У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

а. Построение суммы а b изображено на черт

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 7.4.2025

§ 30. Линейные операции над векторами

Суммой а + b двух векторов а и b называется вектор, который идёт из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора а (правило треугольника). Построение суммы а + b  изображено на черт. 42.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) п р а в и л о м  п а р а л л е л о г р а м м а: если векторы а и b  приведены

Черт. 42.    Черт. 43.

к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а + b есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала а и b (черт. 43). Отсюда сразу следует, что а + b = b + а.

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. черт. 44, где изображено построение суммы четырёх векторов а, b, с, d).

Разностью аb  двух векторов a и b называется вектор, который в сумме с вектором b составляет вектор а. Если два вектора а и b приведены к общему началу, то разность их аb есть вектор, идущий из конца b («вычитаемого») к концу а («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом а, то другой обозначается символом — а. Легко видеть, что а b = а + (—b). Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемому». 

Произведением  αа  (или  также   αа)  вектора а на число α называется вектор, модуль которого   равен    произведению   модуля вектора а на модуль числа а; он параллелен вектору а или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор а, если α — число положительное, и противоположно вектору а, если α — число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.              Черт. 44.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях  векторов:

1. Проекция суммы векторов на какую—нибудь ось равна сумме их проекций на эту же ось:

прu (а1  + а2 +... + аn) = прu +прва2 +... + прuаn.

2. При   умножении   вектора  на   число   его   проекция   помножается   на то же число: прuа) = α пр uа.

В частности, если

а = {Х1,Y1, Z1,},   b = {Х1,Y1, Z1,},

то

а + b = {Х1 + Х2 Y1 + Y2, Z1 + Z2,}

и

аb = {Х1—Х2; Y1—Y2, Z1,—Z2,}.

Если а = {X; Y; Z}, то для любого числа α

αa = {Х; У; Z}.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

а = {Х1,Y1, Z1,},   b = {Х1,Y1, Z1,},

является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов i, j, k называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1) вектор i лежит на оси Ох, вектор jна оси Оу, вектор kна оси Ог;

2) каждый из векторов i, j, k направлен на своей оси в положительную сторону;

3) векторы i, j, kединичные, т. е. |i| = 1, . |j|  = 1, |k| = 1. Каким бы ни был вектор а, он всегда может  быть  разложен по базису i, j, k, т. е. может быть представлен в виде:

a = Xi + Yj + Zk;

коэффициенты  этого  разложения  являются координатами  вектора  а (т. е. X, Y, Z суть проекции вектора а на координатные оси).

761. По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: 1) а + b; 2) аb; 3) bа; 4) —а b.

762. Даны: |а| = 13, |b| = 19 и |а + b| = 24. Вычислить |а  b|.

763. Даны: |а| = 11, |b| = 23 и |а + b| = 30. Определить |а + b|.

764. Векторы а и b взаимно перпендикулярны, причём |а| = 5 и |b| = 12. Определить |a + b|   и   |аb |.

765. Векторы а и b образуют угол φ = 60°, причём |а| = 5 и |b| = 8. Определить |а + b| и |аb|.

766. Векторы а и b образуют угол φ=120°, причём |а| = 3 и |b| = 5. Определить |а + b| и |аb|.

767. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы имели место следующие соотношения: 1) |а + b| = |аb|, 2) |а + b| >|аb|, 3) |а + b| <|аb|.

768. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b, чтобы вектор а + b делил пополам угол между векторами а и b.

769. По данным векторам а и b построить каждый из следующих векторов: 1) 3а; 2) —b; 3) 2а + b; 4) а — 3b.

770. В треугольнике ABC вектор и вектор Построить каждый из следующих векторов: 1) , 2)  3) , 4) -. Принимая в качестве масштабной единицы , построить также векторы: 5)  m +n ,  6)   m -n .

771. Точка О является центром тяжести треугольника ABC. Доказать, что

772. В правильном пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпадающие с его сторонами:  Построить векторы: 1) mn  + рq + r; 2) m + 2p + 1/2у r; 3) 2m+ 1/2n — 3р — q + 2r.

773. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' (черт. 45) заданы векторы, совпадающие с его рёбрами:  , и . Построить каждый из следующих векторов: 1) m + n + р; 2) m + n + 1/2р; 3) 1/2m —1/2 n +р; 4) m + n - р; 5) —m —n  +1/2 р.

774. Три силы М, N и Р, приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей   R,   если   известно,    что  =2 кГ,   = 10 кГ и =11 кГ. 

775. Даны два вектора а = {3;—2; 6} и b = {—2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов: 1) а + b; 2) а b; 3) 2а; 4) —b; 5) 2а + 3b; 6) a b.

776. Проверить коллинеарность векторов а ={2;—1; 3} и b = {— 6; 3; —9}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.

777. Определить, при каких значениях α, β, векторы а = — 2i + 3j + βk и b = α i — 6j + 2k коллинеарны.

778. Проверить, что четыре точки А (3; —1; 2), В(1; 2; —1), С(—1; 1; —3), D (3; —5; 3) служат вершинами трапеции.

779. Даны точки А (—1; 5; —10), В(5; —7;_8), С (2; 2; —7) и D (5; — 4; 2). Проверить, что векторы  и  коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.

780. Найти орт вектора а = {6; —2; —3}.

781. Найти орт  вектора  а = {3; 4; —12}.

782. Определить модули суммы и разности векторов а = {3; —5; 8} и b = {—1; 1; —4}.

783. Дано разложение вектора с по базису i, j, k: с =16i — 15j+ 12k. Определить разложение по этому же базису вектора d, параллельного вектору с и противоположного с ним направления, при условии, что .

784. Два вектора а = {2; — 3; 6} и b = { — 1; 2; —2} приложены к одной точке. Определить координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами а и b, при условии, что .

785. Векторы = {2; 6; —4} и ={4; 2; —2} совпадают со сторонами треугольника ABC. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами AM, BN, СР.

786 *). Доказать, что если p и qкакие угодно неколлинеарные векторы, то всякий вектор, лежащий в их плоскости, может быть представлен в виде: .Доказать, что числа и векторами а, р и q определяют-ся однозначно.  (Представление вектора а в виде называется разложением его  по базису р,

Черт. 46.            q;  числа    и  называются коэффициентами этого разложения.)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Приведём векторы а, р и q к  общему   началу, которое обозначим буквой О (черт. 46). Конец вектора а обозначим буквой А. Через точку А проведём   прямую,   параллельную вектору q.  Точку  пересечения  этой прямой с  линией  действия   вектора p,   обозначим через Ар. Аналогично, проводя через точку А прямую,  параллельную вектору р, получим в пересечении с линией действия вектора q точку Aq.

 По правилу параллелограмма получим:

                                                                           (1)                               

Так как векторы и р лежат  на  одной  прямой,  то вектор  может быть получен умножением вектора р на некоторое число :

,                                                              (2)

Аналогично                                     

.                                                               (3)

Из равенств (1), (2) и (3) получаем: . Тем самым возможность требуемого разложения доказана. Остаётся доказать, что коэффициенты  и  этого разложения определяются однозначно.

Предположим, что вектор а имеет два разложения:

,                   ,

и, например, . Вычитая почленно одно из другого, получаем:   или  

Но это равенство означает коллинеарность векторов р и q, которые, однако, по условию являются неколлинеарными. Следовательно, неравенство , невозможно. Аналогично доказывается, что невозможно неравенство . Таким образом, , , т. е. двух различных разложений один и тот же вектор иметь не может.

*) Задачи 786 и 792 существенны для правильного понимания остальных задач. Решение первой из них здесь приводится полностью.

787. На плоскости даны два вектора р = {2; —3}, q = {1; 2}. Найти разложение вектора а = {9; 4} по базису р, q.

788. На плоскости даны три вектора а = {3;—2}, b ={2; 1} и с = {7; —4}. Определить разложение каждого из этих трёх векторов, принимая в качестве базиса два других.

789. Даны три вектора а = {3; —1}, b = {1; — 2},с = {1; 7}. Определить разложение вектора р = а + b + с по базису а, b.

790. Принимая в качестве базиса векторы = b и = с, совпадающие со сторонами треугольника ABC, определить разложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпадающих с его медианами.

791. На плоскости даны четыре точки А (1; —2), B (2; I), C (3; 2) и D (— 2; 3). Определить разложение векторов , ,  и , принимая в качестве базиса векторы  и .

792. Доказать, что если р, q и rкакие угодно некомпланарные векторы *), то всякий вектор а пространства может быть представлен в виде:

.

Доказать, что числа , ,  векторами а, р, q и r определяются однозначно. (Представление вектора а в виде называется разложением его по базису р, q, r. Числа ,  и  называются коэффициентами этого разложения.)

*) Три вектора называются некомпланарными, если после приведения к общему началу они не лежат в одной плоскости.

793. Даны три вектора р = {3; —2; 1}, q = {1; 1; —2}, r = {2; 1; —3}. Найти разложение вектора с = {11; —Q; 5} по базису р, q, r.

794. Даны четыре вектора а = {2; 1; 0}, b = {1; —1; 2}, с ={2; 2; —1} и              d ={3; 7; —7}. Определить разложение каждого из этих четырёх векторов, принимая в качестве базиса три остальных.




1. Это долгий путь но многие из вас получат много пользы от прочтения статьи так что попытайтесь вникнуть
2. по темі Технікоекономічні показники роботи бригади на будівництві автомобільної дороги Вихідні дані-
3. Пианистическая реформа Ф Листа
4. Расположение элементов в матрице
5. Экономическая кибернетика
6. Deicide.html
7. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Челябинский филиал УТВЕРЖДАЮ
8. 10 Романов Олег ПС153 http---studentsps
9. статья из серии Защити себя сам
10. решение систем уравнений