Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4. Принцип максимума Л.С.Пантрягина
Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы [1].
Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств[2].
Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана[1].
Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечёткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные. [3]
Сформулируем задачу оптимального управления:
здесь — вектор состояния — управление, — начальный и конечный моменты времени.
Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления для времени , которые минимизируют функционал.
Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления [4]. Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа [4]. Функция Лагранжа имеет вид: , где — граничные условия. Лагранжиан имеет вид: , где , , — n-мерные вектора множителей Лагранжа.
Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:
Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть — в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге[5]
Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно .
В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):
(6)
В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением . Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: . Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:
Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге[4].
Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.