Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
В. Г. Алексишин, А. Д. Пипченко, А. В. Алексишин
математическая статистика и теоретические ОСНОВЫ судовождения
Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины
одесская национальная морская академия
В. Г. Алексишин, А. Д. Пипченко, А. В. Алексишин
математическая статистика и теоретические ОСНОВЫ судовождения
курс лекций
Одесса - 2011
УДК 656.61.052:519.21(075.8)
ББК 39.471
А48
Рекомендовано ученым советом Одесской национальной морской академии как курс лекций по дисциплине «Математическая статистика и теоретические основы судовождения», для специальности 7.07010401, 8.07010401 (7.100301, 8.100301 в соответствии с Перечнем 1997 г.), протокол № от _______ 2011г.
Рецензенты: заведующий кафедрой «Электронные комплексы судовождения» Одесской национальной морской академии, д.т.н., проф. Вагущенко Л. Л.;
заведующий кафедрой «Технические средства судовождения», Одесской национальной морской академии, к.т.н., проф. Алексейчук М. С.
Алексишин В. Г.
А48 Математическая статистика и теоретические основы судовождения: Курс лекций / В. Г. Алексишин, А. Д. Пипченко, А. В. Алексишин. – Одесса: ОНМА, 2011. - 95 с.
В учебном пособии рассмотрены теоретические основы и прикладной математический аппарат, используемый при обработке навигационных измерений и решении задач судовождения.
Предназначено для курсантов и студентов высших учебных заведений, которые обучаются по направлению подготовки «Морской и речной транспорт».
УДК 656.61.052:519.21(075.8)ББК
ББК 39.471
© Алексишин В.Г., Пипченко А. Д., Алексишин А. В., 2011
Содержание
Во многих научных и инженерных задачах из-за сложности, а часто и невозможности точных решений применяются приближенные методы решения, к которым относятся: приближенное решение урав нений, интерполяция, вычисление функций одного или нескольких переменных с помощью рядов, приближенное вычисление интегра лов и др.
Ошибки арифметических действий с приближенными числами. Главным требованием к приближенным расчетам является соблю дение заданной точности промежуточных вычислений и конечного результата. При этом в одинаковой степени недопустимы как уве личение погрешностей (ошибок) путем неоправданного загрубления расчетов, так и удержание избыточных цифр, не соответствующих фактической точности. Ошибки, получающиеся при вычислениях и округлении чисел, разделяются на абсолютные и относительные. Абсолютной ошибкой приближенного числа называется абсолют ная величина разности между приближенным а и точным А значе ниями числа:
.
Как правило, абсолютная ошибка а неизвестна, поскольку неизвестно точное значение числа А. Поэтому в качестве ошибки принимают какую-либо оценку абсолютной ошибки
,
где а пред - предельная ошибка, задаваемая с учетом того, с какой достоверностью известно число а.
Относительной ошибкой числа а называется отношение его абсолютной ошибки а к абсолютной величине числа а:
.
Относительную ошибку также часто выражают в процентах:
Характеристика точности результатов с помощью относительной ошибки применяется во многих технических расчетах. Важным ее свойством является то, что величина этой ошибки остается неизменной при пропорциональном изменении самого приближенного числа и его абсолютной ошибки.
При операциях с приближенными числами ошибки результатов зависят от ошибок самих чисел. Далее рассмотрим закономерности изменения ошибок вычислений при различных арифметических действиях.
Ошибки суммы. Абсолютная ошибка суммы равна сумме абсолютных ошибок слагаемых:
.
Относительная ошибка суммы имеет величину
.
Она заключена между минимальной и максимальной относительными ошибками слагаемых.
Ошибка разности. Абсолютная ошибка разности двух чисел равна суме абсолютных ошибок уменьшаемого и вычитаемого:
.
Относительная ошибка разности определяется из выражения
.
Необходимо отметить, что когда значения а1 и а2 близки по величине, знаменатель выражения будет стремиться к нулю и ошибка р может оказаться неправдоподобно большой. В этом случае как р следует принять большую из относительных ошибок вычитаемого и уменьшаемого.
Ошибки произведения. Абсолютная ошибка произведения пр равна его относительной ошибке пр, умноженной на само произведение:
.
Относительная ошибка произведения определяется как сумма относительных ошибок сомножителей:
.
Из формул и следует, что при умножении приближенного числа а на число N, свободное от ошибок, абсолютная ошибка пр возрастает в N раз, а относительная ошибка не изменяется. Действительно, если r = aN (N = 0 и N = 0), то пр = а.
А так как , получаем .
Ошибки частного. Абсолютная ошибка частного ч равна произведению относительной ошибки ч частного на его величину:
.
Относительная ошибка частного равна сумме относительных ошибок делимого и делителя:
.
Частное вида , где N – безошибочное число, имеет абсолютную ошибку, в N раз меньшую, чем ошибка а: .
Ошибки степени. Если приближенное число а возводится в n-ю степень, то абсолютная ошибка степени ст равна относительной ошибке а числа, умноженной на произведение степени аn на ее показатель n:
.
Относительная ошибка степени вычисляется по формуле
.
Ошибки корня. Абсолютная ошибка корня приближенного числа а равна произведению относительной ошибки а числа на корень этого числа, деленный на показатель n:
.
Приведенные выше формулы составлены так, что при вычисле ниях по ним, как правило, происходит накопление ошибок, в то время как фактически в процессе расчетов ошибки приближенных чисел в значительной степени компенсируются.
Обычно ошибки промежуточных результатов не подсчитываются. Чтобы обеспечить достаточную точность конечного результата, рекомендуется придерживаться следующих правил подсчета необ ходимого количества знаков.
Лишние знаки числа исключаются путем округления. Его про изводят по правилам, называемым правилами дополнения:
Соблюдение правил дополнения обеспечивает округление чисел с ошибкой, не превышающей 0,5 единицы разряда последнего остав ляемого в числе знака. Ошибка эта имеет положительный знак при округлении с избытком и отрицательный — при округлении с не достатком.
В ходе вычислений округление промежуточных результатов надо выполнять, сохраняя вместе с верными одну сомнительную цифру. Но конечный результат округляется так, чтобы все цифры числа были верными.
Один из возможных способов вычисления с заданной точностью той или иной тригономе трической функции угла заключается в разложении функции в ряд Маклорена с последующим учетом определенного числа членов разложения:
При малых значениях угла допустимо ограничиться для рас чета функции только первыми членами разложения и принять: sin = ; tg = ; cos = 1.
С учетом размерностей эти формулы записываются так:
Наиболее часто применимыми в навигации мерами углов являются градусная, радианная и временная. Для них справедливы следующие соотношения:
.
Выясним, при каком значении угла формулы обеспечи вают определение функций с заданной точностью, например с точ ностью 0,1’, 1’ или же 6', т. е. 0,1°. Из теории рядов известно, что когда при расчетах ограничиваются каким-либо определенным коли чеством членов знакочередующегося сходящегося ряда, то связан ная с этим ошибка результата не превышает первого из отбрасывае мых членов разложения. Будем считать, что, удерживая в формуле только первый член ряда, мы получим ответ с ошибкой, равной второму члену. Так, полагая sin = , имеем , отсюда . Здесь величины и даны в радианах. Выразим ошиб ку в минутах дуги, а угол — в градусах: . Подставляя числовые значения, получим: . При = 1’ получим = 6,9=6,9.
Это означает, что заданная точность вычислений ( = 1’) по формуле sin = обеспечивается только при угле , равном 6,9° или меньшем указанной величины. Результаты аналогичных вычислений для других тригонометрических функций смотрите в таблице 1.1.
|
Расчетная формула |
Предельная величина угла при допустимой ошибке |
||
|
0,1’ |
1’ |
6’ (0,1) |
|
|
sin = arc 1 |
3,2 |
6,9 |
12,5 |
|
tg = arc 1 |
2,5 |
5,5 |
9,9 |
|
cos = 1 |
0,4 |
1,4 |
3,4 |
Интерполяцией в вычислительной математике называют способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Интерполяцией пользуются при приближенном решении урав нений, сглаживании рядов, приближенном интегрировании и в других задачах. В рутинных задачах судовождения интерполяция — вычис ление значений табулированной функции для промежуточных (меж ду табличными) значений аргумента.
Предположим, что в табличной форме задана непрерывная функ ция у = f (х), причем значения функции yi, yi+1, …, yn, соответст вуют в таблице равноотстоящим значениям xi, xi+1, …, xn аргумен тов, называемых узлами интерполяции.
Существует несколько видов интерполяции. Наиболее простая из них называется линейной. При линейной интерполяции делает ся допущение, что коэффициент пропорциональности между прира щением у функции и приращением х аргумента — величина по стоянная. На рис. 1.1 функция у=f(х) показана штриховой лини ей, а отрезки ломаной линии соответствуют линейной зависимости между аргументом и функцией в интервалах xi+1-xi, xi+2-xi+1 и т. д., которые называются шагом таблицы. Чем меньше шаг h, тем меньше различаются в данном интервале изображающая функ цию кривая и заменяющая ее прямая линии. Именно с выбором ша га связаны правомерность линейной (простой) интерполяции и ве личины сопровождающих ее ошибок.
Пусть аргументу х0 соответствует величина у0 функции, ближай шему к х0 — меньшему или большему табличному аргументу х1 — значение y1 функции. Тогда шаг h таблицы выразится разностью h = x1-x0. Разность таблич ных величин функции обозначим буквой D: D = y1 - у0.
Будем искать значение функ ции у' для аргумента х', нахо дящегося между табличными аргументами х0 и х1, т. е. х0 < х' < х1. С этой целью вы числим величину х = х' — х0, на которую аргумент х' отли чается от табличного х0, а затем составим пропорцию, принимая во внимание, что при изменении аргумента на h функция изменяется на величину D: x/h=y/D (здесь у — разность между приведенной в таблице величиной у0 и искомым значением у' функции).
Найдя из пропорции величину у: , надо придать ее к табличному значению функции у0: у' = у0 + у.
В последней формуле величина у может быть как положи тельной, так и отрицательной, что зависит от характера изменения функции при возрастании аргумента. Если по мере увеличения ар гумента х функция у возрастает, величина у положительна; если же аргумент увеличивается, а функция уменьшается, то у отри цательна. Поясним изложенное примером по данным табл. 1.2.
|
X |
y |
D |
|
x-1 = 0622’ |
y-1 = 0,11089 |
0,00029 |
|
x0 = 0623’ |
y0 = 0,11118 |
|
|
x1 = 0624’ |
y1 = 0,11147 |
0,00029 |
|
x2 = 0625’ |
y2 = 0,11176 |
0,00029 |
Пример. Требуется найти значение функции у' для аргумента х' = 06°23,4'.
Решение. 1. Вычислим приращение аргумента х относительно бли жайшего табличного аргумента х0:
.
2. Для составления пропорции определим шаг таблицы h и разность D табличных значений функции на аргументы х0 и х1:
.
3. Составив пропорцию, найдем у:
.
4. Находим искомую функцию у':
у' = у0 + у = 0,11118 + 0,00012 = 0,11130.
Наряду с линейной применяется также более точная интерполя ция, называемая квадратичной, или параболической. Она предпо лагает функциональную зависимость приращений аргумента и функции, геометрически описываемую параболой. Парабола, точ нее ее участки между узлами интерполяции, лучше, чем прямоли нейные отрезки, воспроизводит ту кривую, которая представляет заданную функцию у = f (x).
Квадратичная интерполяция выполняется путем расчетов по интерполяционным формулам. В качестве примера здесь приведе ны две такие формулы, составленные по интерполяционным форму лам Ньютона и Бесселя:
Формула применяется, если аргумент находится вблизи от начала таблицы, а формула используется, когда аргумент соответствует одному из средних интерполяционных узлов. В этих формулах для краткости введено обозначение U = x/h, остальные обозначения поясняются в табл. 1.3.
|
Аргумент |
Функция |
Разность |
||
|
первая |
вторая |
третья |
||
|
x-3 = x0 – 3h |
y-3 |
|||
|
x-2 = x0 – 2h |
y-2 |
|||
|
x-1 = x0 – h |
y-1 |
|||
|
x0 |
y0 |
|||
|
x1 = x0 + h |
y1 |
|||
|
x2 = x0 + 2h |
y2 |
|||
|
X3 = x0 + 3h |
y3 |
В обозначениях разностей римской цифрой указывается их по рядок, а в нижнем индексе в условной форме даны номера строк, между которыми данная разность вычислена. Так, обозначение отвечает первой разности значений у0 и у1 функции между строка ми 0 и 1: .
Каждая вторая разность образуется из двух соседних по стро кам значений первых разностей путем вычитания из большего числа меньшего. Например, . Подобным же образом опре деляются разности других порядков. Через Dcp в формуле обозначено среднее арифметическое из разностей четного (второго) порядка по соседним строкам: .
Математические таблицы мореходных посо бий для плавания в основном составлены с такой точностью, что надобности в квадратичной интерполяции не возникает.
Воспользуемся интерполяционной формулой (по Бесселю) для того, чтобы выяснить, при каких условиях можно ограничивать ся линейной интерполяцией, обеспечивая тем не менее требуемую точность приискания функции. Линейное интерполирование предпо лагает учет только первых разностей. Это означает, что величины определяются по упрощенной формуле, в которой отброшены все члены более высокого порядка. Так, в формуле для линейной интерполяции надо сохранить только два слагаемых: .
Чтобы первое из отброшенных слагаемых (а значит, и все последующие) не влияло заметно на точность интерполяции, его величина не должна превышать 0,5 единицы последнего десятич ного знака функции. Применительно к пятизначным математиче ским таблицам это требование запишется так:
.
Этим именно и определяется условие применения линейной интерполяции. Левая часть неравенства состоит из двух со множителей. Сомножитель зависит от шага h, выбираемо го при составлении таблицы. Обозначим этот сомножитель В: 2В = U2 — U. Экстремальное значение Вэ, при котором выполня ется условие , найдем, взяв производную и приравняв ее нулю:
, откуда U = ½.
Вторая производная показывает, что найден минимум и, следовательно,
.
Отсюда заключаем, что линейная интерполяция допустима, когда вторые разности не больше четырех единиц пятого десятичного знака: . Указанное условие, как правило, выполняется в мореходных таблицах.
Рассмотрим еще один вид интерполяции — линейную по методу наименьших квадратов. Предположим, что измерениями получено несколько значений функции y1 = f(x1); y2 = f(x2);…; yn = f(xn). Они представлены точками в прямоугольной системе координат. Поставим задачу – найти такую линейную функцию y = ax + b, для которой сумма квадратов отклонений значений функции y = f(x) от значений функции y = ax + b во всех точках с координатами (xi, yi) была бы наименьшей:
.
Чтобы при условии найти (и построить) интерполяционную линейную функцию, надо определить величины а и b. Для этого возьмем частные производные от F по а и b и сумму их приравня ем нулю. После этого путем преобразований получим систему урав нений
Отсюда и определяются коэффициенты а и b функции у = ах + b. Величина а — угловой коэффициент, выражающий тангенс угла наклона прямой по отношению к положительной оси координат; величина b называется начальной ординатой.
Для решения многих задач судовождения используются формулы сферической тригонометрии. На основе таких формул составляют ся, например, уравнения изолиний и градиентов некоторых нави гационных параметров, алгоритмы для машинного решения задачи определения места судна; определяются величины углов и сторон параллактического треугольника с целью получения координат ме ста судна и поправки компаса методами мореходной астрономии.
В навигации формулы сферической тригонометрии применяются, в частности, для расчета дуг больших кругов.
Ознакомимся с терминологией и важнейшими понятиями сфе рической геометрии и тригонометрии.
Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой равно удалены от одной точки — центра О сферы.
Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность. Принято эту окружность называть кругом.
Большим кругом называется след на поверхности сферы, кото рый образуется при сечении ее плоскостью, проходящей через центр О. Через любую точку поверхности сферы может проходить бесчисленное множество больших кругов, радиус каждого из них равен радиусу сферы. Примерами больших кругов служат меридиа ны и экватор координатной сетки на поверхности шара.
Полюсом большого круга называется точка поверхности сферы, лежащая на прямой, которая проходит через центр О сферы перпен дикулярно плоскости большого круга. Каждый большой круг име ет два полюса Р и Р' (рис. 2.1). Все точки большого круга равноудале ны от его полюса на величину сферического радиуса.
Сферическим радиусом большого круга является дуга другого большого круга, проходящая от полюса Р (Р') до той или иной точки заданного большого круга. Сферический радиус большого круга равен 90°. На рис. 2.1 показаны сферические радиусы РК и РК'.
Дуги больших кругов (ДБК) обладают следующими свойствами: положение ДБК определяется двумя точками поверхности сферы (при условии, что эти точки не лежат на концах одного диаметра сферы); ДБК, заключенная между двумя точками сферы, является кратчайшим расстоянием между этими точками.
Из первого свойства следует, что через две точки поверхно сти сферы можно провести дугу большого круга и причем только одну. Вообще дуга большого круга играет на поверхности сферы такую же роль, как и прямая на плоскости.
Малым кругом называется след на поверхности сферы, образуе мый в результате сечения ее плоскостью, не проходящей через центр О сферы. К малым кругам, в частности, относятся параллели ко ординатной сетки шара и круги равных высот светил. Каждый ма лый круг имеет свои полюсы (Р"). Но сферический радиус малого круга не равен 90°.
Сферическим треугольником называется фигура на сфере, обра зованная тремя пересекающимися попарно дугами больших кругов. Во всех задачах задаются и определяются элементы такого сфериче ского треугольника, каждая сторона которого ограничена предела ми 180° (Эйлеров треугольник).
На рис. 2.2 показан сферический треугольник с общепринятыми обозначениями его Эл ементов. Углы обозначены прописными бук вами латинского алфавита А, В, С, а противолежащие углам сто роны — соответствующими строчными. Точка О обозначает центр сферы и одновременно вершину трехгранника с плоскими углами а, b, с.
Так как длина дуги большого круга выражается произведением центрального угла и радиуса R сферы, то: .
Принимая R = 1, заключаем, что стороны сферического тре угольника измеряются плоскими углами а, b, с трехгранника. Сумма плоских углов трехгранника и, следовательно, сумма сторон сферического треугольника лежат в пределах
.
Когда сумма сторон становится равной нулю, треугольник пре вращается в точку, а при a + b + c = 360° — в большой круг. Для сторон сферического треугольника справедливы неравенства вида: а + b > с; а — b < с и т. д.
Углы А, В, С сферического треугольника измеряются двугран ными углами трехгранника. Так, угол А измеряется двугранным углом при точке О между плоскостями АОС и АОВ трехгранника. Иначе можно сказать, что угол А измеряется углом между каса тельными AM и AN к сторонам b и с в вершине А треугольника. По свойствам двугранных углов трехгранника сумма углов А, В, С сферического треугольника имеет величину
,
или
.
Здесь выражено основное свойство сферического треугольника, заключающееся в том, что сумма его углов всегда больше 180° на величину сферического избытка (эксцесса) . Величина самого сферического избытка больше 0°, но меньше 360°: 0° < < 360°. В радианах сферический избыток имеет величину
.
Приведем без доказательств еще некоторые соотношения эле ментов сферического треугольника:
,
где R — радиус сферы, ед. длины; — сферический избыток, рад.
Сферические треугольники подразделяются на косоугольные, прямоугольные и четвертные (прямосторонние). У прямоугольного треугольника один из углов равен 90°. Когда у треугольника два прямых угла, он называется двупрямоугольным; возможен и трехпрямоугольный сферический треугольник. У четвертного треуголь ника равна 90° одна из сторон.
Элементы сферических треугольников в практических зада чах выражаются в градусной мере, а при рассмотрении теоретиче ских вопросов — в радианной.
Пусть задан сферический треугольник ABC (рис. 2.3). Из вер шины А как из полюса построим сферическим радиусом AM = 90° дугу а' большого круга. Точно так же из полюсов В и С сфериче скими радиусами ВК и CL построим дуги b' и с' больших кругов. Эти три дуги, пересекаясь образуют новый сферический треуголь ник с вершинами А', В' и С'. (Поскольку на рис. 2.3 у исходного треугольника ABC каждая из сторон предполагается меньше 90°, то он расположен внутри треугольника А'В'С'. В других случаях стороны треугольников будут пересекаться.) Далее из того же рисунка следует, что дуги C'N, В'М и A'L есть сферические ра диусы сторон заданного тре угольника ABC с полюсами в вершинах А', В' и С'.
Таким образом, имеем два сферических треугольника, у ко торых вершины одного являют ся полюсами сторон другого. Такие треугольники называют ся взаимополярными.
Рассмотрим зависимость ме жду элементами взаимополярных треугольников. С этой целью найдем сумму угла А внутреннего треугольника и стороны а' внешнего. Из рис. 2.3: , следовательно .
Но сумма дуг — это сферический радиус стороны с внутреннего треугольника с полюсом в вершине С, а сумма дуг - сферический радиус стороны и с полюсом в вершине В'. Каждый радиус равен 90°. Поэтому
А + а' = 180°; В + b' = 180°; С + с' = 180°.
Полученные равенства выражают первое свойство элементов взаимополярных треугольников.
Для вывода второго свойства найдем сумму угла А' внешнего и стороны а внутреннего треугольников. Угол А' измеряется ду гой большого круга KL: А' = . Поэтому А' + а = , но = 90° и = 90° как сферические радиусы сторон b' и с' соответствен но. Следовательно,
.
Свойства взаимополярных треугольников используются при вы воде некоторых формул и при решении практических задач сфериче ской тригонометрии.
Задачей сферической тригонометрии является установление за висимостей между сторонами и углами сферического треугольни ка. Сферический треугольник считается заданным, если известны какие-либо три его элемента. Под решением треугольника подразу мевается отыскание его неизвестных элементов. В большинстве случаев решение выполняется по так называемым основным форму лам, к которым относятся: формула косинуса стороны; формула ко синуса угла; формула синусов; формула котангенсов, называемая также формулой четырех рядом лежащих элементов.
Зависимости между элементами сферического треугольника, выражаемые первыми тремя формулами, называют теоремами.
Каждая формула связывает три известных (заданных) элемента с одним из неизвестных. Наряду с выводами основных формул ни же приводится вывод однотипной с ними формулы пяти элементов.
Формула косинуса стороны (теорема косинусов). Построим сфе рический треугольник ABC и трехгранник с вершиной в точке О (рис. 2.4). В вершине А проведем касательные к сторонам b и с тре угольника. Касательные пересекутся в точках N и М с продолжен ными ребрами трехгранника. Заметим, что все три ребра трехгран ника равны радиусу R сферы.
Дважды используя теорему квадрата стороны плоского косо угольного треугольника, найдем сторону NМ сначала из треуголь ника NAM, а затем из треугольника NOM:
Теперь в плоских прямоугольных треугольниках NAO и МАО найдем гипотенузы NO и МО:
.
Подставим величину квадратов гипотенуз в выражения и приравняем правые части этих выражений: (NA)2 + (MA)2 – 2NAMA cos A = (NA)2 + (MA)2 + R2 – 2NOMO cos a. Пос ле приведения подобных членов и сокращения на 2 перегруппируем слагаемые и поделим их почленно на NO и МО: . Так как в плоских прямоугольных треугольниках NAO и MAO: , то окончательно получим .
Выведенная формула справедлива одновременно и для углов трехгранника, и для элементов сферического треугольника, мерой которых служат углы трехгранника.
Формула косинуса стороны читается так: в сферическом тре угольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух дру гих сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними (... на косинус угла, противолежащего исходной сто роне).
Формула косинуса стороны связывает стороны и один из углов сферического треугольника. Всего таких формул три:
Формула косинуса угла (теорема косинусов для полярного тре угольника). Эта формула выражает зависимость между тремя угла ми и стороной сферического треугольника. Ее можно вывести, ис пользуя свойства взаимополярного треугольника. Напишем форму лу косинуса стороны а' одного из взаимополярных треугольников: cos a' = cos b' cos с' - sin b' sin с' cos A'.
Перейдем к элементам второго треугольника по первому и вто рому свойствам: а' = 180° — A; b' = 180° — В; с' = 180° — С; A' = 180° — а. Подставив правые части этих равенств в исходную формулу, получим cos (180° — А) = =cos (180° — В) cos (180° — С) + sin (180° — В) sin (180° — С) cos (180° — а), или
Последние две формулы приведены без вывода. Читается формула косинуса угла следующим образом: косинус угла сферического треугольника равен отрицательному произведе нию косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих уг лов на косинус стороны между ними (... на косинус стороны, противо лежащей исходному углу).
Формула синусов (теорема синусов). Эта формула объединяет две стороны и два противолежащих им угла сферического треуголь ника.
В трехграннике (рис. 2.4) из вершины С опустим перпендикуляр CL на грань АОВ. Из точки L проведем еще две вспомогательные прямые LK и LK': первую — под углом 90° к ребру ОВ, а вторую — под таким же углом к ребру ОА. Соединив точку С с точками К и К', получим два прямоугольных треугольника CKL и CК'L с общим ка тетом CL, который равен CL = СК sin В в треугольнике CKL; CL = CK' sin A в треугольнике СK'L, т. е.
.
Так как в двух других плоских прямоугольных треугольниках СКО и СК'О стороны СK и СК' являются катетами, то: СК = R sin а; СК' = R sin b. После подстановки в формулу по лучим R sin a sin В = R sin b sin А, или
.
Здесь последние две формулы составлены по аналогии с первой. Формулы выражают теорему синусов: в сферическом треуголь нике синусы сторон относятся как синусы противолежащих углов.
Формула пяти элементов. Эта формула объединяет три стороны и два угла сферического треугольника. Выведем ее, пользуясь фор мулами косинуса сторон а и b:
Подставим в первое выражение значение cos b:
cos a = (cos a cos с + sin a sin с cos B) cos с + sin b sin с cos А.
Раскрыв скобки и перенеся слагаемые, содержащие cos a, в левую часть, получим cos a (l —cos2 с) = sin a sin с cos с cos B + sin b sin с cos A. Поделим все слагаемые на sin c: cos a sin с = sin a cos с cos B + sin b cos A. Поменяв слагаемые местами, получим формулу пяти элементов: sin b cos A — cos a sin с — sin a cos с cos B.
Ее читают так: в сферическом треугольнике синус стороны, ум ноженный на косинус прилежащего угла, равен произведению коси нуса стороны, противолежащей этому углу, на синус третьей сто роны минус произведение синуса противолежащей стороны на косинус третьей стороны и на косинус угла между ними.
Так как к каждой стороне треугольника примыкают по два уг ла — один «слева», другой «справа», то всего можно написать шесть формул пяти элементов:
Выведем теперь формулу пяти элементов в другом варианте, когда она связывает три угла и две стороны треугольника. С этой целью напишем две формулы косинуса угла:
Сделаем преобразования, подобные предыдущим:
cos А = -( -cos A cos2 C+ sin A cos С sin С cos b) + sin В sin С cos a;
cos A sin2 C = -sin A cos С sin С cos b + sin В sin С cos a
и окончательно
sin В cos a = cos A sin C+sin A cos С cos b.
Таким образом, в сферическом треугольнике произведение сину са угла на косинус прилежащей стороны равно произведению косинуса угла, противолежащего этой стороне, на синус третьего угла плюс произведение синуса противолежащего угла на косинус третьего-угла и на косинус стороны, противолежащей исходному углу.
Таких формул тоже шесть:
Формула котангенсов (формула четырех рядом лежащих элемен тов). Эта формула связывает четыре элемента треугольника, распо ложенных подряд. Для вывода возьмем какую-либо формулу пяти элементов, например
sin b cos A = cos a sin с — sin a cos с cos В.
По теореме синусов выразим величину синуса стороны b:
sin b = sin В sin a/sin A, и подставим ее в начальное выражение:
.
Поделив обе части на sin а, получим ctg A sin B = ctg a sin c - cos с cos В. Это и есть формула четырех рядом лежащих элементов. Выпи шем объединяемые формулой элементы в том порядке, в каком они даны в треугольнике (рис. 2.4), начиная с угла A и заканчивая сто роной а: А — с — В — а. В этой формуле элементы (буквы) A и a являются по расположению крайними, а элементы с и В — средни ми. В связи с этим формулу четырех элементов принято читать так: произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних элементов.
Если от того же крайнего угла A перечислить подряд три эле мента в противоположном направлении, то по тому же правилу мож но составить вторую формулу четырех ря дом лежащих элементов. А так как в ка честве крайнего может быть любой из трех углов треугольника, то общее число фор мул котангенсов равно шести:
Решить треугольник означает по трем заданным элементам найти остальные три. Порядок решения с помощью калькулятора следующий.
Начертить треугольник и обозначить заданные элементы.
При подборе теорем рекомендуется пользоваться только тремя заданными элементами (так называемое, независимое решение) и не брать вновь найденные элементы.
Если при решении необходимо записывать промежуточные результаты, надо сохранять пять знаков после запятой.
Решение сферических треугольников в задачах судовождения
Покажем, как применяются теоремы сферической тригонометрии для решения конкретных судоводительских задач.
Судно совершает плавание по дуге большого круга из точки А в точку В. На рис. 2.5 показаны меридианы этих точек и экватор.
Точкой Р обозначен полюс. Координаты точек А и В заданы. Это означает, что известны стороны РА и РВ (дополнение соответствующих широт до 90о) и сферический угол при полюсе (разность долгот). Требуется найти плавание D, курс начальный Кн и конечный – Кк.
Как видно на рис. 2.5, в сферическом треугольнике РАВ даны две стороны и угол между ними. Воспользуемся теоремами косинуса стороны и четырех рядом лежащих элементов.
cos D = cos (90o -A) cos (90o -B) + sin (90o -A) sin (90o -B) cos;
ctg A sin= ctg (90o -B) sin (90o -A) - cos (90o -A) cos;
;
ctg B sin= ctg (90o -A) sin (90o -B) - cos (90o -B) cos;
.
Подставляя заданные координаты в рабочие формулы , и , находим D, А и В. На рис. 4 видно, что угол А равен начальному курсу, а конечный курс равен 180о- В. Найденное значение D в градусах умножаем на 60, чтобы получить минуты, т.е. морские мили.
Следует иметь в виду, что в формулах − значение определяет величину сферического угла при полюсе безотносительно к полушарию восточному или западному, т.е. подставляется туда по модулю.
На рис. 2.6 схематично изображаем треугольник на небесной сфере, который называется параллактическим. Его решение заключается в нахождении высоты и азимута светила. Исходными данными являются: , и t.
Высоту светила находим по теореме косинуса стороны:
Для нахождения азимута воспользуемся теоремой котангенсов:
Следует заметить, что, так как в сферическом треугольнике ни один элемент не может быть больше 180о, азимут получается в полукруговом счете и его перевод в истинный пеленг требует дополнительного анализа.
Случайная величина ─ это величина, которая может принимать то или иное значение неизвестное до опыта. Под случайной величиной понимают всю совокупность значений, которые она может принимать.
Если случайная величина Х измерена п раз, то значения (результаты измерений) называются ее реализациями в данной серии.
Случайная величина называется дискретной, если все ее значения можно перечислить. Например, количество очков на гранях игрального кубика, погрешности в 0,1о при округлении поправки компаса.
Если случайная величина своими значениями заполняет некоторый числовой интервал, то она называется непрерывной. Например, площадь пробоины, время до первого отказа прибора.
Поскольку случайная величина может принимать различные значения, важно знать, с какой вероятностью могут появляться те или иные ее значения. Зависимость между самой случайной величиной и вероятностью появления ее возможных значений называется законом распределения случайной величины.
Закон распределения может быть представлен в трех видах: ряд распределения, функция распределения и плотность распределения.
Самый простой вид − ряд распределения. Он представляет собой таблицу, где каждому значению случайной величины соответствует вероятность ее появления:
|
х1 |
х2 |
х3 |
… |
хп |
|
Р1 |
Р2 |
Р3 |
… |
Рп |
Естественно, что перечислить все xi можно только для дискретных случайных величин и ряд распределения возможен только для них.
Второй вид − функция распределения F(x). Она показывает, чему равна вероятность того, что случайная величина не превосходит данное значение х, т.е. F(x) = Р( Х ≤ х ).
Для того, чтобы найти F(x) надо суммировать вероятности всех значений Х ≤ х. Для дискретных величин это можно сделать простым суммированием, а для непрерывных − интегрированием от - ∞ до х. Поэтому F(x) называют еще интегральной функцией распределения.
Увеличивая Х, можно накрыть интервал всех возможных значений случайной величины, т.е. F(x) стремится к 1.
Третий вид, в котором может быть представлен закон распределения случайной величины, − плотность распределения f (x).
Рассмотрим рис. 3.1 б. Очевидно, что чем круче идет кривая F(x), тем бóльшие вероятности суммируются, т.е. для участков с более вероятными значениями кривая имеет больший наклон к оси Х. Тангенс угла наклона кривой есть производная от этой функции. Производная от функции распределения называется плотностью распределения: F' (x) = f (x).
Производную имеют только непрерывные функции, поэтому плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин. На рис. 3.2 показана плотность распределения одной из случайных величин.
На графике плотности распределения хорошо видно, где наиболее вероятные значения случайной величины (около максимума f (x) ), а где менее вероятные.
Вероятность того, что случайная величина заключена в пределах от до β, равна площади под кривой в этом интервале и может быть найдена путем интегрирования:
Так как в интервале от - ∞ до + ∞ случайная величина какое-то значение принимает с неизбежностью, площадь под всей кривой f (x) равна 1. Плотность вероятности полностью характеризует случайную величину.
Закон распределения дает исчерпывающую характеристику случайной величины. Она задается графически или аналитически. Но ни график, ни формула не являются удобными для действий с величинами. Поэтому для их описания используют числовые характеристики. Обычно вполне достаточными являются две из них: математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание представляет собой центр, вокруг которого группируются все вероятные значения случайной величины. Для дискретных величин оно может быть подсчитано как сумма произведений всех значений случайной величины на соответствующие вероятности:
.
Для непрерывных величин суммирование заменяется интегрированием, а математическое ожидание определяется формулой
.
Второй числовой характеристикой случайной величины является дисперсия D[Х]. По аналогии с физическим явлением (дисперсией света) дисперсия случайной величины представляет собой ее рассеяние вокруг математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем больше рассеяния по числовой оси значений случайной величины.
Введем понятие центрированной случайной величины. Это разность между конкретным значением и математическим ожиданием случайной величины: х – М [Х]. Дисперсию можно представить, как математическое ожидание квадрата центрированной величины:
.
Для дискретных величин дисперсия может быть подсчитана по формуле
.
Для непрерывных величин дисперсия определяется по формуле
.
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Удобнее характеризовать разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина. Поэтому от дисперсии переходят к среднему квадратическому отклонению
.
И математическое ожидание, и дисперсия, и среднее квадратическое отклонение, как и сама вероятность, могут определяться из опыта и имеют свои статистические аналоги.
Функции f (x), описывающие плотность распределения, могут быть различными. Рассмотрим те из них, которые часто встречаются в судовождении.
Равномерное распределение
При равномерном распределении все значения случайной величины равновероятны. Примером такого распределения может служить погрешность при округлении какого-либо числа. Графически равномерное распределение показано на рис. 3.3. Аналитически равномерное распределение представлено формулой
f (x) = const.
Так как площадь под кривой должна быть равной 1, то случайная величина распределяется на ограниченном интервале от до β. Вне этого интервала f (x) = 0.
На рис. 3.3 видно, что площадь под кривой равна произведению f (x) на (β - ). Следовательно, f (x)· (β - ) = 1. Откуда
.
Найдем числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины. Математическое ожидание запишем на основании и :
.
После преобразований получим
.
Для определения дисперсии подставим выражения математического ожидания и плотности распределения в формулу :
.
После преобразований получим
Как уже говорилось, закон равномерной плотности справедлив при округлении чисел. Интервал, на котором распределены погрешности округления в 0,1 единицы последнего знака, заключен от = − 0,5 до β = +0,5 этого знака. Подставив эти значения и в и , получим значения для математического ожидания и дисперсии:
или = 0,29 единицы последнего знака.
Нормальный закон
Если на случайную величину действует множество причин, ни одна из которых не преобладает, то ее распределение подчиняется нормальному закону. Это наиболее часто встречающийся закон. Он описывает огромное количество самых различных случайных величин, в том числе все измерения. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться им при обработке наблюдений.
Нормальный закон представлен графически на рис. 3.4 и аналитически формулой
.
где х − математическое ожидание случайной величины;
σ х − ее среднее квадратическое отклонение.
Анализируя формулу , видим, что плотность распределения максимальна, при показателе степени е равном 0, т.е. когда х =х,. Математическое ожидание является наиболее вероятным значением и определяет центр кривой.
Если в подставить х = х,, получим максимальное значение плотности вероятности, равное 1/σх. Эта величина определяет высоту кривой. Чем больше σ х , тем ниже максимум кривой, но так как площадь под кривой всегда равна 1, она становится более пологой, увеличивается вероятность больших отклонений. Таким образом, х характеризует разброс случайной величины вокруг математического ожидания.
Чтобы вычислить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от до β, надо в формулу подставить значение плотности вероятности из :
.
Численные методы интегрирования выражения для некоторых характерных интервалов дают следующие вероятности: 0,683 для± σ; 0,954 для ± 2σ; 0,997 для ± 3σ.
Значения вероятностей (например, 0,683) можно понимать двояко: либо, что указанный интервал содержит 68,3% всех возможных значений случайной величины, либо, что любое значение попадает в этот интервал с вероятностью 68,3%.
Если в формуле принять = 0 и , получим функцию Лапласа:
.
По формуле рассчитана таблица значений вероятности, с помощью которой можно рассчитать вероятность нахождения случайной величины в любом интервале. Функция Лапласа приводится во многих таблицах и пособиях, в том числе и в Мореходных таблицах.
Смешанные распределения.
В обоих рассмотренных выше распределениях параметр σ (среднее квадратическое отклонение) предполагался величиной постоянной. Если же σ является случайной величиной со своим законом распределения f(σ), то распределение f (х) называют смешанным распределением.
Вид смешанного распределения зависит от вида f (σ). Наибольший интерес в судовождении представляет вид f (σ), по которому распределяется среднее квадратическое отклонение погрешностей измерения случайной величины. Результаты обработки больших серий спутниковых обсерваций дали основание считать, что f (σ) имеет вид распределения Релея:
,
где − характеристика рассеяния σ вокруг некоего среднего значения ':
.
В этом случае f (х) описывается двусторонним распределением Лапласа:
.
В числителе показателя степени е стоит модуль случайной величины.
В.Т. Кондрашихин, обработав серии астрономических наблюдений, пришел к выводу, что σ распределяется по логнормальному закону, когда по нормальному закону распределяется не сама величина х, а ее логарифм
.
В том случае смешанное распределение в элементарных функциях не выражается. На больших отклонениях от математического ожидания, (а именно они рассматриваются при оценке навигационной безопасности) оба смешанных распределения дают хорошее согласие. Поэтому используется более простая формула .
Под системой понимают две или несколько случайных величин, рассматриваемых совместно. Например, значения крена, дифферента и рыскания в данный момент, погрешности в широте и долготе и т.п. Для двух случайных величин Х и Y система геометрически обычно представляется плоскостью, на которой можно перебрать все возможные сочетания х и y . Такие сочетания будут случайными, как и сами величины.
Рассмотрим три различных варианта таких сочетаний, которые показаны на рис. 3.5.
На рис. 3.5 а) каждому значению Х может соответствовать любое значение Y.
На рис. 3.5 b) каждому значению Х соответствует определенный интервал, в котором может находиться Y. Причем, этот интервал при увеличении Х смещается вверх по оси Y.
Наконец, на рис. 3.5 с) каждому значению Х соответствует всего одно значение Y. В этом случае говорят о жесткой зависимости между Х и Y. Такую зависимость называют функциональной
Во втором случае зависимость просматривается, но она не такая однозначная, как функциональная. Такую зависимость называют стохастической.
В первом же случае нет никакой зависимости, т.е Х и Y независимы.
Таким образом, системы случайных величин различаются степенью зависимости или теснотой связи.
Достаточно полно система двух случайных величин может быть охарактеризована математическими ожиданиями Х и Y, их дисперсиями, а также математическим ожиданием произведения центрированных случайных величин:
.
где − центрированные относительно математических ожиданий случайные величины.
Первые две характеристики представляют средние значения случайных величин, и называются характеристиками положения, вторая пара (дисперсии) отражает разброс по осям Х и Y, последняя характеристика называется корреляционным моментом и является показателем тесноты связи или меры взаимозависимости этих величин.
Для дискретных случайных величин корреляционный момент выражается формулой , для непрерывных − .
;
.
Корреляционный момент имеет размерность произведения случайных величин. Чтобы перейти к безразмерной характеристике, его делят на произведение средних квадратических отклонений, в результате чего получают коэффициент корреляции
.
Коэффициент корреляции может быть в пределах от 0 до ±1. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее зависимость. Для функциональной зависимости r = 1, для независимых величин r = 0. Стохастическую зависимость называют также корреляционной.
Здесь следует заметить, что для независимых Х и Y корреляционный момент (и коэффициент корреляции) равен 0, но обратное утверждение верно только для нормально распределенных величин, т.е. у некоторых зависимых систем (распределенных не по нормальному закону), он может быть равен 0.
Коэффициент корреляции характеризует линейную зависимость, причем, со знаком «+» положительную корреляцию (при возрастании Х возрастает Y, рис. 3.5 b) ) и со знаком «-» − отрицательную корреляцию (обратная зависимость).
Если зависимость может быть представлена уравнением прямой, то r = 1 (рис. 3.5 с)).
Дисперсии случайных величин и корреляционный момент составляют так называемую корреляционную матрицу
.
Матрица может быть записана для любого количества случайных величин и, так как Kху =Kух , иногда ее представляют верхней от диагонали дисперсий частью.
Обычно достаточно знать только взаимозависимость случайных величин безотносительно к их разбросу. Для этого все элементы корреляционной матрицы делят на произведение соответствующих средних квадратических отклонений. Тогда вместо корреляционных моментов будут стоять коэффициенты корреляции, а по диагонали − единицы. Такая матрица называется нормированной корреляционной матрицей
.
Нормальный закон распределения для системы случайных величин
Плотность распределения системы величин f (x,у) определяется на основании теоремы умножения законов распределения и равна произведению плотности распределения одной величины на условную плотность распределения другой величины. Под условной понимают плотность распределения при условии, что другая величина приняла заданное значение.
Для произвольного количества случайных величин х1, х2 …. хп плотность вероятности их совместного появления равна
.
где: − определитель корреляционной матрицы;
V = xi −x − отклонение случайной величины от математического ожидания;
cij − элементы матрицы, обратной к корреляционной;
n − количество случайных величин;
N = п2 − общее число слагаемых.
В принятых ранее обозначениях плотность распределения системы двух любых случайных величин можно записать в виде
.
Если величины независимы, коэффициент корреляции r равен 0, выражение (5.23) упрощается:
.
Нормальный закон распределения системы в виде и используется при оценке точности обсервации соответственно по зависимым и независимым навигационным параметрам.
Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта принимает то или иное, заранее неизвестное значение. Например, наклонение горизонта зависит от высоты глаза наблюдателя, но при его измерении в различных точках мирового океана из-за изменения коэффициента земной рефракции эта зависимость будет разной. Таким образом, наклонение горизонта является случайной функцией высоты глаза наблюдателя.
Если аргументом случайной функции является время, то ее называют случайным процессом. Например, курс судна на заданном прямом отрезке является случайным процессом из-за воздействий ветра, волнения, перекладки руля.
Рассмотрим основные понятия и характеристики случайных процессов. Допустим, судно несколько раз проходит один и тот же отрезок и фиксируется его курс в зависимости от времени. Совокупность значений курса в каждый момент времени, называется реализацией данного случайного процесса, а курсограмма является записью этой реализации.
По аналогии со случайной величиной под случайным процессом подразумевают все возможные его реализации.
На рис. 3.6 показаны несколько реализаций случайного процесса.
Сечение этого процесса по времени (ti = const) является случайной величиной. Значения хi на рис. 3.6 обозначены цифрами. Эта случайная величина имеет свое математическое ожидание μх и дисперсию Dx. Возьмем другие сечения по времени и также определим для них математические ожидания и дисперсии.
Совокупность математических ожиданий по всем сечениям образует математическое ожидание случайного процесса. Аналогично совокупность дисперсий по всем сечениям образует дисперсию случайного процесса.
Таким образом, математическое ожидание случайного процесса μх(t) − это неслучайная функция по времени, которая в каждый момент времени принимает значение, равное математическому ожиданию соответствующего сечения. Это некоторая кривая, вокруг которой группируются все реализации случайного процесса.
По аналогии со случайной величиной определяется центрированный случайный процесс и его дисперсия. Дисперсия случайного процесса Dx(t) − это неслучайная функция по времени, которая в каждый момент времени принимает значение, равное дисперсии соответствующего сечения. Извлекая квадратный корень из Dx(t) , получим среднее квадратическое отклонение случайного процесса.
Рассмотренные характеристики являются очень важными, но они не полностью характеризуют процесс. Рассмотрим рис. 3.7. На нем изображены два случайных процесса, имеющие одинаковое математическое ожидание и дисперсию. Цифрами 1 и 2 показано два сечения через одинаковый интервал времени . Если в реализации первого процесса отклонение х(t) от математического ожидания за этот интервал времени изменилось незначительно, то в реализации второго процесса оно даже поменяло знак.
Это означает, что с увеличением времени между сечениями их зависимость в первом случае сохраняется довольно долго, а во втором − быстро затухает.
Таким образом, характер этих процессов различен, но это различие не отражает ни математическое ожидание, ни дисперсия. Поэтому вводится еще одна характеристика − корреляционная функция, которая отражает степень зависимости сечений процесса.
Корреляционная функция Kx (t1,t2). – это неслучайная функция, которая для каждой пары аргументов t1 и t2 равна корреляционному моменту соответствующих сечений.
.
Если интервал времени взять равный 0, корреляционная функция обращается в дисперсию.
Корреляционная функция, как следует из формулы , зависит от двух аргументов: начального момента t1 и интервала времени до t2. Если же корреляционная функция не зависит от начального момента, а только от интервала времени, такой процесс называют стационарным, а сама корреляционная функция называется автокорреляционной функцией Kx().
.
Обратимся снова к рис. 3.7 Если для Х2 (t) любую одну реализацию продолжить по времени, то ее значения повторяют значения всех остальных реализаций. В результате по одной реализации можно получить все характеристики процесса: и математическое ожидание, и дисперсию, и корреляционную функцию. Можно сказать, что каждая реализация Х2 (t) представляет другие. Если характеристики случайного процесса могут быть получены по одной реализации, то такой процесс называют эргодическим.
Для процесса Х1 (t) каждая отдельная реализация имеет свое математическое ожидание и не отражает остальные реализации.
Несмотря на то, что все понятия теории вероятностей, включая и числовые характеристики случайных величин, являются абстрактными, отражают реальные закономерности, существующие в массовых явлениях. Это означает, что и числовые характеристики, и законы распределения случайных величин, и значение самой вероятности могут быть получены из наблюдений, проведением эксперимента.
Разработкой методов регистрации, описания и анализа результатов наблюдений массовых случайных явлений занимается математическая статистика.
Теоретически полученное значение вероятности можно подтвердить экспериментально, когда известна полная группа событий. Например, вероятность выпадения герба при бросании монеты равна 0,5. Это означает, что, если два раза бросить монету, один раз должен выпасть герб.
Сравнение экспериментально полученной вероятности с теоретическим значением показывает, что экспериментальное значение может отличаться от теоретического, но чем больше количество опытов, тем это отличие меньше.
В отличие от теоретического, экспериментальное значение вероятности называют частотой события Р*, и она определяется как отношение случаев, благоприятствующих этому событию k к общему числу опытов n.
.
Так, например, если сто раз бросить монету и 48 раз выпадет герб, частота его появления 0,48. По мере увеличения числа бросаний частота будет приближаться к 0,5.
Применительно к случайным величинам эксперимент подразумевает измерение. Если случайная величина (дистанция до ориентира) была измерена 5 раз и получены значения 38 кб, 35 кб, 36 кб, 37 кб, 36 кб, то частота значения 36 кб равна 0,4, а каждого из остальных − 0,2. В общем случае, если результаты измерений не повторяются, а произведено п измерений, то частота каждого измерения равна 1/п.
Таким образом, понятие вероятности в математической статистике заменяется понятием частоты.
Основными числовыми характеристиками элементов навигационной информации являются математическое ожидание и дисперсия. Они описываются формулами −.
В подавляющем большинстве случаев регистрация результата измерения является дискретным процессом. Дискретными будут и измеренные значения случайной величины. Для описания их характеристик используются формулы и .
Если в формуле вероятность заменить частотой, получим выражение для статистического аналога математического ожидания, который называется средним арифметическим
.
Как правило, число измерений ограничено и среднее значение случайной величины, полученное по формуле , от серии к серии измерений будет варьироваться. Поэтому говорят об оценке среднего значения, полученного по результатам измерений.
Оценка, несмотря на свой случайный характер, может достаточно точно характеризовать случайную величину, так как к ней предъявляется ряд требований.
Во-первых, оценка должна быть состоятельной. Это означает, что при увеличении числа измерений х0 по вероятности должно сходится к математическому ожиданию случайной величины.
Во-вторых, оценка должна быть несмещенной. Это означает, что математическое ожидание оценок х0, полученных по различным сериям, должно стремиться также к математическому ожиданию случайной величины.
В-третьих, оценка должна быть эффективной. Это означает, что из всех возможных, данная оценка должна обладать наименьшей дисперсией.
Выражение удовлетворяет всем перечисленным требованиям и служит оценкой математического ожидания случайной величины. Обычно оно обозначается как хср.
Если в формуле вероятность заменить частотой, а математическое ожидание его оценкой, получим выражение для статистической дисперсии:
.
Из перечисленных требований выражение удовлетворяет первому и третьему, т.е. оценка по этой формуле получится смещенной (несколько уменьшенной). Чтобы устранить смещение, статистическую дисперсию надо умножить на коэффициент п/(п-1). Тогда формула для оценки дисперсии будет выглядеть так:
.
Таким образом, формулы и используются для оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины.
В соответствии с формулой оценкой среднего квадратического отклонения служит выражение
.
При измерениях отклонение от среднего является следствием случайных погрешностей. Поэтому называют средней квадратической погрешностью, а сама формула называется формулой Бесселя по имени немецкого астронома 19 века. В литературе для судоводителей средняя квадратическая погрешность обычно обозначается буквой т.
Рассмотренные характеристики участвуют в описании системы случайных величин, случайных функций и процессов.
Аналогично дисперсии получаются оценки:
корреляционного момента
;
коэффициента корреляции
;
корреляционной функции
;
автокорреляционной функции
,
где i − номер реализации; п − количество реализаций; k , l − номер сечения.
Все навигационные элементы являются результатами измерений, вычислений на основе измерений или априорными оценками. На процесс измерения влияет техническое состояние прибора, свойства объекта измерения, окружающая среда и личный опыт наблюдателя. Это приводит к тому, что результат каждого измерения неизбежно отягощен погрешностью.
Погрешность − это разность между истинным значением навигационного элемента и измеренным значением.
Классификация погрешностей по источникам
По источнику возникновения погрешности делятся на погрешности объекта, погрешности от влияния внешней среды, погрешности прибора или инструмента измерения, методические и личные.
Погрешности объекта − это погрешности, вызванные состоянием или свойствами объекта. Например, радиолокационные дистанции до скалы и до пологого берега будут обладать разными погрешностями.
Погрешности от влияния внешней среды − это наиболее многочисленные причины возникновения погрешностей. Сюда относятся состояние и свойства атмосферы и воды, служащие средой распространения звуковых и электромагнитных волн, различные помехи и условия измерения. Некоторые из перечисленных факторов известны и исключаются из результатов измерений различными поправками. Например, девиация и магнитное склонение, астрономическая и земная рефракция. Но основная часть не поддается учету и приводит к случайным погрешностям. Например, рыскание судна или флуктуации теплых или холодных масс воздуха между ориентиром и судном во время пеленгования, температурные инверсии, изменяющие коэффициент земной рефракции и т.д.
Погрешности прибора. Сам прибор или инструмент измерения, цена деления его шкалы определяют уровень точности измерения. Однако качество изготовления, юстировка, особенно механических инструментов, служат источником погрешностей. Примерами погрешностей прибора могут служить погрешность следящей системы гирокомпаса, инструментальная погрешность секстана, погрешность лага. Погрешности прибора носят систематический характер. Поэтому исследование прибора или инструмента на специальных стендах при изготовлении или, в последующем, при эксплуатации позволяет учесть их в виде поправок к измерениям. Например, поправка хронометра, поправка лага или гирокомпаса.
Методические погрешности – погрешности обусловленные методом измерения или обработки информации. Например, несколько пеленгов ориентиров или высоты светил, измеренные с движущегося судна, относятся к разным точкам земной поверхности, но прокладываются в одной; место судна в астронавигации определяется на пересечении высотных линий положения, хотя должно быть на пересечении кругов равных высот. Сюда же можно отнести и погрешности в обсервованном месте, если геодезические основы спутниковой системы и карты разные и т.п.
Личные погрешности зависят от опыта наблюдателя, тщательности при наведении визира или снятии отсчета со шкалы. Как правило, личные погрешности носят случайный характер. По характеру воздействия все погрешности делятся на систематические, случайные и промахи.
Классификация погрешностей по закономерностям их изменения
Систематические погрешности — это погрешности, знак и величина которых в измерениях изменяется по определенному закону. Систематиче ские погрешности появляются в результате неучтенного постоян ного или закономерно изменяющегося воздействия факторов. Систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные.
Постоянные погрешности сохраняют величину и знак постоянными в течение измерений или для всех навигационных элементов рассматриваемой совокупности. Например, неточное знание высоты мостика порождает одинаковую погрешность в выбираемом из таблиц наклонении горизонта для всех измеряемых светил.
Разновидностью постоянной погрешности является повторяющаяся для данной группы навигацион ных элементов погрешность.
Причиной повторяющихся погрешностей являются слу чайные факторы, воздействующие одновременно на все навига ционные элементы данной группы. Например, случайная погрешность поправки гирокомпаса, которой исправляются все навигационные элементы данной группы, одинаково искажает и пеленга, и курсы (эта погрешность вместе с поправкой входит во все исправляемые параметры).
Переменные погрешности изменяют свою величину по определенному закону с изменением условий измерения или с изменением величины навигационного элемента. Они порож даются факторами, действие которых закономерно изменяется. Как правило, эти законы известны и вызывают монотонно изменяющиеся или периодические погрешности.
Примером монотонно изменяющейся погрешности могут служить погрешности, зависящие от времени или расстояния: погрешность хронометра, погрешность в пройденном расстоянии по лагу, погрешность в расстоянии, рассчитанном по приближенному курсу,
Периодические погрешности связаны с вращающимися узлами прибора или инструмента или с направлением относительно сторон света. Так, например, отсчетный барабан секстана может вызывать периодическую погрешность в высотах светил, погрешность в курсе от девиации магнитного компаса зависит от курса.
Принципиальная возможность определить систематическую погрешность позволяет исключить ее из результатов измерений.
Определение систематических погрешностей возможно различными способами. Теоретические и практические исследования позволили вывести зависимость астрономической рефракции от высоты светила, а наклонения горизонта от высоты глаза наблюдателя. Как правило, теоретические соображения позволяют определять методические погрешности.
Другим способом определения систематических погрешностей является их непосредственное измерение. Например, пеленгование створов позволяет определять погрешность компаса, погрешность индекса секстана определяется по горизонту, звезде или Солнцу, погрешность хронометра определяется по радиосигналам времени или сличением с гринвичским временем на экране GPS-приемника.
Систематическая погрешность может быть также определена методикой обработки измерений навигационных параметров. Для этого необходимы избыточные измерения.
После того, как систематическая погрешность тем или иным способом определена, она исключается из результата измерения. Делается это тремя способами. Наиболее распространенным способом является введение поправки в вычисления. Поправка равна погрешности с обратным знаком. Алгебраическая сумма результата измерения и поправки дает свободное от систематической погрешности значение навигационного элемента.
Примерами могут служить поправка компаса, поправка лага, поправка хронометра, поправка за астрономическую рефракцию, наклонение горизонта и т.д.
Вторым способом служит введение поправки в прибор. Например, введение поправки за скоростную погрешность в гирокомпасе, уменьшение поправки индекса секстана, перевод стрелок часов или хронометра.
Наконец, третий способ заключается в организации измерений. Примером может служить определение поправки лага на мерной линии с неизвестным вектором течения
Случайные погрешности − это погрешности, изменяющие свою величину и знак от наблюдения к наблюдению без каких-либо известных закономерностей. Они принципиально непредсказуемы, однако, как и любая случайная величина, они подчиняются определенному закону распределения, и эти законы могут быть использованы для уменьшения их влияния на результат измерения.
Случайные погрешности распределены, в основном, по нормальному закону и иногда по равномерному закону. Графики этих распределений показаны на рис. 3.3 и 3.4. Если начало отсчета на этих графиках перенести в математическое ожидание, получим распределения случайных погрешностей. Они показаны на рис. 4.1. На этом рисунке случайная погрешность обозначена . В обоих случаях графики симметричны относительно начала отсчета (нулевой погрешности), что говорит о том, что равные по величине, но противоположные по знаку погрешности равновероятны. Это важное свойство лежит в основе обработки измерений: в достаточно большой совокупности измерений случайные погрешности в значительной степени компенсируют друг друга.
Промахи. Частным случаем случайной погрешности является промах. На графике нормального закона видно, что большие по величине погрешности маловероятны. Вероятность того, что навигационный параметр будет измерен с отклонением от математического ожидания (погрешностью) больше тройного среднеквадратического отклонения, равна 0,003. Из тысячи измерений только три превысят этот предел. Этот предел (тройное среднеквадратическое отклонение) принят за условную границу допустимых отклонений. Все измерения, выполненные с бóльшими отклонениями, называются промахами (выбросами). Они исключаются из обработки и не влияют на конечный результат.
Полная погрешность. Систематическая погрешность исключается поправкой, которая определяется измерением или вычислением. И то, и другое содержит случайные погрешности, которые составной частью войдут в поправку. При дальнейшей обработке измерений, хотя поправкой и будет исключена систематическая погрешность, в результате останется ее случайная составляющая. Следовательно, при каждом использовании поправки результат будет искажаться на одну и ту же величину неучтенной случайной составляющей. Другими словами после исключения систематической погрешности в навигационных элементах все равно остается ее часть, хотя и меньшая.
Таким образом, в результате измерения после исключения систематической погрешности с помощью поправки всегда остается погрешность случайная и остаток систематической погрешности. Этот остаток совместно со случайной погрешностью образует полную погрешность.
В зависимости от соотношения величин случайной и систематической части полная погрешность проявляет себя по-разному. В случае явного преобладания случайной части измерения независимы. В случае явного преобладания систематической части измерения становятся функционально зависимыми. Наконец, если ни та, ни другая часть не преобладает явно, измерения являются вероятностно зависимыми и эта зависимость описывается корреляционным моментом или коэффициентом корреляции.
Навигационным параметром называется геометрическая величина, связывающая координаты ориентиров с координатами точек на земной поверхности.
Измерения взаимозависимые и неравноточные
Для получения значения навигационного параметра достаточно одного измерения. Чтобы уменьшить влияния случайных погрешностей, делается серия измерений.
Допустим, измерена серия какого-либо навигационного параметра Х и после исправления поправками получены результаты х1, х2…. хп. Измерения не равноточные. Точность каждого измерения оценим полной средней квадратической погрешностью (СКП) тi. Обозначив искомое значение навигационного параметра через хо, для каждого измерения можно записать уравнение
хо хi.
В каждом результате измерения содержится полная погрешность Vi, состоящая из случайной и повторяющейся части. Чтобы получить точное значение навигационного параметра, эту погрешность из результата измерения надо вычесть:
хо = хi− Vi.
Таким образом, для п измерений будем иметь систему п уравнений вида
Vi = хi− хо,
которые называются уравнениями невязок.
Наиболее вероятное значение хо будем искать в соответствии с принципом максимального правдоподобия. Для этого надо, чтобы совокупность невязок обладала наибольшей плотностью вероятности.
Обратимся к формуле представляющей плотность вероятности для системы произвольного количества случайных величин. В ней выражение, стоящее перед основанием натурального логарифма е, для данной совокупности − константа. Невязки входят в показатель степени:
.
Чтобы плотность вероятности была максимальной, надо отрицательный показатель степени е минимизировать, т.е. значение хо надо выбрать таким, чтобы
.
Левая часть − однородный многочлен второй степени относительно невязок, называемый квадратичной формой. Поэтому метод определения неизвестного значения случайной величины наложением условия называется методом наименьшей квадратичной формы или обобщенным методом наименьших квадратов.
Для нахождения минимума необходимо производную функции приравнять к нулю. Подставив в выражения для невязок из , можно записать
.
Произведя дифференцирование, получим
.
В этой формуле N = п2 − общее число слагаемых, cij − элементы матрицы, обратной к корреляционной.
,
где т − СКП навигационного параметра, − определитель, а Аij − алгебраическое дополнение элементов определителя нормированной корреляционной матрицы
.
Значение Аij рассчитывается как определитель матрицы с вычеркнутой i строкой и j столбцом.
Перейдем к оценке точности найденного значения навигационного параметра.
Точность навигационного параметра оценивается средней квадратической погрешностью, которая для зависимых неравноточных измерений вычисляется по формуле
,
где знаменатель вычисляется так же, как и в формуле , а числитель − СКП единицы элемента ci., Она находится по формуле
.
При числе измерений меньше 5 формула дает большую погрешность. В этом случае принимают т(1) = 1 и точность найденного навигационного параметра оценивают по формуле
.
Измерения независимые и неравноточные
Если измерения независимы, то коэффициенты корреляции в матрице , кроме диагональных, равны нулю. Тогда все не диагональные элементы Аij и cij также равны нулю. Диагональные элементы Аij равны 1, а диагональные элементы cij равны . С учетом этого формула преобразуется к виду
.
Величина
.
называется весом и характеризует степень доверия к измерению. Чем меньше СКП измерения, тем больше его точность и вес.
С учетом формула примет вид
.
Погрешность среднего взвешенного оценивается по формуле
,
где т(1) − СКП измерения с весом 1, которая рассчитывается по формуле
.
Формулой (6.23) пользоваться при п < 5 не рекомендуется, так как она дает слишком неточный результат. При п < 5 принимают т(1)= 1 и СКП средневзвешенного рассчитывают по формуле
.
Измерения взаимозависимые и равноточные
В этом случае наиболее вероятное значения рассчитывается по формуле
.
Значение, полученное по формуле называется средним арифметическим.
Погрешность среднего арифметического, найденного по зависимым равноточным измерениям оценивается формулой
,
где - систематическая погрешность, - случайная погрешность.
Измерения равноточные и независимые
Наиболее вероятное значение навигационного параметра определяется как среднее арифметическое по формуле . Эта формула используется в подавляющем большинстве случаев, потому что измерения, как правило, выполняются одним и тем же наблюдателем, одним и тем же прибором и в одних и тех же условиях. То есть измерения являются равноточными, причем справедлива эта формула и для зависимых, и для независимых измерений.
Погрешность среднего арифметического, рассчитанного по независимым измерениям определяется по формуле
,
где т − СКП измерения параметра.
Рассмотренные нами среднее арифметическое и средневзвешенное являются оценками наиболее вероятных значений случайных величин. А чему равна вероятность этих оценок? Оказывается, она равна нулю. Это, так называемый, парадокс нулевой вероятности. Заключается он в том, что для непрерывных случайных величин вероятность любого конкретного значения равна нулю.
Действительно, вероятность подсчитывается по формуле интегрированием на определенном отрезке числовой оси и равна площади под кривой закона распределения на этом отрезке. Площадь же появляется только, если на числовой оси взять отрезок. Если на числовой оси указать точку, площадь над ней равна нулю.
Поэтому наиболее вероятные значения называют точечными оценками случайной величины. Если же необходимо знать значение случайной величины с определенной вероятностью, например, 0,5, надо указать на числовой оси интервал, в котором содержится 50% всех возможных значений этой величины.
Обычно этот интервал указывается симметрично относительно среднего значения случайной величины. Величина вероятности на определенном интервале зависит от вида закона плотности распределения вероятности. Напомним, что для нормального закона вероятность нахождения случайной величины на отрезке хо ± т равна 0,683; на отрезке хо ± 2т 0,954; на отрезке хо ± 3т 0,997.
С помощью таблицы «Функция Лапласа», которая есть «Мореходных таблицах», можно определить соответствие вероятности любому интервалу. Прямая и обратная выборки позволяют находить как вероятность по заданному интервалу, так и интервал для заданной вероятности. Этот интервал называется доверительной оценкой, а соответствующая ему вероятность − доверительной вероятностью. Величина вероятности показывает, насколько можно доверять этой оценке. Границы доверительного интервала называются доверительными границами.
Значение доверительного интервала задается в виде доверительных границ. Например, I90%= (35,6о; 37,2о). Можно задать доверительный интервал, указав центр и полуширину интервала. Например, I90%= 36,4о±0,8о. Иногда вместо термина «доверительная оценка» используется термин «интервальная оценка».
Значения в таблице «Функция Лапласа» рассчитаны для нормального закона распределения, причем подразумевается наличие бесконечного количества значений случайной величины. В серии измерений содержится определенное, как правило, небольшое количество измерений и доверительный интервал, рассчитанный по «оценочным параметрам» нормального закона, будет отличаться от теоретического, тем больше, чем меньше число измерений.
Зависимость величины интервала от числа измерений для нормального закона была изучена Стьюдентом и приведена в форме таблицы «Распределение Стьюдента». В ней аргументами служат число степеней свободы (число измерений минус единица) и доверительная вероятность. В таблице приводятся значения t − коэффициента кратности СКП. Умножив на этот коэффициент СКП, и отложив полученное значение влево и вправо от среднего, получим границы доверительного интервала. При числе измерений больше 20 распределение Стьюдента мало отличается от нормального.
Если результат измерения, отягощенный погрешностью, используется для вычисления какой-либо функции, то и функция получается с погрешностью. Точность функции оценивается средней квадратической погрешностью. В общем случае функция зависит от нескольких аргументов и погрешности каждого искажают вычисленное значение функции.
Выясним зависимость СКП функции от СКП аргументов. Допустим, задана функция
z = f (x, y…) .
Было произведено п измерений аргументов, по которым рассчитывается значения функции z. Обозначим погрешности в аргументах через x, у и т.д., а погрешность функции − z. Тогда каждому измерению будет соответствовать уравнение
z +zi = f (x +xi , y +уi …) .
Разложим правую часть в ряд Тейлора, ограничившись линейными членами, и вычтем из полученного равенства
.
Чтобы перейти от индивидуальных погрешностей к средним квадратическим, возведем равенство в квадрат, просуммируем все п уравнений и разделим на п – 1:
.
Суммы квадратов погрешностей, деленные на п – 1, представляют собой квадраты СКП переменных, а суммы в слагаемых с коэффициентом 2 − корреляционные моменты соответствующих аргументов:
.
Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства , получим общую формулу СКП функции измеренных аргументов
.
Формула используется для взаимозависимых аргументов. Если аргументы независимы, корреляционные моменты становятся равными нулю и СКП функции рассчитывается по формуле
Таким образом, чтобы оценить СКП функции, надо определить ее частные производные по всем аргументам, содержащим погрешности и умножить их на СКП этих погрешностей.
Большинство формул, используемых в судовождении, являются одночленными выражениями, При их дифференцировании для нахождения частных производных полезно использовать следующий прием.
Если функция задана в виде
z = Ахтуп, то ; .
Этот прием применим при любом количестве сомножителей, любых, в том числе отрицательных и дробных показателях степеней. Он позволяет значительно облегчить вычисления производных. При этом, что важно, при подстановке производных в формулу размерности переменных сокращаются с размерностями соответствующих СКП. Таким образом, размерность СКП функции получается одинаковой с размерностью самой функции.
Порядок вычислений СКП функции следующий.
Элементы навигационной информации
Навигационной информацией являются сведения, которые определяют положение судна и его элементы движения. Величины, составляющие навигационную информацию, называются навигационными элементами. Все навигационные эле менты получаются в результате измерений или вычислений на основе измерений. Это обстоятельство определяет случайный характер навигационных элементов и требует вероятностного подхода к их оценке.
К навигационной информации относятся следующие навигацион ные элементы.
Координаты судна. Координаты судна могут быть выбраны относительно экватора и гринвичского меридиана (географические координаты), относительно какого-либо подвижного или неподвижного объекта (полярные), относительно линии пути (маршрутные).
Навигационные параметры — это измеряемые величины, завися щие от взаимного расположения судна и ориентира и служащие для определения места судна.
Элементы счисления включают в себя все величины, позволяющие вычислить местоположение судна на любой момент времени: истинный курс судна, угол дрейфа, вектор скорости течения, скорость хода, интервал времени, для которого производится расчет координат.
Поправки технических средств судовождения и методические поправки. Это наиболее многочисленный вид навигационной информации. Он включает в себя поправку компаса, поправку лага, поправку хронометра, магнитное склонение и девиацию магнитного компаса, ортодромическую поправку, наклонение видимого горизонта, поправки к координатам карт с разными геодезическими системами и т. д.
Измеренные моменты времени ─ это показания хронометров, часов и секундомеров в заданный момент.
Классификация информации
Навигационная информация классифицируется по нескольким признакам.
Однородная информация и неоднородная информация. Однородная информация получается в результате измере ний, основанных на одном и том же физическом принципе. Например, несколько компасных пеленгов, измеренных пеленгатором компаса, высоты нескольких светил, измеренные секстаном; ряд астрономических поправок компаса, и т. п.
Разнородная информация получается в результате измере ний, основанных на различных физических принципах. Например, расстояние до ориентира, измеренное с помощью радиолока тора, и расстояние, вычисленное по вертикальному углу; курс по гирокомпасу и курс по магнитному компасу. Разнородными являются также навигационные элементы, имеющие разное наименование: пеленг и высота, расстояние и глу бина и т. п.
Равноточная и неравноточная информация. Равноточными являются измерения, выполненные одним и тем же наблюдателем одним и тем же прибором и в одних и тех же условиях.
Информация считается неравноточной, если навигацион ные элементы измерены с различной точностью.
По виду измерений информация делится на непосредственно измеренную и косвенно измеренную. Непосредственно измеренная информация является прямым результатом процесса измерения: например, высота светила, измеренная секстаном; пеленг, измеренный с помощью пеленгатора компаса; курсо вой угол, измеренный путем визирования ориентира; глубина, изме ренная ручным лотом, и т. п.
Косвенно измеренная информация является функцией непосредственно измеренных физических параметров и вычисляется или преобразуется на основании результатов измерений. Например, расстояние в радиолокаторе вырабатывается преобра зованием измеренного времени распространения радиоимпульса от судна до ориентира; по измеренному вертикальному углу и высоте ориентира рассчитывается расстояние до него; глубина, измеренная эхолотом, получается преобразованием времени распространения ультразвукового сигнала до дна и обратно и т.п.
По степени полноты информация подразделяется на неполную, необходимую и избыточную.
Неполная информация не позволяет определить искомые навигационные элементы. Например, один навигационный параметр не позволяет определить место судна.
Необходимая информация обеспечивает расчет искомых навигационных элементов. В необходимой информации столько измерений, сколько неизвестных элементов.
Избыточная информация ─ это информация, полученная сверх необходимой. Например, третий навигационный параметр при определении места судна, второе и последующие измерения одного и того же навигационного эле мента. Избыточная информация не является бесполезной, она позволяет ослабить влияние случайных погрешностей.
Исходная и итоговая информация. Исходной информацией являются результаты измерений или выбранные из таблиц значения, подлежащие дальнейшей обработке в целях получения навигационных элемен тов.
Итоговая информация − это значения навигационных элементов, которые получаются в результате обработки некоторой исходной информации. Одна и та же информация в одном случае может быть исходной, в другом − итоговой. Так например, при определения места судна координаты являются итоговой информацией, а при вычислении элементов сноса по обсервациям − исходной.
По степени взаимозависимости информация делится на независимую, стохастически зависи мую и функционально зависимую.
Понятия независимой, стохастически зависимой или функционально зависимой информации может относиться только к группе навигационных элементов. Информация является независимой, если каждый навига ционный элемент рассматриваемой совокупности формируется под воздействием только своих частных случайных факторов.
Если наряду с частными факторами в формировании навига ционных элементов участвует хотя бы один общий случайный фак тор, то информация является стохастически зависимой. Если же все рассматриваемые навигационные элементы форми руются только общими случайными факторами, то такая информация функционально зависимая.
По характеру измерения информация делится на дискретную и непрерывную. Дискретная информация ─ это информация, измеренная через определенные интер валы времени. Например, отсчеты, снимаемые со шкалы нави гационного прибора.
Непрерывная информация измеряется без перерывов в течение некоторого интервала времени. Как правило, непрерывная информация записывается на лентах самописцев, например, на курсографной ленте гирокомпаса.
Для обеспечения безопасности во время перехода судоводитель должен постоянно контролировать место судна. По путевому углу и пройденному расстоянию на любой момент времени можно вычислить местоположение судна. Такой способ определения места судна называется счислением, а само место − счислимым.
Из-за погрешностей в направлении движения и пройденном расстоянии с течением времени счислимое место становится все более неопределенным и возникает необходимость его уточнения. Сделать это можно относительно ориентиров, положение которых хорошо известно. Определение места судна по ориентирам называется обсервацией, а место, полученное таким образом, − обсервованным. Ориентиры могут быть естественными (мысы, горы, скалы, небольшие островки) или искусственными, специально созданными для целей судовождения (маяки, башни, створные знаки). Ориентирами являются не только объекты на земной поверхности, но также искусственные спутники Земли и небесные светила.
Определение места судна по известным координатам ориентиров является геометрической задачей. Для ее решения используются различные геометрические величины, связывающие координаты ориентиров с координатами точек на земной поверхности. Эти величины называют навигационными параметрами. Примеры навигационных параметров: пеленг на ориентир или обратный пеленг, дистанция до ориентира, вертикальный угол, горизонтальный угол между двумя ориентирами, высота светила, разность расстояний до двух ориентиров и т.д.
Аналитическая зависимость навигационного параметра от координат на земной поверхности называют навигационной функцией U.
где U − значение параметра; φ и λ − координаты судна
Для получения значений навигационного параметра созданы приборы и системы, с помощью которых измеряются различные физические величины, определенным образом зависящие от взаимного расположения ориентира и судна. Для этого могут использоваться электромагнитные, акустические, геомагнитные, гравитационные поля. При этом измеряются: направление лучей, частоты, фазы и амплитуды радиосигналов, интервалы времени распространения сигналов или их разность и т.п.
Рассмотрим навигационные функции основных навигационных параметров.
Дистанция на плоскости
На небольших расстояниях земную поверхность можно принять за плоскую. На рис. 5.1 показаны ориентир А и судно F. Дистанцию D можно определить по теореме Пифагора, где катетами служат разность широт и отшествие:
.
где и − координаты судна;
а и а− координаты ориентира;
ср − средняя широта между судном и ориентиром.
Пеленг на плоскости
Из треугольника АВF (рис. 5.1)
.
Вертикальный угол
Если измерен вертикальный угол какого-либо ориентира, высота которого Н известна (например, маяка или башни), то из треугольника АВF (рис. 5.2) можно найти катет ВF − дистанцию до ориентира
.
Подставив сюда выражение для дистанции из , получим
.
Дистанция на сфере
В разделе 2 была получена формула , с помощью которой рассчитывается расстояние между двумя точками на сфере (длина дуги большого круга). Приняв точку В за ориентир, а точку А за место судна, получим навигационную функцию для дистанции на сфере
Пеленг на сфере
В том же разделе получена формула (2.11) для начального курса плавания по ортодромии. Так как эта формула показывает связь между координатами двух точек с направлением из одной точки на другую, то приняв точку В за ориентир, а точку А за место судна, получим навигационную функцию для пеленга на сфере
.
Высота светила
Для нахождения навигационной функции высоты светила воспользуемся формулой . Эта формула показывает зависимость высоты светила от координат светила, часового угла t и склонения δ, а также широты места судна φ. В свою очередь часовой угол является алгебраической суммой гринвичского часового угла и долготы места судна.
С учетом этого формулу (2.13) можно записать в виде
.
При перемещении по земной поверхности, т.е при изменении φ и λ в формулах − , значение навигационного параметра будет меняться. Однако на земной поверхности существуют точки, в которых значение навигационного параметра остается постоянным. Например, дистанция при перемещении по окружности вокруг ориентира не меняется, пеленг при перемещении по линии FA (рис. 5.1) также не меняется. Для любого навигационного параметра можно найти такие точки.
Геометрическое место точек на земной поверхности, в которых значение навигационного параметра остается постоянным, называется изолинией.
В общем виде уравнение изолинии можно записать так:
.
Приравняв к константе левые части уравнений − , получим выражения для изолиний конкретных навигационных параметров. Геометрически изолинии могут быть прямыми, кривыми второго порядка на плоскости или сфере.
Основные изолинии, использующиеся в судовождении, имеют собственные названия. Так, например, изолиния расстояния называется изостадией, изолиния пеленга − изопеленгой, изолиния горизонтального угла − изогоной, изолиния высоты светила − кругом равных высот, изолиния разности расстояний − гиперболой (на больших расстояниях − сферической гиперболой).
В пределах изменения навигационного параметра константа в может быть любой и каждой константе соответствует своя изолиния. Подставляя, например, в D = 1 кбт, 2 кбт, 3 кбт и т.д., получим семейство изостадий. Подставляя в значения h = 70о, 60о, 50о и т. д., получим семейство кругов равных высот. На земной поверхности таким семействам соответствуют сетки изолиний.
Понятие изолинии является важнейшим в теории определения места судна, так как измерение навигационного параметра с помощью того или иного прибора позволяет записать конкретное уравнение изолинии, проходящей через место судна. Одно уравнение имеет 2 неизвестных (φ и λ) и не позволяет определить место судна, но измерение второго навигационного параметра дает возможность составить систему двух уравнений с двумя неизвестными, которая в принципе решается и определяет обсервованное место судна.
Использование изолиний в навигации
Основное назначение изолинии − определение места судна. Как уже говорилось, одна изолиния не дает обсервованное место. Для его получения необходимо, как минимум, иметь две изолинии, т.е. следует, по крайней мере, измерить два навигационных параметра. Два навигационных параметра позволяют составить систему двух уравнений вида − , которая решается относительно φ и λ.
Заметим, что прежде, чем подставлять значения измеренных навигационных параметров в уравнения, они должны быть освобождены от всех систематических погрешностей путем введения различных поправок.
Кроме своей основной функции − для определения места судна, изолинии могут служить для ограждения каких-либо опасностей или для задания нужного направления. Так, например, изостадия вокруг какого-нибудь ориентира может ограничить акваторию с несколькими банками, рифами. Две изопеленги маяка могут образовать сектор с аналогичной акваторией. Обычно в таком секторе огонь маяка имеет красный цвет.
Одна изопеленга может использоваться для указания нужного направления при следовании судна каналом или фарватером. Для этого оборудуются специальные створные знаки.
Заранее построенные на карте сетки изолиний позволяют в условиях дефицита времени контролировать местоположение судна без нанесения точки на карту. Измеряя навигационный параметр и сравнивая его со значениями на изолиниях, можно ориентировочно судить о местоположении судна.
Широкое распространение сетки изолиний получили во второй половине ХХ века с внедрением на судах гиперболических радионавигационных систем. Было выпущено большое количество карт с нанесенными на них сетками гипербол − изолиний разности расстояний. При определении места судна с помощью таких сеток гипербола, соответствующая измеренному навигационному параметру, заменялась отрезком прямой и графически интерполировалась между нанесенными изолиниями.
Сетки изолиний использовались ранее и в мореходной астрономии в виде астрографиков.
Особо следует сказать о контрольной функции изолинии в поворотных точках маршрута. Обычно на картах в поворотных точках наносятся контрольные изолинии пеленга или дистанции. Поворот выполняется, как только измеренный навигационный параметр принимает отмеченное на карте значение.
На экране современных РЛС изображается касательная к ограждающей изостадии (так называемая параллельная индексация), которая позволяет заранее увидеть прохождение судном опасного участка и скорректировать в случае необходимости курс судна.
Определение места судна по изолиниям имеет существенные недостатки. Графическое решение возможно только для простых изолиний − окружностей и прямых линий. К тому же, если ориентир находится за рамкой карты, такое построение невозможно или требует дополнительных вычислений.
Аналитическое решение тоже затруднено, так как многие изолинии описываются трансцендентными уравнениями (решение которых не выражается алгебраическими корнями). Система трансцендентных уравнений обычно решается методом итераций. В редких случаях можно получить аналитическое решение путем сложных преобразований самих уравнений.
Кроме того, любые две изолинии (кроме прямых) дают более одной точки пересечения. Для устранения неоднозначности решения необходимо привлекать дополнительную информацию. Обычно такой информацией являются координаты счислимой точки.
Указанных недостатков можно избежать, если определять место судна обобщенным методом линий положения, который был предложен В.В.Каврайским в 1920 году. Суть метода заключается в том, что отрезки изолиний в окрестности счислимой точки заменяются касательными. Такая касательная к изолинии вблизи счислимой точки называется линией положения.
Касательная − это прямая независимо от формы изолинии. Поэтому метод называется обобщенным. Две прямые пересекаются в одной точке, что делает решение однозначным. Линия положения строится относительно счислимой точки независимо от того, находится ориентир на карте или нет. Значительно упрощается также аналитическое решение, которое сводится к решению унифицированной системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Чтобы получить уравнение касательной к изолинии, надо навигационную функцию разложить в ряд Тейлора, ограничившись линейными членами разложения:
.
Здесь индекс «о» означает обсервованное (измеренное) значение, индекс «с» − счислимое значение.
Уравнение представляет собой уравнение прямой в системе координат, осями которой являются меридиан и параллель, а начало отсчета находится в счислимой точке. Чтобы уравнять масштабы по осям этой системы, надо разность долгот перевести в отшествие, для чего последнее слагаемое в умножим и разделим на cos φс. С учетом этого формулу можно представить в виде
,
где − разность значений навигационного параметра в обсервованной и счислимой точке,
− разность широт между обсервованной и счислимой точками,
− отшествие между обсервованной и счислимой точками.
Физический смысл частных производных следующий:
− скорость изменения навигационного параметра вдоль меридиана,
− скорость изменения навигационного параметра вдоль параллели,
Для двух навигационных параметров можно составить систему двух уравнений линий положения
,
которая решается относительно Δφ и Δω. Затем рассчитываются обсервованные координаты:
.
Обобщенный метод линий положения имеет некоторые принципиальные отличия от метода изолиний. Во-первых, используются счислимые координаты в навигационных функциях, а не обсервованные. Во-вторых, применение касательных вместо изолиний вносит методическую погрешность в обсервованные координаты, так как действительное место на пересечении изолиний, а не касательных. Однако этими погрешностями при невязках менее 30 миль можно пренебречь. В-третьих, определяются не сами координаты, а их приращения к счислимым.
Уравнения линии положения в виде можно использовать в аналитическом решении. Однако для построения линии положения на карте от счислимой точки необходимо знать, на сколько должна сместиться линия положения (или изолиния) при изменении навигационного параметра на ΔU.
Это смещение обозначим буквой р. Оно пропорционально изменению навигационного параметра, а коэффициент пропорциональности g называется градиентом навигационного параметра:
ΔU = g р.
Отсюда выразим градиент
.
При перемещении точки по земной поверхности значение навигационного параметра в ней изменяется по-разному, а вдоль изолинии − вообще не меняется. Максимального значения изменение навигационного параметра достигает при перемещении точки перпендикулярно к изолинии. Поэтому градиентом навигационного параметра называется векторная величина, характеризующая скорость изменения навигационного параметра при перемещении по нормали к изолинии в сторону увеличения параметра.
На рис. 5.3 показана изолиния, проходящая через счислимую точку С и градиент , проходящий перпендикулярно к ней.
Как любая векторная величина, градиент характеризуется модулем g и направлением τ. Разложим по осям и обозначим проекцию градиента на меридиан gφ , а проекцию на параллель − gω. Как видно из рис. 5.3, если характеризует скорость изменения параметра по нормали к изолинии, то gφ характеризует скорость изменения параметра вдоль меридиана, т.е.
.
Соответственно gω характеризует скорость изменения навигационного параметра при перемещении по параллели:
.
Из построений на рис. 5.3 следует, что
.
Формулы позволяют определять как модуль градиента навигационного параметра, так и его направление через частные производные навигационной функции. Возведя в квадрат каждое уравнение и сложив, найдем квадрат модуля, откуда, извлекая квадратный корень, получим
.
Поделив второе уравнение на первое, найдем тангенс направления градиента
.
По формулам и можно вычислить модуль и направление градиента любого навигационного параметра, если известна его навигационная функция.
Расстояние. Приращение расстояния D обусловливает такое же смещение р изолинии и поэтому модуль градиента расстояния gD = 1. Направлен этот градиент от ориентира, т.е. = П +180. (С - судно, А – мыс).
Высота светила. Приращение высоты h вызывает такое же уменьшение зенитного расстояния Z, которое равно расстоянию до полюса освещения. Поэтому модуль градиента высоты светила такой же, как и расстояния: gh = 1, а направлен градиент к светилу, т.е. = А, где А – азимут светила.
Пеленг на плоскости. На рис. 5.4 показано смещение места р при изменении пеленга на ΔП , градиент направлен в сторону возрастания пеленга, место судна обозначено буквой С, ориентир − А.
Модуль градиента определяется формулой . В данном случае ΔU = ΔП. Из треугольника СА: р = D sin ΔП или (по малости угла ΔП) р = D ΔП. Подставив в выражения ΔU и р, получим
.
Из рис. 5.4 следует: τ = П − 90о.
Ранее было получено уравнение линии положения в частных производных . Выразим в нем частные производные через модуль градиента и его направление по формулам :
Δφ g cos τ + Δω g sin τ = ΔU.
Заменив ΔU по формуле и сократив обе части равенства на g, получим уравнение линии положения в нормальном виде
Δφ cos τ + Δω sin τ = р ,
где р рассчитывается на основании формулы :
.
Перенос р и его направление τ называются элементами линии положения.
Уравнение линии положения в нормальном виде удобно как для аналитического, так и для графического определения места судна. При аналитическом решении составляется система, как минимум, двух уравнений, которая решается относительно Δφ и Δω, откуда находятся обсервованные координаты.
При графическом решении сначала рассчитываются элементы линии положения. Затем на карте или планшете по направлению τ откладывается от счислимой точки перенос и получают так называемую определяющую точку, через которую перпендикулярно переносу строится линия положения.
Чтобы выяснить последовательность действий при определении места судна обобщенным методом линий положения, раскроем в формуле сокращения:
.
Здесь φ и λ − текущие координаты судна, φс и λс − счислимые координаты на момент обсервации, Uо − измеренное значение навигационного параметра, Uс − значение навигационного параметра в счислимой точке.
Последовательность действий при определении места судна по линиям положения следующая.
Аналитическое решение задачи определения места судна
Составляется система уравнений линий положения.
Система решается методом определителей.
D = cos τ1 sin τ2 − sin τ1 cos τ2 ,
DΔφ = р1 sin τ2 − р2 sin τ1 , DΔω = р2 cos τ1 − р1 cos τ2 .
.
Графическое решение задачи определения места судна
На карте в счислимой точке С проводятся направления τ1 и τ2 . По этим направлениям откладываются переносы р1 и р2. Таким образом получаются определяющие точки к1 и к2. Через эти точки проводятся линии положения перпендикулярно к направлениям градиентов. Пересечение линий положения дает обсервованную точку , координаты которой снимаются с рамок карты.
При построениях следует иметь в виду, что положительные переносы откладываются по направлению градиента, а отрицательные − в обратную сторону.
Описанное графическое решение применяется в мореходной астрономии.
Обобщенный метод линий положения лежит в основе обработки всех навигационных параметров при определении места судна техническими средствами навигации, в которых реализуется, в отличие от рассмотренного, случай избыточных линий положения.
В заключение заметим, что указанный ранее недостаток метода (погрешность от замены изолиний касательными) может быть практически устранен путем решения задачи во втором приближении. Во втором приближении найденные координаты принимаются за счислимые, и задача решается снова.
Ранее было рассмотрено определение места судна с помощью изолиний или линий положения по измеренным навигационным параметрам. Если повторяющаяся часть полной погрешности в измеренном навигационных параметрах пренебрежимо мала по сравнению со случайной частью, линии положения считаются независимыми.
Точность обсервованного места зависит от точности измеренного навигационного параметра. Для выяснения этой зависимости выполним графическое построение линий положения, но уже с учетом погрешностей в навигационных параметрах. На рис. 6.1 показана счислимая точка С, обсервованная точка F и две линии положення, которые проходят через определяющие точки к1 и к2. Переносы, с помощью которых получены линии положения, имеют случайные погрешности, которые оцениваются СКП − тлп1 и тлп 2 . Это означает, что изображенные на рисунке линии положения являются наиболее вероятными, но могут проходить и в другом месте. Кривые нормального закона распределения также показаны на рисунке. Обсервованная точка получена на пересечении наиболее вероятных линий положения, но в действительности может быть и в другом месте.
СКП линии положения показывает, в каких пределах заключено 68% всех возможных ее положений. Область таких вероятных мест на рис. 6.1 показана пунктиром. Действительная линия положения может проходить и вне этой области, но с вероятностью 32%.
Таким образом, можно утверждать, что с вероятностью 68% судно находится где-то в полосе р ± тлп. Эта область называется полосой положения. Судоводитель должен полагать, что место судна не на линии, а в полосе положения, притом с вероятностью 68%.
На пересечении линий положения находится наиболее вероятное место, при этом действительное место судна находится не в этой точке, а в некоторой области около нее.
Пересечение полос положения образует четырехугольник, который называется фигурой погрешностей. Она показывает область, в которой с некоторой вероятностью может находиться действительное место судна.
Вероятность того, что действительное место судна находится в этом четырехугольнике, равна произведению вероятностей полос положения, т.е. 0,682 ≈ 0,46 = 46%. Любая обсервация по двум линиям положения имеет свой четырехугольник погрешностей, площадь которого зависит от ширины полос, т.е. от т лп 1 и т лп 2. Чем больше СКП линий положения, тем больше площадь разброса вероятных мест судна, но вероятность нахождения внутри каждой такой фигуры одна и та же − 46%. Это дает возможность по величине фигуры погрешностей судить о точности обсервации.
Ранее было рассмотрено определение места судна в предположении о наличии в полной погрешности линии положения случайной составляющей и пренебрежимо малой повторяющейся части. Теперь рассмотрим задачу обсервации, когда повторяющаяся часть полной погрешности явно преобладает над случайной. В таком случае говорят о наличии только систематической погрешности в линии положения.
Допустим, место судна определялось по двум однородным навигационным параметрам. Предположим вначале, что навигационные параметры безошибочны, а линии положения ЛП1 и ЛП2, пересекаясь, дают обсервованную точку F, как показано на рис. 6.2.
Если в обоих навигационных параметрах присутствует систематическая погрешность +Δ, она увеличивает переносы пропорционально градиентам на величины
.
Обе линии сместятся по направлению градиентов на Δ1 и Δ2 и дадут новую точку пересечения F1.
Если систематическая погрешность Δ2 будет с обратным знаком, линии положения дадут точку пересечения F2 с другой стороны от истинного места F.
Как нетрудно убедиться из построений на рис. 6.2 все точки пересечения лежат на одной прямой, которая называется линией смещения.
Угол ψ между линией смещения и второй линией положения можно получить, рассматривая зависимости сторон в треугольниках на рис. 6.2. Этот угол равен
,
где Δτ − угол между направлениями градиентов.
В формуле нет смещений Δ1 и Δ2 , т.е. положение линии смещения не зависит от величины и знака систематической погрешности в навигационном параметре, и место судна всегда будет располагаться на этой прямой.
Если градиенты параметров одинаковы (например, для высот светил), выражение упрощается:
.
Это означает, что линия смещения пойдет по биссектрисе угла между градиентами, которая называется астрономической биссектрисой.
Следует особо отметить, что смещается обсервованная точка именно по биссектрисе угла между градиентами, а не острого угла θ между линиями положения, как может показаться на первый взгляд. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 6.3.
На нем показаны две одинаковые высотные линии положения, смещенные под действием систематической погрешности Δ. Но на рис. 6.3 б) градиент второй высоты светила имеет противоположное направление. Таким образом, при наличии систематической погрешности в линиях положения место судна определить нельзя, а только линию смещения, на которой оно находится, в частном случае на астрономической биссектрисе.
Уравнения двух линий положения, в которых присутствует систематическая погрешность Δ, выглядит следующим образом:
Чтобы избавиться от систематической погрешности, вычтем из первого уравнения второе:
Δφ (cos τ1 − cos τ2 ) + Δω ( sin τ1 − sin τ2 ) = р1 − р2 .
Формула является уравнением астрономической биссектрисы между первой и второй линиями положения. В этом уравнении два неизвестных Δφ и Δω. Чтобы определить место судна нужно уравнение второй биссектрисы. Для этого нужна третья линия положения, которая позволит записать уравнение второй биссектрисы:
Δφ (cos τ1 − cos τ3 ) + Δω ( sin τ1 − sin τ3 ) = р1 − р3 .
Система уравнений и свободна от систематической погрешности и решается, как обычно, относительно Δφ и Δω. Подставив эти значения в уравнение любой линии положения, можно найти и систематическую погрешность Δ. Идентичное решение будет, если вместо записать разностное уравнение второй и третьей линии положения. Третья биссектриса с неизбежностью пройдет через обсервованную точку. Заметим, что третья линия положения не будет избыточной, так как определяются три неизвестных: Δ, Δφ и Δω.
Описанный прием исключения систематической погрешности в линиях положения в графическом варианте путем построения биссектрис используется в мореходной астрономии.
Естественной границей площади, ограничивающей область вероятных мест судна, на первый взгляд кажутся границы полос положения, как это видно на рис. 6.1. Однако более правильным будет проводить границу там, где вероятность местонахождения одна и та же. Наибольшая вероятность в обсервованной точке, и чем дальше от нее, тем меньше эта вероятность.
Чтобы выяснить геометрическую фигуру границы, проходящей через точки равной вероятности, обратимся к рис. 6.4. На нем показана обсервованная точка F и два направления градиентов навигационных параметров, по которым определялось место судна. Вдоль этих направлений действуют случайные погрешности, распределенные по нормальному закону.
Допустим, что действительное место судна находится в точке Z, т.е. была допущена погрешность в первой линии положения х, а во второй − у.
Вероятность того, что будут одновременно допущены погрешности х и у, равна произведению их вероятностей. Геометрически двумерная плотность вероятности представляет собой холмообразную поверхность, показанную на рис. 6.4.
Запишем условие постоянства плотности распределения, заменив в формуле (5.22) средние квадратические отклонения на средние квадратические погрешности, а отклонения от математического ожидания на погрешности х и у:
.
Геометрически это соответствует сечению поверхности горизонтальной плоскостью.
В формуле переменным является только показатель степени е. Чтобы выполнить условие, надо приравнять показатель константе. Выберем константой величину −с2/2:
или
.
Это выражение является уравнением эллипса с полуосями стх и сту.
Таким образом, площадь разброса вероятных мест судна должна ограничиваться эллипсом, который называется эллипсом погрешностей.
Задаваясь различным значением коэффициента кратности с перед СКП линий положения, получим семейство эллипсов с центром в обсервованной точке. Если с = 1, эллипс называется средним эллипсом погрешностей, при с = 2 эллипс называется двойным, при с = 3 эллипс называется тройным или предельным.
Вероятность того, что действительное место судно находится внутри эллипса погрешностей, определяется двойным интегрированием в некоторой области D выражения
.
Решение имеет вид
.
Подставляя в значения с = 1, 2, 3, получим вероятности нахождения судна в среднем, двойном и тройном эллипсе погрешностей, которые представлены в таблице 6.1.
|
с |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
|
Р |
0,393 |
0,675 |
0,865 |
0,956 |
0,989 |
Как видно из таблицы, вероятность того, что судно находится внутри среднего эллипса составляет около 39%. Такая вероятность явно недостаточна. По требованиям Международной морской организации (ИМО), регламентирующей стандарты судовождения, любая фигура погрешностей должна накрывать действительное место судна с вероятностью 95%. Для такого эллипса коэффициент с должен быть равен 2,5. Это означает, что для получения 95% вероятности полуоси среднего эллипса надо увеличить в 2,5 раза.
Оценка точности обсервации эллипсом погрешностей является теоретически обоснованной и полной. Эллипс не только ограничивает область нахождения места судна с любой заданной вероятностью, но и показывает направления максимального (вдоль большой оси) и минимального (вдоль малой оси) разброса вероятных мест относительно обсервованной точки. Из всех возможных фигур погрешностей эллипс обладает наименьшей площадью.
Для построения эллипса необходимо знать его большую и малую полуоси (а и b), а также направление большой полуоси а. Параметром, определяющим ориентировку эллипса, является угол φ между более точной линией положения и большой полуосью, который откладывается внутрь острого угла между линиями положения. Эти величины: а, b и φ называются элементами эллипса погрешностей.
Исходной информацией для расчета элементов эллипса погрешностей служат СКП навигационных параметров т. Если в формуле изменение параметра ΔU принять равным т, получим перенос, равный СКП линии положения тлп:
.
СКП линий положения образуют четырехугольник погрешностей, ограничивающий средний эллипс погрешностей. Для того, чтобы найти зависимость между СКП линий положения и элементами эллипса погрешностей, введем понятие векториальной погрешности.
На рис. 6.5 показан эллипс погрешностей. В произвольном направлении через обсервованную точку проведена прямая АА'. С двух сторон к эллипсу проведены касательные ВВ' и СС', параллельные АА'.
Отрезки от центра до эллипса вдоль прямых АА' и DD' и есть векториальные погрешности. В отличие от вектора векториальная погрешность действует сразу в обе стороны. Векториальные погрешности образуют сопряженные полудиаметры и .
Положения прямой DD', соединяющей точки касания, зависит от положения прямой АА'. Изменив положение прямой АА', изменим и точки касания, т.е. изменится положение сопряженного полудиаметра, изменятся и векториальные погрешности. При вращении сопряженных полудиаметров концы векториальных погрешностей опишут эллипс погрешностей.
В одном из промежуточных положений сопряженных полудиаметров векториальные погрешности будут иметь экстремальные значения, равные полуосям эллипса. На рис. 6.5 они обозначены пунктиром. В другом промежуточном положении сопряженные полудиаметры совпадут с линиями положения, как это показано на рис. 6.6.
Связь между векториальными погрешностями и полуосями эллипса описывается теоремами Аполлония:
С другой стороны зависимость между векториальными погрешностями и СКП линий положения можно определить, построив полосы положения . Полосы положения на рисунке показаны пунктирными линиями. Острый угол между линиями положения обозначен θ.
Векториальная погрешность второго навигационного параметра, действуя вдоль первой линии положения, принимает значение (отрезок АF). Аналогично первая полоса положения на второй линии положения отсекает векториальную погрешность v1.
Из треугольника АВF имеем
.
Для первой векториальной погрешности можно аналогично записать
.
Учитывая, что θ = Δτ при Δτ ≤ 90о и θ = 180о − Δτ при Δτ > 90о, подставив эти значения в формулы , получим
Удвоим второе равенство в , а затем сложим с первым и вычтем из него:
a 2 ± 2 a b + b2 = v12 ± 2 v1 v2 sin θ + v22 .
Из этого следует
или с учетом и :
Дальнейший расчет не вызывает затруднений. Полусумма уравнений дает а, а полуразность − b.
Угол φ между более точной линией положения и большой полуосью рассчитывается по формуле
,
где , причем индекс «2» присваивается всегда более точной линии положения и дробь всегда больше 1.
Чтобы найти полуоси 95% эллипса, значения полуосей среднего эллипса увеличивают в 2,5 раза:
а 95% = 2,5 а; b 95% = 2,5 b .
Часто возникает задача не просто ограничить область вероятных мест судна, а узнать, чему равна вероятность погрешности по конкретному направлению. Например, при прохождении узкости необходимо знать, чему равна вероятность того, что погрешность в местоположении судна в боковом направлении (курс ± 90о) не превысит дистанции до опасной изобаты.
Дисперсия по заданному направлению равна сумме проекций на него квадратов векториальных погрешностей. Полуоси эллипса погрешностей являются частным (экстремальным) случаем векториальных погрешностей. Выразим среднюю квадратическую погрешность d по заданному направлению через полуоси эллипса:
,
где − заданное направление, γ − направление большой полуоси.
Если по формуле вычислить d для различных направлений, отложить по этим направлениям, а потом полученные точки соединить плавной кривой, получим, так называемую, подеру среднего эллипса − геометрическое место точек СКП по направлениям.
На рис. 6.7 эллипс показан пунктиром, а его подера сплошной линией. Отрезок FA − средняя квадратическая погрешность по направлению α.
При сравнительной оценке точности двух обсерваций и в большинстве случаев практического судовождения направления максимального и минимального разброса не играют существенной роли. Важно знать размер фигуры погрешностей, причем сама фигура должна быть простой в построении. Точность обсервации должна характеризоваться одним числом, а не тремя параметрами, как в эллипсе погрешностей.
Наиболее простой фигурой является окружность. Для ее характеристики достаточно знать только радиус, который и служит мерой точности обсервованного места.
Если на взаимно перпендикулярных полуосях среднего эллипса погрешностей, как на катетах построить гипотенузу, получим радиус круга, который называется средней квадратической погрешностью места судна.
СКП места называют как сам круг, так и его радиус, который обозначается буквой М:
М 2 = а2 + b2 .
На рис. 6.8 показано соотношение среднего эллипса погрешностей и средней квадратической погрешности места судна.
Воспользуемся первой теоремой Аполлония и заменим сумму квадратов полуосей эллипса в формуле на сумму квадратов векториальных погрешностей.
Векториальные погрешности, в свою очередь заменим на СКП линий положения по формулам и . После извлечения квадратного корня получим
.
По формуле можно рассчитать СКП обсервованного места для любых навигационных параметров. Если исходной информацией служат не СКП линий положения, а СКП навигационных параметров, то, заменив по формуле тлп, выразим М через СКП навигационных параметров:
.
Вероятность того, что действительное место судна окажется в круге радиуса М, зависит от сжатия эллипса и колеблется от 63,2% до 68,3%. Средним для СКП места судна принято значение вероятности 65%. По определению средней квадратической погрешностью места судна называется круг (или его радиус), внутри которого действительное место судна находится с вероятностью 65%.
По требованиям ИМО любая фигура погрешностей должна накрывать действительное место судна с вероятностью 95%. Чтобы получить такой круг, радиус, рассчитанный по формуле , в зависимости от сжатия эллипса надо увеличить в пределах от 1,73 до 1,96 раза. Значения этого коэффициента можно выбрать из таблицы 4.14 в МТ-2000. Принято для оценки точности места судна пользоваться двойной СКП места судна и обозначать ее R, т.е. R = 2М. Такая оценка точности называется 95% круговой (или радиальной) погрешностью.
Общую формулу можно конкретизировать для различных случаев определения места. Для этого в нее надо подставить выражения для модулей градиентов из параграфа 5.5. Приведем несколько формул для расчета R:
По формулам − оценивается точность конкретных обсерваций. Входящие в формулы СКП навигационных параметров, могут быть определены либо взяты из справочной литературы, где помещены их априорные значения.
В предыдущих разделах рассматривалось определение места судна по двум изолиниям или линиям положения. Двум линиям положения соответствуют два уравнения с двумя неизвестными, система которых однозначно решается и дает единственную обсервованную точку. Число уравнений, равное числу неизвестных, называется необходимым и достаточным. Все дополнительные линии положения и соответствующие им уравнения называются избыточными.
Если измеряются три и более навигационных параметра, возникает система трех и более уравнений с двумя неизвестными. Наличие случайных погрешностей в измерениях делает такую систему несовместной, т.е. нет такого решения, которое удовлетворяло бы всем уравнениям.
При графическом построении возникает три и более точек пересечения (обсервованных мест). Необходимо выбрать одно, наиболее вероятное место с учетом всех полученных точек. Применительно к системе уравнений линий положения необходимо найти такое решение, которое наилучшим образом удовлетворяло бы всем исходным уравнениям.
Термин «наилучшим образом» означает решение, обладающее наибольшей плотностью вероятности (принцип максимального правдоподобия). Метод определения неизвестных, основанный на этом условии, называется методом наименьшей квадратической формы или обобщенным методом наименьших квадратов.
Все сказанное выше относится не только к линиям положения, но и любому количеству неизвестных, связанному любыми зависимостями. Так как наибольший интерес этот метод представляет для определения места судна при избыточных линиях положения, рассмотрим его применение для нахождения двух неизвестных, связанных линейной зависимостью.
Обозначим искомые Δφ и Δω уравнения линии положения через х и у . Положим также: cos τ = а , sin τ = b, р = l. Тогда уравнение линии положения примет вид
а х + b у = l.
При избыточных измерениях l имеем несовместную систему п (п 2) уравнений вида с двумя неизвестными:
Чтобы привести в согласие систему , надо из результатов измерений вычесть содержащиеся в них полные погрешности Vi . В результате получаем систему уравнений погрешностей или уравнений невязок:
Подставляя выражения невязок из в формулу , получим условие для нахождения наиболее вероятных значений х и у:
.
Здесь cij − элементы матрицы, определяемые по формуле , в которой под т подразумевается СКП линии положения.
Вид функции F называется квадратичной формой, а решение, удовлетворяющее этому условию, – методом наименьшей квадратичной формы (или обобщенным методом наименьших квадратов). Чтобы получить минимум функции F, надо ее производные по обеим переменным приравнять к нулю:
Продифференцируем вначале выражение по х и приравняем к нулю, а затем по у. После преобразований найдем:
Полученные уравнения называются нормальными уравнениями. Суммы произведений, стоящие в левой части в , называются коэффициентами нормальных уравнений, а стоящие в правой части − свободными членами.
Так как приравниваются нулю производные по всем переменным, которые отыскиваются, число нормальных уравнений всегда равно числу неизвестных и система нормальных уравнений всегда однозначно решается.
Примем следующие обозначения для коэффициентов:
Тогда система нормальных уравнений примет вид
Систему решим методом определителей:
Система нормальных уравнений относится к наиболее общему случаю, когда уравнения линий положения зависимые и неравноточные. Для независимых исходных уравнений квадратичная форма заменяется суммой квадратов:
,
а сам метод решения называется методом наименьших квадратов.
В этом случае система нормальных уравнений принимает вид
где р – веса линий положения.
Идею минимизировать сумму квадратов отклонений предложил Лежандр, а разработал и обосновал метод наименьших квадратов Гаусс, который предложил суммы обозначать квадратными скобками, чтобы не использовать верхние и нижние индексы. В обозначениях Гаусса нормальные уравнения выглядят так:
В квадратные скобки означают суммирование по всем i.
Рассмотрим оценку точности обсервованного места в методе наименьших квадратов.
Параметры среднего эллипса погрешностей рассчитываются с помощью коэффициентов нормальных уравнений
.
СКП обсервованного места определяется по формуле
.
Формулами и можно пользоваться, если число линий положения больше 4. Если число линий меньше 5, надо пользоваться более простыми формулами:
Если линии положения равноточные (например, уравнения высотных линий положения), веса принимаются равные 1 и формулы , и упрощаются.
где .
Системы и решаются как обычно.
Под комплексированием навигационной информации понимается совместная обработка информации, полученной от разных источников, с целью повышения точности результатов. Например, объединение обсерваций, полученных по разнородным навигационным параметрам или объединение счисления и обсервации.
Выше обсервованное место рассматривалось как более точная альтернатива счислимому. Однако при малых интервалах времени между обсервациями погрешности счисления не успевают вырасти и счислимая точка несет информацию, которая не должна отбрасываться. При получении обсервации место должно выбираться с учетом счислимой точки. В этом случае наиболее вероятное место находится как средневзвешенное между счислимым и обсервованным.
Допустим, на какой-то момент времени имеется счислимая Fc и обсервованная Fо точки, СКП которых Мс и Мо (рис. 7.1). Вес счислимой точки , а вес обсервованной точки .
Для нахождения наиболее вероятной точки F расстояние Fc Fо делим на сумму весов и умножаем на вес счислимой точки, а полученный отрезок откладываем от обсервованной точки.
.
Вес наиболее вероятного места равен сумме весов счислимой и обсервованной точек, а его СКП вычисляется по формуле :
.
Счислимое место может быть уточнено даже измерением одного навигационного параметра, которому соответствует линия положения (лп на рис. 7.2).
В этом случае веса обратно пропорциональны дисперсиям счислимой и определяющей точки по направлению прямой, которая их связывает. СКП по заданному направлению d выражается через полуоси среднего эллипса формулой .
Так как точность счислимого места оценивается не эллипсом, а СКП, и ориентировка эллипса неизвестна, приходится брать среднее значение из всех направлений.
Максимальная дисперсия d2 вдоль большой полуоси равна а2, минимальная − вдоль малой полуоси равна b2. Таким образом, средняя дисперсия по любому направлению равна:
.
Заменив числитель по формуле , получим:
.
Формула показывает связь между СКП места судна и осредненную СКП по любому направлению.
Теперь можно рассчитывать веса точек:
Уточненное место F получается вычислением расстояния Fк:
.
СКП уточненного места можно рассчитать по формуле, аналогичной :
.
Если точность счислимого места оценивается эллипсом погрешностей, уточнение счисления линией положения может быть осуществлено более универсальным методом. Суть его в следующем. Допустим в некоторый момент времени в счислимой точке Fc получена линия положения L1L’1 (рис. 7.3).
Ее перенос равен р, а направление градиента навигационного параметра − . Точность счислимой точки характеризуется средним эллипсом с полуосями a и b, СКП линии положения − т .
Полуоси эллипса являются экстремальными векториальными погрешностями и, следовательно, он может быть заменен эквивалентными линиями положения А1А1' и В1В1'. Причем СКП линии положения А1А1' равна b, а СКП линии положения В1В1' − a.
В результате, в рассматриваемый момент времени имеем три линии положения: А1А1' , В1В1' и L1L’1 . Так как информация поступает от независимых источников, все три линии положения независимые и могут обрабатываться по методу наименьших квадратов для неравноточных линий положения.
Обозначим направление большой полуоси счислимого эллипса через γ. Тогда направление градиента линии положения А1А1' будет 1 = γ + 90о. Перенос l1 = 0, так как линия положения проходит через счислимую точку. Вес этой линии положения p1 = 1/ b2. Соответственно, для линии положения В1В1' имеем:2 = γ, l2 = 0, p2 = 1/ а2. Для линии положения L1L’1: l3 = l, 3 =, p3 = 1/ т2.
Таким образом, имеем систему трех неравноточных независимых уравнений линий положения:
Система сводится в систему двух нормальных уравнений, которые решаются как обычно. Параметры среднего эллипса точки F1 определяются по формулам . Точность точки F1 за счет третьей линии положения выше, чем Fc. Поэтому ее эллипс погрешностей меньше, чем исходный.
В найденную таким образом точку F1 переносится счисление и прокладывается путевой угол ПУ.
Через некоторое время получена еще одна линия положения L2L’2. Этому моменту соответствует вторая счислимая точка F2. Эллипс погрешностей этой точки получается сложением эллипса точки F1 и эллипса погрешностей от счисления (на рис. 7.3 не показан). Погрешности счисления увеличивают эллипс точки F1 и поворачивают его, так как одна ось эллипса погрешностей от счисления всегда совпадает с линией пути, а другая перпендикулярна ему.
Образовавшийся эллипс погрешностей точки F2 опять раскладывается на две эквивалентные ему линии положения А2А2' и В2В2' , которые совместно с линией положения L2L’2 обрабатывается методом наименьших квадратов. Получается новая уточненная точка F3, в которую переносится счисление.
По мере получения новых линий положения процесс повторяется. Причем эта методика может использоваться и при одновременном получении сразу нескольких линий положения. В этом случае линии положения последовательно присоединяются по одной по описанному алгоритму с той лишь разницей, что не будет погрешностей счисления, и эллипс погрешностей с каждой новой линией положения будет уменьшаться.
Если определение места судна выполняется по однородным навигационным параметрам с одной и той же точностью, то с каждым последующим уточнением места вес обсервованной линии положения остается постоянным, а вес линий положения, на которые раскладывается счислимый эллипс погрешностей, увеличивается и, следовательно, уменьшается влияние погрешностей измерения навигационного параметра, происходит их сглаживание.
Рассмотренный выше алгоритм последовательного уточнения места судна соответствует процессу фильтрации информации, который называется линейным динамическим сглаживанием или фильтром Калмана.
Рассмотрим вначале одномерный фильтр Калмана. Допустим, в какой-то момент времени Т1 по нескольким измерениям величины Х определено наиболее вероятное значение. Вес этого значения р1. Через некоторое время снова произведено однократное измерение этой величины и получено значение х2. Вес этого значения р2. При условии независимости и х2 наиболее вероятное значение на момент Т2 можно рассчитать по формуле средневзвешенного:
.
Преобразуем эту формулу:
.
Откуда
.
Формула является рекуррентной, т.е. каждое последующее значение вычисляется по той же самой формуле, как и предыдущее. Так, например для момента Т3 наиболее вероятное значение будет рассчитываться по формуле
.
Запишем формулу в общем виде после нескольких измерений.
.
Рекуррентное соотношение лежит в основе оптимального фильтра Калмана. Выражение в скобках, разность между результатом последнего измерения и наиболее вероятным значением, имеющимся до этого измерения, называется невязкой. Невязка уточняет имеющееся значение с весом, равным весу последнего измерения.
Дробь, стоящая перед скобками, называется весовым коэффициентом. Обозначим его kп. Весовой коэффициент показывает, какой вклад вносит измерение в уточнение измеряемой величины. Из этой формулы видно, что с каждым последующим измерением с увеличением суммы весов вклад п − го измерения становится все менее заметным. С одной стороны, это обстоятельство уменьшает влияние случайных погрешностей измерения, с другой стороны, алгоритм становится с каждым уточнением все менее чувствительным к изменению измеряемой величины.
Оценивая точность по формуле , можно записать
Аналогично формуле выводится рекуррентное соотношение для средней квадратической погрешности:
.
Для весового коэффициента также можно записать рекуррентную формулу
.
Таким образом, алгоритм одномерного фильтра Калмана состоит из трех рекуррентных формул:
Если измеряемая величина Х изменяется со временем (например, координата движущегося судна), то значение должно быть приведено к последнему моменту. В таком случае говорят о прогнозируемом или счислимом значении . Вес этого приведенного значения за счет погрешностей счисления будет несколько меньше.
Если определяются оптимальные координаты места судна, формулы запишутся следующим образом:
Следует сказать еще об одном источнике увеличения точности определяемых координат. Как уже упоминалось, счислимые координаты содержат погрешности приведения. Эти погрешности могут быть спрогнозированы автокорреляционной функцией на заданном отрезке времени и учтены алгоритмом .
В 1983 году на 13 сессии Ассамблеи ИМО была утверждена Резолюция А.529 (13) «Стандарты точности судовождения». Целью этой резолюции было повысить безопасность мореплавания и охрану морской среды. Основная задача – дать судоводителям возможность уже при планировании оценить способы определения места, выбрать основной и резервный способы на каждом участке перехода. В зависимости от точности определения места выбрать путь на безопасном расстоянии от навигационных опасностей.
Согласно «Стандартам точности судовождения» судоводитель должен в любое время знать место своего судна и уметь оценить с какой точностью оно получено. Если обсервации не непрерывны, то оценка положения судна между обсервациями возможна по счислению.
В соответствии со «Стандартами» весь Мировой океан разделен на два региона. Первый регион – стесненные воды, подходы к портам и портовые воды. Требования к точности определения местоположения судна и частоте обсерваций не определены. Предложено эти вопросы решить Национальным морским администрациям, т.к. эти вопросы касаются территориальных вод каждого государства.
Второй регион – все остальные воды Мирового океана. Для них поставлено условие – иметь погрешность места не более 4% от расстояния до ближайшей навигационной опасности, но не более 4-х миль. Это условие определяет расстояние до навигационной опасности. Оно должно быть не меньше 25 кратной величины погрешности места, т.е. расстояние до опасности является функцией от величины погрешности местоположения судна.
«Стандарты» сыграли свою роль в повышении культуры уровня судовождения, позволили количественно оценивать уровень безопасности планируемого перехода. Однако, развитие технических средств судовождения, появление такой точной системы определения местоположения судна как GPS и сопутствующим ей электронных приборов, потребовало пересмотреть существовавшие «Стандарты точности судовождения». В 1997 году об этом обратился к 20-й Ассамблее Комитет безопасности мореплавания ИМО. Международная ассоциация мореходных приборов и маячных служб (МАМС) подготовила проект новых «Стандартов точности судовождения», которые были приняты в 2001 году на 22-й Ассамблее ИМО Резолюцией А.915(22)-2001 (Пересмотренные морская политика и требования в отношении будущей глобальной навигационной спутниковой системы – ГНСС).
Судовождение разделено на фазы:
|
Фазы судовождения |
Погрешность планируемого местоположения (95% вероятность), м |
|
Океанское плавание |
10 – 100 |
|
Прибрежные воды |
10 |
|
Стесненные воды |
10 |
|
Портовые воды |
1 |
|
Внутренние водные пути |
10 |
В табл. 8.1 для океанского плавания точность оценки местоположения определена двумя цифрами 10 и 100 метров. Это связано с тем, что в Резолюции ИМО А.915(22) содержится требование относительно точности 10 метров в океанском плавании, в то время как в Резолюции А.953(23) напоминается, что «при использовании радионавигационных систем с целью помощи судовождению в океанских водах такая система должна обеспечивать точность 100 м с вероятностью 95%».
Судовождение в океанских водах. В этой фазе судно обычно находится:
Требования относительно точности в океанском плавании не очень суровы и базируются на обеспечении судну возможности правильно спланировать подход к берегу или стесненным водам. Аспекты экономической эффективности судоходства (например, снижение времени перехода и уменьшение расхода топлива) улучшаются за счет бесперебойной и точной системы контроля местоположения, что обеспечивает судну прохождение кратчайшим по времени безопасным путем.
Несмотря на то, что ИМО определила довольно высокую точность определения места судна в океанском плавании, все же пока минимальным требованием для фазы океанского плавания считается прогнозирование точности места от 2 до 4 миль с желаемой частотой определения места за периоды не более 15 минут (хотя максимальный период определения места считается равным 2 часам).
Для малых судов фаза океанского плавания небезосновательно считается такой, которая начинается с расстояния, не позволяющего определить местоположение с помощью визуальной привязки к берегу или к стационарным и плавучим средствам навигационного оборудования, хотя такое расстояние может быть меньше пятидесяти миль.
В мире существуют многочисленные районы, в которых глубокие воды находятся за пределами видимости с берега, но в пределах 50 миль от берега и где не существует подводных препятствий и средств навигационного оборудования.
Прибрежное судовождение. На этой фазе судно обычно находится:
Суда могут встречаться с:
Считается, что фаза прибрежного судовождения преобладает в тех случаях, когда расстояние до берега позволяет осуществлять плавание с помощью визуальных наблюдений, радиолокаторов и, в зависимости от обстоятельств, эхолотов. Так же, как и в случаях океанского плавания, расстояние до берега может варьировать, в зависимости от судов меньшего размера и местной географической характеристики. Погрешность места в прибрежном плавании определена величиной10 м, периоды между определениями – не более 15 минут.
Несмотря на то, что ИМО утвердила более жесткие требования относительно точности местоположения судна, международные практические наблюдения доказали, что минимальными требованиями к судам, совершающим прибрежное плавание, соответствует навигационная система, которая обеспечивает судовождение с точностью до 0,25 мили, вместе с желаемым периодом частоты определения места не более 2-х минут (максимальный период между определениями – 15 минут).
Некоторые, более специализированные виды деятельности, которые осуществляются в пределах фазы прибрежного плавания, могут требовать навигационных систем с более высокой точностью контроля местоположения на постоянной или периодической основе. К таким видам деятельности можно отнести морские научные исследования, гидрографические промеры, коммерческий рыболовный промысел, работы, связанные с поиском нефти или полезных ископаемых, а также поиск и спасание терпящих бедствие людей.
Подходы к портам. Эта фаза является переходной от прибрежного к портовому плаванию. В этой фазе:
Обычно суда, приближаясь к портам, входят в районы:
Обеспечение безопасности мореплавания в фазе подходов к портам нуждается в повышенных требованиях по сравнению с фазой прибрежного плавания, к точности определения местоположения, нанесения координат и другой информации, получаемой в режиме реального времени. Фаза плавания и маневрирования на подходах к портам и в портовых водах предусматривает высокую точность определения места судна с погрешностью не более 1 м и непрерывный контроль его местоположения.
Введение в действие Глобальной системы позиционирования (GPS) и Дифференциальной глобальной системы позиционирования (DGPS) привело к появлению средств, которые удовлетворяют требованиям фазы подходов к портам, относительно высокой точности определения местоположения судна и нанесения координат меньше чем в 10-секундные периоды. За такое время невозможно нанести координаты на карту традиционным способом. Для эффективного использования такой информации нужна определенная разновидность автоматического дисплея, которая может принять форму картографического автопрокладчика, системы электронных карт (ECS) и новой технологии – Электронных карт и навигационной информации (ECDIS).
Стесненные воды. Подобно фазе подходов к портам в том своем проявлении, которая касается приближения к опасностям и ограничения свободы маневрирования, фаза судовождения в стесненных водах также может пересекаться с фазой прибрежного судовождения. В частности, это касается многих проливов мира.
В стесненных водах лоцман или капитан большого судна должны им управлять с максимальной точностью и аккуратностью, чтобы избежать посадки на грунт или столкновения с надводными опасностями или другим судном на путях с интенсивным движением. В тех случаях, когда большое судно попадает в такую навигационную ситуацию, которая не позволяет сменить курс или остановиться, чтобы избежать аварии, оно может направлять свой путь в район, ограниченный несколькими метрами судоходного пространства. Для районов стесненного плавания погрешность места определена в 10 м, а частота определений – не реже 15 сек.
Безопасность судовождения в фазе плавания в стесненных водах требует от навигационных систем обеспечения:
В настоящее время эти требования невозможно удовлетворить только с помощью визуальных средств и судовых радиолокаторов, но, как и в случаях судовождения при подходе к портам, этого можно достигнуть благодаря объединению DGPS и системы электронных карт.
Судовождение на внутренних водных путях должны выполнять с погрешностью места не более 10 м и частотой определений местоположения судна не реже 15сек.
Резолюция А.915(22)-2002 не отменила Стандарты точности судовождения, установленные Резолюцией А.529(13)-1983. Она только изменила требования к точности местоположения в открытых водах и детализировала требования к точности судовождения в районах с ограниченным районом плавания.
Многочисленные научные исследования, технические разработки и организационные мероприятия направлены на повышение навигационной безопасности плавания и охрану морской среды. Однако количественная оценка достигнутого уровня навигационной безопасности и влияния на него проводимых мероприятий вызывает серьезные затруднения. Статистика аварий отражает лишь долговременные тенденции прошлого, что снижает ее значение для принятия оперативных мер. Поэтому наряду со статистическим анализом аварийности, необходимо разрабатывать методы количественной оценки влияния отдельных факторов на навигационную безопасность. Основой таких методов может служить общая теория надежности функционирования сложных систем. Предложения по надежностной оценке навигации выдвинуто и развито для авиации в работах Г.Ф.Молоканова, применительно к речному судоходству – в книгах С.Б.Ольшамовского, Д.К.Земляновского и др., а для морского судовождения, в первую очередь, в работах В.Т.Кондрашихина.
Основным показателем навигационной безопасности, или надежности судовождения, принята вероятность отсутствия навигационного происшествия (аварийного случая) в течение определенного интервала времени (за переход, рейс, месяц, год). К таким происшествиям относят все случаи касания судном грунта вследствие ошибок выбора пути и проводки по нему судна.
Очевидно, навигационное происшествие возможно лишь тогда, когда судно проходит вблизи опасностей. Кратчайшее расстояние D между судном и опасностью известно по результатам обсерваций и счисления с неизбежными погрешностями. Когда суммарное значение этих погрешностей таково, что действительное расстояние до опасности оказывается равным нулю, происходит аварийный случай. Следовательно, вероятность такого события зависит от расстояния D и его погрешности, среднее квадратическое значение которой обозначим mD. Эта погрешность зависит от того, с какой точностью известны место судна и положение опасности. Поэтому можно записать
где dM.C. и dП.О. – соответственно средние квадратические погрешности места судна и положения опасности вдоль соединяющей их линии.
Первое слагаемое равно радиальной погрешности места судна на направление по нормали к опасности
где mKP – круговая средняя квадратическая погрешность места.
Второе слагаемое dП.О. характеризует общую погрешность, с которой известно положение опасности. Эта погрешность, в основном, обусловлена погрешностью положения отметок глубин (изобат) по нормали к пути судна. Она выражает точность гидро- и картографических работ и для тиражного оттиска карт может быть оценена средней квадратической величиной dП.О. = 1 мм в масштабе карты.
Таким образом по формулам (8.1) и (8.2) оценивают среднюю квадратическую погрешность mD, с которой может быть известно кратчайшее расстояние D до опасности. Нормированная величина этого расстояния
Так как для оценки навигационной безопасности при выборе пути могут использовать только априорные характеристики точности, то необхо-димо учитывать возможные вариации условий счисления и обсерваций. Хорошее согласие с экспериментальными данными дает смешанное (нормальное и логарифмически нормальное) распределение погрешностей, которое для больших отклонений практически совпадает с более простым распределением Лапласа. Этому распределению соответствуют значения вероятности Однако для оценки навигационной безопасности в расчет должна приниматься вероятность того, что погрешность , не только не больше D, но еще и направлена в сторону опасности. Такая вероятность Ф(y) выражается формулой
где
Расчеты по этой формуле дают значение Ф(y), представленное в табл. 8.2.
|
Y |
0 |
1 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
4,5 |
5 |
|
Ф(y) |
0,5 |
0,857 |
0,959 |
0,978 |
0,988 |
0,994 |
0,997 |
0, 998 |
0,999 |
Распределение вероятностей схематично показано в нижней части рис. 8.1, где вся площадь под кривой равна единице, а заштрихованная ее часть (на рис. 8.1 до y = 2) выражает вероятность (здесь Р = 0,959) того, что погрешность направлена к опасности и не больше расстояния D до неё. Эта вероятность Р служит численной оценкой навигационной безопасности, иначе говоря, показателем надежности судовождения за время прохождения судном данной опасности. Вероятность противоположного события, т.е. того, что погрешность направлена к опасности и больше расстояния D до нее, вследствие чего судно сядет на мель, составляет
Итак, для оценки навигационной безопасности надо вычислить mD по формулам (8.1) и (8.2). Затем, в зависимости от намечаемого расстояния до опасности D, найти по формуле (8.3) его нормированную величину y и, наконец, расчетом по формуле (8.4) или выборкой из таблицы 8.2 получить искомую вероятность Р = Ф(y), характеризующую надежность судовождения.
Показатель надежности оценивают вероятностью, близкой к единице. Такую вероятность удобно выражать количеством десятичных девяток до первой, отличной от девяти цифры. Считается, что надежность судовождения соблюдена, если ее показатель выражен величиной в три десятичных девятки.
Изложенное по оцениванию надежности навигации позволяет решать и обратную задачу, когда требуется найти минимальное расстояние от опасности, на котором надо проложить путь судна, чтобы обеспечить заданный уровень надежности Р. Для решения такой задачи по заданному значению величины Р = Ф(y) обратным входом в табл. 8.2 выбирают y, после чего на основе формулы (8.4) получают D = ymD.
Если судно проходит n опасностей, например, следуя от мыса к мысу вдоль побережья, и если условия таковы, что прохождение этих опасностей можно считать независимыми событиями, то показатель надежности навигации за время всего перехода оценивается величиной
где Рi – показатели надежности прохождения каждой опасности, которые
оценивают, как описано выше.
Если судно должно пройти между двумя опасностями, то, кроме вопроса о выборе пути, обеспечивающем наибольшую надежность судовож-дения, возникает вопрос об оценке этой надежности.
Как видно из формулы (8.1), средние квадратические погрешности mDЛ и mDПР, с которой известны расстояния до левой DЛ и правой DПР опасностей, могут отличаться только за счет второго слагаемого, т.е. за счет величины dП.О. Поэтому наиболее безопасному пути соответствует условие
Это означает, что путь надо выбирать ближе к той опасности, положение которой известно точнее, в частности, у которой более крутой уклон дна. При таком выборе пути между двумя опасностями для оценки надежности судовождения вначале рассчитывают по формуле (8.3) величину y, по которой выбирают из табл. 8.2 значение величины Ф(y), а затем находят показатель надежности Р благополучного прохода данной узкости:
(8.6)
Или же, подставляя в это выражение формулу (8.4) получают значение вероятного распределения по Лапласу:
.
приложение 1. вопросы к контрольной работе № 1
приложение 2. вопросы к контрольной работе № 2
Литература
Навчальне видання
Алексішин Віктор Григорійович,
Піпченко Олександр Дмитрович,
Алексішин Андрій Вікторович
математична статистика i теоретичнi засади судноводiння
курс лекцій
Російською мовою
Підп. до друку
Формат 60х84/16. Папір офсет. Ум. друк. арк.
Тираж ____ прим. Зам. №
ОНМА, центр «Видавінформ»
65029, м. Одеса, Дідріхсона,8, корп.7
Свідоцтво ДК №1292 від 20.03.2003
Тел./факс:(0482)34-14-12
publish@ma.odessa.ua
Служебное произведение
Министерство образования и науки Украины
ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ
|
Разрешаю опубликование Проректор по научно-педагогической работе ____________________ В.Н.Захарченко " ____" ___________ 2011г. |
Математическая статистика и теоретические основы судовождения
КУРС ЛЕКЦИЙ
|
Составители: ________ /В. Г. Алексишин/
__________ /А.Д. Пипченко/ __________ /А. В. Алексишин/ Ориентировочный тираж __50__ экз. Зав. каф. «Судовождение»__________ / В. Г. Алексишин/ |
Нач. УМО __________ В.В.Бортняк
Одесса – 2011
Алексішин В. Г.
А48 Математична статистика і теоретичні основи судноводіння: Курс лекцій / В. Г. Алексішин, А. Д. Піпченко, А. В. Алексішин. – Одеса: ОНМА, 2011. 95 с.
Російською мовою
У навчальному посібнику розглянуті теоретичні основи і прикладний математичний апарат, використовуваний при обробці навігаційних вимірювань і вирішенні завдань судноводіння.
Призначено для курсантів і студентів вищих учбових закладів, які навчаються з спеціальністі 7.07010401, 8.07010401 (7.100301, 8.100301 згідно з Переліком 1997 р.), .
УДК 656.61.052:519.21(075.8)
ББК 39.471
© Алексішин В.Г., Піпченко А. Д., Алексішин А. В., 2011
θ
B
A
y2
В
С
С'
А'
А
а
b
В'
x0 + 2h
x0 + h
x0 - h
x0
EMBED Word.Document.8 \s
EMBED CorelDRAW.Graphic.9
EMBED CorelDRAW.Graphic.9
x'
EMBED Equation.3
D
D'
F
т лп 2
т лп 1
ЛП1
ЛП2
EMBED Excel.Chart.8 \s
F
а
b
М
б)
а)
F1
ЛП1
ЛП2
Δ
Δ
F
F1
ЛП1
ЛП2
Линия
смещения
Δ
θ
θ
F
g2
F
F1
+Δ2
-Δ2
ЛП1
ЛП2
F2
-Δ1
+Δ1
g1
ψ
F
Мс
Fo
Мо
Fс
F
Мс
Fo
Мо
Fс
к
mлп
лп
F
Мс
Fс
dс
dс
ПУ
ПУ
B2
EMBED Equation.3
A2
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
B1
A1
EMBED Equation.3
L2
EMBED Equation.3
L1
b
a
F2
F1
Fc
F3
EMBED Equation.3
y1
y'
y-1
y0
y = f(x)
x
y
0
X
f (x)
X
f (x)
х
EMBED Excel.Chart.8 \s
X
f (x)