Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Спектральное представление сигналов.
Периодические сигналы и ряды Фурье.
Рассмотрим систему ортогональных функций, образующих полное, бесконечно мерное эвклидово-гильбертово пространство.
(1)
Эти функции образуют в пространстве полную ортогональную систему.
Для каждой функции f(t) из этого пространства на отрезке от –Т/2 до Т/2 можно записать ряд Фурье.
со следующими коэффициентами:
(2)
Вместо функций, заданных на отрезке от –Т/2 до Т/2, можно говорить о периодических функциях с периодом Т на всей оси времени, т.к. каждую функцию, заданной на указанном отрезке, можно периодически продолжить.
При использовании ортогональных систем комплексных функций ряд Фурье имеет следующий вид:
где Cn – коэффициенты ряда Фурье. (3)
Используя переход и подставляя вместо тригонометрическое представление:
Выполнив подстановку в формулу (3), учитывая (2), получим:
Эти комплексные коэффициенты Сn образуют комплексно-сопряженные пары:
Каждой комплексно-сопряженной паре соответствует гармоническое колебание:
Графически можно изобразить это колебание двумя векторами, вращающимися в противоположных направлениях.
Верхний – против часовой стрелки(положительная частота).
Нижний – наоборот.
Совокупность коэффициентов Сn называется частотным спектром периодического сигнала f(t).
Преимущества базиса (1):
Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).
Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.
Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:
(1)
тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:
(2)
Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.
Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного
на интервале от 0 до Т:
(3)
и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:
(4)
Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:
(5)
где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.
Спектральная плотность одиночного импульса:
рис.а.
Спектр последовательности импульсов:
рис.б.
При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.
Основные свойства преобразований Фурье.
Спектральная плотность линейной комбинации сигналов S1(t) и S2(t) равна такой же линейной комбинации спектральных плотностей S1(w) и S2(w).
ai - коэффициенты (произвольные числовые).
N – число сигналов.
Пусть для исходного сигнала S(t) известно следующее соотношение: S(t)->S(w).
Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на время t0 позднее: S(t-t0).
Запишем преобразование Фурье:
Рассмотрим связь спектра исходного сигнала от изменения масштаба времени.
Есть сигнал S(t), его спектральная плотность S(w).
Требуется определить спектральную плотность сигнала S(t), причем такого, что при >1 – происходит сжатие сигнала, а при 0<<1 - растягивание сигнала.
Таким образом, при растяжении сигнала во времени происходит сжатие частотного спектра, при сжатии сигнала в раз на временной оси, его спектр растягивается на оси частот в раз.
Пример.
Рассмотрим прямоугольный сигнал и определим его спектральную плотность.
Найдем спектральную плотность по формуле (1):
При нулевой частоте значение спектральной плотности равна площади импульса или произведению длительности импульса tu на Um.
При увеличении длительности импульса tu расстояние между нулями функции U(w) уменьшается, что равносильно сужению спектра, а значение U(0) возрастает.
При уменьшении длительности импульса, наоборот, спектр расширяется, а значение U(0) уменьшается.
w1|S(w)|/2
w1 2w1
-2w1 -w1
u
m 1
-tu/2 0 tu/2
U(w)
w
Umtu
-6/tu -2/tu 2/tu 6/tu