Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Векторы, операции над векторами и их свойства. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец. Длиной или модулем ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB.свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. сумма векторов a+b представляет собой вектор результирующего пути c. Коллинеарны=параллельны. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются со направленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены. Два вектора равны, если они со направлены и имеют одинаковую длину. Ортогональны = Перпендикулярны. Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты. Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор умножить на число , необходимо каждую координату данного вектора умножить на число.
2. Линейная зависимость .Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
3. Линейная не зависимость Два вектора плоскости линейно независимы в том и только том случае, если они не коллинеарны.
4. Теорема о линейной зависимости векторов. 2 вектора ЛЗ тогда и только тогда, когда они коллинеарны
3 вектора ЛЗ тогда и только тогда, когда они компланарны
4 вектора ЛЗ
5. Базис в пространстве. Базис это максимально возможный Л.Н. набор векторов( т.е. к нему нельзя прибавить еще вектор, иначе он станет Л.З).
6.Декартова система координат. Точка плоскости, которая называется началом координат, и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат плоскости.
7.Проекция вектора на ось. Проекцией вектора AB на оси х называется величина А’B’ направленного отрезка A’B’ на оси х
8.Геометрический смысл координат вектора. Координаты вектора a в декартовом прямоугольном базисе есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.
9.Геометрический смысл линейной зависимости 2-х векторов. Векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).
10. Геометрический смысл линейной зависимости 3-х векторов. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).
11. Геометрический смысл линейной зависимости 4-х векторов. Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.
12. Скалярное произведение векторов. Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
13.Свойства скалярного произведения 1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.
2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.
3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.
14. Вычисление угла между векторами ,.
15.Длина вектора через скалярное произведение. Длина вектора , заданного своими координатами, находится по формуле:
16. Формула длины вектора в базисе.
17.Условие ортогональности 2-х векторов Два вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
18. Скалярное произведение векторов в базисе. Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой
19.Векторным произведением Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию
20.Свойства векторного произведением
1) .2) 3) – сочетательные или ассоциативные законы 4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения.
21. Геометрический смысл векторного произведения.Векторное произведение направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через вектора-сомножители, а по модулю равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах.Модуль (длина) этого вектора - площадь параллелограмма, построенного исходными двумя векторами.
22. Площадь треугольника с помощью векторного произведения.Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов: S=1/2*|aXb|
23. Коллинеарные вектора. Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
24. Условие коллинеарности. Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.
25. Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов:
26.Свойства смешанного произведения 1° 2
3°Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.
5° 6°
7° 8°
9°
10° Тождество Якоби:
27. Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами a,b,c.
28.Объем пирамиды.Vпир=(1/6)*(a,b,c)
29. Компланарные векторы. Три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны. Компланарные векторы всегда линейно зависимы
30. Условие компланарности. Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю:
31. Векторное произведение векторов в базисе , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:
32 Смешанное произведение векторов в базисе, заданных в ортонормированном базисе правой ориентации, выражается формулой:
33.Векторно-параметрич ур-ие плоскости. r=r0+ap+bq. r0-координата точки, которая принадлежит плоскости (M0)
34.Векторное уравнение плоскости. (r-r0)*n=0 где n нормаль
r*n=D где D число
35.Общее уравнение плоскости. A(x-x0)+B(y-y0)+c(z-z0)=0 x0, y0, z0-координаты точки M0, n=(A,B,C)-координаты нормали
36.Уравнение в плоскости в отрезках на осях.
37. Параллельность плоскостей. rXn1=D1, (r-r1)n1=0. rXn2=D2, (r-r2)n2=0. Если n1, n2-Линейно зависимы, тогда плоскости параллельны (n1 u n2 Неравны 0) n1=An2
38.Условие совпадения двух плоскостей. rXn1=D1, (r-r1)n1=0. rXn2=D2, (r-r2)n2=0. Если D1=AD2, тогда пл. совпадают.
39.Условие параллельности плоскостей. Если плоскости р1 и р2 не параллельны.т.е если они они пересекаются, то A1/A2неравноB1/B2 или B1/B2неравноС1/С2
40.Условие ортогональности 2х плоскостей. Если n1*n2=0 или A1A2+B1B2+C1C2=0
41.Задача о вычислении угла образованного пересекающимися прямыми.
42. Векторно-параметрическое уравнением прямой r = r0 + at, проходящей через точку M0 параллельно направляющему вектору a.
Параметрическое уравнение прямой x= x0+ a1t, y= y0 + a2t, z= z0 + a3t, проходящей через точку M0 (x0, y0, z0) параллельно направляющему вектору a= (a1, a2, a3).
43. Канонические уравнениями прямой (x-x0)/a1=(y-y0)/a2=(z-z0)/a3, проходящей через точку M0 (x0, y0, z0) параллельно направляющему вектору a= (a1, a2, a3).
44. Векторное уравнением прямой r = r0 + at, проходящей через точку M0 параллельно направляющему вектору a. (любой ненулевой вектор, параллельный прямой)
45. Уравнение прямой на плоскости. а) векторно-параметрич. r=r0+ts, t принадлежит R, каноническое:t=(x-x0)/Sx=(y-y0)/Sy=(z-z0)/Sz
a=r0Xs
46-47. Две прямые, заданные уравнениями или46.Взаимное расположение прямых на плоскости пересекаются в точке
47. Условия параллельности и ортогональности прямых на плоскости. Эти прямые параллельны, если или , и перпендикулярны, если или ..
Для того, чтобы три прямые пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
48.Угол между прямыми на плоскости вычисляется по формуле:
cos a= модуль(n1*n2)/модуль(n1)*модуль(n2) [[* - скалярно] [n - нормаль]]
cos a = модуль(s1*s2)/модуль(s1)*модуль(s2) [[* - скалярно] [s - направляющая]]
49.
Прямые с направляющими векторами а и b:
параллельны тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны.
50.Совпадение двух прямых в пространстве. Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.
51. Условие пересечения прямых в пространстве. если система имеет единственное решение, то прямые и пересекаются
52. Условие скрещиваемости двух прямых.Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
53.
54-56. Пусть плоскость Al задана общим уравнением Ax+By+Cz+d=0, а прямая L задана каноническим уравнением (x-x0)/m=(y-y0)/n= (z-z0)/p или параметрическими уравнениями
x=x0+mt
y=y0+nt
z=z0+pt
где n=(A,B,C) координаты нормального вектора плоскости Al, M0=(x0,y0.z0) координаты произвольной фиксированной точки прямой L, s=(m,n,p) координаты направляющего вектора прямой L, тогда:
54.Условие параллельности прямой и плоскости. n*s=Am+Bn+Cp=0 и Ax0+By0+Cz0+D≠0
55. Условие принадлежности прямой плоскости n*s=Am+Bn+Cp=0 и Ax0+By0+Cz0+D=0
56. Условие ортогональности прямой и плоскости s x n=o; A/m=B/n=C/p (векторы должны быть коллинеарны)
57.Задача о вычислении угла, образованного прямой и плоскостью
58. Матрицы. Виды матриц. Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n. Единичной называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Ступенчатой называется матрица у которой первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером , то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем .
59.Линейные операции над матрицами.
1. (коммутативность сложения);2. (ассоциативность сложения);
3. существует нулевая матрица (тех же размеров, что и ): ;4. существует матрица , противоположная матрице ;5. ;6. ;7. ;8. .
60.Сложение матриц. Суммой матриц и одинаковых размеров называется
матрица тех же размеров, у которой
Свойства сложения матриц: А + В = В + А, (А + В) + С = A + (B + C), А + 0 = A, А + (-A) = 0
61. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A(aij) на число N называется матрица (C=cij) тех же размеров, у которой cij=N*aij. Свойства 1*A=A, a(bA)=(ab)A, a(A+B)=aA+aB,(a+b)A=aA+bA,
62. Умножение матриц. — есть операция вычисления матрицы C, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго. Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — , то размерность их произведения есть . (правило рук).
63. Свойства умножения матриц:1.ассоциативность (AB)C = A(BC);2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей:
AI = IA;4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC; 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
64. Свойства определителя матрицы.1.При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.2.Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.3.Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.4.Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).5.Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.6.Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.7Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
65. Алгебраическое дополнение. Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы Aназывается число
,
где —дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
Свойства: Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):
66.Минор порядка к. Минор матрицы ― определитель такой квадратной матрицы порядка (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .
Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ―угловым или ведущим главным.
67. Обратная матрица. Определение. Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
68. Условие существования и единственности обратной матрицы.Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Обратная матрица существует только у квадратных матриц.
69. Формула для нахождения обратной матрицы. Обратная матрица А-1 находится по следующей формуле:
А-1= Где:detА – определитель матрицы А. А – матрица алгебраических дополнений элементов матрицы А.
70.Решение матричного уравнения AX=B. (A^-1)*A*X=(A^-1)*B; E*X=(A^-1)*B; X=(A^-1)*B
71. Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
72. Ранг матрицы. Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы, как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.
73. В матрице A размеров mXk минор n-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (n+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.
74.