Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ Методы Рунге-Кутта
По-прежнему рассматриваем задачу Коши для одного уравнения:
, (1)
Полагая, что приближенное решение задачи (1) в момент известно, и вычислив коэффициенты , (;) и () по правилам, которые мы обсудим ниже, для нахождения поступаем следующим образом:
(2)
……………………………………………….
(3)
находим новое значение
(4)
Таким образом, выбрав шаг сетки и последовательно применяя формулы (2), (4) для каждого с учетом того, что , на выходе получим таблицу значений функции - приближенное решение задачи (1) методом Рунге-Кутта.
Параметры , , выбираются так, чтобы точность была наибольшей. Рассмотрим подробнее отдельные схемы.
(5)
в которых можно варьировать 4 неизвестных. Исследуем погрешность аппроксимации методов (5) в зависимости от выбора параметров. Согласно определению, погрешность аппроксимации или невязка метода {выражение, полученное заменой в (3) приближенного решения точным }:
={подставим для и их выражения (5)}=
= =
={используем разложение по формуле Тейлора в точке }=
=
=
=+ (6)
Выражение (6) содержит обозначения , , , и учитывает, что = =.
Из (6) видно, что если выбрать , то методы будут иметь порядок аппроксимации , если же еще дополнительно получить , то для семейства методов (5) - методы второго порядка. Тогда, обозначив и (а следовательно, ), получаем, что (5) являет собой однопараметрическое (т.к. ) семейство двухэтапных методов Рунге-Кутта второго порядка аппроксимации. Его можно записать в виде:
(7)
Частные случаи (7) красиво интерпретируются геометрически:
(8)
Геометрическая интерпретация:
(9)
Геометрическая интерпретация:
Доказано, что двухэтапных методов Рунге-Кутта 3-го и более высоких порядков не существует. А также существует теорема [Самарский, Гулин……], утверждающая, что метод Рунге-Кутта аппроксимирующий исходное уравнение (т.е. у которого при ), сходится при и при этом порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.
Для компактности коэффициенты МРК будем заносить в символическую таблицу:
(10)
Тогда таблицы, содержащие коэффициенты методов (8) (9) имеют соответственно вид:
(11)
Самыми распространенными же являются МРК-4. Чтобы их построить, необходимо разложить функции , , по Тейлору до величин 3-го порядка по включительно и приравнять нулю коэффициенты при степенях , , подобно тому как мы поступили при построении МРК-2 выше. В результате, чтобы метод имел 4 порядок аппроксимации, его 13 коэффициентов должны удовлетворять системе из 11 условий […]. Из-за громоздкости вычислений приведем только конечный результат – таблицы коэффициентов МКР-4:
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED PBrush
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2