Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока.
Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.
Определим количество энергии, выделяемой за период в проводнике с сопротивлением R для каждого из токов и приравняем их.
(2.6)
Из (2.6) следует:
Для любой из синусоидальных величин получаем
; .
Условились, что все измерительные приборы показывают действующие значения. Например, 220 В – действующее значение, тогда .
Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:
.
Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ
(2.7)
ψ = w Ф.
Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки
(2.8)
L = ψ / i.
При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции
eL = - dψ / dt.
С учетом соотношения (2.8) для eL получаем
(2.9)
eL = - L · di / dt.
Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение
(2.10)
uL = -eL.
Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем
(2.11)
uL = L · di / dt
Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.
Условное обозначение индуктивности
Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.
Условное обозначение реальной индуктивности.
Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы
1 мкГн = 10–6 Гн; 1 мкГн = 10–3 Гн.
Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению
C = Q / UC.
С учетом соотношения
i = dQ / dt
получаем формулу связи тока с напряжением
i = C · duC / dt.
Для удобства ее интегрируют и получают
(2.12)
uC = 1 / C · ∫ i dt.
Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.
Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.
Единицей измерения емкости является фарада:
1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.
Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения
1 пФ = 10–12 Ф, (пФ – пикофарада);
1 нФ = 10–9 Ф, (нФ – нанофарада);
1 мкФ = 10–6 Ф, (мкФ – микрофарада).
Условным обозначением емкости является символ
Простейшие цепи – цепи, содержащие один элемент.
Рис. 2.6
Зададимся изменением тока в резисторе по синусоидальному закону
i(t) = ImR sin(ωt + ψi).
Воспользуемся законом Ома для мгновенных значений тока и напряжения
u(t) = R i(t)
и получим
(2.13)
u(t) = R ImR sin(ωt + ψi).
Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид
(2.14)
u(t) = UmR sin(ωt + ψu)
Соотношения (2.13) и (2.14) будут равны если будут выполнены условия равенства амплитуд и фаз
(2.15)
UmR = R ImR,
(2.16)
ψu = ψi.
Соотношение (2.15) может быть записано для действующих значений
(2.17)
UR = R IR.
Соотношение (2.16) показывает, что фазы напряжения и тока в резисторе совпадают. Графически это представлено на временной диаграмме (рис. 2.7) и на комплексной плоскости (рис. 2.8).
Рис. 2.7 и 2.8
Рис. 2.9
Зададим изменение тока в индуктивности по синусоидальному закону
i(t) = ImL sin(ωt + ψi).
Используем уравнение связи между током и напряжением в индуктивности
uL = L · di / dt
и получим
uL(t) = ωL · ImL cos(ωt + ψi).
Заменим cos на sin и получим
(2.18)
uL(t) = ωL · ImL sin(ωt + ψi + 90°).
Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид
(2.19)
uL(t) = UmL sin(ωt + ψu).
Соотношения (2.18) и (2.19) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз
(2.20)
UmL = ωL · ImL,
(2.21)
ψu = ψi + 90°.
Уравнение (2.20) можно переписать для действующих значений
(2.22)
UL = ωL · IL.
Уравнение (2.21) показывает, что фаза тока в индуктивности отстает от фазы напряжения на 90°. Величину XL = ωL в уравнении (2.20) называют индуктивным сопротивлением. Единицей его измерения является Ом. Графически электрические процессы в индуктивности представлены на рис. 2.10, 2.11.
Рис. 2.10 и 2.11
Рис. 2.12
Зададим изменение тока в емкости по синусоидальному закону
i(t) = ImC sin(ωt + ψi).
Используем уравнением связи между током и напряжением в емкости
uC = 1 / C · ∫ i dt,
и получим
uC = 1 / (ωC) · ImC (-cos(ωt + ψi)).
Заменим –cos на sin
(2.23)
uC = 1 / (ωC) · ImC sin(ωt + ψi - 90°).
Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид
(2.24)
uC = UmC sin(ωt + ψu).
Соотношения (2.23) и (2.24) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз
(2.25)
UmC = 1 / (ωC) · ImC,
(2.26)
ψu = ψi - 90°.
Уравнение (2.25) можно переписать для действующих значений
(2.27)
UC = 1 / (ωC) · IC.
Уравнение (2.26) показывает, что фаза напряжения в емкости отстает от фазы тока на 90°. Величину XC = 1 / (ωC) в уравнении (2.25) называют емкостным сопротивлением цепи и измеряют его в Омах. Графически электрические процессы в емкости представлены на рис. 2.13, 2.14.
Рис. 2.13 и 2.14
В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.
Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение
Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.
Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное xL и емкостное хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула XL = ωL. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина xL линейно зависит от частоты.
Для емкостного сопротивления выше была получена формула XC = 1 / ωC. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = XL - XC.
Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину
(2.28)
.
Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением
(2.29)
φ = arctg((XL - XC) / R),
и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно дать дополнительные связи
(2.30)
R = Z cos φ,
(2.31)
X = Z sin φ.
По аналогии с мощностью в цепях постоянного тока P = U I, в цепях переменного тока рассматривают мгновенную мощность p = u i. Для упрощения рассмотрим мгновенную мощность в каждом из элементов R, L и С отдельно.
Зададим напряжение и ток в виде соотношений
u(t) = Um sin(ωt + ψu),
i(t) = Im sin(ωt + ψi).
Известно, что для резистора ψu = ψi, тогда для р получим
(2.32)
p(t) = u(t) i(t) = Um Im sin2(ωt + ψi).
Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность
(2.33)
.
Если записать Um и Im через действующие значения U и I: , , то получим
(2.34)
P = U I.
По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).
Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψu = ψi + 90°. Для мгновенной мощности имеет
(2.35)
.
Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим
.
Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину QL равную максимальному значению рL
(2.36)
QL = (Um Im) / 2
и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу UL = I XL получим
(2.37)
QL = I2 XL.
Известно, что в емкости соотношение фаз ψu = ψi - 90°. Для мгновенной мощности получаем
pC(t) = u(t) I(t) = (Um Im) / 2 · sin(2ωt).
Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину QC = I2 XC, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.
Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями
(2.37)
P = U I cos φ,
(2.38)
Q = QL - QC,
(2.39)
Q = U I sin φ,
где φ – угол сдвига фаз.
Вводят понятие полной мощности цепи
(2.40)
.
С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде
(2.41)
S = U I.
Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.
Проведем анализ работы электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.
Положим, что в этой задаче заданы величины R, L, С, частота f, напряжение U. Требуется определить ток в цепи и напряжение на элементах цепи. Из свойства последовательного соединения следует, что ток во всех элементах цепи одинаковый. Задача разбивается на ряд этапов.
1. Определение сопротивлений.
Реактивные сопротивления элементов L и С находим по формулам
XL = ωL, XC = 1 / ωC, ω = 2πf.
Полное сопротивление цепи равно
,
угол сдвига фаз равен
(2.42)
φ = arctg((XL - XC) / R),
2. Нахождение тока. Ток в цепи находится по закону Ома
I = U / Z, ψi = ψu + φ.
Фазы тока и напряжения отличаются на угол φ.
3. Расчет напряжений на элементах. Напряжения на элементах определяются по формулам
UR = I R, ψuR = ψi ;
UL = I XL, ψuL = ψi + 90° ;
UC = I XC, ψuC = ψi - 90°.
Для напряжений выполняется второй закон Кирхгофа в векторной форме.
Ú = ÚR + ÚL + ÚC.
4. Анализ расчетных данных. В зависимости от величин L и С в формуле (2.42) возможны следующие варианты: XL > XC; XL < XC; XL = XC.
Для варианта XL > XC угол φ > 0, UL > UC. Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.16).
Для варианта XL < XC угол φ < 0, UL < UC. Ток опережает напряжение на угол φ. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.17).
Для варианта XL = XC угол φ = 0, UL = UC. Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление z=R наименьшее из всех возможных значений XL и XC. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.18).
Этот режим называется резонанс напряжений (UL = UC). Напряжения на элементах UL и UC могут значительно превышать входное напряжение.
Пример.
U = 220 B, f = 50 Гц, R = 22 Ом, L = 350 мГн, С = 28,9 мкФ.
XL = ωL = 2πf L = 2 · 3,14 · 50 · 0,35 = 110 Ом;
XC = 1 / ωC = 1 / (2πf C) = 110 Ом;
Z = R = 22 Ом, φ=0, I = U / R = 220 / 22 = 10 А, ψu = ψi;
UL = UC = I XL = 10 · 110 = 1100 В.
В приведенном примере UL и UС превышают входное напряжение в 5 раз.
Проведем анализ работы электрической цепи с параллельным соединением элементов R, L, С. Рассмотрим следующую схему.
Положим, что заданы величины R1, R2, L, С, частота f и входное напряжение U. Требуется определить токи в ветвях и ток всей цепи.
В данной схеме две ветви. Согласно свойству параллельного соединения, напряжение на всех ветвях параллельной цепи одинаковое, если пренебречь сопротивлением подводящих проводов.
Задача разбивается на ряд этапов
1. Определение сопротивлений ветвей.
Реактивные сопротивления элементов L и С определяем по формулам
XL = ωL, XC = 1 / ωC, ω = 2πf.
Полное сопротивление ветвей равны
, ,
соответствующие им углы сдвига фаз
φ1 = arctg(XL / R1), φ2 = arctg(XС / R2).
2. Нахождение токов в ветвях.
Токи в ветвях находятся по закону Ома
I1 = U / Z1, ψi1 = ψu + φ1, I2 = U / Z2, ψi2 = ψu + φ2.
3. Нахождение тока всей цепи.
Ток всей цепи может быть найден несколькими методами: графическим, методом мощностей, методом проекций и методом проводимостей.
Чаще всего используют метод проекций и метод проводимостей. В методе проекций ток I1 и I2 раскладываются по две ортогональные составляющие активную и реактивную. Ось активной составляющей совпадает с вектором напряжения U. Ось реактивной составляющей перпендикулярна вектору U (рис. 2.20).
Активные составляющие токов равны
I1а = I1 cos φ1, I2а = I2 cos φ2,
(2.43)
Iа = I1а + I2а.
Реактивные составляющие токов равны
I1р = I1 sin φ1, I2р = I2 sin φ2,
(2.44)
Iр = I1р - I2р.
В последнем уравнении взят знак минус, поскольку составляющие I1р (индуктивная) и I2р (емкостная) направлены в разные стороны от оси U.
Полный ток находится из уравнений
(2.45)
,
(2.46)
φ = arctg(Iр / Iа).
В методе проводимостей также используется разложение на активные и реактивные составляющие. Используя уравнение (2.30) активные составляющие токов записываются в виде
(2.47)
,
где через g1 = R1 / Z12 обозначена величина названная активной проводимостью первой ветви. Аналогичным образом получим
, (2.48)
где g2 = R2 / Z22; а величину g = g1 + g2 называют активной проводимостью всей цепи.
Используя уравнение (2.31) запишем реактивные составляющие токов
,
,
где b1 и b2 – реактивные проводимости ветвей b1 = XL / Z12, b2 = XC / Z22. Для реактивной проводимости всей цепи имеем
(2.50)
b = b1 - b2.
В этом уравнении взят знак минус, из тех же соображений, как и в уравнении (2.44). Величина тока I и угол φ находятся из соотношений (2.45) и (2.46).
4. Анализ расчетных данных.
В зависимости от соотношения реактивных проводимостей b1 и b2 возможны три варианта: b1 > b2; b1 < b2; b1 = b2.
Для варианта b1 > b2 имеем I1р > I2р, φ > 0. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 2.21.
При b1 < b2 токи I1р < I2р, φ < 0. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 2.22.
Если b1 = b2, то I1р = I2р, φ = 0. Цепь имеет чисто активное сопротивление. Ток потребляемый цепью от источника наименьший. Этот режим называется резонанс токов. Векторная диаграмма изображена на рис. 2.23.
Активная мощность потребителя определена формулой
P = U I cos φ.
Величину cos φ здесь называют коэффициентом мощности. Ток в линии питающей потребителя с заданной мощностью Р равен
(2.51)
I = P / (U cos φ).
и будет тем больше, чем меньше cos φ. При этом возрастают потери в питающей линии. Для их снижения желательно увеличивать cos φ. Большинство потребителей имеет активно-индуктивную нагрузку. Увеличение cos φ возможно путем компенсации индуктивной составляющей тока путем подключения параллельно нагрузке конденсатора (рис. 2.24).
Расчет емкости дополнительного конденсатора для обеспечения заданного cos φ проводится следующим образом. Пусть известны параметры нагрузки Pн, U и Iн . Можно определить cosφн
cos φн = P / (U Iн).
Из п. 2.8.3 следует, что подключение емкости не изменяет активную составляющую нагрузки
(2.52)
Iна = Iн cos φн = Pн / U
Реактивная составляющая нагрузки Iнр может быть выражена через tg φн
Iнр = Iна tg φн.
При подключении емкости величина Iнр уменьшается на величину IC.
Если задано, что коэффициент мощности в питающей линии должен быть равен cos φ, то можно определить величину реактивной составляющей тока в линии
Iр = Iа tg φ.
Уменьшение реактивной составляющей нагрузки с Iнр до Iр определяет величину тока компенсирующей емкости
(2.53)
IC = Iнр - Iр = Iа (tg φн - tg φ).
Подставляя в уравнение (2.53), значение Iна из (2.52) и учитывая, что IC = U / XC = U ωC, получим U ωC = Pн / U · (tg φн - tg φ), откуда для емкости конденсатора имеем
C = Pн / ωU2 · (tg φн - tg φ).
Для больших значений Pн величина емкости C может оказаться слишком большой, что технически трудно реализовать. В этом случае используют синхронные компенсирующие машины.
Все параметры цепи представляются в комплексной форме.
– комплексное мгновенное значение;
– комплексное действующее значение силы тока;
– комплексное действующее значение напряжения.
Пример.
Достоинство комплексного метода: при его применении в анализе цепей переменного тока можно применять все известные методы анализа постоянного тока.
Закон Ома
Под законом Ома в комплексной форме понимают:
Í = Ú / Z
Комплексное сопротивление участка цепи представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует величине активного сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.
По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:
R + j X — активно-индуктивное сопротивление;
R – j X — активно-емкостное.
Примеры.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме
Алгебраическая сумма комплексных действующих значений токов в узле равна нулю.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме
В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных действующих значений ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в нём.
.
При использовании символического метода можно пользоваться понятиями мощностей. Но в комплексной форме можно записать только полную мощность:
где Ï — комплексно-сопряженный ток
S cos φ ± j S sin φ = P ± j Q.
Полная мощность в комплексной форме представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует активной мощности рассматриваемого участка, а коэффициент при мнимой части – реактивной мощности участка. Значение знака перед мнимой частью: “+” означает, что напряжение опережает ток, нагрузка – активно-индуктивная; “–” означает, что нагрузка - активно-емкостная.
До 3-фазных цепей-самостоятльно-конспект