Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка.
В задачах 9.1-9.12 найти общие решения следующих ДУ с разделяющимися переменными:
9.1. 9.2.
9.3 . 9.4
9.5. 9.6.
9.7 9.8 9.9 . 9.10
9.11 .
9.12 .
В задачах 9.13-9.16 найти общие решения уравнений, приводящихся к ДУ с разделяющимися переменными:
9.13 9.14
9.15 9.16
В задачах 9.17-9.22 найти частные решения ДУ, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.17 ; .
9.18 ; .
9.19 ; .
9.20 ; .
9.21 ; .
9.22 ; .
В задачах 9.23-9.36 найти общие решения следующих однородных дифференциальных уравнений:
9.23 . 9.24 .
9.25 . 9.26 .
9.27 . 9.28
9.29 . 9.30. 9.31 . 9.32 .
9.33 . 9.34
9.35. 9.36.
В задачах 9. 37-9.40 найти общие решения уравнений, приводящихся к однородным дифференциальным уравнениям:
9.37 . 9.38 . 9.39.
9.40 .
В задачах 9.41-9.46 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.41 ; .
9.42 ; .
9.43 ; . 9.44 ;
9.45 ; .
9.46 ; .
В задачах 9.47-9.62 найти общие решения следующих линейных дифференциальных уравнений:
9.47 . 9.48 .
9.49 . 9.50 .
9.51 . 9.52 .
9.53 . 9.54 .
9.55. 9.56 .
9.57 . 9.58 .
9.59 . 9.60
9.61 . 9.62 .
В задачах 9.63-9.70 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.63;. 9.64 ; .
9.65;. 9.66; .
9.67;.
9.68; . 9.69 ; .
9.70 ;.
В задачах 9.71-9.78 найти общие решения уравнений Бернулли:
9.71 9.72
9.73 . 9.74 .
9.75 . 9.76 .
9.77 . 9.78
В задачах 9.79-9.86 решить следующие уравнения, предварительно убедившись, что они являются уравнениями в полных дифференциалах:
9.79 .
9.80 .
9.81 . 9.82 .
9.83 .
9.84 .
9.85 ; .
9.86 ; .
В задачах 9.87-9.92 разрешить следующие уравнения относительно и найти их общее решение:
9.87 . 9.88 .
9.89 . 9.90 .
9.91 . 9.92 .
В задачах 9.93-9.98 решить следующие уравнения методом введения параметра:
9.93 . 9.94
9.95 . 9.96 .
9.97 . 9.98 .
В задачах 9.99-9.120 найти общие решения следующих дифференциальных уравнений первого порядка:
9.99 . 9.100 .
9.101 . 9.102
9.103 . 9.104
9.105 9.106
9.107 . 9.108
9.109 9.110
9.111 . 9.112
9.113 9.114
9.115 . 9.116
9.117 9.118
9.119 9.120
В задачах 9.121-9.128 найти решения, предварительно составив дифференциальное уравнение.
9.121 Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.
9.122 Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания , есть величина постоянная, равная .
9.123 Найти атмосферное давление на высоте , если на повер-хности Земли давление равно и плотность воздуха (Указание: использовать закон Бойля-Мариотта, согласно которого плотность пропорциональна давлению).
9.124 Тело охладилось за 10 мин от С до С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной С. Когда тело остынет до С? (Указание: принять, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды).
9.125 На материальную точку массы действует постоянная сила, сообщающая точке ускорение . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости её движения, коэффициент пропорциональности равен . Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое? (Указание: воспользоваться вторым законом Ньютона ).
9.126 Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент точка находилась на расстоянии от начала отсчёта пути и имела скорость . Определить пройденный путь и скорость точки через секунд после начала движения.
9.127 Имеется некоторое количество радиоактивного вещества. Известно, что через дней распадается 50% этого вещества. Через сколько дней останется 1% начального количества вещества? (Указание: из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству вещества).
9.128 Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости . Начальная стоимость оборудования равна . Найти стоимость оборудования по истечении лет.
9.129 Численность населения некоторого города удовлетворяет уравнению , где -время (в годах). В начальный момент население города составляло 10 тысяч человек. Через сколько лет население увеличится в 10 раз?
9.130 Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид: и . Найти зависимость равновесной цены от времени , если в начальный момент времени цена ден.ед.
§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
высших порядков.
В задачах 9.131-9.150 найти общие решения следующих дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка:
9.131 9.132 9.133
9.134 9.135 9.136
9.137 9.138
9.139 9.140
9.141 9.142
9.143 9.144
9.145 9.146
9.147 9.148
9.149 9.150
В задачах 9.151-9.160 найти частные решения следующих уравнений при указанных начальных условиях:
9.151 , , .
9.152 , , , .
9.153 ; , .
9.154 ; , .
9.155 ; , .
9.156 ; , .
9.157 ; , .
9.158 ; , .
9.159 ; ,
9.160 ; ,
В задачах 9.161-9.170 исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми (в каждой задаче функции рассматриваются в той области, в которой они все определены).
9.161 , . 9.162 , .
9.163 , . 9.164 , , .
9.165 . 9.166 , , . 9.167 , , . 9.168 , , . 9.169 . 9.170 .
В задачах 9.171-9.184 найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
9.171 9.172
9.173 9.174
9.175 9.176 9.177 9.178 9.179 9.180
9.181 . 9.182 9.183 9.184
В задачах 9.185-9.188 найти частные решения уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям:
9.185 ; , .
9.186 ; , .
9.187 ; , .
9.188 ; , .
В задачах 9.189-9.202 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами написать общие решения уравнений (числовых значений коэффициентов в частных решениях не находить):
9.189 , если:
а); б);
в) ; г) .
9.190 , если:
а); б);
в) ; г) .
9.191
9.192 9.193
9.194
9.195
9.196 9.197
9.198
9.199
9.200
9.201 9.202
В задачах 9.203-9.212 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами найти их общие решения:
9.203 . 9.204 .
9.205. 9.206 .
9.207 . 9.208
9.209 . 9.210 .
9.211 . 9.212 .
В задачах 9.213-9.218 найти частные решения уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям:
9.213 ; , .
9.214 ; .
9.215 ; , .
9.216 ; , .
9.217 ; , .
9.218 ; , .
В задачах 9.219-9.228 найти общие решения неоднородных уравнений методом вариации произвольных постоянных:
9.219 . 9.220 .
9.221 . 9.222 .
9.223 . 9.224
9.225 . 9.226 .
9.227 . 9.228 .
В задачах 9.229-9.244 найти общие решения следующих дифференциальных уравнений -ого порядка:
9.229 . 9.230
9.231 9.232
9.233 . 9.234
9.235 9.236
9.237 9.238
9.239 9.240
9.241 9.242
9.243 9.244
§3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
В задачах 9.245-9.252 найти общие решения следующих однородных систем дифференциальных уравнений:
9.245 9.246
9.247 9.248
9.249 9.250
9.251 9.252
В задачах 9.253-9.258 найти общие решения следующих однородных систем уравнений (для облегчения работы в задачах указаны корни характеристического уравнения):
9.253 9.254
9.255 9.256
9.257 9.258
В задачах 9.259-9.262 найти общие решения следующих неоднородных систем уравнений:
9.259 9.260
9.261 9.262
В задачах 9.263-9.272 исследовать на устойчивость особые точки следующих систем дифференциальных уравнений. Начертить интегральные кривые на плоскости .
9.263 9.264
9.265 9.266
9.267 9.268
9.269 9.270
9.271 9.272
В задачах 9.273-9.278 исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение следующих систем:
9.273 9.274
9.275 9.276
9.277 9.278
В задачах 9.279-9.280 исследовать, при каких значениях параметра асимптотически устойчиво нулевое решение:
9.279 9.280
§4. Разностные уравнения.
9.281
9.282
9.283
9.284
9.285
9.286
9.287
9.288
В задачах 9.289-9.292 найти частные решения разностных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.289
9.290
9.291 .
.
9.292
9.293
9.294
9.295
9.296
9.297
9.298
9.299
9.300
9.301
9.302
9.303
9.304
9.305
9.306
9.307
9.308
В задачах 9.309-9.312 найти частные решения разностных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.309
.
9.310
9.311
9.312
В задачах 9.313-9.320 найти решения следующих систем разностных уравнений:
9.313 9.314
9.315 9.316
9.317 9.318
9.319
9.320
§5. Дифференциальные уравнения в частных производных.
В задачах 9.321-9.322 найти общие решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных.
9.321 а), где ; б) .
9.322 а), где ; б) .
В задачах 9.323-9.328 найти общие решения уравнений в частных производных первого порядка.
9.323 9.324
9.325 9.326
9.327 9.328
В задачах 9.329-9.330 найти частные решения уравнений в частных производных первого порядка, удовлетворяющие указанным условиям.
9.329 ; при .
9.330 ; при .
В задачах 9.331-9.339 определить тип дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и привести их к каноническому виду.
9.331
9.332
9.333
9.334
9.335
9.336
9.337
9.338
9.339
В задачах 9.340-9.345 , используя формулу Даламбера
, найти
решение задачи Коши для волнового уравнения на прямой:
; ;
9.340 , , .
9.341 , , .
9.342 , , .
9.343 , , .
9.344 , , .
9.345 , , .
В задачах 9.346-9.348 найти собственные числа и собственные функции следующих задач Штурма-Лиувилля.
9.346 , .
9.347 , .
9.348 , .
В задачах 9.349-9.352 найти решение смешанной краевой задачи для волнового уравнения на отрезке методом Фурье.
9.349 , , ;
, , .
9.350 , , ;
, , .
9.351 , , ;
, , .
9.352 , , ;
, , .
В задачах 9.353-9.356 найти решение методом Фурье смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.
9.353 , , ;
, .
9.354 , , ;
, .
9.355 , , ;
, .
9.356 , , ;
, .
В задачах 9.357-9.360 найти решение методом Фурье краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
9.357 , , ,
9.358 , , ,
.
9.359 , , ,
9.360 , , ,
.
128