Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3.5 Связь между кинетической энергией в различных системах отсчета.
Поскольку скорость движения есть величина относительная, зависящая от выбора системы отсчета, то кинетическая энергия также зависит от выбора системы отсчета. Скорость относительного движения равна , тогда скорость движения материальной точки в одной системе отсчета будет , а в другой :
(3.38)
Соответственно:
(3.39)
(3.40)
подставим (3.38) в (3.40), тогда с учетом (3.39)
(3.41)
Формула (3.41) выражает связь между кинетической энергией материальной точки в двух различных системах отсчета.
Точно такое же соотношение можно было бы записать и для твердого тела, разбив его на материальные точки, записав для каждой материальной точки уравнение (3.41), а затем просуммировать по всем материальным точкам на которое разбито тело.
Если обозначить - массу всего тела, то формула (3.41) принимает вид:
(3.42)
Если тело движется поступательно, то скорость движения всех его точек равны по величине и направлению, и тогда формула (3.42) упрощается:
(3.43)
- скорость движения центра масс.
Если в качестве одной из систем отсчета выбрать систему отсчета центра масс, то это значит , и формула (3.43) упрощается:
(3.44)
Формула (3.43) выражает собой теорему Кенига.
Теорема Кенига: Кинетическая энергия твердого тела в одной системе отсчета равна кинетической энергии этого тела в другой системе отсчета, сложенной с кинетической энергией относительного движения тела одной системы отсчета относительно другой.
3.6 Кинетическая энергия движения тела, как целого. Энергия вращающегося тела.
Рассмотрим твердое тело участвующее одновременно в двух движениях: поступательном и вращательном.
Это означает, что каждая точка этого тела имеет две скорости, одна из которых обусловлена поступательным движением, а вторая вращательным.
Выделим вращательное движение твердого тела и найдем кинетическую энергию соответствующую этому движению.
Для этого мысленно разобьем тело на точки.
Кинетическая энергия каждой точки:
(3.45)
Где скорость (3.46)
Тогда (3.47)
Т. к. момент инерции для каждой точки равен:
(3.48)
то (3.49)
Для этого тела:
(3.50)
(3.51)
Мы получили формулу для кинетической энергии вращательного движения твердого тела.
Общая кинетическая энергия будет находятся по формуле:
(3.52)
Если тело находится без проскальзывания (пробуксовки) и является сферически симметричным, то между скоростью его поступательного движения и угловой скоростью существует обычная связь:
(3.53)
и тогда, зная формулу для момента инерции, можно упростить формулу (3.52).
Для шара:
(3.54)
Из этого следует, что кинетическая энергия катящегося тела больше, чем этого же тела движущегося поступательно.
3.7 Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия.
Среди всех сил используемых в механике выделяется особый класс сил так называемые консервативные силы.
Это силы, работа которых не зависит от формы траектории по которой перемещается тело, а зависит только от начального и конечного положения тела.
Рассмотрим, например, работу силы тяжести:
Пусть тело массой , перемещается из 1 в 2, под действием силы тяжести.
В каждой сила тяжести направлена вертикально. 1
h1 2
h2
Тогда работа силы тяжести может быть найдена по формуле:
(3.55)
Будем считать, что 1 находится на некоторой высоте h1, а 2 h2 от произвольного нулевого уровня.
Тогда формула (3.55) принимает вид:
(3.56)
Формула (3.56) означает, что работа силы тяжести равна уменьшению некоторой новой величины, которая называется ПАОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ.
(3.57)
Потенциальная энергия силы тяжести:
(3.58)
Таким образом, сила тяжести это консервативная сила, которая обладает потенциальной энергией.
Если ввести ось z, направленную вертикально вверх, то можно показать, что:
(3.59)
На этом примере получены формулы, справедливые для всех консервативных сил, т. е. работа любой консервативной силы F будет равна убыли (уменьшению) потенциальной энергии, которой обладает тело, благодаря действию на него данной силы.
(3.60)
Кроме того, если потенциальная энергия зависит от координат x, y, z, то можно записать формулы:
(3.61)
которые выражают проекции силы.
Вывести формулы для 2х потенциальных энергий:
1) гравитационного притяжения 2х .
2) силы упругости?
1) Когда 1я частица неподвижна и находится в начале координат, можно записать:
F центральная сила, действующая на эту частицу.
r радиус вектор этой точки.
А работа внешних сил.
Если частица притягивается к силовому центру, работа на произвольном пути от 1 до 2, определяется выражением:
приняв эту работу убыли потенциальной энергии:
получим: (10)
в случае гравитационного притяжения частиц
получаем: (20)
Сопоставление (10) и (20) дает для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия 2х частиц выражение:
2) Установить, что как для растяжения, так и для сжатия пружины на величину х нужно совершить работу
эта работа идет на приращение потенциальной энергии пружины от удлинения х, и имеет вид:
Если в результате действия консервативной силы, тело возвращается в исходную , т. е. работа совершается по замкнутому контуру, ясно, что такая работа будет равна нулю:
(3.62)
работа по замкнутому контуру.
Соотношение (3.62) также является критерием того, что силы совершающие работу А консервативны.
Все остальные силы, которые не являются консервативными, являются неконсервативными.
Примеры неконсервативных сил:
1) диссипативные (рассеянные);
2) силы трения или сопротивления.
3.8 Закон изменения и сохранения механической энергии. Абсолютно упругий удар.
Из выражений для работы силы тяжести, упругости и тяготения следует, что изменение потенциальной энергии равно работе консервативных сил с противоположным знаком:
Для системы тел представим работу всех сил (А) в виде суммы работ консервативных сил (Ак), неконсервативных сил (Ан) и внешних сил (Ав):
следовательно:
т. к. изменение полной механической энергии:
а
то
механическую энергию работа консервативных сил не меняет.
Система тел консервативна, если среди внутренних сил системы отсутствуют неконсервативные силы. Для консервативных систем тел , а в замкнутой системе тел .
Закон сохранения механической энергии: механическая энергия консервативной замкнутой системы тел не изменяется при всех процессах, происходящих в системе.
или
W=[Нм]=Дж
Рассмотрим такое взаимодействие двух тел, в результате которого кинетическая энергия тел до взаимодействия равна кинетической энергии после взаимодействия. Такое взаимодействие будем называть АБСОЛЮТНО УПРУГИМ УДАРОМ.
Обозначим массы,
скорости до удара,
скорости после удара.
Закон сохранения кинетической энергии:
(3.63)
В этом уравнении две неизвестные: и , поэтому, для того, чтобы задача была решаемой надо привлечь закон сохранения импульса:
(3.64)
решим эту систему уравнений:
(3.65)
Из (3.65) выражаем :
И подставляем закон сохранения импульса:
(3.66)
(3.67)
3.9 Общий физический закон сохранения энергии, законы сохранения и симметрия в пространстве и времени.
Яворский «Курс физики» стр. 60 прагр.56.
Сумму тел называют полной механической энергией.
Полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной при любых движениях тел этой системы, если между телами действуют силы тяготения или упругости.
Глава 4.
Принцип относительности в механике.
Элементы релятивистской динамики.
4.1 Инерциальные системы отсчета и принцип относительности Галлилея. Инварианты преобразований Галилея.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (ИСО), движущиеся относительно друг друга с некоторой постоянной скоростью . Условно примем за неподвижную систему отсчета XYZ, а за подвижную X`Y`Z`.
Z Z`
M
o` Y`
Y
o X`
X
Из чертежа видно, что между радиусвекторами существует связь:
(4.1)
(4.2)
При этом мы предположим, что в начальный момент времени точки О и О` совпадают:
(4.3)
Кроме соотношения (4.3) необходимо установить связь между значениями времени в системе отсчета XYZ и временем в X`Y`Z`
(4.4)
предположим, что это время течет одинаково.
Соотношения (4.3) и (4.4) выражают преобразования Галилея.
Запишем эти преобразования в скалярной форме:
(4.5)
Наиболее просто преобразования Галилея выглядят в том случае, когданаправлен вдоль одной из осей координат.
Предположим, что направлен вдоль оси Х, тогда:
следовательно: (4.6)
Если соотношение (4.3) продифференцировать по времени, то получим:
(4.7)
Ясно, что: (4.8)
Тогда (4.7) приобретает вид:
(4.9)
формула (4.9) выражает собой теорему сложения скоростей в классической механике.
Теорема: Скорость движения относительно системы К равна сумме скорости движения относительно системы К и скорости системы К` относительно системы К.
Рассмотрим, как меняется расстояние между двумя ми при переходе от одной СО к другой.
Пусть имеются две ки М1 и М2, их радиусвекторы r1 и r2, и, соответственно и в другой СО.
Тогда: (4.10)
Если в (4.10) подставить (4.3), то мы увидим, что:
(4.11)
Т. е. расстояние между двумя не меняется, такие величины называют инвариантами соответствующих преобразований координат.
Аналогично можно показать, что не меняется и скорость относительного движения двух .
Дифференцируя по времени (4.10) получаем:
Силы взаимодействия между двумя могут зависеть либо от расстояния между ними, либо от скорости их относительного движения, или и от одного и от другого.
Т. к. обе эти величины инвариантны относительно преобразований Галилея следовательно инвариантом является и сила.
(4.12)
Рассмотрим второй и третий законы Ньютона.
В разных СО эти законы имеют разный вид:
(4.13)
(4.14)
Инвариантность третьего закона Ньютона вытекает из соотношения (4.12).
Что касается второго закона Ньютона, то необходимо установить связь между ускорениями и .
(4.15)
Таким образом, ускорение также инвариант, и, следовательно, второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея.
Итак, можно сделать вывод:
Все законы механики одинаковы в любых инерциальных системах отсчета. Это утверждение называют ПРИНЦИПОМ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛЛИЛЕЯ.
Существует еще одна формулировка принципа Галлилея:
Никакими механическими опытами, поставленными в ИСО, невозможно установить движется эта система или покоится.
Следствием из принципа Галилея является тот факт, что все ИСО эквивалентны, равносильны.
4.2 Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.
Представляет интерес ответ на вопрос: «Как ведут себя и все остальные физические законы, т. е. не только физические, при переходе от одной системы отсчета к другой?»
Ответ содержится в специальной теории относительности (СТО).
В основе этой теории лежат два постулата:
1. Любые физические законы одинаковы во всех инерциальных СО. (этот постулат является обобщением принципа относительности Галилея и называется принципом относительности ПуанкареЛоренца). Его можно сформулировать иначе: Никакими физическими опытами, поставленными внутри ИСО, невозможно установить, движется эта система или покоится.
2. Постулат постоянной скорости света. Скорость света в вакууме есть величина постоянная, не зависящая от скорости движения источника света.
Постулаты теории относительности привели к изменению фундаментальных представлений о пространстве и времени.
Так из них следует, что необходимо вводить свое время в каждой ИСО т. е.
Докажем это:
Рассмотрим две ИСО, начало отсчета, которых в начальный момент времени совпадают и в этой же точке находится источник света, который в момент времени t=0, на короткое время вспыхивает.
За время t световой сигнал пройдет расстояние равное ct и достигнет окружности, радиус которой также равен ct:
Это будет происходить в системе отсчета XYZ, в движущейся СО X`Y`Z`, за время t, произойдет смещение О` и световой импульс также достигнет окружности, но с центром в другой .
Таким образом, если предположить, что время t и t` одинаково, то отсюда следует противоречивый результат, который заключается в том, что световой импульс достигает одновременно двух точек пространства.
Z Z`
O O` X X`
Y Y`
Преобразования координат, связывающие координаты в штрихованной и не штрихованной СО, запишем в частном простом случае, когда СО движутся с относительной скоростью , направленной вдоль оси Х.
В этом случае: (4.16)
Преобразования (4.16) называются преобразованиями координат Лоренца.
Эти преобразования координат можно вывести исходя из следующих предположений:
1) Запишем уравнение сферы, поверхности которой достигает световой сигнал в двух СО:
(4.17)
Т. к. это одна и та же сфера, то будет выполнятся равенство:
(4.18)
Соотношение (4.18) означает инвариантность той поверхности, которой достигает световой импульс за время t.
2е предположение: Будем считать, что преобразования координат линейными, т. е. они должны иметь вид: (4.19)
В систему уравнений (4.19) подставляем координаты точек О и О`(т. е. начал координат), записанные в различных системах отсчета.
(4.20)
(4.21)
Значение координат (4.20) и (4.21) подставим в (4.19).
Получим соотношения между коэффициентами и .
Воспользуемся этими соотношениями для того, чтобы упростить (4.19).
Из этой упрощенной системы находим значения штрихованных координат и подставляем их в равенства (4.18), затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях координат и в результате получаем систему уравнений, относительно коэффициентов и , подстановка которых в (4.19) дает систему преобразований (4.16), т. е. преобразований Лоренца.
Вывод этот надо делать?
Из преобразований координат (4.16) следует, что теперь расстояние между двумя , взятыми в двух различных системах отсчета, будут изменяться при переходе от одной системы отсчета к другой, т. е. эти расстояния перестают быть инвариантами.
Преобразования времени в (4.16) приводят к тому, что и промежутки времени между двумя событиями также перестают быть инвариантами, т. е. изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой.
4 Относительность длин и промежутка времени. Абсолютные и относительные скорости и ускорения.
4.2 Относительность длин и промежутков времени.
1. Ввести понятие Лоренцева сокращения?
2. Вывести формулу для Лоренцева сокращения?
3. Какие линейны е размеры называют собственными?
4. Что означает относительность линейных размеров тел?
5. Какое время называют собственным?
6. Вывести формулу для преобразования промежутков времени?
7. Что означает релятивистское замедление времени?
1. Из преобразований Лоренца следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения. Это изменение продольного размера тела при его движении называют ЛОРЕНЦЕВЫМ СОКРАЩЕНИЕМ.
Пусть длина стержня, покоящегося в системе отсчета К`.
Y Y`
K K`
x1 x2 X`
O` X
O x1(t) x2(t)
Если стержень расположен вдоль оси O`X`, то , х1` и x2` координаты концов стержня.
Поскольку стержень движется, нужно произвести одновременный отсчет коордтнат его концов х1` и x2` в некоторый момент времени t. Разность координат дает длину стержня в системе К.
Для сопоставления длин возьмем формулу преобразований Лоренца, которая свяжет координаты x,x` и время t системы.
7. Закономерность, рассмотренная ниже в пункте 6 свидетельствует о существовании релятивистского эффекта замедления хода времени в движущейся ИСО по сравнению с неподвижной. Часы, движущиеся со скоростью относительно данной ИСО, идут медленнее в раз, чем неподвижные; следовательно, в согласии с принципом относительности, все физические процессы в движущейся системе отсчета протекают медленнее, чем в неподвижной. Эффект замедления хода становится заметным только при очень больших скоростях движения , близких к скорости света в вакууме.
К 4.3
Формула (4.28) представляет собой не только формулу преобразования скорости при переходе от одной СО к другой, но, также и формулу сложения скоростей в релятивистской динамике. Причем, структура этой формулы такова, что даже в том случае, когда два тела движутся навстречу друг другу со скоростью, равной скорости света, все равно скорость их относительного движения будет равна не 2С, а просто С.
Это говорит о том, что формула релятивистского сложения скоростей согласуется со вторым постулатом теории относительности.
Заменив разности координат длинами стержня, а относительную скорость систем К и К`, равной ей скоростью стержня , с которой он движется в системе К, придем к формуле:
5. Время, измеряемое по часам, движущимся вместе с данным объектом называют СОБСТВЕННЫМ ВРЕМЕНЕМ.
6. Пусть в движущейся ИСО К` два рассматриваемых события 1 и 2 происходят в одной и той же неподвижной относительно K` точке А(х2`=х1`) в моменты времени t1 и t2, так, что промежуток времени между этими событиями относительно неподвижной ИСО К.
Точка А движется с той же скоростью , что и система К`. Поэтому в К события 1 и 2 совершаются в разных точках пространства с координатами х1 и х2 =, где промежуток времени между событиями 1 и 2 по часам в системе отсчета К. Из преобразований Лоренца следует, что:
Рассмотрим каким образом преобразуется скорость движения точки при переходе от одной ИСО к другой. Нештрихованной системе скорость может быть записана:
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
Подставим (4.27) в (4.25):
(4.28)
Эти формулы выражают закон сложения скорости в релятивистской кинематике.
При помощи аналогичной процедуры можно вывести формулу, которая будет связывать ускорение в штрихованной и нештрихованной системах отсчета.
Ускорение в штрихованной СО находится по формуле:
(4.29)
Перепишем правую часть первой из формул в виде:
(4.30)
Первый сомножитель в этой формуле можно найти используя связь между и:
(4.31)
4.4 Релятивистская динамика. Уравнение движения релятивистской частицы. Инвариантность уравнения движения относительно преобразований Лоренца.
Если математическое уравнение выражающее некоторый физический закон не меняет своего вида при переходе от одной системы отсчета к другой, от говорят, что этот закон КОВАРИАНТЕН относительно преобразований координат Лоренца.