Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Классическая модель линейной регрессии — это простейшая версия представ ления общего вида функции объясняющих переменных X и регрессионных остатков в общих уравнениях регрессионной связи. Само регрессионное уравнение (для случая множественной регрессии); выглядит так:. Рассматриваемая зависимость не является детерминированной – она стохастическая или статистическая, то есть нельзя представить в виде строгой функции от х1,…хк. . Поэтому член ε, называемый регрессионным остатком, или просто остатком, отражает суммарное влияние всех прочих факторов, влияющих на результативный показатель у, но не включенных в модель. Общую логику регрессионного анализа можно представить так:1) По фактическим данным оцениваются b0, b1,…,bp. 2) Рассчитывается ожидаемое значение y, т.е. следовательно для каждого значения Х существует фактическое значение У, появляется также оценочное значение . Разность между У и это ошибка оценки Ui. 3)Полученное на 2-м этапе уравнение подвергается проверке его качества и при положительном результате используется для достижения целей исследования.
Метод наименьших квадратов
В основе данного метода лежит поиск таких значений коэффициентов α и β, при которых сумма квадратов ошибок была бы наименьшей. Найденная с помощью МНК линия регрессии представляет собой прямую, которая минимизирует сумму квадратов, т. е. Для нахождения оценок коэф-в с помощью МНК находят первые произведения по каждому из параметров и приравнивают их к 0. В результате преобразований получается система уравнений.
Допущения лежащие в основе КМЛР:
1) Истинная форма взаимосвязи между эндогенной и экзогенными переменными явл. линейной.
2) Х – неслучайная переменная, т.е. мы имеем фиксированный набор значений Х.
3) Мат ожидание регр-х остатков =0, М(Ui)=0
4)Дисперсия регрессионных остатков постоянна и конечна D(Ui)=сигма в квадрате<бесконечности.
5) Регрессионные остатки явл-ся стат. независимыми др. от др. Cov(Ui,Uj)=0
6) Регрессионые остатки и экзогенные переменные не зависимы др. от др. Cov(Ui,Хi)=0. В случае множественной регрессии добавляется еще одно допущение — отсутствие совершенной мультиколлинеарности между независимыми переменными, что означает, что ни одна независимая переменная не может быть представлена в виде линейной комбинации остальных.
Свойства оценок МНК
Если выполняются допущения лежащие в основе МНК, то оценки коэффициентов являются BLUE (наилучшая линейная несмещенная оценка)
Наилучшая – это оценка имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок
Линейная – это свойство линейной функциональной зависимости оценки от выборочных наблюдений
Несмещенная – мат. Ожидание оценки равно параметру генеральной совокупности.
Оценка качества уравнения производится с помощью F-теста. Суть оценки сводится к проверке гипотезы H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера
где R2 — коэффициент детерминации;
п — число наблюдений;
к — число оцениваемых параметров.
Или
В случае справедливости гипотезы
статистика Fфакт должна, подчиняться F-распределению с числами степеней свободы числителя и знаменателя, соответственно равными к и п-к-1. Для проверки гипотезы Но по заданному уровню значимости критерия определяют из таблиц точку Fтабл. Если окажется, что
то гипотеза об отсутствии линейной связи между у и х отвергается (с вероятностью ошибиться, равной ) и принимается — в противном случае.
Множественная линейная регрессия и оценка ее параметров
Для оценки линейной функции множественной регрессии взята выборка объемом "n". Результаты наблюдений над результативным признаком представлены вектором и матрицей Х типа объект-свойство наблюденных значений признаков х1,…хк:
где хij – значение j-го признака на i-м объекте наблюдения (набор объясняющих переменных); столбец из "1" можно считать столбцом "наблюденных" значений для признака .Тогда для конкретных наблюдений уравнения регрессии записывается следующим образом:
,
или, в матричной форме
y – nx1
X – nxk
B – kx1
U – nx1
В результате решения матричного уравнения вектор оценок коэф-в можно определить по формуле:
Оценочные значения дисперсии ошибок находятся по формуле:
К – число факторов в уравнении регрессии
Оценка дисперсии коэффициентов определяется как