Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторна робота № 5
Визначення математичної моделі об’єкта управління методом найменших квадратів
2.1 Використовуючи пакет Mathcad побудувати експериментальну характеристику об’єкта управління.
2.2 Представити у вигляді таблиці значення вихідної та вхідної величин.
2.3 Використовуючи отриману в попередньому пункті таблицю як результати експерименту визначити параметри моделі у вигляді многочлену другого порядку.
2.4 Використовуючи отриману в попередньому пункті таблицю як результати експерименту визначити параметри моделі у вигляді многочлену третього порядку.
2.5 Порівняти, в одній системі координат експериментальну та визначені за моделями (п.2.3 і п.2.4) характеристики.
2.6 Порівняти суму квадратів відхилень моделі другого і моделі третього порядків.
Метод найменьших квадратів.
Критерієм оптимального розположення апроксимірущої функції по відношенню до експериментальним точкам є вимога мінімума суми квадратов відклонення, мінімума :
V11=
Цю залежність розглядують як функцію від аргументів а0,а1, ... ,аn і відшукують її мінімум :
a0, a1, a2, … ,an – коефіцієнт апроксимірущої функції.
Вираз () диференцірується по кожному з невідомих коефіцієнтів та прирівнюється до нуля:
. . .
Розв’язуя ці рівняння знаходять значення коефіцієнтів , . . . , .
Якщо в апроксимірующій функції невідомий тільки один коефіцієнт, то перевірка на мінімум може бути вироблена обчислюванням другої первісної.
Сума квадратів відхилиння мінімальна, якщо після підстановки в вираз для другої первісної числових значень коефіцієнтів апроксимірущої функції, знайдених рішенням получається додатнє число, т.ч.
Коли апроксиміруща функція містить два невідомих коефіцієнта, для перевірки на мінімумне обхідно обчислити часні первісні
В виразі для часних первісних підставляються значення коефіцієнтів апроксимірущої функції, а получені числові значення підставляють в матріцу:
Якщо , - сума квадратів вдхилиння відхилиння при знайдених значеннях коефіцієнтів апроксимірущої функції мінімальна.
, - сума квадратів вдхилиння відхилиння при знайдених значеннях коефіцієнтів апроксимірущої функції максимальна.
- результат перевірки сумнівний.
- відсутній екстремум функції
Одним із найбільш розповсюджених видів апроксимірущої функції являється многочлен вида:
Апроксимірующа функція задається в виді таблиці
|
y1 |
y2 |
y3 |
…yk... |
ym |
|
x1 |
x2 |
x3 |
…xk… |
xm |
Необхідно опреділити коефіцієнти аналітичного виразу апроксимірующой функції, при яких ця функція задовольнить критерію суми квадратів відхилення.
.
.
Коефіцієнти получимо із системи рівнянь:
.
.
.
Вирішуючи ці рівняння получимо n+1 коефіцієнтов ai.
Приклад розрахунків, відповідно до порядку виконання роботи, в пакеті
Mathcad.
Спочатку використовуємо функцію другого порядку:
З огляду, що при x=0;y=0
Для визначення a1 і a2 скористаємося двома першими рівняннями:
Таблиці розрахунку
Сума квадратів відхилень для цієї функції:
Сума квадратів відхилень досить значна.
Щоб її зменшити підвищемо порядок ya.
Вихідні дані:
Використаємо функцію третього порядку:
З огляяду, що при x=0;y=0
Визначаємо коефіцієнти рівняння а1, а2, а3 у тому ж порядку, що і в попередньому прикладі:
Таблиці розрахунку
Сума квадратів відхилень для цієї функції:
Збільшення порядку апроксимації з 2-го до 3-го дозволяють зменшити суму квадратів більш чим у 7 раз.
27