ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Работа добавлена на сайт samzan.net:
1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Задача №1.
В аналитическом отделе фирмы 8 менеджеров и 12 финансистов. Для выполнения задания случайным образом из списка выбирают 3 человек. Найти вероятность того, что менеджеров среди них будет:
а) ровно два;
б) не менее одного.
Решение:
а) Пусть событие А состоит в том, что двое из трех случайно выбранных сотрудников фирмы являются менеджерами.
Производится опыт, который заключается в случайном выборе 3 сотрудников фирмы из их общего числа. Исходы при данном опыте являются равновозможными, так как нет никаких оснований утверждать, что какой-либо из сотрудников может быть выбран с большей вероятностью. И так как, все исходы являются несовместными событиями, ибо появление одного какого-либо сотрудника в данном опыте исключает появление других. Так же, какой-либо из сотрудников, менеджер или финансист, по условиям опыта обязательно будет выбран. Таким образом, совокупность всех исходов представляет собой полную группу событий. Поэтому, при решении данной задачи необходимо воспользоваться формулой классической вероятности:
,
где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n – общее число равновозможных элементарных
Искомая вероятность равна отношению числа исходов благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных элементарных исходов:
n=
m=
;
Ответ:
б) Пусть событие B состоит в том, что из случайно выбранных трех сотрудников окажется не менее одного менеджера.
Существует событие , которое состоит в том, что ни один из трех случайно выбранных сотрудников не окажется менеджером, т.е. три случайно выбранных сотрудника окажутся финансистами. Событие является противоположным по отношению к событию B. Таким образом, сумма вероятностей данных событий равна единице: . Отсюда следует, что .
Вероятность появления события (трое случайно выбранных сотрудников являются финансистами) равно отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к общему числу равновозможных элементарных испытаний.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию (трое случайно выбранных сотрудника являются финансистами): трех финансистов можно выбрать из их общего числа (т.е. из тринадцати) способами.
Отсюда следует
;
.
Искомая вероятность
;
;
Ответ:.
Задача №2.
Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 18/100. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 23/100. Для третьего
клиента – 13/100. Найти вероятность того, что в течение года в страховую
компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов – события независимые.
Решение:
Пусть событие F состоит в том, что в течение года в страховую компанию обратится хотя бы один клиент.
Требование – хотя бы один из трех клиентов обратится в страховую компанию – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих событий: B – первый клиент обратится, C – второй клиент обратится, D – третий клиент обратится. Данные три события являются совместными, т.е. событиями, для которых наступление одного из них не исключает возможности наступления других в данном испытании, т.е. любые из трех клиентов могут обратиться в страховую компанию вместе.
Таким образом, событие F можно представить в виде суммы событий: . Воспользуемся теоремой сложения вероятностей совместных событий. Для этого необходимо вывести теорему сложения вероятностей для трех совместных событий.
Сведем сумму трех событий к сумме двух событий:
.
Воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух событий:
.
Применим теорему сложения вероятностей двух совместных событий дважды (для событий B и C, а также для событий BD иCD):
.
Учитывая, что , окончательно получаем
;
Ответ:.
Задача №3.
В консультационной фирме 24% сотрудников получают высокую заработную плату. Известно также, что женщины составляют 43% сотрудников фирмы, при этом 6,7% сотрудников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что в консультационной фирме существует дискриминация женщин в оплате труда? Ответ объяснить, сформулировав решение задачи в терминах теории вероятности.
Для решения задачи необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник имеет высокую заработную плату, при условии, что данный сотрудник является женщиной. Т.е. данная вероятность является условной вероятностью события A.
Воспользуемся теоремой умножения вероятностей:
;
;
.
Необходимо сравнить и . Поскольку , то можно утверждать, что женщины, работающие в консультационной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.
Ответ: Да, можно утверждать, что существует дискриминация женщин в оплате труда.
Задача № 4.
В брокерской компании, в которой 33% составляют сотрудники первого отдела, 28% - второго, остальные третьего, результаты работы оцениваются по отдаче с каждого инвестированного сотрудником рубля (высокая или низкая). Анализ последнего месяца работы показал, что низкую отдачу имеют 2,3% сотрудников первого отдела, 1,3% - второго и 1,8% - третьего отдела. Какова вероятность того, что случайно выбранный сотрудник компании за последний месяц показал высокую отдачу? Если сотрудник показал низкую отдачу, то в каком отделе, скорее всего, он работает?
Решение:
Пусть B – событие которое заключается в том, что случайно выбранный сотрудник компании за последний месяц показал высокую отдачу.
Исходя из условия мы имеем три гипотезы:
A1 – случайно выбранный сотрудник работает в первом отделе
A2 – случайно выбранный сотрудник работает во втором отделе
A3 – случайно выбранный сотрудник работает в третьем отделе
Подставим условия задачи и выясним сколько людей работают в третьем отделе.
Данные события образуют полную группу событий так как в ходе испытания обязательно будет выбран сотрудник компании, в независимости от того, в каком отделе он работает и являются несовместимыми, это связано с тем, что
Найдем условные вероятность этих событий, отталкиваясь от условия.
Воспользуемся формулой полной вероятности для выявления вероятности того, что случайно выбранный сотрудник фирмы за последний месяц показал высокую отдачу:
Ответ:
Рассмотрим ситуацию, когда сотрудник показал низкую отдачу, и выясним в каком отделе он скорее всего работает.
По формуле Байеса найдем вероятность, что случайно выбранный сотрудник, показавший высокую отдачу, будет из первого, второго или третьего отдела.
Исходя из полученных результатов можно сделать вывод о том, что, наугад взятый сотрудник, показавший самую низкую отдачу будет из первого отдела.
Ответ: если сотрудник показал низкую отдачу, то скорее всего он работает в первом отделе.
Задача №5.
В рамках маркетингового исследования нового товара компания - производитель проверяет спрос на него по результатам отзывов случайно выбранных потенциальных покупателей. Для определенного товара известно, что вероятность его возможного успеха на рынке составит 0,78, если товар действительно удачный, и 0,18, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то чему равна вероятность того, что это действительно так?
Решение:
Используя формулу полной вероятности, вероятность события А равна: . События и образуют полную группу событий, т.к. в ходе испытания обязательно будет выбран товар, неважно удачный он или нет, и являются несовместными, т.е. сумма вероятностей данных событий равна единице.
Для нахождения вероятностей и необходимо составить систему двух уравнений:
;
;
Для того чтобы найти вероятность того, что новый товар прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, воспользуемся формулой Байеса:
;
;
Ответ: вероятность того, что новый товар удачен, если он прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, равна 0,39.
Задача №6.
Решение:
Наивероятнейшим называют число k0, если вероятность того, что событие наступит в независимых испытаниях (в каждом из которых вероятность появления события равна p) k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.
Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства
По условию n = 240; p = 0,79; q соответственно равно, q = 0,21. Найдем наивероятнейшее число изделий высшего сорта из 220 изделий из двойного неравенства:
;
;
существует одно наивероятнейшее число k0. Таким образом, k0 = 190.
Ответ: k0 = 190.
Пусть событие А состоит в том, что среди 240 изделий число изделий высшего сорта будет равно 190. Для нахождения данной вероятности необходимо воспользоваться локальной теоремой Лапласа:
, где
По условию задачи n = 240; k = 190; p = 0,79 и q = 0,21. Найдем значение x:
; .
По таблице приложения 1 найдем . Таким образом, по локальной теореме Лапласа искомая вероятность:
;
.
Ответ: .
Задача №7.
Решение:
Дискретная случайная величина Х – число ежедневных продаж для агента – имеет следующие возможные значения: (в течение дня не будет ни одной продажи); (в течение дня произойдет одна продажа); (в течение дня произойдет две продажи); (в течение дня произойдет три продажи); (в течение дня произойдет четыре продажи).
Данные события независимы друг от друга и равновозможны, поэтому применима формула Бернулли.
.
Учитывая, что (количество испытаний, равное количеству потенциальных покупателей), p=0,34 (вероятность совершения покупки потенциальным покупателем), q=1−0,34=0,66 (вероятность того, что потенциальный покупатель не совершил покупку). Исходя из этого получаем:
;
;
;
;
Составим закон распределения:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0,19 |
0,39 |
0,32 |
0,10 |
0,01 |
Найдем числовые характеристики данного распределения. Числовыми характеристиками случайных величин являются: математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение .
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
.
.
Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсию удобно вычислять по формуле:
.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
.
Ответ: ; ;.
Пусть событие F заключается в том, что у агента будет хотя бы две продажи в течение дня.
Требование – у агента будет хотя бы две продажи в течение дня осуществится, если произойдет две, три или четыре продажи в течение дня. Найдем вероятность Q противоположного события (в течение дня не будет ни одной продажи или одна):
.
Так как события F и Q являются противоположными, то сумма их вероятностей равна единице. Найдем искомую вероятность:
Ответ:
Задача №8.
Задача №8.
Дискретная случайная величина Х с математическим ожиданием задана рядом распределения
|
-10 |
0 |
8 |
20 |
|
|
0,4 |
0,2 |
а
Решение:
а) Для того чтобы найти вероятности и , соответствующие возможным значениям и необходимо составить систему двух линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей.
Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений X равна единице, получим линейное уравнение: . Воспользовавшись определением математического ожидания дискретной случайной величины (математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности) получим второе линейное уравнение: .
Составим следующую систему двух линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей:
Ответ: ; .
Если , то . Действительно, значений, меньших числа −8, величина X не принимает. Следовательно, при функция .
Если , то. Действительно, Х может принять значение −8 с вероятностью 0,1.
Если , то. Действительно, Х может принять значение −8 с вероятностью 0,1 и значение 0 с вероятностью 0,4; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью
Если , то Действительно, Х может принять значение −8 с вероятностью 0,1, значение 0 с вероятностью 0,4 или значение 8 с вероятностью 0,3; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью
Если , то Действительно, событие достоверно и вероятность его равна единице.
Итак, искомая функция распределения имеет вид:
г) Дисперсию удобно вычислять по формуле:
2.
Найдем :
Найдем 2:
2 = 5,42 = 29,19
Вычислим :
Ответ:.
Задача №9.
В нормально распределенной совокупности 19% значений случайной величины X меньше 15 и 44% значений случайной величины X больше 21. Найти параметры этой совокупности.
Решение:
Данная совокупность является нормально распределенной, поэтому ее параметрами являются математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение . Для нахождения данных параметров воспользуемся формулой, выражающей вероятность того, что Х примет значение принадлежащее интервалу :
,
где – функция Лапласа.
По условию задачи , поэтому получим:
;
;
;
, где по свойству функции Лапласа;
;
;
;
;
(по таблице значений функции Лапласа)
По условию задачи , поэтому получим:
;
;
;
, где по свойству функции Лапласа;
;
;
;
(по таблице значений функции Лапласа)
Составим следующую систему уравнений для нахождения параметров совокупности:
Ответ: ; .
Задача №10.
Решение:
а) Для того, чтобы найти неизвестный параметр k, необходимо воспользоваться следующим свойством плотности распределения:
;
;
, т.е.
Ответ: .
б) Т.к. параметр , то функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
Средняя ожидаемая прибыль будет равна значению математического ожидания непрерывной случайной величины Х. Оно определяется равенством:
.
Ответ: средняя ожидаемая прибыль равна 9,333.
в) Для того чтобы найти интегральную функцию F(x), необходимо воспользоваться следующей формулой:
Найдем значения функции распределения на каждом из заданных интервалов:
|
при |
|
|
при |
|
|
при |
Итак, искомая функция распределения имеет вид:
График функции распределения имеет вид:
г) Найдем искомую вероятность того, что прибыль от реализации инноваций составит не меньше 10:
;
;
;
Задача №11.
Решение:
Поскольку у биноминального распределения и , то получим следующую систему уравнений:
Искомую вероятность находим с помощью формулы Бернулли:
,
где n – количество независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых окажется ровно k успешных с вероятностью ; .
;
;
Ответ: .
Задача №12.
Решение:
Пусть n – число вкладчиков банка, X – положительная случайная величина, которая описывает размер случайно выбранного вклада. Тогда средний размер вклада составит ;
Для того чтобы найти число вкладчиков банка n необходимо воспользоваться неравенством Маркова
,
;
;
;
;
Ответ: число вкладчиков банка равно 667.
2. еру елу езу егу ену Керекті с~зді ~ойы~ыз- Т~мау балалар ~шін
3. 010 07 13 ПЗ Согласно постановке задачи разработано описание микропроцессорной системе на базе МП компле
4. Тема 8 Организация санитарнопротивоэпидемического обеспечения в ЧС
5. а- Кафедра анатомии человека Лечебного факультета Кафедра биологии Педиатрического факультета
6. Проблемы и перспективы современной цивилизаци
7. I МОРФОЛОГИЯ Методический комментарий ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ КАК ЧАСТЬ РЕЧИ Имя прилагательное это
8. Галицько Волинське князівство
9. Чрезвычайные ситуации мирного времени природного и техногенного характер
10. Функции операционных систем персонального компьютера
11. Доклад- Тина Тернер - Королева рока
12. Озера и реки Южного Урала и их хозяйственное использование
13. Тема 1 Системный анализ Содержание системных исследований в экономике
14. У компаний российских такой серьезный подход к делу еще не вошел в привычку
15. Проблема кодирования
16. Стратегии самопрезентации в Интернет и их связь с реальной идентичностью
17. лечебный метод заключающийся во введении в сосудистую систему больного цельной крови или ее компонентов
18. Реферат на тему- ldquo;ГалицькоВолинське князівствоrdquo; Розробив студент I курсу I групи с
19. Реферат- Химический комплекс Российской Федерации
20. анемия без детализации не определяет конкретного заболевания то есть анемию следует считать одним из симп