Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называют основными элементарными функциями:
1. Дробно-рациональная функция
a) az+b, (а 0, а, bC) – линейная функция;
б) zn , nN;– степенная функция с натуральным показателем;
в) – дробно-линейная функция;
г) функция Жуковского .
2. Показательная функция:
Наряду с введенным обозначением для показательной функции используют обозначение exp z.
Заметим, что на вещественной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Непосредственная проверка убеждает, что на показательную функцию комплексного переменного переносится теорема сложения
Показательная функция комплексного переменного является периодической функцией с основным периодом 2i, т. е.
.
3. Тригонометрические функции:
Для тригонометрических функций сохраняются теоремы сложения, а следовательно, и остальные формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного переменного. Они являются периодическими функциями с теми же периодами, что и соответствующие тригонометрические функции действительного переменного.
Однако в случае комплексного переменного функции sinz, cosz ограниченными не являются.
4. Гиперболические функции:
5. Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция Lnz, при z определяется как обратная к показательной функции, причем
Так как показательная функция – периодическая с периодом 2i, то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке z она принимает бесконечно много значений.
Функция
где arg z – главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак,
Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно: при z1 и z2, отличных от нуля, верны формулы
6. Общая степенная функция:
, aC.
Эта функция многозначная, её главное значение равно .
При a=1/n, n N получаем многозначную функцию – корень n-й степени из z:
7. Функции, обратные к тригонометрическим и гиперболическим, являются многозначными и выражаются через логарифмическую.
Поясним сказанное на примере функций а) w= аrcsin z, б) w= аrth z.
a) Имеем по определению
Откуда
(Знаки ± в формуле решения квадратного уравнения можно опустить, если понимать корень как двузначную функцию).
Итак,
б) По определению w= аrthz z= thw. Откуда получаем
Таким образом, .
Для остальных обратных тригонометрических функций выполняются формулы: