Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №10
Лекция №10
Теория переменного электромагнитного поля
Эта теория базируется на уравнениях Максвелла. Основоположниками этой теории были Фарадей и Максвелл. Правда, они считали, что средой распространения электромагнитных волн является «эфир». Максвелл обобщил теорию, созданную Фарадеем, и ввел в 1846 году уравнения, которые были названы уравнениями Максвелла. Как затем было установлено, эти уравнения не требовали понятия эфира, а электромагнитное поле было определено как особый вид материи. Ранее приведенные уравнения Максвелла для стационарных электростатических и магнитостатических полей можно рассматривать как частный случай более общих уравнений Максвелла, справедливых для описания как постоянных, так и переменных электромагнитных полей.
Первое уравнение Максвелла для постоянного магнитного поля (см. предыдущую лекцию) имеет вид:
.
Для переменных полей необходимо учитывать не только ток проводимости, но и ток смещения, образующие в сумме полный ток
.
В диэлектрической среде, в которой проводимость отсутствует
,
т.е. магнитное поле обусловлено лишь наличием тока смещения, точнее, наличием переменного электрического поля . Уравнение (10.2) является первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме.
Поскольку ротор – это оператор в частных производных, то он связывает изменения магнитного поля в пространстве и во времени с изменениями электрического поля .
Так как
,
то в координатной форме первое уравнение Максвелла можно записать так:
Найдем поток вектора через поверхность
,
, .
По теореме Стокса
,
где – замкнутый контур, охватывающий поверхность .
Тогда
.
Это уравнение является первым уравнением Максвелла в интегральной форме. В постоянном магнитном поле, если ток проводимости равен нулю, , или контур не охватывает линии тока, то циркуляция магнитного поля
.
В переменном поле в этом случае
,
т.е. не равенство нулю циркуляции магнитного поля обусловлено наличием тока смещения, приводящего к изменению потока вектора электрической индукции через поверхность , охватываемую контуром .
Второе уравнение Максвелла
Это уравнение можно получить следующим образом. Как гласит закон электромагнитной индукции, ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре равна взятой с обратным знаком производной от потока магнитного поля по времени через поверхность, ограниченную этим контуром.
,
.
С другой стороны, сторонняя ЭДС, совпадающая по размерности с потенциалом или с разностью потенциалов, в электрическом поле равна:
.
Такая ЭДС наводилась бы в замкнутом проводящем контуре .
Тогда формулу (10.10) можно записать в таком виде
.
Полученное уравнение является вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Это уравнение имеет более общий характер и не требует непосредственно обязательного наличия проводящего контура в рассматриваемой области пространства.
В соответствии с теоремой Стокса
.
Тогда
.
Если считать, что поверхность , которую охватывает контур является произвольной, то в таком случае
.
Это уравнение является вторым уравнением Максвелла в дифференциальной форме. Вторые уравнения Максвелла, как в интегральной, так и в дифференциальной формах свидетельствуют о том, что изменения магнитного поля порождают возникновение переменного электрического поля. Первые же уравнения Максвелла говорят о том, что изменения электрического поля приводят к возникновению переменного во времени магнитного поля. И то, и другое поля имеют вихревой характер () (рис. 10.1(а, б)).
а) б)
Рис. 10.1. Возникновение вихрей магнитной и электрической
составляющих электромагнитного поля
Причем, если вихри магнитного поля имеют место и в случае, когда поле постоянно, и в случае, когда поле переменно, то вихри (роторы) электрического поля имеют место, лишь в том случае, когда это поле изменяется во времени. В постоянном электрическом поле вихри равны нулю .
В координатном виде второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме (10.13) имеет вид:
Полные системы уравнений Максвелла
в дифференциальной и интегральной формах
Полную систему уравнений Максвелла получим, если дополним рассмотренное первое и второе уравнения Максвелла следующими уравнениями:
, .
Таким образом, полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме имеет вид:
,
,
,
.
Первые два уравнения позволяют найти вихри электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля, вторые задают их источники. Причем четвертое из уравнений (10.16) говорит об отсутствии магнитных зарядов в электромагнитном поле.
В интегральной форме эта система запишется таким образом:
,
,
,
,
где
,
.
В случае если поля постоянны, т.е.
,
приходим к ранее рассмотренной системе уравнений Максвелла для постоянных полей. Так для электростатического поля находим, что
.
Для магнитного поля
.
Рассмотренные системы уравнений исчерпывающе характеризуют поведение электромагнитного поля и его волновой характер. С одной стороны, можно утверждать, что изменение электрической составляющей поля приводит к появлению магнитной и наоборот. С другой – эти составляющие необходимо рассматривать в единстве как две стороны единого электромагнитного поля. Даже в постоянном электрическом или магнитном полях можно зафиксировать наличие другой составляющей поля (соответственно магнитной или электрической), если перемещать в них определенным образом заряды или проводники с током.
Более того, в теории относительности доказывается, что при переходе из одной системы координат в другую, движущуюся относительно первой, напряженности переменных электрического и магнитного полей изменяются. Даже в том случае, если электрическое или магнитное поля в одной системе координат постоянны, то в другой движущейся относительно первой, появляются соответственно магнитная и электрическая составляющие.
5