Київський політехнічний інститут ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА.

Динаміка та аналітична механіка

Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічної роботи (РГР) для студентів технічних напрямів підготовки денної та заочної форм навчання

Київ

НТУУ «КПІ»

2013

Теоретична механіка. Динаміка та аналітична механіка. Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічної роботи (РГР) для студентів технічних напрямів підготовки денної та заочної форм навчання. Навчальне електронне видання/ Уклад.: В.Г.Савін, В.М.Федоров, Н.І.Штефан – К.:НТУУ “КПІ”, 2013. - 35с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ»

Навчальне електронне видання

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА.

Динаміка та аналітична механіка

Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічної

роботи (РГР) для студентів

технічних напрямів підготовки денної та заочної форм навчання

Укладачі: Савін Віктор Гурович,докт. техн.. наук, проф.

Федоров Володимир Миколайович, канд. техн. наук, доц.

Штефан Наталія Іллівна, канд. техн. наук, доц.

Відповідальний редактор: О.М.Юдін, канд. техн. наук, доц.

Рецензент: М. Г. Черняк, канд. техн. наук, доц.

ВСТУП

Рівень фахової кваліфікації інженера визначається не тільки вмінням виконувати поставлені завдання, застосовуючи сучасні методи дослідження, а й здатністю надавати достовірний, перевірений результат в якомога більш загальному вигляді.

Достовірність результату можна забезпечити, проаналізувавши розмірності складових в отриманих співвідношеннях, але це дозволяє знайти тільки частину можливих помилок. Повністю достовірний результат може бути отриманий тільки після вирішення поставленої задачі принципово іншим методом, в разі, коли отримані результати стовідсотково збігаються.

Дані методичні рекомендації спрямовані на формування у студента розуміння того беззаперечного факту, що вирішення будь-якої задачі різними методами, коли вони застосовані коректно, приводить до одного й того ж результату. Кожен з методів краще (компактніше, скоріше і т.п.) вирішує певний клас задач (знаходження активних сил, реакцій в’язей, законів руху точок і твердих тіл і т. і.), і гірше пристосований для вирішення інших задач. Але, зважаючи на те, що розв’язання реальних задач потребує стовідсоткової вірогідності, спеціаліст повинен вміти застосовувати всі доступні йому методи вирішення задачі.

Згідно робочим навчальним програмам дисципліни “Теоретична механіка” студенти після засвоєння теоретичної [1-4] та практичної [5-8] частини “Динаміка та аналітична механіка” повинні вміти розв’язувати задачі з дослідження динаміки механічної системи з використанням загальних теорем динаміки та принципів аналітичної механіки.

Методичні вказівки відносяться до частини теоретичної механіки “Динаміка та аналітична механіка” та охоплюють розділи: “Основні теореми динаміки. Теорема при зміну кінетичної енергії механічної системи”, ”Метод кінетостатики”, ”Динаміка твердого тіла”, ”Принцип можливих переміщень і принцип Д’Аламбера-Лагранжа”, “Рівняння Лагранжа другого роду”. Крім того, в методичних вказівках повторюються відомості із статики та кінематики, що є необхідними для розуміння матеріалу, який викладається.

Предметною основою матеріалу методичної розробки є сформульована в [7, стор.231-236] розрахунково-графічна робота “Застосування теореми про зміну кінетичної енергії для вивчення руху механічної системи”. В ній необхідно знайти прискорення тіла, що здійснює поступальний рух в складі механічної системи з заданими масо-габаритними характеристиками, яка починає рухатись із стану спокою.

Відмінними особливостями цих методичних вказівок є те, що:

1) в розрахунковій роботі за допомогою теореми про зміну кінетичної енергії системи треба знайти кінематичний параметр, вказаний в таблиці – це може бути поступальне прискорення тіла; кутове прискорення тіла, що обертається навколо нерухомої вісі; кутове прискорення тіла, що рухається плоскопаралельно, чи прискорення його центра мас. Це суттєво розширює кількість варіантів, що дозволяє кожному студенту працювати індивідуально;

2) результат – прискорення - представляється в аналітичній формі, тобто у вигляді формули, отримання якої здійснюється без будь-яких спрощуючих співвідношень між масами, величинами радіусів та ін. Чисельні дані серед вхідних параметрів відсутні, дані наведені тільки в “літерному” вигляді;

3) крім теореми про зміну кінетичної енергії механічної системи в методичних вказівках для отримання необхідного результату використовуються

- принцип Д’Аламбера-Лагранжа;

- рівняння Лагранжа 2 роду;

- метод кінетостатики.

Отримана всіма чотирма різними методами формула для визначення заданого завданням кінематичного параметру повинна повністю збігатися з отриманою іншими методами.

В представлених методичних вказівках подані 30 варіантів завдань розрахунково-графічної роботи з динаміки та аналітичної механіки, відповідно в кожному з них сформульовано запитання.

Після цього окремо проведено розв’язання демонстраційної задачі чотирма методами, що зазначені вище. До кожного з них наведені короткі теоретичні відомості. В результаті показано, що отримані в усіх методах відповіді збігаються.

Завдання до РГР

Механічна система, зображена на рис.1, являє собою декілька тіл, зв’язаних між собою невагомими нерозтяжними нитками. Вона починає рухатись із стану спокою під дією сил ваги, а також момента пари сил, прикладеного до диска з нерухомою віссю обертання.

Вважаємо відомими:

маси всіх тіл –
радіуси дисків –
радіуси інерції східчастих дисків
кути і нахилу похилих площин відносно площини горизонту;
коефіцієнт тертя ковзання тіл, що здійснюють поступальний рух по нерухомим поверхням (безрозмірний);
коефіцієнт тертя кочення тіл, що котяться без ковзання по нерухомим поверхням (розмірність – метр).

Треба знайти кінематичний параметр, вказаний в таблиці 1.

Табл.1

Варіант	Кінематичний параметр, що його треба знайти
	a	b	c	d	e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

В таблиці 1 параметр - прискорення тіла, що рухається поступально, чи прискорення центру мас диска, що котиться нерухомою поверхнею, - кутове прискорення тіла, що обертається навколо нерухомої осі чи здійснює плоскопаралельний рух.

Демонстраційна задача

Вантаж 1 масою прикріплений до кінця невагомої нерозтяжної нитки, перекинутої через однорідний диск 2 масою та радіусом і навитої на східчастий диск загальною масою та радіусами ступенів та . Радіус інерції східчастого диска відносно горизонтальної осі, що проходить перпендикулярно до площини малюнка через його центр мас, дорівнює . Рухаючись вертикально, вантаж 1 приводить у рух східчастий диск 3, що котиться без ковзання по похилій площині з кутом нахилу до горизонту .

Коефіцієнт тертя кочення диска 3 похилою площиною - .

На менший радіус диска 3 також навита невагома нерозтяжна нитка, що переміщує по цій же похилій площині вантаж 4 масою з коефіцієнтом тертя ковзання . До диска 2 прикладений момент пари сил .

В початковий момент часу ця механічна система знаходилась в стані спокою. Після зняття гальм система почала рухатись під дією сил ваги складових елементів та момента пари сил M.

Знайти лінійне прискорення вантажа1 (рис.2).

Подамо роз’вязання задачі чотирма методами.

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи

Згідно цієї теореми приріст кінетичної енергії матеріальної системи за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт зовнішніх та внутрішніх сил, що діють на точки матеріальної системи

У виразі (1.1) кінетична енергія =0 , тому що в початковий момент часу система знаходилась в стані спокою. Робота внутрішніх сил також дорівнює нулю, оскільки ми вважаємо, що тіла 1,2,3 та 4 в процесі руху не деформуються, а отже ми маємо справу з незмінною системою абсолютно твердих тіл. Тоді (1.1) має вигляд

Почнемо з правої частини виразу (1.2), тобто з суми робіт зовнішніх сил, що діють на точки матеріальної системи:

Проаналізуємо всі зовнішні сили. Для цього треба подумки укласти матеріальну систему в замкнутий об’єм. Зовнішні сили – це сили взаємодії між тілами всередині цього замкнутого об’єму та тілами, що знаходяться поза ним. Отже, по-перше, зовнішні сили – це сили ваги . По-друге, це – реакції в’язей, які деяким чином обмежують рух цих тіл. Для тіла 2 це реакції циліндричного шарніру та .

Для того, щоб вказати напрямок дії реакцій в’язей для тіл 3 і 4, треба припустити, що система рухається в одному з можливих напрямків. Якщо припустити, що тіло 1 рухається донизу, то диск 2 – обертається проти стрілки годинника, східчастий диск 3 переміщується вправо догори та обертається за стрілкою годинника, а тіло 4 рухається вправо вгору по нерухомій площині (покажемо напрямки руху стрілками).

Відповідно до вказаних напрямків руху реакція нерухомої поверхні при русі по ній східчастого диску 3 складається [2] з сили тертя кочення , прикладеної в миттєвому центрі швидкостей і спрямованої проти напрямку руху, та нормальної складової , зміщеної в напрямку руху на величину ( коефіцієнт тертя кочення).

Сила реакції поверхні при русі тіла 4 складається з нормальної складової та сили тертя ковзання, спрямованої проти напрямку руху, модуль якої за законом Кулона дорівнює: Fтр4=fN4.

Величини сил нормальних реакцій та отримаємо, спроєцювавши всі сили, прикладені до тіл 3 та 4, включаючи і сили натягу ниток, на ось, перпендикулярну напрямку її руху. Враховуючи те, що рух у цьому напрямку відсутній, отримаємо:

та .

Елементарна робота сил, прикладених до твердого тіла, дорівнює:

, (1.3)

де та - головний вектор та головний момент відносно центра зведення сил, що діють на тверде тіло; та - елементарні поступальне та обертальне переміщення центра зведення сил.

Елементарна робота сил, що діють на матеріальну систему, що розглядається, дорівнює:

(1.4)

Позначивши елементарне переміщення тіла 1, що здійснюється у напрямку стрілки, як , маємо =, Тіло 2 здійснює обертальний рух проти стрілки годинника. Коли воно повернеться на елементарний кут , момент, прикладений до нього, виконає роботу:

( роботи сил та дорівнюють нулю, оскільки сили прикладені до нерухомої точки).

Для того, щоб визначити елементарну роботу сил, прикладених до тіла 3, зведемо цю систему сил до миттєвого центру швидкостей (точка ). Тоді, знаючи, що миттєвий центр швидкостей – нерухомий, отримаємо у вигляді роботи головного моменту сил при обертанні навколо точки на елементарний кут :

(1.5)

(сила тертя кочення проходить через нерухому точку та роботи не виконує). Елементарна робота сил, що діють на тіло 4, на переміщенні дорівнює

. (1.6)

Отже, елементарна робота сил, що діють на матеріальну систему, дорівнює

(1.7)

Матеріальна система, що розглядається, має один степінь вільності, отже – переміщення, які здійснюють елементи цієї системи, є однозначно взаємозалежними. Ця взаємозалежність має вигляд наступних рівностей:

=. (1.8)

Тоді, підставивши співвідношення (1.8) в вираз (1.7), маємо:

(1.9)

Вважаючи, що тіло 1 з початкового до кінцевого моменту часу пройшло відстань , повна робота зовнішніх сил, прикладених до точок матеріальної системи буде дорівнювати:

Тепер обчислимо кінетичну енергію системи T, яку вона набула за цей же проміжок часу. Кінетична енергія системи складається з

- кінетичної енергії поступального руху тіл 1 і 4

, (1.11)

де та - лінійні швидкості цих тіл;

- кінетичної енергії обертального руху диску 2

(1.12)

де осьовий момент інерції диска 2 відносно осі, що проходить через центр мас та збігається з віссю обертання,- кутова швидкість обертання диска 2;

- кінетичної енергії плоскопаралельного руху східчастого диска 3, яка за теоремою Кеніга обчисляється як сума кінетичної енергії поступального руху тіла разом з центром мас та кінетичної енергії обертального руху тіла навколо центра мас:

(1.13)

де - лінійна швидкість центра мас диска 3,

- кутова швидкість обертання диска 3,

- момент інерції східчастого диска 3 відносно його центра мас,

- радіус інерції східчастого диска 3.

Неважко побачити ( пересвідчитись в цьому рекомендуємо студентам самостійно), що, розглядаючи плоскопаралельний рух диска 3 як миттєво-обертальний навколо миттєвої осі обертання, яка проходить через миттєвий центр швидкостей (точка ), кінетична енергія тіла 3 може бути записана у вигляді

, (1.14)

де за теоремою Штейнера .

Отже, кінетична енергія матеріальної системи дорівнює:

. (1.15)

Вище було зазначено, що оскільки система має один степінь вільності, то лінійні і кутові швидкості її складових взаємозалежні. Ця залежність може бути отримана зі співвідношень (1.8). Дійсно, маючи на увазі, що елементарні поступальні і обертальні переміщення тіл, здійснені за елементарний проміжок часу , є ніщо інше, як поступальні і обертальні швидкості, маємо:

; ; (1.16)

З урахуванням (1.16) вираз (1.15) отримає вигляд:

(1.17)

Прирівнюючи вирази (1.10) та (1.17), отримаємо:

= (1.18)

Пам’ятаючи, що матеріальна система, рух якої розглядається, є незмінною, стверджуємо що вирази в квадратних дужках в (1.18) є константами. Позначивши коефіцієнт при через , а коефіцієнт при через , перепишемо (1.18) так:

. (1.19)

Візьмемо похідну за часом від виразу (1.19)

(1.20)

Оскільки

(1.21)

то остаточно прискорення дорівнює:

(1.22)

Або

(1.23)

Перевіряючи розмірність складових в чисельнику і знаменнику (1.23), бачимо, що всі складові в чисельнику мають розмірність сили [H], а в знаменнику – розмірність маси [кг]. Отже, розмірність виразу в правій частині (1.23) – лінійне прискорення [].

Для варіантів, де треба знайти будь-який інший кінематичний параметр, кінетичну енергію і роботу треба виражати через відповідні змінні. Якщо в прикладі, який розглядається, треба знайти кутове прискорення східчастого диску 3, то:

- співвідношення між переміщеннями тіл аналогічно виразу (1.8) треба виразити через :

=, (1.24)

тоді елементарна робота згідно виразу (1.7) буде з урахуванням (1.24) виглядати так:

(1.25)

а повна робота зовнішніх сил, прикладених до точок матеріальної системи, за аналогією з (1.10), на кутовому переміщенні тіла 3 буде дорівнювати

(1.26)

- співвідношення між кутовими і лінійними швидкостями тіл, аналогічно виразу (1.16), повинні бути виражені через :

(1.27)

тоді кінетична енергія матеріальної системи, за аналогією з (1.17), буде мати вигляд:

= (1.28)

- позначаючи коефіцієнт при в виразі (1.28) як, а коефіцієнт при в виразі (1.26) як , маємо

(1.29)

І остаточно тобто:

Звідки очевидно, що

(1.31)

Рівність (1.31) збігається з рівністю, яку можна отримати, якщо взяти похідну за часом від першого з рівнянь (1.27).

Дослідження умов рівноваги механічної системи

Оскільки в роботі формула для прискорення отримана без врахування істинного напрямку руху, який визначається деяким співвідношенням між масами, радіусами, кутами, відповімо на питання – якою повинна бути маса тіла 1, щоб утримувати в рівновазі всю систему з заданими масогабаритними характеристиками. Приймемо для спрощення, що коефіцієнти тертя ковзання і кочення дорівнюють нулю:

().

2.1. Загальне рівняння статики

Для дослідження умов рівноваги за допомогою загального рівняння статики прикладемо до тіл матеріальної системи активні сили та момент сили

(рис.3) та надамо матеріальній системі можливих переміщень та .

Згідно загального рівняння статики для матеріальної системи, що знаходиться в рівновазі, на яку накладені ідеальні, стаціонарні в’язі, сума робіт активних сил на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю:

Отже

(2.2)

Враховуючи співвідношення між можливими переміщеннями

= (2.3)

вираз (2.2) прийме вигляд:

(2.4)

Оскільки , то скорочуючи на “” та “” , отримаємо:

(2.5)

Якщо маса тіла 1 буде більша, ніж обчислена за (2.5), то тіло 1 буде рухатись вниз, якщо – менше, то вгору.

2.2. Умови рівноваги кожного тіла окремо

Прикладемо до кожного тіла окремо (рис. 4) активні сили і реакції в’язей (як і раніше, вважаємо, що .)

Складемо рівняння рівноваги :

тіла 1 у вигляді рівності нулю сум проекцій сил на напрямок можливого руху

(2.6)

тіла 2 у вигляді рівності нулю сум моментів відносно вісі обертання:

(2.7)

тіла 3 у вигляді рівності нулю сум моментів відносно миттєвого центру швидкостей (точка

(2.8)

тіла 4 у вигляді рівності нулю сум проекцій сил на напрямок можливого руху:

(2.9)

Виразивши з (2.6),(2.7) та (2.9) відповідно:

(2.10)

підставимо (2.10) в (2.8), отримаємо:

(2.12)

що тотожно збігається з (2.5).

2.3. Рівновага як окремий випадок руху при

Прирівняємо до нуля вираз для з (1.23). Оскільки знаменник виразу (1.23) нулю не дорівнює, прирівняємо до нуля чисельник. Пам’ятаючи, що задача про умови рівноваги вирішувалась в припущенні, що , отримаємо:

(2.13)

що тотожно виразам (2.12) та (2.5).

3. Принцип Д’Аламбера-Лагранжа

Принцип Д’Аламбера-Лагранжа, або загальне рівняння динаміки, стверджує, що при русі механічної системи, на яку накладаються ідеальні стаціонарні в’язі, сума робіт активних сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю:

У виразі (3.1) - активні сили та моменти, що прикладені до точок матеріальної системи ( до них також відносяться неідеальні складові реакціх в’язей, наприклад, сили тертя). В цьому виразі - сили інерції, які за Д’Аламбером обраховуються як для поступального руху ( - маса тіла, що рухається поступально, - поступальне прискорення), та ; для обертального руху (– осьовий момент інерції, - кутове прискорення). Акцентуємо увагу на те, що сили інерції спрямовані (про це свідчить знак “-“ мінус) проти відповідного прискорення.

Покажемо на рис.5 активні сили та момент реакції неідеальних в’язей та , а також сили інерції поступального та обертального рухів (напрямки лінійних прискорень збігаються з напрямками елементарних переміщень , а напрямки кутових прискорень збігаються з напрямками елементарних кутів повороту (див. рис. 2).

Уявно надамо матеріальній системі можливих переміщень та (див. рис. 5) і запишемо суму можливих робіт зовнішніх сил у відповідності до (3.1)

(3.2)

З урахуванням того, що

співвідношень між кутовими прискореннями тіл та прискоренням центра мас тіла 3:

(3.3)

та співвідношень між можливими переміщеннями всіх тіл системи

вираз (3.2) прийме вигляд:

(3.5)

Скорочуючи (3.5) на а також переносячи складові з в одну частину рівняння, а складові без - в іншу, отримаємо для :

Вираз (3.6) є тотожним виразу (1.23).

При необхідності знайти інший кінематичний параметр, наприклад , необхідно у вираз (3.2) підставити замість співвідношень (3.3) аналогічні вирази кінематичних параметрів через , а саме

; (3.7)

4. Рівняння Лагранжа ІІ роду

Рівняння Лагранжа ІІ роду мають вигляд:

де - кінетична енергія матеріальної системи; - узагальнена координата,

узагальнена швидкість; - узагальнена сила, що відповідає цій узагальненій координаті.

У відповідності з тим, що визначенню підлягає прискорення , в якості узагальненої координати обираємо – вертикальне переміщення тіла 1. Інших узагальнених координат – немає, оскільки система має один степінь вільності .

Згідно (4.1) визначимо кінетичну енергію системи через обрану узагальнену координату та узагальнену швидкість . Використовуючи (1.17) з урахуванням , отримаємо:

Для знаходження узагальненої сили надамо системі можливого переміщення та запишемо роботу активних сил на цьому переміщенні. Скориставшись виразом (1.9), маємо:

(4.3)

Як відомо, коефіцієнтом у виразі при є узагальнена сила. Отже:

. (4.4)

Оскільки: а ,, підставляючи (4.4) та (4.2) в рівняння Лагранжа ІІ роду:

отримаємо результат, тотожний (1.23).

У разі необхідності знаходження наприклад в якості узагальненої координати треба обирати кут повороту тіла 3 - (тоді узагальнена швидкість буде ).

5.Метод кінетостатики

Інший спосіб вирішення вищесформульованої задачі пов'язаний з необхідністю складання диференціальних рівнянь руху кожного тіла окремо і подальшого вирішення цих рівнянь як системи.

Кожне з тіл подумки укладемо в замкнутий об’єм (рис. 6). До зовнішніх сил в цьому випадку додаються також сили натягу ниток (i=1,2,3).

Дуже важливим питанням при вирішені задачі цим методом є правильний вибір напрямків осей, в яких досліджується рух тіл. Для кожного з тіл покажемо додатній напрямок осей х, вздовж яких тіла рухаються поступально та прискорено (осі ) і додатній напрямок осей z, навколо яких тіла прискорено обертаються (осі

Як відомо диференціальне рівняння поступального руху тіла записується як , а обертального - . Рівняння плоскопараллельного руху – сукупність двох вищенаведених рівнянь.

Отже, диференціальне рівняння поступального руху тіла 1 вздовж осі х1 має вигляд:

. (5.1)

Диференціальне рівняння обертального руху диска 2 навколо осі z2 має вигляд:

. (5.2)

Диференціальне рівняння плоско паралельного руху тіла 3 складається з диференціального рівняння поступального руху центра мас вздовж осі х3 та диференціального рівняння обертального руху навколо осі z3, що проходить через центр мас

, (5.3)

. (5.4)

Диференціальне рівняння поступального руху тіла 4 вздовж осі х4 виглядає так:

. (5.5)

Розглядаючи рівняння (5.1-5.5) як систему рівнянь з урахуванням , отримаємо:

(5.6)

Лінійні Wi та кутові εi прискорення пов’язані між собою. Їх взаємозв’язок можна отримати, взявши похідну за часом від співвідношень (1.16)

; ; ; . (5.7)

З урахуванням (5.7) систему (5.6) перепишемо у вигляді:

(5.8)

Система з п’яти рівнянь являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з п’ятьма невідомими – чотирма силами (T1, T2, T3, T4) та прискоренням W1 поступального руху тіла 1.

Нескладно побачити, що виключаючи з третього та четвертого рівнянь системи (5.8) силу тертя Fтр3 , отримаємо рівняння

. (5.9)

З урахуванням того, що – момент інерції східчастого диску 3 відносно миттєвої осі обертання, а кутове прискорення тіла 3, можна стверджувати, що (5.9) – рівняння обертального руху диска 3 навколо миттєвої осі обертання.

Виключаючи з перших двох рівнянь (5.8) силу натягу T1, отримаємо:

(5.10)

Вирішуючи спільно рівняння (5.9) та п’яте рівняння з системи (5.8) з метою виключення сил натягу T3, маємо:

Виражаючи з (5.10) силу :

та підставляючи (5.12) в (5.11), з урахуванням того, що ;

отримаємо:

. (5.13)

Поділяючи чисельник та знаменик (5.13) на 2, отримаємо вираз для , тотожний (1.23).

В разі необхідності знаходження будь-якого іншого кінематичного параметру, наприклад , треба в (2.7) всі інші параметри виразити через :

;

Тоді система рівнянь (5.6) буде мати вигляд:

(5.15)
Вирішуючи систему рівнянь (5.15) відносно , отримаємо вираз, тотожний (1.30).

Продемонстроване розв’язання задачі з дослідження динаміки системи чотирма методами дає можливість проаналізувати переваги кожного з них.

Список рекомендованої літератури

1. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. Т.2.-М.:Наука, 1983.-640с.

2. Павловський М.А. Теоретична механіка: Підруч.-К.:Техніка, 2002.-512с.

3. Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Динамика.-К.: Вищашк., 1990.-480с.

4. Теоретична механіка. Динаміка і аналітична динаміка. Конспект лекцій/ Апостолюк О.С., Штефан Н.І., http://library : kpi. ua: 8080/handle/123456789/413

5. Теоретична механіка. Кінематика. Динаміка та аналітична механіка/ [Текст]: Навч. посіб. /Г.Я.Міщук, Н.І.Штефан.-К.: НТУУ “КПІ”, 2012.-196с.

6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах.- М.: Наука, 1990.- Т.2.-683с.

7. Теоретична механіка: Збірник задач/ О.С.Апостолюк, В.М.Воробьов, Д.І.Ільчишина та ін.; За ред. М.А.Павловського.-К.:Техніка, 2007.-400с.

8. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике.-М.:Наука, 1980.-446с.

9. Яблонский А.А. и др. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике.-М.: Высш.шк., 1978.- 240с.

Зміст

Вступ.................................................................................................................................3

Завдання до РГР...............................................................................................................5

Демонстраційна задача.................................................................................................11

1. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи......................11

2. Дослідження умов рівноваги механічної системи.......................................20

2.1. Загальне рівняння статики.................................................................21

2.2. Умови рівноваги кожного тіла окремо.............................................23

2.3. Рівновага як окремий випадок руху при ……………...........23

3. Принцип Д’Аламбера-Лагранжа...................................................................25

4. Рівняння Лагранжа II роду.............................................................................26

5. Метод кінетостатики.......................................................................................29

Список рекомендованої літератури.............................................................................34

EMBED Equation.DSMT4

1. Стрельна 50 на спине Девочки 2005г
2. мышечные препараты лапок лягушек на медном крючке
3. 1996 N 2ФЗ от 17121999 N 212ФЗ от 30
4. Основы теории электроприводов летательных аппаратов
5. Тема 9 ДЕНЬГИ И ИНФЛЯЦИЯ Цель и задачи темы- изучить основные закономерности функционирования денег в
6. а Но конечно этот афоризм нельзя понимать буквально
7. реферату- Міжособистісне розумінняРозділ- Психологія Міжособистісне розуміння Реальний механізм взаємо
8. Лабораторная работа- Проектування дволанкової розподіленої інформаційної системи для роботи з базами даних із використанням SQL Interbase
9. Определение мольной теплоемкости методом интерполяции
10. The cry of Time correltion The mrked member is built with the help of the discontinious form
11. Организация государственной службы Республики Беларус
12. Правила ведения телефонных переговоров.html
13. Особенности осушения минеральных переувлажнённых почв Нечернозёмной зоны с низкой водопроницаемостьюкур
14. Частная детективная и охранная деятельность в Р
15. Социология личности1
16. ционального землепользования; территориальные органы Федеральной службы по земельному кадастру осуществ
17. Стихийное массовое поведение понятие, социальный феномен и предмет исследования
18. Расчет структурированной кабельной системы офисных помещений 3-этажного здания
19. Саудівська Аравія
20. Осуществить приемку кисломолочных напитков в молочном отделе

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе