере или на плоскости.
Если положение объекта определяется при помощи измерения двух разностей расстояний т\ г2 п г3 г2 его от пунктов А', В а С, В (рис. III.3.24), то положение его или точки надира определяется цересечением двух сферических гипербол с фокусами
в точках А, В и В, С, если пренебречь эллипсоидальностью Земли п полагать ее шаром, или пересечением плоских гипербол, если точность измерепий и расстояния rit г2 и лэ позволяют пренебречь сферичностью Земли. Такие системы называют разностными или гиперболическими. Координаты объекта или его точки надира в атом случае находят из решения задачи фазового зонда.
Радиогеодезпческие системы обычно позволяют измерять пе сами расстояния Г\ и г2 или разности расстояний гх г2 и г3 г2,
а их прирагцейия Дrt = гх, Дг2 = г2 г2 или Дг12 = = W г'*) ~ (''1 г2), Дг82 = (гз ri) (rs г2), соответствующие перемещению объекта из пункта М с известными координатами в пункт М' с неизвестными координатами (см. рис. III.3.23, III.3.24). Необходимые для определения координат пункта М' расстояния или разности расстояний находят по формулам
»,J = 7,i + Ar1, г2 = Г2 + Дг2,
Ту = Г1 Г2 + ДГ12> г3г2 = г8 г2 +ДГЭ 2-
Измерение расстояний, их приращений или изменения рав- постей расстояний могут быть выполнены импульсным или фазовым методом. В зависимости от метода измерения расстояний или разностей расстояний системы могут быть импульсными или фазовыми.
Работа радиогеодезической системы при определении положения движущегося объекта, например аэрофотоаппарата на самолете при аэрофотосъемке, связывается и синхронизируется с работой других устройств, например затвора, так, чтобы регистрируемые системой величины, определяющие положение объекта, относились к моменту срабатывания других устройств (в приведенном примере к моменту экспозиции аэрофотоаппарата). Если эта синхронизация неполная, то из специальных исследований определяют
Таблица III.3.3
Основные характеристики радиогеодезических и некоторых радионавигационных систем
Система |
Страна |
Тип |
Вид работы |
Частота сигнала, МГц |
Дальность действия, км |
Средняя квадр атичео- кая ошибка определения положения, и |
Поиск |
СССР |
Гиперболическая |
Фазовый |
2 |
150 |
5-15 |
Хайран |
США |
Круговая |
Имульсный |
300 |
До 1000 |
5-10 |
Хай-Фикс (А, В) |
Англия |
Гиперболическая или круговая |
Фазовый |
2 |
55 |
3-10 |
Декка |
Англия |
Гиперболическая |
Фазовый |
0,1 |
200 |
10-150 |
Декка-Лямбда |
Англия |
Круговая |
Фазовый |
0,1 |
400 |
875 |
Торан |
Франция |
Гиперболическая |
Фазовый |
1.4-2 |
150 |
5-10 |
Рана Н |
Франция |
Гиперболическая |
Фазовый |
2 |
200 |
5-20 |
Рана G |
Франция |
Гиперболическая или круговая |
Фазовый |
2 |
60 |
5-20 |
Лоран В |
США |
Гиперболическая |
Фазовый |
2 |
150 |
510 |
Доран С |
США |
Гиперб одическая |
Импульсный |
0,1 |
1200 |
30-300 |
Несущие |
Способ реги |
Даль- ность |
Средняя квадратичес |
Число станций |
Примечания |
||
Система |
Страна |
частоты, |
страции резуль |
действия, |
кая ошибка |
в системе |
|
ггд |
татов измерений |
км |
измерений расстояний |
||||
Аэродист |
ЮАР |
1,2 + 1,5 |
Механичес |
240 |
±(1 м + |
3 наземные, |
D длина ли |
MRC 2 |
кий, перфолента |
+£•10-5) |
1 самолетная |
нии, м |
|||
Аэродист |
ЮАР |
1, 2, 3 |
Магнитная |
200 |
±(1м + |
3 наземные, |
Частоты по вы |
JMRC 3 |
или 10 |
лента, в гото |
+3-1>-10-в) |
1 самолетная |
бору заказчика |
||
вом виде для ввода в ЭВМ |
|||||||
Гидродист |
ЮАР |
3 |
40 |
± 1,5 м |
2 береговые, |
||
MRB 2 |
± (1 м + |
1 набортная |
|||||
Гидродист |
ЮАР |
1, 2, 3 |
30 |
+3-1>-10-в) |
2 береговые. |
||
MRB 3 |
или 10 |
1 набортная |
|||||
Самолетный |
СССР |
1.2 |
Фотографичес |
250 |
± (1 м + |
3 наземные, |
Скорость само |
радиодально |
кий, при |
+D • 10-5) |
1 самолетная |
лета до 500 км/ч |
|||
мер РДС |
помощи ЭЛТ |
||||||
Автотейп |
США |
2,93,1 |
Цифровой |
0,1-100 |
± (0,5 м+ |
2 наземные. |
Подвижная стан |
DM-40 |
отсчет в метрах |
+ £•10-6) |
1 подвижная |
ция может быть установлена на вертолете, судне или автомобиле. Скорость перемещения подвижной станции до 150 км/ч |
поправки, позволяющие получить координаты объекта в момент Срабатывания соответствующих устройств.
В табл. III.3.3 приведены основные характеристики фазовых и импульсных радио геодезических, а также некоторых радионавигационных систем, используемых для геодезических местоопределе- ний, а в табл. III.3.4 некоторые характеристики ультракоротковолновых радиогеодезических систем, разработанных на основе геодезического радиодальномера.
Гиперболическая радио геодезическая система «Поиск» (рис. III.3.25) состоит из станций: двух боковых 1 ti 3 базисных станций и центральпой 2 базисной станции, ретрансляционной станции 4, устанавливаемых в пунктах с известными координатами,
5
и приемной станции фазового зонда 5, устанавливаемого на объекте, положение которого ощределяется. Система работает следующим образом. Центральная оазисная станция 2 попеременно с частотой 48 раз в секупду излучает колебания двух разных частот fy «г 2200 кГц (Хх «=<136 м) и /2 2300 кГц (^ 130 м). Боковые базиспые станции 1 и 3 непрерывно излучают колебания яастот /х + Д/j и /2 + Д/21 ГДе Д/i = 460 Гц и Д/2 = 660 Гц.
Два приемника ретрансляционной станции принимают колебания частот /t и fx -f- Д/j и /2 и /2 + Д/г, излучаемые центральной базис- пой станцией и соответственными боковыми. В смесителях приемников этой станции фильтрами Ф выделяются колебания частот Д/, и Д/г. Колебаниями этих частот, в соответствии с тактом работы центральной базисной станции, модулируются по амплитуде колебания передатчика ретрансляционной станции, работающего па частоте / = 2700 кГц. Колебания центральной базисной станции и близкие им по частоте колебания боковых станций принимаются двумя соответственными приемниками фазового зонда. Третий приемник зонда припимает колебания ретрансляционной станции. В результате смешения колебаний двух разных частот на выходах
Рио. П1.Э.26
первого и второго приемников зонда образуются колебания разностных частот Д/i и Д/2, которые выделяются соответственными фильтрами Ф. В результате амплитудного детектирования па выходе третьего приемника образуются также колебания частот Д/, и Д/2, которые разделяются также фильтрами Ф. С выхода фильтров эти колебания поступают в соответствующие каналы фазометра ФМ, а с него в регистратор фазовых циклов. В нем соответствующие разности фаз колебаний частот Дfx и Д/2 преобразуются в расстояния между двумя наклонными линиями на фазограмме (рис. III.3.26). Расстояние между смежной парой наклонных линий соответствует одному фазовому циклу. На фазограмме могут быть отмечены начало и конец маршрута, соответствующего перемещению фазового зонда из пункта М в пункт М' (см. рис. III.3.24). Соответствующее этому перемещению приращение разности расстояний по первому каналу равно
(гг - г») - (rt- r2) = Аф1 + [(Р' г£) (Р Г)1-
1
Здесь &1 = цена одного фазового цикла в линейной мере,
11
v скорость распространения радиоволн в воздухе во время измерений, Дфх яисло фазовых циклов, соответствующее перемещению фазового зонда из М в М', Д(о1 = 2я Д/1( = 2я/4. Цена фазового цикла вычисляется по приведенной формуле с подходящим для средних метеорологических условий и района работ эпачением у или определяется экспериментально путем перемеще- пня фазового зонда из одного известного пункта в другой. Второй член в правой части равенства поправка за положение ретрансляционной станции. Приращение разности расстояний ио второму каналу равно
(гз г2> ('•з гг) = *2 Дфг + 4т2-1(р''•з) (Р '■з)]-
(|>з
Здесь &г, Дф2, Дсо2 и ш2 указаппые выше, но относящиеся ко второму каналу, величины.
III.3.14. Самолетный радиодальномер (РДС)
Круговая радпогеодезпческая система РДС предназначена для определения координат центров спимков прп аэрофотосъемке. Она состоит из одной ведущей и трех ведомых станций, из которых одновременно в работе участвуют две. Ведущая станция помещается на самолете, две ведомые в пунктах с известными коордипатами.
Системой измеряются два наклоппых расстояния от подвижной до двух наземных станций. Припцип работы каждой пары стапций, образованной ведущей и ведомой станциями системы, близок к принципу работы Станций геодезического радиодальномера. В отличие от последнего, однако, для образования сигналов использовапа не яастотная, а амплитудная модуляция несущих колебаний.
Система обеспечивает необходимую при аэрофотосъемке скорость регистрации результатов измерений, их однозначность и одновременное измерение расстояний от самолетной до двух или трех наземных станций.
Один канал системы работает следующим образом,
Передатчик самолетной станции излучает электромагпнтные колебания частот ~ 1,2 ГГц, модулированные по амплитуде высокостабильными колебаниями метрической яастоты. Наземная станция также излучает колебания того же диапазона, модулированные по амплитуде колебапиями стабильной яастоты, отличающейся от метрической яастоты па 1,5 кГц. Частоты несущих колебаний соответствующих пар станций различаются на величину избранной промежуточной яастоты. Колебания самолетной станции принимаются наземной станцией и смешиваются с колебаниями последней. В результате в пей образуются колебания промежуточной яастоты, модулированные по амплитуде колебаниями, частота которых
Для измерения времени, соответствующего измеряемому расстоянию, в самолетном радиодальномере применена электроннолучевая трубка с ждущей линейной разверткой. Для этого синусоидальные колебания каждого канала преобразуются в импульсы, которые подаются к электроду, управляющему яркостью электронного луча. До появления на этом электроде импульса от синусоида льпых колебаний трубка заперта. В момент поступления импульса она отпирается и на экране образуется светящаяся точка. Период развертки немного больше периода следования импульсов.
Рио. III.3.27
Поэтому на другом краю трубки образуется вторая светящаяся точка. Импульсный сигнал ведомой станции образует светящуюся точку, положение которой меняется при изменении расстояния между самолетной и наземной станциями. При работе системы экран трубки проектируется на движущуюся фотографическую пленку. На последней от двух пеподвижпых светящихся точек образуются изображения двух параллельных прямых линий па краях пленки, а от перемещающейся точки изображение наклонной линии между ними (рис. III.3.27).
Расстояние между параллельными линиями определяет масштаб шкалы индикатора. При скорости распространения радиоволн 299 965 км/сек в измеряемых расстояниях он равен 100 м. Индикатор обеспечивает регистрацию расстояний до двух и трех паземных станций. При двух наземных станциях па экране образуются три неподвижные светящиеся точки, а па регистрограмме соответственно три параллельные липни: одна у одного и две близкие друг к другу у другого ее края.
Для однозначного определения расстояния до 10 км па самолетной п наземпых стапцпях имеются по два кварцевых генератора, колебаниями которых могут модулироваться несущие колебания. Частоты этих модулирующих колебаний таковы, что цозволяют устаповить число километров п сотен метров в измеряемом расстоянии. Для исключения из результата измерений погрешности из-за задержки и искажений фазы и аппаратуре станций на наземных станциях имеется четвертый кварцевый генератор, частота которого образует с основной метрической частотой модуляции самолетной станции разность, равную по абсолютной величине разности основной частоты и частоты модуляции первого генератора наземной
станции, но противоположную ей по знаку. Работа модулирующих генераторов происходит по программе, определяемой электронным коммутатором. Момент начала работы коммутатора определяется внешним импульсом. Переключению частот модуляции на фотографической плепке соответствуют разрывы записи, по которым и определяется полное расстояние. Для получения отличия измеряемого расстояния от целого числа десятков километров необходимо из измерений па регистрограмме получить шесть величин Ot, 02У
А = %±-100,
(■§•§-)•100 при °1>0г
или
Й-+1)'100 "р“ °'<0» "-(■г.-й)-*00 при °>0
или
в=(-^“-^+1)100 при °4<0ъ вычислить числа А, Б и В. Затем к числу А необходимо последовательно слева направо приписать цифру десятков чисел Б и В. Полученное число даст указанное отличив расстояния в метрах при выбранной скорости распространения радиоволн, не исправленное ва а а дер жку сигналов и искажения фазы в цепях станций. Последняя поправка вычисляется по величинам 07, 08 и Ов, также получаемым по регистрограмме, по формуле
4->-т(1г+-гН)-т
Она придается к полученному выше числу с обратным знаком. Число десятков километров в измеряемом расстоянии должно быть известно. Порядок работ с самолетным радиодальномером при аэрофотосъемке описан в [7].
Д. РАДИОГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
При использовании точных круговых радио геодезических систем для создания опорных геодезических сетей поправка в измеренное расстояние за скорость распространения радиоволн вычисляется по формуле
Здесь п число точек от наземной до самолетной станции, разбивающих путь радиоволн между ними на п 1 отрезков, D измеренное расстояние, Np модуль показателя преломлении воздуха, соответствующий расстоянию, получаемому непосред- ствеппо из измерений, Ni модуль показателя преломления воздуха в середине соответствующего отрезка пути радиоволн. Последний вычисляется по формулам
Nl=Nl+6N -Kt,
N'^Ao+AiHi+AzHf + AaHf + AiHl (LII.3.3)
Kt = B0 + BLHt+ВгНf + B3Hf + BtHj, (II1.3.4)
6 N=Nm-A<>. (III.3.5)
где
Ni-N:
Nm = A0 + (III.3.6)
a JV( и K{ вычисляются по формулам (III.3.3) и (III.3.4).
Для высот до 9 км А0 = 330, А, = 48,ООО-10"®, At = = +3,860.10-е, а =, 0,14810-е, В0= 1, В, = -0,381-10-», Вг = +0,523-10-7, В3 = -0,239-10-11.
Необходимые для вычисления Ni высоты Hi точек пути распространения радиоволн вычисляются по формуле
Hi = Нн + Нс+Нн. Dt _ hR. + fcp|,
где HHvt Нс высоты начальной и конечной точек линии над уровнем моря; D{ расстояние от точки Я, до точки (; hRl и h(i поправки в высоту за кривизну Земли и пути радиоволн.
hRi = Di {D Di) -78,4-10'®, hpj = 0,5 Л/?и^+ЛВ(Х2 + • • • + AD<xi\ + 0,5 AZ)o({,
(*!= L_rA£>_L(re_i,5) + AZ> (я-2.5)-| h
n 1 L Рг Рз
+ДД 1,5+ AD 0.5"] ,
Pn-l (>n J
о2 = а1+-^-ДО,
Pi
аз^“1+(^+^г)лд
an = ocj + ( 1- ■ -+•••-! ^ Д D,
\ P2 1 Рэ Pn J
+ (Дх + 2 ВгЯ, + 3 В3Щ + 4В4Я?)1.10-«.
Так как для вычисления р( пеобюдпмо иметь Я(, я для вычисления ff( необходимо знать р;, то вычислепнп их ведутся последовательными приближениями. Прп вычислении Я/ в первом приближении принимают А, = О. Число точек п на пути распространения радиоволн зависит от длины линии, превышения между ее конечными пунктами, характера подстилающей поверхности и горизонтального градиента N. При измерении коротких расстояний (<3 200 км) над однородной поверхностью достаточно одного определения Ni в точке пути радиоволн с высотой 6001000 м относительно наземной станции. При прохождении радиоволн над гористой местностью или местностью с различным характером поверхности Ni следует определять по крайней мере в двух точках С высотами 500600 и 10001500 м над наземной станцией. Число точек п может доходить до 11. При етом ошибка в Ли не превысит 2-D-10-fl.
Поправка аа кривизну пути распространения радиоволн в указанном случае вычисляется по формуле
Д„ ■= -0,5£> (0.5а*+а* +... +аД_, + 0,5о$).
При использовании круговой радиогеодеэической системы для планового обоснования аэрофотосъемки поправка аа скорость распространения вычисляется по формуле
Ql (я,-яя) + 1<?2 (я?+2ясян+//*)+
+ 4 <?з (Я? + 3Я?Я„ + ЗЯ„Я» + Н%) + [-i- Ql +-£• Qi (He - Нн)+
+ -1- <?з (3HI+4НвНн+ЗЯЙ)1] D4 +
+1о Цт Q*+ Т Qr(Я+1,482+“По <?зДве*}} D ■ 10_,
Здесь
Qi = А\ + fliflJV, Qt = ^4.2BtfiNf Qt = + B$bN, Qi = Ai + Bit)N,
■ ■=^1+2^2-^ср+ЗрзЯ2р,
где Я средний радиус кривизны Земли п районе работ, Яер высота средней точки радиолуча,
гг Яс 4" Нн Г)-ь
Лер 5 г.
Поправка за кривизну пути распространения радиоволн может быть подсчитана по формуле
д - 1)3 f 24р■„ *
Ошибка определения поправки Aw по приведенной формуле Vjoo ооо расстояния.
Расстояние S па сфере радиуса Rm может быть вычислено по формуле
е_л Д~! + Я2 „ (Я,-яр» , д»
2Йт 2D "г 24'
где D измеренное расстояние, Н1 и Я2 высоты конечных точек линии над сферой.
Поправка за переход от расстояния S па сфере к расстоянию на реферепц-эллипсоиде S3 равна
S3-S = S* (2 cos2 Вг cos2 Ar, s,
где e второй эксцентриситет реферепц-эллипсоида, В' широта начальной точки дуги S, Аг'г ее азимут.
Для линий, направленных по меридиану при Вг = 55°, длицой в 100, 200, 300, 400 и 500 км эта поправка составляет 0,009, 0,072,
Если расстояние между копцами линии па референц-эллипсо- иде S, то ее длина d па плоскости в проекции Гаусса Крюгера
d = S -f- -f- AiS2 -}-Д1У3 -(-
где
§
A,Sl=TW + 'ЛУ2+y^ s
AS2 = IF +y^2-
flj и flj широты копцов линии, yjj yt, I,, xa ординаты и абсциссы концов линии, Вт средним радиус кривизны референц- эллиисоида в точке с широтой Вт. При S = 400 км и средней широте линии Вт = 55я ДSi не превосходит 3 см. При расстояниях, не превышающих 200 км, можно пользоваться формулой
где ут = 1/г (уг + уг), а Ду = уг у^ При этом погрешность редуцированного расстояния пе превзойдет 2,см.
Редуцированные на сферу разности расстояний равны
SiSi = DiХ>2 + б (Di D%),
5g Si = Z?3 + 6 (£>з Di),
где Dx Dt и D3 Ds разности расстояний, полученные из измерений, а
в (i?! - Д4) = -5^- l(H + Hi)Di-(H+Hl)D1} + ьКгп
* поправки, переводящие их иа сферу радиуса Rm.
Необходимые для вычисления поправок расстояния Dt,
D3 и высоту Н достаточно знать приближенно, Так, например, при Н{ = 1 км, Н = 6 км при ошибке поправки, не превышающей 1 м, расстояния Di = 200 км надо анать с ошибкой 810 км. С погрешностью 0,1 м при указанных расстояниях редуцированные на сферу разности расстояний будут совпадать с разностями расстояний, редуцированными на поверхность реферепц-эллипсоида.
Поправки б (Sj S2) и б (53 S2) в измеренные разности расстояний, за редукцию их на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера могут быть вычислены по формулам
б (*Si S2) = . (£1 [w]i, 45g [уу)г, 4).
6/i т
fl (S3 52) = 1 ■ (5* [УУ]з, 4^2 [wh, 4)»
6Л7П
где
[vy\ii = y^ + myi+y),
Rm средний радиус кривизны реферепц-эллипсоида в точке со средней широтой района работ, уц ордината определяемого пункта.
Даже при j/4 г=» 400 км расстояния S достаточно зпать с ошибкой, не большей 1,5 км.
Если координаты известных пунктов А и В равны хА, уА, xBt ув, а координаты определяемого пункта С равны хс, ус, то
хсхА = р созодВ -\-h sin аАВ,
хсхв =g cos aAB + h sin аАВ,
У с - У А = р sin аАВ - h 003 аАВ
Uq ув = 9 sin ®АВ ^ аАВ
где
рг1 cos А (г J г| + d2): 2d, g = r2cosB = (r^ + r|+d2) : 2d,
А и В углы треугольника ABC, a d длила стороны АВ,
7. Вычисление координат пунктов по измеренным длинам сторон сферического треугольника
Если сферические координаты исходных пунктов <рд, и фД) Кв, а отнесепные к поверхности сферы расстояпия от определяемого пункта Р до пунктов А а В соответствен по г, и rg, то
sin фр = sin cos rj + cos фд sin rj cos (Aab A),
sin r1 sin A a d sin r2 sin ABJ3 sin(Xp X , sin Xp) = ,
\ P А) СОЭфр V B P> СОвфр *
= ^A + (*"P *a) ~^B O'В ^p)
где
S1Q
eI“^B = ^5 е°5Фв,
sin (X„ %A)
Sln Aba= C0S ф4
cos S = sin фл sin Фв + cos ф4 cos фв cos (XB XA),
COS Го cos Ti cos S _ cosri cos r2 cos 5
cos Л = Ц , cos B = т r-^ .
sin sin S sm тг sm S
Если пространственные координаты трех заданных пунктов А, В я С равны хА, уА, zA, хв, ув, zB, хс, ус, zc, а пространственные, координаты определяемого пункта Р равны хр, ур, zp, то Ах = хр xg = g1 + hi Az,
A!/ = ypyB=g2+h2 Az,
8десь
Az = zp zB={-N + VN* ML): M.
"ch У Afz h У Агг~Усг A
Bl хаУс~хсУA ' 1 хаУс~ХсУа *
_ ^д/г xcfl ^ XCZA~XAZC
ег ~ xaVc - хсУа ' ~ хаУс~хсУа
Ь = \(г*-г\+а\г), ^ = y(r?-rl + dfa), M=\+h*+h\,
N = gih1 + g2h2, L = g\ + g\ r\, r1*=AP, гг = ВР, r3 = CP, dii = AB, dit-=AC. Контроль:
Ax^-\-Ayi-\-Ai'l = r\.
Приближенные прямоугольные координаты определяемого пункта могут быть получены по гиперболическим при помощи, планшета с гиперболической сеткой. Если ети координаты хр. и yp,t то координаты определяемого пупкта в каждом приближении вычисляются по формулам
хр = хр, + 6х, ур=ур, + ьу,
^ __ 6г IГС-1 6?~2га1 Qy 5г2т1 бгiffl.I
ТП4П1 9
ЪГ1 = (riгг) (ri rs). &гъ = (гэ г 2) (Гд г£), f7l\ ■ COS Cty^p/ ■ COS p/f ffl<i COS Ct^p> COS pf 1
Sill Ot^p/ Sill pf, /Itj Sill tt^p# __sin Ctgp»(
Расстояния rj, Гд и дирекционные углы «др*, и аСР, находят решением обратной геодезической задачи по. приближенным координатам определяемого пункта и координатам базисных пунктов А, В и С.
Сферические координаты определяемого пункта Р (рис. III.3.28) могут быть вычислены по формулам
sin <fp = sin фв cos r2+ cos фв sin r2 cos p,
. . sinr2gin(i
s,n(Xp-XB)=-
Xp = Я.в + (Яр
_ еда (rtr2)cqa Si cos (r 3 ra) cos S 2
^ r* sin Si cos ф!+ sin (Г!r2) = sin S2 cos (p2+sin (r8 r2) *
Ф1 = Р Pi, Ф2=р2 P. sin (P + 6) = -£■ cos 6,
. л , n cos (rir2) cos Si
1(70 = 4 . к = =4 ,
m, cos(r3r2)cos S2
m = к sin S2 sin p2 sin Si sin pi,
n = к sin S2 cos p2 sin Si cos Pi-
Рис. III.3.29
Рио. UI.3.30
V2
Средняя квадратияеская ошибка определения положения пункта круговой радиогеодезической системой может быть рассчитана по формуле
М=-£
где т средняя квадратическая ошибка измерения расстояний, а а угол, под которым из определяемого пункта виден базис системы. На рис. III.3.29 приведены окружности равных ошибок определения местоположений, соответствующие 1,5т, 2т, 3т, 4т, 5т.
Средняя квадратическая ошибка определения положения пункта при помощи гиперболической системы может быть рассчитана по формуле
У созесз _|_ cosec2 Щ-
где т средняя квадратическая ошибка измерения разностей расстояний от базиспых станций до определяемого пункта, а! и аг углы, под которыми видны бааисы системы из определяемого пункта. Сумма углов берется при вычислении ошибок положения пунктов в областях I и II, а их разность для вычисления ошибок положения точек в областях III и IV (см. рис. III.3.24). На рис. III.3.30 приведены кривые ошибок, равных 2т, 3т, 5т для системы с равными базисами, образующими углы 60, 120 и 180°.
При помощи круговых радиогеодезических систем может быть измерено расстояние тиежду двумя пунктами. Для этого на самолете размещается ведущая станция системы, а в пунктах, расстояние между которыми определяют, помещают ведомые станции. Во время полета самолета в направлении, пересекающем измеряемую линию (рис. III.3.31), вблизи линии, через одинаковые интервалы времени измеряются расстояния и st до наземных станций, а затем определяется минимальная Сумма наклонных дальностей (sx + + s*)mlnt соответствующая положению самолета в створе измеряемой линии. Если ближайшему к створу положению Самолета присвоить номер 0, а другие его положения до створа обозначить номерами 1, 2, . . . (п 1), п, а после пересечения створа соответственно номерами +1, +2, . . . +(ге 1), +л, то
Р = Р1+(*1+*г)о<
где
а рг, д п г находят на основании уравнений поправок
Piи? +п2г +1-п =v-n
Pi - (n ■- 1) Я + (п - 1)2 Г + *_(„_!) =
+ J-1 =t»-l = "0
+ J+1 =v*l
Pi я Pi
Pl+9
+ r
Pl+(reI)?+ ("'• )2'"+in-l =Vn-l Pl+ nq + n2r + In =vn' Получаемые из них нормальные уравнения имеют вод \аа] Pi +[ас]г + [а/] = 0
[W]?+ +[ьг]=о
[йс\ Pi + [ес] r + [eZ] = 0.
Решение этих нормальных уравнений дает \cc][al\ [bl)[cl)
Pl= t66]2(аа] [с'
Ж.
4 1«>] '
[аа] [с/1 [66]
Г~ [6ЬР [аа\ [сс\ *
Если в обработку не вошло измерение С каким-либо номером (например, •15), то при применении приведенных формул не следует попользовать результат измерения с Симметричным номером (+15). Средняя квадратическая ошибка минимальной суммы дальностей вычисляется по формуле
1=± т/ и]
*+1)
V 2(п /с2)(2п
где к число пропущенных сумм.
После определения (^ + s2)min находят
sl,mln = (®l+s2)min s2i Ot ■ s2, mln = (sl + *2)rnin *1, Ot
которые исправляют поправками за кривизну пути и скорость распространения радиоволн способом, указанным в § III.4.4, п. 2, а затем редуцируют на шаровую или эллипсоидальную поверхность относимости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
8; В. А. Полевой. Математическая обработка результатов радиогеодезических измерений. М., «Недра», 1971. 343 с.
ОГЛАВЛЕНИИ Книга I
Стр.
Р А 3 Д Б Л I
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
ИЗМЕРЕНИЙ
А. Элементы теории вероятностей и математической статистики 7
Б. Теория ошибок измерений 38
Приложения 67
А. Параметрический способ уравнивания 72
Б. Коррелатный способ уравнивания . .
В. Дополнительные вопросы теории математической обработки геодезических измерений
Список литературы
А. Краткая характеристика основных вычислительных средств и эффективность их применения ....
Б. Приближенные числа и правила действий с ними при обработке информации на вычислительных машинах
В. Рациональные приемы и методы применения простейших вычислительных средств 136
Г. Клавишные вычислительные машины (КВМ) и их применение 141
Д. Электронные вычислительные машины (ЭВМ) . . 149
Е. Программирование для ЭВМ 162
Список литературы ■ 184
РАЗДЕЛИ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ГЕОДЕЗИЯ И ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АСТРОНОМИЯ
II. 1.1. Роль космической геодезии в системе геодезических работ 187
II. 1.4. Преобразования систем координат 194
Б. Сведения из теории движения ИСЗ 200
II-1-12. Влияние светового давления 215
Земли 220
Г. Наблюдения ИСЗ 230
и лазерных наблюдений 235
Д. Геометрические задачи космической геодезии . . 236
Е. Динамические задачи космической геодезии . . . 246
И.1.33. Общие соображения 246
Ж. Геодезические искусственные спутники Земли
(ГИСЗ) 253
3. Фундаментальные геодезические постоянные , . . 257
Список литературы 258
А. Гравитационное поле Земли 259
II-2.2. Потенциал силы тяжести 261
Б. Нормальное гравитационное поле Земли .... 269
В. Величины, характеризующие отличие действительного поля Земли от нормального ....... 272
Г. Определение фигуры Земли 286
и составляющих уклонений отвеса 288
Д. Определение геодезических координат относительно референц-эллипсоида 291
и высот кваэигеоида 295
Б. Методы измерений силы тяжести 300
Б. Астрономические инструменты и приборы .... 318
и азимутов к центру тригонометрического знака .... 343 Г, Приближенные астрономические определения . . 345
Список литературы 354
Список литературы 384
раздел ill
ОСНОВНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
(3. С. Хаимов) 387
ции 408
геодезических сетей 417
Г. Постройка геодезических знаков 421
Список литературы 424
Б. Геодезические радиодальномеры . 494
(II.3.13. Радиогеодезическая система «Поиск» .... 512
Д. Радиогеодезические измерения 516
Список литературы 527
Книга 2
Стр.
Б. Виды условий (условных уравнений), возникающих
в триангуляции [1, 3, 4, 6] 534
[1, 3, 5, 6, 9] 552
Г. Уравнивание геодезических сетей параметрическим способом 568
на ЭВМ 577
Д. Уравнивание типовых фигур трилатерации коррелатным способом . . . 583
MI.5. Государственная и городская аолигонометрия
(В. Г. Селиханович) 588
II 1.5.3. Основные расчетные формулы 591
Б. Линейные измерения подвесными мерными приборами 600
ских сетей 636
Список литературы 661
ГП.6. Гироскопические приборы (В. Ю. Торочков) 663
ТII.6.1. Назначение и измерительные возможности гироскопических приборов 663
Список литературы 689
Б. Тригонометрическое нивелирование 747
Г. Автоматическое нивелирование (В, И. Шиллингер) 762
Список литературы 769
РАЗДЕЛ IV
ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ И ФОТОТОПОГРАФИЯ ЕСКИЕ СЪЕМКИ
Стр.
, Список литературы V . ' 837
чук) 839
Б. Анализ аэроснимка 847
. IV.2.17. Привязка аэроснимков 868
Г. Стереоскопический метод измерений. Элементы
ориентирования снимков 873
Стр.
878
877
884
884
884
890
893
894
894
895
898
906
906
908
910
910
912
914
916
2.23. Определение элементов взаимного ориентирования и углов наклопа аэроснимков
Д. Дифференцированный метод стереотопографиче-
ской съемки
стереометре
съемки
лучей
Ж. Понятие о способах пространственной фототриангуляции
съемки
литной съемке
Список литературы
РАЗДЕЛ V
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПРП ИЗЫСКАНИЯХ И СТРОИТЕЛЬСТВЕ ИНЖЕНЕРНЫХ СООРУЖЕНИЙ
(Г. П. Левчук)
919
919
А. Изыскания сооружений. Крупномасштабные съемки площадок
Б. Трассирование лилейных сооружений 925
трасс с применением аэрометодов 935
В. Геодезические работы при водных изысканиях , . 945
течения 946
Г. Разбивка инженерных сооружений 958
Д. Геодезические работы при монтаже конструкций
п оборудования 984
вертикали 990
УЗД. Автоматизированные приборы для разбивки и выверки сооружений 993
Б. Наблюдения за деформациями сооружений .... 996
Список литературы 1008
РАЗДЕЛ VI ЭКОНОМИКА, ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВА (К. В. Бажанов)
Стр.
организациях ' . 1029
Список литературы . 1031
Предметный указатель 1032
СПРАВОЧНИК ГЕОДЕЗИСТА (в двух книгах)
Книга 1
Редакторы: В. Д. Большаков, Г. П. Левяук редакторы издательства: JI. М. Комаръкова, Н. Т. Куприна Переплет художника С. Н. Голубева Технический редактор А. Е. Матвеева Корректоры М. П. Курылева я В. П. Крымова
Сдано в набор 7/VI 1974 г. Подписано в печать 28/11 1975 г. Т-014В6. Формат 84 X lOBVss' Бумага JMi 2. Книга 1,печ. л. 17,Oil. .Уел. п. л. 28,58- Книга 1, уч.-изд. л. 30,30. Тираж 57 ООО экз. Заказ М 1058/456515. Цена 1 р. 75 к.
Издательство «Недра», 103633, Москва, К-12, Третьяковский проезд, 1/19 Ленинградская типография Л1 в Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
196006, г. Ленинград, Московский пр., 91.
2 (У1~У)2
3) при измерении углов в ходе, имеющем п вершин, вес суммы углов хода
2 Критерием является неравенство | [dll < 0,25 t I d I 1.
3 при измерении величин одним и тем же прибором, но различным числом приемов тц, вес средних значений pt = п;;
4 Критерием является неравенство | [d Yp\ 1 < 0,25 [ | d У1П ].
5 См. Е. Г. Ларченко. Механизация вычислительных работ. M.i Геодезиздат, 1956.
6 См., например, К. Г. Л а р ч е н н о. Раиот». м., Геодсзиздат. 1Э56, cip. 149154,
7 L, В, Н геодезические координаты (долгота, широта, нормальная оысота).
8 АТ приводится n § 1 «Объяснений к Астрономическому ежегоднику СССР»>.
9 Практической реализацией времени АТ-1 является всемирное коор- дипированиое время TUC; оио согласуется с TU-2 так, что (TU 2-TUCX <100 мсек.
10 Wagner С. A. Zonal gravity ha monies from long satellite arcs by a serriinumertc method. «J. Geopbys. Res», 1973, 78, N 17, p. 32723280.
11 Gaposchkln Е. М., Lambeck IC. Smithsonian standard ejrth (XI), 1999. «Spac. Kept. Smithaonian Astrophya. Observ.». 1970, N 315, XI, 95 pp.
12 JJ. П. Пеллинев. Геодезическое использование искусственных сцутняков Земли. «Итоги науки, Геодезия, 1965», М., 1967,
13 11 системе сдиииц СИ 1 гал =
10'* м/сек*.
14 П. и. Лукавченко. Таблицы и номограммы для вычисления поправок силы тяжрст . за рельеф местности при съемке с гравиметрами. М., Гостертсхиэдат, 1951.
15 В. А. Таранов. Зависимость аномалии силы тяжести от высоты при выводе средних гравиметрических характеристик больших площадей. 1р. ЦНИИГАиК, въш. 145. М., Геодеаиадат, 1962,
16 JI. И. и е л л и н “ н, О вычисления уклонений о веса и высот ква- аигеоида в горах. Тр. ЦНИИГАиК, вып. 176, М., «Недра», 1069.
17 Е. М. Орлова. Таблицы для учета нелинейности влияния высот топографического массива на уклонения отвеса, Тр. ЦНИИГАиК, вып. 157, М., «Недра», 19G5.
18 О. М. О с т а ч. К методике астрономо-гравиметричссного нивелирования. Сб. рефератов ЦНИИГАиК, вып. в, М., 1970.
19 Методика вычислений дается в соответствии с Наставлением по вычислению гравиметрических уклонений отвеса и высот квазигеоида. составленным Е. М. Орловой, 1972.
20 П. Ф. Шохин, Б. П. Ш и м б и р е в. Развитие гравиметрии и теории фигуры Земли. МИИГАиК. Известия вузов. «Геодезия и аэрофотосъемка». Вып. в, 1972.
21 Ю. Д. Буланже Отчет XV Генеральной Ассамблее Международного Геодезического и Геофизического Союза о работах, выполненных в Со- uctcko'.i Союзе u 19G71970 гг. в области геодезии и гравиметрии. Секция геодезии Советского геофизического комитета АН СССР, М., 1971.
22 К. л. П р о в о р о в. Кривые ошибок геометрической связи в триангуляции. Тр. НИИГАиК. т. X. Новосибирск, 1958, с. 4750.
23 В. А. Магницкий. К вопросу об оценке достоинства геометрического построения триангуляции. Сб. научно-технических и производственных статей. Вып. XVIII, М., Геодезиздат, 1948. 99 с,
24 См. Оценка точности ряда треугольников между исходными сторонами ®рвангуляции высшего класса, уравненного по углам эа координатные усло^ вия. Иав, вузов. «Геодезия в аэрофотосъемка», вып. 6, 1963, с. 7590.
25 Формула для поперечного сдвига выведена при условии, что уравнивание пропедено по направлениям,
26 С. А. Б у т л е р. Уравнивание тригонометрических сетей, определенных длинами сторон. «Геодезист», 1939, № 9, с. 2235,
27 И. А. Кутузов. Накопление погрешностей в рядах триангуляции с измеренными сторонами, Иэв, вуЗов, иГеодезия и аэрофотосъемка*» 1957, вып. 2, с. 8710В.
28 См. K. JI. П P о в о p о в. Точность элементов сети линейной триац- гулпции. Тр. НЙИГАиК, т. XI. Новосибирск, 1958, стр, 321.
29 Си. его статьи в журнале «Геодезия и картография». 1957. Mi k, о. 17 19 и 1959. JV. 2. с, 1214,
30 3 ... „ П (п21) s2 , m«=X(n+ ) m* + 72
31 См. К. Л. Проворо в. Сравнение точности угловой, линейной и линейно-угловой триангуляции, Иав, вузов «Геодезия и аэрофотосъемка», 1Я60, вып. 1, с. 6764.
32 Если первая поверка выполнена точно, то алидаду можно вращать имеете с уровнем, не снимая его с горизонтальной оси; так же можно поступать я при пользовании нульпунктом уровня,
33 Под ошибкой диаметра понимают среднее арифметическое из значений ошибок двух диаметрально противоположных штрихов лимба.
34 Моменты «изотермии» U в первом приближении можно определить используя величины xq на рис. III.2.5, откуда
35 В триангуляции 1 класса при длинах сторон более 50 км применяю! более точную формулу (см, раздел II.4).
36 В настоящее время более высокая точность измерения времени достигается измерением разности фаз. Поэтому импульсные дальномеры распространения не получили,
ческого питания дальномера служит бепзоэлектрический агрегат. Дальномер работает следующим образом (рис. III.3.3). Линейно- поляризованный свет гелий-неонового лазера 1 оптической системой
3 направляется в конденсатор Керра 4, а по выходе из него на анализатор 5 и стеклянную пластинку 6. Последняя поставлена под углом в 45°- к оси падающего на нее пучка лучей, а малая часть света отражается ею на пластину 7. Эти две пластины образуют внутреннюю оптическую линию.
Большая часть света проходит пластипу 6 и объективом передающей оптической системы приемо-передатчика 8 параллельным пучком направляется на уголковый отражатель, установленный на другом конце измеряемой линии. Отраженный последним свет проходит защитное стекло 9 зеркально-линзовой приемной оптической системы дальномера 10, 11, 12 и призмой 13 направляется па серый клин 14, раздвижную диафрагму 15 и призму 16. Вышедший
37 Справочник геодезиста. М., «Недра», 1966.
72
72