Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Векторные пространства. Лекция 8.
Векторные пространства.
Арифметическое и - мерное пространство.
Арифметическим - вектором называют упорядоченный набор из действительных чисел. Обозначается как , где – действительные числа. Вектор – называется нулевым - вектором.
Пусть , λ – некоторое число Определим сумму – векторов и произведение – вектора на число λ следующим образом:
,
.
Множество всех - мерных векторов называется арифметическим векторным пространством и обозначается - . Так в качестве можно рассматривать множество всех векторов на плоскости, – множество всех векторов в пространстве.
Аксиомы векторного пространства.
Для любых векторов и чисел выполняются следующие свойства:
1) (ассоциативность суммы векторов);
2) (наличие нейтрального элемента для суммы векторов);
3) (наличие противоположного вектора);
4) (коммутативность);
5) (дистрибутивность умножения на сумму векторов);
6) (дистрибутивность произведения суммы чисел на вектор);
7) (ассоциативность умножения произведения чисел на вектор);
8) (существование нейтрального элемента при умножении чисел на вектор).
Свойства 1 – 8 называются аксиомами – векторного пространства.
В общем случае, множество для которого выполняются аксиомы 1 – 8 называется линейным векторным пространством.
Скалярным произведением двух – векторов и называется число, равное
.
На основании скалярного произведения вводится длина вектора как квадратный корень из его скалярного квадрата, т. е. если , то
Введенная таким образом длина – вектора обладает всеми свойствами длины векторов плоскости и пространства.
Свойства длины – вектора.
Угол между векторами и определяется равенством откуда
Базис - мерного пространства.
Пусть задана система - мерных векторов из пространства .
Вектор вида , для некоторых чисел называется линейной комбинацией этих векторов.
Пример 30. Для трехмерных векторов пространства , вектор является линейной комбинацией векторов и .
Система - векторов называется линейно независимой, если из того, что , всегда следует
в противном случае система называется линейно зависимой.
Линейную зависимость – векторов можно выразить следующим образом:
Пусть и векторы являются линейно зависимыми, тогда, по крайней мере, одно из чисел (например, ) и , Вектор является линейной комбинацией остальных векторов. Таким образом, система
– векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.
Система векторов - мерного пространства зависима тогда и только тогда, когда ранг матрицы, строки которой являются векторами системы меньше их количества. Если же ранг матрицы в точности равен количеству этих векторов, то они являются линейно независимыми.
Рангом системы – векторов называется максимальное количество линейно независимых векторов этой системы.
Пример 31. В пространстве единичные векторы , и являются линейно независимыми.
Базисом - мерного векторного пространства называется любая линейно - независимая система векторов, через которые можно выразить любой вектор пространства. Базисов в пространстве может быть бесконечное множество. Количество векторов в базисе пространства называется его размерностью.
Теорема 5. Базис - мерного пространства состоит из векторов.
Доказательство. Покажем линейную независимость системы векторов
, , …, . Пусть
.
Запишем это равенство в координатной форме
, или
, отсюда , т. е. векторы
– линейно независимы.
Для произвольного вектора , очевидно равенство
. Таким образом, векторы образуют базис пространства.
Предположим, что существует другой базис , пространства , где , ,…, и , т. е. число векторов которого больше n. Тогда выполняется равенство , что равносильно системе
Число уравнений системы меньше, чем число неизвестных, поэтому ранг матрицы системы ограниченной не может быть больше, чем n, следовательно, система векторов линейно зависима и не может образовывать базис. Теорема доказана.
Координаты векторов.
Если в пространстве выбран некоторый базис , то для произвольного вектора справедливо представление
Числа называются координатами вектора в базисе . В различных базисах пространства один и тот же вектор будет иметь различные координаты.
Линейные операторы.
В пространстве можно определить преобразования, которые сохраняют линейные операции.
Отображение векторного пространства называется линейным оператором, если для любых векторов , и для любого числа выполняются условия:
1) ;
2) .
Теорема 6. Всякий линейный оператор однозначно определяется некоторой матрицей .
Доказательство. Пусть задан линейный оператор и некоторый базис . Выразим векторы через векторы базиса .
Обозначим
,
Тогда
Отсюда .
Таким образом, действие оператора на произвольный вектор
полностью определяется умножением координатной строки вектора на матрицу . Теорема доказана.