Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №10
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной.
6.1. Задачи, приводящие к понятию производной
Рассмотрим движение материальной точки по оси . Координата материальной точки является дифференцируемой функцией времени . В момент времени материальная точка имеет координату . В момент времени материальная точка приобрела координату . Посчитаем среднюю скорость перемещения материальной точки за промежуток времени
.
Если устремить к нулю и рассмотреть , равный мгновенной скорости материальной точки , то можно заметить, что ==, т.е. предел отношения приращения координаты материальной точки к приращению времени и есть с одной стороны производная координаты по времени, а с другой стороны - мгновенная скорость материальной точки.
Сила тока: Пусть - это количество электричества, проходящего через фиксированное сечение провода за время .
Средняя сила тока
-сила тока в момент
Итак, физический смысл производной функции есть скорость изменения в момент .
6. 2. Дифференцируемость функции
Пусть и - значения аргумента, а и - соответствующие значения функции . Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке .
Определение. Производной от функции по аргументу называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю:
; или
Величину называют приращением аргумента . Величину называют приращением функции в точке , которое вызвано приращением аргумента.
Производную функции в точке обозначают одним из символов:
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
6.3. Геометрический и механический смысл производной
Легко выяснить геометрический смысл производной и дифференциала функции. Введем сначала общее определение касательной к кривой.
f(x0 +x)
f(x0)
Рассмотрим функцию , определенную на промежутке со значениями . Графиком функции в системе координат является непрерывная кривая . Пусть внутренняя точка промежутка , значение функции в точке . Возьмем на кривой некоторую фиксированную точку . Если точка тоже принадлежит кривой, то прямая называется секущей.
Определение. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение секущей , проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к точке .
Кратко это можно записать так: Прямая называется касательной к графику функции в точке , если при
Касательная к графику функции образует угол с осью Ох. Секущая образует с осью угол . Угловой коэффициент секущей ==. При приближении точки к точке секущая, поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Угол наклона касательной стремится к углу наклона касательной , т.е. . Поэтому угловой коэффициент касательной равен производной от ординаты по абсциссе
= = = = .
Значение производной непрерывной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке .
6.4. Уравнение касательной и нормали к графику функции
Рассмотрим график функции . Выберем точку , принадлежащую кривой, и проведем через эту точку касательную. Касательная как наклонная прямая линия, проходящая через точку , имеет уравнение вида
.
Угловой коэффициент касательной равен производной функции, посчитанной в точке касания , т.е. . В результате получаем уравнение касательной к графику функции в точке (рис. 2)
Определение. Касательная, точнее, наклонная каcательная к кривой y=f(x) в точке координатной плоскости с координатами x=х0, y=f(х0) – это такая прямая, которая проходит через точку (x0, f(x0)), и ее угловой коэффициент k, т.е. тангенс угла ее наклона, равен пределу углового коэффициента k(∆x) “секущей” прямой, проходящей через точки (x0, f(x0)) и (x0+∆x, f(x0+∆x)) при ∆x→0.
Определение. Нормалью к кривой в точке , принадлежащей графику, называется прямая линия, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Поскольку угловые коэффициенты перпендикулярно расположенных прямых связаны соотношением
, то уравнение нормали, проходящей через точку , имеет вид
.
Пример. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции в точке .
Решение. Так как производная в точке равна , а значение функции , то уравнение касательной имеет вид
или .
Уравнение нормали имеет вид
или .
Связь непрерывности и дифференцируемости функции устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Функция дифференцируема в точке, следовательно, существует. По основной теореме о бесконечно малых величинах
или ,
где .
Следовательно, при , поэтому функция непрерывна.
Обратное утверждение неверно. Из того, что функция непрерывна в точке, не следует, что она дифференцируема, т.е. непрерывная функция может не иметь производную в этой точке.
Пример 1. Функция f(x) определена на промежутке следующим образом (рис.3):
При x=1 функция непрерывна, так как
, но не дифференцируема.
Задания для самостоятельного решения
6.5. Правила дифференцирования
Теорема 2. Производная суммы (разности) дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций, т.е.
.
Доказательство. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:
y'=
Теорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на первую, т.е.
.
Доказательство.
.
Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.
.
Доказательство. По теореме о производной произведения . Поскольку производная постоянной величины равна нулю , то получаем .
Теорема 5. Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель равен квадрату знаменателя, а числитель есть разность произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, т.е.
.
Доказательство.
.
6.6. Производная степенной, показательной и тригонометрических функций
1. Степенная функция .
Найдем приращение функции , придав аргументу приращение: . Поэтому в соответствии с определением производной имеем:
.
Покажем, что бесконечно малые величины и являются эквивалентными. Пусть , а , тогда
.
Поскольку , то , а . Так как бесконечно малая величина эквивалентна величине , а бесконечно малая величина эквивалентна величине , то
.
Таким образом, производная степенной функции равна
.
2. Показательная функция .
Найдем приращение функции , придав аргументу приращение: . Поэтому
В пределе перейдем к новой переменной , которая тоже является бесконечно малой величиной. Используя второй замечательный предел и соотношение , имеем:
.
Таким образом, производная показательной функции равна
==.
При имеем: .
3. Тригонометрические функции .
Для функции имеем:
,
т.е . .
Для функции имеем:
,
т.е. -.
Для нахождения производных функций воспользуемся формулой производной частного:
.
.
Определение. Пусть задана функция с областью определения и множеством значений . Если каждому значению ставится в соответствие единственное значение , то определена функция с областью определения и областью значений , называемая обратной по отношению к функции .
Про функции и говорят, что они взаимно обратные. Если возможно решить уравнение относительно , то по исходной функции можно найти обратную функцию.
Например, для функции обратной функцией будет функция . Однако, если, как обычно, независимую переменную обозначить через , а зависимую переменную через , то функция, обратная функции , запишется в виде . В последнем примере для функции обратной будет функция .
Для существования взаимно однозначного соответствия между множествами и необходима монотонность функции. Если функция возрастает (убывает), то и обратная функция тоже возрастает (убывает). Следует отметить, что если графики взаимно обратных функций и совпадают, то графики функций и симметричны относительно биссектрисы угла первой четверти.
Теорема. Если функция строго монотонна на промежутке и имеет неравную нулю производную в любой точке этого промежутка, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством .()
Доказательство. Рассмотрим обратную функцию . Пусть аргумент и функция испытывают приращения и . Поэтому можно записать
.
Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.
Используем теорему о дифференцировании обратной функции для нахождения производной логарифмической функции . Рассмотрим функцию с известной производной . Тогда для обратной функции можно указать производную . Поменяв на , затем, перейдя к привычным обозначениям для аргумента и функции, получим:
.
В частном случае для натурального логарифма имеем:
.
Аналогичным образом могут быть получены производные обратных тригонометрических функций. Например, для функции обратной функцией является функция . Тогда
.
Подобным образом получаем:
, , .
Пусть и , тогда является сложной функцией с промежуточным аргументом и независимым аргументом .
Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , находящуюся по формуле
.
Доказательство. Поскольку , то , где при , причем .
Для функции , имеющей производную в точке , можно записать , где .
Подставив значение в выражение для имеем
.
Рассмотрим предел
.
Таким образом, производная сложной функции равна .
6.9. Гиперболические функции и их производные
В механике встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами: гиперболический синус
,
гиперболический косинус (цепная линия)
,
гиперболический тангенс
,
гиперболический котангенс
.
Между гиперболическими функциями существуют соотношения, аналогичные соотношениям между тригонометрическими функциями:
;
;
;
;
.
Найдем производные гиперболических функций:
;
;
;
;
6.10. Таблица производных
|
1. |
11. |
||||
|
2. |
12. |
||||
|
3. |
13. |
||||
|
4. |
14. |
||||
|
5. |
15. |
||||
|
6. |
16. |
||||
|
7. |
17. |
||||
|
8. |
18. |
||||
|
9. |
19. |
||||
|
10. |
20. |
Пример 1. .
Пример 2. .
.
Пример 3. .
Пример 4. .
Пример 5. .
Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции имеем .
Задания для самостоятельного решения
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
6.11. Метод логарифмического дифференцирования
В некоторых случаях перед нахождением производной можно прологарифмировать исходную функцию и только после этого дифференцировать. Данный метод называется логарифмическим дифференцированием. Метод логарифмического дифференцирования облегчает взятие производной функции, содержащей большое количество множителей.
Пример 1. Найти производную функции .
Решение. Обычный вариант нахождения производной с помощью правил дифференцирования оказывается достаточно громоздким, поэтому предварительно прологарифмируем функцию:
.
Продифференцируем данное равенство по :
.
Выражаем производную:
,
.
Метод логарифмического дифференцирования оказывается единственным способом нахождения производной для показательно-степенной функции :
, , ,
.
Пример 2. Найти производную функции .
Решение. Воспользовавшись предыдущей формулой, получаем:
.
Пример 3. Найти производную функции:
Решение:
Задания для самостоятельного решения
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
9
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 1.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 3.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Рис. 2