Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГОУ НОВОРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра инженерной графики
к лабораторной работе по начертательной геометрии на тему:
«ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ, ЗАДАННЫХ СЛЕДАМИ»
для курсантов и студентов 1 курса всех специальностей
Составитель: Татарчук Л.А.
Рецензент: Асташин К.И.
Методические указания рекомендованы к печати решением кафедры ИГ 28 февраля 2005 г., протокол № 6.
Новороссийск
2005
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ, ЗАДАННЫХ СЛЕДАМИ
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Прямая линия в пространстве определена, если известны одна точка этой прямой и ее направление или же две точки этой прямой.
Отсюда следует, что найти прямую пересечения двух плоскостей означает найти две точки, общие для пересекающихся плоскостей, или же найти одну такую точку и направление прямой.
В частном случае точками прямой могут служить следы этой прямой.
Следы прямой пересечения двух плоскостей находятся на пересечении одноименных следов этих плоскостей, а именно:
горизонтальный след прямой пересечения находится на пересечении горизонтальных следов плоскостей;
фронтальный след прямой пересечения находится на пересечении фронтальных следов плоскостей;
профильный след прямой пересечения находится на пересечении профильных следов плоскостей.
В зависимости от расположения в пространстве пересекающихся плоскостей, прямая пересечения может иметь в системе плоскостей 1 и 2 следы: и горизонтальный и фронтальный; единственный горизонтальный; единственный фронтальный; может не иметь ни горизонтального, ни фронтального следов.
Если прямая пересечения имеет и горизонтальный и фронтальный следы, то это - или прямая общего положения, или профильная прямая, или прямая, пересекающая ось проекций.
Если прямая пересечения имеет единственный горизонтальный след, то это - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций (фронталь); в частном случае она может быть перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.
Если прямая пересечения имеет единственный фронтальный след, то это - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (горизонталь); в частном случае она может быть перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Если прямая пересечения имеет единственный профильный след, то это - прямая, параллельная оси проекций.
В тех случаях, когда прямая пересечения - проецирующая, т. е. перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, не следует забывать, что одна из проекций прямой совпадает со следом прямой, а именно: если прямая пересечения перпендикулярна плоскости 1, то ее горизонтальная проекция совпадает с горизонтальным следом этой прямой; если прямая пересечения перпендикулярна плоскости 2, то ее фронтальная проекция совпадает с фронтальным следом этой прямой. Если прямая пересечения перпендикулярна плоскости 3 (параллельна оси проекций), то ее профильная проекция совпадает с профильным следом этой прямой.
Если одноименные следы плоскостей (или горизонтальные, или фронтальные, или и горизонтальные и фронтальные) в пределах чертежа не пересекаются, необходимо найти одну или две произвольные точки, принадлежащие прямой пересечения заданных плоскостей.
Произвольную точку, принадлежащую прямой пересечения двух плоскостей, определяют, вводя вспомогательную секущую плоскость.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.1).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой общего положения l(l /, l // ), проходящей через точки-следы (2/, 2//) и (1/, 1//), находящиеся на пересечении горизонтальных и фронтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную (l / ) - через проекции точек 2/ и 1/ и фронтальную (l // ) - через проекции точек 2// и 1//, которые совпадают с фронтальным следом (f0) плоскости . Прямая проходит через второй, первый и четвертый октанты.
Задача 2.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.2).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой общего положения l(l /, l // ), проходящей через точки-следы (2/, 2//) и (1/, 1//), находящиеся на пересечении горизонтальных и фронтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную (l / ) - через проекции точек 2// и 1//, которая совпадает с горизонтальным следом (h0) плоскости , и фронтальную (l // ) - через проекции точек 2/ и 1//. Прямая проходит через первый, четвертый и третий октанты.
Задача 3.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.3).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой l(l /, l // ), - горизонтали, проходящей через точку-след (1//, 1//), находящуюся на пересечении фронтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: фронтальную (l // ) через точку 1// - параллельно горизонтальной плоскости проекций, которая совпадает с фронтальным следом (fo) плоскости ), и горизонтальную (l / ) через точку 1/ - параллельно горизонтальному следу (ho) плоскости . Прямая проходит через первый и второй октанты.
Вывод. Плоскость общего положения пересекается с плоскостью, параллельной плоскости 1, по горизонтали.
Задача 4.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.4).
Решение. См. решение предыдущего примера.
Вывод. Две плоскости общего положения, фронтальные следы которых пересекаются, а горизонтальные следы между собой параллельны, пересекаются по горизонтали.
Задача 5.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.5).
Решение. Плоскости a и b пересекаются по прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций.
Фронтальная проекция искомой прямой (l // ) совпадает с точкой 1//, горизонтальная ее проекция (l / ) проходит через точку 1/ и перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Прямая проходит через первый и второй октанты.
Вывод. Две фронтально-проецирующие плоскости пересекаются по проецирующей прямой, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций.
Задача 6.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.6).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой l(l /, l // ) - фронтали, проходящей через точку-след (1/, 1//), находящуюся на пересечении горизонтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную (l / ) - через точку 1/, параллельно фронтальной плоскости проекций, которая совпадает с горизонтальным следом (ho) плоскости , и фронтальную (l // ) - через точку 1//, параллельно фронтальному следу (fo) плоскости . Прямая проходит через первый и четвертый октанты.
Вывод. Плоскость общего положения пересекается с плоскостью, параллельной плоскости 2, по фронтали.
Задача 7.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.7).
Решение. См. решение предыдущего примера.
Вывод. Две плоскости общего положения, горизонтальные следы которых пересекаются, а фронтальные следы между собой параллельны, пересекаются по фронтали.
Задача 8.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.8).
Решение. Горизонтально-проецирующие плоскости и пересекаются по прямой l(l /, l // ) - фронтали, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция искомой прямой (l / ) совпадает с точкой 1/, а фронтальная ее проекция (l // ) проходит через точку 1// перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций. Прямая проходит через первый и четвертый октанты.
Вывод. Две горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по прямой, перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций.
Задача 9.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.9).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой l(l /, l //, l /// ) , перпендикулярной профильной плоскости проекций.
Профильная проекция (l /// ) искомой прямой совпадает с профильным следом этой прямой, который, как известно, находится на пересечении профильных следов (Рo и Рo) плоскостей. Находим профильные следы заданных плоскостей. Их пересечением является профильная проекция (l /// ) искомой прямой. Затем по профильной проекции прямой находим ее горизонтальную (l / ) и фронтальную (l // ) проекции, которые должны быть параллельны оси проекций.
Второй способ: Так как искомая прямая l / лежит в плоскости , то ее фронтальная проекция (l // ) совпадает с фронтальным следом (fo) этой плоскости. Имея фронтальную проекцию (l // ) прямой, можем найти ее горизонтальную проекцию (l / ), не пользуясь профильной плоскостью проекций. Для этого задаем произвольную точку 3// на прямой l // и находим горизонтальную проекцию (3/) точки, зная, что точка (3/, 3//) лежит и на плоскости . Найдя точку 3/, проводим через нее горизонтальную проекцию (l / ) искомой прямой - параллельно оси проекций.
Задача 10.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.10).
Решение.
Плоскость задана следами и точкой А. Находим профильные следы заданных плоскостей. На пересечении профильных следов (Рo и Рo) находится профильная проекция искомой прямой (l /// ). Затем по профильной проекции прямой находим ее горизонтальную (l / ) и фронтальную (l // ) проекции, которые должны быть параллельны оси проекций.
Задача 11.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.11).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой l /, параллельной оси проекций. Находим ее профильную проекцию (l /// ) на пересечении профильных следов плоскостей, а затем по профильной проекции прямой определяем ее горизонтальную (l / ) и фронтальную (l // ) проекции, которые параллельны оси проекций.
Задача 12.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.14).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой общего положения, проходящей через точку-след (1/, 1//) пересечения горизонтальных следов плоскостей. Точка-след (2/, 2//) пересечения фронтальных следов плоскостей недоступна, так как эти следы плоскостей, по заданию, в пределах чертежа не пересекаются. Вместо точки (2//, 2//,) необходимо найти другую - произвольную точку прямой пересечения, общую для заданных плоскостей. Для этого поступаем следующим образом. Вводим вспомогательную плоскость , например, параллельную плоскости 1, которая, как известно, пересекает каждую из данных плоскостей по горизонтали. На их пересечении получаем вспомогательную точку (4/, 4//), общую для данных плоскостей. Найдя эту вторую точку (4/, 4//) прямой, проводим ее проекции: горизонтальную - через точки 1/ и 4/ фронтальную - через точки 1// и 4//.
Примечание. В случае необходимости можно, пользуясь указанным выше способом, найти и две произвольные точки прямой пересечения, вводя последовательно две плоскости; проще всего ввести их параллельно плоскости 1 или параллельно плоскости 2.
Задача 14.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис15).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой, пересекающей ось проекций в точках (1/, 1//) и (2/, 2//), совпадающих с точкой (X, X) и находящихся на пересечении горизонтальных и фронтальных следов плоскостей. Известно, что точки-следы (1/, 1//) и (2/, 2//), как совпавшие, не определяют прямую и что необходимо найти еще одну точку этой прямой, общую для заданных плоскостей. Точка (3/, 3//) по заданию лежит на плоскости . Проверяем прежде всего, не лежит ли точка (3/, 3//) и на плоскости . Проверку выполняем хотя бы при помощи горизонтали. Точка (3/, 3//) действительно лежит и на плоскости , т. е. является общей точкой для данных плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: фронтальную - через точки X и 3// и горизонтальную - через точки X и 3/. Прямая проходит через первый и третий октанты.
Задача 15.
Найти прямую пересечения плоскостей и (рис.16).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой, проходящей через точку (1/, 1//), с которой совпадают точки схода следов X и X пересечений одноименных следов плоскостей. Точка (2/, 2//) лежит, по условию, на плоскости ; на плоскости . эта точка не лежит, в чем можно убедиться, например, при помощи фронта ли. Следовательно, для определения прямой необходимо найти еще одну ее точку. Вводим вспомогательную плоскость , параллельную фронтальной плоскости проекций и проходящую через точку (2/, 2//); горизонтальный ее след (ho) проходит через точку a — параллельно оси проекций. Плоскость пересекает плоскость по прямой (1/, 1//), параллельной оси проекций, проходящей через точку (2/, 2//), а плоскость — по фронтали, проходящей через точку (3/, 3//). На пересечении прямой l/ и фронтали получаем точку (3/, 3//), через которую также должна пройти прямая пересечения. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную — через точки 1/ и 4/ и фронтальную - через точки 1// и 4//.
Пример 16
Найти линию пересечения плоскостей и не пользуясь профильной плоскостью проекций (Рис.17).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой l/, параллельной оси проекций (почему?).
Зная направление искомой прямой, необходимо найти еще одну ее точку, для чего вводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость проходящую через точку (3/, 3//). Вспомогательная плоскость пересекает плоскость по прямой (3/, 4/; 3// , 4//), а плоскость — по фронтально-проецирующей прямой, проходящей через точку (1/, 1//). На их пересечении получаем точку (2/, 2//). Проводим проекции (l/, l//) искомой прямой, параллельно оси проекций, фронтальная проекция (l//) искомой прямой совпадает с фронтальным следом (.)плоскости (почему?).
Пример 17
Найти линию пересечения плоскостей и , не пользуясь профильной плоскостью проекций (Рис.18)
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой l/, параллельной оси проекций (почему?).
Зная направление искомой прямой, необходимо найти еще одну ее точку, для чего вводим произвольную горизонтально-проецирующую плоскость . Плоскость пересекает плоскость по прямой (1/, 2/, 1//, 2//), а плоскость - по горизонтально-проецирующей прямой, проходящей через точку (3/, 3//). На их пересечении получаем точку (4/, 4//). Проводим проекции (l/, l//) искомой прямой — параллельно оси проекций — через одноименные проекции найденной точки (4/, 4//).
Пример 18.
Найти линию пересечения плоскостей и . не пользуясь профильной плоскостью проекций
(Рис.19).
Решение. Плоскости и пересекаются по прямой l/, параллельной оси проекций (почему?). Зная направление искомой прямой, необходимо найти еще одну точку, для чего вводим вспомогательную фронтально проецирующую плоскость , которая пересекает плоскость по прямой(1/, 2/, 1//, 2//), а плоскость – по прямой (3/, 5/, 3//, 5//). На их пересечении получаем точку (4/, 4//) Проводим проекции (l/, l//), искомой прямой – параллельно оси проекций – через одноименные проекции найденной точки (4/, 4//)
II. Найти горизонтальные следы двух пересекающихся плоскостей Р и b, если известны их вертикальные следы и точка К, принадлежащая линии их пересечения (Рис. 48, 49).