Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №19
Лекция №19
Линии передачи электромагнитных волн СВЧ-диапазона
В СВЧ-диапазоне радиоволны передаются не только по двухпроводным линиям. Передача энергии по двухпроводным линиям используется очень редко, так как при размерах этих линий, сопоставимых с длиной волны или больших её имеют место больше потери энергии за счёт излучения. Чаще всего энергия передается по коаксиальным кабелям, металлическим или диэлектрическим волноводам, а также по полосковым и микрополосковым линиям. Последние все чаще применяются в современных радиотехнических устройствах и системах, обеспечивая наряду с применением в них различных интегральных микросхемах необходимую микроминиатюризацию.
На рис. 19.1 показаны наиболее распространенные линии передачи энергии СВЧ-волн. На этом рисунке показаны: а) двухпроводная линия; б) коаксиальная линия; в) полосковая несимметричная линия; полосковая симметричная линия (между направляющими металлическими пластинами расположен диэлектрик); д) и е) волноводы прямоугольного и круглого сечения; ж) диэлектрическая линия.
Рис. 19.1. Линии передачи электромагнитных волн
Основные типы электромагнитных волн в направляющих средах
Различают поперечные электромагнитные волны (Т-волны), электрические (Е-волны), магнитные (Н-волны) и гибридные. Поперечные волны часто обозначают символом ТЕМ, электрические Е-волны часто называют поперечно-магнитными и обозначают символом ТМ, магнитные Н-волны часто называют поперечно-электрическими и обозначают символом ТЕ. У Т-волн (ТЕМ) существуют лишь поперечные компоненты поля , , , и отсутствуют продольные компоненты и . У Е-волн (ТМ) на ряду с поперечными компонентами присутствует продольная электрическая компонента поля . При этом . У Н-волн (ТЕ) наряду с поперечными компонентами присутствует продольная магнитная компонента (). Гибридные волны содержат все компоненты.
В последнем случае поперечные волны можно рассмотреть как Т, Е, Н-волны изменяя направления вектора Умова-Пойтинга относительно оси z, рис. 19.2.
Рис. 19.2. а) Т-волна; б) Н-волна; в) Е-волна
На этом рисунке характер волн зависит от системы координат, хотя на самом деле волна имеет поперечный характер. Однако в волноводах, в средах с переменным показателем преломления и др. вектор Умова-Пойтинга меняет свое направление относительно оси z. В этом случае характер волны относительно направления z может соответствовать какому-либо из указанных типов.
Так, например, в прямоугольном волноводе волна может двигаться по такой траектории, рис. 19.3, отражаясь от стенок волновода. В этом случае появляются продольные составляющие полей.
Рис. 19.3.
Следует также отметить, что для случаев, показанных на рис. 19.2 а), б), в), фазовые скорости распространения волны вдоль вектора и вдоль оси z различны, рис. 19.4.
Рис. 19.4.
Это связано с тем, что реальная длина волны равна , а длина волны , соответствующая пересечениям линий равных фаз с осью z превышает реальную длину волны.
Очевидно, что если фазовая скорость вдоль направления равна скорости света в пустом пространстве, то вдоль оси z эта скорость может быть равна даже бесконечности (если направлен вдоль оси x). Противоречия здесь нет. Фазовая скорость не является скоростью переноса энергии. Скорость переноса энергии, называемая групповой скоростью, отличается от фазовой скорости и больше скорости света быть не может.
Как соотносятся между собой фазовая и групповая скорости можно пояснить на примере приближения к берегу морских волн по некоторым углом .
Рис. 19.5. Фазовые и групповые скорости морских волн
В направлении движения волны к берегу, т.е. в направлении, перпендикулярном фронту волны (поверхности или линии равных фаз), групповая скорость приближенно равна фазовой скорости и равна скорости распространения энергии волн. Часто наблюдаемая высокая скорость движения волны вдоль береговой линии является фазовой. Вдоль берега фазовая скорость волн значительно превышает указанные выше фазовую и групповую скорости в направлении, перпендикулярном фронту волны, и не связана с переносом энергии.
Описанная картина движения морских волн здесь лишь приближенно описывает сущность этого явления. В действительности характер их движения является более сложным, т.к. частицы воды, двигаясь к берегу, совершают колебательные и круговые перемещения частиц воды в вертикальной плоскости.
Когда говорят о групповой скорости, то имеют в виду скорость движения группового пакета волн, например, излученного короткого импульса, который в соответствии теорией преобразований Фурье можно представить в виде суммы (конечной или бесконечной) гармонических волн. Если среда не обладает дисперсией по скорости (в средах с дисперсией скорости распространения отдельных гармоник будут различными), то волновой пакет переносится без искажений и в этом случае фазовая и групповая скорости практически равны.
Для вычисления групповой скорости рассмотрим волну, состоящую из суммы двух гармоник, близких по частоте
.
В соответствии с известной формулой тригонометрии
,
имеем
.
Это биения, высокочастотная компонента которых промодулирована низкочастотной огибающей , рис. 19.6.
Рис. 19.6.
Необходимо разобраться с какой скоростью движется огибающая.
Волновое число , как известно, равно
, , (19.1)
где – фазовая скорость волны, период колебаний.
Аналогично для огибающей,
где – групповая скорость движения волнового пакета в виде огибающей; – время задержки огибающей; – аналог волнового числа для огибающей.
В более общем случае
. (19.2)
Так как в соответствии с (19.1), то
.
Откуда
. (19.3)
Если среда является недисперсионной, т.е. фазовые скорости всех гармоник одинаковы, т.е. , то . Для сред с нормальной дисперсией () . Для сред с аномальной дисперсией () . Но независимо от того, в какой среде распространяются волны, групповая скорость меньше скорости света и практически равна скорости распространения электромагнитной энергии.
Прямоугольный волновод
Будем считать, что проводимость стенок волновода равна бесконечности. Заряды и токи в волноводе также отсутствуют. Поле внутри волновода удовлетворяет уравнению Максвелла
,
, (19.4)
и граничным условиям.
Основным граничным условием является равенство нулю тангенциальной компоненты поля на стенках волновода, т.е.
, (19.5)
при , , рис. 19.7.
Рис.19.7. Прямоугольный волновод
Учитывая общую формулу для ротора произвольного вектора в прямоугольной системе координат
, (19.6)
найдем выражение для проекций уравнений Максвелла, в предположении, что колебания имеют гармонический характер. Волна в волноводе при этом будет иметь вид (с точностью до начальной фазы),
. (19.7)
Производная поля по переменной z
. (19.8)
Как дальше будет видно, постоянная распространения в волноводе (аналог волнового числа) может быть не только чисто мнимой, но и вещественной и, в общем случае, комплексной величиной.
Производная по t
. (19.9)
Учитывая эти выражения для производных, получим уравнения Максвелла в проекциях для комплексных амплитуд полей (общий множитель слева и справа в этих уравнениях можно сократить):
Эта система уравнений позволяет поперечные компоненты поля выразить через продольные. Действительно подставим в уравнение значение из уравнения (19.14)
.
Аналогично подставим (19.13) в (19.11), затем (19.11) в (19.13) , (19.10) в (19.14). В результате находим
(19.16)
где
, . (19.17)
Из вида этих уравнений следует вывод, что если продольные компоненты отсутствуют ( и ), то и поперечные () равны нулю. Т.е. чисто поперечные волны (волны типа «Т») (как в пустом пространстве), у которых и равны нулю, в волноводе существовать не могут.
Если предположить в (19.16), что , а , то имеем волну типа «Н» (Н- волну) с такими значениями напряженности
. (19.18а)
Соответственно, положив в формулах (19.16) ,, получим значения напряженности полей для волны типа «Е» (Е-волны).
(19.18б)
Если подставить для Н- волны из (19.18а) в (19.15) и для Е-волны из (19.18б) в (19.12) , то получим такие две независимых между собой системы уравнений, являющихся волновыми уравнениями Гельмгольца
, (19.19)
. (19.20)
Независимость этих уравнений свидетельствует о том, что решения для Н-волн и Е-волн можно искать независимо, и что эти типы волн могут в волноводе существовать независимо.
Для того чтобы найти эти волны, необходимо прежде всего решить уравнения (19.19), (19.20) при наличии граничных условий (19.5).
Решения этих уравнений обычно находят методом разделения переменных. Найдем решение уравнения(19.19), представив его в виде
. (19.21)
Подставив это предполагаемое решение в уравнение в (19.19) , получим:
,
или
. (19.22)
В уравнении (19.22) переменные x, y и зависящие от них функции и разделены. Равенство слагаемых в этом уравнении постоянной величине возможно, лишь в случае равенства константам каждого из слагаемых, т.е.
, , . (19.23)
Это два простейших волновых уравнения, которые целесообразно записать в виде:
,
. (19.24)
Общие решения этих двух обыкновенных дифференциальных уравнений известны
,
, , (19.25)
,
, . (19.26)
Тогда на основании (19.21)
. (19.27)
Разберемся теперь с граничными условиями. Как отмечалось, тангенциальные компоненты электрических полей на стенках волновода должны быть равны нулю, т.е.
(19.28)
Подставив нулевые значения этих полей в выражение (19.18а), получим дополнительные граничные условия
(19.29)
.
Из условия следует, что , а из условия , что и .
Аналогично из условия
,
следует, что , , ,
где
n=0,1,2,3…, m=0,1,2,3….
Тогда очевидно, что
, . (19.30)
Так как
, , , ,
то
, (19.31)
где
.
Определяя из формулы (19.30) производные , и подставляя их в формулы для полей Н-волн (19.18а) получим следующие значения поперечных компонент полей , , , (с точностью до множителя )
, (19.32)
, (19.33)
,
, (19.34)
. (19.35)
На основании (19.30) и (19.31)
, (19.36)
Рассмотрим функции и при m, n =1,2, рис. 19.8.
Рис.19.8. Графики функций и при m=1,2, n =1,2
Формулы (19.33–19.36) и графики показанные на рис. 19.8, показывают при m=n=1 вдоль стенок волноводов укладываются две стоячие полуволны, одна вдоль x, другая вдоль y. При m=n=2 вдоль стенок укладываются стоячие волны с одним периодом. Далее видно, что поля с индексами m=n=0 равны нулю, т.е. такие волны в волноводе не могут существовать. Существовать в волноводе могут лишь волны, соответствующие индексам или , . Обозначают такие волны символами , , (или , , ). Очевидно, что если является мнимой величиной, то такие волны будут распространятся в волноводе. Если же - вещественная величина, то такие волны быстро затухают и распространятся в волноводе не могут.
Критическое значение частоты, при котором переходит с мнимого значения в комплексное, определяется формулой (19.31), т.е.
, (19.37)
или
,
. (19.38)
При величина - вещественна, а - мнимая. Т.е. в волноводе могут распространятся волны лишь с частотами превышающими критичное значение частоты (19.38).
Критическая длина волны
. (19.39)
Критическая частота тем выше, чем меньше размеры волновода «а» и «в».
Фазовая скорость в волноводе рассчитывается по известной формуле
где
, ,
а
.
Групповую скорость находим по формуле
.
Дифференцируя (19.37) по и учитывая, что в соответствии с правилом дифференцирования обратной функции, находим
Таким образом,
(19.40)
Длина волны в волноводе
. (19.41)
Видно, что длина волны в волноводе больше длины волны в свободном пространстве с параметрами .
PAGE 11