Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины
Донецкий национальный технический университет
Кафедра автоматики и телекоммуникаций
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению лабораторных работ по курсу
«Компьютерное моделирование процессов и систем»
для бакалавров дневной формы обучения направления 6.050201 «Системная инженерия»
Утверждено на заседании
кафедры « Автоматика
и телекоммуникации»,
протокол №.2 от 28.02.13.
Донецк 2013 г.
УДК
Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Компьютерное моделирование процессов и систем» для студентов-бакалавров дневной формы обучения по направлению «Системная инженерия»/доц. Жукова Н.В., доц. Чернышев Н.Н. – Донецк, ДонНТУ, 2013. - 37 с.
Представлены указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Компьютерное моделирование процессов и систем» для студентов-бакалавров дневной формы обучения по направлению «Системная инженерия».
Составители: доц. Жукова Н.В.
доц. Чернышев Н.Н.
Рецензенты доц. Вовна О.В.
доц. Фонотов А.М.
Ответственный за выпуск: проф. Воронцов А.Г.
Получение описания объекта управления в КФУ и КФН по схемам моделирования
Получение описания МІМО – систем произвольной структуры в пространстве состояний
Синтез модальных регуляторов для SISO-объектов с помощью Matlab
Синтез оптимальных регуляторов для SISO-объектов с помощью Matlab
Синтез многомерных регуляторов с помощью Matlab
Лабораторная работа №1
Тема: Получение описания объекта управления в КФУ и КФН. Схемы моделирования.
Цель: Приобретение практических навыков в получении описания объекта управления в канонической форме наблюдаемости (КФН) и канонической форме управляемости (КФУ) по схемам моделирования. Проверка результатов путем моделирования в пакете Matlab/Simulink.
Краткие теоретические сведения
Модель системы в переменных состояния, можно получить, используя дифференциальные уравнения. Так поступают во многих практических ситуациях. Однако, если путем идентификации системы получена ее модель в виде передаточной функции, то от нее непосредственно можно перейти к уравнениям состояния. Поскольку этот метод обладает рядом преимуществ, рассмотрим его более подробно.
Метод основан на использовании схем моделирования, т.е. структурных схем. Вообще говоря, схема моделирования может быть построена путем использования любого из видов математической модели системы - передаточной функции, дифференциальных уравнений или уравнений состояния. Свое название схемы моделирования получили не случайно, а именно потому, что они представляют собой «заготовку» для исследования системы с помощью компьютеров.
Основным элементом схемы моделирования является интегратор, изображенный на рис. 1.1 в виде отдельного блока.
Рис. 1.1. Интегратор
Он характеризуется уравнением , что при переходе к изображениям по Лапласу дает: . Следовательно, передаточная функция блока, выполняющего операцию интегрирования, равна , как показано на рис. 1.1. Поскольку нас интересует только передаточная функция, то начальное условие для мы, как и раньше, полагаем равным нулю. Если выход интегратора обозначить через , то его входом должна являться производная . Это свойство как раз и используется при построении схем моделирования.
Заметим, что если схема моделирования строится на основе дифференциальных уравнений системы, то решение является однозначным. Однако, если исходные данные представлены в виде передаточной функции, то схема моделирования может иметь различную конфигурацию, т.е. решение уже не будет однозначным. Покажем, как передаточной функции общего вида
(1.1)
можно поставить в соответствие две разных схемы моделирования. На рис. 1.2 изображена схема моделирования, называемая канонической формой управляемости.
Рис.1.2. Каноническая форма управляемости (КФУ)
Поскольку объект n-го порядка, поэтому соединим последовательно n интегрирующих звеньев. Далее пронумеруем справа налево переменные состояния, а интеграторы слева направо (т.е. 1-ый интегратор это в , 2-ой - в и т.д.). Коэффициенты , стоящие в знаменателе изображаем в нижней части, а коэффициенты числителя - вверху.
Из структуры следует:
.
По схеме запишем уравнения динамики и выхода:
.
Той же самой передаточной функции (1.1) получим вторую схему моделирования, известную под названием канонической формы наблюдаемости. Эти, новые для нас, термины своим появлением обязаны современной теории управления.
Для КФН используется метод совместного интегрирования, при котором дифференциальное уравнение переписывается так, что в левой части записываются слагаемые, содержащие производные, а в правой части слагаемые без производных. Для левой части вводится новая переменная и этот процесс повторяется n – раз, где n – порядок дифференциального уравнения.
Перейдем от передаточной функции к ДУ:
Водим новую переменную:, тогда
Перенесем производные влево, получим:
Водим новую переменную:, тогда
Перенесем производные влево, получим:
Продолжая, получим:
С учетом этого запишем систему в форме Коши:
;
По этим уравнениям составляем уравнения в векторно-матричной форме:
.
Структурная схема, соответствующая полученным уравнениям представлена на рис. 2.6.
Рис.1.3. Каноническая форма наблюдаемости (КФН)
Эти две схемы моделирования имеют одну и ту же передаточную функцию. Заметим, что вектор состояния в схеме на рис.1.2 не совпадает с вектором в схеме на рис.1.3. Проанализируйте полученные формы КФУ и КФН. Внутренняя структура модели, т.е. переменные состояния в этих формах различны.
Итак, если по заданной передаточной функции построена схема моделирования, то легко можно получить модель системы в переменных состояния. Эта процедура состоит из двух этапов:
1. Принять выход каждого интегратора за переменную состояния.
2. Записать уравнения относительно входа каждого интегратора и относительно каждого выхода системы.
Поясним эти этапы на примере канонической формы управляемости.
Пример 1.1
Получить КФУ по заданной передаточной функции.
; .
Построим схему моделирования
Запишем уравнение динамики:
.
Пример 1.2
Получить КФН по заданной передаточной функции.
Перейдем к дифференциальному уравнению:
Итак, запишем систему ДУ в форме Коши с учетом того, что :
Уравнение динамики: Уравнение выхода: .
Перепишем в векторно-матричной форме:
Построим схему моделирования
Задание на проведение лабораторной работы.
- КФУ получить для ОУ, заданного посредством передаточной функции; КФН – для ОУ, заданного матричной передаточной функции.
При получении КФУ сначала построить структурную схему моделирования ОУ, а затем по этой структуре написать векторно-матричные уравнения динамики ОУ.
При получении КФН необходимо перейти к дифференциальному уравнению n-го порядка, преобразовать его в систему из n дифференциальных уравнений 1-го порядка (форма Коши) и по данной системе написать векторно-матричные уравнения динамики ОУ, а также построить структурную схему моделирования ОУ в КФН.
Варианты заданий:
Содержание отчета.
В отчете по лабораторной работе, необходимо представить:
- описание объекта в КФУ и КФН, полученные вручную;
- представить графики переходных процессов переменных состояния и выходной координаты для КФУ и КФН, полученные как в Matlab, так и по схемам моделирования в Simulink;
- сделать выводы по полученным результатам.
Контрольные вопросы.
Лабораторная работа №2
Тема: Получение описания МІМО – систем произвольной структуры в пространстве состояний (ПС).
Цель: ознакомление с описанием и исследованием многомерных динамических систем управления, заданных произвольной структурой, в пространстве состояний.
Краткие теоретические сведения
Многомерные системы, в отличие от одномерных имеют несколько входов и несколько выходов. Для описания таких систем используются три набора параметров (три вектора), см. рис. 2.1:
и двумя преобразованиями:
Рис.2.1 – МІМО система
Широкое распространение, обусловленное разработанным математическим аппаратом, получили линейные модели многомерных систем в пространстве состояний, которые имеют вид:
(2.1)
Первое уравнение (2.1) называется уравнением состояния, второе – уравнением выхода. Здесь – вектор переменных состояний; –вектор управлений; – вектор измеряемых параметров; t – время; A(t), B(t), C(t) – матрицы размерности (n´ n), (n´ r), (m´ n) соответственно. Предполагается, что известны начальные состояния x(t0) = x0, где t0 – начальный момент времени.
Если матрицы A(t), B(t), C(t) не зависят от времени t, то система называется стационарной. Далее предполагается, что системы стационарны.
Рассмотрим задачи соединения двух подсистем в систему. При соединении возможны три варианта (рис. 2.2): параллельное (а), последовательное (б) и в обратной связи (в). Предполагается, что обе системы описываются в пространстве состояний соотношениями:
а) б)
с)
Рис. 2.2 Схемы соединения двух систем
Получим модель в ПС для каждой структуры. Для этого удобно построить схему моделирования и по ней записать уравнения в векторно-матричной форме.
Параллельное соединение
Рис. 2.3 – Схема моделирования паралельного соединения двух подсистем
Тогда в векторно-матричной форме:
Последовательное соединение
Рис. 2.4 – Схема моделирования последовательного соединения двух подсистем
Тогда в векторно-матричной форме:
Обратная связь
Рис. 2.5 – Схема моделирования соединения двух подсистем с обратной связью
Тогда в векторно-матричной форме:
Для линейных систем легко показать справедливость следующего результата, называемого принципом суперпозиции: эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов от нескольких воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояний линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного колебания:
x(t) = xc(t) + xв(t).
Свободное движение xc(t) происходит при отсутствии внешнего воздействия в ненулевых начальных условиях. Оно определяется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояний с начальными условиями x(t0) = x0.
Вынужденное движение xв(t) – это реакция системы на внешнее воздействие u(t) при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях.
Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениями (2.1), законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формулам:
где – переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности. В данном случае решение уравнения имеет вид
Одними из важнейших задач теории управления является исследование управляемости и наблюдаемости динамических систем. Приведем соответствующие определения и критерии для стационарных линейных систем, полученные Калманом.
Система называется вполне управляемой, если выбором управляющего воздействия u(t) на интервале времени [t0, t1] можно перевести систему из любого начального состояния х(t0) в произвольное заранее заданное конечное состояние x(t1).
Система называется вполне наблюдаемой, если по реакции у(t1) на выходе системы на интервале времени [t0, t1] при заданном управляющем воздействии u(t) можно определить начальное состояние х(t0).
Критерий управляемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости:
MU =(В | АВ | А2В| … | Аn–1В) равнялся размерности вектора состояния: rank MU = n.
Критерий наблюдаемости линейных систем. Для того чтобы система была вполне наблюдаемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости:
MY =(CT | ATCT | (AT)2CT | … | (AT)n–1CT) равнялся размерности вектора состояния: rank MY = n.
Напомним, что под рангом матрицы подразумевается наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк.
В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в пространстве состояний. Синтаксис команды, создающий непрерывную LTI (Linear Time Invariant)-систему в виде ss-объекта: SS(A, B, C, D). В эту функцию в качестве параметров передаются матрицы уравнений состояний и выходов вида:
в связи с тем, что рассматривается модель вида (2.1), то матрица динамики D будет нулевой.
Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в таблице 2.1.
Таблица 2.1. Некоторые команды Control System Toolbox
|
Синтаксис |
Описание |
|
ctrb(LTI-объект>) ctrb(A, B) |
Формирование матрицы управляемости |
|
obsv(<LTI-объект>) obsv(A, C) |
Формирование матрицы наблюдаемости |
|
parallel(<LTI1>,<LTI2>) |
Параллельное соединение |
|
series(<LTI1>,<LTI2>) |
Последовательное соединение |
|
feedback(<LTI1>,<LTI2>) |
Соединение обратной связью |
|
append( <LTI1>, …, <LTIN>) |
Объединение систем |
|
connect(<sys>,<Con>,<in>,<out>) |
Установление связей в соединении |
Для получения результатов вычисления матриц, результирующей МІМО - системы, по структурной схеме, воспользуйтесь последними двумя командами. Функция append создает объект sys, представляющий собой объединение всех подсистем. При этом первый входной сигнал первой системы становится входом номер 1, второй входной сигнал первой системы – номер 2, и т.д. далее идут входы второй системы, и т.д.; аналогично определяются и выходы.
В функции connect – параметр <Con> определяет матрицу связей по структурной схеме. Матрица формируется по следующему правилу: каждая строка представляет собой один вход системы sys, первый элемент – номер входа (в соответствии с порядком в команде append), затем идут номера выходов, которые подаются на рассматриваемый вход. Параметры <in>, <out> – строки из номеров входов и выходов соединения, являющиеся внешними.
Например, для последовательного соединения двух систем (рис. 2.2б):
sys1= ss(A1, B1, C1, D1)
sys2= ss(A2, B2, C2, D2)
sys=append (sys1, sys2)
sysc=connect(sys, [2 1], [1], [2])
В этом случае на вход второй системы (общий вход номер 2), поступает выход первой (общий выход номер 1); вход первой системы (номер один) и выход второй системы (номер два) являются внешними.
Задание и ход лабораторной работы.
Даны математические модели трех систем и структурная схема, представляющая собой соединение этих систем. Необходимо:
Варианты заданий.
|
№ |
Уравнения систем |
схема |
|
1 2 |
1 2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
4 |
4 |
|
|
5 |
2 |
|
|
6 |
3 |
|
|
7 |
1 |
|
|
8 |
2 |
|
|
9 |
5 |
|
|
10 |
6 |
|
|
11 |
5 |
|
|
12 |
7 |
|
|
13 |
6 |
|
|
14 |
8 |
|
|
15 |
8 |
|
|
16 |
9 |
|
|
17 |
10 |
|
|
18 |
8 |
Структурные схемы к вариантам
Контрольные вопросы
Лабораторная работа №3
Тема: Моделирование движения механических объектов.
Цель: Приобретение навыков получения математической модели методом «виртуальной работы»; моделирование движения механических объектов, с использованием пакета Matlab-Simulink.
Краткие теоретические сведения
Первые попытки систематизации физических величин восходят еще к XVII веку, когда голландским физиком С. Стевином был установлен принцип возможных перемещений, а Г. Галилей на основе этого принципа дал формулировку “золотого правила” механики. Дальнейшее развитие науки привело к появлению принципа «виртуальной работы», который, по-видимому, явился первым принципом обобщения физических величин. Он позволил обобщить физические величины в разных механических формах движения. Со временем это указало на принципиальную возможность обобщения и систематизации физических величин и в других формах движения.
Впервые принцип виртуальной работы был сформулирован без доказательства швейцарским механиком Д. Бернулли в начале XVIII века, а затем был четко изложен и доказан в 1788 г. французским физиком Ж. Лагранжем.
Виртуальной работой силы называется скалярное произведение силы на виртуальное перемещение точки ее приложения:
, (3.1)
где – виртуальная элементарная работа активной силы , действующей на i-ую материальную точку на виртуальном перемещении .
Для вычисления виртуальной работы силы можно применять все способы, которые применяются для вычисления элементарной работы силы. Разница состоит лишь в том, что элементарная работа совершается в действительности, а виртуальная работа - это воображаемая работа, которая существует только в нашем сознании, так как виртуальное перемещение - мысленное бесконечно малое перемещение.
Считая постоянными силы , , ..., , действующие на точки системы, дадим системе виртуальное перемещение так, чтобы все точки системы имели виртуальные перемещения , , ..., , и подсчитаем сумму виртуальных работ сил системы на этом перемещении:
(3.2)
Эта сумма называется виртуальной работой сил системы.
Уравнение Ж. Лагранжа имеет вид:
, (3.3)
Уравнение (3.3) является первой обобщенной записью закона сохранения энергии в механике. Доказательства Ж. Лагранжа базировались на механических формах движения, соответственно звучали и введенные им понятия: “обобщенная сила” для обозначения , ”обобщенная координата состояния” для обозначения и ”обобщенная работа” для обозначения .
В XIХ веке при создании теории автоматического регулирования был введен принцип малых отклонений координат состояния, позволивший распространить принцип виртуальной работы на любые формы движения независимо от того, линейны ли их характеристики или не линейны. Это, в свою очередь, позволило линеаризовать дифференциальное уравнение динамики и решить с его помощью и с использованием теории комплексного переменного многие практические задачи, возникшие при автоматизации производственных процессов.
А принцип виртуальной работы имеет и сейчас практическое применение при решении ряда задач в механике. Да и сама идея Г. Галилея, Д. Бернулли и Ж. Лагранжа 250 лет спустя после своего провозглашения стала одной из основ решения проблемы обобщения и систематизации физических величин.
Рассмотрим пример получения модели в терминах переменных состояния для платформы с двумя устойчивыми маятниками (рис. 3.1) с помощью принципа виртуальной работы.
Положение объекта полностью определено системой координат (). Параметры, которыми характеризуется объект: М – масса платформы; , - массы грузов маятников; , - длины стержней маятников. Переменные, характеризующие динамику объекта: - перемещение платформы; , - углы отклонения маятников от вертикальной оси;
Рис.3.1 Платформа с устойчивыми маятниками
На платформу массой М с двумя устойчивыми маятниками массами , действует внешняя сила . На основании второго законы Ньютона имеем: .
В результате действия на систему материальных точек () обобщенной силы , последние имеют виртуальные перемещения , , . При движении любой материальной системы виртуальная работа активных сил, реакций связей и сил инерции системы равна нулю:
, (3.4)
Запишем (3.4) для каждой материальной точки системы.
Для S0 (платформы):
;
Для S1 (маятник 1):;
Исходя из цели управления данным объектом, которую можно сформулировать следующим образом: необходимо приложить такую силу к платформе, чтобы она переместилась на определенное расстояние за определенное время с минимальными углами отклонения маятников от вертикальной оси, можно записать:
.
С учетом линеаризации, запишем:
;
;
Запишем в развернутом виде:
Приведем данное выражение к системе дифференциальных уравнений:
для :
для
для
Выразив старшие производные соответствующих переменных, получим:
(3.5)
Чтобы перейти к форме Коши, назначим переменные состояния:
(3.6)
Задание на проведение лабораторной работы.
Таблица вариантов объектов
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
Варианты задания
Таблица 3.1
|
N/N |
m1, кг |
m 2, кг |
m3, кг |
L, м |
q, Н·с/м |
r, Н/м |
№ схемы |
|
1 |
20 |
50 |
4 |
1,2 |
2е4 |
4е2 |
1 |
|
2 |
2 |
5 |
0,4 |
0,4 |
2е3 |
40 |
2 |
|
3 |
5 |
8 |
0,7 |
0,4 |
2е3 |
40 |
3 |
|
4 |
10 |
20 |
2 |
1,5 |
2е3 |
400 |
4 |
|
5 |
25 |
55 |
7 |
2 |
2е4 |
450 |
5 |
|
6 |
20,5 |
51 |
5 |
1 |
2е3 |
350 |
6 |
|
7 |
22 |
25 |
3 |
1,3 |
2е3 |
400 |
7 |
|
8 |
23 |
29 |
6 |
1,4 |
2е3 |
300 |
8 |
|
9 |
24 |
25 |
5 |
1 |
2е3 |
350 |
8 |
|
10 |
25 |
24 |
3 |
1,3 |
2е4 |
300 |
7 |
|
11 |
26 |
20 |
5 |
1,2 |
2е3 |
350 |
6 |
|
12 |
27 |
19 |
4 |
1,5 |
2е3 |
400 |
5 |
|
13 |
29 |
23 |
5 |
1,2 |
2е4 |
450 |
4 |
|
14 |
30 |
60 |
10 |
2 |
2е5 |
450 |
3 |
|
15 |
60 |
30 |
7 |
1,5 |
2е4 |
400 |
2 |
|
16 |
7 |
5 |
0,5 |
0,7 |
2е2 |
40 |
1 |
|
17 |
10 |
15 |
2 |
0,8 |
2е3 |
40 |
2 |
|
18 |
15 |
15 |
3 |
1 |
2е3 |
45 |
3 |
|
19 |
17 |
20 |
5 |
1,1 |
3е3 |
40 |
4 |
|
20 |
18 |
25 |
7 |
1,4 |
3е4 |
40 |
5 |
|
21 |
32 |
25 |
10 |
1,3 |
3е3 |
400 |
6 |
|
22 |
43 |
29 |
16 |
1,4 |
3е3 |
300 |
8 |
|
23 |
54 |
25 |
15 |
1 |
3е3 |
350 |
7 |
|
24 |
65 |
24 |
13 |
1,3 |
3е4 |
300 |
6 |
|
25 |
76 |
20 |
15 |
1,2 |
3е3 |
350 |
5 |
|
26 |
17 |
19 |
14 |
1,5 |
3е3 |
400 |
4 |
|
27 |
19 |
23 |
15 |
1,2 |
3е4 |
450 |
3 |
|
28 |
20 |
60 |
10 |
1 |
3е5 |
450 |
2 |
|
29 |
60 |
30 |
17 |
1,5 |
3е4 |
400 |
1 |
|
30 |
10 |
5 |
1 |
0,7 |
3е2 |
40 |
8 |
Контрольные вопросы.
1. Дана механическая система пружина-масса з демпфированием.
- а) движение системы при отсутствии внешней силы оиписывается выражением: , где
, - начальное условие. С помощью Matlab пронаблюдайте характер изменения положения массы, как реакцию на начальное условие . Рассмотрите случай, когда м, рад/с; , ,
2. Угловая скорость вращения спутника зависит от длины штанги . Передаточная функция, связывающая и приращение длины штанги , имеет вид: . Изменение длины штанги происходит согласно выражения . Необходимо:
а) аналитически найти закон изменения скорости , сопутствующие этому операции проводить с помощью Matlab. Построить график аналитического решения ;
б) получите модель объекта в пространстве состояния;
в) промоделируйте реакцию объекта на изменение длины штанги, которая происходит в соответствии с выражением , и сделает сравнительный анализ полученных результатов с п.а).
Лабораторная работа №4
Тема: синтез модальных регуляторов для SISO-объектов с помощью Matlab.
Цель: получение практических навыков проектирования модальных регуляторов состояния с помощью Matlab.
Краткие теоретические сведения.
Синтез путем размещения полюсов основан на использовании модели динамической системы во временной области, т.е. в пространстве состояний.
Постановка задачи: Дана линейная стационарная система
,
и скалярные переменные. Изначальное предположение: задающее воздействие .
Рис.4.1. – Структурная схема замкнутой САУ
В общем случае вход объекта является функцией ПС, т.е. закон управления . При синтезе закон управления определяется как где - вектор коэффициентов регулятора, имеет размерность . Закон управления можно записать в виде:
, (4.1)
т.е. сигнал, поступающий на вход представляет линейную комбинацию всех переменных состояния.
Задача синтеза. Определение желаемого положения корней характеристического уравнения замкнутой системы и нахождение коэффициентов , обеспечивающих заданное размещение корней. Коэффициенты модального регулятора определяются из равенства друг к другу двух видов характеристического уравнения замкнутой САУ: желаемого полинома:
и характеристического уравнения замкнутой системы:
.
В желаемом полиноме и есть корни замкнутой системы, которые определяются исходя из требований к показателям качества (время регулирования и перерегулирование ). Как расположить собственные числа (корни характеристического уравнения) замкнутой САУ исходя из показателей качества (рис.4.2)?
Рис.4.2. – Размещение доминирующей пары с.ч. замкнутой системы
Существуют следующие зависимости: . При , . Отсюда действительная часть корня равна: . Зная угол и прилежащий к углу катет , найдем мнимую часть корня: .
Поскольку обратная связь по переменным состояния не обеспечивает, в общем, высокой точности системы, поэтому задающее воздействие должно быть специальным образом изменено, чтобы добиться нулевых отклонений задания от выхода . На рис. 4.3 изображена структурная схема замкнутой системы с предварительным фильтром, который изменяет задающее воздействие с целью отработки входного сигнала системой без установившейся ошибки.
Рис.4.3. Структурная схема замкнутой системы с предварительным фильтром
По структурной схеме запишем уравнения динамики, выхода и управляющего воздействия на объект:
Запишем уравнение замкнутой системы :
. (4.2)
При , уравнение динамики примет вид:
, выражая отсюда вектор состояния, получим
, тогда уравнение выхода
.
Запишем статическую ошибку пока без фильтра :
.
Выберем предварительный фильтр так, чтобы , т.е. можно записать
, при , то
(4.3).
Если не проектировать предварительный фильтр, то нулевую статическую ошибку можно обеспечить за счет отрицательной обратной связи (ООС) по выходу И – регулятора в цепи рассогласования (рис4.4). Разумеется, введение в систему И – регулятора будет увеличивать порядок системы на единицу; если порядок объекта равен n, то система будет иметь порядок n + 1.
Рис. 4.4. Структурная схема замкнутой САУ с ООС по выходу
Запишем уравнения системы:
, (4.4)
где выбираются исходя из желаемого размещения полюсов передаточной функции замкнутой системы. Процедура синтеза заключается в следующем. Подставляя в уравнение динамики, получим:
(4.5)
Затем мы объединим переменную с вектором и образуем таким способом вектор состояния системы с обратной связью .
(4.6)
Уравнению (4.6) можно придать другую форму:
, (4.7)
где , ,
Уравнению (4.7) соответствует характеристическое уравнение
, (4.8)
которое имеет стандартную форму, используемую при синтезе систем путем размещения полюсов. Характеристическое уравнение имеет порядок (); следовательно, желаемое характеристическое уравнение мы должны задать в виде:
(4.9)
Таким образом,
(4.10)
В уравнении (4.10) значений известны, а неизвестными являются коэффициентов . Для их определения можно в (4.10) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части и получить систему из линейных уравнений.
Таким образом, в результате проведенных преобразований задача синтеза регулятора состояния для системы с ОС по состоянию и ООС по выходу системы с И-регулятором в цепи рассогласования, сведена к задаче синтеза модального регулятора (по расположению полюсов замкнутой системы), алгоритм которого известен. Однако, прежде чем проектировать регулятор, необходимо проверить, управляема ли система. Это можно проверить по критерию управляемости Калмана или по рангу матрицы . Ранг матрицы Р должен быть равен n+1.
Объект управления и его уравнения динамики.
В лабораторной работе для объекта, рассмотренного в л.р.№3, необходимо синтезировать две САУ:
- спроектировать модальный регулятор состояния с предварительным фильтром (рис. 4.3);
- спроектировать модальный регулятор состояния с интегратором в цепи рассогласования (рис.4.4).
Задачей системы автоматического управления является обеспечение заданного перемещения платформ и удерживание стержня маятника в вертикальном положении в установившемся режиме (угол ).
Показатели качества (время регулирования и перерегулирование ) для синтезируемой САУ задать самостоятельно, ограничение на управляющее воздействие принять .
Задание на проведение лабораторной работы.
Контрольные вопросы.
Лабораторная работа №5
Тема: Синтез оптимальных регуляторов для SISO-объектов с помощью Matlab.
Цель: Получение практических навыков проектирования оптимальных регуляторов состояния с помощью Matlab.
Краткие теоретические сведения.
Системы, в которых обеспечивается минимум соответствующей оценки качества, часто называют оптимальными системами управления. В этой работе мы рассмотрим проблему синтеза оптимальной системы, которая описывается переменными состояния. Метод решения задачи основан на измерении переменных состояния и формировании из них управляющего сигнала , оптимизирующего качество системы.
При проектировании реальных систем управления инженеры вынуждены считаться с энергетическими затратами на создание управляющего сигнала, т.е. находить золотую середину между требуемым качеством системы и энергозатратами на управление. Так, в системе управления транспортным средством, работающим на электроэнергии, представляет собой потребление энергии от аккумулятора и поэтому должно быть ограничено, чтобы обеспечить достаточную дальность поездки. Чтобы учесть затраты энергии на выработку управляющего сигнала, мы будем использовать оценку качества в виде:
, (5.1)
где - вектор состояния объекта управления; - управляющее воздействие на объект; - положительно определенная диагональная матрица весовых коэффициентов размерности ; - скалярный весовой коэффициент , который следует выбирать так, чтобы вклад переменных состояния в оценку качества был сопоставим со вкладом в нее второго слагаемого подынтегрального выражения (5.1), учитывающего ограниченные энергетические возможности системы. Как и ранее, управляющее воздействие мы ищем на классе линейных функций:
(5.2)
Оценка (5.1) имеет минимальное значение, если матрица коэффициентов обратной связи по состоянию будет равна:
, (5.3).
где Р - матрица размерности находится из решения алгебраического уравнения Риккати (AER):
, (5.4)
Уравнения (5.3) и (5.4) представляют собой необходимые условия оптимального управления в смысле минимизации функционала (5.1).
Для работы с оптимальным регулятором в Control System Toolbox имеется команда: K=lqr(А,В,Q,r). Для расчета значений коэффициентов веса руководствуйтесь рекомендациями:
(5.5)
Следует отметить немного о решении уравнения Риккати. Представим (5.4) в такой форме:
(5.6)
где - матрица Гамильтона, у неё собственных чисел , из которых - чисел с отрицательной вещественной частью и - чисел с .
Если найти , а к ним собственные вектора , тогда
, (5.7)
где - собственные вектора к собственным числам с .
Умножим (5.106) справа на :
и слева на , получим
. (5.8)
Сравнивая (5. 6) и (5.8), получим
(5.9)
Объект управления и его уравнения динамики.
В лабораторной работе для объекта, описанного в л.р.№3, необходимо синтезировать оптимальный линейно - квадратический регулятор состояния с предварительным фильтром.
Задачей системы автоматического управления является обеспечение заданного перемещения платформ и удерживание стержня маятника в вертикальном положении в установившемся режиме (угол ).
Показатели качества (время регулирования и перерегулирование ) для синтезируемой САУ задать самостоятельно, ограничение на управляющее воздействие принять .
Задание на проведение лабораторной работы.
Контрольные вопросы.
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
EMBED Visio.Drawing.6
u(t)
r(t)
y(t)
x1(t)
x2(t)
xn(t)
K1
…
K2
Kn
объект
-