Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Краткие теоретические сведения и образец выполнения заданий контрольной работы № 1
Матрицей размера m×n называется упорядоченная таблица, составленная из чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Обозначаются матрицы А, В, С и т. д. Элемент матрицы, находящийся в строке с номером i и столбце с номером j, обозначается аij. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n.
Произведением матрицы А на число l называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число l:
Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В:
Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матрицы Аm×k на матрицу Вk×n называется матрица Сm×n, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:
Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень p(p >1):
Матрицей, транспонированной к матрице А, называется матрица, образованная из матрицы А заменой её строк соответствующими столбцами. Транспонированная матрица к матрице А обозначается АТ.
Всякой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие
по определённому закону некоторое число, которое называется определителем того же порядка матрицы A и обозначается ½А½.
Определитель первого порядка равен самому числу.
Определитель второго порядка определяется равенством:
(1)
Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:
(2)
Минором элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из исходного определителя путём вычеркивания i-й строки и j-го столбца. Обозначается минор Мij.
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, умноженный на (–1)i+j, т. е. Аij:
Аij = (–1)i+j· Мij,
где Аij — алгебраическое дополнение элемента аij.
Формулу (2) можно записать таким образом:
Единичной называется квадратная матрица порядка n, у которой элементы главной диагонали а11, а22, … , аnn равны 1, а остальные элементы равны 0. Пусть Е — единичная матрица. При умножении матрицы А на Е слева или справа получается матрица А: АЕ = ЕА = А.
Матрица А–1 называется обратной к квадратной матрице А, если выполняются условия: А·А–1 = А–1·А = Е.
Обратная матрица к квадратной матрице А существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен нулю, т. е. При этом
(3)
где А* — матрица, в которой каждый элемент матрицы А заменён его алгебраическим дополнением. Такая матрица называется присоединённой
к матрице А.
Пример 1. Дана матрица Найти матрицу
Решение. Определим матрицу С2:
Транспонируем матрицу С:
и найдём произведение 2СТ:
Определим С–1 по формуле (3):
Вычислим определитель матрицы С:
Следовательно, С–1 существует. Определим алгебраические дополнения элементов матрицы С и присоединённую матрицу С*:
тогда и обратная матрица С–1:
Проверим правильность нахождения С–1. Для этого перемножим полученную матрицу на данную матрицу С слева и справа и убедимся, что получается единичная матрица:
Матрица С–1 определена правильно.
Найдем произведение матрицы С–1 на 3:
Окончательно получим:
Минором порядка k матрицы А называется определитель порядка k матрицы, составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении произвольных k строк и k столбцов.
Рангом матрица называется число r, такое, что выполняются условия:
Ранг матрицы А обозначается r(А). Ранг матрицы — это наибольший порядок её минора, не равного нулю. Этот минор называется базисным.
Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными:
(4)
Обозначим матрицу из коэффициентов при неизвестных:
,
— столбец свободных членов, — столбец неизвестных,
— расширенная матрица системы.
Систему уравнений (4) можно записать в матричном виде:
А·Х = В. (4/)
Совокупность чисел d1, d2,…, dn, обращающих все уравнения системы (4) в тождества, называется решением системы.
Система уравнений совместна, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместна, если она не имеет решения.
Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Элементарные преобразования системы уравнений, переводящие
её в равносильную систему:
Система уравнений называется неоднородной, если и однородной, если В = 0.
Система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесконечное множество решений.
Исследование системы уравнений на совместность основано на следующей теореме:
Теорема Кронекера—Капелли. Для того, чтобы система уравнений
с n неизвестными была совместна, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы,
т. е. r(А) = r(А½В) = r.
При этом:
1) если r = n, система определена;
2) если r<n, система не определена.
Рассмотрим следующие методы решения СЛАУ: метод Крамера, матричный метод, метод Жордана—Гаусса.
1. Метод Крамера
Применяется для решения неоднородных систем n уравнений с n
неизвестными, у которых определитель основной матрицы системы отличен от нуля:
Тогда система имеет единственное решение:
(5)
где Di — определитель, полученный из определителя системы D заменой
i-го столбца матрицы А столбцом свободных членов В.
2. Матричный метод
Применяется при тех же условиях, что и метод Крамера. Столбец неизвестных находим, решая матричное уравнение (4¢). Умножим (4¢) слева на матрицу А–1:
А–1·А·Х = А–1·В.
По определению обратной матрицы А–1·А= Е, следовательно,
Е·Х = А–1·В.
Умножение матрицы на единичную матрицу не меняет матрицу, поэтому Е·Х = Х и
Х = А–1·В. (6)
3. Метод Жордана—Гаусса
Применяется для решения как неоднородных, так и однородных систем с произвольным числом уравнений m и произвольным числом неизвестных n. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы (А½В) исходную систему (4) преобразуют в равносильную, которая позволяет решить вопрос о совместности системы, и, если она совместна, записать её решение. Преобразования проводятся по следующей схеме, которая называется схемой Жордановых исключений:
1) выбираем любой элемент матрицы А, отличный от нуля. Он называется разрешающим элементом. Пусть это ars, тогда r-я строка называется разрешающей строкой, а s-й столбец называется разрешающим столбцом;
2) элементы разрешающей строки (r-й) оставляем без изменения;
3) элементы разрешающего столбца (s-го), кроме разрешающего элемента ars, заменяем нулями;
4) остальные элементы матрицы (А/В) пересчитываем по формуле:
(7)
По этому же правилу преобразуются и элементы столбца В, кроме br. В результате матрица (А½В) преобразуется в эквивалентную матрицу А¢,
в которой снова выбираем разрешающий элемент. Это любой элемент матрицы А¢ и расположенный в строке и столбце, которые ещё не были разрешающими. Схему преобразований 1—4 повторяем до тех пор, пока все строки (или столбцы) матрицы А не будут использованы как разрешающие.
Если при преобразованиях появляется строка, полностью состоящая из нулей, то её можно отбросить.
Если при преобразованиях появляется строка, соответствующая противоречивому уравнению вида:
0·х1+ 0·х2 + … + 0·хn = bi, где
то процесс преобразований на этом прекращают, так как система уравнений несовместна.
Пример 2. Дана система уравнений А·Х = В, где
Решить систему тремя методами:
а) по формулам Крамера;
б) матричным методом;
в) методом Жордана—Гаусса.
Решение. Согласно условиям задания имеем:
Систему линейных алгебраических уравнений А·Х = В запишем в координатной форме:
а) Решим систему по формулам Крамера.
Найдём определитель системы, используя формулы (2) и (1):
Так как система имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера (5):
Итак,
Сделаем проверку, подставив найденные значения х1, х2, х3 в исходную систему, и убедимся, что все три уравнения данной системы обращаются в тождества:
Ответ: х1 = –1, х2 = –1, х3 =1.
б) Решим систему матричным методом.
Из пункта а) следовательно, матрица системы имеет обратную А–1, которую найдём по формуле (3).
Для этого вычислим алгебраические дополнения:
Получим А–1 по формуле (3):
По формуле (6) имеем
Ответ: х1 = –1, х2 = –1, х3 = 1.
в) Решим систему методом Жордана—Гаусса.
Преобразования расширенной матрицы системы оформим в виде таблицы (см. табл.).
|
А/В |
S |
Примечания |
|
Умножим первую строку на –1 |
|
Разрешающий элемент а13=1. Оставляем разрешающую строку (первую) без изменений. Все элементы разрешающего столбца (третьего), кроме а13, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7) |
||
|
Разрешающий элемент а31=1. Оставляем разрешающую строку (третью) без изменений. Все элементы разрешающего столбца (первого), кроме а31, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7) |
||
|
Умножим вторую строку на 1/23 |
||
|
Разрешающий элемент а22 = 1. Оставляем разрешающую строку (вторую) без изменений. Все элементы разрешающего столбца (второго), кроме а22, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7) |
||
В последнем (четвертом) столбце матрицы А½В получено решение системы, соответствующее неизвестным в тех столбцах, в которых элементы равны единице, а именно: х1 = –1, х2 = –1, х3 = 1. Отметим, что решения системы, полученные в пунктах а), б) и в), как и следовало ожидать, совпадают.
Ответ: х1 = –1, х2 = –1, х3 = 1.
Трехмерное векторное пространство R3 есть частный случай Rn при
n = 3. Декартов прямоугольный базис в R3 образуют три единичных, взаимно перпендикулярных вектора
Совокупность начала координат (точки О) и декартова прямоугольного базиса называется декартовой прямоугольной системой координат Oxyz.
Согласно формуле (9) любой вектор в R3 можно разложить единственным образом по т. е. представить в виде:
где ах — координата вектора по оси ОХ;
ау — координата вектора по оси ОY;
аz — координата вектора по оси ОZ.
Наряду с аналитическим заданием вектора как упорядоченной тройки чисел в R3 рассматривают вектор как направленный отрезок, имеющий начало и конец. Конец вектора отмечается стрелкой.
А — начало вектора,
В — конец вектора.
Длина отрезка АВ называется модулем вектора и обозначается или .
Если известны координаты вектора то модуль вектора вычисляется по формуле:
(10)
Радиусом-вектором точки в декартовой прямоугольной системе координат называется вектор, начало которого расположено в начале координат, а конец в данной точке А, т. е. вектор
Координатами точки А называются координаты её радиуса-вектора. Если то координаты точки А.
Пусть вектор причём заданы координаты точек А и В: и Тогда координаты вектора равны разности одноимённых координат конца и начала:
(11)
Из (10) и (11) следует формула для расстояния между двумя точками А и В:
(12)
Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), обозначаемое , равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:
(13)
где j — угол между векторами и .
В декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
(14)
— координаты вектора ;
— координаты вектора .
Из (13) и (14) получается формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
(15)
Векторы и называются ортогональными (обозначаются если угол j между ними равен прямому, т. е. cosj = 0. Условие ортогональности векторов:
(16)
Упорядоченная тройка векторов называется правой, если
из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора
ко второму виден происходящим против часовой стрелки и называется левой, если такой поворот происходит по часовой стрелке.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой что:
1) т. е. перпендикулярен плоскости векторов и
2) направлен так, что тройка — правая;
3) модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т. е.
(17)
Если то для векторного произведения справедлива формула:
(18)
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число (обозначаемое ()), равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий:
Смешанное произведение векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда , построенного на этих векторах как на сторонах, т. е.
(19)
Если то справедлива формула:
(20)
Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Условие коллинеарности векторов и :
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях. Условие компланарности трёх векторов :
1) в векторной форме: где l, m — числа;
2) в координатной форме: (22)
Пример 3. Даны координаты вершин треугольной пирамиды:
А1 (–1, 0, 1), А2 (2, 3, 1), А3 (0, –2, 2), А4 (1, –1, 5).
Требуется найти:
а) длины рёбер А1А2 и А1А3;
б) угол между ребрами А1А2 и А1А3;
в) площадь грани А1А2А3;
г) объём пирамиды А1А2А3 А4.
а) Используем формулы (11) и (12).
Определим координаты векторов:
Ребро
б) Угол между рёбрами А1А2 и А1А3 рассматриваем как угол между векторами и
По формуле (15) для косинуса угла между двумя векторами получим:
в) Грань А1А2А3 есть треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмма А1А2А6А3, построенного на векторах
и . По формуле (17):
Вычислим векторное произведение векторов и по формуле (18):
г) Объём треугольной пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда , построенного на векторах , , как на сторонах. Из свойств смешанного произведения следует, что:
и следовательно,
Определим координаты вектора
По формуле (20) имеем
Направляющим вектором прямой называется любой вектор , лежащий на этой прямой или ей параллельной и отличный от нуль-вектора, т. е. и
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 с данным направляющим вектором , имеет вид:
(23)
где (x, y, z) — координаты текущей точки прямой; (x0, y0, z0) — координаты данной точки на прямой; (m, n, p) — координаты направляющего вектора прямой.
Если на прямой заданы две точки М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2), то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор :
Рассматривая в качестве данной точки точку М1 и используя уравнение (23), получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
(24)
Пусть прямая l1 имеет направляющий вектор и прямая l2 — направляющий вектор .
Угол j между прямыми l1 и l2 определяется как угол между их направляющими векторами и , по формуле (15) получаем:
, если т. е. по условию коллинеарности (21)
Критерий перпендикулярности прямых <=> Тогда по условию ортогональности векторов (16)
Нормальным вектором плоскости (П) называется любой вектор , перпендикулярный к плоскости и отличный от нуль-вектора:
и
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0 плоскости и имеющей данный нормальный вектор , имеет вид:
(25)
где А, В, С — координаты нормального вектора ;
x0, y0, z0 — координаты данной точки плоскости;
x, y, z — координаты текущей точки плоскости.
Если в уравнении (25) раскрыть скобки, то его можно записать в виде
(26)
Уравнение (26) называется общим уравнением плоскости.
Три точки М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2, z2) и М3(x3, y3, z3) (не лежащие на одной прямой) определяют плос кость в R3. Уравнение такой плоскости можно получить из условия компланарности (22) трёх векторов:
(27)
Здесь x, y, z — координаты текущей точки М;
x1, y1, z1 — координаты данной точки М1;
x2, y2, z2 — координаты данной точки М2;
x3, y3, z3 — координаты данной точки М3.
Пусть плоскость П задана общим уравнением
Расстояние от точки М0(x0, y0, z0)
до плоскости П вычисляется по формуле:
(28)
Угол между двумя плоскостями, нормальные векторы которых и , вычисляется по формуле:
(29)
Критерий параллельности плоскостей:
Критерий перпендикулярности плоскостей:
Пример 3 (продолжение). Даны координаты вершин треугольной пирамиды
А1 (–1, 0, 1), А2 (2, 3, 1), А3 (0, –2, 2), А4 (1, –1, 5). Продолжение задания 5 пункты д—з.
Требуется найти:
д) уравнения прямых А1А2 и А1А3;
е) уравнения плоскостей А1А2А3 и А1А2А4;
ж) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4;
з) высоту пирамиды.
Решение:
д) Для нахождения уравнений прямых А1А2 и А1А3 используем уравнение (24) прямой, проходящей через две точки А1 (–1, 0, 1) и А2 (2, 3, 1):
А1А2: или
Замечание. Отношение понимаем в том смысле, что и числитель этого отношения равен 0 и значит z = 1 для каждой точки прямой. Это означает, что прямая А1А2 параллельна плоскости ОХУ и удалена от этой плоскости на расстояние z = 1.
Уравнение прямой А1А2 можно записать в виде:
или как линию пересечения двух плоскостей.
А1А3: или
е) уравнения плоскостей А1А2А3 и А1А2А4 получим, используя уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А1 (–1, 0, 1),
А2 (2, 3, 1), А3 (0, –2, 2) формула (23):
или
Раскладывая определитель по элементам первой строки, получим:
Делим все члены уравнения на 3 и раскрываем скобки:
Окончательно уравнение плоскости А1А2А3 имеет вид:
Аналогично составляем уравнение плоскости А1А2А4.
А1 (–1, 0, 1), А2 (2, 3, 1), А4 (1, –1, 5)
или
А1А2А4:
ж) Чтобы определить угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4 нужно найти их нормальные векторы. Уравнение плоскости А1А2А3 из предыдущей задачи имеет вид
Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты равные коэффициентам при х, у, z в уравнении плоскости,
т. е.
Из уравнения плоскости А1А2А4: определим координаты нормального вектора этой плоскости
Используем формулу (29):
з) Высоту пирамиды (отрезок А4А5 (рис. 1)) можно определить как расстояние точки А4 (1, –1, 5) до плоскости А1А2А3.
А1А2А3:
Точка А4 (1, –1, 5).
В уравнение плоскости вместо х, у, z подставим координаты А4 и поделим .
Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:
(1)
Обозначения производной в точке х0:
и другие.
Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).
Процесс отыскания производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной.
Если кривая задана уравнением ,
то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().
Уравнение касательной к кривой
в точке х0 (прямая М0Т) имеет вид:
(2)
а уравнение нормали (М0N):
(3)
Механический смысл производной. Если точка движется по закону S=s(t), где S — путь, t — время, то S ¢(t) представляет скорость движения точки в момент времени t, т. е. S ¢(t) =V(t).
Правила дифференцирования
|
№ пп |
U = u(x), V=V(x) — |
№ пп |
U = u(x), V=V(x) — |
|
I |
VI |
Производная сложной функции |
|
|
II |
VII |
Функция задана параметричес-кими уравнениями |
|
|
III |
|||
|
IV |
VIII |
Если и — |
|
|
V |
Формулы дифференцирования основных элементарных функций
|
№ пп |
с=const, х — независимая переменная, |
||
|
1 |
с¢= 0 |
9 |
|
|
2 |
х¢= 1 |
10 |
|
|
3 |
11 |
||
|
4 |
12 |
||
|
5 |
13 |
||
|
6 |
14 |
||
|
7 |
15 |
||
|
8 |
Замечание. Формулы записаны с учётом правила дифференцирования сложной функции.
Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Производная второго порядка или
Производная третьего порядка или и т. д.
Задание 4. Найти производные функций:
а) б) в) г)
Решение.
а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:
б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t¢=1, получим:
в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v¢=1; используя формулу (3), получим:
г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t¢=1, получим:
Задание 6. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х0=2.
Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):
1)
2)
Подставим в уравнения и получим:
или — уравнение касательной.
или — уравнение нормали.
Задание 6. Найти производную , если функция задана парамет-рически:
Используем правило VII
Задание 7. Найти дифференциалы функций:
а) б) в)
Для дифференциала функции справедлива формула т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.
Решение.
а)
б)
в)
Задание 8. Найти производную второго порядка функции
Решение. поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.
Задание 9. Точка движется прямолинейно по закону Вычислить скорость и ускорение в момент времени t0=2.
Скорость
(ед. скорости).
Ускорение
т. е. ускорение постоянно в любой момент времени, следовательно а(2) = 18 ед. ускорения.
Краткие сведения из теории пределов функции
Число А называют пределом функции f(x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от e, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Функция a(x) называется бесконечно малой (б.м.ф.) при ( если
Функция f(x) называется бесконечно большой (б.б.ф.) при , ( если для любого M>0 найдётся число зависящее от М, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , будет верно неравенство
Если функция a(x) есть бесконечно малая при (или то функция является бесконечно большой, и обратно, если функция f(x) бесконечно большая функция при , то является бесконечно малой функцией.
Если функции и бесконечно малые при (),
то чтобы сравнить их, нужно вычислить предел их отношения. Пусть Тогда:
— при называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем ;
— при и одного порядка малости;
— при более низкого порядка малости, чем .
Если , то бесконечно малые и называются эквивалентными:
Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую бесконечно малую функцию заменить на эквивалентную.
Примеры эквивалентных бесконечно малых функций при
Теоремы о пределах:
1. (c=const).
2. Если то:
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел (число е = 2,718…):
или
Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х0 принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х0. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:
еслиесли a>1.
Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:
Устранить неопределенность можно с помощью алгебраических преобразований или используя правило Лопиталя.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б. функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:
(5)
Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).
Задание 10. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:
а) б) в)
Решение.
а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.
т. к.
Аналогично:
Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:
б)
в)
Замечание. Если, применив правило Лопиталя, снова получили неопределенность или , то снова применяем правило до тех пор, пока неопределённость не будет раскрыта.