Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3.3. Коэффициент корреляции
Значительное количество задач анализа и описания результатов эксперимента может быть решено в рамках допущения о наличии между откликом и рассматриваемыми факторами наиболее простого вида корреляционной зависимости - линейной зависимости с постоянным рассеяньем опытных данных.
В этом случае уравнение регрессии (3.1) представляет собой уравнение прямой линии
, (2.29)
а скедастическая зависимость (3.2) отсутствует, т.е. разброс значений отклик Y постоянен и не зависит от значений фактора Х
. (3.30)
Как и в рассмотренном выше общем случае, в случае линейной корреляционной связи, степень тесноты (силы, мощности) связи количественно можно охарактеризовать путем использования генерального коэффициента детерминации (3.11) или генерального корреляционного отношения (3.12). Однако, с точки зрения простоты проводимых расчетов и анализа полученной информации это не рационально. Учитывая известный вид корреляционной зависимости (линейный), целесообразнее использовать более простой и информативный показатель, получившему название генеральный коэффициент корреляции (называют также генеральным линейным коэффициентом корреляции).
Генеральным коэффициентом парной корреляции называется величина, изменяющаяся в пределах от -1 до +1 и характеризующая степень тесноты (силы, мощности) линейной корреляционной связи между двумя случайными величинами.
Генеральный коэффициент парной корреляции определяется выражением , (3.31)
где μxy – смешанный центральный момент первого порядка, называемый так же ковариацией, моментом связи или генеральным корреляционным моментом и рассчитываемый по выражению
, (3.32)
σх и σy – генеральные среднеквадратические отклонения случайных величин Х и Y, μx и μy – математические ожидания случайных величин Х и Y.
С учетом рассматриваемого частного случая (линейной корреляционной связи), более общий показатель степени тесноты связи - генеральное корреляционное отношение (3.12) преобразуется к выражению для расчета генерального коэффициента парной корреляции (3.31). Преобразования приведены во многих учебниках, например в [5 – 7]. То есть генеральный коэффициент парной корреляции по своей сути является частным случаем генерального корреляционного отношения. В связи с этим, большинство свойств этих двух показателей совпадают.
Свойства генерального коэффициента парной корреляции ρху.
1. Все возможные значения генерального коэффициента парной корреляции могут находиться в диапазоне значений от мину единицы до плюс единицы: или .
2. Если между случайными величинами нет никакой связи (ни функциональной ни стохастической), т.е. нет корреляционной зависимости, то ρху=0. Обратное утверждение, строго говоря, не верно. В случае, когда ρ=0 возможны две ситуации: 1) между случайными величинами нет никакой связи, 2) связь между случайными величинами существенно нелинейна, существенно отличается от прямолинейной связи (например, описывается уравнением окружности, параболы, синусоиды и т.п.).
3. Условие является необходимым и достаточным для обоснования утверждения о наличии между случайными величинами Х и Y строгой функциональной линейной связи. Все наблюдаемые опытные данные располагаются строго на единой прямой линии регрессии.
4. Чем более мощная, тесная линейная корреляционная связь между Y и Х, тем ближе к единице абсолютное значение генерального коэффициента корреляции, и наоборот, чем слабей корреляционная связь между Y и Х, тем ближе к нулю абсолютное значение ρху.
Принято считать, что при 0≤|ρху|≤0.2 между случайными величинами нет линейной связи, при 0≤|ρху|≤0.5 существует слабая линейная связь, 0.5≤|ρху|≤0.75 средняя по силе линейная связь, при 0.75≤|ρху|≤0.95 сильная линейная связь, при 0.95≤|ρху|<1 практически функциональная линейная зависимость.
5. Алгебраический знак коэффициента корреляции указывает на направление линейной связи. Если ρху > 0, то связь между случайными величинами возрастающая (с увеличением Х увеличивается Y). При ρху < 0 связь между случайными величинами убывающая (с увеличением Х уменьшается Y).
Геометрическая интерпретация указанных свойств коэффициента парной корреляции показана на рис. 3.2.
Наилучшей (состоятельной, эффективной и несмещенной) оценкой генерального коэффициента парной корреляции является выборочный коэффициент парной корреляции, определяемый выражением
, (3.33)
где mху – выборочный центральный смещенный момент первого порядка (выборочная ковариация)
, (3.34)
, и ,– соответственно средние арифметические и выборочные среднеквадратическое отклонение случайных величин Х и Y.
После подстановки составляющих в выражение (3.33) и арифметических преобразований, можно получить удобное расчетное выражение для выборочного коэффициента парной корреляции
. (3.35)
Свойства выборочного коэффициента корреляции r аналогичны приведенным выше свойствам генерального коэффициента корреляции ρху.
Выборочный коэффициент корреляции r, как и другие выборочные характеристики случайных величин, сам является случайной величиной, так как порожден случайной двумерной выборкой случайного объема N. Поэтому рассчитанное значение r не может являться основой для получения объективного выводя о наличии или отсутствии линейной корреляционной связи между рассматриваемыми одномерными случайными величинами Х и Y. Объективным показателем тесноты линейной связи является генеральный коэффициент парной корреляции ρ, поэтому после расчета выборочного коэффициента корреляции r необходимо проверить его статистическую значимость, что эквивалентно проверке на отличие от нуля генерального коэффициента корреляции ρ.
Проверка осуществляется путем проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции . Способ проверки существенно зависит от объема имеющейся выборки.
Точное распределение выборочного коэффициента корреляции достаточно сложно [8] и зависит от значения генерального коэффициента корреляции, которое обычно неизвестно. Проверку значимости выборочного коэффициента корреляции r проводят, основываясь на сопоставлении абсолютного значения r с его среднеквадратическим отклонением. При этом используют стандаотную процедуру проверки статистических гипотез.
1) - гипотеза об отсутствии линейной связи между случайными величинами.
2) - гипотеза о том, что между случайными величинами существует линейная связь.
3) Для проверки Н0 используют t-критерий Стьюдента.
4) Статистикой данного критерия является величина
. (3.36)
5) Границу критической области tα,ν определяется по таблицам как квантиль распределения Стьюдента (табл. П6) для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы, определяемая выражением ν=N–2.
6) Нулевую гипотезу принимают, если справедливо неравенство . В этом случае полагают, что между случайными величинами нет линейной связи (случайные величины либо взаимно независимы, либо связь между ними значительно отличается от линейной).
Используя выражение для расчета статистики (3.36), зная ее теоретические распределения, можно получить теоретическое распределение для выборочного коэффициента парной корреляции r. Используя понятие квантили, можно построить таблицы критических значений rα,ν в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы ν=N-2. Такие таблицы можно найти в ряде учебников и справочников (например, [9]), а так же в приложении.
Для проверки нулевой гипотезы об отсутствии линейной корреляционной зависимости между рассматриваемыми случайными величинами необходимо сравнить рассчитанное значение коэффициента парной корреляции (3.35) с критическим значением rα,ν определенным по табл. П9. В случае выполнения неравенства нулевую гипотезу следует признать справедливой и констатировать отсутствие линейной корреляционной зависимости.
При использовании коэффициента корреляции, и в целом аппарата корреляционного анализа, во избежание получения ложных выводов, следует в максимальной степени учитывать физический смысл изучаемого процесса или явления и имеющуюся априорную информацию. Так, например, пусть объект или явление 1 на физическом уровне сильно влияет одновременно на объекты или явления 2 и 3 о чем свидетельствуют высокие значения коэффициентов корреляции между некоторыми характеристиками свойств объектов 1 и 2 r1-2 а так же 1 и 3 r1-3. (см. рис. 3.3). Пусть объекты 2 и 3 физически никак не связаны, но так как их свойства одновременно изменяются под воздействием изменения свойства объекта 1, то при расчете по опытным данным выборочного коэффициента корреляции между характеристиками свойств объектов 2 и 3 r2-3 окажется, что его значение будет статистически значимо. Это может привести к получению ошибочного вывода о наличии физической связи между объектами 2 и 3.