тематическая модель управляемого объекта или процесса описывающая его поведение с течением времени под вли.
Работа добавлена на сайт samzan.net:
4. Принцип максимума Л.С.Пантрягина
Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы [1].
Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств[2].
Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана[1].
Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечёткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные. [3]
Задача оптимального управления
Сформулируем задачу оптимального управления:
- Уравнения состояния: (1).
- Граничные условия , (2).
- Минимизируемый функционал: .
здесь — вектор состояния — управление, — начальный и конечный моменты времени.
Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления для времени , которые минимизируют функционал.
Вариационное исчисление
Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления [4]. Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа [4]. Функция Лагранжа имеет вид: , где — граничные условия. Лагранжиан имеет вид: , где , , — n-мерные вектора множителей Лагранжа.
Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:
- стационарность по u: , (3)
- стационарность по x, уравнение Эйлера: (4)
- трансверсальность по x: , (5)
Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть — в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге[5]
Принцип максимума Понтрягина
Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно .
В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):
(6)
В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением . Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: . Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:
- уравнение управления по u: , (7)
- уравнение состояния: , (8)
- сопряжённое уравнение: , (9)
- трансверсальность по x: , (10)
Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге[4].
Где применяется
Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.
2. СОШ 236 гЗнаменск Изучение фразеологизмов в начальной школе Фразеологизмы в на
3. корреспондент АН СССР Ю
4. НА ТЕМУ ГЛОБАЛИЗАЦИЯ ~ ОСНОВНАЯ ТЕНДЕНЦИЯ РАЗВИТИЯ СОВРЕМЕННОЙ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ
5. на тему- Линейная решетка спиральных антенн с электронным сканированием
6. вариантов направления проектируемой дороги используется ряд показателей- длина трассы сумма преодолев
7. Финансовая отчетность и анализ ее основных показателей
8. Реферат- Адмирал Нахимов и синопская победа русского флота
9. УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ХУДОЖЕСТВЕННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ТВОР
10. Дипломная работа- Учет и аудит оплаты труд
11. Мектеп 2004 {Класс}8 {Четверть}2 002 Дополнения отвечают на вопросы какой чей B который сколько
12. Культура нашей речи роскошь или целесообразность
13. тема. Но прежде всего имеются ввиду то что связано с массовыми репрессиями политического характера
14. вариантов такого нежного и сытного блюда.html
15. Охрана труда в строительстве и стройиндустрии
16. Транссиб цели сооружения проектирование и строительство магистрали.html
17. Лабораторная работа 10 Исследование искусственного освещения рабочих мест Выпо
18. Бутен1 и 2метилпропен являются 1 одним и тем же веществом2 гомологами 3 структурными изомерами4 геоме
19. Спектр дополнительных услуг предоставляемых в гостиничных предприятиях Хабаровского края
20. на тему- Организация коммерческой деятельности предприятий розничной торговли на примере ЗАО Тандер